天环一号偶极场磁约束实验装置悬浮线圈的初步设计及分析

利用场路结合方法分析磁轴承悬浮力王大朋;王凤翔【摘要】针对磁轴承悬浮力分析比较复杂的问题,提出利用场路结合分析磁轴承悬浮力的方法.基于磁路法推导了径向磁轴承悬浮力的线性化模型,针对具体的磁轴承系统,利用有限元法分析了磁轴承能够满足线性化模型的偏置电流选择范围和磁轴承转子偏移范围,通过最小二乘法修正了线性化模型的电流刚度系数和位移刚度系数,并对超出线性化模型范围的悬浮力进行了分析,采用多项式拟合的方法推导了悬浮力的非线性模型.对所推导的磁轴承悬浮力模型进行了实验验证.分析及实验结果表明:由于磁饱和等因素的影响,利用磁路法推导的线性悬浮力模型已不能充分描述磁轴承悬浮力特性,通过场路结合方法推导的悬浮力模型能够更准确地计算磁轴承悬浮力.%For the analysis of magnetic force of magnetic bearings is complicated, a levitation force analysis of magnetic bearing based on field-circuit coupled method was used. Firstly, the linear expressions of magnetic levitation force was deduced based on the analysis of magnetic circuit, then the ranges of bias current and operating which can satisfy linear model were analyzed by means of the finite element analysis, through least square method the current rigidity coefficient and displacement rigidity coefficient were modified, and the nonlinear expressions of magnetic levitation force was deduced by polynomial approximation for exceeding linear model range, and finally the finite element method was verified by experiment. The analysis and experimental results show that due to the magnetic saturation and other factors, and the levitation force model which was deduced by using of themagnetic circuit method can not adequately describe the magnetic bearing levitation force characteristics, and the levitation force model which was deduced by field-circuit method can more accurately calculate magnetic bearing levitation force.【期刊名称】《电机与控制学报》【年(卷),期】2011(015)011【总页数】6页(P8-13)【关键词】磁轴承;模型;有限元分析;多项式拟合;磁饱和【作者】王大朋;王凤翔【作者单位】沈阳工业大学电气工程学院,辽宁沈阳110870;沈阳工业大学电气工程学院,辽宁沈阳110870【正文语种】中文【中图分类】TM1530 引言在高速电机系统中，普通的机械轴承存在着摩擦和磨损，而且需要润滑系统，由此会带来使用寿命下降及润滑油污染等一系列问题。

创新之路Way of Innovation让“人造太阳”绽放更耀眼光芒——记东华理工大学核科学与工程学院教授张国书　谢更好人口规模持续增长，化石能源逐年缩减，未来人类将不得不面对能源短缺的巨大威胁。

那么，如何解除这个威胁呢？核聚变或许是一种“一劳永逸”的方法。

核聚变的原材料容易找，每一万个氢原子中就有一个是氘原子，每升海水中的氘聚变能够放出的能量，相当于燃烧300升汽油。

如果单纯根据地球海洋中氘资源总量估计，核聚变能可供人类使用数亿年，甚至数百亿年。

不过，人类要实现可控核聚变还面临许多重大的技术挑战。

为使可控核聚变从梦想变成现实，为让人类用上取之不尽、用之不竭的超级能源，世界各国的科学家们正在进行着不懈探索，东华理工大学核科学与工程学院教授张国书就是其中一位。

1987年从清华大学工程物理系反应堆专业毕业后，他一直从事聚变堆物理及核工程设计研究工作。

现在，作为中国“天环一号”（C A T-1）偶极场聚变实验大科学装置的项目负责人，他正为建造稳态运行的先进聚变堆探索一条新路径。

实现可控核聚变任重道远张国书介绍，因为太阳的原理就是核聚变反应，所以可控核聚变俗称“人造太阳”。

核聚变不会产生核裂变所出现的长期和高水平的放射性核废料，也不产生温室气体，基本不污染环境，所以核聚变能是一种清洁的超级能源。

自然界中最容易实现的聚变反应是氢的同位素——氘与氚的聚变，这种反应在太阳上已经持续了50亿年。

虽如此，人们认识核聚变还是从氢弹爆炸开始的，正是从那时起科学家们就希望发明出一种装置，可以有效控制“氢弹爆炸”的过程，让能量持续稳定地输出。

然而，可控核聚变需要达到上亿摄氏度以上的温度，这个特点让科学家们一次次陷入绝望。

因为这个相当于太阳中心的温度，在人类社会中几乎没有实现它的技术。

而随着科技的发展，终于有了能够制造这种超高温的技术，如激光。

但是，更棘手的问题出现了，如此高的温度，能让世间一切材料化为灰烬。

用什么样的装置才能够将上亿摄氏度的物质约束在一处，使其能够持续不断地产生能量，以供人类利用呢？科学家们立刻想到了磁场，在上亿摄氏度的高温状态下，物质呈现等离子态，它们可以被磁场约束。

