第五章 多元函数微分学及其应用

多元函数微分法及其应用总结多元函数微分法及其应用是高等数学中一个重要的内容。

多元函数是指自变量有两个或者多个的函数，如z=f(x,y)。

而微分法是研究函数的变化率的一种方法。

本文将对多元函数微分法及其应用进行总结。

1. 多元函数微分法的基本概念多元函数的微分可以分为偏导数和全微分两种形式。

对于多元函数z=f(x,y)，其偏导数表示函数在某一自变量上的变化率，可以记作∂z/∂x，∂z/∂y。

全微分表示函数在所有自变量上的变化率，可以记作dz。

多元函数的微分法有很多性质和定理，如链式法则、高阶偏导数、隐函数定理等。

2. 多元函数的极值与最值利用多元函数微分法，我们可以求多元函数的极值与最值。

对于多元函数z=f(x,y)，其极值、最值的求解步骤大致如下：（1）求函数的偏导数，得到所有的偏导数；（2）令所有的偏导数等于零，求解出关于x和y的方程；（3）求解方程组，得到x和y的解；（4）将解代回原函数，求得z的值；（5）比较求得的z值，得到最大值或最小值。

3. 多元函数的泰勒展开多元函数的泰勒展开是利用多元函数在某一点附近进行近似求解的一种方法。

对于多元函数z=f(x,y)，其泰勒展开公式为：f(x+Δx,y+Δy) = f(x,y) + (∂f/∂x)Δx + (∂f/∂y)Δy + 1/2(∂²f/∂x²)(Δx)² + 1/2(∂²f/∂y²)(Δy)² + (∂²f/∂x∂y)ΔxΔy + O(Δx²,Δy²)这里的O(Δx²,Δy²)表示高阶无穷小，Δx和Δy表示自变量的增量。

