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余角和补角的概念怎么余角和补角是数学中一对重要的概念，它们与角度的关系密切相关。
在解决角度问题和角度关系时，理解和应用余角和补角的概念是非常重要的。
首先，我来介绍一下"余角"的概念。
余角是指一个角与直角的差角。
具体来说，如果一个角度为α，那么它的余角就是90度减去α。
余角通常用α的α表示，余角可以理解为与原角相加等于直角度数90度的角。
余角的定义简明直观，使得我们在求解角度问题中可以更加方便和灵活地运用。
在数学中，余角与原角有着十分重要的关系。
首先是余角的和等于直角。
如果α是角度，那么α和其余角α之和等于90度，即α+α=90度。
这一性质可以通过直角三角形的两个锐角的关系来很容易地理解。
因为直角是一个90度角，那么一定可以找到一个余角使得与原角的和为90度。
另外，余角还具有一些其他有趣的性质和关系。
首先，对于任意角α，其余角α的余角也就是α本身。
这是因为α等于90度减去α的余角，即α=α的余角的余角。
这一性质可以通过代入原角度进行简单的计算得出。
其次，如果两个角的和等于90度，那么它们互为余角。
也就是说，如果α+β=90度，那么α是β的余角，同时β也是α的余角。
这一性质可以通过等式变形和代入进行验证。
根据这个性质，当我们知道一个角的余角时，就可以很容易地得到另一个角的度数。
再来介绍一下"补角"的概念。
补角是指两个角的和为直角的角度。
具体来说，如果一个角度为α，那么它的补角就是90度减去α。
补角是一个相对于原角的角度，其和为90度，即α+α=90度。
补角的定义与余角的定义相似，但它们的表达方式略有不同。
补角与余角之间也有一些重要的关系。
首先，补角的和等于直角。
如果α是角度，那么α和其补角α之和等于90度，即α+α=90度。
这一性质与余角的和等于直角是类似的，只是表达方式稍有不同。
与余角类似，补角之间也存在一些有趣的关系。
首先，同一个角的补角也就是它本身。
这是因为互为补角的角度和为90度，所以它们互为补角的角度的补角等于它们本身。
《4.3.3 余角和补角》第2课时教学设计教学目标：1、通过探究，掌握并理解互为余角、互为补角的性质，并能简单应用。
2、通过互为余角、互为补角的性质的探究，逐步培养学生简单的推理能力，逻辑思维能力，渗透数形结合思想。
4、让学生进一步体会数学源于生活，并应用了日常生产和生活，激发学生学习几何的热情和敢于探索、追求真理的科学态度。
教学重点：余角和补角的概念教学难点：余角和补角的性质教学过程：一、自学与导学：1、通过生活中打台球的实际例子和学生讨论余角和补角概念创设情境，引出新知如左图所示，打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1=∠2.这个问题可以简单地表示为右图.其中∠EDC=90º，那么各个角与∠1有什么关系？12AC BE D F12有的角与∠1的和等于90º，例如（）∠ADC有的角与∠1的和等于180º，例如（）∠ADF如果两个角的和等于90º（直角），就说这两个角互为余角，即其中每一个角是另一个角的余角.如果两个角的和等于180º（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角.应用定义解决问题（3）图中给出的各角中，哪些互为余角？哪些互为补角？解释定义中的互为的意思1.定义中的“互为”是什么意思？即每一个角都是另一个角的余角（补角）2.把下图中∠1与∠ADF 分离并多次变换位置，如图，这两角还是互为补角吗？二|、推导理解得出余角、补角性质(1)已知∠1与∠2，∠3都互为补角.那么∠2和∠3的大小有什么关系？由∠1与∠2和∠3都互为补角，那么 ∠2＝180º－∠1，∠3＝180º－∠1，所以∠2＝∠3.(2)已知∠1与∠2互补，∠3与∠4互补.若∠1＝∠3，那么∠2和∠4 相等吗？为什么？由∠1与∠2互补，得∠1＋∠2＝180º，所以 ∠2＝180º－∠1.由∠3与∠4互补，得∠3＋∠4＝180º, 所以∠4=180º－∠3.又因为∠1＝∠3，180º－∠1＝180º－∠3，123 4所以∠2＝∠4.得出余角和补角的性质：等角（同角）的补角相等.对于余角是否也有类似性质？等角（同角）的余角相等.运用性质解决问题例如图，A，O，B在同一直线上,射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，图中哪些角互为余角？解：因为A，O，B在同一直线上,所以∠AOC和∠BOC互为补角.又因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC∠BOC，所以∠COD +∠COE＝1/2 ∠AOC+1/2 ∠BOC＝1/2(∠AOC+∠BOC)＝90°所以，∠COD 和∠COE互为余角，同理，∠AOD +∠BOE，∠AOD +∠COE ，∠COD +∠BOE也互为余角性质运用：（1）若∠1与∠2互余，∠2与∠3互余，则_____＝______，根据是＿＿＿＿＿＿＿＿.