【学案】 余角和补角的性质

《余角和补角》导学案一、学习目标1、理解余角和补角的概念。

2、掌握余角和补角的性质，并能运用其解决简单的几何问题。

3、培养观察、分析和推理能力，体会数学在实际生活中的应用。

二、学习重点1、余角和补角的概念。

2、余角和补角的性质。

三、学习难点余角和补角性质的应用。

四、知识回顾1、角的度量单位：度、分、秒。

2、直角的度数为 90°。

五、新课导入在生活中，我们常常会遇到一些与角的数量关系有关的问题。

比如，在一幅三角板中，有两个角的度数之和等于 90°，而在一些图形中，两个角的度数之和等于180°。

那么，这些角之间有着怎样的特殊关系呢？今天我们就来学习余角和补角。

六、余角的概念如果两个角的和等于 90°（直角），就说这两个角互为余角，简称互余。

其中一个角是另一个角的余角。

例如，若∠1 ＋∠2 ＝ 90°，则∠1 与∠2 互为余角，∠1 是∠2 的余角，∠2 也是∠1 的余角。

练习 1：已知∠A ＝ 20°，则∠A 的余角为多少度？解：因为互为余角的两个角的和为 90°，所以∠A 的余角＝ 90° 20°＝ 70°七、补角的概念如果两个角的和等于 180°（平角），就说这两个角互为补角，简称互补。

其中一个角是另一个角的补角。

例如，若∠3 ＋∠4 ＝ 180°，则∠3 与∠4 互为补角，∠3 是∠4 的补角，∠4 也是∠3 的补角。

练习 2：已知∠B ＝ 110°，则∠B 的补角为多少度？解：因为互为补角的两个角的和为 180°，所以∠B 的补角＝ 180°110°＝ 70°八、余角和补角的性质1、同角（或等角）的余角相等。

2、同角（或等角）的补角相等。

证明性质 1：已知∠1 ＋∠2 ＝ 90°，∠1 ＋∠3 ＝ 90°则∠2 ＝ 90°∠1，∠3 ＝ 90°∠1所以∠2 ＝∠3证明性质 2：已知∠4 ＋∠5 ＝ 180°，∠4 ＋∠6 ＝ 180°则∠5 ＝ 180°∠4，∠6 ＝ 180°∠4所以∠5 ＝∠6练习 3：已知∠7 与∠8 互余，∠8 与∠9 互余，求证∠7 ＝∠9证明：因为∠7 与∠8 互余，所以∠7 ＋∠8 ＝ 90°因为∠8 与∠9 互余，所以∠8 ＋∠9 ＝ 90°所以∠7 ＝ 90°∠8，∠9 ＝ 90°∠8所以∠7 ＝∠9练习 4：已知∠10 与∠11 互补，∠11 与∠12 互补，求证∠10 ＝∠12证明：因为∠10 与∠11 互补，所以∠10 ＋∠11 ＝ 180°因为∠11 与∠12 互补，所以∠11 ＋∠12 ＝ 180°所以∠10 ＝ 180°∠11，∠12 ＝ 180°∠11所以∠10 ＝∠12九、余角和补角的应用1、在几何图形中，通过寻找余角和补角来求解角的度数。

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余角和补角教案1[教学目标]1、在具体情境中认识余角和补角的概念，并会运用解题；2、经历观察、操作、探究、推理、交流等活动，发展学生的空间观念，培养学生的推理能力和有条理的表达能力；3、体验数学知识的发生、发展过程，敢于面对数学活动中的困难，建立学好数学的信心。

[教学重点与难点]1、教学重点：互为余角、互为补角的概念；2、教学难点：应用方程的思想解决有关余角和补角的问题。

[教学准备]多媒体课件、纸板、三角尺[教学过程]一、情境引入1、带领同学们领略意大利的比萨斜塔的壮观景象，并思考：斜塔与地面所成的角度和它与竖直方向所成的角度相加为多少度？（课件演示）2、（动手操作1）拿出一个直角纸板，将直角剪成两个角，∠1和∠2，问：∠1和∠2的和为多少度呢？∠1+∠2=90°，我们把具有这种关系的∠1、∠2称为互余，其中∠1叫做∠2的余角，∠2叫做∠1的余角。

