高考全国名校试题数学分项汇编 专题10 立体几何原卷版

立体几何分类汇编一、异面直线夹角（2007全国理I）如图，正四棱柱1111-ABCD A B C D 中，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为A．51B．52C．53D．54（2008全国理II）已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（）A．13B．23D．23（2009全国理I）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为111A B C 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为D.34（2009全国理II）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD 所成的角的余弦值为A.10B.15C.10D.35（2012全国理I）三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ∠=∠= ，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为____________。

（2013全国理I）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是____________。

（2014全国理II）直三棱柱111ABC A B C -中，90BCA ∠= ，,M N 分别是1111,A B A C 的中点，1BC CA CC ==，则BM 与AN 所成的角的余弦值为（）A.110B.25C.D.二、线面夹角（2007全国理II）已知正三棱ABC A B C -111的侧棱长是底面边长相等，则AB 1与侧面ACC A 1所成角的正弦等于A.64B.104C.22D.32（2008全国理I）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（）A．13B．23C．33D．23（2010全国理I）正方体1111ABCD A B C D -中,1BB 与平面1ACD 所成角的余弦值为（A）23（B）33（C）23（D）63（2016全国理I）平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，α 平面11CB D ，α 平面ABCD m =，α 平面11ABA B n =，则,m n 所成角的正弦值为A.32 B.22C.33D.13（2007全国理I）四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD 已知45ABC ∠= ,2,22,3AB BC SA SB ====（Ⅰ）证明：SA BC ⊥；（Ⅱ）求直线SD与平面SAB所成角的大小。

第十章 立体几何一．基础题组1. （长春市普通高中2016届高三质量监测（二）理科数学）几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 323B. 2163π-C. 403D. 8163π- 2. （贵州省黔南州2016届高三（上）期末数学（理）试题）已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．108cm 3B ．100cm 3C ．92cm 3D ．84cm 33. （贵州省黔南州2016届高三（上）期末数学（理）试题）若l ，m ，n 是不相同的空间直线，α，β是不重合的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．α∥β，l ⊂α，n ⊂β⇒l ∥nB ．l ⊥n ，m ⊥n ⇒l ∥mC ．l ⊥α，l ∥β⇒α⊥βD ．α⊥β，l ⊂α⇒l ⊥β 4. （辽宁省沈阳市2016届高三教学质量监测（一）数 学（理）试题）“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（ ）5.（新疆乌鲁木齐地区2016年高三年级第一次诊断性测试数学（理）试题）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是()()111,01,1,0011,0,122⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，画该四面体三视图中的正视图时，以yOz 平面为投影面，则得到的正视图可以为（ ）6. （四川省遂宁市2016届高三（上）期末数学（理）试题）某几何体是由直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．7. （四川省遂宁市2016届高三（上）期末数学（理）试题）已知α、β、γ是三个互不重合的平面，l 是一条直线，下列命题中正确命题是（ ）A ．若α⊥β，l⊥β，则l ∥αB ．若l 上有两个点到α的距离相等，则l∥αC ．若l⊥α，l∥β，则α⊥βD ．