南昌大学实验报告磁约束核聚变装置控制虚拟仿真实验报告一、实验目的（1）理解磁约束核聚变的基本原理；（2）熟悉托克马克实验装置控制的一般操作流程；（3）了解托克马克实验装置的一般平衡磁场位型、等离子体密度分布和温度分布的特征图像；（4）了解托克马克实验装置L 、H 模式下等离子体的密度和温度分布区别。

二、实验仪器磁约束核聚变装置控制虚拟仿真实验系统：主要包括NCST 装置（南昌大学球马克实验装置模型）、抽真空系统、中央控制系统、电源系统、加料系统、磁场电源控制器、等离子体加热系统、磁场诊断探针、激光汤姆逊散射诊断系统、诊断数据采集器、数据处理系统等软件操作模块。

三、实验原理托卡马克是一环形装置。

欧姆线圈的电流变化提供产生、建立和维持等离子体电流所需要的伏秒数；极向场线圈产生的极向磁场控制等离子体截面形状和位置平衡；环向场线圈产生的环向磁场保证等离子体的宏观整体稳定性；环向磁场与等离子体电流产生的极向磁场一起构成磁力线旋转变换的和磁面结构嵌套的磁场位形来约束等离子体。

在托卡马克装置上，已可通过大功率中性束注入加热和各种微波加热使等离子体达到和超过氘一氚有效燃烧所需的温度(>10K)。

研究表明加大装置尺寸，约束时间大致按尺寸的平方增大。

此外，还可通过提高环向磁场、优化约束位形和运行模式来提高能量约束时间。

高温等离子体被约束在不与真空室壁相碰的位置上，在约束过程中存在大量不稳定性、热传导损失和辐射损失等，在约束控制过程中需要不断诊断等离子体参数，抑制各种导致等离子体破裂的不稳定性发展，同时通过各种辅助加热使反应堆的输入和输出整体功率平衡，满足等离子体的点火条件，即著名的劳森判据：2032210/E E p n T sK m ττ=≥⨯， （1） 才能实现等离子体的自持燃烧，其中n 和T 分别为约束等离子体密度和温度，E τ为等离子体能量约束时间，即等离子体能量由于热传导下降到1e -的弛豫时间。