请同学们根据老师的演示试着说出余角的定义。

（设计意图：通过比萨斜塔的现实情境和剪纸这一实际操作引出余角概念，既调起学生的兴趣，又直观易懂。

）二、新知探究1、余角的定义：如果两个角的和为90°（直角），我们就称这两个角互为余角，简称互余。

2、（动手操作2）（1）拿出和的两个角的纸板拼成一个直角，问：“这两个角互余吗？”把其中一个角移开，“这两个角还互余吗？”注意事项1：两角互余只与度数有关，与位置无关。

兴东中学七年级数学《余角和补角》学案（51）学习目标：1、掌握余角与补角的定义，并根据定义进行简单的应用； 2、探究余角和补角的性质，并会用其性质解决一些简单的问题。

学习重点：互余、互补定义及它们的性质。

学习难点：余角与补角的性质，以及在图形中找出互余与互补的角。

学习过程：一、自主学习1、若∠1=65°,∠2=25°，则∠1+∠2=。

2、如右图直角三角形ABC 中，∠C=90°，∠A+∠B=。

3、如右图，长方形ABCD 中，∠ABD+∠DBC=。

（第2题）4、若∠1=135°,∠2=45°，则∠1+∠2=。

5、如右图，∠α+∠β=。

（第5题） 二、探究新知 1、余角的定义两个角的和等于，就说这两个角，简称。

即如果∠1+∠2= ，那么∠1和∠2互为，∠1是∠2的，∠2也是∠1的。

反之：如果∠1与∠2互为余角，那么∠1+∠2=。

2、补角的定义两个角的和等于，就说这两个角，简称。

即如果∠α+∠β= ，那么∠α和∠β互为，∠α是∠β的，∠β也是∠α的。

反之：如果∠α与∠β互为补角，那么∠α+∠β=。

注意：互余、互补①成对出现； ②与两角的位置无关 口诀：余直补平 三、巩固新知α∠450 1350)900(︒<<︒x xα∠的余角 053α∠的补角072想一想：同一个锐角的补角与它的余角之间有怎样的数量关系？训练2、如图，已知点A 、O 、B 在一直线上 ，∠COD=90°，那么∠1+∠2=。

训练3、如图，已知点A 、O 、B 在一直线上 ，∠AOC=150°，那么∠BOC=。

三、发现总结1、余角性质：若∠1+∠2=90，∠3+∠4=90，且∠1=∠3，那么∠2___∠4； 2、补角性质：若∠1+∠2=180，∠3+∠4=180，且∠1=∠3，那么∠2_____∠4。

