北京市五中分校2020-2021学年第一学期九年级统一测试(一)九年数学( PDF版)

解四边形专题东城区21．如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，延长BA 至点E ，使AE= AB ，连接DE ，AC. （1）求证：四边形ACDE 为平行四边形; （2）连接CE 交AD 于点O. 若AC=AB=3，1cos 3B，求线段CE 的长.21.(1) 证明：∵平行四边形ABCD ， ∴=AB DC ，AB DC ∥. ∵AB=AE ，∴=AE DC ，AE DC ∥.∴四边形ACDE 为平行四边形. -------------------2分 (2) ∵=AB AC ， ∴=AE AC .∴平行四边形ACDE 为菱形. ∴AD ⊥CE.∵AD BC ∥， ∴BC ⊥CE.在Rt △EBC 中，BE=6, 1cos 3BC B BE ==, ∴=2BC .根据勾股定理，求得BC 分西城区21．如图，在ABD △中，ABD ADB ∠=∠，分别以点B ，D 为圆心，AB 长为半径在BD 的右侧作弧，两弧交于点C ，分别连接BC ，DC ，AC ，记AC 与BD 的交点为O ． （1）补全图形，求AOB ∠的度数并说明理由;（2）若5AB =，3cos 5ABD ∠=，求BD 的长．BDA【解析】（1）补全的图形如图所示．90AOB ∠=︒． 证明：由题意可知BC AB =，DC AB =， ∵在ABD △中，ABD ADB ∠=∠， ∴AB AD =，∴BC DC AD AB ===，∴四边形ABCD 为菱形， ∴AC BD ⊥， ∴90AOB ∠=︒．（2）∵四边形ABCD 为菱形， ∴OB OD =．在Rt ABO △中，90AOB ∠=︒，5AB =，3cos 5ABD ∠=，∴cos 3OB AB ABD =⋅∠=， ∴26BD OB ==．ABC DO海淀区21．如图，□ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O ，且AE ∥BD ，BE ∥AC ，OE = CD. （1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若AD = 2，则当四边形ABCD 的形状是__________时，四边形AOBE 的面积取得最大值是_______.C B EOAD21．（1）证明：∵AE BD ∥，BE AC ∥，∴四边形AEBO 是平行四边形. ………………1分 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC AB =. ∵OE CD =, ∴OE AB =.∴平行四边形AEBO 是矩形. ………………2分 ∴90BOA ∠=︒. ∴AC BD ⊥.∴平行四边形ABCD 是菱形. ………………3分 (2) 正方形； ………………4分2. ………………5分丰台区21．已知：如图，菱形ABCD ，分别延长AB ，CB 到点F ，E ，使得BF = BA ，BE = BC ，连接AE ，EF ，FC ，CA ．（1）求证：四边形AEFC 为矩形； （2）连接DE 交AB 于点O ，如果DE ⊥AB ，AB = 4，求DE 的长．ABCEDF21．（1）证明：∵BF=BA ，BE=BC ，∴四边形AEFC 为平行四边形. ………………………1分 ∵四边形ABCD 为菱形， ∴BA=BC. ∴BE=BF.∴BA + BF = BC + BE ，即AF=EC.∴四边形AEFC 为矩形. ………………………2分（2）解：连接DB.由（1）知，AD ∥EB ，且AD=EB. ∴四边形AEBD 为平行四边形 ∵DE ⊥AB ，∴四边形AEBD 为菱形.∴AE =EB ，AB =2AG ，ED =2EG. ………………………4分 ∵矩形ABCD 中，EB =AB ，AB=4， ∴AG =2，AE =4. ∴Rt △AEG 中，∴. ………………………5分 （其他证法相应给分）D石景山区21．如图，在四边形ABCD 中，90A BCD ∠=∠=°，210BC CD ==，CE AD ⊥于点E ． （1）求证：AE CE =； （2）若tan 3D =，求AB 的长．BA CE D21．（1）证明：（法一）过点B 作BH ⊥CE 于H ，如图1． ∵CE ⊥AD ，∴∠BHC ＝∠CED ＝90°，190D ∠+∠=︒． ∵∠BCD ＝90°， ∴1290∠+∠=︒， ∴2D ∠=∠． 又BC ＝CD∴BHC △≌CED △． ∴BH CE =．∵BH ⊥CE ，CE ⊥AD ，∠A ＝90°， ∴四边形ABHE 是矩形， ∴AE BH =．∴AE CE =． ………………3分 （法二）过点C 作CH ⊥AB 交AB 的延长线于H ．图略，证明略． （2）解： ∵四边形ABHE 是矩形， ∴AB HE =．∵在Rt CED △中，tan 3CE D DE==,设,3DE x CE x ==， ∴10210CD x ==． ∴2x =．∴2DE =,6CE =． ………………4分 ∵2CH DE ==．∴624AB HE ==-=． ………………5分朝阳区21. 如图，在△ABC 中，D 是AB 边上任意一点，E 是BC 边中点，过点C作AB 的平行线，交DE 的延长线于点F ，连接BF ，CD ． （1）求证：四边形CDBF 是平行四边形； （2）若∠FDB=30°，∠ABC=45°，BC=，求DF 的长．21.（1）证明：∵CF ∥AB ，∴∠ECF ＝∠EBD. ∵E 是BC 中点， ∴CE ＝BE. ∵∠CEF ＝∠BED ，∴△CEF ≌△BED. ∴CF ＝BD.∴四边形CDBF 是平行四边形. ………………………2分（2）解：如图，作EM ⊥DB 于点M ，∵四边形CDBF 是平行四边形，BC ＝24， ∴2221==BC BE ，DE DF 2=. 在Rt △EMB 中，2sin =∠⋅=ABC BE EM . ……………………3分在Rt △EMD 中，42==EM DE . …………………4分∴DF ＝8. ………………………………………………………5分燕山区23． 如图，在△ABC 中，D,E 分别是AB,AC 的中点，BE=2DE,延长DE 到点F ，使得EF=BE,连接CF ．（1）求证：四边形BCFE 是菱形；（2）若∠BCF=120°，CE=4，求菱形BCFE 的面积．23. （1）证明：∵点 D,E, 是 AB,AC 中点 ∴DE ∥BC, DE=12BC ……………………….1′AABCDE F又BE=2DE,即DE=12BE ∴BC=BE 又EF=BE ∴EF ∥BC, EF=BC∴四边形BCFE 是平行四边形……………………….2′ 又EF=BE∴四边形BCFE 是菱形 ……………………….3′ （2）∵四边形BCFE 是菱形 ∴BC=BE 又∠BCF=120° ∴∠BCE=60°∴△BCE 是等边三角形∴连结BF 交EC 于点O ．∴BF ⊥EC在Rt △BOC 中，BO=32242222=-=-OC BC ……………………….4′322322121=⨯⨯=⋅⋅=∆OC BO S BOC∴∴ ……………………….5′门头沟区21.在矩形ABCD 中，连接AC,AC 的垂直平分线交AC 于点O,分别交AD 、BC 于点E 、F ，连接CE 和AF ．（1）求证：四边形AECF 为菱形；（2）若AB=4，BC=8，求菱形AECF 的周长．38324=⨯=BCFE S 菱形21. （1）证明：∵EF 是AC 的垂直平分线，∴AO=OC ，∠AOE=∠COF=90°，……………………1分 ∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，∴∠EAO=∠FCO ， 在△AEO 和△CFO 中，∵∠EAO=∠FCO ，AO=CO ，∠AOE=∠COF ， ∴△AEO ≌△CFO （ASA ），∴OE=OF ． ……………2分 又∵OA=OC ，∴四边形AECF 是平行四边形，又∵EF ⊥AC ，∴平行四边形AECF 是菱形；……………3分（2）设AF=x ，∵EF 是AC 的垂直平分线，∴AF=CF=x ，BF=8﹣x ， ………………………………………4分 在Rt △ABF 中，由勾股定理得：AB 2+BF 2=AF 2，42+（8﹣x ）2=x 2， 解得 x=5，∴AF=5，∴菱形AECF 的周长为20．…………………5分大兴区21. 如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，且DE=OC ，CE=OD ． （1）求证：四边形OCED 是菱形；（2）若∠BAC ＝30°，AC ＝4，求菱形OCED 的面积．21.（1）证明：∵DE=OC，CE=OD，∴四边形OCED是平行四边形………………………………1分∵矩形ABCD，∴AC=BD，OC=12AC，OD=12BD.∴OC=OD.∴平行四边形OCED是菱形………………………………2分（2）解：在矩形ABCD中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，AC＝4，∴BC=2.∴AB=DC=23.…………………………………………………3分连接OE，交CD于点F.∵四边形OCED为菱形，∴F为CD中点.∵O为BD中点，∴OF=12BC=1.∴OE＝2OF＝2 …………………………………………………4分∴S菱形OCED＝12OE·CD=12×2×23＝23…………………………………………………5分平谷区21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数()0ky k x=≠的图象与直线y=x+1交于点A （1，a ）． （1）求a ，k 的值；（2）连结OA ，点P 是函数()0ky k x=≠上一点，且满足OP=OA ，直接写出点P 的坐标（点A 除外）．21．解：（1）∵直线y=x+1经过点A （1，a ），∴a=2． ··························· 1 ∴A （1,2）． ∵函数()0ky k x=≠的图象经过点A （1，2）， ∴k=2． (2)（2）点P 的坐标（2,1），（-1，-2），（-2，-1）． (5)怀柔区21.直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D是斜边BC上一点，且AB=AD，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E，交AB延长线于点F.(1)求证：∠ACB=∠DCE；(2)若∠BAD=45°，2+2AF ，过点B作BG⊥FC于点G，连接DG．依题意补全图形，并求四边形ABGD的面积．21.(1)∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，………………………………1分∵∠ADB=∠CDE，∴∠ABD=∠CDE.∵∠BAC=90°，∴∠ABD+∠ACB=90°.∵CE⊥AE，∴∠DCE+∠CDE=90°.∴∠ACB=∠DCE. …………………………………2分（2）补全图形,如图所示: …………………………3分∵∠BAD=45°, ∠BAC=90°,∴∠BAE=∠CAE=45°, ∠F=∠ACF=45°,DGBEDHGBEA∵AE ⊥CF, BG ⊥CF,∴AD ∥BG.∵BG ⊥CF, ∠BAC=90°，且∠ACB=∠DCE, ∴AB=BG.∵AB=AD ，∴BG=AD.∴四边形ABGD 是平行四边形. ∵AB=AD∴平行四边形ABGD 是菱形.………………4分设AB=BG=GD=AD=x ，∴BF=2BG=2x.∴AB+BF=x+2x=2+2. ∴x=2， 过点B 作BH ⊥AD 于H.∴BH=22AB=1. ∴S 四边形ABDG =AD ×BH=2. ……………………………………………………………………5分延庆区21．如图，Rt △ABC 中，∠ABC=90°，点D ，F 分别是AC ，AB 的中点，CE ∥DB ，BE ∥DC ． （1）求证：四边形DBEC 是菱形；（2）若AD=3， DF=1，求四边形DBEC 面积.FEDCBA21．（1）在Rt △ABC 中，∵CE//DC ，BE//DC∴四边形DBEC 是平行四边形∵D 是AC 的中点，∠ABC=90°∴BD=DC ……1分∴四边形DBEC是菱形……2分（2）∵F是AB的中点∴BC=2DF=2,∠AFD=∠ABC=90°在Rt△AFD中,……3分∴……4分……5分顺义区21．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=BC，点E为CD的中点，射线BE交AD的延长线于点F，连接CF．（1）求证：四边形BCFD是菱形；（2）若AD=1，BC=2，求BF的长．21．（1）证明：∵BD=BC，点E是CD的中点，∴∠1=∠2．……………………………………………………1分FEAB CD∵AD ∥BC ， ∴∠2=∠3．∴∠1=∠3．…………………………… 2分∴BD=DF ． ∵BD=BC ， ∴DF=BC ． 又∵DF ∥BC ，∴四边形BCFD 是平行四边形． ∵BD=BC ，∴□BCFD 是菱形． …………………………………………………… 3分 （2）解：∵∠A =90︒，AD=1，BD=BC=2，∴AB =． ∵四边形BCFD 是菱形，∴DF=BC=2． ………………………………………………………… 4分 ∴AF=AD+DF=3．∴BF === 5分321FEAB CD。

北京市第五中学分校2021-2022学年九年级上学期12月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．一元二次方程22340x x +-=的一次项系数是（ ） A ．-4B ．-3C ．2D ．33．点()1,2A 关于原点对称的点的坐标是（ ） A ．()1,2-B ．()1,2-C ．()1,2--D ．()2,14．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，如果∠ACD ＝34°，那么∠BAD 等于（ ）A ．34°B ．46°C ．56°D ．66°5．在课外实践活动中，甲、乙、丙、丁四个小组用投掷一元硬币的方法估算正面朝上的概率，其实验次数分别为10次、50次、100次，200次，其中实验相对科学的是（）A．甲组B．乙组C．丙组D．丁组6．在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2﹣2x﹣1先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得的抛物线的解析式是()A．y=(x+1)2+1B．y=(x﹣3)2+1C．y=(x﹣3)2﹣5D．y=(x+1)2+2 7．如图，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x=1，如果关于x的方程ax2+bx ﹣8=0（a≠0）的一个根为4，那么该方程的另一个根为（）A．﹣4B．﹣2C．1D．38．风寒效应是一种因刮风所引起的使体感温度较实际气温低的现象，科学家提出用风寒温度描述刮风时的体感温度，并通过大量实验找出了风寒温度和风速的关系．下表v的几组对应值，那么当气中列出了当气温为5∠时，风寒温度T（∠）和风速(km/h)温为5∠时，风寒温度T与风速v的函数关系最可能是（）A．正比例函数关系B．一次函数关系C．二次函数关系D．反比例函数关系二、填空题9．方程x2＝x的解为___．10．如图，⊙O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于120°，那么圆心O到弦AB的距离等于_____．11．已知关于x的方程220++=有两个相等的实数根，则k的值是______．x x k12．如图，直径AB 为6的半圆，绕A 点逆时针旋转60°，此时点B 到了点B ′，则图中阴影部分的面积是_____．13．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图阴影部分），原空地一边减少了1m ，另一边减少了2m ，剩余空地的面积为20m 2，设原正方形空地的边长为x m ．则可列出的方程是______．14．如图，直线12y x =和抛物线224y x x =-+，当12y y <时，x 的取值范围是______．15．小云计划户外徒步锻炼，每天有“低强度”“高强度”“休息”三种方案，下表对应了每天不同方案的徒步距离（单位：km ）．若选择“高强度”要求前一天必须“休息”（第一天可选择“高强度”）．则小云5天户外徒步锻炼的最远距离为_______km ．16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为1的半圆O 上有一动点B ，点()3,0A ，ABC 为等腰直角三角形，A 为直角顶点，且C 在第一象限，则线段OC 长度的最大值为______．三、解答题17．解方程：2616x x -=．18．已知：MAN ∠，B 为射线AN 上一点．求作：ABC ，使得点C 在射线AM 上，且12ABC CAB ∠=∠．作法：∠以点A 为圆心，AB 长为半径画弧，交射线AM 于点D ，交射线AN 的反向延长线于点E ；∠以点E 为圆心，BD 长为半径画弧，交DE 于点F ； ∠连接FB ，交射线AM 于点C ．ABC 就是所求作的三角形．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明： 证明：连接BD ，EF ，AF ， ∠点B ，E ，F 在A 上，12EBF EAF ∴∠=∠（__________）（填写推理的依据）．∠在A 中，BD EF =，DAB ∴∠=___________． 12ABC CAB ∴∠=∠．19．如图，∠O 的直径AB 垂直弦CD 于点E ，AB ＝8，∠A ＝22.5°，求CD 的长．20．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 1：y ＝﹣x 2+2x ． （1）补全表格：（2）将抛物线C 1向上平移3个单位得到抛物线C 2，请画出抛物线C 1，C 2，并直接回答：抛物线C 2与x 轴的两交点之间的距离是抛物线C 1与x 轴的两交点之间距离的多少倍．21．如图，正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，以点A为中心，把∠ABE逆时针旋转90°，设点E的对应点为F．（1）画出旋转后的三角形．（2）在（1）的条件下，∠求EF的长；∠求点E经过的路径弧EF的长．22．小红和小丁玩纸牌游戏：如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上，小红先从中抽出一张，小丁从剩余的3张牌中也抽出一张．比较两人抽出的牌面上的数字，数字大者获胜．（1）请用树状图或列表法表示出两人抽牌可能出现的所有结果；（2）这个游戏公平吗？请说明理由．23．关于x的一元二次方程2240-+-=．x mx m（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于1，求m的取值范围．x．24．如图，用一条长40m的绳子围成矩形ABCD，设边AB的长为m（1）边BC 的长为___________m ，矩形ABCD 的面积为___________2m （均用含x 的代数式表示）；（2）矩形ABCD 的面积是否可以是2120m 请给出你的结论，并用所学的方程或者函数知识说明理由．25．如图，AB 是∠O 的直径，弦EF ∠AB 于点C ，过点F 作∠O 的切线交AB 的延长线于点D ．（1）已知∠A ＝α，求∠D 的大小（用含α的式子表示）；（2）取BE 的中点M ，连接MF ，请补全图形；若∠A ＝30°，MF ∠O 的半径．26．已知二次函数243y ax ax a =-+．（1）该二次函数图象的对称轴是直线x =________；（2）若该二次函数的图象开口向下，当14x ≤≤时，y 的最大值是2，求抛物线的解析式；（3）若对于该抛物线上的两点()()1222,,,P x y Q x y ，当121,5t x t x ≤≤+≥时，均满足12y y ≥，请结合图象，直接写出t 的取值范围．27．正方形ABCD 的边长为2，将射线AB 绕点A 顺时针旋转α，所得射线与线段BD 交于点M ，作CE ∠AM 于点E ，点N 与点M 关于直线CE 对称，连接CN ． （1）如图，当0°＜α＜45°时： ∠依题意补全图；∠用等式表示∠NCE 与∠BAM 之间的数量关系：___________；（2）当45°＜α＜90°时，探究∠NCE 与∠BAM 之间的数量关系并加以证明； （3）当0°＜α＜90°时，若边AD 的中点为F ，直接写出线段EF 长的最大值．28．在平面直角坐标系xOy 中，旋转角α满足0180α︒≤≤︒，对图形M 与图形N 给出如下定义：将图形M 绕原点逆时针旋转α得到图形M '．P 为图形M '上任意一点，Q 为图形N 上的任意一点，称PQ 长度的最小值为图形M 与图形N 的“转后距”．已知点(A ，点()4,0B ，点()2,0C ．（1）当90α=︒时，记线段OA 为图形M ． ∠画出图形M '；∠若点C 为图形N ，则“转后距”为______； ∠若线段AC 为图形N ，求“转后距”；（2）已知点(),0P t ，点1,2Q t ⎛- ⎝⎭，记线段AB 为图形M ，线段PQ 为图形N ，对任意旋转角α，“转后距”大于1，直接写出t 的取值范围．答案第1页，共2页参考答案：1．C 2．D 3．C 4．C 5．D 6．A 7．B 8．B9．0x =或1x =##x =1或x =0 10．2 11．1 12．6π13．()()1220x x --= 14．02x ＜＜ 15．3616．1+17．12x =-，28x =18．（1）见解析；（2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；EAF ∠ 19．20．（1）（0，0）和（2，0）；（2）抛物线C 2与x 轴的两交点之间的距离是抛物线C 1与x 轴的两交点之间距离的2倍21．（1）作图见试题解析；（2）；． 22．(1)见解析；（2）公平. 23．（1）见解析；（2）3m <24．（1）()20x -；()220x x -+；（2）不可以，见解析25．（1）∠D ＝90°﹣2α；（2）∠O 的半径为2． 26．（1）2；（2）y=-2x 2+8x-6；（3）-1≤t≤4.27．（1）∠补图见解析；∠∠NCE＝2∠BAM；（2）12∠NCE+∠BAM＝90°，证明见解析；（3）．28．（1）∠OA′，图形见详解；∠2；∠ “转后距”（2）t的取值范围为t＜-5或0＜t＜2或t＞答案第2页，共2页。