从点火条件可知，T 的最小值和相应的E p τ值为：min min 15 (KeV)()8.3 (atm s)E T p τ==⋅。

用有限元法及相似原理分析计算磁悬浮球的悬浮系统
唐达
【期刊名称】《上海电机学院学报》
【年(卷),期】2005(008)005
【摘要】提出用有限元法及相似原理来分析、计算磁悬浮球的悬浮系统.对系统中的永磁体,采用了等效电流模型.用MATLAB偏微分方程工具箱分析了悬浮系统的磁场,计算了磁场的引力;引力的计算值与实测值的一般误差不超过5%.
【总页数】5页(P65-69)
【作者】唐达
【作者单位】上海电机学院,文理系,上海,200240
【正文语种】中文
【中图分类】O361.3
【相关文献】
1.三维有限元法计算磁悬浮球形磁阻电机的磁场分布 [J], 刘静;曾励;杨军;戴敏
2.基于流体相似理论和三维有限元法计算异步电动机的定子三维温度场 [J], 董宇;戈宝军;殷继伟
3.混合磁悬浮系统电磁装置的温度计算与降温处理 [J], 耿志慧;马宏忠;王刚
4.基于MATLAB的磁悬浮系统奇异摄动参数计算 [J], 卢晓慧;施晓红;佘龙华
5.基于流体相似理论和三维有限元法计算大中型异步电动机的定子三维温度场 [J], 李伟力;付敏;周封;魏永田;程树康;黄东洙
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收稿日期:2011-04-06 网络出版时间:2012-01-05基金项目:国家863计划资助项目(2010A A 0240)作者简介:明正峰(1962-),男,教授,E -m a i l :m i n g z f @x i d i a n .e d u .c n .网络出版地址:h t t p://w w w.c n k i .n e t /k c m s /d e t a i l /61.1076.T N.20120105.1552.201203.1̠001.h t m l d o i :10.3969/j.i s s n .1001-2400.2012.03.001大间隙混合悬浮系统结构设计与特性分析明正峰1,汶 涛2,雷振亚2,文 睿2,王 浩1(1.西安电子科技大学机电工程学院,陕西西安 710071;2.西安电子科技大学电子工程学院,陕西西安 710071)摘要:研制了一种新型电磁悬浮系统装置,该装置利用电磁铁阵列与永磁铁来提供空间三维方向的悬浮驱动力.与传统的电磁悬浮系统相比,该系统具有悬浮力大㊁磁场分布规律㊁运动范围广等特点,可明显提高系统的使用效率.基于有限元数值方法对悬浮电磁力特性以及合成磁场特性进行了详细分析,并进行了相关实验.结果表明,新设计的电磁阵列悬浮系统装置可以在大气隙下使用,具有较好的稳定性和可控性.关键词:电磁悬浮系统;永磁;有限元法;大气隙中图分类号:U 237 文献标识码:A 文章编号:1001-2400(2012)03-0001-06D e s i g na n da n a l y s i s o f l a r g e d i s p l a c e m e n t h y b r i d s ys t e m M I N GZ h e n g f e n g 1,WE N T a o 2,L E IZ h e n ya 2,WE N R u i 2,WA N G H a o 1(1.S c h o o l o fM e c h a n o -e l e c t r o n i cE n g i n e e r i n g ,X i d i a nU n i v .,X i a n 710071,C h i n a ;2.S c h o o l o fE l e c t r o n i cE n g i n e e r i n g,X i d i a nU n i v .,X i a n 710071,C h i n a )A b s t r a c t : An e we l e c t r o m a g n e t i c l e v i t a t i o n s y s t e md e v i c e i s p r o p o s e d ,w h i c hu s e s t h e e l e c t r o m a g n e t a r r a ya n d t h e p e r m a n e n tm a g n e t t o p r o v i d e t h r e e -d i me n s i o n a l e l e c t r o m a g n e t i c l e v i t a t i o nf o r c e .T h e s y s t e mh a s t h e a d v a n t ag e s o f th