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第三 轴向拉压变形

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材料力学第3章 轴向拉压变形

材料力学第3章 轴向拉压变形
Fy 0 :FN1 sin 30 FN3 sin 30 F
(2) 变形协调方程
Δl2 Δl1 Δl3 Δl2 tan30 sin 30 sin 30 tan30
秦飞 编著《材料力学》 第3章 轴向拉压变形
31
3.4 拉压杆静不定问题的解法
例题3-5
(3) 利用物性关系，用力表示变形协调方程
切
B点水平位移：
线 代
圆
Fa
弧
Bx BB1 l1 EA ()
B点铅垂位移：
By

BB'

l2 sin 45

l1
tan
45

(1
2
2) Fa EA
()
秦飞 编著《材料力学》 第3章 轴向拉压变形
19
3.3 桁架的节点位移
例题3-3
图示托架，由横梁AB与斜撑杆CD所组成，并承受集中载荷
2
3.1拉压杆的轴向变形与横向变形
轴向应变: l 胡克定律： FN
l
E EA
所以得到： l FNl EA
（拉压杆胡克定律）
l FNl EA
EA为拉压刚度，只与材料和横截面面积有关。
秦飞 编著《材料力学》 第3章 轴向拉压变形
3
3.1拉压杆的轴向变形与横向变形
(2)补充方程-变形协调方程(compatibility equation)
l1
tan

l2
sin

l3
秦飞 编著《材料力学》 第3章 轴向拉压变形
25
3.4 拉压杆静不定问题 解法
（3）物性（物理）关系
l1

FN1l1 E1 A1

材料力学课件：3-3 桁架节点位移与小变形概念

材料力学课件：3-3 桁架节点位移与小变形概念
Page 9
第三章 轴向拉压变形
例：求A，C相对位移
FA
D
O
B
*设想固定BD中点 和BD方位
C C
F
*D点随OD杆变形
发 生位移，DC杆平 移、伸长、转动， 由对称性，C点到 达C’点。
AC 2CC '
Page10
第三章 轴向拉压变形
§3-4 拉压与剪切应变能
两条平行的研究途径(从物理、理力到材力)
单向受力
Page15
第三章 轴向拉压变形
•单向受力体应变能
2
V v dxdydz 2E dxdydz
•拉压杆
(x)= FN ( x ) , dydz A
V
l
FN2 ( x) dx 2EA( x)
A （变力变截面杆）
y
V
FN2 l 2EA
（常应力等直杆）
dz
dx
•纯剪应变能密度
dVε
dxdz dy
第三章 轴向拉压变形
外力功、应变能与功能原理
F
F
•外力功( W):构件变形时，外力在相应位移上做的功。
•应变能（ V）：构件因变形贮存能量。
Page12
第三章 轴向拉压变形
•弹性体功能原理： Vε W （根据能量守恒定律）
•功能原理成立条件：载体由零逐渐缓慢增加，动能与
热能等的变化可忽略不计。
答：切线代圆弧的近似。
Page 6
第三章 轴向拉压变形 例：零力杆：求A点的位移。
*AB杆不受力，不伸长转动。
Page 7
例：画节点A的位移
第三章 轴向拉压变形
1
2
3
B
A
B
A

材料力学课件-第三章-轴向拉压变形

材料力学课件-第三章-轴向拉压变形

Δ
F
f
o


d
A

d
•弹性体功能原理：Vε W ,
f df
• 拉压杆应变能
2 FN l V ε 2 EA
Page28
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
*非线性弹性材料
F
f
•外力功计算
W fd
0

F W 2
•功能原理是否成立? •应变能如何计算计算?

dx
dz
dy
x
•单向受力体应变能
V v dxdydz dxdydz 2E
2
z
单向受力
Page30
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
2 dxdydz •单向受力体应变能 V v dxdydz 2E FN ( x ) •拉压杆 (x)= , dydz A A 2 FN ( x ) V dx （变力变截面杆） y 2 EA( x ) l 2 FN l dx （常应力等直杆） V dz 2 EA •纯剪应变能密度 dy dxdz dy dxdydz dVε 2 2 2 1 2 z v G 纯剪切
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
第三章
§3-1 §3-2 §3-3 §3-4
§3-5 §3-6
轴向拉压变形
引言 拉压杆的变形与叠加原理 桁架的节点位移 拉压与剪切应变能
简单拉压静不定问题 热应力与预应力
Page1
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
本章主要研究:
Page7