若α⊥β，α⊥γ，则γ⊥βDC B A8. （甘肃省白银市会宁四中2016届高三（上）期末数学（理）试题）某几何体的三视图如图，它的表面积为（）A．B．C．D．9. （甘肃省白银市会宁四中2016届高三（上）期末数学（理）试题）设m、n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（）A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α10. （广西钦州市钦州港经济技术开发区中学2016届高三上学期期末数学（理）试题）某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为（）A．B．3πC．D．π11. （广西钦州市钦州港经济技术开发区中学2016届高三上学期期末数学（理）试题）几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（）A．B．C．D．12. (甘肃省定西市通渭县榜罗中学2016届高三上学期期末数学（理）试题)某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）A．8﹣B．8﹣C．8﹣2πD．13. (甘肃省定西市通渭县榜罗中学2016届高三上学期期末数学（理）试题)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β14. （黑龙江省哈尔滨六中2016届高三上学期期末数学（理）试题）在平行四边形ABCD中，，，若将其沿AC折成直二面角D﹣AC﹣B，则三棱锥D﹣ACB的外接球的表面积为（）A．16π B．8πC．4πD．2π15. （黑龙江省哈尔滨六中2016届高三上学期期末数学（理）试题）某几何体三视图如下，图中三个等腰三角形的直角边长都是2，该几何体的体积为（）A．B．C．4 D．16. （宁夏中卫一中2016届高三上学期期末数学（理）试题）已知△ABC 的三个顶点在以O 为球心的球面上，且cosA=，BC=1，AC=3，三棱锥O ﹣ABC 的体积为，则球O 的表面积为 ．17. （宁夏中卫一中2016届高三上学期期末数学（理）试题）如图是一个空间几何体的三视图（俯视图外框为正方形），则这个几何体的表面积为 ．18. （宁夏中卫一中2016届高三上学期期末数学（理）试题）已知m ，n 为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l 满足l⊥m，l⊥n，l ⊄α，l ⊄β，则（ ）A ．α∥β且l∥αB ．α⊥β且l⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l19．(长春市普通高中2016届高三质量监测（二）数学理科试题)几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 323B. 2163π-C. 403D. 8163π- 20. （甘肃省河西五市部分普通高中2016年1月高三第一次联考数学（理）试题）一个几何体的三视图如上图所示，则这个几何体的体积为（ ）A )π+B 2)π+C 2)π+D )π+21. （甘肃省河西五市部分普通高中2016年1月高三第一次联考数学（理）试题）体积为43π的球O 放置在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -上，且与上表面1111A B C D 相切，切点为该表面的中心，则四棱锥O ABCD -的外接球的半径为（ ）A ．103 B ．3310 C ．2 D ．23622. （甘肃省张掖市2016届高三第一次诊断考试数学(理科)试题）如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，线段11D B 上有两个动点E F 、，且论中错误．．的是（ ）A ．BE AC ⊥B ．//EF 平面ABCDC ．AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等D ．三棱锥BEF A -的体积为定值23. （甘肃省张掖市2016届高三第一次诊断考试数学(理科)试题）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.B.43C.83D.4二．能力题组1. （长春市普通高中2016届高三质量监测（二）理科数学）（本小题满分12分） 在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PD ⊥平面ABCD ，点1D 为棱PD 的中点，过1D 作与平面ABCD 平行的平面与棱PA ，PB ，PC 相交于1A ，1B ，1C ，60BAD ∠=︒.（1）证明：1B 为PB 的中点；（2）若2AB =，且二面角1A AB C --的大小为60︒，AC 、BD 的交点为O ，连接1B O .求三棱锥1B ABO -外接球的体积.2. （贵州省黔南州2016届高三（上）期末数学（理）试题）如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AC=BC=AA 1，D 是棱AA 1的中点，DC 1⊥BD（1）证明：DC 1⊥BC ；（2）求二面角A 1﹣BD ﹣C 1的大小．