e l a r g e s u s p e n si o n f o r c e ,t h e d i s t r i b u t i o nm a g n e t i c f i e l d a n dw i d e r a n gem o v e m e n t o v e r t h e t r a d i t i o n a l e l e c t r o m a g n e t i c s u s p e n s i o n s y s t e m,a n d i t c a n s i g n i f i c a n t l y i m p r o v e t h e e f f i c i e n c y o f t h e s ys t e m.T h e c h a r a c t e r i s t i c s a n d t h e s y n t h e t i cm a g n e t i c p r o p e r t i e s o f t h em a g n e t i c l e v i t a t i o n f o r c e a r e a n a l y z e db y t h e f i n i t e e l e m e n tm e t h o db e f o r et h er e l e v a n te x p e r i m e n t s .T h er e s u l t ss h o wt h a t t h es u s p e n s i o ns y s t e m s o d e s i g n e d c a nb eu s e d f o r t h e l a r g e a i r g a p w i t h g o o d s t a b i l i t y a n d c o n t r o l .K e y W o r d s : m a g n e t i c l e v i t a t i o n s y s t e m;p e r m a n e n tm a g n e t ;f i n i t e e l e m e n tm e t h o d ;l a r g e a i r g a p 电磁悬浮技术(E l e c t r o m a g n e t i cL e v i t a t i o n ,E M L )是一门综合电磁学㊁材料学㊁控制理论㊁电力电子技术㊁信号处理以及计算机科学等众多领域的边缘学科.该技术以其独特的无接触㊁环境适应性强和易实现主动控制等优点越来越多地应用到人们生活的各个方面,并且吸引了国内外众多科学技术工作者对其进行研究.目前,在研究中建立了多种磁悬浮结构,根据运行原理可大致分为两类:一类是垂直悬浮力和水平推力,由不同部件完成;另一类是悬浮力和水平推力,由同一部件提供.两者各有利弊,应综合实际情况具体考虑.现在应用最广泛的电磁悬浮系统主要是采用电磁铁作为悬浮动力装置,该系统以电磁吸引力为主并对悬浮材料有很高的要求.随着新材料的研发和制造工艺上的改进,大气隙悬浮系统的研究具有越来越高的可行性,而新的悬浮系统也采用了更多的高科技成果,对于永磁材料的应用就是其中的一方面.笔者提出了一种新型的电磁悬浮系统,该系统的悬浮力由上方的永磁铁与下方的电磁铁阵列提供,实现了推力和悬浮力的有机结合,能够提供较大的悬浮力,并实现了扩大悬浮体运动范围的目的[1-2].2012年6月第39卷 第3期 西安电子科技大学学报(自然科学版)J O UR N A L O F X I D I A N U N I V E R S I T Y J u n .2012V o l .39 N o .31 电磁阵列悬浮系统的工作原理利用磁极之间 同性相斥 的原理,在悬浮物上安装永磁体,永磁材料选用充磁性较好的钕铁硼,通电电磁铁对该永磁体产生电磁悬浮斥力,从而抵消悬浮物的重力,实现该物体空间任意位置的悬浮.对于阵列电磁铁单元的设计有两种选择:一种是圆型单元;另一种是方型单元.对比两种不同情况,有以下结论:(1)圆型电磁铁阵列:圆型电磁铁单元之间存在间隙,有可能导致在平面上产生的磁场不均匀,存在盲区.这种设计会影响永磁铁平面移动的稳定性和可控性.(2)方型电磁铁阵列:方型电磁铁阵列可以有效解决圆形阵列产生磁场盲区的问题,能更好地进行阵列排布,最大化地利用实验场地.文中提出的电磁铁阵列结构如图1所示,下面放置4个电磁铁,用以提供所需的垂直方向悬浮力以及水平方向推力,可通过适当调整底部电磁线圈阵列的绕组电流来改变悬浮力的大小,从而实现悬浮体的空间三维运动.该悬浮物的受力情况如图2所示.图1 电磁阵列悬浮系统模型图图2 永磁铁空间受力示意图2 电磁悬浮阵列系统的有限元分析电磁悬浮系统非线性数学模型的建立是由力学㊁电学㊁电磁学3部分联立而成的[3-4].