总结：等角的余角________,等角的补角__________。

数学教案－余角和补角一、教学目标1.了解并掌握余角和补角的概念；2.能够应用余角和补角的性质解决实际问题；3.发展学生的逻辑思维和分析问题的能力。

二、教学重点1.余角和补角的定义；2.通过余角和补角的性质解决问题。

三、教学内容1. 余角的定义和性质余角是指两个角的角度之和为90度的关系。

对于一个角A，它的余角是指与角A的度数之和为90度的另一个角。

余角的度数等于90减去角A的度数。

2. 补角的定义和性质补角是指两个角的角度之和为180度的关系。

对于一个角A，它的补角是指与角A的度数之和为180度的另一个角。

补角的度数等于180减去角A的度数。

3. 应用余角和补角解决问题通过理解和掌握余角和补角的性质，我们可以应用它们来解决一些实际问题。

例如，如果知道一个角的度数，就可以求出它的余角和补角的度数。

又或者，通过已知两个角互为余角或补角的关系，可以求出它们的度数。

四、教学步骤第一步：引入介绍余角和补角的概念，引导学生思考两个角度数之和为90度和180度的关系。

第二步：讲解余角和补角的定义详细讲解余角和补角的定义，示范通过已知一个角度数求其余角和补角的过程，让学生理解概念。

第三步：探究余角和补角的性质让学生自己观察、探索余角和补角的性质，比如余角的度数等于90减去原角的度数，补角的度数等于180减去原角的度数。

第四步：练习提供一些练习题，让学生通过计算求解角的余角和补角，并检查答案。

第五步：应用解决问题给出一些实际问题，要求学生应用余角和补角的概念和性质来解决，培养学生的应用能力和分析问题的能力。

第六步：总结与评价对本节课的内容进行总结，检查学生对余角和补角的掌握情况，并评价学生的学习效果。

五、教学评估通过课堂上的练习和实际问题的解决，评估学生对余角和补角的理解和应用能力。

六、拓展教学对于学习较快的学生，可以引导他们进一步探究余角和补角的性质以及求解更复杂的问题。

同时，可以引导学生应用余角和补角的概念解决其他几何问题。

教学目标知识与技能:1理解余角、补角的概念。

2理解掌握余角和补角的性质;3让学生初步接触和体会归纳演绎推理的方法和表述。

过程与方法:1经历观察、推理、交流等活动,发展学生的空间观念,培养学生的推理能力和有条理的表达能力;2求某角的度数,使学生初步会用简单的代数思想一方程来处理图形的数量关系。

情感态度价值观:1类比余角的概念,同桌合作,自主探索补角的概念及特点的过程中,培养学生合作探究精神。

2体验数学知识的发生、发展过程,敢于面对数学活动中的困难,建立学好数学的自信心。

2学情分析1、从心理特征来说,初中阶段的学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展,观察能力,记忆能力和想象能力也随着迅速发展。

但同时,这一阶段的学生好动,注意力易分散,易发表见解,希望得到老师的表扬,所以在教学中应抓住这些特点,一方面运用直观生动的图象,引发学生的兴趣,使他们的注意力始集中在课堂上;另一方面,要创造条件和机会,让学生发表见解,发挥学生学习的主动性。

2、从认知状况来说,学生在此之前已经学习了线段、射线、直线和角的相关知识及表示方法,,对角已经有了初步的认识,这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础,但对于余角、补角的概念及性质的理解,学生可能会产生一定的困难,所以教学中应予以简单明白,深入浅出的分析。

3重点难点1.互余、互补的概念及其性质.2.图形语言和符号语言之间的相互转化.4教学过程4.1 第3学时4.1.1教学目标知识与技能:1理解余角、补角的概念。

2理解掌握余角和补角的性质;3让学生初步接触和体会归纳演绎推理的方法和表述。

过程与方法:1经历观察、推理、交流等活动,发展学生的空间观念,培养学生的推理能力和有条理的表达能力; 2求某角的度数,使学生初步会用简单的代数思想一方程来处理图形的数量关系。

情感态度价值观:1类比余角的概念,同桌合作,自主探索补角的概念及特点的过程中,培养学生合作探究精神。

2体验数学知识的发生、发展过程,敢于面对数学活动中的困难,建立学好数学的自信心。

余角和补角达成状况班级： _____________姓名： __________________组号： _________学前准备一、回首旧知1．请量出一副三角板各个内角的度数，除了一个直角外，此外两个角有什么关系？预习导航：仔细阅读课本 p137-138 ，你将知道怎样求一个角的余角和补角，而且特别注意余补角拥有什么性质．二、新知梳理1．什么是余角、补角？2．仔细阅读课本P142 内容，达成以下各题。

（1）数目关系：①若∠ A=40°则它的余角∠ B=，若∠ A=x°则它的余角∠ B=；②若∠ C=30°则它的补角∠ D=，若∠ C=x°则它的补角∠ D=。

（2）推理出的性质：①∠ 1 与∠ 2 互余，∠ 3 与∠ 4 互余，若∠ 1=∠ 3，则∠ 2 与∠ 4 有什么数目关系？1324②∠ 1 与∠ 2 互补，∠ 3 与∠ 4 互补，若∠ 1=∠ 3，则∠ 2 与∠ 4 有什么数目关系？三、试一试1．填以下表：∠a∠a的余角∠ a的补角45°62° 23′x°从上边的表格数据你能发现什么结论？2．如图，货轮 O 在航行过程中，发现灯塔 A 在它南偏东 60°的方向上，同时，在它北偏东40°，南偏西 10°，西北 (即北偏西 45°)方向上又分别发现了客轮 B，货轮 C 和海岛 D，模仿表示灯塔方向的方法画出表示客轮 B，货轮 C 和海岛 D 方向的射线。

