考研数学(三)题库 微积分(第五章 多元函数微分学)打印版【圣才出品】

考研数学三（多元函数微积分学）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．[2008年] 设则( )．A．fx’(0，0)，fy’(0，0)都存在B．fx’(0，0)不存在，fy’(0，0)存在C．fx’(0，0)存在，fy’(0，0)不存在D．fx’(0，0)，fy’(0，o)都不存在正确答案：B解析：因而则极限不存在，故偏导数fx’(0，0)不存在．而因而偏导数fy’(0，0)存在．仅(B)入选．知识模块：多元函数微积分学2．[2003年] 设可微函数f(x，y)在点(x0，y0)处取得极小值，则下列结论正确的是( )．A．f(x0，y)在y=y0处的导数大于零B．f(x0，y)在y=y0处的导数等于零C．f(x0，y)在y=y0处的导数小于零D．f(x0，y)在y=y0处的导数不存在正确答案：B解析：解一因f(x，y)在点(x0，y0)处可微，故f(x，y)在点(x0，y0)处两个偏导数存在，因而一元函数f(x0，y)在y=y0处的导数也存在．又因f(x，y)在点(x0，y0)处取得极小值，故f(x0，y0)在y=y0处的一阶(偏)导数等于零．仅(B)入选．解二由函数f(x，y)在点(x0，y0)处可微知，f(x．y)在点(x0，y0)处的两个偏导数存在．又由二元函数极值的必要条件即得f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数都等于零．因而有知识模块：多元函数微积分学3．[2016年] 已知函数则( )．A．fx’－fy’=0B．fx’+fy’=0C．fx’－fy’=fD．fx’+fy’=f正确答案：D解析：则仅(D)入选．知识模块：多元函数微积分学4．[2017年] 二元函数z=xy(3－x－y)的极值点为( )．A．(0，0)B．(0，3)C．(3，0)D．(1，1)正确答案：D解析：zy’=y(3－x－y)－xy=y(3－2x－y)，zy’=x(3－x－y)－xy=x(3－x－2y)，又zxx’=－2y，zxy=3－2x－2y，zyy’=－2x，将选项的值代入可知，只有(D)符合要求，即A=zxx”(1，1)=－2，B=zxy”(1，1)=－1，C=zyy”(1，1)=－2．满足B2－AC=－3＜0，且A=－2＜0，故点(1，1)为极大值点．仅(D)入选．知识模块：多元函数微积分学5．[2006年] 设f(x，y)与φ(z，y)均为可微函数，且φy’(x，y)≠0，已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，Y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是( )．A．若fx’(x0，y0)=0，则fy’(x0，y0)=0B．若fx’(x0，y0)=0，则f’y(x0，y0)≠0C．若fx’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)=0D．若fx’(x0，y0)≠0，则f’y(x0，y0)≠0正确答案：D解析：解一由拉格朗日乘数法知，若(x0，y0)是f(x，y)在条件φ(x，y)=0下的极值点，则必有fx’(x0，y0)+λφx’(x0，y0)=0，①fx’(x0，y0)+λφx’(x0，y0)=0．②若fx’(x0，y0)≠0，由式①知λ≠0．又由题设有φy’(x0，y0)≠0，再由式②知fy’(x0，y0)≠0．仅(D)入选．解二构造拉格朗日函数F(x，y，λ)=f(x，y)+λφ(x，y)，并记对应于极值点(x0，y0)处的参数的值为λ0，则由式③与式④消去λ0得到fx’(x0，y0)／φx’(0，y0)=一λ0=f’y(x0，y0)／φ’y(x0，y0)．即f’x(x0，y0)φ’y(x0，y0)一fy’(x0，y0)φx’(x0，y0)=0．整理得若fx’(x0，y0)≠0，则由式③知，φx’(x0，y0)≠0．因而fy’(x0，y0)≠0．仅(D)入选．解三由题设φy’(x，y)≠0知，φ(x，y)=0确定隐函数y=y(x)．将其代入f(x，y)中得到f(x，y(x))．此为一元复合函数．在φ(x，y)=0两边对x求导，得到因f(x，y(x))在x=x0处取得极值，由其必要条件得到f’x+fy’y’=fx’+fy’(一φx’／φy’)=0．因而当fx’(x0，y0)≠0时，必有fy’(x0，y0)≠0．仅(D)入选．知识模块：多元函数微积分学填空题6．[2012年] 设连续函数z=f(x，y)满足则dz｜(0,1)=__________．正确答案：2dx－dy解析：用函数f(x，y)在(x0，y0)处的微分定义：与所给极限比较易知：z=f(x，y)在点(0，1)处可微，且fx’(0，1)=2，fy’(0，1)=－1，f(0，1)=1，故dz｜(0,1)=fx’(0，1)dx+fy’(0，1)dy=2dx－dy．知识模块：多元函数微积分学7．[2009年] 设z=(x+ey)x，则正确答案：2ln2+1解析：解一为简化计算，先将y=0代入z中得到z(x，0)=(x+1)x，z为一元函数．将x=1代入上式，得到解二考虑到z(x，0)=(x+1)x为幂指函数，先取对数再求导数：lnz=xln(x+1)．在其两边对x求导，得到则知识模块：多元函数微积分学8．[2007年] 设f(u，v)是二元可微函数，则正确答案：解析：解一设u=y／x，v=x／y．为方便计，下面用“树形图”表示复合层次与过程．由式①一式②得到解二令f1’，f2’分别表示z=f(y／x，x ／y)对第1个和第2个中间变量y／x、x／y求导数，则知识模块：多元函数微积分学9．[2004年] 函数f(u，v)由关系式f[xg(y)，y]=x+g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y)≠0，则正确答案：解析：令u=xg(y)，v=y，由此解出于是知识模块：多元函数微积分学10．[2005年] 设二元函数z=xex+y+(x+1)ln(1+y)，则dz｜(1,0)=_________．正确答案：2edx+(e+2)dy解析：dz=d[xex+y+(x+1)ln(1+y)]=d(xex+y)+d[(x+1)ln(1+y)] =ex+ydx+xex+y(dx+dy)+ln(1+y)dx+[(x+1)／(1+y)]dy．①将x=1，y=0代入上式(其中dz，dx，dy不变)，得到dz｜(1,0)=edx+e(dx+dy)+2dy=2edx+(e+2)dy．解二利用全微分公式求之．为此，先求出偏导数故解三用定义简化法求之．固定一个变量转化为另一个变量的一元函数求导．由z(x，0)=xex得到由z(1，y)=ey+2ln(1+y)得到故知识模块：多元函数微积分学11．[2006年] 设函数f(u)可微，且f’(0)=1／2，则z=f(4x2－y2)在点(1，2)处的全微分dz｜1,2=___________．正确答案：4dx一2dy解析：解一dz=df(4x2－y2)=f’(u)du=f’(u)d(4x2－y2)=f’(u)(8xdx－2ydy)，其中u=4x2－y2．于是dz｜1,2=f’(0)(8dx－4dy)=4dx－2dy．解二利用复合函数求导公式和定义简化法求之．由z=f(4x2－y2)得到解三由z=f(4x2－y2)得到于是故dz｜1,2=4dx－2dy．知识模块：多元函数微积分学12．[2011年] 设函数则dz｜1,1=____________．正确答案：(1+2ln2)(dx—dy)解析：解一所给函数为幂指函数，先在所给方程两边取对数，然后分别对x，y求偏导：由得到则解二先用定义简化法求出然后代入全微分公式求解．故dz｜1,1=2(ln2+1／2)dx－2(ln2+1／2)dy=(1+2ln2)(dx－dy)．知识模块：多元函数微积分学13．[2015年] 若函数z=z(x，y)由方程ex+2y+3z+xyz=1确定，则dz｜0,0=_______________．正确答案：解析：在ex+2y+3z+xyz=1①两边分别对x，y求偏导得到同法可得将x=0，y=0代入式①易求得z=0，代入式②、式③分别得到则知识模块：多元函数微积分学14．[2014年] 二次积分正确答案：解析：注意到不易求出，需先交换积分次序，由积分区域的表达式D={(x，y)|y≤x≤1，0≤y≤1)－{(x，y)|0≤y≤x，0≤x≤1}及交换积分次序得到故知识模块：多元函数微积分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学三（多元函数微分学）模拟试卷2(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．极限( )A．等于0B．不存在C．等于D．