3. （辽宁省沈阳市2016届高三教学质量监测（一）数 学（理）试题） (本小题满分12分) 已知长方体1AC 中，2==AB AD ，11=AA ，E 为11C D 的中点，如图所示.(Ⅰ)在所给图中画出平面1ABD 与平面EC B 1的交线（不必说明理由）；(Ⅱ)证明：//1BD 平面EC B 1；(Ⅲ)求平面1ABD 与平面EC B 1所成锐二面角的大小.4. （新疆乌鲁木齐地区2016年高三年级第一次诊断性测试数学（理）试题）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥,,E F 分别为111BB AC ，的中点.（Ⅰ）求证：1//EF A BC 平面（Ⅱ）若11AB AC AA ===，求二面角1A BC F --的平面角的余弦值.A C DA 1B 1C 1 BD 1E5. （四川省遂宁市2016届高三（上）期末数学（理）试题）如图，四边形ABCD为矩形，四边形ADEF为梯形，AD∥FE，∠AFE=60°，且平面ABCD⊥平面ADEF，AF=FE=AB==2，点G 为AC的中点．（1）求证：EG∥平面ABF；（2）求三棱锥B﹣AEG的体积．6.（甘肃省白银市会宁四中2016届高三（上）期末数学（理）试题）如图，四棱锥P﹣ABCD 的底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，E，F分别是AC，PB的中点．（1）证明：EF∥平面PCD；（2）求证：面PBD⊥面PAC；（3）若PA=AB，求PD与平面PAC所成角的大小．7. （广西钦州市钦州港经济技术开发区中学2016届高三上学期期末数学（理）试题）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，且∠PAB=∠ABC=90°，AD∥BC，PA=AB=BC=2AD，E是PC的中点．（Ⅰ）求证：DE⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣E的余弦值．8. (甘肃省定西市通渭县榜罗中学2016届高三上学期期末数学（理）试题)如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AA1=3，D为C1B的中点，P为AB边上的动点．（Ⅰ）当点P为AB的中点时，证明DP∥平面ACC1A1；（Ⅱ）若DP⊥AB，求二面角D﹣CP﹣B的余弦值．9.(甘肃省定西市通渭县榜罗中学2016届高三上学期期末数学（理）试题)已知四棱锥P﹣ABCD 的直观图（如图1）及左视图（如图2），底面ABCD是边长为2的正方形，平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB．（Ⅰ）求证：AD⊥PB；（Ⅱ）求异面直线PD与AB所成角的余弦值；（Ⅲ）求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的大小．10. （黑龙江省哈尔滨六中2016届高三上学期期末数学（理）试题）△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=4，∠ACB=90°，D、E分别是边AC和AB的中点，现将△ADE沿DE折起，使面ADE⊥面DEBC，H、F分别是边AD和BE的中点，平面BCH与AE、AF分别交于I、G两点．（Ⅰ）求证：IH∥BC；（Ⅱ）求二面角A﹣GI﹣C的余弦值；（Ⅲ）求AG的长．11. （宁夏中卫一中2016届高三上学期期末数学（理）试题）如图，平面PAC⊥平面ABC ，△ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，E ，F ，O 分别为PA ，PB ，AC 的中点，AC=16，PA=PC=10． （Ⅰ）设G 是OC 的中点，证明：FG∥平面BOE ；（Ⅱ）证明：在△ABO 内存在一点M ，使FM⊥平面BOE ，并求点M 到OA ，OB 的距离．12. （宁夏中卫一中2016届高三上学期期末数学（理）试题）如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，PA⊥底面ABC ，AC⊥BC，H 为PC 的中点，M 为AH 中点，PA=AC=2，BC=1．（Ⅰ）求证：AH⊥平面PBC ；（Ⅱ）求PM 与平面AHB 所成角的正弦值．13. (长春市普通高中2016届高三质量监测（二）数学理科试题)（本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PD ⊥平面ABCD ，点1D 为棱PD 的中点，过1D 作与平面ABCD 平行的平面与棱PA ，PB ，PC 相交于1A ，1B ，1C ，60BAD ∠=︒.（1）证明：1B 为PB 的中点；（2）若2AB =，且二面角1A AB C --的大小为60︒，AC 、BD 的交点为O ，连接1B O .