13.5.2 线段垂直平分线优秀教案
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13.5.2 线段垂直平分线导学案
一、【教学目标】：理解线段垂直平分线的性质定理及逆定理,
掌握这两个定理的关系并会用这两个定理解决有关几何问题； 了解线段垂直平分线的证明过程。
结合教学内容培养学生的抽象思维能力。
（学生课后体会）
二、重难点：线段垂直平分线性质定理及逆定理的引入证明及运用；
线段垂直平分线性质定理及逆定理的关系。
（学生课后检测是否到达要求） 三、课前预习：阅读课本94-95页（学生自行安排时间） 四、学前准备：多媒体课件、教学案 五、教学过程：
一、情境导入
如图，某渔村主要出口秋刀鱼，所有的出口货物集中在A 、B 两个仓库，为了改善物流情况，村里决定建设一个国际化的新码头，新码头到两个仓库的距离要相等，问新码头应建在何处？你的方案是什么?
二、动手操作：
1、作线段AB 的中垂线MN ，垂足为C ； 在MN 上任取一点P ，连结PA 、PB ； 量一量：PA 、PB 的长，你能发现什么？ 由此可得：
命题：线段垂直平分线上的点到 线段两端的距离相等．
2.试证明上述命题.
已知，如图直线MN ⊥AB ，垂足是C ，且AC=CB.点P 在MN 上 求证：PA=PB （抽学生做）
证明:∵MN AB （已知） ∴PCA=PCB(垂直的定义) 在
PCA 和
PCB 中,
AC=CB(已知), PCA=
PCB(已证)
P
A
B
M
C
P
A
B
M
C
E D
C
B
A
PC=PC(公共边) ∴
PCA ≌
PCB(SAS)
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)
在学生交流发言基础上,教师板书:线段垂直平分线的性质定理,即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
例1、如图,在△ABC 中,已知AC=27,AB 的垂直平分线交AB 于点D,交AC 于点E,△BCE 的周长等于50,求BC 的长.
【互动探索】(引发学生思考)已知AC 的长和△BCE 的周长，要求BC 的长，先求什么？再求什么？ 解:∵AD=BD,DE ⊥AB
∴EA=EB(垂直平分线性质定理) ∵AC=27 ∴EA+EC=27 ∴EB+EC=27 ∵ EB+EC+BC=50
∴BC=23
四、讲授新知 1、“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.”写成“如果……那么”的形式应该是怎样的？它的逆命题呢？
如果一个点在线段的垂直平分线上，那么这个点到线段两端的距离相等
t 条 件 结 论
变式练习：在△ABC,PM,QN 分别垂直平分AB,AC ，则: (1)若BC=10cm 则△APQ 的周长=__10___cm;
(2)若∠BAC=100°则∠PAQ=__20°____. 【互动总结】(学生总结，老师点评)利用线段垂直平分线的性质定理，可以实现线段间的相互转
化，从而求出未知线段的长．
【互动总结】(学生总结，老师点评)利用线段垂直平分线的性质定理，可以实现线段间的相互转化，还可以实现角之间的相互转化，
性质定理一个点在线段的垂直平分线上这个点到线段两端的距离相等逆命题一个点到线段两端的距离相等这个点在线段的垂直平分线上逆命题：如果一个点到线段两端的距离相等，那么这个点在线段的垂直平分线上.
2、已知，如图QA＝QB.
求证：点Q在线段AB的垂直平分线上
证明:过点Q作MN AB,垂足为C.
故∠QCA=∠QCB=900
在Rt △QCA和Rt△QCB中
∵QA=QB，
QC=QC
∴△QCA ≌△QCB (H.L.)
∴ＡＣ＝ＢＣ
∴点Q在线段AB的垂直平分线MN上.
教师提问这个命题与线段垂直平分线的性质定理有何关系?（为互逆命题）
教师板书.线段垂直平分线的判定定理到线段两端距离相等的点,在线段的垂直平分线上.
例2.已知:△ABC中,∠C=90o,∠A=30o,BD平分∠ABC交AC于D.
求证:D点在AB的垂直平分线上.
证明:
∵∠C=90o, ∠A=30o (已知)
∴∠ABC=60o (三角形内角和定理)
∵BD平分∠A BC (已知)
∴∠ABD=30o (角平分线的定义)
∴∠A= ∠ABD (等量代换)
∴ AD=BD (等角对等边)
∴ D点在AB的垂直平分线上. (垂直平分线判定定理)
【互动总结】(学生总结，老师点评)证明线段的垂直平分线可以用定义法，也可用线段垂直平分线的判定定理。
五、能力提升
利用直尺和圆规作出三角形三条边的垂直平分线.
观察作出来的三条垂直平分线有什么特点？
发现： 三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等。
如图，△ABC 中，边AB 、BC 的垂直平分线交于点O 。
（1）求证：OA=OB=OC 。
（2）点O 是否也在边BC 的垂直平分线上呢？ 由此你能得出什么结论？
证明：连结OA 、OB 、OC.
∵点O 在AB ，AC 的垂直平分线上， ∴OA=OB ，OA=OC
(垂直平分线性质定理). ∴OB=OC.
∴点O 在BC 的垂直平分线上 (垂直平分线判定定理) 实际问题2
遂宁市政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A 、B 、C 之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等
A
B
C
例3 已知：如图，AB ＝AC ，DB ＝DC ，
E 是AD 延长线上一点. 求证：BE ＝CE.
证明:连结BC.
∵ AB ＝AC(已知)， ∴ A 点在线段BC 的垂直平分线上
(垂直平分线判定定理)
同理，D 点也在线段BC 的垂直平分线上. ∵ 两点确定一条直线，
∴ 直线AD 是线段BC 的垂直平分线. ∵ E 是AD 延长线上一点(已知)， ∴ BE ＝CE(垂直平分线性质定理)
【互动总结】(学生总结，老师点评)证明线段的垂直平分线可以用定义法，也可用线段垂直平分线的判定定理。
六、课堂小结
D
C E B
A
【教学反思】
本节课在教学过程中,首先提出问题,让学生回答,通过观察、发现、论证得出线段的垂直平分线的性质定理,接着写出性质定理的逆命题.教师与学生一起证明这个定理,并在习题中运用这两个定理,得出三角形各边的垂直平分线相交于同一点的重要结论.
在教学过程中,应注意让学生搞清两个定理的条件与结论,并充分调动学生的积极性,体会解决问题成功的乐趣.。