存在，但不等于也不等于0正确答案：B解析：当取y=kx时，与k有关，故极限不存在．知识模块：多元函数微分学2．设u=arcsin ( )A．B．C．D．正确答案：A解析：将x视为常数，属基本计算．知识模块：多元函数微分学3．极限( )A．等于0B．不存在C．等于D．存在且不等于0及正确答案：B解析：取y=x，则=0；取y=x2，则，故原极限不存在．知识模块：多元函数微分学4．设u=f(r)，而r=，f(r)具有二阶连续导数，则=( )A．B．D．正确答案：B解析：属基本计算，考研计算中常考这个表达式．知识模块：多元函数微分学5．考虑二元函数f(x，y)的下面4条性质：①f(x，y)在点(x0，y0)处连续；②f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数连续；③f(x，y)在点(x0，y0)处可微；④f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数存在．若用“PQ”表示可由性质P推出性质Q，则有( )A．B．C．D．正确答案：A解析：本题考查图1．4-1中因果关系的认知：知识模块：多元函数微分学6．设函数u=u(x，y)满足及u(x，2x)=x，uˊ1(x，2x)=x2，u有二阶连续偏导数，则uˊˊ11(x，2x)= ( )A．B．C．D．正确答案：B解析：等式u(x，2x)=x两边对x求导得uˊ1+2uˊ2=1，两边再对x求导得uˊˊ11+2uˊˊ12+2uˊˊ21+4uˊˊ22=0，①等式uˊ1(x，2x)=x2两边对x求导得uˊˊ11+2uˊˊ12=2x，②将②式及uˊˊ12=uˊˊ21，uˊˊ11=u ˊˊ22代入①式中得uˊˊ11(x，2x)=x．知识模块：多元函数微分学7．利用变量代换u=x，v=，可将方程化成新方程( )A．B．D．正确答案：A解析：由复合函数微分法，于是知识模块：多元函数微分学8．若函数u=，其中f是可微函数，且=G(x，y)u，则函数G(x，y)= ( ) A．x+yB．x－yC．x2－y2D．(x+y)2正确答案：B解析：设t=，则u=xyf(t)，知识模块：多元函数微分学9．已知du(x，y)=[axy3+cos(x+2y)]dx+[3x2y2+bcos(x+2y)]dy，则( ) A．a=2，b=－2B．a=3，b=2C．a=2，b=2D．a=－2，b=2正确答案：C解析：由du(x，y)=[axy3+cos(x+2y)]dx+[3x2y2+bcos(x+2y)]dy可知，=axy3+cos(x+2y)，=3x2y2+bcos(x+2y)，以上两式分别对y，x求偏导得=3axy2－2sin(x+2y)，=6xy2－bsin(x+2y)，由于连续，所以，即3axy2－2sin(x+2y)=6xy2－bsin(x+2y)，故得a=2，b=2．知识模块：多元函数微分学10．设u(x，y)在平面有界闭区域D上具有二阶连续偏导数，且则u(x，y)的( )A．最大值点和最小值点必定都在D的内部B．最大值点和最小值点必定都在D的边界上C．最大值点在D的内部，最小值点在D的边界上D．最小值点在D的内部，最大值点在D的边界上正确答案：B解析：令，由于B2－AC＞0，函数u(x，y)不存在无条件极值，所以，D的内部没有极值，故最大值与最小值都不会在D的内部出现．但是u(x，y)连续，所以，在平面有界闭区域D上必有最大值与最小值，故最大值点和最小值点必定都在D的边界上．知识模块：多元函数微分学11．设函数z=(1+ey)cosx－yey，则函数z=f(x，y) ( )A．无极值点B．有有限个极值点C．有无穷多个极大值点D．有无穷多个极小值点正确答案：C解析：本题是二元具体函数求极值问题，由于涉及的三角函数是周期函数，故极值点的个数有可能无穷，给判别带来一定的难度，事实证明，考生对这类问题把握不好，请复习备考的同学们注意加强对本题的理解和记忆．由得驻点为(k π，coskπ－1)，k=0，±1，±2，…，又zˊˊxx－(1+ey)cosx，zˊˊxy=－eysinx，zˊˊyy=ey(cosx－2－y)．①当k=0，±2，±4，…时，驻点为(kπ，0)，从而A=zˊˊxx(kπ，0)=－2，B=zˊˊxy(kπ，0)=0，C=zˊˊyy(kπ，0)=－1，于是B2－AC=－2＜0，而A=－2＜0，即驻点(kπ，0)均为极大值点，因而函数有无穷多个极大值；②当k=±1，±3，…时，驻点为(kπ，－2)，此时A=z ˊˊxx(kπ，－2)=1+e－2，B=zˊˊxy(kπ，－2)=0，C=zˊˊyy(kπ，－2)=－e －2，于是B2－AC=(1+e－2)e－2＞0，即驻点(kπ，－2)为非极值点；综上所述，选(C)．知识模块：多元函数微分学填空题12．设f可微，则由方程f(cx－az，cy－bz)=0确定的函数z=z(x，y)满足azˊx+bzˊx=_________．正确答案：c解析：本题考查多元微分法，是一道基础计算题．方程两边求全微分，得f ˊ1(cdx－adz)+fˊ2(cdy－bdz)=0，即dz=，故azˊx+bzˊy==c．知识模块：多元函数微分学13．设函数z=z(x，y)由方程sinx+2y－z=ez所确定，则=________．正确答案：解析：方程两端对x求偏导数cosx+0－移项并解出即得．知识模块：多元函数微分学14．函数f(x，y，z)=－2x2在条件x2－y2－2z2=2下的极大值是_________．正确答案：－4解析：由拉格朗日乘数法即得．知识模块：多元函数微分学15．函数的定义域为_________．正确答案：≤｜z｜，且z≠0解析：由－1≤≤1即得．知识模块：多元函数微分学16．设z=esinxy，则dz=_________．正确答案：esinxycosxy(ydx+xdy)解析：zˊx=esinxycosxy.y，zˊy=esinxycosxy.x，则dz=esinxycosxy(ydx+xdy)．知识模块：多元函数微分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学三（多元函数微分学）-试卷2(总分：70.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________2. 2.00）A.等于0B.不存在C.D.3.设 2.00）A.B.C.D.4. 2.00）A.等于0B.不存在C.D.存在且不等于05.设u=f(r)，而f(r) 2.00）A.B.C.D.6.考虑二元函数f(x，y)的下面4条性质：①f(x，y)在点(x 0，y 0)处连续；②f(x，y)在点(x 0，y 0)处的两个偏导数连续；③f(x，y)在点(x 0，y 0 )处可微；④f(x，y)在点(x 0，y 0 )处的两个偏导数存在．若用“P推出性质Q，则有 2.00）A.B.C.D.7.设函数u=u(x，y)满足u(x，2x)=x，uˊ1(x，2x)=x 2，u有二阶连续偏导数，则uˊˊ11(x，2.00）A.B.C.D.8.利用变量代换u=x， 2.00）A.B.C.D.9.若函数f 2.00）A.x+yB.x－yC.x 2－y 2D.(x+y) 210.已知du(x，y)=[axy 3 +cos(x+2y)]dx+[3x 2 y 2 +bcos(x+2y)]dy，则 ( )（分数：2.00）A.a=2，b=－2B.a=3，b=2C.a=2，b=2D.a=－2，b=211.设u(x，y)在平面有界闭区域D 2.00）A.最大值点和最小值点必定都在D的内部B.最大值点和最小值点必定都在D的边界上C.最大值点在D的内部，最小值点在D的边界上D.最小值点在D的内部，最大值点在D的边界上12.设函数z=(1+e y )cosx－ye y，则函数z=f(x，y) ( )（分数：2.00）A.无极值点B.有有限个极值点C.有无穷多个极大值点D.有无穷多个极小值点二、填空题(总题数：5，分数：10.00)13.设f可微，则由方程f(cx－az，cy－bz)=0确定的函数z=z(x，y)满足azˊx +bzˊx = 1．（分数：2.00）填空项1:__________________14.设函数z=z(x，y)由方程sinx+2y－z=e z所确定，则 2.00）填空项1:__________________15.函数f(x，y，z)=－2x 2在条件x 2－y 2－2z 2 =2下的极大值是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________16. 2.00）填空项1:__________________17.设z=e sinxy，则dz= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________三、解答题(总题数：18，分数：36.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