(2)若∠3与∠4互补，∠6与∠5互补，且∠3＝∠6, 则_____＝______，根据是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.练习：（1）一个角是70º39′，求它的余角和补角.（2）∠α的补角是它的3倍，∠α是多少度？（3）一个角是钝角，它的一半是什么角？小结：1余角和补角的概念2余角和补角性质作业：1.课本第140页7题，8题，第141页11题，12题，13题.2.∠α的余角是它的3倍，∠α是多少度？。
4.3.3 余角和补角学习目标:1、认识一个角的余角与补角，并能熟练求出一个角的余角和补角。
2、经历探究余角和补角的性质，并会用其性质解决一些简单的问题。
学习重点：互余、互补定义及它们的性质。
学习难点：余角与补角的性质及其运用。
学习过程： 一、自主学习1、 在一副三角板中同一块三角板的两个锐角和等于 度。
2、若∠1=60.5°,∠2=29.5°，则∠1+∠2= 。
3、如上左图，已知点A 、O 、B 在一直线上 ，∠COD=90°，那么∠1+∠2= 。
4、若∠1=115°，∠2=65°,则∠1+∠2=5、如上右图，已知点A 、O 、B 在一直线上 ，∠AOC=150°，那么∠BOC= . 二、探究新知 归纳: 1、余角的定义如果 个角的和等于 ，就说这 个角 余角，简称 。
其中一个角是另一个角的 。
即 如果∠α+∠β= ，那么∠α和∠β互为 。
反之：如果∠α与∠β互为 角，那么∠α+∠β= . 2、补角的定义如果 个角的和等于 ，就说这 个角 补角，简称 。
其中一个角是另一个角的 。
即 如果∠α+∠β= ，那么∠α和∠β互为 。
反之：如果∠α与∠β互为 角，那么∠α+∠β= .90° D COAB12BOAC三、 应用新知 例1 完成下表：α∠045 03640'）（ 900<<x x )9010(1 <∠<∠的余角α∠05306.15的补角α∠03950' 072想一想：同一个角的补角与它的余角之间有怎样的数量关系？例2 若一个角的补角等于它的余角的4 倍，求这个角的度数。
四、发现总结1、若∠1+∠2=090，∠2 +∠3= 90，那么∠1____∠3;如果∠1+∠2= 90，∠3+∠4= 90，且∠1=∠3，那么∠2___∠4;同理，若∠1+∠2= 180，∠2+∠3= 180，那么∠1____∠3;如果∠1+∠2= 180，∠3+∠4= 180，且∠1=∠3，那么∠2_____∠4.总结：等角（或同角）的余角________,等角（或同角）的补角________________. 2、同一个角的余角比它的补角小 。
4.3.3余角和补角教学设计【教学目标】知识与技能：1、理解互为余角、互为补角的概念，会用几何语言表示互为余角和互为补角。
2、在探索中理解余角、补角的性质，并能够运用其解决数学问题。
过程与方法：1、尝试从实际情景中处理信息，在观察、猜想、说明过程中体会数学思考过程中体会数学思考过程的层次性和表述的严谨性。
2、几何中数与形的特殊对应关系，尝试从实际情境中处理信息，形成数学思维。
情感态度与价值观：在共同活动中培养数学兴趣和合作学习能力，在探索过程中形成实事求是的态度和勇于探索的精神。
【教学重点】认识角的互余、互补关系及其性质。
【教学难点】特殊图形中的识别与性质应用。
【教学准备】课件、三角尺。
【教学过程】一、复习旧知引入课题1、角的定义2、角的比较3、角的计算4、角的平分线单独的一个角在同学们的共同研究下，逐步从不同角度认识了一个角，那么我们今天要研究的内容是关于两个角之间特殊数量关系：4.3.3余角和补角二、合作学习探究新知（一）余角和补角概念。
让学生观察意大利著名建筑比萨斜塔。
（比萨斜塔建于1173年，工程曾间断了两次很长的时间，历经约二百年才完工。
170︒120︒100︒150︒80︒10︒30︒60︒设计为垂直建造，但是在工程开始后不久便由于地基不均匀和土层松软而倾斜。
）1、探究互为余角的概念。
如果两个角的和是90°(直角)，那么称这两个角互为余角，其中一个角是另一个角的余角。
即:∠1是∠2的余角或∠2是∠1的余角。
2、用符号语言表述两个角互为余角。
3、探究互为补角的概念。
如果两个角的和是180°(平角)，那么称这两个角互为补角，其中一个角是另一个角的补角。
即:∠3是∠4的补角或∠4是∠3的补角。
4、用符号语言表述两个角互为补角。
5、练习[1]下列各角，哪些互为余角，哪些互为补角？[2]你问我答 游戏规则如下：四人一组，其中一个同学任意说出一个0o —180o 之间的角，并说明你想 知道是它的余角或补角，另外三个同学抢答。
余角和补角的定义和性质
什么是余角和补角：