图3 电磁铁构架2.1 电磁感应强度方程电磁线圈构架如图3所示.磁动势又被称为安匝数,即线圈电流I 与线圈匝数N 的乘积(I N ),根据线圈的安匝数,可以计算出相应的磁感应强度,即B {=μ0U d [22ρ(D 1+D 2]})δˑ106 ,(1)其中,μ0为空气磁导率;d 为漆包线的直径;D 1为绕线内径;D 2为绕线外径;δ为气隙高度;ρ为导线的电阻率.2.2 电磁力方程在电磁系统方面,为降低所要研究问题的复杂度,忽略次要因素,进行如下假定:在电磁铁磁路中,只考虑气隙磁阻,忽略铁芯和悬浮体的磁阻,且铁磁材料的导磁率为无穷大;绕组漏磁通为零,磁通全部通过气隙;磁通在气隙处均匀分布,忽略边缘效应.以上假定在气隙较小时比较接近实际情况,带来的误差也比较小.悬浮体所受的电磁吸引力为F m (z ,i )=B 2A μ0=μ0A N 2i 2(t )z 2t ,(2)2西安电子科技大学学报(自然科学版) 第39卷其中,F 为悬浮力;A 为悬浮永磁铁的面积;B 为永磁铁受力处磁场强度;μ0为空气磁导率,其值为4πˑ10-7H /m.2.3 电磁铁线圈的控制电压与控制电流关系根据电磁学理论和基本回路方程,电磁铁线圈的端电压为u (t )=R i (t )+d d t [L (z )i (t )]=R i (t )+μ0A N 22z (t )d i (t )d t -μ0A N 2i (t )2z 2(t )d z (t )d t .(3) 由于系统磁场环境的复杂性,式(3)已不能满足要求,因此提出了有限元法[5-6].有限元法是通过离散化来求取偏微分方程近似数值解的方法,对各类电磁计算问题具有较强的适应性,与传统解析分析法相比,有限元方法可方便地处理磁场叠加㊁力的合成等非线性问题,在计算时进行如下假设:(1)永磁铁的磁化强度均匀;(2)铁芯的磁导率各向同性,不计磁滞效应,同时忽略涡流效应;(3)铁芯周围缠绕导线内的电流均匀分布,电流载荷通过输入面电流密度来实现.3 电磁阵列单元的电磁力分析电磁铁阵列对永磁铁提供斥力.为了保持大气隙悬浮,需要底部电磁铁提供足够大的电磁力,因此要合理调节每个阵列单元的电流.电磁铁阵列的基本要求是快速稳定地将悬浮物悬浮起来,为了达到稳定响应的目的,需要对系统能够提供的电磁力进行计算.电磁铁的设计便是基于对电磁力的优化.为了验证电磁力的理论公式是否正确,对电磁铁单元进行了实验测试.悬浮物体的总重力为10.456N (即保证产生相同电磁力)的情况下,得到图4和图5.图4 电流随气隙高度的关系图5 电磁力测量结果图4给出了电磁铁单元通电电流随气隙高度的变化关系,从曲线可以看出,电流随气隙高度变化近似是一个线性关系.从图5中可以看出,实际值比理论仿真值要小,这是因为在进行电磁铁设计与优化时,对漏磁通与铁心磁阻考虑不够充分造成的,但是电磁力的总体大小㊁趋势与理论计算值基本一致,满足设计要求,说明了其理论的正确性.4 电磁阵列悬浮系统的磁场分析磁场的叠加是一个非线性的过程,系统磁场并不是每个阵列单元产生磁场的简单叠加,还应考虑磁场的耦合㊁抵消等因素.通过理论分析和计算,得到了如下结论:四元电磁铁阵列的磁场强度二维分布类似于一个半椭圆形状,即在4个电磁铁磁场重合较多的区域,磁场是最强的;随着叠加程度的减弱,磁场强度也随之减小,高度越低,磁场分布越接近半椭圆分布.同时经过分析可得,2m 高度以下磁场强度以及磁场方向性都是不错的,是比较适合悬浮物运动的区域;当高度继续增加时,磁场强度以及方向性的变化都很大,对悬浮3第3期 明正峰等:大间隙混合悬浮系统结构设计与特性分析图6 四元电磁铁阵列磁场侧视分布图物稳定性的影响加剧.还要说明的是,磁场在高度较低处分布特性比较明显,当高度增大时,分布性质逐渐弱化,分布规律也更加模糊.5 电磁阵列悬浮系统的力学特性分析5.1 悬浮系统参量对电磁力的影响悬浮永磁铁的半径㊁厚度是通过影响相对受磁面积来影响悬浮物的受力的,受磁面积越大,所受的电磁力越大;电磁铁的铁芯是通过调节自身的受磁化度以及向外辐射的磁场强弱来改变悬浮物的受力的,它的变化趋势是不规律的;线圈电流是通过调节外加电流来改变电磁铁的磁化程度的,电流越大,电磁铁产生的磁场强度就越大.采取控制变量法来进行分析,即每次只改变某一个因素,其他保持不变,来分析该因素对整个系统性能的影响.软件仿真的结果如图7~10所示.图7 垂直受力随铁芯边长的变化图8垂直受力随电磁铁包络边长的变化图9 垂直受力随永磁铁半径的变化图10 垂直受力随永磁铁厚度的变化分析图中曲线可知,电磁铁包络边长㊁悬浮永磁铁半径与电磁边之间近似成正比关系,悬浮永磁铁厚度㊁电磁铁铁芯边长与电磁悬浮力之间存在特定关系.