2020-2021北京第一零五中学初三数学上期中一模试题(及答案)一、选择题1．﹣3的绝对值是（ ）A ．﹣3B ．3C ．-13D ．132．下列事件中，属于必然事件的是（ ）A ．随时打开电视机，正在播新闻B ．优秀射击运动员射击一次，命中靶心C ．抛掷一枚质地均匀的骰子，出现4点朝上D ．长度分别是3cm ，5cm ，6cm 的三根木条首尾相接，组成一个三角形3．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ） A ． B ． C ．D ．4．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 为⊙O 上的一点，过点C 作⊙O 的切线，交直径AB 的延长线于点D ，若∠A =25°，则∠D 的度数是（ ）A ．25°B ．40°C ．50°D ．65°5．用配方法解方程210x x +-=，配方后所得方程是（ ）A ．213()24x -= B ．213()24x += C ．215()24x += D ．215()24x -= 6．若关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+5x+m 2﹣5m+4=0有一个根为0，则m 的值等于（ ）A ．1B ．1或4C ．4D ．07．如图，是两条互相垂直的街道，且A 到B ,C 的距离都是7 km ,现甲从B 地走向A 地，乙从A 地走向C 地，若两人同时出发且速度都是4km /h ，则两人之间的距离为5km 时，是甲出发后（ ）A ．1hB ．0.75hC ．1.2h 或0.75hD ．1h 或0.75h8．如图，图案由三个叶片组成，且其绕点O 旋转120°后可以和自身重合，若三个叶片的总面积为12平方厘米，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积之和为（）平方厘米．A ．2B ．4C ．6D ．89．如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为60︒，90︒，210︒．让转盘自由转动，指针停止后落在黄色区域的概率是( )A ．16B ．14C ．13D ．71210．在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中涂色部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④11．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个12．有两个一元二次方程2:0M ax bx c ++=，2:0N cx bx a ++=，其中，0ac ≠，a c ≠，下列四个结论中错误的是（ ）A ．如果方程M 有两个不相等的实数根，那么方程N 也有两个不相等的实数B ．如果4是方程M 的一个根，那么14是方程N 的另一个根 C ．如果方程M 有两根符号相同，那么方程N 的两符号也相同D ．如果方程M 和方程N 有一个相同的根，那么这个根必是1x =二、填空题13．某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率为____．14．若关于x 的方程x 2＋2x ＋m ＝0没有实数根，则m 的取值范围是_______.15．如图，若以平行四边形一边AB 为直径的圆恰好与对边CD 相切于点D ，则∠C=_______度．16．我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题：“直田积（矩形面积），八百六十四（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少12步），问阔及长各几步．”如果设矩形田地的长为x 步，那么根据题意列出的方程为_____．17．若关于x 的一元二次方程()22 26k x kx k --+=有实数根，则k 的最小整数值为__________．18．如图，O e 的半径为2，切线AB 的长为23，点P 是O e 上的动点，则AP 的长的取值范围是_________．19．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将△ABC 绕AC 的中点D 逆时针旋转90°得到△A'B′C'，其中点B 的运动路径为¼BB'，则图中阴影部分的面积为_____．20．用半径为12cm ，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为_______cm ．三、解答题21．学校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高．王老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，对该班部分学生进行调查，把调查结果分成四类（A ：特别好，B ：好，C ：一般，D ：较差）后，再将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图1,2）．请根据统计图解答下列问题：（1）本次调查中，王老师一共调查了 名学生；（2）将条形统计图补充完整；（3）为了共同进步，王老师从被调查的A 类和D 类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率．22．已知△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示.（1）分别写出图中点A 和点C 的坐标；（2）画出△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转90°后的△A′B′C′；（3）求点A 旋转到点A ′所经过的路线长（结果保留π）.23．在2017年“KFC ”篮球赛进校园活动中，某校甲、乙两队进行决赛，比赛规则规定：两队之间进行3局比赛，3局比赛必须全部打完，只要赢满2局的队为获胜队，假如甲、乙两队之间每局比赛输赢的机会相同，且乙队已经赢得了第1局比赛，那么甲队获胜的概率是多少？（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）24．解方程：2411231x x x -=+-- 25．小明在上学的路上要经过多个路口，每个路口都设有红、黄、绿三种信号灯，假设在各路口遇到信号灯是相互独立的．（1）如果有2个路口，求小明在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）（2）如果有n 个路口，则小明在每个路口都没有遇到红灯的概率是 ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得出答案.【详解】根据绝对值的性质得：|-3|=3．故选B．【点睛】本题考查绝对值的性质，需要掌握非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数. 2．D解析：D【解析】分析：根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．详解：A．是随机事件，故A不符合题意；B．是随机事件，故B不符合题意；C．是随机事件，故C不符合题意；D．是必然事件，故D符合题意．故选D．点睛：本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．3．B解析：B【解析】由中心对称图形的定义：“把一个图形绕一个点旋转180°后，能够与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形”分析可知，上述图形中，A、C、D都不是中心对称图形，只有B是中心对称图形.故选B.4．B解析：B【解析】连接OC，∵CD是切线，∴∠OCD=90°，∵OA=OC，∴∠ACO=∠BAC=25°，∴∠COD=∠ACO+∠BAC=50°，∴∠D=90°-∠COD=40°，故选B.5．C解析：C【解析】【分析】本题根据配方的基本方法进行就可以得到答案.配方首先将常数项移到方程的右边，将二次项系数化为1，然后左右两边同时加上一次项系数一半的平方.【详解】解：2x+x=12x+x+14=1+14 215()24x+=.故选C【点睛】考点：配方的方法.6．C解析：C【解析】【分析】先把x＝0代入方程求出m的值，然后根据一元二次方程的定义确定满足条件的m的值．【详解】解：把x＝0代入方程得m²−5m＋4＝0，解得m₁＝4，m₂＝1，而a−1≠0，所以m＝4．故选C．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．注意一元二次方程的定义．7．D解析：D【解析】【分析】据题画出图形如图，设走了x小时，则BF=AG=4x，AF=7－4x，根据勾股定理列出方程，解方程即得答案.【详解】解：如图，设走了x 小时，根据题意可知：BF =AG =4x ，则AF =7－4x ，根据勾股定理，得()()2274425x x -+=，即24730x x -+=.解得：11x =，234x =.故选D.【点睛】本题考查了勾股定理的应用和一元二次方程的解法，弄清题意，根据勾股定理列出方程是解题的关键.8．B解析：B【解析】【分析】根据旋转的性质和图形的特点解答．【详解】∵图案绕点O 旋转120°后可以和自身重合，∠AOB 为120°∴图形中阴影部分的面积是图形的面积的13， ∵图形的面积是12cm 2，∴图中阴影部分的面积之和为4cm 2；故答案为B ．【点睛】本题考查了图形的旋转与重合，理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键． 9．B解析：B【解析】【分析】求出黄区域圆心角在整个圆中所占的比例，这个比例即为所求的概率．【详解】 ∵黄扇形区域的圆心角为90°，所以黄区域所占的面积比例为901=3604， 即转动圆盘一次，指针停在黄区域的概率是14， 故选B ．【点睛】本题将概率的求解设置于转动转盘游戏中，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．10．D解析：D【解析】【分析】根据中心对称图形的概念，如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形是中心对称图形.将④涂黑后，与图中阴影部分构成的图形绕第三个正方形的中心旋转180°后，这个图形能与自身重合，是中心对称图.【详解】解：将④涂黑后，与图中阴影部分构成的图形绕第三个正方形的中心旋转180°后，这个图形能与自身重合，是中心对称图.故选：D.【点睛】本题考查的是利用旋转设计图案，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.11．B解析：B【解析】分析：根据圆中的有关概念、定理进行分析判断．解答：解：①经过圆心的弦是直径，即直径是弦，弦不一定是直径，故正确；②当三点共线的时候，不能作圆，故错误；③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故正确；④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故正确．故选B．12．D解析：D【解析】【分析】分别根据判别式的意义、方程根的意义、根与系数的关系进行分析判断即可．【详解】解：A、∵方程M有两个不相等的实数根，∴△＝b2−4ac＞0，∵方程N的△＝b2−4ac＞0，∴方程N也有两个不相等的实数根，故不符合题意；B、把x＝4代入ax2＋bx＋c＝0得：16a＋4b＋c＝0，∴110 164c b a++=，∴即14是方程N的一个根，故不符合题意；C、∵方程M有两根符号相同，∴两根之积ca＞0，∴ac＞0，即方程N的两根之积＞0，∴方程N的两根符号也相同，故本选项不符合题意；D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根也可以是x＝－1，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及一元二次方程的解，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．二、填空题13．【解析】【分析】随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数据此用绿灯亮的时间除以三种灯亮的总时间求出抬头看信号灯时是绿灯的概率为多少即可【详解】抬头看信号灯时是绿灯的概率解析：5 12【解析】【分析】随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，据此用绿灯亮的时间除以三种灯亮的总时间，求出抬头看信号灯时，是绿灯的概率为多少即可．【详解】抬头看信号灯时，是绿灯的概率为255 3025512=++．故答案为：5 12．【点睛】此题主要考查了概率公式的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．（2）P（必然事件）=1．（3）P（不可能事件）=0．14．【解析】【分析】根据方程没有实数根得出判别式小于0列出关于m的不等式求解即可【详解】∵关于x 的方程x2＋2x ＋m ＝0没有实数根∴解得：故填：【点睛】本题主要考查根的判别式和解一元一次不等式熟练运用根 解析：1m >【解析】【分析】根据方程没有实数根得出判别式小于0，列出关于m 的不等式求解即可.【详解】∵关于x 的方程x 2＋2x ＋m ＝0没有实数根∴2=240m ∆-<解得：1m >故填：1m >.【点睛】本题主要考查根的判别式和解一元一次不等式，熟练运用根的判别式进行根的情况的判断是关键.15．【解析】试题分析：解：连接OD ∵CD 是⊙O 切线∴OD ⊥CD ∵四边形ABCD 是平行四边形∴AB ∥CD ∴AB ⊥OD ∴∠AOD=90°∵OA=OD ∴∠A=∠ADO=45°∴∠C=∠A=45°故答案为45考解析：【解析】试题分析：解：连接OD ．∵CD 是⊙O 切线，∴OD ⊥CD ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴AB ⊥OD ，∴∠AOD=90°，∵OA=OD ，∴∠A=∠ADO=45°，∴∠C=∠A=45°．故答案为45．考点：1．切线的性质；2．平行四边形的性质．16．x （x ﹣12）＝864【解析】【分析】如果设矩形田地的长为x 步那么宽就应该是（x ﹣12）步根据面积为864即可得出方程【详解】解：设矩形田地的长为x 步那么宽就应该是（x ﹣12）步根据矩形面积＝长×宽解析：x （x ﹣12）＝864【解析】【分析】如果设矩形田地的长为x 步，那么宽就应该是（x ﹣12）步，根据面积为864，即可得出方程．【详解】解：设矩形田地的长为x 步，那么宽就应该是（x ﹣12）步．根据矩形面积＝长×宽，得：x （x ﹣12）＝864． 故答案为：x （x ﹣12）＝864． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，读懂题意根据面积公式列出方程是解题的关键．17．3【解析】【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0即可得出关于k 的一元一次不等式组解之即可得出k 的取值范围【详解】（k-2）x2-2kx+k-6=0∵关于x 的一元二次方程（k-2）x2-2kx解析：3 【解析】 【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于k 的一元一次不等式组，解之即可得出k 的取值范围． 【详解】（k-2）x 2-2kx+k-6=0，∵关于x 的一元二次方程（k-2）x 2-2kx+k=6有实数根， ∴220(2)4(2)(6)0k k k k -≠⎧⎨----≥⎩V ＝ ， 解得：k≥32且k≠2． ∴k 的最小整数值为3. 故答案为：3． 【点睛】此题考查一元二次方程的定义以及根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式△≥0，列出关于k 的一元一次不等式组是解题的关键．18．【解析】【分析】连接OB 根据切线的性质得到∠OBA=90°根据勾股定理求出OA 根据题意计算即可【详解】连接OB∵AB 是⊙O 的切线∴∠OBA=90°∴OA==4当点P 在线段AO 上时AP 最小为2当点P 在 解析：26AP ≤≤【解析】 【分析】连接OB ，根据切线的性质得到∠OBA=90°，根据勾股定理求出OA ，根据题意计算即可． 【详解】 连接OB ，∵AB 是⊙O 的切线，∴∠OBA=90°， ∴OA=22AB OB +=4，当点P 在线段AO 上时，AP 最小为2， 当点P 在线段AO 的延长线上时，AP 最大为6， ∴AP 的长的取值范围是2≤AP≤6， 故答案为：2≤AP≤6． 【点睛】本题考查的是切线的性质、勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．19．【解析】分析：连接DBDB′先利用勾股定理求出DB′=A′B′=再根据S 阴=S 扇形BDB′-S△DBC -S△DB′C 计算即可详解：△ABC 绕AC 的中点D 逆时针旋转90°得到△AB′C 此时点A′在斜边解析：32π 【解析】分析：连接DB 、DB′，先利用勾股定理求出DB′=2212=5+，A′B′=2222=22+，再根据S 阴=S 扇形BDB′-S △DBC -S △DB ′C ，计算即可．详解：△ABC 绕AC 的中点D 逆时针旋转90°得到△A'B ′C'，此时点A′在斜边AB 上，CA′⊥AB ， 连接DB 、DB′，则2212=5+，2222=22+ ∴S 阴=9052531222222=36042（）ππ⨯-⨯÷-÷-. 故答案为5342π-． 点睛：本题考查旋转变换、弧长公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20．【解析】【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长利用扇形的弧长公式即可求得圆锥的底面周长然后根据圆的周长公式即可求解【详解】解：圆锥的底面周长是：=6π设圆锥底面圆的半径是r 则2πr=6π则r=3故解析：【解析】【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，利用扇形的弧长公式即可求得圆锥的底面周长，然后根据圆的周长公式即可求解．【详解】解：圆锥的底面周长是：9012180π⨯=6π，设圆锥底面圆的半径是r，则2πr=6π，则r=3．故答案为：3．【点睛】本题考查圆锥的计算．三、解答题21．（1）20；（2）作图见试题解析；（3）12．【解析】【分析】（1）由A类的学生数以及所占的百分比即可求得答案；（2）先求出C类的女生数、D类的男生数，继而可补全条形统计图；（3）首先根据题意列出表格，再利用表格求得所有等可能的结果与恰好选中一名男生和一名女生的情况，继而求得答案．【详解】（1）根据题意得：王老师一共调查学生：（2+1）÷15%=20（名）；故答案为20；（2）∵C类女生：20×25%﹣2=3（名）；D类男生：20×（1﹣15%﹣50%﹣25%）﹣1=1（名）；如图：（3）列表如下：A类中的两名男生分别记为A1和A2，男A1男A2女A男D男A1男D男A2男D女A男D女D 男A 1女D 男A 2女D 女A 女D共有6种等可能的结果，其中，一男一女的有3种，所以所选两位同学恰好是一位男生和一位女生的概率为：3162=． 22．（1）()04A ，、()31C ，（2）见解析（3）322【解析】试题分析：（1）根据点的平面直角坐标系中点的位置写出点的坐标；（2）根据旋转图形的性质画出旋转后的图形；（3）点A 所经过的路程是以点C 为圆心，AC 长为半径的扇形的弧长．试题解析：（1）A （0,4）C （3,1）（2）如图所示：（3）根据勾股定理可得：AC=32，则9032321801802n r l πππ⨯===． 考点：图形的旋转、扇形的弧长计算公式． 23．14【解析】 【分析】根据甲队第1局胜画出第2局和第3局的树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解． 【详解】根据题意画出树状图如下：一共有4种情况，确保两局胜的有1种，所以，P =14． 考点：列表法与树状图法．24．4x =-【解析】 【分析】方程左右两边同时乘以(x+3)(x-1)，将分式方程转化为整式方程，解出x 的值，并检验即可． 【详解】 解：4(3)(1)x x +-－1＝11x -，去分母，得：24(23)3x x x -+-=+， 整理，得：x 2＋3x －4＝0， 解得：x 1＝－4，x 2＝1． 经检验：x 2＝1是增根，舍去， ∴原方程的解是4x =-． 【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定注意要验根． 25．（1）29；（2）2()3n 【解析】 【分析】（1）画树状图列出所有等可能结果，从中找到到第二个路口时第一次遇到红灯的结果数，根据概率公式计算可得．（2）根据在第1个路口没有遇到红灯的概率为23，到第2个路口还没有遇到红灯的概率为24293y ⎛⎫== ⎪⎝⎭【详解】解：（1）画出树状图即可得到结果；由树状图知，共有9种等可能结果，其中到第二个路口时第一次遇到红灯的结果数为2， 所以到第二个路口时第一次遇到红灯的概率为29； （2）P （第一个路口没有遇到红灯）=23， P （前两个路口没有遇到红灯）=282()183=，类似地可以得到P（每个路口都没有遇到红灯）＝2 ()3n．故答案为：2 () 3n【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．。