4. 多元函数微分法的应用多元函数微分法广泛应用于物理学、工程学和经济学等领域。

具体应用如下：（1）在物理学中，多元函数微分法可以用于描述粒子在空间中的运动轨迹，求解最优路径等问题。

（2）在工程学中，多元函数微分法可以用于建模和优化设计，如求解最优结构、最优控制等问题。

多元函数微分学的应用一、极值问题多元函数微分学最重要的应用之一是求解极值问题。

通过求取函数的偏导数，我们可以找到函数的极值点。

这对于经济学家、物理学家和其他相关领域的研究者来说是非常重要的。

例如，在经济学中，我们可以使用多元函数微分学来确定产品的最优产量和价格，以使利润最大化。

在物理学中，我们可以使用多元函数微分学来优化力学系统的能量和动量。

二、方向导数与梯度方向导数是一个重要概念，它描述了函数在其中一点沿着一些方向的变化率。

梯度是一个向量，它指向函数值增加最快的方向，并且梯度的模表示函数在其中一点的最大变化率。

方向导数和梯度在工程技术中的应用非常广泛。

例如，在机器学习中，我们可以使用梯度下降算法来优化模型的参数，以最小化损失函数。

三、偏微分方程偏微分方程是描述自然现象的重要数学工具，包括热传导、扩散、波动等。

多元函数微分学为解偏微分方程提供了重要的数学基础。

通过偏微分方程的分析解或数值解，我们可以深入了解自然现象的行为和性质。

例如，在工程技术中，我们可以使用多元函数微分学来解决电磁场、弹性力学和流体力学等方面的问题。

四、约束优化约束优化是指在满足一定条件下找到使目标函数最大或最小的参数的问题。

多元函数微分学是解决约束优化问题的重要工具。

通过拉格朗日乘数法，我们可以将约束优化问题转化为无约束优化问题，并应用多元函数微分学的方法求解。

约束优化问题在经济学、运筹学和供应链管理等领域有着广泛的应用。

例如，在经济学中，我们可以使用约束优化来确定消费者的最优选择。

五、多元函数积分学多元函数微分学与多元函数积分学是紧密相关的。

多元函数微分学提供了计算多元函数导数的方法，而多元函数积分学则通过对函数的积分来研究函数的整体性质。

应用多元函数积分学，我们可以计算多元函数在其中一区域上的平均值、总值和概率密度等。

多元函数积分学在统计学、物理学和金融工程学等领域有广泛的应用。

例如，在统计学中，我们可以使用多元函数积分学来计算多维随机变量的期望和方差。

（3）连续、偏导数存在和可微之间的关系在点处连续、偏导数存在、可微、存在连续的偏导数之间的关系是：在点处存在连续的偏导数在点处可微在点处连续在点处偏导数存在.3、多元复合函数求导法（1）一元函数与多元函数复合的情形如果函数及都在点可导，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在点可导，且有．（2）多元函数与多元函数复合的情形如果函数及都在点具有对及对的偏导数．函数在对应点具有连续的偏导数，则复合函数在点的两个偏导数存在，且有，．这里有两个自变量和两个中间变量，随着自变量个数与中间变量个数的变化，链导法公式也因之而异，但如果能搞清楚复合函数结构中哪些是自变量，哪些是中间变量以及它们的个数，则就抓住了复合函数求导的关键.如果自变量只有一个，不论中间变量的个数是多少，所求得的导数就是全导数.值得注意的是，对自变量兼作中间变量的情形，求导时往往容易弄混.例如下面的情形：，则复合函数对，的偏导数为，．这里与是不同的，是将复合函数中的看成不变而对的偏导数，是把中的及都看成不变而对的偏导数．与也有类似的区别．读者如能领会此点，就不难正确理解公式中的偏导符号的意义了.4、隐函数的求导公式（1）若是由方程所确定的一元隐函数.则且．（2）若是由方程所确定的二元隐函数.则.求隐函数的一阶导数或偏导数时，首先要认清公式中或中哪个为自变量，哪个为因变量，然后套用公式，值得注意的是，求二阶偏导数不能用上面的公式.5、偏导数的应用（1）偏导数的几何应用①设空间曲线方程为 .则曲线上点处的切线方程为法平面方程为.②空间曲线的方程为.则曲线在点处的切线方程为，法平面方程为．③空间曲线为则曲线在点处切线方程为.法平面方程为．④若曲面方程为.则在点的切平面方程为法线方程为.⑤曲面方程为．则曲面在点处的切平面方程．在点处的的法线方程为．（2）偏导数在经济上的应用主要表现为求边际成本、边际利润和交叉弹性，读者应注意其内在的经济意义.6、方向导数与梯度一般地，方向导数是单侧的，偏导数是双侧的，如函数沿着方向的方向导数存在，但不存在.若在点可微，则在该点它沿任何方向的方向导数均存在，且=（其中，分别为与轴和轴正向的交角，为的方向余弦）且，.梯度是一个向量，梯度的方向是方向导数变化最快的方向，梯度的模为方向导数的最大值.7、多元函数的极值（1）多元函数极值的概念与一元函数完全一样，函数在一点取得极值的含义就是必须大于（或小于）它在的某个邻域上的所有值，只是一元函数中的邻域是一维的区间，而二元函数是二维平面区域.可导函数在取得极值的必要条件是，．由于它们仅仅是必要条件，所以满足，的点不一定是极值点，但是可以肯定，凡不满足这两个条件的点就一定不会是极值点.换句话说，即这两个条件虽然不能用来肯定极值点，但却可起到筛选极值点的作用.因此，我们又引出驻点概念，并给出判定极值点的充分条件.（2）多元函数最值与拉格朗日乘数法在实际问题中，需要我们解决的往往是求函数在特定的有界闭区域上的最大值与最小值.我们知道，在有界闭区域上连续函数必有最大值与最小值，它们既可以在闭域内部取得，也可在边界上取得.与一元函数一样，如果在闭域内取得，则它一定也是极大值或极小值.值得注意的是，函数的最大值或最小值也可在函数不可导的点处取得.例如函数在原点处不可导，但它在原点得最大值1. 因此，求连续函数在有界闭域上的最大值、最小值的方法是：①计算出函数在区域内所有驻点、不可导的点（即所有的临界点）处的值；②将①中的这些值与区域边界上函数的最值一起加以比较，其中最大者就是最大值，最小者就是最小值.③在求最大、最小值的实际问题中，目标函数的各自变量之间往往还有附加的约束条件，这就形成了条件极值的概念.一般说来，条件极值问题可以化为无条件极值问题来处理，方法是利用约束条件将目标函数中多余的自变量消去，使之成为求另一个新的目标函数的无条件极值问题.但这种转化往往有一定的困难，这时我们可引入所谓拉格朗日乘数，它与目标函数及约束条件中的函数构成拉格朗日函数，把其中的乘数也看成是一个变量，然后按无条件极值写出求极值的必要条件，由此即可得到一组求解驻点的联立方程组：拉格朗日乘数法的优点在于引进了拉格朗日乘数后，可以把中的变量都当作自变量，然后按无条件极值写出形式完全对称的必要条件.因此，这个方法还便于推广到有多个约束条件的情形.。