材料力学ch3-拉压变形

材料力学ch3-拉压变形

FN2 F2
F2 ( l1 l2 ) F1l1 ( l )分段 EA EA
2. 分解载荷法
F2 ( l1 l2F ) ( lF1 l1 l ) F l 1 1 )分段 l 2 1 2 lF1( l F2 EA EA EA EA
( l )分解载荷 lF1 lF2
FN2 F ( 压缩)
FN1 l1 2F 2l 2Fl ( 伸长) l1 EA E1 A1 EA
FN2 l2 Fl l 2 (缩短) E2 A2 EA
2. 作图法求节点位移 圆弧法 作圆弧A1A’、A2A’ 切线代圆弧法 将圆弧A1A’用 其切线A1A3代替 3. 节点位移计算
l
A1
B
A
l f A l cos a l tg a sin a AA cos a
(l l ) A1 B A1 A
切线代圆弧
节点位移分析
图示桁架，试求节点 A 的水平与铅垂位移， 已知 ：E1A1= E2A2=EA，l2=l
1. 轴力与变形分析
FN1 2F ( 拉伸)
横截面内任一点， 任意面内方向上的应变
横向变形与泊松比 泊松比
'
试验表明：在比例极限内，’ ，并异号
－泊松比 (横向变形系数）
Poisson’s Ratio
0 0.5
• 对于绝大多数各向同性材料
• 弹性理论证明： 等温下各向同性线弹性材料 1 0.5
线弹性杆的拉压应变能V来自ε WF l V ε 2 EA
2 N
拉压与剪切应变能密度
拉压应变能密度
dV ε
dxdz dy
2

材料力学 单辉祖主编 第三版 第三章 轴向拉压变形

材料力学 单辉祖主编 第三版 第三章 轴向拉压变形

FN A
轴向正应变：
l1 l l
Hooke’s
Law
FN A
E
l l
轴向变形
FN EA
变形分析


FN EA
胡克定律反映了在比例极限范围内，轴 向伸长和轴力的线性关系
杆件的轴向伸长l与轴力FN, 杆件长度l 成正比，而EA成反比 由于EA越大，杆件的变形越小；EA越小， 变形越大，因此，称EA为杆件的（抗拉） 刚度
第三章
轴向拉压变形
3.1 拉压杆的变形与叠加原理
变形分析

实验发现，拉（压）直杆的变形主要是 轴向变形（纵向变形）
– 当杆拉伸时，杆沿轴向伸长，同时伴随着 横向尺寸的略有缩短 – 当杆压缩时，其轴向尺寸缩短，而横向尺 寸略有增大
F
b
b1
F
l
l1
变形分析
F b l
b1 l1
F
轴向变形
轴向正应力:
l P FN1 L EA 4 Pl EA
2P
EXAMPLE-多力杆
杆件在外力F2=-2P作用 下，左部分杆件的内力 FN2=-2P 右面部分不受力，所以 内力为零。
2P P
l
3l P
2P
这样，杆件在外力F2 作用下的伸长为
l2 P
FN 2 L EA

2 Pl EA
EXAMPLE-多力杆
多于约束
多于约束
静不定问题-概念
求解静不定问题的基本方法
静定与静不定的辩证关系——多余约束的两 种作用： 增加了未知力个数，同时增加对变形的限制 与约束，前者使问题变为不可解，后者使问题变 为可解 求解静不定问题的基本方法——平衡、变形 协调、本构关系（现在的本构关系体现为力与杆 件伸长的关系）

建筑力学第3章轴向拉伸与压缩

建筑力学第3章轴向拉伸与压缩

A

F
x
0
FN 1 cos 45 FN 2 0
FN 2 45° B
F
x
F
45°
y
0
B F
C
FN 1 sin 45 - F 0
FN 1 28.3kN FN 2 -20kN

A

2、计算各杆件的应力。
45°
C

B
FN 1 28.3 10 90MPa A1 20 2 4
斜截面上全应力：
p 0 cos
k
③pa 分解为：
p
P
P
p cos 0 cos 2

p sin 0 cossin
0
2
k
k

sin2

P
P


k
反映：通过构件上一点不同截面上应力变化情况。 当 = 0时， 当 = 90°时， 当 = ±45°时， 当 = 0,90°时，
Ⅱ段柱横截面上的正应力
FN 2 - 150 103 -1.1 MPa Ⅱ 2 A2 370
所以，最大工作应力为
max= = -1.1 MPa (压应力）
三、 轴向拉（压）杆斜截面上的应力
上述讨论的横截面上的正应力是今后强度计算的基础。 但不同的材料实验表明，拉（压）杆的破坏并不总是沿横截 面发生，有时确是沿斜截面发生的，为此，应进一步讨论斜 截面上的应力。为了全面分析拉（压）杆的强度，应研究它 斜截面上的应力情况。
解(1)、(2)曲线交点处：
30
60