余角和补角是两个平行四边形中两个角间的性质，在一条平行四边形中，所有相邻的两个角相加总和为360°，其中有一个角称为余角，另外一个角称为补角。
余角的性质：
余角是平行四边形中所有相邻的两个角相加，余出的那个角，余角小于180°，在正六边形、正八边形、正十边形等多边形中，所有的角都是余角。
补角的性质：
补角是平行四边形中所有相邻的两个角相加，补到360°的那个角，补角大于180°，在正六边形、正八边形、正十边形等多边形中，所有的角有一个是补角。
余角和补角的关系：
余角与补角是平行四边形中一种互补的关系，它们的总和总是等于360°。
例如，如果一个角为100°，它的余角是100°，它的补角就是260°；如果一个角是240°，它的补角就是240°，它的余角就是120°。
余角和补角是平行四边形中两个相邻角之间的性质，它们的总和等于360°，其中一个角被称为余角，另一个角被称为补角，余角小于180°，而补角大于180°，它们之间有着一种互补的关系。
4．3.3第1课时余角和补角教学目标：1、知识与技能：在具体的现实情境中，认识一个角的余角和补角，掌握余角和补角的性质；2过程与方法：通过探究活动，使学生明白余角和补角的性质；3、情感态度与价值观：培养学生的分析推理能力，激发学生的学习兴趣。
教学重点：使学生认识角的互余、互补关系及其性质．教学难点：通过简单的推理，引导学生归纳出余角、补角的性质，并能用规范的语言描述性质．教学方法：讲授法、推理法、合作探究法教具准备：多媒体课件教学过程：一：创设情境，导入新课1．用量角器量出图中的两个角的度数，并求出这两个角的和．2．说出一副三角尺中各个角的度数．二：探究新知1．余角和补角的概念师：在一副三角尺中，每块都有一个角是90°，而其他两个角的和是90°，一般情况下，如果两个角的和等于90°(直角)，我们就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角．类似地，如果两个角的和是180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．2．余角和补角的性质(1)∠1与∠2，∠3都互为补角，∠2和∠3的大小有什么关系？(2)如果∠1与∠2，∠3都互为余角，∠2和∠3的大小又有什么关系？学生分组讨论，交流，说出各自的理由，可由两个同学板演解题步骤，然后师生共同归纳余角和补角的性质．同角(或等角)的补角相等．同角(或等角)的余角相等．这里要让学生多讨论，学生对推理论证还不理解，但通过学生的探究与讨论，借助等式的性质可以得到上面的结论，通过学生板演出现的问题，教师重新规范，使学生初步掌握几何证明的一般步骤．三：巩固新知例3：如图，点A，O，B在同一直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，图中哪些角互为余角？学生交流讨论后，师生共同解答，注意做题步骤的规范．解：因为点A，O，B在同一直线上，所以∠AOC和∠BOC 互为补角．又因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，所以∠COD＋∠COE＝12∠AOC＋12∠BOC＝12(∠AOC＋∠BOC)＝90°.所以，∠COD和∠COE互为余角，同理∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，∠COD和∠BOE也互为余角．讲解过程中要注意引导学生找出所有互余的角，不漏掉任何一组，从而更好的理解互余的意义．四：课堂反馈：教材139页练习2，3，4题．五：课堂小结：谈谈你本节课的收获．（1）小组内总结本节课在知识上，能力上或其他方面有哪些收获？（2）小组间互评或展示，查缺补漏。
余角、补角、对顶角一、考点讲解：1．余角：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角．2．补角：如果两个角的和是平角，那．么称这两个角互为补角．3．对顶角：如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．4．互为余角的有关性质：①∠1＋∠2=90°，则∠1、∠2互余．反过来，若∠1，∠2互余．则∠1+∠2=90○．②同角或等角的余角相等，如果∠l十∠2=90○，∠1+∠3= 90○，则∠2= ∠3．5．互为补角的有关性质：①若∠A +∠B=180○则∠A、∠B互补，反过来，若∠A、∠B互补，则∠A+∠B＝180○．②同角或等角的补角相等．如果∠A ＋∠C=18 0○，∠A+∠B=18 0°，则∠B=∠C．6．对顶角的性质：对顶角相等．二、经典考题剖析：【考题1－1】已知：∠A= 30○，则∠A的补角是________度．解：150○点拨：此题考查了互为补角的性质．