第3讲 chapter2-2第二章 拉压应力和变形

实验表明，纵向线应变和横向线应变成比例关系。


称为横向变形因数或泊松比(Poisson’s Ratio)。
17
泊松比的学术之争(1833-1879)
1821年:纳维首次用分子理论来研究各向同性材料弹性体的 平衡问题，所导出的方程中只有一个弹性常数C，因此被称为 “单常数理论”。
3
实验观察（平面假设）
F
p
F A

F F
A / cos
F A
cos
0 cos
p cos 0 cos2
p sin 0 sin cos
0 sin 2
2
F
p

p

4
斜截面上的应力



0
cos2
1807年因英国医生兼物理学家托马 斯·杨(Thomas Young, 1773-1829) 所得到的结果而命名，主要是由于 杨在光学方面的贡献（关的波动 说）。
橡胶的弹性模量：8MPa 钢的弹性模量：210GPa 钻石的弹性模量：1100 GPa
1795年，他来到德国的格丁根大学学 习医学，一年后便取得了博士学位。
F
F
D
d
d
ab
l l2
l1
28
Thank you for your attention!
作业 P52：2-4
P53： 2-6；2-8(3)
下次课的内容： 拉（压）杆的变形、应变能
29
“泊松比之争”并没有就此告终，关于泊松比的又一个学术 争论至今尚未了结－－“泊松比的取值范围”。
21
泊松比的取值范围
经典的弹性固体力学已经严格证明： 等温条件下各向同性线弹性材料泊松比的取值范围为：
1 0.5
负泊松比（negative poisson’s ratio）材料？
22
3D块体负泊松比块体材料
第二章 轴向拉伸和压缩（二）
Axial Loading （Tension & Compression）
第三讲
1
本次课内容 §2-3 杆内的应力
斜截面上的应力 §2-4 轴向拉伸或压缩时的变形 胡克定律
2
三、斜截面上的应力
m
F
I II
Fห้องสมุดไป่ตู้
m
从横截面位置逆时针转动为正
• 截面法 F
m
I

F
m
F F
18
1833年：格林（G. Green）在研究电磁波在弹性介质表面 的上的反射与折射时，首次用能量法证明：各向同性材料的应 变能函数中应当包括两个弹性常数，而不是单常数，从而引起 了 历史上的“泊松比之争”。
纳维、柯西、泊松、拉梅（都是法国科学院院士）－都支 持单常数理论（也有大量的实验验证＝1/4 ）。
13
胡克(1635-1703)定律 (Hooke’s law): 1678年发表《恢复原形的或弹性的势能》：“Ut tensio
sic vis”（拉丁文），意思是“有多大伸长，就有多大的力” 郑玄(127-200，东汉):
在注释《考工记.弓人》中“量其力，有三均”这句话时， 写了下面一段文字：“假令弓力胜三石，引之中三尺，驰其弦， 以绳缓擐之，每加物一石，则张一尺。”
1848年，维尔泰姆（G. Wertheim)向法国科学院提交了 “关于匀质固体平衡的研究报告”。他用其中不同的办法测定 弹性常数，发现大部分试验点落在1/3附近，建议把 1/4 改为 1/3 ，但还是认为单常数理论是正确的。
维尔泰姆是银行家的后裔，把继承的所有巨额财富和毕生的经历都投入到科 学实验中，因他的测试结果与主流派的理论结果不符，使他在学术上长期受到非难， 心情抑郁，1861年在法国图尔旅游时，从教堂塔顶跳下，自杀身亡。


45 :