[考研类试卷]考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编8.doc[考研类试卷]考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编8一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1 (96年)累次积分f(rcosθ，rsinθ)rdr可以写成【】（A）（B）（C）∫01dχ∫01f(χ，y)dy（D）2 (99年)设f(χ，y)连续，且f(χ，y)＝χy＋f(u，v)dudv．其中D 是由y＝0，y＝χ2，χ＝1所围区域，则f(χ，y)等于【】（A）χy（B）2χy（C）χy＋（D）χy＋1二、填空题3 (15年)设函数f(χ)连续，φ(χ)＝χf(t)dt．若φ(1)＝1，φ′(1)＝5，则f(1)＝_______．4 (16年)极限＝_______．5 (91年)设z＝e sinχy，则dz＝_______．6 (92年)交换积分次序＝_______．7 (95年)设z＝χyf()，f(u)可导，则χz′χ＋yz′y＝_______．8 (00年)设z＝，其中f，g均可微，则＝_______．三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

9 (16年)设函数f(χ)＝∫01｜t2－χ2｜dt(χ＞0)，求f′(χ)，并求f(χ)的最小值．10 (87年)设z＝arctan，求dz．11 (87年)设D是由曲线y＝χ3与直线y＝χ在第一象限内围成的封闭区域，求dχdy．12 (88年)设u＋e u＝χy，求．13 (88年)求．14 (89年)已知z＝f(u，v)，u＝χ＋y，v＝χy，且f(u，v)的二阶编导数都连续，求．15 (90年)计算二重积分dχdy，其中D是由曲线y＝4χ2和y＝9χ2在第一象限所围成的区域．16 (90年)某公司通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入R(万元)与电台广告费用χ1(万元)及报纸广告费用χ2(万元)之间的关系有如下经验公式：R＝15＋14χ1＋32χ2－8χ1χ2－2χ12－10χ22 (1)在广告费用不限的情况下，求最优广告策略；(2)若提供的广告费用是1．5万元，求相应的最优广告策略．17 (91年)计算二重积分I＝ydχdy．其中D是由χ轴，y轴与曲线＝1所围成的区域；a＞0，b＞0．18 (91年)某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为p1和p2；销售量分别为q1和q2；需求函数分别为q1＝24－0．2p1，q2＝10－0．5p2总成本函数为C＝35＋40(q1＋q2) 试问：厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得总利润最大?最大利润为多少?19 (92年)设z＝sin(χy)＋φ(χ，)，求，其中φ(u，v)有二阶连续偏导数．20 (93年)设z＝f(χ，y)是由方程z－y－χe z-y-χ＝0所确定的二元函数，求dz．21 (94年)计算二重积(χ＋y)dχdy，其中D＝{(χ，y)｜χ2＋y2≤χ＋y＋1}．22 (94年)已知f(χ，y)＝χ2arctan－y2arctan，求．23 (96年)设函数z＝f(u)，方程u＝φ(u)＋∫yχp(t)dt确定u是χ，y的函数，其中f(u)，φ(u)可微；p(t)，φ′(t)连续，且φ′(u)≠1．求．24 (97年)设u＝f(χ，y，z)有连续偏导数，y＝y(χ)和z＝z(χ)分别由方程eχy－y＝0和eχ－χz＝0所确定，求．25 (98年)设z＝(χ2＋y2)，求dz与．26 (98年)设D＝{(χ，y)｜χ2＋y2≤χ}，求27 (99年)计算二重积分ydχdy，其中D是由直线χ＝－2，y＝0，y＝2以及曲线χ＝－所围成的平面区域．28 (99年)设生产某种产品必须投入两种要素，χ1和χ2分别为两要素的投入量，Q 为产出量；若生产函数为Q＝2χ1αχ2β，其中α，β为正常数，且α＋β＝1，假设两种要素的价格分别为p1和p2，试问：当产量为12时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小?29 (00年)计算二重积分，其中D是由曲线y＝－a＋(a＞0)和直线y＝－χ围成的区域．30 (00年)假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别为p1＝18－2Q1，p2＝12－Q2其中P1和P2分别表示该产品在两个市场的价格(单位：万元／吨)，Q1和Q2分别表示该产品在两个市场的销售量(即需求量，单位：吨)并且该企业生产这种产品的总成本函数是 C＝2Q＋5 其中Q表示该产品在两个市场的销售总量，即Q＝Q1＋Q2．(1)如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润；(2)如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及其统一的价格，使该企业的总利润最大化；并比较两种价格策略下的总利润大小．。