B 31;PB 54.4kN
1 1
PB1 ,60 A /cos60/sin604601024/ 355.44kN

材料力学单辉祖第三章轴向拉压变形

o x
FN q
q
L
最大正应力发生在x = 0处
P
max
FN (0) P ql (0) A A
P
x
22
Example-变轴力杆
取长度为dx的微元体 由胡克定理知，微元体伸长为
FN ( x) d dx EA
FN ( x) P q(l x)
o x
FN
dx dFN对微段变形忽略
杆件在外力F2作用下 的伸长为
l
2P
P
3l P
2P
l2 P
FN 2 L 2 Pl EA EA
19
Example-多力杆
杆件的总伸长为
l l P l2 P
方法一答案
2 Pl l l1 l2 EA ()
2 Pl EA
2P
P
l
3l
20
Example-变轴力杆
B
60 0
F2 l
F1
l
C A
C"
D
C´ A´
几何关系
45
Example-Bracket
利用几何关系， 得A点垂直位移AA´
A 2CC CD 2 6.0 mm 0 sin 30
l B
600
F2
F1
l
C A
C"
D
C´ A´
几何关系
46
Example-零力杆
求A点的位移
*AB杆不受力不伸长，只转动
()
41
Example-Bracket
图示托架，AB为刚梁，CD为支撑杆，已知 F1=5kN，F2=10kN，l=1m，斜支撑CD为铝 管，弹性模量为E=70GPa，横截面面积为 A=440mm2，求刚梁AB端点A的铅垂位移。

第三章北航 材料力学 全部课件 习题答案


δ
Fl 4 EA
3-9
图示刚性横梁 AB，由钢丝绳并经无摩擦滑轮所支持。设钢丝绳的轴向刚度（即
产生单位轴向变形所需之力）为 k，试求当载荷 F 作用时端点 B 的铅垂位移。
题 3-9 图 解：载荷 F 作用后，刚性梁 AB 倾斜如图(见图 3-9)。设钢丝绳中的轴力为 FN ，其总伸长 为 Δl 。
图 3-9 以刚性梁为研究对象，由平衡方程 M A 0 得
FN a FN (a b) F (2a b)
由此得
FN F
由图 3-9 可以看出，
y (2a b)
Δl Δy1 Δy2 a (a b) (2a b)
可见，
Δy Δl
联立求解方程(a)与(b)，得
(b)
tanθ
由此得
FN1 FN2 (16 8) 103 0.1925 3 ( FN1 FN2 ) 3 (16 8) 103
θ 10.89 10.9
F
FN1 FN2 (16 8) 103 N 2.12104 N 21.2kN 2sinθ 2sin10.89
-4 -4 2 变分别为ε ε 1 = 4.0×10 与 2 = 2.0×10 。已知杆 1 与杆 2 的横截面面积 A1= A2=200mm ，弹性
模量 E1= E2=200GPa。试确定载荷 F 及其方位角 之值。
题 3-5 图 解：1.求各杆轴力
FN1 E1ε1 A1 200109 4.0 104 200106 N 1.6 104 N 16kN FN2 E2 ε2 A2 200109 2.0 104 200106 N 8 103 N 8kN

材料力学：第三章 拉压与剪切应变能


静定问题
一度静不定
静不定度 未知力数与有效平衡方程数之差
静不定问题分析
分析方法 求解思路 建立平衡方程 建立补充方程 联立求解
求解算例 平衡方程
E1A1= E2A2
变形几何关系
－变形协调方程
胡克定律
补充方程
联立求解平衡与补充方程
静不定问题求解与内力的特点: 静不定问题求解：
设计变量：在工程设计中可由设计者调整的量,例如构件 的截面尺寸
约束条件：设计变量必须满足的限制条件
目标函数：目标的设计变量表达式
单辉祖：材料力学Ⅰ
65
结构优化设计简单算例
已知：F=100 kN，l=500 mm，[st]150 MPa， [sc] 100 MPa， A1 = A3，密度 r 7.85103 kg/m3
2.内力能(应变能)
(1)用内力计算应变能 (2)用应力计算应变能
应变能 拉压
剪切
Dl FNl EA
应变能密度
3.功能等
应变能小结：解题思路
题目：求内力、位移、应力
功能守恒定律 截断法静力分析：求内力或应力
(1)用内力计 算应变能
计算内 力能
(2)用应力计算 应变能
计算外力功
(弹力作功)
功能等
例题
成立条件：载荷缓慢增大，动能、热能变化忽略不计。
单辉祖：材料力学Ⅰ
32
回顾:
轴向拉压应变能
(1) 外力功与弹性应变能计算
弹 性
回顾:
拉压与剪切应变能密度
(2) 由应力应变计算应变能 拉压应变能
拉压应变能密度
(单位体积内应变能)
剪切应变能
剪切应变能密度
34