求三棱锥1B ABO -外接球的体积.14. （甘肃省河西五市部分普通高中2016年1月高三第一次联考数学（理）试题）(本小题满分12分)在三棱柱111ABC A B C -中，12AB BC CA AA ====，侧棱1AA ⊥平面ABC ，且D ，E 分别是棱11A B ，1AA 的中点，点F 在棱AB 上，且14AF AB =.（1）求证：//EF 平面1BDC ；（2）求二面角1E BC D --的余弦值.15. （甘肃省张掖市2016届高三第一次诊断考试数学(理科)试题）（本小题满分12分）如图，在三棱锥S ABC -中,侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形,90BAC ∠=°，O 为BC 中点．（Ⅰ）证明：SO ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求二面角A SC B --的余弦值．。

2023年高考数学试题分项版——立体几何（原卷版）一、选择题1．(多选)(2023·新高考Ⅰ卷，12)下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m ）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）A.直径为0.99m 的球体B.所有棱长均为1.4m 的四面体C.底面直径为0.01m ，高为1.8m 的圆柱体D.底面直径为1.2m ，高为0.01m 的圆柱体2．(多选)(2023·新高考Ⅱ卷，9)已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，AB 为底面直径，120APB ∠=︒，2PA =，点C 在底面圆周上，且二面角P AC O --为45°，则（）A.该圆锥的体积为πB.该圆锥的侧面积为C.AC = D.PAC △3．(2023·全国甲卷理，11)在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，4,3,45AB PC PD PCA ===∠=︒，则PBC 的面积为（）A. B.C. D.4．(2023·全国甲卷文，10)在三棱锥-P ABC 中，ABC 是边长为2的等边三角形，2,PA PB PC ===）A.1B.C.2D.35．(2023·全国乙卷理，3)如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（）A.24B.26C.28D.306．(2023·全国乙卷理，8)已知圆锥POO 为底面圆心，PA ，PB 为圆锥的母线，120AOB ∠=︒，若PAB 的面积等于4，则该圆锥的体积为（）A.πB.C.3πD.7．(2023·全国乙卷理，9)已知ABC 为等腰直角三角形，AB 为斜边，ABD △为等边三角形，若二面角C AB D --为150︒，则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为（）A.15B.25C.35D.258．(2023·全国乙卷文，3)如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（）A.24B.26C.28D.309．(2023·北京卷，9)坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若25m,10m AB BC AD ===，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD 的夹角的正切值均为145，则该五面体的所有棱长之和为（）A.102mB.112mC.117mD.125m10．(2023·天津卷，8)在三棱锥-P ABC 中，线段PC 上的点M 满足13PM PC =，线段PB上的点N 满足23PN PB =，则三棱锥P AMN -和三棱锥-P ABC 的体积之比为（）A.19B.29C.13D.49二、填空题1．(2023·新高考Ⅰ卷，14)在正四棱台1111ABCD A B C D -中，1112,1,AB A B AA ===则该棱台的体积为________．2．(2023·新高考Ⅱ卷，14)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______．3．(2023·全国甲卷理，15)在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为CD ，11A B 的中点，则以EF 为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为____________．4．(2023·全国甲卷文，16)在正方体1111ABCD A B C D -中，4,AB O =为1AC 的中点，若该正方体的棱与球O 的球面有公共点，则球O 的半径的取值范围是________．5．(2023·全国乙卷文，16)已知点,,,S A B C 均在半径为2的球面上，ABC 是边长为3的等边三角形，SA ⊥平面ABC ，则SA =________．三、解答题1．(2023·新高考Ⅰ卷，18)如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12,4AB AA ==．