北西东O60 A南经过预习你还有什么疑惑？讲堂研究一、讲堂活动、记录1．余角与补角的定义是什么？怎样理解“互为”这个词的含义？2．余角与补角的性质分别是什么？要注意什么呢？二、精练反应A 组：1．81° 40的′余角是，补角是。

2．判断：①一个角的余角必定是锐角（）；②若∠ 1+∠ 2+∠3=90°，那么∠ 1，∠ 2，∠ 3 互为余角（）。

余角和补角一、教学目标1．理解互为余角、互为补角的定义．2．掌握有关补角和余角的性质．3．应用以上知识点解决有关计算和简单推理问题．4．通过有关余角、补角性质的推导，初步培养学生逻辑思维和推理能力．5．通过互余、互补角性质的推导，说明事物之间具有普遍的联系性．二、重点·难点（一）重点互为余角、互为补角的角的概念及有关余角、补角的性质．（二）难点有关余角和有关补角性质的推导．三、教学步骤（一）教学过程(第一课时)创设情境，引入课题师：上节课，我们学习了度量，认识了平角和直角，下面请看投影显示图形，见图1及图2：教师演示：在以上两个图形的基础上，利用电脑（或投影），分别过两个角的顶点作活动射线，任意改变射线位置，让学生观察，如下图1及图2：提出问题：射线把平角，直角分别分成了几个角？它们的度数关系如何？（学生容易答出：分成两个角，，．）教师演示：把射线固定一个位置不动，然后把两个图形中的角保持大小不变，拉开，如图1及图2（或拉开更远些，多变换几种位置）．提出问题：与的和还是吗？与的和还是吗？根据学生回答，教师肯定结论：不论、、、的位置关系如何变化，只要大小不变，与的和永远是平角，与的和永远是直角．像这样具有特殊关系的角，我们分别叫它们互为补角和互为余角．这就是我们要学习的角的度量一节中又一新知识．探究新知1．互为余角、互为补角的定义提出问题：你能根据前面老师的演示和说明，叙述一下具有什么关系的两个角叫互为余角和互为补角吗？［板书］互为余角：如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫互为余角．其中一个角叫做另一个角的余角．互为补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角．2．提出问题，理解定义．（投影显示）（1）以上定义中的“互为”是什么意思？（2）若，那么互为补角吗？（3）互为余角、互为补角的两个角是否一定有公共顶点？反馈练习：投影显示教学例1,2(见课件)2．有关互余、互补角的性质师：通过以上练习，我们对互余、互补角的概念有了较深刻的理解，下面我们提出一个新问题，看你们能否解决．投影出示：教师边引导学生叙述边板书出较规范的格式：［板书］∵与互补，∴即．∵与互补，∴即．∵，∴．［板书］同角或等角的补角相等．∵，，∴．提出问题：与互余，与互余，若，那么等于吗？为什么？你由此问题又能得出什么结论？［板书］同角或等角的余角相等．∵，，∴．师：有关余角和补角的性质很有用，以后遇到有同角（或等角）的补角就可以根据这个性质，知道它们都相等．四、布置作业。

《余角与补角的性质》教学设计(七年级下册·第二章第一节)一、【教材分析】1．教学内容本片段内容是北师大版教材《数学七年级〔下〕》第二章《平行线与相交线》的第一节，主要内容是理解余角、补角的性质及运用。