《材料力学》第三章 轴向拉压变形

-3（共 4 页）
第三章 轴向拉压变形
*四、温度应力、装配应力 一）温度应力：由温度引起杆变形而产生的应力（热应力） 。 温度引起的变形量—— L tL 1、静定问题无温度应力。 2、超静定问题存在温度应力。 二）装配应力——预应力、初应力：由于构件制造尺寸产生的制造误差，在装配时产生变形而引起的应 力。 1、静定问题无装配应力 2、超静定问题存在装配应力。 轴向拉压变形小结 一、拉压杆的变形（重点） 1、轴向变形：轴向尺寸的伸长或缩短。 2、横向变形：横向尺寸的缩小或扩大。 3、横向变形系数（泊松比） ： 4、变形——构件在外力作用下或温度影响下所引起的形状尺寸的变化。 5、弹性变形——外力撤除后，能消失的变形。 6、塑性变形——外力撤除后，不能消失的变形。 3、横向变形系数 7、位移——构件内的点或截面，在变形前后位置的改变量。 8、正应变——微小线段单位长度的变形。
4、求变形： L
FN L EA
LAB
FNAB LAB 240 3.4 104 2.67(m m) EAAB 2.114.54
LCD 0.91mm LEF 1.74mm
5、求位移,变形图如图
LGH 1.63mm
D
LEF LGH DG LGH 1.70 mm EG
第三章 轴向拉压变形
第三章
一、概念 1、轴向变形：轴向尺寸的伸长或缩短。 2、横向变形：横向尺寸的缩小或扩大。 二、分析两种变形
轴向拉压变形
§3—1 轴向拉压杆的变形
b
L F F
b1
L1
1、轴向变形：Δ L=L1-L ，
L L F L （2） 、在弹性范围内： L N A
（1） 、轴向正应变线应变：
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Page 7
第三章 轴向拉压变形
泊松比研究简史 1829年，泊松用纳维—柯西方法讨论板的平衡问题 时
指出，各向同性弹性杆受到单向拉伸，产生纵向应 变，同时会联带产生横向收缩，此横向应变为-x， 并许得多出人=进1/行4。试纳验维来—验柯证西泊—松泊比松为的1/单4的常理数论理结论论
维尔泰姆(1848)：试验结果表明接近1/3； 基尔霍夫(1859)：测出了三种钢材和两种黄铜， 1/4； 科尔纽(1869)：光学干涉法测出玻璃=0.237; 1879年，马洛克测出了一系列材料的泊松比，指出泊松 比是独立的材料常数，否定了单常数理论。
1802年任巴黎理学院教授(21岁)，1812 年当选为法国科学院院士(31岁)，1816年 应聘为索邦大学教授，1826年被选为彼得 堡科学院名誉院士.1837年被封为男爵。
材料泊松比由他最先计算此值而得名。在数学中以他命名的 有：泊松定理、泊松公式、泊松方程、泊松分布、泊松过程、 泊松积分、泊松级数、泊松变换、泊松代数、泊松比、泊松 流、泊松核、泊松括号、泊松稳定性、泊松积分表示、泊松 求和法……等。
F1 F2 F1
l O l1
l*
l
Page16
第三章 轴向拉压变形
*几何非线性问题例
l
l
A
B
例：已知 F , l, EA，初始两杆水平，
第三章 轴向拉压变形
讨论：
•一般阶梯形杆：
l n FNili
i1 Ei Ai
n－总段数 FNi－杆段 i 轴力
•变截面变轴力杆
d(l) FN ( x)dx EA( x)
l FN (x) dx l EA(x)
Page13
第三章 轴向拉压变形
例：已知E，A1，A2，求总伸长 l（续）
2F
•
l1
l2
l3
•
l1
l2
l3
(a)
2F
•
l1
l2
l3
(b)
解法二：各载荷效应叠加
F
la
Fl1 EA1
F
l2 l3 EA2
F
lb
2Fl1 EA1
2Fl2 EA2
l
la
lb
Fl1 EA1
Fl2 EA2
Fl3 EA3
与解法一结果一致，引出
叠加原理
Page14
第三章 轴向拉压变形
叠加原理：几个载荷同时作用所产生的 总效果，等于各载荷单独作用产生的效 果的总和。