点2222,,,A B C D 分别在棱111,,AA BB CC ,1DD 上，22221,2,3AA BB DD CC ====．（1）证明：2222B C A D ∥；（2）点P 在棱1BB 上，当二面角222P A C D --为150︒时，求2B P ．2．(2023·新高考Ⅱ卷，20)如图，三棱锥A BCD -中，DA DB DC ==，BD CD ⊥，60ADB ADC ∠=∠= ，E 为BC 的中点．（1）证明：BC DA ⊥；（2）点F 满足EF DA =，求二面角D AB F --的正弦值．3．(2023·全国甲卷理，18)在三棱柱111ABC A B C -中，12AA =，1A C ⊥底面ABC ，90ACB ∠=︒，1A 到平面11BCC B 的距离为1．（1）求证：1AC A C =；（2）若直线1AA 与1BB 距离为2，求1AB 与平面11BCC B 所成角的正弦值．4．(2023·全国甲卷文，18)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1A C ⊥平面,90ABC ACB ∠=︒．（1）证明：平面11ACC A ⊥平面11BB C C ；（2）设11,2AB A B AA ==，求四棱锥111A BB C C -的高．5．(2023·全国乙卷理，19)如图，在三棱锥-P ABC 中，AB BC ⊥，2AB =，BC =PB PC ==BP ，AP ，BC 的中点分别为D ，E ，O ，AD =，点F 在AC 上，BF AO ⊥.（1）证明：//EF 平面ADO ；（2）证明：平面ADO ⊥平面BEF ；（3）求二面角D AO C --的正弦值.6．(2023·全国乙卷文，19)如图，在三棱锥-P ABC 中，AB BC ⊥，2AB =，BC =PB PC ==,,BP AP BC 的中点分别为,,D E O ，点F 在AC 上，BF AO ⊥．（1）求证：EF //平面ADO ；（2）若120POF ∠=︒，求三棱锥-P ABC 的体积．7．(2023·北京卷，16)如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，1PA AB BC PC ====，（1）求证：BC ⊥平面PAB ；（2）求二面角A PC B --的大小．8．(2023·天津卷，17)三棱台111ABC A B C -中，若1A A ⊥面111,,2,1ABC AB AC AB AC AA AC ⊥====，,M N 分别是,BC BA 中点.（1）求证：1A N //平面1C MA ；（2）求平面1C MA 与平面11ACC A 所成夹角的余弦值；（3）求点C 到平面1C MA 的距离．。

专题10 立体几何1. 【2005高考重庆文第7题】对于不重合的两个平面βα与，给定下列条件： ①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ； ②存在平面γ，使得α、β都平行于γ； ③存在直线α⊂l ，直线β⊂m ，使得m l //； ④存在异面直线l 、m ，使得.//,//,//,//βαβαm m l l 其中，可以判定α与β平行的条件有 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B考点：面面的位置关系. 2. 【2007高考重庆文第3题】3.【2008高考重庆文第11题】如题（11）图，模块①－⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成.现从模块①－⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体.则下列选择方案中，能够完成任务的为(A)模块①，②，⑤ (B)模块①，③，⑤(C)模块②，④，⑥(D)模块③，④，⑤4. 【2009高考重庆文第9题】在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，顶点1B 到对角线1BD 和到平面11A BCD 的距离分别为h 和d ，则下列命题中正确的是（ ） A ．若侧棱的长小于底面的边长，则hd的取值范围为(0,1) B ．若侧棱的长小于底面的边长，则hd的取值范围为223(,)23 C ．若侧棱的长大于底面的边长，则hd的取值范围为23(,2)3 D ．若侧棱的长大于底面的边长，则hd的取值范围为23(,)3+∞ 【答案】C考点：点到面的距离;点到面的距离;5. 【2010高考重庆文第9题】到两互相垂直的异面直线的距离相等的点 （A ）只有1个 （B ）恰有3个 （C ）恰有4个 （D ）有无穷多个【答案】D【解析】试题分析：考点：异面直线间的距离.6. 【2011高考重庆文第10题】高为2的四棱锥S ABCD-的底面是边长为1的正方形，点S、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为（）.A．102B．232+C．32D．27. 【2012高考重庆文第9题】设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，2和a且长为a2的棱异面，则a的取值范围是（A）(0,2)（B）(0,3)（C）(1,2)（D）(1,3)【答案】A【解析】试题分析：考点：棱锥的结构特征，考查空间想象能力，极限思想的应用．