2020-2021学年北京五中分校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题）.1．下列图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．如图，点A，B，C在⊙O上，若∠AOB＝70°，则∠ACB的度数为（）A．35°B．40°C．50°D．70°3．当x＜0时，函数y＝的图象位于（）A．第三象限B．第一、二、三象限C．第二、四象限D．第二象限4．将抛物线y＝2x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（）A．y＝2（x+1）2+3B．y＝2（x﹣1）2+3C．y＝2（x+1）2﹣3D．y＝2（x﹣1）2﹣35．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为E，如果CE＝2，那么AB的长是（）A．4B．8C．6D．106．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B分别为切点，PO交圆于点C，若∠APB＝60°，PC＝6，则AC的长为（）A．4B．C．D．7．如图，直线y1＝2x和抛物线y2＝﹣x2+4x，当y1＞y2时，x的取值范围是（）A．0＜x＜2B．x＜0或x＞2C．x＜0或x＞4D．0＜x＜48．已知O⊙，如图，（1）作⊙O的直径AB；（2）以点A为圆心，AO长为半径画弧，交⊙O于C，D两点；（3）连接CD交AB于点E，连接AC，BC．根据以上作图过程及所作图形，有下面三个推断：①CE＝DE；②BE＝3AE；⑧BC＝2CE．其中正确的推断的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个二、填空题（共8小题）.9．在平面直角坐标系xOy中，点（4，﹣5）关于原点的对称点坐标是．10．已知在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，BC＝5，则sin∠A＝．11．小云家开了一个小文具店，今年一月份的利润是2250元，三月份的利润是1000元，计算这个文具店这两个月利润的平均下降率．设这两个月利润的平均下降率为x，则可列方程得．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OA'，其中A（﹣2，3），则A'的坐标是．13．如图，⊙O的直径AB＝4，点C在⊙O上，∠ABC＝30°，则AC的长是．14．如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，∠B＝30°，△A'OB'是由△AOB绕点O顺时针旋转α（α＜180°）角度得到的，若点A'在AB上，则旋转角α＝．15．如图，为了估算河的宽度，小明采用的办法是：在河的对岸选取一点A，在近岸取点D，B，使得A，D，B在一条直线上，且与河的边沿垂直，测得BD＝10m，然后又在垂直AB 的直线上取点C，并量得BC＝30m．如果DE＝20m，则河宽AD为m．16．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，有下列4个结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣2，x2＝3；④关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＞﹣2．其中正确的结论是．三、解答题（本题共68分）17．解方程：2x2﹣3x﹣2＝0．18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，∠A＝30°，CD＝4，求⊙O的半径的长．19．如图，正方形ABCD的边长为4，E是CD中点，点P在射线AB上，过点P作线段AE 的垂线段，垂足为F．（1）求证：△PAF∽△AED；（2）连接PE，若存在点P使△PEF与△AED相似，直接写出PA的长．20．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x…﹣3﹣2﹣101…y＝…44m…ax2+bx+c根据以上列表，回答下列问题：（1）直接写出c，m的值；（2）求此二次函数的解析式．21．关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣4x+2＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）如果符合条件的最大整数k是一元二次方程k2+mk+1＝0的根，求m的值．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+3与函数y＝（x＞0）的图象交于点A （1，m），与x轴交于点B．（1）求m，k的值；（2）过动点P（0，n）（n＞0）作平行于x轴的直线，交函数y＝（x＞0）的图象于点C，交直线y＝x+3于点D．①当n＝2时，求线段CD的长；②若CD≥OB，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．23．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，BE＝1，求CF的长．24．某超市销售一款洗手液，这款洗手液成本价为每瓶16元，当销售单价定为每瓶20元时，每天可售出60瓶．市场调查反应：销售单价每上涨1元，则每天少售出5瓶．若设这款洗手液的销售单价上涨x元，每天的销售量利润为y元．（1）每天的销售量为瓶，每瓶洗手液的利润是元；（用含x的代数式表示）（2）若这款洗手液的日销售利润y达到300元，则销售单价应上涨多少元？（3）当销售单价上涨多少元时，这款洗手液每天的销售利润y最大，最大利润为多少元？25．有这样一个问题：探究函数y＝x2﹣4|x|+3的图象与性质．小丽根据学习函数的经验，对函数y＝x2﹣4|x|+3的图象与性质进行了探究．下面是小丽的探究过程，请补充完整：（1）函数y＝x2﹣4|x|+3的自变量x的取值范围是．（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，画出了函数y＝x2﹣4|x|+3的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整：（3）对于上面的函数y＝x2﹣4|x|+3，下列四个结论：①函数图象关于y轴对称；②函数既有最大值，也有最小值；③当x＞2时，y随x的增大而增大，当x＜﹣2时，y随x的增大而减小；④函数图象与x轴有2个公共点．所有正确结论的序号是．（4）结合函数图象，解决问题：若关于x的方程x2﹣4|x|+3＝k有4个不相等的实数根，则k的取值范围是．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2+2mx﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B 左侧），与y轴交于点C，AB＝4．（1）直接写出抛物线的对称轴为直线，点A的坐标为；（2）求抛物线的解析式（化为一般式）；（3）若将抛物线y＝mx2+2mx﹣3沿x轴方向平移n（n＞0）个单位长度，使得平移后的抛物线与线段AC恰有一个公共点，结合函数图象，回答下列问题：①若向左平移，则n的取值范围是．②若向右平移，则n的取值范围是．27．如图1，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，∠A＝90°，∠E＝90°，△DEF的顶点D恰好落在△ABC的斜边BC中点，把△DEF绕点D旋转，始终保持线段DE、DF 分别与线段AB、AC交于M、N，连接MN．在这个变化过程中，小明通过观察、度量，发现了一些特殊的数量关系．（1）于是他把△DEF旋转到特殊位置，验证自己的猜想．如图2，当MN∥BC时，①通过计算∠BMD和∠NMD的度数，得出∠BMD∠NMD（填＞，＜或＝）；②设BC＝2，通过计算AM，MN，NC的长度，其中NC＝，进而得出AM、MN、NC之间的数量关系是．（2）在特殊位置验证猜想还不够，还需要在一般位置进行证明．请你对（1）中猜想的线段AM、MN、NC之间的数量关系进行证明．28．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于⊙O和⊙O外的点P，给出如下的定义：若在⊙O上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为⊙O的近距点．（1）在点P1（1，1），P2（﹣，），P3（0，﹣），P4（2，1）中，⊙O的近距点是；（2）若直线l：y＝x+b上存在⊙O的近距点，求b的取值范围；（3）若点P在直线y＝x+1上，且点P是⊙O的近距点，求点P横坐标x P的取值范围．参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．下列图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D．2．如图，点A，B，C在⊙O上，若∠AOB＝70°，则∠ACB的度数为（）A．35°B．40°C．50°D．70°解：∵∠AOB＝70°，∴∠ACB＝∠AOB＝35°，故选：A．3．当x＜0时，函数y＝的图象位于（）A．第三象限B．第一、二、三象限C．第二、四象限D．第二象限解：∵反比例函数y＝中k＝5＞0，∴此函数的图象位于一、三象限，∴当x＜0时函数的图象在第三象限．故选：A．4．将抛物线y＝2x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（）A．y＝2（x+1）2+3B．y＝2（x﹣1）2+3C．y＝2（x+1）2﹣3D．y＝2（x﹣1）2﹣3解：由题意得原抛物线的顶点为（0，0），∴平移后抛物线的顶点为（1，3），∴新抛物线解析式为y＝2（x﹣1）2+3，故选：B．5．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为E，如果CE＝2，那么AB的长是（）A．4B．8C．6D．10解：连接OA，∵半径OC⊥AB，∴AE＝BE＝AB，∵OC＝5，CE＝2，∴OE＝3，在Rt△AOE中，AE＝＝＝4，∴AB＝2AE＝8，故选：B．6．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B分别为切点，PO交圆于点C，若∠APB＝60°，PC＝6，则AC的长为（）A．4B．C．D．解：如图，设CP交⊙O于点D，连接AD．设⊙O的半径为r．∵PA、PB是⊙O的切线，∠APB＝60°，∴OA⊥AP，∠APO＝∠APB＝30°．∴OP＝2OA，∠AOP＝60°，∴PC＝2OA+OC＝3r＝6，则r＝2，易证△AOD是等边三角形，则AD＝OA＝2，又∵CD是直径，∴∠CAD＝90°，∴∠ACD＝30°，∴AC＝AD•cot30°＝2故选：C．7．如图，直线y1＝2x和抛物线y2＝﹣x2+4x，当y1＞y2时，x的取值范围是（）A．0＜x＜2B．x＜0或x＞2C．x＜0或x＞4D．0＜x＜4解：由，解得或，∴两函数图象交点坐标为（0，0），（2，4），由图可知，y1＞y2时，x的取值范围是x＜0或x＞2．故选：B．8．已知O⊙，如图，（1）作⊙O的直径AB；（2）以点A为圆心，AO长为半径画弧，交⊙O于C，D两点；（3）连接CD交AB于点E，连接AC，BC．根据以上作图过程及所作图形，有下面三个推断：①CE＝DE；②BE＝3AE；⑧BC＝2CE．其中正确的推断的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个解：如图，连接OC，①∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵以点A为圆心，AO长为半径画弧，交⊙O于C，D两点，∴＝，根据垂径定理，得AB⊥CE，CE＝DE，所以①正确；②∵AC＝OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∵AB⊥CE，∴AE＝OE，∴BE＝BO+OE＝3AE，∴②正确；③方法一：∵∠CAO＝60°，∠ACB＝90°，∠CBE＝30°，∴BC＝2CE．所以③正确．方法二：由△ACE∽△CBE，∴AC：AE＝BC：CE＝2：1，∴BC＝2CE，所以③正确，故选：D．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．在平面直角坐标系xOy中，点（4，﹣5）关于原点的对称点坐标是（﹣4，5）．解：点（4，﹣5）关于原点的对称点坐标是（﹣4，5），故答案为：（﹣4，5）．10．已知在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，BC＝5，则sin∠A＝．解：如图，∵∠C＝90°，BC＝5，AB＝6，∴sin A＝＝．故答案为：．11．小云家开了一个小文具店，今年一月份的利润是2250元，三月份的利润是1000元，计算这个文具店这两个月利润的平均下降率．设这两个月利润的平均下降率为x，则可列方程得2250（1﹣x）2＝1000．解：设这两个月利润的平均下降率为x，则可列方程得：2250（1﹣x）2＝1000．故答案为：2250（1﹣x）2＝1000．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OA'，其中A（﹣2，3），则A'的坐标是（3，2）．解：如图，观察图象可知，A′（3，2）．故答案为（3，2）．13．如图，⊙O的直径AB＝4，点C在⊙O上，∠ABC＝30°，则AC的长是2．解：∵直径AB＝4，∠ACB＝90°，∵点C在⊙O上，∠ABC＝30°，∴AC＝AB＝2，故答案为：2．14．如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，∠B＝30°，△A'OB'是由△AOB绕点O顺时针旋转α（α＜180°）角度得到的，若点A'在AB上，则旋转角α＝60°．解：∵∠AOB＝90°，∠B＝30°，∴∠A＝60°．∵△A′OB′是由△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到的，∴OA＝OA′．∴△OAA′是等边三角形．∴∠AOA′＝60°，即旋转角α的大小是60°．故答案为：60°．15．如图，为了估算河的宽度，小明采用的办法是：在河的对岸选取一点A，在近岸取点D，B，使得A，D，B在一条直线上，且与河的边沿垂直，测得BD＝10m，然后又在垂直AB 的直线上取点C，并量得BC＝30m．如果DE＝20m，则河宽AD为20m．解：∵AB⊥DE，BC⊥AB，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，即，解得：AD＝20m．故答案为：20．16．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，有下列4个结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣2，x2＝3；④关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＞﹣2．其中正确的结论是②③．解：∵抛物线开口向下，交y轴的正半轴，∴a＜0，c＞0，∵﹣＝，∴b＝﹣a＞0，∴abc＜0，所以①错误；∵抛物线与x轴有2个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以②正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），而抛物线的对称轴为直线x＝，∴点（﹣2，0）关于直线x＝的对称点（3，0）在抛物线上，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根是x1＝﹣2，x2＝3，所以③正确．由图象可知当﹣2＜x＜3时，y＞0，∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣2＜x＜3，所以④错误；故答案为②③．三、解答题（本题共68分）17．解方程：2x2﹣3x﹣2＝0．解：（x﹣2）（2x+1）＝0，x﹣2＝0或2x+1＝0，所以x1＝2，x2＝﹣．18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，∠A＝30°，CD＝4，求⊙O的半径的长．解：连接BC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∴∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝2，∠AHC＝90°，∵∠A＝30°，∴AC＝2CH＝4，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∴AC＝BC＝4，AB＝2BC，∴BC＝4，AB＝8，∴OA＝4，即⊙O的半径长是4．19．如图，正方形ABCD的边长为4，E是CD中点，点P在射线AB上，过点P作线段AE 的垂线段，垂足为F．（1）求证：△PAF∽△AED；（2）连接PE，若存在点P使△PEF与△AED相似，直接写出PA的长2或5．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，∠D＝90°，CD∥AB，∴∠AED＝∠PAF，∵PF⊥AE，∴∠D＝∠PFA＝90°，∴△PAF∽△AED．（2）解：当PA＝PB＝2时，∵DE＝EC，AP＝PB，∴PE∥AD，此时∠DAE＝∠PEF，∠D＝∠PFE＝90°，可得△PEF∽△EAD．当∠AED＝∠PEF，∠D＝∠PFE时，△ADE∽△PFE，∵CD∥AB，∴∠AED＝∠EAP＝∠AEP，∴PA＝PE，∵PF⊥AE，∴AF＝FE，∵AD＝4，DE＝EC＝2，∠D＝90°，∴AE＝＝＝2，∴AF＝，∵△PAF∽△AED，∴＝，∴＝，∴PA＝5，综上所述，满足条件的PA的值为2或5．20．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x…﹣3﹣2﹣101…y＝…44m…ax2+bx+c根据以上列表，回答下列问题：（1）直接写出c，m的值；（2）求此二次函数的解析式．解：（1）根据图表可知：二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（0，4），（﹣2，4），∴对称轴为直线x ＝＝﹣1，c＝4，∵（﹣3，）的对称点为（1，），∴m ＝；（2）∵对称轴是直线x＝﹣1，∴顶点为（﹣1，），设y＝a（x+1）2+，将（0，4）代入y＝a（x+1）2+得，a +＝4，解得a ＝﹣，∴这个二次函数的解析式为y ＝﹣（x+1）2+．21．关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣4x+2＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）如果符合条件的最大整数k是一元二次方程k2+mk+1＝0的根，求m的值．解：（1）根据题意得k﹣2≠0且△＝（﹣4）2﹣4（k﹣2）×2＞0，解得k＜4且k≠2；（2）符合条件的最大整数k＝3，把k＝3代入k2+mk+1＝0得9+3m+1＝0，解得m ＝﹣．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+3与函数y ＝（x＞0）的图象交于点A（1，m），与x轴交于点B．（1）求m，k的值；（2）过动点P（0，n）（n＞0）作平行于x轴的直线，交函数y＝（x＞0）的图象于点C，交直线y＝x+3于点D．①当n＝2时，求线段CD的长；②若CD≥OB，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．解：（1）∵直线y＝x+3经过点A（1，m），∴m＝1+3＝4，∵反比例函数的图象经过点A（1，4），∴k＝1×4＝4；（2）①当n＝2时，点P的坐标为（0，2），当y＝2时，2＝，解得x＝2，∴点C的坐标为（2，2），当y＝2时，x+3＝2，解得x＝﹣1，∴点D的坐标为（﹣1，2），∴CD＝2﹣（﹣1）＝3；②当y＝0时，x+3＝0，解得x＝﹣3，则B（﹣3，0）当y＝n时，n＝，解得x＝，∴点C的坐标为（，n），当y＝n时，x+3＝n，解得x＝n﹣3，∴点D的坐标为（n﹣3，n），当点C在点D的右侧时，若CD＝OB，即﹣（n﹣3）＝3，解得n1＝2，n2＝﹣2（舍去），∴当0＜n≤2时，CD≥OB；当点C在点D的左侧时，若CD＝OB，即n﹣3﹣＝3，解得n1＝3+，n2＝3﹣（舍去），∴当n≥3+时，CD≥OB，综上所述，n的取值范围为0＜n≤2或n≥3+．23．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，BE＝1，求CF的长．【解答】（1）证明：如图，连接OD，AD，∵AC是直径，∴AD⊥BC，又∵在△ABC中，AB＝AC，∴BD＝CD，∵AO＝OC，∴OD∥AB，又∵DE⊥AB，∴DE⊥OD，∵OD为⊙O半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵⊙O的半径为2，AB＝AC，∴AC＝AB＝2+2＝4，∵BE＝1，∴AE＝4﹣1＝3，过O作OH⊥AB于H，则四边形ODEH是矩形，∴EH＝OD＝2，∴AH＝1，∴AH＝AO，∴∠AOH＝30°，∴∠BAC＝60°，∴AF＝2AE＝6，∴CF＝AF﹣AC＝2．∵DE⊥AB，AD⊥BC，∴∠AED＝∠BED＝∠ADB＝90°，∴∠DAE+∠ADE＝90°，∠ADE+∠BDE＝90°，∴∠DAE＝∠BDE，∴△AED∽△DEB，∴＝，∴＝，解得：DE＝，∵OD∥AB，∴△FOD∽△FAE，∴＝，∴＝，解得：FD＝2，在Rt△FOD中，FO＝＝＝4，∴CF＝FO﹣OC＝4﹣2＝2．24．某超市销售一款洗手液，这款洗手液成本价为每瓶16元，当销售单价定为每瓶20元时，每天可售出60瓶．市场调查反应：销售单价每上涨1元，则每天少售出5瓶．若设这款洗手液的销售单价上涨x元，每天的销售量利润为y元．（1）每天的销售量为（60﹣5x）瓶，每瓶洗手液的利润是（4+x）元；（用含x 的代数式表示）（2）若这款洗手液的日销售利润y达到300元，则销售单价应上涨多少元？（3）当销售单价上涨多少元时，这款洗手液每天的销售利润y最大，最大利润为多少元？解：（1）每天的销售量为（60﹣5x）瓶，每瓶洗手液的利润是（4+x）元；故答案为：（60﹣5x）；（4+x）；（2）根据题意得，（60﹣5x）（4+x）＝300，解得：x1＝6，x2＝2，答：销售单价应上涨2元或6元；（3）根据题意得，y＝（60﹣5x）（4+x）＝﹣5（x﹣12）（x+4）＝﹣5（x﹣4）2+320，答：当销售单价上涨4元时，这款洗手液每天的销售利润y最大，最大利润为320元．25．有这样一个问题：探究函数y＝x2﹣4|x|+3的图象与性质．小丽根据学习函数的经验，对函数y＝x2﹣4|x|+3的图象与性质进行了探究．下面是小丽的探究过程，请补充完整：（1）函数y＝x2﹣4|x|+3的自变量x的取值范围是任意实数．（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，画出了函数y＝x2﹣4|x|+3的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整：（3）对于上面的函数y＝x2﹣4|x|+3，下列四个结论：①函数图象关于y轴对称；②函数既有最大值，也有最小值；③当x＞2时，y随x的增大而增大，当x＜﹣2时，y随x的增大而减小；④函数图象与x轴有2个公共点．所有正确结论的序号是①③．（4）结合函数图象，解决问题：若关于x的方程x2﹣4|x|+3＝k有4个不相等的实数根，则k的取值范围是﹣1＜k＜3．解：（1）∵函数y＝x2﹣4|x|+3，∴x的取值范围为任意实数，故答案为：任意实数；（2）由函数y＝x2﹣4|x|+3可知，x＞0和x＜0时的函数图象关于y轴对称，函数图象如右图所示；（3）由图象可得，函数图象关于y轴对称，故①正确；函数有最小值，但没有最大值，故②错误；当x＞2时，y随x的增大而增大，当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，故③正确；函数图象与x轴有4个公共点，故④错误；故答案为：①③；（4）由图象可得，关于x的方程x2﹣4|x|+3＝k有4个不相等的实数根，则k的取值范围是﹣1＜k＜3，故答案为：﹣1＜k＜3．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2+2mx﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B 左侧），与y轴交于点C，AB＝4．（1）直接写出抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，点A的坐标为（﹣3，0）；（2）求抛物线的解析式（化为一般式）；（3）若将抛物线y＝mx2+2mx﹣3沿x轴方向平移n（n＞0）个单位长度，使得平移后的抛物线与线段AC恰有一个公共点，结合函数图象，回答下列问题：①若向左平移，则n的取值范围是0＜n≤4．②若向右平移，则n的取值范围是0＜n≤2．解：（1）∵抛物线y＝mx2+2mx﹣3的对称轴为直线x＝＝﹣1，AB＝4，∴点A（﹣3，0），点B（1，0），故答案为：x＝﹣1，（﹣3，0）；（2）∵抛物线y＝mx2+2mx﹣3过点B（1，0），∴0＝m+2m﹣3，∴m＝1，∴抛物线的解析式：y＝x2+2x﹣3，（3）如图，∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴设向左平移后的解析式为：y＝（x+1+n）2﹣4，把x＝﹣3，y＝0代入解析式可得：0＝（﹣3+1+n）2﹣4，∴n＝0（舍去），n＝4，∴向左平移，则n的取值范围是0＜n≤4；设向右平移后的解析式为：y＝（x+1﹣n）2﹣4，把x＝0，y＝﹣3代入解析式可得：﹣3＝（1﹣n）2﹣4，∴n＝0（舍去），n＝2，∴向右平移，则n的取值范围是0＜n≤2，故答案为：0＜n≤4；0＜n≤2．27．如图1，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，∠A＝90°，∠E＝90°，△DEF的顶点D恰好落在△ABC的斜边BC中点，把△DEF绕点D旋转，始终保持线段DE、DF 分别与线段AB、AC交于M、N，连接MN．在这个变化过程中，小明通过观察、度量，发现了一些特殊的数量关系．（1）于是他把△DEF旋转到特殊位置，验证自己的猜想．如图2，当MN∥BC时，①通过计算∠BMD和∠NMD的度数，得出∠BMD＝∠NMD（填＞，＜或＝）；②设BC＝2，通过计算AM，MN，NC的长度，其中NC＝，进而得出AM、MN、NC之间的数量关系是AM+MN＝CN．（2）在特殊位置验证猜想还不够，还需要在一般位置进行证明．请你对（1）中猜想的线段AM、MN、NC之间的数量关系进行证明．解：（1）①∵△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，∠A＝90°，∠E＝90°，∴∠B＝∠C＝∠EDF＝45°，AB＝AC，BC＝AB，∵MN∥BC，∴∠AMN＝∠B＝45°＝∠ANM＝∠C，∠DMN＝∠BDM，∴AM＝AN，∴BM＝CN，∵点D是BC中点，∴BD＝CD，在△BMD和△CND中，，∴△BMD≌△CND（SAS），∴∠BMD＝∠DNC，∵∠MDB＝∠C+∠DNC＝∠MDN+∠BDM，∴∠BDM＝∠CND，∴∠BMD＝∠CND＝∠BDM＝∠CMN，故答案为：＝；②∵BC＝2，BC＝AB，∴AB＝AC＝2，∵∠BMD＝∠CND＝∠BDM，∴BD＝BM＝BC＝，∴NC＝，∴AM＝2﹣，∵AM＝AN，∠A＝90°，∴MN＝AM＝2﹣2，∴AM+MN＝2﹣+2﹣2＝＝NC，故答案为：；AM+MN＝NC；（2）如图1，在CN上截取CH＝AM，连接AD，DH，∵△ABC是等腰直角三角形，点D是BC中点，∴AD＝CD，∠BAD＝∠ACD＝45°，AD⊥BC，又∵AM＝CH，∴△AMD≌△CHD（SAS），∴MD＝DH，∠ADM＝∠CDH，∵∠ADM+∠ADN＝∠MDN＝45°，∴∠ADN+∠CDH＝45°，∴∠HDN＝45°＝∠MDN，在△MDN和△HDN中，，∴△MDN≌△HDN（SAS），∴MN＝HN，∴NC＝CH+NH＝AM+MN．28．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于⊙O和⊙O外的点P，给出如下的定义：若在⊙O上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为⊙O的近距点．（1）在点P1（1，1），P2（﹣，），P3（0，﹣），P4（2，1）中，⊙O的近距点是P1；（2）若直线l：y＝x+b上存在⊙O的近距点，求b的取值范围；（3）若点P在直线y＝x+1上，且点P是⊙O的近距点，求点P横坐标x P的取值范围．解：（1）由题意得：OQ＝1，P1（1，1），P2（﹣，），P3（0，﹣），P4（2，1）的坐标知，点P2、P3都不在圆O外，故不符合题意；对于P1，OP1＝＝，则OP1﹣OQ＜P1Q＜OP1+OQ，即﹣1＜P1Q＜+1，故存在P1Q≤1，故点P1符合题意；同理可得OP4＝，则﹣1＜P4Q＜+1，故不存在P4Q≤1，故点P4符合题意；故答案为P1；（2）如图1，平移直线l至图示与半径为2的圆相切的位置，即l和l′的位置，当直线l位于图示l和l′之间的位置时，直线l：y＝x+b上存在⊙O的近距点，设直线l与圆切于点A，则△OAB为等腰直角三角形，则OB＝OA＝2＝b，同理当直线l处于l′的位置时，b＝﹣2，故b的取值范围为﹣2≤b≤2；（3）如图2，作半径为2的同心圆O，与直线y＝x+1交于点B、C，设直线y＝x+1与半径为1的圆交于点E、F，则点P点在BE和CF之间的位置时，符合题意，设点B的坐标为（x，x+1），过点B作BH⊥y轴于点H，连接OB、OC，在Rt△OBH中，OB2＝BH2+OH2，即（x+1）2+x2＝22，解得x＝（舍去负值），故x＝＝x B，同理可得，x C＝﹣，故0＜x P≤或﹣≤x P＜﹣1．。