【考题1－2】如图l－2－1，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF 平分∠AOE，∠1＝15○30’，则下列结论中不正确的是（）A．∠2 =45○B．∠1=∠3C．∠AOD与∠1互为补角D．∠1的余角等于75○30′解：D 点拨：此题考查了互为余角，互为补角和对顶角之间的综合运用知识．三、针对性训练：1．_______的余角相等，_______的补角相等．2．∠1和∠2互余，∠2和∠3互补，∠1=63○，∠3=__3．下列说法中正确的是（ ）A ．两个互补的角中必有一个是钝角B ．一个角的补角一定比这个角大C ．互补的两个角中至少有一个角大于或等于直角D ．相等的角一定互余4．轮船航行到C 处测得小岛A 的方向为北偏东32○，那么从A 处观测到C 处的方向为（ ）A ．南偏西32○B ．东偏南32○C ．南偏西58○D ．东偏南58○5．若∠l=2∠2，且∠1+∠2=90○则∠1=___，∠2=___．6．一个角的余角比它的补角的九分之二多1°，求这个角的度数．7．∠1和∠2互余，∠2和∠3互补，∠3=153○，∠l=_8．如图 l －2－2，AB ⊥CD ，AC ⊥BC ，图中与∠CAB 互余的角有（ ）A ．0个B ．l 个C ．2个D ．3个9．如果一个角的补角是150○ ，那么这个角的余角是____________10．已知∠A 和∠B 互余，∠A 与∠C 互补，∠B 与∠C 的和等于周角的13 ，求∠A+∠B+∠C 的度数．11．如图如图1―2―3，已知∠AOC 与∠B 都是直角，∠BOC=59○．（1）求∠AOD 的度数；（2）求∠AOB 和∠DOC 的度数；（3）∠A OB 与∠DOC 有何大小关系；（4）若不知道∠BOC 的具体度数，其他条件不变，这种关系仍然成立吗？。
余角和补角适用学科初中数学适用年级七年级适用区域人教版课时时长（分钟）601、余角和补角的概念及其性质知识点2、方位角1、认识一个角的余角与补角，掌握余角和补角的性质学习目标2、了解方位角，能确定具体物体的方位。
学习重点认识角的互余、互补关系及其性质，确定方位学习难点通过简单的推理，归纳出余角、补角的性质，•并能用规范的语言描述性质学习过程一、复习预习1、余角和补角的概念及其性质（1）余角①如果两个角的和等于90°（直角）就说这两个角互为余角。
其中每一个角是另一个角的余角；②同角或等角的余角相等；（2）补角①如果两个角的和等于180°（平角）就说这两个角互为补角。
其中每一个角是另一个角的补角。
②同角或等角的补角相等2、方位角为了确定物体在地图上的位置，我们把地图分为八个方向，有时以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，表示方向的角（方位角）在航行、测绘等工作中经常用到。
方位角特征：①顶点是测点（即方位标中心）②边，一边是南（北）线，另一边是视线（即方向线）二、知识讲解考点1 余角和补角的概念及其性质（1）余角①如果两个角的和等于90°（直角）就说这两个角互为余角。
其中每一个角是另一个角的余角；②同角或等角的余角相等；（2）补角①如果两个角的和等于180°（平角）就说这两个角互为补角。
其中每一个角是另一个角的补角。
②同角或等角的补角相等考点2 方位角为了确定物体在地图上的位置，我们把地图分为八个方向，有时以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，表示方向的角（方位角）在航行、测绘等工作中经常用到。
方位角特征：①顶点是测点（即方位标中心）②边，一边是南（北）线，另一边是视线（即方向线）三、例题精析考点1 余角和补角的概念及其性质【例题1】【题干】70°的余角是________，补角是_________ .【答案】20°；110°【解析】依据余角和补角的定义直接计算即可考点2 方位角【例题2】【题干】如图，ＯＡ是表示北偏东30°方向的一条射线，仿照这条射线，画出表示下列方向的角：（１）南偏东25°（２）北偏西60°【答案】解：如图所示，OB表示南偏东25°，OC表示北偏西60°，【解析】根据方向角的表示方法画出图形即可．四、课堂运用【基础】1、已知∠α=50°，则∠α的补角等于______度．2、如图5所示，下列说法中错误的是（）图5【巩固】1、已知：如图所示，AB⊥CD，垂足为点O，EF为过点O•的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是（）A．相等B．互余C．互补D．互为对顶角2、如下图所示，下列说法错误的是（）A．射线OA表示正南方向B．射线OB表示北偏东45°方向C．射线OC表示北偏西30°方向D．射线OD表示南偏西30°方向【拔高】1、一个角的补角与这个角的余角的和比平角少10°，求这个角．2、如图所示，一艘船从A点出发，沿东北方向航行至B，再从B点出发沿南偏东15°方向航行至C点，则∠ABC等于多少？课程小结。