0
2
; max

0
2
.
90 : 0; 0.
在研究拉压杆问题中，一点处的应力状态可由其横截面上 的正应力完全确定，这样的应力状态称为单轴应力状态。
6
例题2 已知阶梯形直杆受力如图示。杆AB段的横截面面
积为A1＝2500mm2。
m
450
m
试求：杆AB段上与杆轴线夹45°角斜截面上的正应力和切应力.
1869年:科尔纽（M.A. Cornu）首次用光学干涉法独立地 测定泊松比值，对7种玻璃片测试值的平均为0.237，并不是 1/4 ，但还是认为单常数理论是正确的。
20
1879年：马洛克（A. Mallock）设计了一个装置，测出一 些材料的泊松比值：钢0.253，黄铜0.325，铜0.348，铅0.375， 锌板0.18，铸锌0.230，胶木0.389，象牙0.5，印度橡胶0.5，石 蜡0.5，硬纸板0.2，巴黎石膏0.181。马洛克从自己的实验数据 出发，正确地指出＝1/4的常数理论不适用于弹性固体，泊松 比是独立的材料常数，建议把单常数理论送进历史博物馆，从 而终止了长达46年的“泊松比之争”。
1825年:柯西把纳维的理论推广到各向异性弹性体，其基本 方程中有36个常数，简化到各向同性弹性体时仍有两个常数。 但柯西认为纳维的单常数理论是正确的。
1829年:泊松用纳维－柯西方法讨论板的平衡问题时指出，
各向同性弹性杆件受到单向拉伸时，产生纵向应变x，同时会
连带产生横向收缩，此横向应变为-x 。他用分子理论证明 ＝1/4。
胡克实验用装置
Robert Hooke (胡克1635-1703)
12
l FN l EA
• 比例常数Ｅ称为弹性模量
物理意义：描述固体材料抵抗变形 能力的物理量。
也称为杨氏模量(Young’s Modulus)
EA称为杆的拉伸 （压缩）刚度
单位( 国际单位制)：N/m2(Pa);
常用单位：MPa或GPa
23
负泊松比效应的工程应用
刀头易拆装件
24
例：图示杆，1段为直径 d1=20mm的圆杆，2段为边长a=25mm的方 杆，3段为直径d3=12mm的圆杆。已知2段杆内的应力2=-30MPa， E=210GPa，求整个杆的伸长△l。
1
2
3
F
F
0.2m
0.4m
0.2m
解: F 2 A2 30 252 N 18.75kN
19
1859年：基尔霍夫（G.R. Kirchhoff）设计了一种巧妙的 弯扭实验装置，测出三种钢杆的值分别为0.293，0.294， 0.295；两种黄铜的值分别0.385，0.387，又一次验证了 1/4, 但他仍然相信主流派的单常数理论，怀疑所有试样有各 向异性，对自己正确的测试结果持保留态度。
胡海昌教授（中国科学院院士, 1928-2011 ）说：“考证 出弹性定律在胡克之前约1500年已由我国郑玄”作了记载，这 是力学史研究中的重大发现，长了中国人的志气。今后在讲述 胡克定律的各种书刊中，包括中学物理教科书，都应适当介绍 郑玄的记载*。
*参考文献－老亮，材料力学史漫话，高等教育出版社，1993。
l
F
d
F
l
F
F
l l
把单位长度的伸长或缩短称为线应变，符号 。
对于各段伸长均匀的杆，有 纵向线应变: l
l
11
二、胡克定律
F
实验 当杆内应力不超过材料的某 表明: 一极限值(比例极限)时，有
l F l
A
l
引入比例常数Ｅ，有
l F l EA
胡克定律 Hooke’s law
7
解：1．计算AB段杆横截面上的正应力
FN,AB＝400kN
x, AB

FN,AB ＝ 400 103 A1 2500 106
160106 Pa
160MPa
8
45°
解：2．计算AB段杆斜截面上的正应力和切应力
应用拉伸和压缩时杆件斜截面上的应力公式 ：
＝ xcos2 ;
25
1
2
3
F
F
0.2m
0.4m
0.2m
l FN1l1 FN 2l2 ＋ FN 3l3 EA1 EA2 EA3

18750 210 109
(

0.2 0.022
0.4 0.0252


0.2 0.0122
)
4
4
0.272 mm (缩短）
26
五、关于横向变形的计算
27
材料弹性模量为E，泊松比为
14
将式 l FN l 改写为
EA


l 1 FN l EA
• 单轴应力状态 下的胡克定律
• Hooke’s law
或 E
E
15
三、横向线应变和泊松比
横向收缩和横向线应变: d
d
l
F
d
F
F
F
d d
l l
16
对于传统材料：
拉杆，纵向线应变为正，而横向线应变为负； 压杆，纵向线应变为负，而横向线应变为正； 纵向线应变和横向线应变的正负号通常恰好相反。

0
2
sin 2
上式表达了通过杆内任一点处不同方位斜截面上的正应力和切应 力随角而改变的规律。
通过一点的所有不同方位斜截面上应力的全部情况称为该点处的 应力状态。
5
m
F
0 cos2

0
2
sin 2
I II
F
m
0 : 0 max 0; 0
sin

2