2020-2021北京市九年级数学上期中一模试卷及答案一、选择题1．若二次函数2y x bx =+的图象的对称轴是经过点(2,0)且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程25x bx +=的解为（ ）．A ．10x =，24x =B ．11x =，25x =C ．11x =，25x =-D ．11x =-，25x = 2．若x 1是方程ax 2+2x+c ＝0(a≠0)的一个根，设M ＝(ax 1+1)2，N ＝2﹣ac ，则M 与N 的大小关系为( )A ．M ＞NB ．M ＝NC ．M ＜ND ．不能确定3．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 为⊙O 上的一点，过点C 作⊙O 的切线，交直径AB 的延长线于点D ，若∠A =25°，则∠D 的度数是（ ）A ．25°B ．40°C ．50°D ．65° 4．用配方法解方程2410x x -+=，配方后的方程是 ( )A ．2(2)3x +=B ．2(2)3x -=C ．2(2)5x -=D ．2(2)5x += 5．下列图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知实数0a <，则下列事件是随机事件的是（ ）A ．0a ≥B ．10a +>C ．10a -<D ．210a +<7．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠C=45°，AB=2，则⊙O 的半径为（ ）A ．1B ．2C ．2D 2 8．若关于x 的方程240kx x -+=有实数根，则k 的取值范围是( )A ．k 16≤B ．1k 16≤C ．k 16≤且k 0≠D ．1k 16≤且k 0≠9．如图，P 是等腰直角△ABC 外一点，把BP 绕点B 顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B ＝135°，P′A ∶P′C ＝1∶3，则P′A ∶PB ＝( )A ．1∶2B ．1∶2C ．3∶2D ．1∶3 10．如图，已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象与x 轴交于点A （﹣1，0），对称轴为直线x=1，与y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列结论：①当x ＞3时，y ＜0；②3a+b ＜0；③213a -≤≤-； ④248acb a ->；其中正确的结论是（ ）A ．①③④B ．①②③C ．①②④D ．①②③④ 11．长方形的周长为24cm ，其中一边长为()x cm ，面积为2ycm 则长方形中y 与x 的关系式为（ ）A ．2y x =B ．2(12)y x =-C ．(12)y x x =-D ．2(12)y x =-12．若a ，b 为方程2x 5x 10--=的两个实数根，则22a 3ab 8b 2a ++-的值为（ ） A ．-41 B ．-35 C ．39 D ．45二、填空题13．已知方程x 2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，则k=_____．14．如图，二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象经过（﹣1，0）（3，0）两点，给出的下列6个结论：①ab ＜0；②方程ax 2+bx+c ＝0的根为x 1＝﹣1，x 2＝3；③4a+2b+c ＜0；④当x ＞1时，y 随x 值的增大而增大；⑤当y ＞0时，﹣1＜x ＜3；⑥3a+2c ＜0．其中不正确的有_____．15．已知一元二次方程x 2＋kx －3＝0有一个根为1，则k 的值为__________．16．如图，将正六边形ABCDEF 放置在直角坐标系内，A(﹣2，0)，点B 在原点，把正六边形ABCDEF 沿x 轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，经过2020次翻转之后，点C 的坐标是_____．17．现有甲、乙两个盒子，甲盒子中有编号为4，5，6的3个球，乙盒子中有编号为7，8，9的3个球．小宇分别从这两个盒子中随机地拿出1个球，则拿出的2个球的编号之和大于12的概率为_____．18．已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3cm 和4cm ，则这个直角三角形的内切圆的半径为 cm19．用半径为12cm ，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为_______cm ．20．如图，将ABC V 绕点A 逆时针旋转150 ，得到ADE V ，这时点B C D 、、恰好在同一直线上，则B Ð的度数为______．三、解答题21．已知：如图，AB 是⊙O 的弦，⊙O 的半径为10，OE 、OF 分别交AB 于点E 、F ，OF 的延长线交⊙O 于点D ，且AE=BF ，∠EOF=60°．（1）求证：△OEF 是等边三角形；（2）当AE=OE 时，求阴影部分的面积．（结果保留根号和π）22．为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为 3 元/个的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价 4 元时，每天能出售 500 个，并且售价每上涨 0.1 元，其销售量将减少 10 个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价 的 200%，请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使超市每天的销售利润为 800 元．23．三辆汽车经过某收费站下高速时，在2个收费通道A ，B 中，可随机选择其中的一个通过．（1）三辆汽车经过此收费站时，都选择A 通道通过的概率是 ；（2）求三辆汽车经过此收费站时，至少有两辆汽车选择B 通道通过的概率．24．已知关于x 的一元二次方程225x x m --=（）（）（1）求证：对于任意实数m ，方程总有两个不相等的实数根；（2）若此方程的两实数根12,x x 满足221233x x +=，求实数m 的值.25．已知，关于x 的一元二次方程2210x x m -+-=有两个不相等的实数根.（1）求m 的取值范围；（2）如果m 为非负整数，且该方程的根都是整数，求m 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【详解】∵二次函数y=x 2+bx 的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y 轴的直线，∴抛物线的对称轴为直线x=2，则−2b a =−2b =2， 解得：b=−4， ∴x 2+bx=5即为x 2−4x−5=0，则(x−5)(x+1)=0，解得：x 1=5，x 2=−1.故选D.【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把二次函数y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为关于x的一元二次方程的问题.2．C解析：C【解析】【分析】把x1代入方程ax2+2x+c=0得ax12+2x1=-c，作差法比较可得．【详解】∵x1是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，∴ax12+2x1+c=0，即ax12+2x1=-c，则M-N=（ax1+1）2-（2-ac）=a2x12+2ax1+1-2+ac=a（ax12+2x1）+ac-1=-ac+ac-1=-1，∵-1＜0，∴M-N＜0，∴M＜N．故选C．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解的概念及作差法比较大小，熟练掌握能使方程成立的未知数的值叫做方程的解是根本，利用作差法比较大小是解题的关键．3．B解析：B【解析】连接OC，∵CD是切线，∴∠OCD=90°，∵OA=OC，∴∠ACO=∠BAC=25°，∴∠COD=∠ACO+∠BAC=50°，∴∠D=90°-∠COD=40°，故选B.4．B解析：B【解析】【分析】根据配方法可以解答本题．【详解】x2−4x＋1＝0，（x−2）2−4＋1＝0，（x−2）2＝3，故选：B ．【点睛】本题考查解一元二次方程−配方法，解答本题的关键是解一元二次方程的方法．5．B解析：B【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐一判断即可得答案.【详解】A.不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意，B.是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意，C.不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意，D.是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意．故选：B ．【点睛】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．6．B解析：B【解析】【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【详解】解：A 、∵任何数的绝对值都是非负数，∴0a ≥是必然事件，不符合题意；B 、∵0a <，∴1a +的值可能大于零，可能小于零，可能等于零是随机事件，符合题意；C 、∵0a <，∴a-1＜-1＜0是必然事件，故C 不符合题意；D 、∵21a +>0,∴210a +<是不可能事件，故D 不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．7．D解析：D【解析】【详解】解：连接AO ，并延长交⊙O 于点D ，连接BD ，∵∠C=45°，∴∠D=45°，∵AD 为⊙O 的直径，∴∠ABD=90°，∴∠DAB=∠D=45°，∵AB=2，∴BD=2，∴22222222AB BD +=+=∴⊙O 的半径AO=22AD =． 故选D ．【点睛】 本题考查圆周角定理；勾股定理．8．B解析：B【解析】【分析】当0k =时，代入方程验证即可，当0k ≠时，根据方程的判别式△≥0可得关于k 的不等式，解不等式即得k 的取值范围，问题即得解决.【详解】解：当0k =时，40x -+=，此时4x =，有实数根；当0k ≠时，∵方程240kx x -+=有实数根，∴△2(1)440k =--⨯⨯…，解得：116k …，此时116k …且0k ≠； 综上，116k …．故选B. 【点睛】 本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟知一元二次方程的根的判别式与根的关系是解题的关键.9．B解析：B【解析】【分析】解：如图，连接AP ，∵BP 绕点B 顺时针旋转90°到BP ′，∴BP =BP ′，∠ABP +∠ABP ′=90°，又∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AB =BC ，∠CBP ′+∠ABP ′=90°，∴∠ABP =∠CBP ′，在△ABP 和△CBP ′中，∵BP =BP ′，∠ABP =∠CBP ′，AB =BC ，∴△ABP ≌△CBP ′（SAS ），∴AP =P ′C ，∵P ′A ：P ′C =1：3，∴AP =3P ′A ，连接PP ′，则△PBP ′是等腰直角三角形，∴∠BP ′P =45°，PP ′=2PB ， ∵∠AP ′B =135°，∴∠AP ′P =135°﹣45°=90°，∴△APP ′是直角三角形，设P ′A =x ，则AP =3x ，根据勾股定理，PP ′=22'AP P A -=22(3)x x -=22x ， ∴PP ′=2PB =22x ，解得PB =2x ，∴P ′A ：PB =x ：2x =1：2．故选B ．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作辅助线构造出全等三角形以及直角三角形，把P ′A 、P ′C 以及P ′B 2倍转化到同一个直角三角形中是解题的关键．10．B解析：B【解析】【分析】①由抛物线的对称性可求得抛物线与x 轴令一个交点的坐标为（3，0），当x ＞3时，y ＜0，故①正确；②抛物线开口向下，故a ＜0，∵12b x a=-=，∴2a+b=0．∴3a+b=0+a=a ＜0，故②正确；③设抛物线的解析式为y=a （x+1）（x ﹣3），则223y ax ax a =--，令x=0得：y=﹣3a ．∵抛物线与y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间，∴233a ≤-≤．解得：213a -≤≤-，故③正确； ④．∵抛物线y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间，∴2≤c≤3，由248acb a ->得：248ac a b ->，∵a ＜0，∴224b c a -<，∴c ﹣2＜0，∴c ＜2，与2≤c≤3矛盾，故④错误． 【详解】解:①由抛物线的对称性可求得抛物线与x 轴令一个交点的坐标为（3，0），当x ＞3时，y ＜0，故①正确；②抛物线开口向下，故a ＜0， ∵12b x a=-=， ∴2a+b=0． ∴3a+b=0+a=a ＜0，故②正确；③设抛物线的解析式为y=a （x+1）（x ﹣3），则223y ax ax a =--，令x=0得：y=﹣3a ．∵抛物线与y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间，∴233a ≤-≤． 解得：213a -≤≤-， 故③正确；④．∵抛物线y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间，∴2≤c≤3，由248ac b a ->得：248ac a b ->，∵a ＜0， ∴224b c a-<， ∴c ﹣2＜0，∴c ＜2，与2≤c≤3矛盾，故④错误．故选B ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系,结合图像,数形结合的思想的运用是本题的解题关键.．11．C解析：C【解析】【分析】根据周长关系求出另一边的长，再用面积公式即可表示y 与x 的函数.【详解】∵长方形的周长为24cm ，其中一边长为()x cm ，∴另一边为12-x ，故面积2ycm 则长方形中y 与x 的关系式为(12)y x x =- 故选C【点睛】此题主要考查函数的表示，解题的关键是熟知长方形的周长与面积公式.12．C解析：C【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义及一元二次方程根与系数的关系可得a 2-5a-1=0，a+b=5，ab=-1，把22a 3ab 8b 2a ++-变形为2(a 2-5a-1)+3ab+8(a+b)+2，即可得答案．【详解】∵a ，b 为方程2x 5x 10--=的两个实数根，∴a 2-5a-1=0，a+b=5，ab=-1，∴22a 3ab 8b 2a ++-=2(a 2-5a-1)+3ab+8(a+b)+2=2×0+3×（-1）+8×5+2 =39．故选：C ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解的定义及一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x 1、x 2，则x 1+x 2=b a -，x 1·x 2=c a；熟练掌握韦达定理是解题关键． 二、填空题13．【解析】∵x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根∴△=∴9﹣4k=0∴k=故答案为 解析：94【解析】 ∵x 2﹣3x +k=0有两个相等的实数根，∴△=2(3)410k --⨯⨯=，∴9﹣4k=0，∴k=94． 故答案为94． 14．⑤【解析】【分析】①由图象可知a>0b<0则问题可解；②根据图象与x 轴交点问题可解；③由图象可知当x=2时对应的点在x 轴下方x=2时函数值为负；④由图象可知抛物线对称轴为直线x=1当x>1时y 随x 值解析：⑤【解析】【分析】①由图象可知，a>0,b<0,则问题可解；②根据图象与x 轴交点，问题可解；③由图象可知，当x=2时，对应的点在x 轴下方，x=2时，函数值为负；④由图象可知，抛物线对称轴为直线x=1，当x>1时，y 随x 值的增大而增大；⑤由图象可知，当y>0时，对应x>3或x<-1；⑥根据对称轴找到ab 之间关系，再代入a ﹣b+c ＝0，问题可解．综上即可得出结论．【详解】解：①∵抛物线开口向上，对称轴在y 轴右侧，与y 轴交于负半轴，∴a ＞0，﹣2b a ＞0，c ＜0， ∴b ＜0，∴ab ＜0，说法①正确；②二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象经过（﹣1，0）（3，0）两点，∴方程ax 2+bx+c ＝0的根为x 1＝﹣1，x 2＝3，说法②正确；③∵当x ＝2时，函数y ＜0，∴4a+2b+c ＜0，说法③正确；④∵抛物线与x 轴交于（﹣1，0）、（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，∵图象开口向上，∴当x ＞1时，y 随x 值的增大而增大，说法④正确；⑤∵抛物线与x 轴交于（﹣1，0）、（3，0）两点，且图象开口向上，∴当y ＜0时，﹣1＜x ＜3，说法⑤错误；⑥∵当x ＝﹣1时，y ＝0，∴a ﹣b+c ＝0，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1＝﹣2b a， ∴b ＝﹣2a ，∴3a+c ＝0，∵c ＜0，∴3a+2c ＜0，说法⑥正确．故答案为⑤．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与x 轴的交点以及二次函数图象上点的坐标特征，解答关键是根据二次函数性质结合函数图象解答问题． 15．2【解析】【分析】把x=1代入已知方程列出关于k 的新方程通过解新方程来求k 的值【详解】∵方程x2+kx −3=0的一个根为1∴把x=1代入得12+k×1−3=0解得k=2故答案是：2【点睛】本题考查了解析：2【解析】【分析】把x=1代入已知方程，列出关于k的新方程，通过解新方程来求k的值．【详解】∵方程x2+kx−3=0的一个根为1，∴把x=1代入，得12+k×1−3=0，解得，k=2.故答案是：2.【点睛】本题考查了一元二次方程的知识点，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程解的应用. 16．(40382)【解析】【分析】先求出开始时点C的横坐标为OC＝1根据正六边形的特点每6次翻转为一个循环组循环用2020除以6根据商和余数的情况确定出点C的位置然后求出翻转B前进的距离连接CE过点D作解析：(4038，【解析】【分析】先求出开始时点C的横坐标为12OC＝1，根据正六边形的特点，每6次翻转为一个循环组循环，用2020除以6，根据商和余数的情况确定出点C的位置，然后求出翻转B前进的距离，连接CE，过点D作DH⊥CE于H，则CE⊥EF，∠CDH＝∠EDH＝60°，CH＝EH，求出CE＝2CH＝2×CDsin60°＝C的坐标．【详解】∵六边形ABCDEF为正六边形，∴∠AOC＝120°，∴∠DOC＝120°﹣90°＝30°，∴开始时点C的横坐标为：12OC＝12×2＝1，∵正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，∴每6次翻转为一个循环组循环，∵2020÷6＝336…4，∴为第336循环组的第4次翻转，点C在开始时点E的位置，如图所示：∵A（﹣2，0），∴AB＝2，∴翻转B前进的距离＝2×2020＝4040，∴翻转后点C的横坐标为：4040﹣2＝4038，连接CE，过点D作DH⊥CE于H，则CE⊥EF，∠CDH＝∠EDH＝60°，CH＝EH，∴CE＝2CH＝2×CDsin60°＝2×2×32＝23，∴点C的坐标为（4038，23），故答案为：（4038，23）．【点睛】本题考查了正六边形的性质、坐标与图形、翻转的性质、含30°角直角三角形的性质、三角函数等知识；根据每6次翻转为一个循环组，确定出翻转最后点C所在的位置是解题的关键．17．【解析】【分析】列举出所有情况找出取2个球的编号之和大于12的情况即可求出所求的概率【详解】列树状图得：：共有9种等可能的情况其中编号之和大于12的有6种所以概率=故答案为：【点睛】此题主要考查了利解析：2 3【解析】【分析】列举出所有情况，找出取2个球的编号之和大于12的情况，即可求出所求的概率．【详解】列树状图得：：共有9种等可能的情况，其中编号之和大于12的有6种，所以概率= 62 93 ，故答案为：23．【点睛】此题主要考查了利用树状图法求概率，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn是解题的关键．18．1【解析】通过勾股定理计算出斜边的长得到三角形的外接圆半径；再利用内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半计算出内切圆半径最后求它们的差解：因为斜边==5内切圆半径r==1；所以r=1故填1会利用解析：1【解析】通过勾股定理计算出斜边的长，得到三角形的外接圆半径；再利用内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半，计算出内切圆半径，最后求它们的差．解：因为斜边==5，内切圆半径r==1；所以r=1．故填1．会利用勾股定理进行计算．其内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半．19．【解析】【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长利用扇形的弧长公式即可求得圆锥的底面周长然后根据圆的周长公式即可求解【详解】解：圆锥的底面周长是：=6π设圆锥底面圆的半径是r则2πr=6π则r=3故解析：【解析】【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，利用扇形的弧长公式即可求得圆锥的底面周长，然后根据圆的周长公式即可求解．【详解】解：圆锥的底面周长是：9012180π⨯=6π，设圆锥底面圆的半径是r，则2πr=6π，则r=3．故答案为：3．【点睛】本题考查圆锥的计算．20．15【解析】分析：先判断出∠BAD=150°AD=AB再判断出△BAD是等腰三角形最后用三角形的内角和定理即可得出结论详解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转150°得到△ADE∴∠BAD=150°AD=解析：15【解析】分析：先判断出∠BAD=150°，AD=AB，再判断出△BAD是等腰三角形，最后用三角形的内角和定理即可得出结论．详解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，∴∠BAD=150°，AD=AB，∵点B，C，D恰好在同一直线上，∴△BAD是顶角为150°的等腰三角形，∴∠B=∠BDA，∴∠B=12（180°-∠BAD）=15°，故答案为15°．点睛：此题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，判断出三角形ABD是等腰三角形是解本题的关键．三、解答题21．（1）见解析；（2）503 25π-．【解析】【分析】（1）作OC⊥AB于点C，由OC⊥AB可知AC=BC，再根据AE=BF可知EC=FC，因为OC⊥EF，所以OE=OF，再由∠EOF=60°即可得出结论．（2）在等边△OEF中，因为∠OEF=∠EOF=60°，AE=OE，所以∠A=∠AOE=30°，故∠AOF=90°，再由AO=10可求出OF的长，根据S阴影=S扇形AOD﹣S△AOF即可得出结论．【详解】解：（1）证明：作OC⊥AB于点C，∵OC⊥AB，∴AC=BC．∵AE=BF，∴EC=FC．∵OC⊥EF，∴OE=OF．∵∠EOF=60°，∴△OEF是等边三角形．；（2）∵在等边△OEF中，∠OEF=∠EOF=60°，AE=OE，∴∠A=∠AOE=30°．∴∠AOF=90°．∵AO=10，∴OF=3103 tan1033AO AOE⋅∠=⨯=．∴110350310233ACFS=⨯=V,2901025360AODSππ⋅⋅==扇形．∴50325ACFAODS S Sπ∆=-=-阴影扇形22．每个粽子的定价为5元时，每天的利润为800元．【解析】试题分析：首先设每个粽子的定价为x元，然后根据题意得出方程，从而求出x的值，然后根据售价不能超过进价的200%，从而得出x的取值范围，从而得出答案.试题解析：设每个粽子的定价为x 元时，每天的利润为800元．根据题意，得（x ﹣3）（500﹣10×）=800， 解得x 1=7，x 2=5．∵售价不能超过进价的200%， ∴x ≤3×200%．即x≤6． ∴x=5．答：每个粽子的定价为5元时，每天的利润为800元．考点：一元二次方程的应用23．（1）18；（2）12【解析】【分析】（1）用树状图分3次实验列举出所有情况，再看3辆车都选择A 通道通过的情况数占总情况数的多少即可；（2）由（1）可知所有可能的结果数目，再看至少有两辆汽车选择B 通道通过的情况数占总情况数的多少即可．【详解】解：（1）画树状图得：共8种情况，甲、乙、丙三辆车都选择A 通道通过的情况数有1种，所以都选择A 通道通过的概率为18， 故答案为：18； （2）∵共有8种等可能的情况，其中至少有两辆汽车选择B 通道通过的有4种情况， ∴至少有两辆汽车选择B 通道通过的概率为4182=． 【点睛】考查了概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；得到所求的情况数是解决本题的关键．24．（1）详见解析；（2）实数m 的值为2±【解析】【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△=b 2-4ac ，即可得出△249m =+，结合4m 2≥0可得出△＞0，进而可证出：无论m 取任何实数，方程都有两个不相等的实数根；（2）利用根与系数的关系可得出212127,10x x x x m +==-Q g ，结合x 12+x 22=33可得出关于m 的一元二次方程，解之即可得出m 的值．【详解】解：（1）证明：Q 关于x 的一元二次方程225x x m --=（（）整理，得227100x x m -+-=249410m =--V （）249404m =-+249m =+2240490m m ∴≥∴+>∴对于任意实数m ，方程总有两个不相等的实数根；（2）： 212127,10x x x x m +==-Q g221233x x +=()21212233x x x x ∴+-= ()24921033m --=解得m =答：实数m 的值为【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）根据根与系数的关系结合x 12+x 22=33，找出关于m 的一元二次方程．25．(1) 2m <；(2) m 的值是1.【解析】【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根知△＞0，据此列出关于m 的不等式，解之可得； （2）由（1）中m 的范围且m 为非负整数得出m 的值，代入方程，解之可得．【详解】解：（1）根据题意得：()()22410m --->，解得：2m <.故m 的取值范围为2m <；（2）由（1）得：2m <m Q 为非负整数， 0m ∴=或1，把0m =代入原方程得：2210x x --=，解得：11x =21x =，0m =不合题意舍去；把1m =代入原方程得：220x x -=，解得：10x =，22x =.故m的值是1.【点睛】此题考查根的判别式及一元二次方程的解，熟练掌握根的判别式及一元二次方程的解的定义是解题关键．。