多元微分考研题库多元微分考研题库在考研复习的过程中，多元微分是数学专业学生必须掌握的重要知识点之一。

多元微分涉及到多变量函数的导数和微分，是微积分的重要分支。

掌握多元微分的理论和技巧，对于解决实际问题和深入理解数学的应用有着重要意义。

为了帮助考研学子更好地复习多元微分，让我们来构建一个多元微分考研题库。

1. 题目类型一：多元函数的偏导数计算第一类题目是关于多元函数的偏导数计算。

考生需要根据给定的多元函数，计算其对应的偏导数。

例如，给定函数$f(x,y)=x^2+3xy+2y^2$，求$\frac{\partial f}{\partial x}$和$\frac{\partial f}{\partial y}$。

解答思路：对于这类题目，考生需要按照偏导数的定义，分别对每个变量求偏导数。

在这个例子中，我们可以得到$\frac{\partial f}{\partial x}=2x+3y$，$\frac{\partial f}{\partial y}=3x+4y$。

2. 题目类型二：多元函数的全微分计算第二类题目是关于多元函数的全微分计算。

考生需要根据给定的多元函数，计算其对应的全微分。

例如，给定函数$g(x,y)=\sin(x)+\cos(y)$，求其全微分$d g$。

解答思路：对于这类题目，考生需要使用全微分的定义，将函数的各个变量的微分相加。

在这个例子中，我们可以得到$d g=\cos(x)dx-\sin(y)dy$。

3. 题目类型三：多元函数的极值点和极值计算第三类题目是关于多元函数的极值点和极值计算。

考生需要根据给定的多元函数，求其极值点和极值。

例如，给定函数$h(x,y)=x^2+y^2-2x+4y$，求其极值点和极值。

解答思路：对于这类题目，考生需要先求出函数的偏导数，并令其为零，解方程组得到极值点。

然后，可以通过二阶偏导数判断极值的类型。

在这个例子中，我们可以得到$\frac{\partial h}{\partial x}=2x-2$，$\frac{\partial h}{\partialy}=2y+4$。

2023年全国硕士研究生招生考试《数学三》真题及答案解析【完整版】一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

1．已知函数f （x ，y ）＝ln （y ＋|xsiny|），则（ ）。

A ．()0,1fx ∂∂不存在，()0,1f y ∂∂存在B ．()0,1fx ∂∂存在，()0,1f y ∂∂不存在C ．()0,1fx ∂∂，()0,1f y ∂∂均存在D ．()0,1fx ∂∂，()0,1f y∂∂均不存在【答案】A【解析】f （0，1）＝0，由偏导数的定义()()()()0000,1ln 1sin1,10,1lim lim sin1lim x x x x x f x f fx x xx →→→+-∂===∂，因为0lim 1x x x+→=，0lim 1x x x-→=-，所以()0,1fx ∂∂不存在， ()()()1110,10,0,1ln 1lim lim lim 1111y y y f y f f y y y y y y →→→-∂-====∂---，所以()0,1f y∂∂存在.2．函数()()01cos ,0x f x x x x ≤=+>⎩的原函数为（ ）。

A ．())()ln ,01cos sin ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪+->⎩B ．())()ln 1,01cos sin ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪+->⎩C ．())()ln ,01sin cos ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪++>⎩D ．())()ln 1,01sin cos ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪++>⎩【答案】D【解析】当x ≤0时，()(1d ln f x x x C ==+⎰当x ＞0时，()()()()()2d 1cos d 1dsin 1sin sin d 1sin cos f x x x x xx x x x x x x x x C =+=+=+-=+++⎰⎰⎰⎰原函数在（－∞，＋∞）内连续，则在x ＝0处(110lim ln x x C C -→++=，()220lim 1sin cos 1x x x x C C +→+++=+ 所以C 1＝1＋C 2，令C 2＝C ，则C 1＝1＋C ，故())()ln 1,0d 1sin cos ,0x C x f x x x x x C x ⎧++≤⎪=⎨⎪+++>⎩⎰，综合选项，令C ＝0，则f （x ）的一个原函数为())()ln 1,01sin cos ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪++>⎩.3．已知微分方程式y ′′＋ay ′＋by ＝0的解在（－∞，＋∞）上有界，则（ ）。