第九章多元函数微分法及其应用一、基本要求及重点、难点1. 基本要求(1)理解二元函数的概念，了解多元函数的概念。

(2)了解二元函数的极限、连续性概念，有界闭域上连续函数的性质。

(3)理解偏导数和全微分的概念，熟练掌握偏导数的计算，了解全微分存在的必要条件和充分条件。

(4)了解方向导数与梯度的概念及其计算方法。

(5)掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。

(6)会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数（主要是一阶）。

(7)了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线、并会求出它们的方程。

(8)理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值。

了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。

2. 重点及难点（1）重点：多元函数概念，偏导数与全微分概念，偏导数计算，微分在几何上的应用，多元函数的极值的计算。

（2）难点：二重极限的定义与计算，多元函数连续；偏导数存在与可微之间的关系；复合函数的高阶偏导数；方向导数、偏导数、梯度之间的关系。

二、内容概述多元函数微分学是一元函数微分学的推广，因此两者之间有许多相似之处，但是要特别注意它们之间的一些本质差别。

1.多元函数的极限和连续(1)基本概念1)点集和区域。

2)多元函数的定义、定义域。

3)二元函数的极限、连续。

(2)基本定理1)多元初等函数在其定义域内是连续的。

2)多元连续函数在有界闭区域上一定有最大值M、最小值m；且必取到最大值M和最小值m之间的任何值。

2.多元函数微分法(1)基本概念偏导数、全微分、高阶偏导数的定义。

(2) 计算方法1) 偏导数：),(y x f z =在),(00y x 处对x 的偏导数x x xz =∂∂，就是一元函数),(0y x f z =在0x x =处的导数；对y 的偏导数x x xz =∂∂（同理）。

2) `全微分：),(y x f z =的全微分dy yzdx x z dz ∂∂+∂∂=3) 复合函数求导法则：画出函数到自变量的路经，然后利用链式迭加法则：即同条路经的偏导数相乘，不同路经的偏导数相加，求出所要的偏导数。

第五章多元函数微分学知识点拔5.1 多元函数的概念一、二元函数的概念1、二元函数的定义设在某一变化过程中，有三个变量x, y和z，如果对于变量x, y在某一范围D内任取一对数值，按照一定的对应法则，总有一个确定的值z与它对应，则称变量z是变量x,y的二元函数，记作：z f (x, y)或z z(x, y)，其中x, y称为自变量，z称为因变量或称为x, y的二元函数，变量x, y取值范围D称为该函数的定义域.2、二元函数的几何意义二元函数z f (x, y)在几何上一般表示空间直角坐标系中的一个曲面•二、二元函数的极限1、二元函数极限的定义设二元函数z f(x,y)在点P o(x o,y o)的某去心邻域内有定义，如果动点P(x,y)在该邻域内以任何方式无限地趋于点P0(x o,y。