2024北京五中分校初三10月月考数 学考生须知：1．本试卷满分100分，考试时间100分钟．2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题用2B 铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答．5．考试结束，将答题卡交回．一、选择题（本题共16分，每小题2分）1. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D. 2. 抛物线241y x x =−+的顶点坐标是（ ）A. ()2,3B. ()2,3−C. ()2,3−−D. ()2,3− 3. 下列关于函数21y x =− ）A. y 随x 的增大而减小B. 当0x >时，y 随x 的增大而增大C. 当0x <时，y 随x 的增大而增大D. 当0x >时，y 随x 的增大而减小 4. 如图，DE 是ABC 的中位线，若ADE 的面积为1，则四边形DBCE 的面积为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 15. 在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线23y x =先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线是（ ）A. 23(x 4)1y =+−B. 23(4)1y x =++C. 23(4)1y x =−−D. 23(4)1y x =−+ 6. 某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31.5元，已知两次降价的百分比相同，设为x ，那么根据题意可以列方程为（ ）A. ()56131.5x −=B. ()561231.5x −=C. 256(1)31.5x −=D. 256(12)31.5x −= 7. 已知：二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象上部分对应点坐标如下表，m 的值为（ ）A. 1B. 2C. 5−D. 08. 如图，抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）经过点()1,0−．下面有四个结论：①0a >；②20a b +<：③420a b c ++>；④关于x 的不等式()20ax b c x +−>的解集为1x <−或0x >．其中所有正确结论的序号是（ ）A. ①②B. ②③C. ③④D. ②③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 方程23x x =的解是____．10. 若关于x 的一元二次方程240x x c −+=有两个相等的实数根，则实数c 的值为___________． 11. 二次函数243y x x =−+的图象与y 轴的交点坐标为______．12. 在平面直角坐标系xOy 中，若点1(2,)y ，2(4,)y 在抛物线22(3)4y x =−−上，则1y ___2y （填“>”，“ =”或“<”）．13. 如图，一次函数y =kx +b (k ≠0)与二次函数()20y ax a =≠的图象分别交于点()2,2A −，()4,8B ．则关于x 的方程2ax kx b =+的解为______．14. 如图，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，AD BC ⊥，3AD =，2BD =，则CD 的长为 __________．15. 已知：如图，在ABC 中，120BAC ∠=︒，以BC 为边向形外作等边三角形BCD △，把ABD △绕着点D 按顺时针方向旋转60︒后得到ECD ，若3AB =，2AC =，AD 的长为___________．16. 已知抛物线()2212y x mx m =−−≤≤经过点(,)A p t 和点(2,)B p t +，则t 的最小值是__________． 三、解答题（共68分，第17题6分，其中每小题3分，第18-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27题7分，第28题7分）17. 解方程：（1）2680x x −+=．（2）(25)410x x x −=−．18. 已知实数a 是25170x x −−=的根，不解方程，求()()()212111a a a −−−++的值．19. 已知二次函数2=23y x x −−．（1）将其化为2()y a x h k =−+的形式为_______________；（2）在所给的平面直角坐标系xoy 中，画出它的图象；（3）抛物线与x 轴交点坐标为_______________；（4）22x −≤≤时，y 的取值范围是_______________．20. 已知关于x 的一元二次方程()210x m x m −++=．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若0m <，且该方程的两个实数根的差为3，求m 的值．21. 如图，ABC 绕某点按一定方向旋转一定角度后得到111A B C △，点A ，B ，C 分别对应点1A ，1B ，1C ．（1）在图中画出111A B C △；（2）111A B C △是以点______（填“1O ”，“2O ”或“3O ”）为旋转中心，将ABC ______时针旋转______度得到的．22. 如图，在菱形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，过B ，C 两点分别作AC ，BD 的平行线，相交于点E ． （1）求证：四边形BOCE 是矩形；（2）连接EO 交BC 于点F ，连接AF ，若∠ABC =60°，AB =2，求AF 的长．23. 已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表所示：（1）求二次函数的解析式及顶点坐标；（2）直接写出当0y >时，x 的取值范围．24. 如图，A 是直线MN 上一点，90BAC ∠=︒，过点B 作BD MN ⊥于点D ，过点C 作CE MN ⊥于点E ．（1）求证：ADB CEA ；（2）若AB =2AD AE ==，求CE 的长．25. 如图1，灌溉车为公路绿化带草坪浇水，图2是灌溉车浇水操作时的截面图．现将灌溉车喷出水的上、下边缘线近似地看作平面直角坐标系xOy 中两条抛物线的部分图象．已知喷水口H 离地竖直高度OH 为1.2m ，草坪水平宽度3m DE =，竖直高度忽略不计.上边缘抛物线最高点A 离喷水口的水平距离为2m ，高出喷水口0.4m ，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m 得到的，设灌溉车到草坪的距离OD 为d （单位：m ）．（1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC 的长；（2）下边缘抛物线落地点B 的坐标为______；（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d 的取值范围为______．26. 已知二次函数243y ax ax =−+（0a ≠）．（1）求该二次函数的图象与y 轴交点的坐标及对称轴．（2）已知点()14,y ，()20,y ，()32,y −，()43,y −都在该二次函数图象上，①请判断1y 与2y 的大小关系：1y _________2y （用“>”“=”“<”填空）；②若1y ，2y ，3y ，4y 四个函数值中有且只有一个小于零，求a 的取值范围．27. 如图，在ABC 中，AC BC =，90ACB ∠=︒，45APB ∠=°，连接CP ，将线段CP 绕点C 顺时针旋转90°得到线段CQ ，连接AQ ．（1）依题意，补全图形，并证明：AQ BP =；（2）求QAP ∠的度数；（3）若N 为线段AB 的中点，连接NP ，请用等式表示线段NP 与CP 之间的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系xOy 中，对于抛物线2:C y x x =+和直线:l y x b =+给出如下定义：过抛物线C 上一点()01,A x y 作垂直于x 轴的直线AB ，交直线l 于点()02,B x y ，若存在实数0y 满足102y y y ≤≤，则称点()00,P x y 是抛物线C 的“如意点”，点P 关于直线l 的对称点Q 为点P 与抛物线C 的“称心点”． （1）若2b =，①在点()10,0P ，()21,2P −，()31,3P ，4P 中，抛物线C 的“如意点”是______； ②若点D 是抛物线C 的“如意点”，点E 是点D 与抛物线C 的“称心点”，直接写出DE 的最大值______；（2）若边长为1234R R R R 边上的点都是抛物线C 的“如意点”或某点与抛物线C 的“称心点”，直接写出b 的最小值______．参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）1. 【答案】C【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键．【详解】解：A 、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；B 、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意；C 、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；D 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；故选：C ．2. 【答案】D【分析】本题考查了求抛物线的顶点坐标；把解析式配方即可．【详解】解：2241(2)3y x x x =−+=−−，即抛物线的顶点坐标为()2,3−；故选：D ．3. 【答案】B【分析】本题主要考查二次函数的图象的性质，要牢记解析式中的系数和图象性质的关系．根据二次项的系数确定开口方向，再根据对称轴确定增减性．【详解】解：由题意得，图象开口向上，对称轴为y 轴，∴当0x <时，y 随x 增大而减小，A 、C 选项说法错误，当0x >时，y 随x 增大而增大，B 选项说法正确，D 选项说法错误，故选：B ．4. 【答案】B【分析】先证明ADE ABC △△∽，然后根据相似三角形的性质求出ABC S，即可求出四边形DBCE 的面积．【详解】解∶∵DE 是ABC 的中位线， ∴DE BC ∥，12DE BC =， ∴ADE ABC △△∽，∴214ADE ABC S DE S BC ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△， 又ADE 的面积为1， ∴4ABC S =，∴3ABC ADE DBCE S SS =−=四边形．故选∶B ． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．5. 【答案】D【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，并用规律求函数解析式．【详解】将抛物线23y x =先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线是23(4)1y x =−+．故选：D ．6. 【答案】C【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确理解百分率问题的应用题的解题方法是解题的关键．设每次降价的百分率为x ，根据每瓶零售价由56元降为31.5元列方程即可．【详解】设每次降价的百分率为x ，根据题意得，256(1)31.5x −=．故选：C ．7. 【答案】D【分析】此题主要考查了二次函数图象的对称性，根据表格数据可知，抛物线的对称轴为1x =，由抛物线的对称性可知，=1x −时y 的值与3x =时的值相等，即可求解．【详解】解：由表格可知，当0.5x =−， 3.5y =−，当 2.5x =， 3.5y =−，由抛物线的对称性可知，抛物线的对称轴为1x =，∴=1x −时y 的值与3x =时的值相等，∴=1x −时y 的值为0，即m 的值为0，故选：D ．8. 【答案】B【分析】本题主要考查二次函数的性质以及与一次函数的解集，根据图像开口可得①错误；根据对称轴可判断②正确；由2x =时，0y >，即可判断③正确；利用二次函数与一次函数1y cx c =+的图像位置关系可判断④正确．【详解】解：①∵抛物线开口向下，∴0a <，则①错误．②∵抛物线的对称轴在y 轴的右侧，且与x 轴的交点一个为1,−另外一个在2到3之间， ∴12b a−<， ∵0a <∴2b a <−，∴20a b +<，则②正确．③由图象可知，当2x =时，0y >，∴420a b c ++>，则③正确．④()20ax b c x +−>，可变式为2ax bx c cx c ++>+， 令1y cx c =+，∵一次函数1y cx c =+，过点()0,c 和()1,0−，则一次函数1y cx c =+与抛物线2y ax bx c =++图象如图，2ax bx c cx c ++>+的解集为10x −<<．则④错误．综上所述，其中所有正确结论的序号是②③．故选：B ．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 【答案】10x =，23x =【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握利用因式分解的方法解方程是解本题的关键． 把方程化为230x x −=，再利用因式分解的方法解方程即可．【详解】解：∵23x x =，230x x ∴−=，(3)0x x ∴−=，0x ∴=或30x −=，解得：123,0x x ==．故答案为：10x =，23x =．10. 【答案】4【分析】本题主要考查了根的判别式判断根的情况，解决此题的关键是熟记判别式公式，根据判别式得到关于c 的不等式求出答案即可．【详解】1640c ∆=−=，解得：4c =．故答案为：4．11. 【答案】()0,3【分析】令0x =，求得y 的值即可.【详解】令0x =，得2433y x x =−+=，∴二次函数的图象与y 轴的交点坐标为()0,3，故答案为：()0,3．【点睛】本题考查的是二次函数与y 轴的交点，正确计算是解答此题的关键．12. 【答案】=【分析】本题考查二次函数图象上点坐标的特征，解题的关键是把x 的值代入二次函数解析式，求出对应的y 值再比较即可． 【详解】点1(2,)y ，2(4,)y 在抛物线22(3)4y x =−−上，212(23)42y ∴=⨯−−=−；222(43)42y =⨯−−=−，12y y ∴=；故答案为：=．13. 【答案】12=2,=4x x −【分析】本题考查了函数图象与方程的关系，方程的解就是两个函数交点的横坐标，据此即可求解．【详解】解：∵方程2ax kx b =+的解就是二次函数(0)y kx b k =+≠与一次函数2(0)y ax a =≠两个函数交点的横坐标，∵一次函数(0)y kx b k =+≠与二次函数2(0)y ax a =≠的图象相交于点()2,2A −，()4,8B ．∴2ax kx b =+的解为12=2,=4x x −；故答案为：12=2,=4x x −．14. 【答案】92##142##4.5 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质，解题的关键是证明BAD ACD ∽．证明BAD ACD ∽，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵90A ∠=︒，AD BC ⊥，3AD =，2BD =，∴90B BAD B C ∠+∠=∠+∠=︒，∴BAD C ∠=∠，又∵AD BC ⊥，∴90BDA ADC ∠=∠=︒，∴BAD ACD ∽， ∴BD AD AD CD=，即233CD =， 解得92CD ． 故答案为：92． 15. 【答案】5【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，四边形内角和为360︒．熟练掌握旋转的性质是解题关键．由旋转的性质证DAE 为等边三角形，证3EC AB ==，ABD ECD ∠=∠．又证A 、C 、E 三点共线，结合等边三角形的性质即可得5AD AE AC CE ==+=．【详解】解：∵ECD 是把ABD △绕着点D 按顺时针方向旋转60︒后得到的，∴AD DE =，60ADE ∠=︒，∴DAE 为等边三角形，∵ECD 是把ABD △绕着点D 按顺时针方向旋转60︒后得到的，∴3EC AB ==，ABD ECD ∠=∠．∵BCD △为等边三角形，∴60BDC ∠=︒．∵120BAC ∠=︒，∴180ABD ACD ∠+∠=︒，∴180ECD ACD ∠+∠=︒，即A 、C 、E 三点共线，∵DAE 为等边三角形，∴235AD AE AC CE ==+=+=．故答案为：5．16. 【答案】3−【分析】本题考查了二次函数的对称性和增减性，根据抛物线的对称轴以及对称轴公式确定1p m +=，即可得到1p m =−，由抛物线()2212y x mx m =−−≤≤经过点(),A p t 和点()2,B p t +得到()()22221211t p mp m m m m ==−−=−−+−，结合12m −≤≤即可确定t 的最小值．【详解】解：∵抛物线22y x mx =−，∴抛物线的对称轴为直线221m x m −=−=⨯， ∵抛物线()2212y x mx m =−−≤≤经过点(),A p t 和点()2,B p t +，∴点(),A p t 和点()2,B p t +关于对称轴对称，22t p mp =−，∴22p p m ++=，即1p m +=， ∴1p m =−，∴()()221211t m m m m =−−−=−+，∵12m −≤≤，2010−>−−，∴2m =时，t 有最小值为：413−+=−．故答案为：3−． 三、解答题（共68分，第17题6分，其中每小题3分，第18-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27题7分，第28题7分）17. 【答案】（1）12x =，24x =（2）152x =，22x = 【分析】本题考查解一元二次方程（1）根据题意利用公式法求两个解．（2）根据题意利用十字相乘法求两个解．【小问1详解】解：（1）2680x x −+=，由于168a b c ==−=，，，224(6)4184b ac −=⨯⨯−=-，(6)222b x a −−−±== ， 1224x x ==，，【小问2详解】解：（2）(25)410x x x −=−，225410x x x −=−，2254100x x x −−+=，229100x x −+=，(25)(2)0x x −−=，125 2.2x x ==， 18. 【答案】18【分析】本题主要考查一元二次方程的解，多项式乘以多项式，完全平方公式和合并同类项，根据方程的解的概念求得2517a a −=，根据多项式乘以多项式，完全平方公式和合并同类项法则化简代数式，然后整体代入即可，熟练掌握运算法则和正确理解整体代入思想是解题的关键．【详解】解：∵实数a 是25170x x −−=的根，∴25170a a −−=，即2517a a −=，由()()()212111a a a −−−++ ()22221211a a a a a =−−+−+++，22221211a a a a a =−−+−−−+，251a a =−+，∵2517a a −=，∴原式171=+，18=．19. 【答案】（1）()214y x =−−（2）图象见详解 （3）()()3,0,1,0−（4）45y −≤≤【分析】对于（1），根据完全平方公式配成顶点式即可；对于（2），根据二次函数图象的画法：列表，描点，连线即可；对于（3），令0y =，求出x 的值，即可得到答案；对于（4），根据二次函数图象先求出当1x =时，有最小值，再根据距离对称轴越远，y 值越大，求出即可．【小问1详解】解：()22=2314y x x x −−=−−.故答案为：()214y x =−−；【小问2详解】如图所示；【小问3详解】令0y =时，223=0x x −−，解得：123,1x x ==−，∴抛物线与x 轴交点坐标为()()3,0,1,0−，故答案为：()()3,0,1,0−；【小问4详解】由（1）可知()214y x =−−，∴当1x =时，y 有最小值为4−.∵0a ＞，距离对称轴越远y 越大，当2x =−是，y 有最大值为5．所以y 的取值范围是45y −≤≤．【点睛】本题主要考查了二次函数的顶点式，二次函数的画法，求二次函数最值，解决此题的关键是熟练掌握二次函数的性质和图象的性质．20. 【答案】（1）见解析 （2）2m =−【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，解一元二次方程的一般方法．（1）根据一元二次方程根的判别式进行判断即可；（2）先解方程得出12,1x m x ==，根据该方程的两个实数根的差为3，得出13m −=，求出m 的值即可．【小问1详解】证明：2Δ4b ac =−()214m m ⎡⎤=−+−⎣⎦221m m =−+()21m =−， ()210m −≥，Δ0∴≥，∴该方程总有两个实数根．【小问2详解】 解：原方程可化为()()10x m x −−=，12,1x m x ∴==，（也可用求根公式求出两根）0m <，1m ∴>，该方程的两个实数根的差为3，13m ∴−=．2m ∴=−．21. 【答案】（1）见详解 （2）1O ，顺，90．【分析】本题考查作图−旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．（1）根据图中的11A A B B ，，，的位置，得111A B C △是以点1O 为旋转中心，将ABC 顺时针旋转90度得到的．（2）利用旋转变换的性质判断即可．【小问1详解】解：如图，111A B C △即为所求；【小问2详解】解：111A B C △是以点1O 为旋转中心，将ABC 顺时针旋转90度得到的．故答案为：1O ，顺，90．22. 【答案】（1）见解析；（2【分析】（1）根据平行四边形的判定得出四边形BOCE 是平行四边形，根据菱形的性质求出∠BOC =90°，再根据矩形的判定得出即可；（2）根据菱形和等边三角形的性质求出BF =12AB =1，根据勾股定理求出AF ． 【详解】解：（1）∵BE ∥AC ，EC ∥BD ，∴四边形BOCE 是平行四边形．∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ．∴∠BOC =90°．∴四边形BOCE 是矩形．（2）∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC =60°，∴△ABC 是等边三角形．∵四边形BOCE 是矩形，∴BF =12BC =12AB =1． ∴∠AFB =90°．∴AF=【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，平行四边形的判定，勾股定理等知识点，掌握相关的性质定理正确推理计算是解题关键．23. 【答案】（1）243y x x =−+，()2,1−（2）1x <或3x >【分析】本题考查了待定系数法，图象法求自变量取值范围；（1）将1x =−，8y =；0x =，3y =；1x =，0y =代入解析式，再根据顶点坐标公式，即可求解； （2）根据函数图象即可求解；掌握待定系数法和数形结合法是解题的关键．【小问1详解】解：由表格得当1x =−，8y =时；当0x =，3y =时；当1x =，0y =时；830a b c c a b c −+=⎧⎪=⎨⎪++=⎩， 解得：143a b c =⎧⎪=−⎨⎪=⎩，243y x x ∴=−+， 当4221x −=−=⨯时， 1y =−，∴顶点坐标为()2,1−；故二次函数的解析式为243y x x =−+，顶点坐标()2,1−；【小问2详解】解：当0y =时，2430x x −+=，解得：11x =，23x =，由图象得：当0y >时，1x <或3x >时，故当0y >时，x 的取值范围为1x <或3x >．24. 【答案】（1）见解析 （2）4CE =【分析】（1）分别证明,90DAB ECA BDA CEA ︒∠=∠∠=∠=，即可得出结论；（2）先由勾股定理求出1BD =，再结合相似三角形的性质得出比例式，再代入相关数值即可得出结论．【小问1详解】∵90BAC ∠=︒，∴90BAD CAE ︒∠+∠=，∵BD MN ⊥，CE MN ⊥∴90BDA CEA ︒∠=∠=，∵90CAE ACE ︒∠+∠=，∴BAD ACE ∠=∠，在ABD △和CEA 中，90BAD CEA DAB CEA︒⎧∠=∠=⎨∠=∠⎩ ∴ADB CEA【小问2详解】在Rt ABD △中，2,AD AB ==，由勾股定理得，1BD ==， ∵ADB CEA ， ∴AE BD CE AD=， ∴212CE =∴4CE =【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，证明BAD ACE ∠=∠是解答本题的关键．25. 【答案】（1）喷出水的最大射程OC 为6m（2）()2,0（3）2m 3m d ≤≤【分析】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键．（1）由顶点()2,1.6A 得，设()22 1.6y a x =−+，再根据抛物线过点()01.2，，可得a 的值，从而解决问题；（2）由对称轴知点()01.2，的对称点为()41.2，，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4cm 得到的，可得点B 的坐标；（3）根据点B C ，坐标以及草坪宽度可得结论．【小问1详解】解：由题意得()21.6A ，是上边缘抛物线的顶点， 设()22 1.6y a x =−+，又∵抛物线过点()0,1.2，∴1.24 1.6a =+，∴110a =−， ∴上边缘抛物线的函数解析式为()212 1.610y x =−−+， 当0y =时，()2102 1.610x =−−+， 解得1262x x ==−，（舍去），∴喷出水的最大射程OC 为6m ；【小问2详解】解：∵对称轴为直线2x =，∴点()0,1.2的对称点为()4,1.2，∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m 得到的，∴点B 的坐标为()2,0，故答案为：()2,0；【小问3详解】解：∵263OB OC DE ===，，，3OE d ∴=+，OE OC ≤，OD OB ≥，36d ∴+≤，2d ≥，23d ∴≤≤，∴要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d 的取值范围为2m 3m d ≤≤，故答案为：2m 3m d ≤≤．26. 【答案】（1）()0,3，2x =．（2）①= ②1147a −−＜＜ 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数图象的性质是解决此题的关键．（1）根据对称轴公式和y 轴上点的坐标特征即可求得；（2）①根据二次函数的性质和图象即可；②根据二次函数的性质和图象，要把a 分情况讨论，再根据y 与x 的关系得到答案即可．【小问1详解】解：∵二次函数2430y ax ax a =−+≠（）， ∴令0x =时，3y =，函数图象的对称轴为直线422a x a−=−=， ∴二次函数图象与y 轴的交点为(0,3)，函数图象的对称轴为直线2x =；【小问2详解】解：①∵函数图象的对称轴为直线2x =，∴点()14,y 和点()20,y 关于对称轴对称，∴12y y =．故答案为：=；②由上可知12y y =，∴只需要比较2y 、3y 、4y ，分两种情况：当0a ＞时，∵距离对称轴越远就越大，∴y 4>y 3>y 2，而230y =＞，∴此种情况舍去；当0a ＜时，∵距离对称轴越远越小，∴432y y y ＜＜，则必有y 4<0，y 3>0，得出不等式12302130a a +⎧⎨+⎩＞＜， 解得：1147a −−＜＜． 27. 【答案】（1）画图和证明见解析； （2）135° （3）CP =，证明见解析． 【分析】（1）先根据题意画出对应的图形，只需要利用SAS 证明BCP ACQ ≌即可证明AQ BP =； （2）连接QP ，如图所示．先由等腰直角三角形的性质得到45CQP CPQ ∠=∠=︒．再证明APQ CPB ∠=∠．由全等三角形的性质得到CQA CPB ∠=∠．则可以推出45APQ PQA ∠+∠=︒，利用三角形内角和定理即可得到180135QAP APQ PQA ∠=︒−−=︒∠∠；（3）如图所示，延长PN 至K ，使得NK PN =，连接AK ．证明ANK BNP ≌．得到KAN PBN ∠=∠，AK BP =，则AK BP ∥．进一步证明135KAP ∠=︒．得到KAP QAP ∠=∠．由此证明KAP QAP ≌，得到KP QP =．在等腰直角PCQ △中，CP CQ =，则KP QP ==，即可证明CP =．【小问1详解】补全图形，如图所示．证明：∵ 线段CP 绕点C 顺时针旋转90°得到线段CQ ，∴90CP CQ PCQ =∠=︒，∵90ACB ∠=︒，∴BCP ACQ ∠=∠，∵AC BC =，∴()SAS BCP ACQ ≌∴AQ BP =；【小问2详解】解：连接QP ，如图所示．由（1）可得PCQ △是等腰直角三角形，∴45CQP CPQ ∠=∠=︒．∴45CQA PQA ∠∠=︒＋．∵45APB ∠=︒，∴APQ CPB ∠=∠．由BCP ACQ ≌可得CQA CPB ∠=∠．∴45APQ PQA ∠+∠=︒．∴180135QAP APQ PQA ∠=︒−−=︒∠∠；【小问3详解】解；CP =，理由如下：如图所示，延长PN 至K ，使得NK PN =，连接AK ．∵N 为线段AB 的中点，∴AN BN =．∵ANK BNP ∠=∠，∴()SAS ANK BNP ≌．∴KAN PBN ∠=∠，AK BP =．∴AK BP ∥，AK AQ =．∴180KAP APB ∠+∠=︒．∵45APB ∠=°，∴135KAP ∠=︒．∵135QAP ∠=︒，∴KAP QAP ∠=∠．由BCP ACQ ≌可得AQ BP =，∴AK AQ =，∵AP AP =，∴()SAS KAP QAP ≌．∴KP QP =．∵在等腰直角PCQ △中，CP CQ =，∴KP QP ==．∵2KP NP =，∴CP =．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理，勾股定理等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．28. 【答案】（1）①13P P 、；②（2）94【分析】（1）①分别求出当0x =时，1x =−时，1x =时，x =意点”的定义判断即可；②根据题意可得点E 和点D 关于直线2y x =+对称，则当点D 到直线2y x =+的距离最大时，DE 有最大值，根据“如意点”的定义可知，抛物线与直线2y x =+围成的封闭区域内的所有点到时抛物线C 的如意点，则当平行于直线2y x =+的直线与抛物线恰好有一个交点时，且当点D 与该交点重合时满足题意，据此求出点D 的坐标，进而求出点D 到直线2y x =+的距离即可得到答案； （2）由（1）可得，抛物线C 的“如意点”组成的区域即为直线y x b =+与抛物线2y x x =+围成的封闭区域（包括边界），则抛物线C 的“称心点”一定在直线y x b =+与抛物线2y x x =+围成的封闭区域外面，则正方形1234R R R R 边上的点全部是“如意点”时b 的值一定要比正方形1234R R R R 边上的点部分是“如意点”，部分时“称心点”时b 的值大，故当恰好正方形1234R R R R 上的点一半是“如意点”，一半是“称心点”时b 最小，即直线y x b =+一定经过正方形1234R R R R 的一条对角线，此时12R R 、关于抛物线对称轴对称，则可得到11724R ⎛−−+ ⎝，，把11724R ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，代入y x b =+中得1724b −−=，则94b =+，即b 的最小值即为94 【小问1详解】解：①在2y x x =+中，当0x =时，0y =，1x =−时，0y =，1x =时，2y =，x =2y =在2y x =+中，当0x =时，2y =，1x =−时，1y =，1x =时，3y =，x =时，2y =∵02<，012<<，23<2<+∴只有()10,0P ，()31,3P 是抛物线C 的“如意点”，故答案为：13P P 、；②点E 是点D 与抛物线C 的“称心点”，∴点E 和点D 关于直线2y x =+对称，∴DE 的长等于点D 到直线2y x =+的距离的两倍，∴当点D 到直线2y x =+的距离最大时，DE 有最大值，根据“如意点”的定义可知，抛物线与直线2y x =+围成的封闭区域内的所有点到时抛物线C 的如意点，∴当平行于直线2y x =+的直线与抛物线恰好有一个交点时，且当点D 与该交点重合时满足题意， 设直线y x t =+恰好与抛物线2y x x =+有一个交点， 联立2y x t y x x=+⎧⎨=+⎩得20x t −=， ∴2040t ∆=+=，解得0t =，∴200x −=，解得0x =，∴此时点D 与原点重合；如图所示，设直线2y x =+分别与x 轴，y 轴交于G 、H ，则()()2002G H −，，，， ∴2OG OH ==，∴GH ==设DE GH 、交于H ，则DH GH ⊥， ∴1122OH GH OG OH ⋅=⋅，∴112222⨯=⨯⋅，∴OH =∴DE =最大故答案为：【小问2详解】解：由（1）可得，抛物线C 的“如意点”组成的区域即为直线y x b =+与抛物线2y x x =+围成的封闭区域（包括边界），∴抛物线C 的“称心点”一定在直线y x b =+与抛物线2y x x =+围成的封闭区域外面，∵边长为1234R R R R 边上的点都是抛物线C 的“如意点”或某点与抛物线C 的“称心点”， ∴正方形1234R R R R 边上的点全部是“如意点”时b 的值一定要比正方形1234R R R R 边上的点部分是“如意点”，部分时“称心点”时b 的值大，∴当恰好正方形1234R R R R 上的点一半是“如意点”，一半是“称心点”时b 最小，即直线y x b =+一定经过正方形1234R R R R 的一条对角线，此时有12R R x ∥轴，∴此时12R R 、关于抛物线对称轴对称，即关于直线1122x ==−−对称，∴1R 的横坐标为12−−在2y x x =+中，当12x =−−时，2117224y ⎛⎛=−+−= ⎝⎝，∴11724R ⎛−+ ⎝，，把11724R ⎛⎫−⎪⎝⎭，代入y x b =+中得1724b −−+=，∴94b =+，∴b 的最小值即为94 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，正方形的性质，一次函数与几何综合等等，解题的关键在于理解题意得到抛物线C 的“如意点”组成的区域即为直线y x b =+与抛物线2y x x =+围成的封闭区域（包括边界）．。