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第六章多元函数微分学综述：本章是对一元函数中极限、连续、导数与微分等知识的推广，主要考点是围绕偏导数的一系列计算，由于多元函数微分学计算的复杂性要大于一元函数，考试在微分学中的大题一般都出在本章.在考试中，每年直接涉及到本章知识所占的分值平均在12分左右.本章的主要知识点有：二重极限的定义及其简单的性质，二元函数的连续、偏导数和可微，多元函数偏导数的计算，方向导数与梯度，多元函数的极值，曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线.其中学习的难点是二重极限、二元函数连续、有偏导数和可微这些概念.这一部分考查的频率不高，且以小题为主，考生在学习时要注重把握相关概念严格的数学定义，并与一元函数的相关概念进行比较.本章考查的重点在偏导数的计算及其应用上：首先，偏导数的计算与一元函数的求导并无本质区别，考生只需将一元函数求导的相关知识进行推广，就可以得到偏导数相应的计算公式；在全面掌握了偏导数的计算方法之后，考生还需要掌握偏导数的各种应用，包括多元函数的极值（无条件极值与条件极值）、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线，对于它们，考生只要能计算偏导数，再记住相关的公式定理即可.本章常考的题型有：1.关于连续、偏导数与全微分定义的考查；2.偏导数的计算；3.方向导数与梯度；4.极值，5.空间曲线的切线与法平面，6.空间曲面的切平面与法线.常考题型一：连续、偏导数与全微分1．【1994-1 3分】二元函数(,)f x y 在点()00,x y 处两个偏导数0000(,),(,)x y f x y f x y ''存在是(,)f x y 在该点连续的（）()A 充分条件而非必要条件()B 必要条件而非充分条件 ()C 充分必要条件()D 既非充分条件又非必要条件2．【1997-1 3分】二元函数22(,)(0,0)(,)0(,)(0,0)xyx y x y f x y x y ⎛≠ += =⎝，，，在点(0,0)处（）()A 连续，偏导数存在()B 连续，偏导数不存在 ()C 不连续，偏导数存在()D 不连续，偏导数不存在3．【2002-1 3分】考虑二元函数(,)f x y 的下面4条性质，正确的是（） ①(,)f x y 在点00(,)x y 处连续②(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个偏导数连续 ③(,)f x y 在点00(,)x y 处可微④(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个偏导数存在()A ②⇒③⇒①()B ③⇒②⇒①()C ③⇒④⇒①()D ③⇒①⇒④4．【2003-3 4分】设可微函数(,)f x y 在点),(00y x 取得极小值，则下列结论正确的是()A ),(0y x f 在0y y =处的导数等于零. ()B ),(0y x f 在0y y =处的导数大于零. ()C ),(0y x f 在0y y =处的导数小于零. ()D ),(0y x f 在0y y =处的导数不存在.5．【2007-1 4分】二元函数(,)f x y 在点()0,0处可微的一个充分条件是（）()A ()[](,)0,0lim (,)(0,0)0x y f x y f →-=.()B 00(,0)(0,0)(0,)(0,0)lim0,lim 0x y f x f f y f x y→→--==且.()C ((,)0,0lim 0x y →=.()D 00lim (,0)(0,0)0,lim (0,)(0,0)0x x y yx y f x f f y f →→⎡⎤⎡⎤''''-=-=⎣⎦⎣⎦且. 6．【2008-3 4分】已知(,)f x y =()A (0,0)x f '，(0,0)y f '都存在()B (0,0)x f '不存在，(0,0)y f '存在 ()C (0,0)x f '不存在，(0,0)y f '不存在()D (0,0)x f '，(0,0)y f '都不存在7．【2012-1 4分】如果(,)f x y 在()0,0处连续，那么下列命题正确的是（）（A ）若极限00(,)limx y f x y x y→→+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微（B ）若极限2200(,)limx y f x y x y→→+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微 （C ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限00(,)limx y f x y x y →→+存在（D ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限2200(,)limx y f x y x y→→+存在 8．【2012-2 4分】设函数(,)f x y 可微，且对任意,x y 都有(,)0f x y x ∂>∂，(,)0f x y y ∂<∂，则使得1122(,)(,)f x y f x y <成立的一个充分条件是(A) 1212,x x y y ><(B)1212,x x y y >> (C)1212,x x y y <<(D)1212,x x y y <>9.【2012-3 4分】连续函数(,)z f x y =满足010x y →→=，则(0,1)dz=________。