)时，函数f (x,y)总是无限地趋于一个常数A，则称A是函数z f (x, y)在P(x, y)趋于P o(X o,y o)时的极限(也称二重极限) ，记作lim f (x, y) A或x X oy y o lim f (x, y) A，若记点P(x, y)与点P o(X o，y o)之间的距离为(x,y) (x o,y o)| PP) | .. (x X o)2(y y o)2，则有lim o f (x, y) A •注释：(1)极限的几何意义：当P(x,y)在P o(x o,y o)附近的某个范围内变化时，函数值f (x,y)与常数A的距离恒小于任意给定的正数；(2)二元函数极限存在是指：动点P必须以任意方式趋于点P o时，f (x, y)都无限趋于常数A，则二元函数的二重极限存在，但即使动点P沿过P o的无穷多条路径趋于P o时极限都等于例1求下限极限\17 1mooH X y2X os ( clim 2 x 0 x 2 y 0 x(3)lim0-^x L1 ~~r~ xlim 丄厂1；0xy(x y 2)(1)令r cosrsin，则0,0时,x 2lim^x 0 y 02y 2)1 (x cos(x 2y 2) 2…2)3/2 limr 0r 2(1 sin 2)(1 3 rcosr 2)r 2(1 .2sin limr 02 2)专 1lim 2 r 0r 3(1・2sin)，因1sin 2 2，所以 lim r 3(1r 0.2sin0，故原极限 0.(2)由于2x y 2 2x y1 12x，而y 0 20，所以根据夹逼定理，得A ，也不能说明P P o 时，f(x,y) A(3)二元函数极限不存在的判定方法：如果当点P(x, y)以两种不同的方式趋于点F 0(x 0,y 0)时，函数f(x,y)分别趋于不同的常数，则可以断定函数2f(x,y) ： 丫2,当动点沿无穷多条直线yx y2、二重极限不存在的判定方法当点P 沿两种不同的路径趋于定点 P 0时，极限存在但不相等或沿某条路径点P 趋于P 0点极限不存在时，则二重极限不存在3、求二元函数极限的常用方法求二元函数极限(即二重极限)的方法有：(1 )利用函数连续的定义及初等函数的连续性;(3)利用有界函数与无穷小量乘积的性质；o(0,0)时其二重极限不是0，因为当P 沿曲线yx 2趋于点 o(0,0)时，f(x, y)f(x, y)在点P °(X 0, y °)处的极限不存在。

多元函数微分学及其应用归纳总结一、多元函数的微分与偏导数1. 多元函数的微分定义为函数在其中一点上的线性逼近。

对于二元函数，微分为 dz=f_x*dx+f_y*dy，其中 f_x 和 f_y 分别为函数的偏导数。

对于一般的 n 元函数也可类似定义。

2.多元函数的偏导数表示函数沿着其中一个变量的变化率。

对于二元函数f(x,y)，其偏导数f_x表示x方向上的变化率，f_y表示y方向上的变化率。

一般而言，当存在偏导数且连续时，函数在该点可微分。

3.偏导数的计算方法与一元函数相似，利用极限的定义求出偏导数表达式，对于高阶偏导数，可以反复求导。

4.混合偏导数表示函数在二个或二个以上变量上求偏导数后再对另外一个或另外几个变量求偏导数，其次序不影响结果。

二、多元函数的求导法则1. 多元函数的和、差、常数倍法则：设函数 f 和 g 在其中一点连续可导，则(f±g)'=f'±g'，(kf)'=kf'。

2.多元函数的乘积法则：设函数f和g在其中一点连续可导，则(f·g)'=f'·g+g'·f。

3.多元函数的商法则：设函数f和g在其中一点连续可导且g不为零，则(f/g)'=(f'·g-g'·f)/g^24. 复合函数求导法则：设函数 y=f(u) 和 u=g(x) 在其中一点可导，则复合函数 y=f(g(x)) 的导数为dy/dx=f'(u)·g'(x)，其中 x 和 u 为中间变量。