这些结论对系统的设计及优化很有帮助.5.2 悬浮永磁铁水平移动的受力情况设定悬浮永磁铁的悬浮高度,底部采用四元电磁铁阵列形式,使永磁铁水平移动,分析移动过程中永磁铁的受力情况如图11和图12所示.4西安电子科技大学学报(自然科学版) 第39卷图11 垂直受力随位移的变化图12 侧向受力随位移的变化曲线分析图11和图12曲线,得出以下结论:(1)悬浮物所受的垂直方向的电磁悬浮力随着物体从中心位置向一侧偏移,力是逐渐减小的,其原因是当悬浮物处于4个电磁铁的中心位置时,此处磁场叠加最大,因此产生的垂直方向的电磁悬浮力也较大.随着悬浮物沿着轴线方向移动,磁场的叠加效果减弱,且在气隙很大的情况下,减弱的情况比较明显.(2)影响悬浮物侧向受力的两个因素是磁场强度和磁场方向性.当悬浮物从中心位置开始向一侧偏移时,磁场强度是由强到弱的,且磁场方向的竖直性越来越差.在中心位置附近的一段区域,叠加磁场强度很大,竖直性较好,此时磁场强度是影响侧向力的主导因素,所以侧向力很大.随着悬浮物的移动,磁场强度减弱,磁场方向的竖直性变差㊁倾斜度增加,当磁场的方向性取代磁场强度成为影响侧向力的主导因素时,侧向力会变大.因此整个侧向力的变化趋势为先减小后增大的一个过程.图13 悬浮物运动路线图14垂直受力随线圈电流的变化图15 垂直受力变化曲线图16 侧向受力变化曲线5.3 悬浮永磁铁折线移动的受力情况在上面分析的基础上,让悬浮物(底部采用四元阵列电磁铁形式)在特定高度下进行折线运动,路线如图5第3期 明正峰等:大间隙混合悬浮系统结构设计与特性分析所示.从图14中可以看出,垂直方向受力与电流近似成正比关系.分析图15和图16中的曲线变化趋势:随着悬浮物的移动,垂直方向上电磁悬浮力大体趋势是一个先增大后减小的过程,侧向受力的大体趋势是一个先减小后增大的过程.这个趋势与磁场的强弱分布趋势基本一致,在其中一些位置的仿真结果与使用单个电磁铁的仿真结果有所不同,原因在于使用阵列电磁铁,悬浮物所受电磁力与所处位置有关系,受力分析也比单一电磁铁的情况复杂,但由于磁场强弱是悬浮物受力的主导因素,两个不同结构的受力趋势是基本一致的.6 电磁阵列悬浮系统实验分析电磁阵列悬浮系统的仿真,在单独调试完成每一个电磁铁单元线圈回路的参数之后,对4个电磁线圈采用了协同控制,悬浮物在特定位置时可以实现稳定悬浮.设定悬浮物稳定悬浮在四元阵列电磁铁的中心位置,高度为750mm.实验时给每个单元电磁铁通相同的电流.图17 单元电磁铁电流随时间的变化图18 z轴悬浮高度随时间的变化图19 x 轴位移坐标随时间的变化图20 y 轴位移坐标随时间的变化从图18~20中可以看出,悬浮物从起浮到经过一段时间的波动后,最终在规定位置实现了稳定悬浮,垂直㊁水平位置精度误差在10~20mm 之内,是满足要求的.这一结果表明,悬浮物可以处于稳定控制的范围内,这也反映了设计的电磁阵列悬浮系统的合理性.7 结束语基于传统的混合电磁悬浮系统模型,提出了电磁铁阵列结构.对悬浮体可控性㊁电磁悬浮力㊁空间磁场分布等方面进行了研究,分析了系统的可行性㊁可实现性,并结合仿真数据及实验数据,验证了所提模型的正确性.证明该系统在实现悬浮体大范围运动方面的优势,是一种很有发展前途的悬浮方式.参考文献:[1]C h o H W,H a n H S ,B a n g JS ,e ta l .C h a r a c t e r i s t i c A n a l y s i so fE l e c t r o d y n a m i cS u s pe n s i o n D e v i c e w i t hP e r m a n e n t M a g n e tH a l b a c hA r r a y [J ].J o u r n a l o fA p p l i e dP h y s i c s ,2009,105(7):314-317.[2]L o p e sR A.A x i a l a n dT r a n s v e r s eF o r c e s i n a nA x i s y mm e t r i c S u s p e n s i o nU s i n g P e r m a n e n tM a g n e t s [J ].P h ysBC o n d e n s M a t t e r ,2006,384(1/2):256-258.[3]王莉,熊剑,张昆仑,等.永磁和电磁构成的混合式悬浮系统研究[J ].铁道学报,2005(3):50-54.W a n g L i ,X i o n g J i a n ,Z h a n g K u n l u n ,e t a l .R e s e a r c h o f H y b r i d S u s p e n s i o n S ys t e m M a d e o f P e r m a n e n t a n d 下转第页6西安电子科技大学学报(自然科学版) 第39卷。