多元函数微积分学多元函数的极限、连续、偏导数与全微分1、重极限的概念设函数f(x,y)在开区域（或闭区域）D内有定义，P0(x0,y0)是D的内点或边界点，如果对任意给定的ε>0，∃δ>0，使得对适合不等式0<√(x−x0)2+(y−y0)2<δ且P(x,y)∈D一切P(x,y)都有|f(x,y)−A|<ε，则称A为f(x,y)当x→x0，y→y0时的极限，记为limx→x0y→y0f(x,y)=A2、二元函数连续的概念设函数f(x,y)在开区域(或闭区域)D内由定义，P0(x0,y0)是D的内点或边界点，且P0∈D ，如果limx→x0y→y0f(x,y)= f(x0,y0)，则称函数在点P0(x0,y0)连续3、偏导数的概念设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内由定义，如果lim ∆x→0f(x0+∆x,y0)−f(x0,y0)∆x存在，则称此极限为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数，记为f x′(x0,y0)类似地可定义f x′(x0,y0)=lim∆x→0f(x0+∆x,y0)−f(x0,y0)∆x4、偏导数的几何意义偏导数f x′(x0,y0)在几何上表示曲面z=f(x,y)与平面y=y0的交线在点M0(x0,y0,f(x0,y0))处的切线T x对x轴的斜率，f x′(x0,y0)=tanα偏导数f y′(x0,y0)在几何上表示曲面z=f(x,y)与平面x=x0的交线在点M0(x0,y0,f(x0,y0))处的切线T y对y轴的斜率，f y′(x0,y0)=tanβ5、全微分的概念如果函数z=f(x,y)在点(x,y)处的全增量∆z=f(x+∆x,y+∆y)−f(x,y)可表示为∆z=A∆x+B∆y+o(ρ)其中A，B不依赖于∆x，∆y，而仅与x，y有关，ρ=√(∆x)2+(∆y)2，则称函数z=f(x,y)在点(x,y)可微.而称A∆x+B∆y为函数z=f(x,y)的全微分，记为dz=A∆x+B∆y6、可微的必要条件定理1：如果函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微，则该函数在点(x,y)处的偏导数ðzðx，ðzðy必定存在，且dz=ðzðxdx+ðzdy7、可微的充分条件定理2：如果函数z=f(x,y)的偏导数ðzðx和ðzðy在点处连续，则函数z=f(x,y)在该点可微8、多元函数连续、可导、可微之间的关系对二元函数z=f(x,y)，我们称它在点(x,y)可导是指它在点(x,y)处两个一阶偏倒数，ðzðx，ðzðy都存在，则二元函数的连续、可导及可微的关系是多元函数一元函数连续可导连续←可导 ↖ ↗↖ ↙↗可微可微↑一阶偏导数连续由上图可以看出一元函数和多元函数的连续、可导、可微之间的关系主要不同在于，一元函数可导能推得连续，也能推得可微；而多元函数的可导既不能推得连续，也不能推得可微，其主要原因在于多元的可导是指一阶偏导数存在，而偏导数是用一元函数极限定义的f x′(x0,y0)=limx→x0f(x,y0)−f(x0,y0)x−x0f y′(x0,y0)=limy→y0f(x0,y)−f(x0,y0)y−y0其动点(x,y0)（或(x0,y)）是沿x（或y）轴方向趋于(x0,y0)，它只与点(x0,y0)邻域内过该点且平行于两坐标轴的十字架方向函数值有关；而连续(lim(x,y)→(x0,y0)f(x,y)=f(x0,y0))和可微(f(x,y)−f(x0,y0)=A(x−x0)+B(y−y0) +o(ρ))是都是用重极限定义的，其动点(x,y)是以任意方式趋于(x0,y0)，它与点(x0,y0)邻域内函数值有关多元函数的微分法1、复合函数求导法则定理1（多元函数与一元函数的复合）如果函数u=φ(t)，v=ψ(t)都在点t可导，函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续一阶偏导数，则复合函数z=f(φ(t),ψ(t))在点t可导，且dz dt =ðzðududt+ðzðvdvdt定理2（多元函数与多元函数的复合）如果函数u=φ(x,y)，v=ψ(x,y)在点有对x，y的偏导数，函数z=f(u,v)在对应点有连续一阶偏导数，则复合函数z=f(φ(x,y),ψ(x,y))在点(x,y)有对x，y的偏导数，且ðz ðx =ðfðuðuðx+ðfðvðvðx，ðzðy=ðfðuðuðy+ðfðvðvðy2、全微分形式不变性设函数z=f(u,v)和φ(x,y),ψ(x,y)都具有连续一阶偏导数，则复合函数z=f(φ(x,y),ψ(x,y))可微，且dz=ðzðxdx+ðzðydy由以上定理2知，ðz=ðfðu+ðfðv，ðz=ðfðu+ðfðv.将ðz和ðz代入上式得dz=(ðfðuðuðx+ðfðvðvðx)dx+(ðfðuðuðy+ðfðvðvðy)dy=ðfðu(ðuðxdx+ðuðydy)+ðfðv(ðvðxdx+ðvðydy)=ðfdu+ðfdv=ðzdu+ðzdv3、高阶偏导数及混合偏导数与求导次序无关的问题（1）高阶偏导数的概念设函数z=f(x,y)在区域D内具有偏导数ðz ðx =f x′(x,y)，ðzðy=f y′(x,y)如果f x′(x,y)和f y′(x,y)的偏导数也存在，则称它们是函数z=f(x,y)的二阶导数.二阶导数有以下四个ð2z ðx2=ððx(ðzðx)=f xx′′(x,y)，ð2zðxðy=ððy(ðzðx)=f xy′′(x,y)ð2z ðyðx =ððx(ðzðy)=f yx′′(x,y)，ð2zðy2=ððy(ðzðy)=f yy′′(x,y)（2）混合偏导数与求导次序无关问题定理3：若函数z =f (x,y )的两个混合偏导数和在点都连续，则在点ð2z ðxðy 和ð2zðyðx 在点(x 0,y 0)都连续，则在(x 0,y 0)点ð2z ðxðy =ð2zðyðx4、由一个方程式确定的隐函数（一元函数）求导法设有F (x,y )连续一阶偏导数，且F y ′≠0，则由方程F (x,y )=0确定的函数y =y (x )可导，且dy dx =−F x ′F y ′ 5、由一个方程式确定的隐函数（二元函数）求导法设有F (x,y,z )连续一阶偏导数，且F z ′≠0,z =z (x,y )，由方程F (x,y,z )=0所确定，则ðz =−F x ′z ′，ðz=−F y ′z′极值与最值1、多元函数取得极值的必要条件设函数f (x,y )在点M 0(x 0,y 0)的一阶偏导数存在，且在(x 0,y 0)取得极值，则f x ′(x 0,y 0)=0，f y ′(x 0,y 0)=0由此可见具有一阶偏导数的函数的极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点 2、二元函数取得极值的充分条件（下述定理仅适用于二元函数）设函数z =f (x,y )在点(x 0,y 0)的某邻域内有连续的二阶偏导数，且f x ′(x 0,y 0)=0，f y ′(x 0,y 0)=0.令f xx ′′(x 0,y 0)=A ，f xy ′′(x 0,y 0)=B ，f yy ′′(x 0,y 0)=C ，则 (1)AC −B 2>0时，f (x,y )在(x 0,y 0)点取极值，且{当A >0时极小值当A <0时极大值(2)AC −B 2<0时，f (x,y )在(x 0,y 0)点无极值(3)AC −B 2=0时，不能确定f (x,y )在(x 0,y 0)点是否有极值，还需进一步讨论（一般用极值定义） 3、函数f (x , y )在条件φ(x , y) = 0下的极值的必要条件 解决此类问题的一般方法是拉格朗日乘数法：先构造拉格朗日函数F (x,y,λ)=f (x,y )+λφ(x,y )，然后解方程组{ ðF ðx =ðf ðx +λðφðx =0ðF ðy =ðf ðy+λðφðy =0ðFðλ=φ(x,y )=0所有满足此方程组的解(x,y,λ)中(x,y )是函数f (x,y )在条件φ(x,y )=0下的可能的极值点 4、函数f (x , y ,z )在条件φ(x , y ,z) = 0，Ψ(x , y ,z) = 0下的极值的必要条件 与上一条情况类似，构造拉格朗日函数F (x,y,,z,λ,μ)=f (x,y,z )+λφ(x,y,z )+μψ(x,y,z )以下与上一条情况类似二重积分二重积分的性质 1、比较定理如果在D 上，f (x,y )≤g (x,y )，则∬f (x,y )Ddσ≤∬g (x,y )Ddσ2、估值定理设M ，m 分别为连续函数f (x,y )在闭区间D 上的最大值和最小值，S 表示D 的面积，则mS ≤∬f (x,y )Ddσ≤MS3、中值定理设函数f (x,y )在闭区间D 上连续，S 为D 的面积，则在D 上至少存在一点(ξ,η)，使∬f (x,y )Ddσ=f (ξ,η)S二重积分的计算4、在直角坐标下计算在直角坐标下计算二重积分关键是将二重积分化为累次积分，累次积分分两种次序，累次积分的次序往往根据积分域和被积函数来确定（1）适合先y 后x 的积分域若积分域D 由不等式{φ1(x )≤y ≤φ2(x )a ≤x ≤b确定，则该区域D 上的二重积分适合化成先y 后x 的累次积分，且∬f (x,y )Ddσ=∫dx ∫f (x,y )φ2(x )φ1(x )ba dy（2）适合先x 后y 的积分域若积分域D 由不等式{ψ1(x )≤y ≤ψ2(x )c ≤y ≤d确定，则该区域D 上的二重积分适合化成先x 后y 的累次积分，且∬f (x,y )Ddσ=∫dy ∫f (x,y )ψ2(x )ψ1(x )dc dx如果遇到更复杂的积分区域，总可利用分别平行于两个坐标轴的直线将其化分成若干个以上两种区域进行计算 5、在极坐标下计算在极坐标(ρ,θ)中，一般是将二重积分化为先ρ后θ的累次积分，常见的有以下四种情况： （1）极点O 在区域D 之外，则∬f (x,y )Ddσ=∫dθ∫f (ρcos θ,ρsin θ)ρ2(θ)ρ1(θ)βαρdρ（2）极点O 在区域D 的边界上，则∬f (x,y )Ddσ=∫dθ∫f (ρcos θ,ρsin θ)ρ(θ)βαρdρ（3）极点O 在区域D 的内部，则∬f (x,y )Ddσ=∫dθ∫f (ρcos θ,ρsin θ)ρ(θ)2πρdρ（4）环形域，且极点O 在环形域内部，则∬f (x,y )Ddσ=∫dθ∫f (ρcos θ,ρsin θ)ρ2(θ)ρ1(θ)2πρdρ注：将二重积分化为累次积分计算时，坐标系的选择不仅要看积分域D 的形状，而且要看被积函数的形式，以下我们给出适合用极坐标计算的二重积分其积分域和被积函数的特点，不适合用极坐标计算的当然是用直角坐标 ①适合用极坐标计算的二重积分被积函数一般应具有以下形式f (√x 2+y 2)，f (y x )，f (xy )之所以适合极坐标是由于它们在极坐标下都可化为或的一元函数②适合用极坐标计算的二重积分的积分域一般应具有以下形状：中心在原点的圆域，圆环域，或它们的一部分（如扇形）.中心在坐标轴上且边界圆过原点的圆域（如由x 2+y 2=2ax或x2+y2=2by所围成）或者它们的一部分6、利用对称性和奇偶性进行计算常用的结论有以下两条：（1）利用积分域的对称性和被积函数的奇偶性①若积分域D关于y轴对称，且被积函数f(x,y)关于x有奇偶性，则∬f(x,y)dσD ={2∬f(x,y)dσD1f(x,y)关于x为偶函数，即f(−x,y)=f(x,y)f(x,y)关于x为奇函数，即f(x,−y)=−f(x,y)其中为D在y轴右侧的部分②若积分域D关于x轴对称，且被积函数f(x,y)关于y有奇偶性，则∬f(x,y)dσD ={2∬f(x,y)dσD1f(x,y)关于x为偶函数，即f(x,−y)=f(x,y)f(x,y)关于x为奇函数，即f(x,−y)=−f(x,y)其中为D在x轴上方的部分（2）利用变量的对称性若积分域D关于直线y = x对称，换言之，表示积分域D的等式或不等式中将x与y对调后原等式或不等式不变.如，圆域x2+y2≤R2，正方形域{0≤x≤10≤y≤1则∬f(x,y) D dσ=∬f(y,x)Ddσ即：被积函数中x和y对调积分值不变。