2．地位与作用余角和补角是几何图形初步认识中的重要的组成局部，是学习了直角和平角，角的比较之后引进的概念。

作为实验几何向论证几何的重要过度的重要过程，为以后论证角的相等打下了根底，为培养学生的逻辑思维能力，观察分析能力，归纳总结能力打下根底。

二、【学情分析】1．知识根底：学生已经学习了直角、平角，比较角的大小等有关根底知识，并能用这些知识解决简单问题．2．认知水平和能力：七年级学生具有初步的观察、分析、概括能力，有着一定的学习经验及活动经验，形成了较好的参与意识和合作意识．并能在教师引导下低起点、小步距进行探究．3．任教学生特点：我班学生根底知识较扎实、思维较活泼，能较好地应用所学知识解决问题，但逻辑推理能力和用数学语言进行正确表达的能力还有待进一步提高。

三、【目标分析】〔一〕知识与能力：掌握“同角〔等角〕的余角相等，同角〔等角〕的补角相等〞性质及运用，同时体会演绎推理的能力。

〔二〕过程与方法：通过动手操作、合作交流、类比迁移、走进生活等环节，对余角、补角性质的探究，渗透类比转化、数形结合的数学思想。

〔三〕情感态度与价值观：通过测量破损的彩色扇形零件的圆心角的度数，让学生感受数学来源于生活，生活中处处有数学，体会学习数学的价值．重点：余角、补角的性质。

难点：同角〔等角〕余角、补角性质的探索及应用，体会演绎推理的方法。

四、【教法、学法】〔一〕教师的教法1、讲授法。

通过口头语言，辅助以板书、投影等媒体向学生讲解相关的数学知识点，让学生能在短时间内获得系统的根底知识，初步了解教学目标以及重难点。

2、讨论法。

在教学过程中，由学生合作商量解决疑问，这样在谈论的过程中使学生相互学习。

既发挥了教师的主导作用，又有效地表达学生的主体地位，并且可以加深学生对所学知识的理解。

余角和补角学案目标：在具体的现实情境中，认识一个角的余角和补角，掌握互为余角、互为补角的概念，理解它们的性质。

预习方法：自主 — 合作 — 交流 — 展示预习提纲：一、问题导入如图，是一个放在直线上的直角三角板，它的两个锐角∠CAB 与∠CBA∠ABC 与∠CBD 有什么关系？两个锐角的和等于 角，即两个锐角的和等于 0；∠ABC 与∠CBD 的和等于 0。

今天我们就来讨论具有这种特殊关系的角——余角和补角。

二、余角和补角的概念1、探究互为余角的定义：如果两个角的和等于900（直角），就说这两个角互为余角。

如图，若∠1=230， ∠2=670，∠1与∠2互为余角；若∠AOB=900，∠3与∠4互为余角。

如果两个角的和是180°(平角)，那么这两个角叫做互为补角，其中一个角是另一个角的补角。

如图，若∠5=230， ∠6=1570，∠5与∠6互为补角；若∠AOB=1800，∠3与∠4互为补角。

3、填下列表：重要提醒：互余和互补是两个角的数量关系，与它们的位置无关。

4、若一个角的补角等于它的余角4倍，求这个角的度数。

三、探究补角的性质：12 3 4 AO B2143EO1、如图， ∠1与∠2互补，∠3与∠4互补， ∠1= ∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？分析：（1）∠1与∠2互补，∠2等于什么？∠3与∠4互补，∠4等于什么？∠2=1800 - ，∠4=1800 - 。

（2）当∠1= ∠3时，∠2与∠4有什么关系？为什么？补角的性质：等角的 相等。

四、探究余角的性质：如图∠1 与∠2互余，∠３ 与∠４互余 ，如果∠1什么？(请模仿补角的性质进行说理)上面的结论，用文字怎么叙述？ 余角性质：等角的 相等2： 如图,∠AOB=90°,∠COD=∠EOD=90°,C,O,E 在一条直线上,且∠2=∠4,请说出∠1与∠3之间的关系？并试着说明理由？五、探究对顶角的概念和性质1、用剪子剪东西时，哪对角同时变大或变小？你能说明理由吗？∠ AOC 与∠BOD 一样，两个角有公共的顶点，它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角。