三、多元函数的极值与梯度1.多元函数的极值包括极大值和极小值。

在二元函数中，极值的必要条件为偏导数为零，充分条件为偏导数存在且满足一定条件。

2.多元函数的梯度是一个向量，其方向与函数在其中一点上变化最快的方向一致，大小表示变化率的大小。

梯度为零的点可能为极值点。

多元函数微分学的几何应用一、多元函数微分学多元函数微分学是微积分的一个分支，研究的是多个自变量的函数的导数、微分和全微分等概念。

与一元函数微分学不同的是，多元函数在求导时需要通过偏导数来计算，而全微分可以看做多元函数在某一点上的线性近似。

多元函数微分学在实际生活中有着广泛的应用，尤其是在几何学方面。

二、几何应用1. 向量场和梯度向量场是一个函数与向量的映射关系，在几何学中经常用于描述速度场、磁场等。

其中，梯度是向量场的一个重要概念。

梯度表示在某一点上函数变化增加最快的方向。

例如，在平面上的某一点上，一个函数的梯度表示了函数值增加最快的方向及增加的速率。

2. 方向导数和梯度的应用方向导数表示函数在某一点上沿着某一给定方向上的导数。

在平面几何中，方向导数可以用来求解曲面的切平面方程。

具体来说，可以通过梯度和方向向量的点积计算出方向导数，从而得到曲面上某一点的切平面方程。

3. 曲面积分曲面积分是对曲面上的函数进行积分，类似于线积分。

在计算曲面积分时，需要用到曲面的面积元素，这里面积元素的计算需要用到微积分中的偏微分。

具体来说，可以通过将曲面分成小的面元，计算每个面元的面积和函数值，然后将它们累加起来，从而得到曲面上的积分值。

4. 极值和拐点在多元函数中，类似于一元函数中的极值和拐点的概念。

在平面几何中，可以将这些概念应用于曲线的局部特征的分析中。

通过极值和拐点的计算，可以得到曲线上的最大和最小值，以及拐点的位置和拐点的类型等信息。

总之，多元函数微分学在几何学中有着广泛的应用。

通过对向量场、梯度、方向导数、曲面积分、极值和拐点等概念的研究，可以深入分析曲线、曲面的本质特征和局部特征，从而为实际问题的求解提供了精确的数学工具。

多元函数微分学的应用一、多元函数微分学在物理学中的应用多元函数微分学在物理学中有重要的应用，可以用于描述和分析物体的运动和力学性质。

例如，当我们研究一个物体在空气中自由落体的过程时，可以通过建立物体的位置、速度和加速度之间的多元函数关系来描述物体的运动规律。

通过对这个多元函数进行微分，我们可以计算出物体的速度和加速度，并进一步研究物体的运动轨迹和运动的特性。

二、多元函数微分学在工程技术中的应用工程技术领域广泛应用多元函数微分学，其中一个重要的应用是工程优化。

通过建立多元函数模型，可以描述工程系统的性能与各种因素之间的关系，例如工程结构的刚度、强度和稳定性与材料、尺寸和几何形状等因素之间的关系。

通过对这些多元函数进行微分，可以找到使性能最优化的设计变量组合，从而优化工程系统的设计。

三、多元函数微分学在经济管理中的应用多元函数微分学在经济管理中也有广泛的应用，可以用于分析和优化经济系统的运行和决策问题。

例如，在经济学中，我们可以建立多元函数模型来描述生产函数、成本函数和效用函数等与经济生产和消费相关的关系。

通过对这些多元函数进行微分，可以分析生产效率、最小化成本和最大化效用的最优决策策略，从而实现经济系统的优化和管理。

四、多元函数微分学在生物学中的应用多元函数微分学也被广泛应用于生物学领域，可以用于描述和分析生物系统中的各种生物过程和生物现象。

例如，在生态学中，我们可以建立多元函数模型来描述种群数量与环境因素之间的关系。

通过对这些多元函数进行微分，可以研究种群的增长速率、极限状态和稳定性等生态学性质，从而深入理解和预测生态系统的动态演化。

总之，多元函数微分学具有广泛的应用领域，可以用于自然科学、工程技术和经济管理等各个领域中的建模、优化和解决实际问题。

通过对多元函数的微分，我们可以深入理解各种系统和过程的特性和规律，从而实现对这些系统和过程的优化和控制。