考研数学三-多元函数微积分学(三)(总分：100.00，做题时间：90分钟)一、Section Ⅰ Use of English(总题数：1，分数：10.00)Starting with his review of Skinner's Verbal Behavior, Noam Chomsky had led the psycholinguists who argue that man has developed an innate (天生的) capacity for dealing with the linguistic universals common to all languages. Experience and learning then provide only information about the (1) instances of those universal aspects of language which are needed to communicate with other people within a particular language (2) .This linguistic approach (3) the view that language is built upon learned associations between words. What is learned is not strings of words per se (本身), but (4) rules that enable a speaker to (5) an infinite variety of novel sentences. (6) single words are learned as concepts: they do not stand in a one-to-one (7) with the particular thing signified, but (8) all members of a general class.This view of the innate aspect of language learning is at first not readily (9) into existing psychological frameworks and (10) a challenge that has stimulated much thought and new research directions. Chomsky argues that a precondition for language development is the existence of certain principles "intrinsic (原有的) to the mind" that provide invariant structures (11) perceiving, learning and thinking. Language (12) all of these processes; thus its study (13) our theories of knowledge in general.Basic to this model of language is the notion that a child's learning of language is a kind of theory (14) . It's thought to be accomplished (15) explicit instruction, (16) of intelligence level, at an early age when he is not capable of other complex (17) or motor achievements, and with relatively little reliable data to go on. (18) , the child constructs a theory of an ideal language which has broad (19) power. Chomsky argues that all children could not develop the same basic theory (20) it not for the innate existence of properties of mental organization which limit the possible properties of languages.（分数：10.00）(1).[A] special [B] specific [C] definite [D] explicit（分数：0.50）A.B. √C.D.解析：形容词辨析题。