北京五中分校2024~2025学年度第一学期第一次阶段性练习初三数学考生须知1．本试卷满分100分，考试时间90分钟．2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题用2B 铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答．5．考试结束，将答题卡交回．一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．下图为部分“卦”的符号，其中是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．若是关于x 的方程的一个根，则m 的值是（ ）A ．B ．C ．3D ．153．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ）A ．B ．C ．D ．4．函数的图象如图所示，则关于x 的不等式的解集是（）A ．B ．C ．D ．5．若将直线向上平移2个单位长度后得到直线，则下列关于直线的说法正确的是（）A ．经过第一、二、四象限B ．与x 轴交于C ．与y 轴交于D ．y 随x的增大而减小3x =220x x m --=15-3-()3,4A -()3,4()3,4-()3,4--()3,4-y kx b =+0kx b +<0x >0x <2x >2x <1y x =-y kx b =+y kx b =+()1,0()0,16．在如图所示的正方形网格中，四边形ABCD 绕某一点旋转某一角度得到四边形，（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点M ，N ，P ，Q 中，可能是旋转中心的是（）A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q7．如图，在菱形ABCD 中，过点D 作，交BA 的延长线于点E ，则线段DE 的长为（）A．B ．C ．4D ．8．如图，在菱形ABCD 中，，O 为对角线的交点．将菱形ABCD 绕O 逆时针旋转得到菱形，两个菱形的公共点为E ，F ，G ，H ．对八边形给出下面四个结论：①该八边形各边长都相等；②该八边形各内角都相等；③点O 到该八边形各顶点的距离都相等；④点O 到该八边形各边所在直线的距离都相等．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A B C D '''',5,6AB AC ==DE BA ⊥12518524560BAD ∠=︒90︒A B CD '''BFB GDHD E ''A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．在函数x 的取值范围是____________．10．已知点在直线上，且直线经过第一、二、四象限，当时，与的大小关系为____________（填“>”，“<”或“=”）11．将方程化为一元二次方程的一般形式为____________．12．若一元二次方程经过配方，变形为的形式，则n 的值为____________．13．已知关于x 的方程有两个相等的实数根，则k 的值是____________．14．如图所示，在中，，则____________．15．如图，将矩形ABCD 折叠，使点C 和点A 重合，折痕为EF ，EF 与AC 交于点O ．若．，则AC 的长为____________．16．联欢会有A ，B ，C ，D 四个节目需要彩排．所有演员到场后节目彩排开始．一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始．每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min ）如下：节目A B C D 演员人数102101彩排时长30102010已知每位演员只参演一个节目．一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）．若节目按“A -B -C -D ”的先后顺序彩排，则节目D 的演员的候场时间为____________min ；若使这23位演员y =()()1122,,,A x y B x y y kx b =+12x x <1y 2y 1y 2y 2352x x =+2610x x +-=()23x n +=220x x k ++=ABC △,1,2DE BC AD BD ==∥:DE BC =5,3AE BF ==的候场时间之和最小，则节目应按____________的先后顺序彩排．三、解答题（本题共68分，第17-18题，每小题6分，第19-21题，每小题5分，第22-23题，每小题6分，第24-26题，每小题5分，27-28每小题7分）17．解方程：（1）（2）18．己知，求代数式的值．19．如图，在矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为AB 的中点，连接OE 并延长至点F ，使，连接AF ，BF ．求证：四边形AFBO 是菱形．20．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数的图象经过点和．（1）求这个一次函数的解析式；（2）若点C 是x 轴上一点，且的面积为3，求点C 的坐标．21．一个有进水管和排水管的水池，每小时进水量和排水量分别为恒定的数值．从某时刻开始3小时内仅进行进水操作而不排水．在随后的2小时内，水池同时进行进水和排水操作．在最后1小时内，水池仅排水而不再进水．该水池内的水量y （单位：吨）与时间x（单位：小时）之间的函数关系如图所示．21x x +=()()3121x x x +=+22310a a -+=()()233a a a -++EF EO =()0y kx b k =+≠()1,0A -()0,2B ABC △根据图象，回答下列问题．（1）该水池进水管每小时进水____________吨，排水管每小时排水____________吨；（2）当时，求水池内的水量；（3）这6个小时，排水管共排水____________吨．22．已知关于x 的一元二次方程．（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；（2）若，且该方程的一个根是另一个根的2倍，求m 的值．23．在平面直角坐标系xOy 中，已知一次函数的图象与正比例函数的图象交于点．（1）求k ，m 的值；（2）当时，对于x 的每一个值，函数的值大于一次函数的值，则a 的取值范围是____________．24．如图，在等腰直角中，，D 是BC 边上任意一点（不与B ，C 重合），将线段AD 绕点A 逆时针旋转得到线段AE ，连接CE ，DE ．（1）求的度数；（2）若，求DE 的长．25．某果园收获了一批苹果，有2000个苹果作为大果装入包装盒进行销售．设苹果的果径为x mm ，其中A 款包装盒中的苹果果径要求是，B 款包装盒中的苹果果径要求是．从这2000个苹果中随机抽取20个，测量它们的果径（单位：mm ），所得数据整理如下：80 81 82 82 83 84 84 85 86864x =22210x mx m -+-=1m >2y kx =-12y x =(),2A m 1x >-()0y ax a =≠2y kx =-ABC △90BAC ∠=︒90︒ECD∠4,AB BD ==8085x ≤<8590x ≤<87 87 87 89 90 91 92 92 94 98（1）这20个苹果的果径的众数是____________，中位数是____________；（2）如果一个包装盒中苹果果径的方差越小，那么认为该包装盒中的苹果大小越均匀．从这批苹果中分别选出6个装入两个包装盒，其果径如下表所示．包装盒1的苹果果径808182828384包装盒2的苹果果径818182828284其中，包装盒____________中的苹果大小更均匀（填“1”或“2”）；（3）请估计这2000个苹果中，符合A 款包装盒要求的苹果有多少个？26．对于函数（m 为常数），小明用特殊到一般的方法，探究了它的图象及部分性质．请将小明的探究过程补充完整，并解决问题．（1）当时，函数为；当时，函数为．用描点法画出了这两个函数的图象，如图所示．观察函数图象可知：函数的图象关于____________对称；对于函数，当____________时，；（2）当时，函数为．①在图中画出函数的图象；②对于函数．，当时，y 的取值范围是____________；（3）结合函数和的图象，可知函数的图象可由函数的图象平移得到，它们具有类似的性质．若点和都在函数的图象上，且，直接写出t 的取值范围（用含m 的式子表示）．27．在中，于点M ，D 是线段MC 上的动点（不与点M ，C 重合），将线段DM 绕点D 顺时针旋转得到线段DE ．2y x m =+0m =2y x =7m =727m y x ==+2y x =27y x =+c =3x y ==4m =-24y x =-24y x =-24y x =-13x <<2,27y x y x ==+24y x =-()20y x m m =+≠2y x =()1,t y ()21,t y +2y x m =+12y y >ABC △(045),B C AM BC αα∠=∠=︒<<︒⊥2α（1）如图1，当点E 在线段AC 上时，求证：D 是MC 的中点；（2）如图2，若在线段BM 上存在点F （不与点B ，M 重合）满足，连接AE ，EF ，直接写出的大小，并证明．28．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 与图形W 给出如下定义：如果存在以点P 为端点的一条射线与图形W 有目仅有2个公共点，那么称点P 为图形W 的“相关点”．已知点．（1）当时，①在中，是折线BA -AC 的“相关点”的是____________；②点M 为直线上一点，如果M 为折线BA -AC 的“相关点”，求点M 横坐标的取值范围．（2）正方形DEFG 的各边都平行于坐标轴，对角线的交点N 的坐标为，如果正方形的边长为2，正方形DEFG 上任意一点都是折线BA -AC 的“相关点”，请直接写出m的取值范围．DF DC =AEF ∠()()(),2,2,0,2,0A m B m C m -++0m =1234(1,0),(1,1),(4,0),(3,1)P P P P --48y x =+M x ()48,0m -。