大全课程名称： 工程电磁场与波 指导老师： 姚缨英 成绩：__________________ 实验名称： 环形载流线圈和磁悬浮 实验类型：__分析验证 __ 同组学生姓名：___________ 一、实验目的和要求（必填） 二、实验内容和原理（必填） 三、主要仪器设备（必填） 四、操作方法和实验步骤 五、实验数据记录和处理 六、实验结果与分析（必填） 七、讨论、心得实验一：球形载流线圈的场分布与自感 一、实验目的和要求1.研究球形载流线圈（磁通球）的典型磁场分布及其自感系数2.掌握工程上测量磁场的两种基本方法——感应电势法和霍耳效应法3.在理论分析与实验研究相结合的基础上，力求深化对磁场边值问题、自感参数和磁场测量方法等知识点的理解，熟悉霍耳效应以及高斯计的应用二、实验内容和原理（一）实验内容 1.理论分析对于磁场B 的求解的主要工作是对下面的边值问题方程组进行求解其中的泛定方程均为拉普拉斯方程，定解条件由球表面处的辅助边界条件、标量磁位的参考点，以及离该磁通球无限远处磁场衰减为零的物理条件所组成。

()()()()()()2m12m2t1t212nn1n20102m12m2,0,0sin 200r r r r r r r R r r R N H H H H K i r R R B B H H r R θθϕθϕθθμμϕϕ=→∞→∞⎧⎪∇=<⎪⎪∇=>⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪-=-===⎪⎪⎨⎪⎪=→==⎩⎪⎪=⎪⎪=-∇=⎩泛定方程:BC:H这个方程看起来简单，实际求解过程并没有想象的轻松本题中场域是呈现球对称场的分布，我们选择球坐标系，待求场函数只与球坐标变量r 与θ有关，我们先采用分离变量法装订线设试探解(,,)()(,)u r R r Yθφθφ=设，带入下面的Laplace方程分离变量2222222111()(sin)0sin sinu u urr r r r rθθθθθφ∂∂∂∂∂++=∂∂∂∂∂两边同除以R(r) Y(θ,φ)22222221()1(,)1(,) ()(sin)0 ()(,)sin(,)sinR r Y Y rr R r r r Y r Y rθφθφθθφθθθθφθφ∂∂∂∂∂++=∂∂∂∂∂两边同乘r2后进行移项22221()1(,)1(,) ()(sin)()(,)sin(,)sinR r Y YrR r r r Y Yθφθφθμθφθθθθφθφ∂∂∂∂∂=--=∂∂∂∂∂于是可以得到2222222011(sin)0sin sindR dRr r Rdr drY YYμθμθθθθφ⎧+-=⎪⎪⎪⎨⎪∂∂∂⎪++=⎪∂∂∂⎩（欧拉型常微分方程）（球谐函数方程）对于球谐函数我们进一步进行分离变量令(,)()()Yθϕθϕ=ΘΦ带入球谐函数方程得到222()()()()(sin)()()0sin sinφθθφθμθφθθθθφΦ∂∂ΘΘ∂Φ++ΘΦ=∂∂∂两边同除以Θ(θ)Φ(φ)，乘sin2θ后移项得：222sin()1()(sin)sin()()θθφθμθλθθθφφ∂∂Θ∂Φ+=-=Θ∂∂Φ∂得到下面两个常微分方程21(sin)()0sin sind dud dλθθθθθΘ+-Θ=22ddλφΦ+Φ=所以，终于，我们得到下面三个关联的常微分方程装订线222222201(sin)()0sin sindR dRr r Rdr drd dud dddμλθθθθθλφ⎧+-=⎪⎪⎪Θ+-Θ=⎨⎪⎪Φ+Φ=⎪⎩然后解这三个常微分方程…..分别要解欧拉二阶方程，球函数方程，本征值问题………网上搜索各种解法略过最终得到球坐标下拉普拉斯的通解是1001(,,)()(,)()(cos)(cos sin)()(,)ll mll l m mll mll ll lmll m lu r R r YDC r P A m B mrDC r Yrθφθφθφφθφ+∞+==+∞+==-==++=+∑∑∑∑如果该问题具有对称轴，也就是我们题目中的情况，取这条轴为极轴，这种情况下的通解是()1n nn nnnbu a R P cosRθ+⎛⎫=+⎪⎝⎭∑但是，其实由于我们的球谐函数只与θ有关，所以在一开始分离参照的时候其实只需要设两个变量就可以了…..参照下面的ppt…最后结果是一样的分别列出φ1和φ2的两个方程，并且结合边值条件的特殊条件，然后我们的主要任务就是求解A0，B0，A1以及B1。