先求内周长,设ds 弧长改变量为du, ’＝du/ds
du=’ds
u
d
ds
0
d 4F 0 (D2 d2)E
ds
4Fd
(D2 d2)Edu4Fd (D2 d2)E
d
D D 4FD D2 d2 E
Page11
第三章 轴向拉压变形
三、多力杆的变形与叠加原理
例：已知E，A1，A2，求总伸长 l
第三章 轴向拉压变形
第三章 轴向拉压变形
§3-1 引言 §3-2 拉压杆的变形与叠加原理 §3-3 桁架的节点位移 §3-4 拉压与剪切应变能 §3-5 简单拉压静不定问题 §3-6 热应力与预应力 §3-7 拉压杆弹塑性分析简介 §3-8 结构优化设计概念简介
Page 1
第三章 轴向拉压变形
本章主要研究:
第三章 轴向拉压变形
§3-2 拉压杆的变形与叠加原理
一、拉压杆的轴向变形与胡克定律
历史回顾： “胡克定律” 1678年由Robert Hooke提出。 Hooke 是伦敦皇家学会第一任会长(1662)， 他对弹性体作了许多实验，他与牛顿 是同时代人，没有受牛顿影响而系统 地阐述了万有引力定律。
中国郑玄（127-200）在《考工记·弓 人》的注就提到弓的“每加物一石 (dàn,10斗）)，则张一尺”。唐初贾 公考又对郑注作了详细解释。
第三章 轴向拉压变形 例：已知E，D，d，F，求D和d的改变量。
F
F
D
d
思考：当圆管受拉时，外径 减小，内径增大还是减小？
Page10
第三章 轴向拉压变形
例：已知E，D，d，F，求D和d的改变量。
F
F
D
d
解： F
4F
E AE D2 d 2 E
4F D2 d2 E
叠加原理的适用范围 *材料线弹性 *小变形 *结构几何线性
Page15
第三章 轴向拉压变形
材料线性问题
F
F
F1
F2
l* l1 l2 , 叠加原理成立。
F F1 F2
F1
O
l1
l O
O
l2
l
l1
l2 l* l
材料非线性问题 l* l1 l2 , 叠加原理不成立。
F
F
F
F1
O l1
F2
l O l2
第三章 轴向拉压变形
二、拉压杆的横向变形与泊松比
b
F
b b1 b
b1
l l1
b
b
F
横向正应变
试验表明：对传统材料，在比例极限内， 且 异号。
定义： 0 0.5 , ——泊松比
Page 6
第三章 轴向拉压变形
泊松(1781-1840)是法国数学家、物理学家 和力学家。1798年入巴黎综合工科学校， 成为拉格朗日、拉普拉斯的得意门生。
胡克的弹性实验装置
Page 4
第三章 轴向拉压变形 拉压杆的轴向变形与胡克定律
F
b
b1
F
l
l1
•轴向变形 l l1 -l •横向变形 b b1 b (伸长为正)
胡克定律
E ( p )
FN ， l
A
l
F l
N E Al
适用范围：线弹性体，比例极限范围内
l FNl
EA
拉压刚度
Page 5
轴向拉压变形分析的基本原理 简单拉压静不定问题分析 热应力与预应力分析 结构优化设计概念简介
Page 2
§3-1 引言
第三章 轴向拉压变形
1 2 34
5
A
F
思考：为什么要研究变形？
A F
下述问题是否与变形（小变形）相关？
•A点位移?
•各杆内力？
•各杆材料不同，温度变化时内力？
Page 3
解：1. 内力分析。轴力图
A1
A2 2F
•
F
FN1 FN 2 F , FN 3 F
l1
l2
l3
2. 变形计算。（用何方法？ ）
FN
方法一：多载荷作用下各段变形叠加
O
F x
步骤：*用截面法分段求轴力；
F
*分段求出变形；
l
l1
l2
l3
Fl1 EA1
Fl2 EA2
Fl3 EA3
*求代数和。
Page12
Page 8
第三章 轴向拉压变形
典型材料常数
弹性常数 钢与合金钢 铝合金
E/GPa 200-220 70-72
0.25-
0.26-
0.30
0.34
铜
铸铁
木(顺纹)
100-120 80-160 8-12
0.330.35
0.230.27
对于各向同性材料，三个材料常数存在如下关系：
G E
2(1 )
Page 9