2020-2021北京市九年级数学上期中一模试卷(含答案)一、选择题1．如图是抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的部分图象，其顶点是（1，n ），且与x 的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a-b+c ＞0；②3a+b=0；③b 2=4a （c-n ）；④一元二次方程ax 2+bx+c=n-1有两个不等的实数根．其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知抛物线y=x 2-2mx-4（m ＞0）的顶点M 关于坐标原点O 的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M 的坐标为（ ）A ．（1，-5）B ．（3，-13）C ．（2，-8）D ．（4，-20） 3．如果关于x 的方程240x x m -+=有两个不相等的实数根，那么在下列数值中，m 可以取的是（ ）A ．3B ．5C ．6D ．8 4．若2245a a x -+-=，则不论取何值，一定有（ ） A ．5x >B ．5x <-C ．3x ≥-D ．3x ≤- 5．已知实数x 满足（x 2﹣2x +1）2+2（x 2﹣2x +1）﹣3＝0，那么x 2﹣2x +1的值为（ ） A ．﹣1或3B ．﹣3或1C ．3D ．1 6．一元二次方程2410x x --=配方后可化为（ ） A ．2(2)3x += B ．2(2)5x += C ．2(2)3x -= D ．2(2)5x -= 7．如图，将⊙O 沿弦AB 折叠，圆弧恰好经过圆心O ，点P 是优弧¼AMB 上一点，则∠APB 的度数为（ ）A ．45°B ．30°C ．75°D ．60°8．如图，直线y=kx+c 与抛物线y=ax 2+bx+c 的图象都经过y 轴上的D 点，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，其对称轴为直线x=1，且OA=OD ．直线y=kx+c 与x 轴交于点C （点C 在点B 的右侧）．则下列命题中正确命题的是（ ）①abc＞0； ②3a+b＞0； ③﹣1＜k ＜0； ④4a+2b+c＜0； ⑤a+b＜k ．A ．①②③B ．②③⑤C ．②④⑤D ．②③④⑤ 9．一元二次方程x 2＋2x ＋2＝0的根的情况是( )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根 10．如图，圆锥的底面半径r 为6cm ，高h 为8cm ，则圆锥的侧面积为（ ）A ．30πcm 2B ．48πcm 2C ．60πcm 2D ．80πcm 2 11．若a ，b 为方程2x 5x 10--=的两个实数根，则22a 3ab 8b 2a ++-的值为（ ）A ．-41B ．-35C ．39D ．45 12．如图，弦AB 的长等于⊙O 的半径，点C 在弧AMB 上，则∠C 的度数是（ ）A ．30ºB ．35ºC ．25ºD ．60º二、填空题13．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠ACB =90°，∠ACB 的角平分线交⊙O 于D ．若AC =6，BD =52，则BC 的长为_____．14．我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题：“直田积（矩形面积），八百六十四（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少12步），问阔及长各几步．”如果设矩形田地的长为x 步，那么根据题意列出的方程为_____．15．抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为D(﹣1，2)，与x 轴的一个交点A 在点(﹣3，0)和(﹣2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论：①b 2﹣4ac ＜0；②a+b+c ＜0；③c ﹣a=2；④方程ax 2+bx+c ﹣2=0有两个相等的实数根.其中正确结论是________.16．某药品原价是100元，经连续两次降价后，价格变为64元，如果每次降价的百分率是一样的，那么每次降价的百分率是 ；17．如图，直线l 经过⊙O 的圆心O ，与⊙O 交于A 、B 两点，点C 在⊙O 上，∠AOC =30°，点P 是直线l 上的一个动点（与圆心O 不重合），直线CP 与⊙O 相交于点Q ，且PQ =OQ ，则满足条件的∠OCP 的大小为_______．18．将抛物线y=﹣5x 2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线的函数关系式为_____________ .19．一元二次方程()22x x x -=-的根是_____.20．若3是关于x 的方程x 2－x ＋c ＝0的一个根，则方程的另一个根等于____．三、解答题21．某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可销售20件,每件盈利40元.为了扩大销售,增加盈利,尽量减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价5元,商场平均每天可多售出10件.求:(1)若商场每件衬衫降价4元,则商场每天可盈利多少元?(2)若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?(3)要使商场平均每天盈利1600元,可能吗?请说明理由.22．如图，已知抛物线y=﹣x 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣1，0）和点B （3，0），与y 轴交于点C ，连接BC 交抛物线的对称轴于点E ，D 是抛物线的顶点．（1）求此抛物线的解析式；（2）求点C 和点D 的坐标；（3）若点P 在第一象限内的抛物线上，且S △ABP =4S △COE ，求P 点坐标．23．（1）解方程：x2﹣2x﹣8=0；（2）解不等式组3(2)1112x xx--<⎧⎪⎨-<⎪⎩24．小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系可近似的看作一次函数：y ＝﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．（1）设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？（3）如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）25．如图，在中，，是的外接圆，点P在直径BD的延长线上，且．求证：PA是的切线；若，求图中阴影部分的面积结果保留和根号【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间，则当x=-1时，y>0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x=-2b a =1，即b=-2a ，则可对②进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为n 得到244ac b a-=n ，则可对③进行判断；由于抛物线与直线y=n 有一个公共点，则抛物线与直线y=n-1有2个公共点，于是可对④进行判断．【详解】∵抛物线与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间．∴当x=-1时，y ＞0，即a-b+c ＞0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=-2b a=1，即b=-2a ， ∴3a+b=3a-2a=a ，所以②错误；∵抛物线的顶点坐标为（1，n ）， ∴244ac b a-=n ， ∴b 2=4ac-4an=4a （c-n ），所以③正确；∵抛物线与直线y=n 有一个公共点，∴抛物线与直线y=n-1有2个公共点，∴一元二次方程ax 2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，所以④正确．故选C ．【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握二次函数性质是解题的关键.2．C解析：C【解析】【分析】【详解】解：22224=()4y x mx x m m =-----，∴点M （m ，﹣m 2﹣4），∴点M′（﹣m ，m 2+4），∴m 2+2m 2﹣4=m 2+4．解得m=±2．∵m ＞0，∴m=2，∴M （2，﹣8）． 故选C ．【点睛】本题考查二次函数的性质． 3．A解析：A【分析】根据根的判别式的意义得到16﹣4m＞0，然后解不等式得到m＜4，然后对各选项进行判断．【详解】根据题意得：△=16﹣4m＞0，解得：m＜4，所以m可以取3，不能取5、6、8．故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．4．D解析：D【解析】【分析】由﹣2a2+4a﹣5=﹣2（a﹣1）2﹣3可得：x≤﹣3．【详解】∵x=﹣2a2+4a﹣5=﹣2（a﹣1）2﹣3≤﹣3，∴不论a取何值，x≤﹣3．故选D．【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练运用配方法解答本题的关键．5．D解析：D【解析】【分析】设x2﹣2x+1＝a，则（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0化为a2+2a﹣3＝0，求出方程的解，再判断即可．【详解】解：设x2﹣2x+1＝a，∵（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，∴a2+2a﹣3＝0，解得：a＝﹣3或1，当a＝﹣3时，x2﹣2x+1＝﹣3，即（x﹣1）2＝﹣3，此方程无实数解；当a＝1时，x2﹣2x+1＝1，此时方程有解，故选：D．【点睛】此题考查换元法解一元二次方程，借助另外设未知数的方法解一元二次方程使理解更容易，计算更简单.6．D解析：D【解析】【分析】根据移项，配方，即可得出选项．【详解】解：x2-4x-1=0，x2-4x=1，x2-4x+4=1+4，（x-2）2=5，故选：D．【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，能正确配方是解题的关键．7．D解析：D【解析】【分析】【详解】作半径OC⊥AB于点D，连结OA，OB，∵将O沿弦AB折叠，圆弧较好经过圆心O，∴OD=CD，OD=12OC=12OA，∴∠OAD=30°（30°所对的直角边等于斜边的一半），同理∠OBD=30°，∴∠AOB=120°，∴∠APB=12∠AOB=60°.（圆周角等于圆心角的一半）故选D.8．B解析：B【解析】试题解析：∵抛物线开口向上，∴a＞0．∵抛物线对称轴是x=1，∴b＜0且b=-2a．∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0．∴①abc＞0错误；∵b=-2a，∴3a+b=3a-2a=a＞0，∴②3a+b＞0正确；∵b=-2a，∴4a+2b+c=4a-4a+c=c＞0，∴④4a+2b+c＜0错误；∵直线y=kx+c经过一、二、四象限，∴k＜0．∵OA=OD，∴点A的坐标为（c，0）．直线y=kx+c当x=c时，y＞0，∴kc+c＞0可得k＞-1．∴③-1＜k＜0正确；∵直线y=kx+c与抛物线y=ax2+bx+c的图象有两个交点，∴ax2+bx+c=kx+c，得x1=0，x2=k b a -由图象知x2＞1，∴k ba-＞1∴k＞a+b，∴⑤a+b＜k正确，即正确命题的是②③⑤．故选B．9．D解析：D【解析】【分析】求出b2-4ac的值，根据b2-4ac的正负即可得出答案．【详解】x2+2x+2=0，这里a=1，b=2，c=2，∵b2−4ac=22−4×1×2=−4<0，∴方程无实数根，故选D.【点睛】此题考查根的判别式，掌握运算法则是解题关键10．C解析：C【解析】【分析】首先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再通过圆锥侧面积公式可以求得结果．【详解】∵h＝8，r＝6，可设圆锥母线长为l，由勾股定理，l10，圆锥侧面展开图的面积为：S侧＝12×2×6π×10＝60π，所以圆锥的侧面积为60πcm2．故选：C．【点睛】本题主要考查圆锥侧面积的计算公式，解题关键是利用底面半径及高求出母线长即可．11．C解析：C【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义及一元二次方程根与系数的关系可得a2-5a-1=0，a+b=5，ab=-1，把22a3ab8b2a++-变形为2(a2-5a-1)+3ab+8(a+b)+2，即可得答案．【详解】∵a，b为方程2x5x10--=的两个实数根，∴a2-5a-1=0，a+b=5，ab=-1，∴22a3ab8b2a++-=2(a2-5a-1)+3ab+8(a+b)+2=2×0+3×（-1）+8×5+2=39．故选：C．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解的定义及一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、x2，则x1+x2=ba-，x1·x2=ca；熟练掌握韦达定理是解题关键．12．A 解析：A 【解析】【分析】连OA ，OB,可得△OAB 为等边三角形，可得：60∠=o ，AOB 即可得∠C 的度数． 【详解】连OA ，OB ，如图，∵OA=OB=AB ，∴△OAB 为等边三角形，60AOB ∴∠=o ，又12C AOB ∠=∠Q ， 16030.2C ∴∠=⨯=o o 故选：A ．【点睛】本题考查了圆周角的性质，掌握圆周角的性质是解题的关键．二、填空题13．8【解析】【分析】连接AD 根据CD 是∠ACB 的平分线可知∠ACD=∠BCD=45°故可得出AD=BD 再由AB 是⊙O 的直径可知△ABD 是等腰直角三角形利用勾股定理求出AB 的长在Rt△ABC 中利用勾股定解析：8【解析】【分析】连接AD ，根据CD 是∠ACB 的平分线可知∠ACD=∠BCD=45°，故可得出AD=BD ，再由AB 是⊙O 的直径可知△ABD 是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AB 的长，在Rt △ABC 中，利用勾股定理可得出BC 的长．【详解】连接AD ，∵∠ACB=90°，∴AB 是⊙O 的直径．∵∠ACB 的角平分线交⊙O 于D ，∴∠ACD=∠BCD=45°，∴2．∵AB 是⊙O 的直径，∴△ABD 是等腰直角三角形，∴AB=22AD BD +=10．∵AC=6，∴BC=2222106AB AC -=-=8．故答案为：8．【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．14．x （x ﹣12）＝864【解析】【分析】如果设矩形田地的长为x 步那么宽就应该是（x ﹣12）步根据面积为864即可得出方程【详解】解：设矩形田地的长为x 步那么宽就应该是（x ﹣12）步根据矩形面积＝长×宽解析：x （x ﹣12）＝864【解析】【分析】如果设矩形田地的长为x 步，那么宽就应该是（x ﹣12）步，根据面积为864，即可得出方程．【详解】解：设矩形田地的长为x 步，那么宽就应该是（x ﹣12）步．根据矩形面积＝长×宽，得：x （x ﹣12）＝864．故答案为：x （x ﹣12）＝864．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，读懂题意根据面积公式列出方程是解题的关键．15．②③④【解析】【分析】由抛物线与x 轴有两个交点得到b2﹣4ac>0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=-1则根据抛物线的对称性得抛物线与x 轴的另一个交点在点（00）和（10）之间所以当x=解析：②③④【解析】 【分析】由抛物线与x 轴有两个交点得到b 2﹣4ac>0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=-1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x 轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以当x=1时，y<0，则a+b+c<0；由抛物线的顶点为D （-1，2）得a-b+c=2，由抛物线的对称轴为直线x=-2b a=-1得b=2a ，所以c-a=2；根据二次函数的最大值问题，当x=-1时，二次函数有最大值为2，即只有x=-1时，ax 2+bx+c=2，所以说方程ax 2+bx+c-2=0有两个相等的实数根．【详解】∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2﹣4ac>0，所以①错误；∵顶点为D(−1,2)，∴抛物线的对称轴为直线x=−1，∵抛物线与x 轴的一个交点A 在点(−3,0)和(−2,0)之间，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间，∴当x=1时，y<0，∴a+b+c<0，所以②正确∵抛物线的顶点为D(−1,2)，∴a−b+c=2，∵抛物线的对称轴为直线x=−2b a =−1， ∴b=2a ，∴a−2a+c=2，即c−a=2，所以③正确；∵当x=−1时，二次函数有最大值为2，即只有x=−1时, ax 2+bx+c=2，∴方程ax 2+bx+c−2=0有两个相等的实数根，所以④正确【点睛】此题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键在于掌握二次函数与x 轴交点的意义. 16．20％【解析】【分析】此题可设每次降价的百分率为x 第一次降价后价格变为100（1-x ）元第二次在第一次降价后的基础上再降变为100（1-x ）（1-x ）即100（1-x ）2元从而列出方程求出答案【详解解析：20％【解析】【分析】此题可设每次降价的百分率为x ，第一次降价后价格变为100（1-x ）元，第二次在第一次降价后的基础上再降，变为100（1-x ）（1-x ），即100（1-x ）2元，从而列出方程，求出答案．【详解】设每次降价的百分率为x ，第二次降价后价格变为100（1-x ）2元．根据题意，得100（1-x ）2=64，即（1-x ）2=0.64，解得x 1=1.8，x 2=0.2．因为x=1.8不合题意，故舍去，所以x=0.2．即每次降价的百分率为0.2，即20%．故答案为20%．17．40°【解析】：在△QOC 中OC=OQ ∴∠OQC=∠OCQ 在△OPQ 中QP=QO ∴∠QOP=∠QPO 又∵∠QPO=∠OCQ+∠AOC ∠AOC=30°∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°∴3∠OCP 解析：40°【解析】：在△QOC 中，OC=OQ ，∴∠OQC=∠OCQ ，在△OPQ 中，QP=QO ，∴∠QOP=∠QPO ，又∵∠QPO=∠OCQ+∠AOC ，∠AOC=30°，∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°，∴3∠OCP=120°，∴∠OCP=40°18．【解析】【分析】先确定出原抛物线的顶点坐标为（00）然后根据向左平移横坐标加向下平移纵坐标减求出新抛物线的顶点坐标然后写出即可【详解】抛物线的顶点坐标为（00）∵向左平移1个单位长度后向下平移2个单 解析：25(1)1y x =-+-【解析】【分析】先确定出原抛物线的顶点坐标为（0，0），然后根据向左平移横坐标加，向下平移纵坐标减，求出新抛物线的顶点坐标，然后写出即可．【详解】抛物线251y x =-+的顶点坐标为（0，0），∵向左平移1个单位长度后，向下平移2个单位长度，∴新抛物线的顶点坐标为（-1，-2），∴所得抛物线的解析式是()2511y x =-+-．故答案为：()2511y x =-+-．【点睛】本题主要考查的是函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”利用顶点的变化确定图形的变化是解题的关键． 19．x1=1x2=2【解析】【分析】整体移项后利用因式分解法进行求解即可得【详解】x(x-2)-(x-2)=0x-1=0或x-2=0所以x1=1x2=2故答案为x1=1x2=2【点睛】本题考查了解一元二解析：x 1=1, x 2=2.【解析】【分析】整体移项后，利用因式分解法进行求解即可得.【详解】x(x-2)-(x-2)=0，()()120x x--=，x-1=0或x-2=0，所以x1=1，x2=2，故答案为x1=1，x2=2.【点睛】本题考查了解一元二次方程——因式分解法，根据方程的特点熟练选择恰当的方法进行求解是关键.20．-2【解析】已知3是关于x的方程x2-5x+c=0的一个根代入可得9-3+c=0解得c=-6；所以由原方程为x2-5x-6=0即（x+2）（x-3）=0解得x=-2或x=3即可得方程的另一个根是x=解析：-2【解析】已知3是关于x的方程x2-5x+c=0的一个根，代入可得9-3+c=0，解得，c=-6；所以由原方程为x2-5x-6=0，即（x+2）（x-3）=0，解得，x=-2或x=3，即可得方程的另一个根是x=-2．三、解答题21．(1)商场每件衬衫降价4元,则商场每天可盈利1008元；(2)每件衬衫应降价20元；(3)不可能.理由见解析.【解析】【分析】（1）根据题意得到每天的销售量，然后由销售量×每件盈利进行解答；（2）利用衬衣平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可；（3）同样列出方程，若方程有实数根则可以，否则不可以．【详解】(1)410205⎛⎫⨯+⎪⎝⎭×(40-4)=1008(元).答：商场每件衬衫降价4元，则商场每天可盈利1008元.(2)设每件衬衫应降价x元，根据题意，得(40-x)(20+2x)=1200，整理，得x2-30x+200=0，解得x1=10，x2=20，∵要尽量减少库存，∴x=20.答：每件衬衫应降价20元.(3)不可能.理由如下：令(40-x)(20+2x)=1600，整理得x2-30x+400=0，∵Δ=900-4×400<0，∴商场平均每天不可能盈利1600元.【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售的利润是解题关键．22．（1）y=﹣x2+2x+3；（2）C（0，3），D（1，4）；（3）P（2，3）．【解析】【分析】（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数b、c的值，进而可得到抛物线的对称轴方程；（2）令x=0，可得C点坐标，将函数解析式配方即得抛物线的顶点C的坐标；（3）设P（x，y）（x＞0，y＞0），根据题意列出方程即可求得y，即得D点坐标．【详解】（1）由点A（﹣1，0）和点B（3，0）得10 930b cb c--+=⎧⎨-++=⎩，解得：23bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）令x=0，则y=3，∴C（0，3）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴D（1，4）；（3）设P（x，y）（x＞0，y＞0），S△COE=12×1×3=32，S△ABP=12×4y=2y，∵S△ABP=4S△COE，∴2y=4×32，∴y=3，∴﹣x2+2x+3=3，解得：x1=0（不合题意，舍去），x2=2，∴P（2，3）．【点睛】本题考查了二次函数解析式的确定、抛物线的顶点坐标求法，图形面积的求法等知识，根据S△ABP=4S△COE列出方程是解决问题的关键．23．（1）x=﹣2或x=4；（2）52＜x＜3【解析】【分析】（1）用因式分解法求解；（2）分别求不等式，再确定公共解集．【详解】解：（1）∵（x+2）（x ﹣4）=0，∴x+2=0或x ﹣4=0，解得：x=﹣2或x=4；（2）解不等式x ﹣3（x ﹣２）＜1，得：x ＞52， 解不等式12x -＜1，得：x ＜3， ∴不等式组的解集为52＜x ＜3． 【点睛】 考核知识点：解一元二次方程方程，解不等式组．掌握解不等式组和一元二次方程的基本方法是关键．24．（1）21070010000w x x =-+-（20≤x≤32）；（2）当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元；（3）3600．【解析】【分析】（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润=（定价﹣进价）×销售量，从而列出关系式；（2）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可；（3）根据抛物线的性质和图象，求出每月的成本．【详解】解：（1）由题意，得：w=（x ﹣20）•y=（x ﹣20）•（﹣10x+500）=21070010000x x -+-，即21070010000w x x =-+-（20≤x≤32）；（2）对于函数21070010000w x x =-+-的图象的对称轴是直线x=7002(10)-⨯-=35． 又∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下．∴当20≤x≤32时，W 随着X 的增大而增大，∴当x=32时，W=2160答：当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元．（3）取W=2000得，210700100002000x x -+-=解这个方程得：1x =30，2x =40．∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下，∴当30≤x≤40时，w≥2000．∵20≤x≤32，∴当30≤x≤32时，w≥2000．设每月的成本为P （元），由题意，得：P=20（﹣10x+500）=﹣200x+10000∵k=﹣200＜0，∴P随x的增大而减小，∴当x=32时，P的值最小，P最小值=3600．答：想要每月获得的利润不低于2000元，小明每月的成本最少为3600元．考点：1．二次函数的应用；2．最值问题；3．二次函数的最值．25．（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）如图，连接OA；证明∠OAP=90°，即可解决问题．（2）如图，作辅助线；求出OM=1，OA=2；求出△AOB、扇形AOB的面积，即可解决问题．【详解】如图，连接OA；，；而，；而，；，，是的切线．如图，过点O作，则，，，，；，，图中阴影部分的面积．【点睛】本题考查了切线的判定与扇形面积的计算，解题的关键是熟练的掌握切线的判定与扇形面积公式.。