考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编5(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(11年)设函数f(χ)在χ＝0处可导，且f(0)＝0，则＝【】A．－2f′(0)．B．－f′(0)．C．f′(0)．D．0．正确答案：B解析：知识模块：微积分2．(12年)曲线y＝渐近线的条数为【】A．0．B．1C．2．D．3．正确答案：C解析：由于＝1，则该曲线有水平渐近线y＝1，又＝∞，则χ＝1为该曲线的一条垂直渐近线，故应选C 知识模块：微积分3．(12年)设函数f(χ)＝(eχ－1)(e2χ－2)…(enχ－n)，其中n为正整数，则f′(0)＝【】A．(－1)n-1(n－1)!B．(－1)n(n－1)!．C．(－1)n-1n!．D．(－1)nn!．正确答案：A解析：记g(χ)＝(e2χ－2)(e3χ－3)…(enχ－n)，则f(χ)＝(eχ－1)g(χ) f′(χ)＝eχg(χ)＋(eχ－1)g′(χ) 则f′(0)＝g(0)＝(－1)(－2)…(－(n－1))＝(－1)n-1(n－1)! 故应选A．知识模块：微积分4．(14年)下列曲线中有渐近线的是【】A．y＝χ＋sinχB．y＝χ2＋sinχC．y＝χ＋sinD．y＝χ2＋sin正确答案：C解析：所以曲线y＝χ＋sin有斜渐近线y＝χ，故应选C．知识模块：微积分5．(14年)设函数f(χ)具有2阶导数，g(χ)＝f(0)(1－χ)＋f(1)χ，则在区间[0，1]上【】A．当f′(χ)≥0时，f(χ)≥g(χ)B．当f′(χ)≥0时，f(χ)≤g(χ)C．当f〞(χ)≥0时，f(χ)≥g(χ)D．当f〞(χ)≥0时，f(χ)≤g(χ)正确答案：D解析：由于g(0)＝f(0)，g(1)＝f(1)，则直线y＝f(0)(1－χ)＋f(1)χ过点(0，f(0))和(1，f(1))，当f〞(χ)≥0时，曲线y＝f(χ)在区间[0，1]上是凹的，曲线y ＝f(χ)应位于过两个端点(0，f(0))和(1，f(1))的弦y＝f(0)(1－χ)＋f(1)χ的下方，即f(χ)≤g(χ) 故应选D．知识模块：微积分6．(15年)设函数f(χ)在(－∞，＋∞)内连续，其2阶导函数f〞(χ)的图形如图所示，则曲线y＝f(χ)的拐点个数为【】A．0．B．1．C．2．D．3．正确答案：C解析：由图知f〞(χ1)＝f〞(χ2)＝0，f〞(0)不存在，其余点上二阶导数f〞(χ)存在且非零，则曲线y＝f(χ)最多三个拐点，但在χ＝χ1两侧的二阶导数不变号，因此不是拐点．而在χ＝0和χ＝χ2两侧的二阶导数变号，则曲线y ＝f(χ)有两个拐点，故应选C．知识模块：微积分7．(16年)设函数f(χ)在(－∞，＋∞)内连续，其导函数的图形如图所示，则【】A．函数f(χ)有2个极值点，曲线y＝f(χ)有2个拐点．B．函数f(χ)有2个极值点，曲线y＝f(χ)有3个拐点．C．函数f(χ)有3个极值点，曲线y＝f(χ)有1个拐点．D．函数f(χ)有3个极值点，曲线y＝f(χ)有2个拐点．正确答案：B解析：χ1，χ3，χ5为驻点，而在χ1和χ3两侧一阶导数f′(χ)变号，则为极值点，在χ5两侧一阶导数f′(χ)不变号，则不是极值点，在χ2处一阶导数不存在，但在χ2两侧f′(χ)不变号，则不是极值点．在χ2处二阶导数不存在，在χ4和χ5处二阶导数为零，在这三个点两侧一阶导函数的增减性发生变化，则都为拐点，故应选B．知识模块：微积分8．(87年)下列广义积分收敛的是【】A．B．C．D．正确答案：C解析：由于＝1 则收敛，所以，应选C．知识模块：微积分9．(89年)在下列等式中，正确的结果是【】A．∫f′(χ)dχ＝f(χ)B．∫df(χ)＝f(χ)C．f(χ)dχ＝f(χ)D．d∫f(χ)dχ＝f(χ)正确答案：C解析：f(χ)dχ＝(∫f(χ)dχ)′＝f(χ)．故应选C．知识模块：微积分填空题10．(11年)设f(χ)＝，则f′(χ)＝_______．正确答案：e3χ(1＋3χ)．解析：f(χ)＝χe3χ，f′(χ)＝e3χ＋3χe3χ＝e3χ(1＋3χ) 知识模块：微积分11．(11年)曲线tan(χ＋y＋)＝ey在点(0，0)处的切线方程为_______．正确答案：y＝－2χ解析：等式tan(χ＋y＋)＝ey两端对χ求导得sec2(χ＋y＋)(1＋y′)＝eyy′将χ＝0，y＝0代入上式得2[1＋y′(0)]＝y′(0) y′(0)＝－2 故所求切线方程为y＝－2χ知识模块：微积分12．(12年)设函数f(χ)＝，y＝f(f(χ))，则＝_______．正确答案：解析：y＝f(f(χ))可看作y＝f(u)，与u＝f(χ)的复合，当χ＝e时u＝f(e)＝由复合函数求导法则知知识模块：微积分13．(13年)设曲线y＝f(χ)与y＝χ2－χ在点(1，0)处有公共切线，则＝_______．正确答案：－2解析：由题设知f(1)＝0，f′(1)＝1．知识模块：微积分14．(14年)设某商品的需求函数为Q＝40－2p(p为商品的价格)，则该商品的边际收益为_______．正确答案：40－4p解析：由题设知收益函数为R＝pQ＝p(40－2p)，则边际收益为＝40－4p 知识模块：微积分15．(88年)设f(χ)＝∫0χdt，－∞＜χ＜＋∞，则(1)f′(χ)＝_______．(2)f(χ)的单调性是_______．(3)f(z)的奇偶性是_______．(4)其图形的拐点是_______．(5)凹凸区间是_______．(6)水平渐近线是_______．正确答案：(1)；(2)在(－∞，＋∞)上单调增；(3)奇函数；(4)(0，0)；(5)在(－∞，0)上凹，在(0，＋∞)下凹；(6)解析：(1)f′(χ)＝；(2)因为f′(χ)＝＞0，则f(χ)在(－∞，＋∞)上单调增；(3)因为f′(χ)＝则f(χ)是奇函数．(4)因为f〞(χ)＝，f〞(0)＝0，且在χ＝0两侧f〞(χ)变号，则(0，0)为拐点；(5)因为当χ＜0时，f〞(χ)＞0．曲线y＝f(χ)上凹，当χ＞0时，f〞(χ)＜0，曲线y＝f(χ)下凹；(6) 则曲线y＝f(χ)有两条水平渐近线知识模块：微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学三（多元函数微分学）模拟试卷5(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设则f(x，y)在(0，0)处( )．A．对x可偏导，对y不可偏导B．对x不可偏导，对y可偏导C．对x可偏导，对y也可偏导D．对x不可偏导，对y也不可偏导正确答案：B解析：因为不存在，所以f(x，y)在(0，0)处对x不可偏导；因为所以f′y(0，0)=0，即f(x，y)在(0，0)处对y可偏导，选(B)．知识模块：多元函数微分学2．设f′x(x0，y0)，f′y(x0，y0)都存在，则( )．A．f(x，y)在(x0，y0)处连续B．C．f(x，y)在(x0，y0)处可微D．正确答案：D解析：多元函数在一点可偏导不一定在该点连续，(A)不对；函数在(0，0)处可偏导，但不存在，(B)不对；f(x，y)在(x0，y0)处可偏导是可微的必要而非充分条件，(C)不对，选(D)，事实上由存在得知识模块：多元函数微分学3．设f(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，且满足则函数f(x，y)在点(0，0)处( )．A．取极大值B．取极小值C．不取极值D．无法确定是否有极值正确答案：A解析：因为根据极限保号性，存在δ>0，当时，有而x2+1一xsiny>0，所以当时，有f(x，y)-f(0，0)则f(x，y)在(0，0)处( )．A．取极大值B．取极小值C．不取极值D．无法确定是否取极值正确答案：A解析：因为所以由极限的保号性，存在δ＞0，当时，因为当时，|x|+y2＞0，所以当时，有f(x，y)＜f(0，0)，即f(x，y)在(0，0)处取极大值，选(A)．知识模块：多元函数微分学填空题5．设z=(x2+y2)xy，则正确答案：z=exyln(x2+y2)则涉及知识点：多元函数微分学6．设f二阶可导，正确答案：涉及知识点：多元函数微分学7．设f二阶可偏导，z=f(xy，z+y2)，则正确答案：涉及知识点：多元函数微分学8．设f(x，y)连续，且f(x，y)=3x+4y+6+ο(ρ)，其中则dz|(1,0)=__________．正确答案：因为f(x，y)连续，所以f(1，0)=9，由f(x，y)=3x+4y+6+ο(ρ)得由可微的定义得dz|(1,0)=3dx+4dy．涉及知识点：多元函数微分学9．设z=f(x，y)二阶连续可导，且f′x(x，0)=2x，f(0，y)=sin2y，则f(x，y)=______，正确答案：由得由f′x(x，0)=2x得φ(x)=2x，即再由得由f(0，y)=sin2y得h(y)=sin2y，故涉及知识点：多元函数微分学10．正确答案：涉及知识点：多元函数微分学11．正确答案：涉及知识点：多元函数微分学12．由x=zey+z确定z=z(x，y)，则dz|(c,0)=__________．正确答案：x=e，y=0时，z=1．x=zey+z两边关于x求偏导得将x=e，y=0，z=1代入得x=zey+z两边关于y求偏导得将x=e，y=0，z=1代入得故涉及知识点：多元函数微分学13．正确答案：则涉及知识点：多元函数微分学14．正确答案：涉及知识点：多元函数微分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。