北京市各区九年级中考一模数学试卷精选汇编压轴题专题东城区28.给出如下定义：对于。

0的弦MN 和。

0外一点P(M, 0, N 三点不共线，且P, 0在直线MN的异IB),当乙MPN+4MON=180。

时，则标点P 是线段MN 关于点0 的关妖点.图1是点P 为线段MN 关于点0的关妖点的示意图.在平面直角坐标系xOy 中，。

0的半径为1., S A (1, 0), B (1, 1 ), C(>/2,0)三点中，是我段MN 关于点。

的关城点的是(2)如图3, M(0, 1), N 9，一；］,点D 是线段MN 关于点。

的关联点.①乙MDN 的大小为°;②在第一象限内有一点点E 是线段MN 关于点。

的关妖点,利断AMNE 的形状，并直接写出点E 的坐标;(1 )如图2, M③点FtE直线y=一,x+2上，当/MFN24MDN时，求点F的横坐标》的取值范围.28.«： (1 ) C；------------- 2分(2)① 60°；②ZXMNE是等边三角形，点E的坐标为（61）；---------------- 5分③直线），= 一乎1+2交y轴于点K（0, 2）,交X轴于点T（2/ 0）.OK = 2 , OT = 2>/3 .・•. Z.OKT= 60° .作0G_L KT于点G,连接MG.・/ M(0, 1),.-.0M=1.・•.M为OK中点.MG =MK=0M=1.zMG0=zM0G=30o, 0G=x/3.v NMQV = 120。

，丁. Z.GON = 900.ROG =。

, ON = 1,ZOGN =30°.ZMGN= 60°.・•.G是线段MN关于点0的关妖点.经聆证，点网/1）在直线），=一日1+ 2上.结合图象可却，当点F在线段GE上时，符合禺意.丁x G^x F^x E,... 乎W/WG ----------------- 8 分西城区28.对于平面内的0c和OC外一点。

北京市五中分校2020-2021学年九年级上学期统一测试（一）数学试题一、选择题1. 如果3x=4y （y≠0），那么下列比例式中正确的是（ ） A. 34x y = B. 43=x y C. 34x y = D. 43x y = 2. 下列关于二次函数22y x =的说法正确的是（ ）A. 它的图象经过点()1,2--B. 当0x <时，y 随x 的增大而减小C. 当0x =时，y 有最大值为0D. 它的图象的对称轴是直线2x = 3. 一元二次方程x 2－8x －1＝0配方后可变形为（）A. （x ＋4）2＝17B. （x ＋4）2＝15C. （x －4）2＝17D. （x －4）2＝15 4. 抛物线23(1)5y x =-+的顶点坐标是( ) A. (3,5) B. (1,5)C. (3,1)D. (1,5)- 5. 正方形网格中，AOB ∠如图放置，则sin AOB ∠=（ ）A. 5B.25 C. 12 D. 2 6. 如图，点P 是反比例函数4y x-=图像上的一个点，过P 作PA x ⊥轴，PC y ⊥轴，则矩形OAPC 的面积是（ ）A. 2B. 12C. 4D. 14 7. 若关于x 的一元二次方程22(2)240a x x a -++-=有一个根为0，则a 的值为（ ）A. 2±B. 2±C. 2-D. 2 8. 如图，ABC ∆与DFE ∆是位似图形，且位似中心为:2:1O OB OF =，，若线段6AC =，则线段DE 为（）A . 2B. 4C. 6D. 3 9. 在同一平面直角坐标系xOy 中，函数1y kx =+与(0)k y k x =≠的图象可能是（ ） A.B. C. D.10. 如图，∠ACB =90°，CD 是AB 边上的高，若AD =24，BD =6，则CD 的长是（ ）A. 8B. 10C. 12D. 14二、填空题11. 二次函数221y x =-+图象的开口方向是向________．12. 反比例函数2y x=图象过点()()122,3y y 、，则1y ______2y (填“＞”“＝”或“＜”) 13. Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，则tan A 的值为_____． 14. 如图，点,D E 分别在ABC ∆的边AB AC ，上，且//DE BC ．若:2:3AD AB =，则ADE ∆与ABC∆的面积之比为_______．15. 如图，已知矩形ABCD 的顶点A 、D 分别落在x 轴、y 轴，OD ＝2OA ＝6，AD ：AB ＝3：1．则点B 的坐标是_____．16. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数1y ax b 与反比例函数2m y x=的图象交于点(2,1)A -，(1,2)B -.结合图象，直接写出关于x 的不等式>m ax b x+的解集____17. 如图，矩形ABCD 由三个全等矩形拼成，AC 与DE EF FG HG HB 、、、、分别交于点P Q K M N 、、、、，设EPQ GKM BNC ∆∆∆、、的面积依次为123S S S 、、．若1340S S +=，则2S 的值为_________．18. 如图，曲线AB 是抛物线2481y x x =-++的一部分（其中A 是抛物线与y 轴的交点，B 是顶点），曲线BC 是双曲线(0)k y k x=≠的一部分.曲线AB 与BC 组成图形W 由点C 开始不断重复图形W 形成一组“波浪线”.若点(2020,)P m ，(,)Q x n 在该“波浪线”上，则m 的值为________，n 的最大值为________.三．解答题19. 计算：4sin30°﹣2cos45°+tan 260°．20. 解下列方程：（1）()2325x -=；（2）2105x x -=．21. 列方程或方程组解应用题：随着生活水平的提高，人们越来越关注健康的生活环境，家庭及办公场所对空气净化器的需求量逐月增多．经调查，某品牌的空气净化器今年三月份的销售量为8万台，五月份的销售量为9.68万台，求销售量的月平均增长率．22. 如图，在△A BC 中，点D 在AB 边上，∠ABC =∠ACD ，（1）求证：△A BC ∽△ACD（2）若AD =2，AB =5.求AC 的长．23. 已知关于x 的一元二次方程220x x k ++-=有两个不相等的实数根.（1）求k 的取值范围；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数k 的值.24. 已知二次函数244y x x =-+．（1）将244y x x =-+化成()2y a x h k =-+的形式，并写出顶点坐标；（2）在所给的平面直角坐标系xOy 中，画出它的示意图；（3）当14x <<时，直接写出y 的取值范围．25. 如图，在△ABC 中，∠B ＝30°，tan C ＝43，AD ⊥BC 于点D ．若AB ＝8，求BC 的长．26. 有这样一个问题：探究函数y ＝13x x --的图象与性质．小彤根据学习函数的经验，对函数y ＝13x x --的图象与性质进行了探究． 下面是小彤探究的过程，请补充完整：(1)函数y ＝13x x --的自变量x 的取值范围是 ； (2)下表是y 与x 的几组对应值： x… ﹣2 ﹣1 0 1 2 4 5 6 7 8 … y … 35 m 13 0 ﹣1 3 2 53 3275 … 则m 的值为 ；(3)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象；(4)观察图象，写出该函数的一条性质 ；(5)若函数y ＝13x x --的图象上有三个点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3)，且x 1＜3＜x 2＜x 3，则y 1、y 2、y 3之间的大小关系为 ；27. 已知反比例函数8m y x -=(m 为常数）的图象经过点()1,6A -， （1）求m 的值；（2）如图，过点A 作直线AC 与函数8m y x -=的图象交于点B ，与x 轴交于点C ，且2AB BC =，求点B 和点C 的坐标．28. 当k 值相同时，我们把正比例函数1yx k 与反比例函数k y x=叫做“关联函数"，可以通过图象研究“关联函数”性质．小明根据学习函数的经验，先以12y x =与2y x =为例对“关联函数”进行了探究．下面是小明的探究过程，请你将它补充完整；（1）如图，在同一坐标系中画出这两个函数的图象．设这两个函数图象的交点分别为A ，B ，则点A 的坐标为(-2，-1)，点B 的坐标为_______．（2）点P 是函数2y x =在第一象限内的图象上一个动点（点P 不与点B 重合)，设点P 的坐标为2,t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其中0t >且2t ≠．①结论1：作直线PA PB ，分别与x 轴交于点C D ，，则在点P 运动的过程中，总有PC PD =．证明：设直线PA 的解析式为y ax b =+，将点A 和点P 的坐标代入，得12_________a b -=-+⎧⎨⎩，解得12a t t bt ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩则直线PA 的解析式为12t y x t t-=+，令0y =，可得2x t =-，则点的坐标为()2,0t -，同理可求，直线PB 的解析式为12t y x t t+=-+，点D 的坐标为_________． 请你继续完成证明PC PD =的后续过程：②结论2：设ABP ∆的面积为S ，则S 是t 的函数．请你直接写出S 与t 的函数表达式．。