8. 【2013高考重庆文第8题】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )．A．180 B．200 C．220 D．240【答案】D考点：三视图.9. 【2014高考重庆文第7题】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.12B.18C.24D.30 【答案】C考点：1、空间几何体的三视图；2、空间几何体的体积.10. 【2006高考重庆文第4题】若P 是平面α外一点，则下列命题正确的是( ) （A ）过P 只能作一条直线与平面α相交 （B ）过P 可作无数条直线与平面α垂直 （C ）过P 只能作一条直线与平面α平行 （D ）过P 可作无数条直线与平面α平行 【答案】D11. 【2005高考重庆文第20题】（本小题满分13分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，E 是AB 上 一点，PE ⊥EC. 已知,21,2,2===AE CD PD 求 （Ⅰ）异面直线PD 与EC 的距离； （Ⅱ）二面角E —PC —D 的大小.12. 【2006高考重庆文第20题】（本小题满分12分）如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中：AB=1，BB1=3+1，E为BB1上使B1E=1的点，平面AEC1交DD1于F，交A1D1的延长线于G.求：（Ⅰ）异面直线AD与C1G所成的角的大小；（Ⅱ）二面角A-C1G-A1的正切值.【答案】解法一：解法二：13. 【2007高考重庆文第19题】14. 【2008高考重庆文第20题】15. 【2010高考重庆文第20题】（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分. ） 如题（20）图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，2PA AB ==，点E 是棱PB 的中点.（Ⅰ）证明：AE ⊥平面PBC ；（Ⅱ）若1AD =，求二面角B EC D --的平面角的余弦值.图1图216. 【2009高考重庆文第18题】（本小题满分13分，（Ⅰ）问7分，（Ⅱ）问6分） 如题（18）图，在五面体ABCDEF 中，AB ∥DC ，2BAD π∠=，2CD AD ==，四边形ABFE 为平行四边形，FA ⊥平面ABCD ，3,7FC ED ==．求：（Ⅰ）直线AB 到平面EFCD 的距离； （Ⅱ）二面角F AD E --的平面角的正切值．ABCDEFxyzG17. 【2011高考重庆文第20题】（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分）如题（20）图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，,2,1⊥====AB BC AC AD BC CD （Ⅰ）求四面体ABCD的体积；（Ⅱ）求二面角C-AB-D的平面角的正切值.18. 【2012高考重庆文第20题】（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）已知直三棱柱111ABC A B C -中，4AB =，3AC BC ==，D 为AB 的中点。

一、填空题1. 【2016高考冲刺卷（9）【江苏卷】】如图，已知三棱柱ABC - A 1B l C 1中，点D 是AB 的中点，平面A 1DC 分此棱柱成两部分，多面体A 1ADC 与多面体A 1B 1C 1DBC 体积的比值为2. 【江苏省苏中三市（南通、扬州、泰州）2016届高三第二次调研测试数学试题】【在体积为32的四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，1AB =，2BC =，3BD =，则CD 长度的所有值为 ． 719【解析】由题意得311131sin sin 23322∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯∠⇒∠=BCD AB S BC BD CBD CBD 因此1cos 2∠=±CBD 由余弦定理得：22223223cos 7=+-⨯⨯⨯∠=CD BCD 或19，因此CD 7=193. 【2016高考冲刺卷（6）【江苏卷】】已知四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是边长为2、锐角为︒60的菱形，侧棱PA ⊥底面ABCD,PA=3.若点M 是BC 的中点，则三棱锥M-PAD 的体积为 【答案】3【解析】因ADM P PAD M V V --=,又360sin 221212=︒⨯==∆ABCD ADM S S 故三棱锥M-PAD 的体积为33331=⨯=V 4. 【2016高考冲刺卷（5）【江苏卷】】已知三棱锥S ABC -的体积为1，E 是SA 的中点，F 是SB 的中点，则三棱锥F BEC -的体积是 ▲ ． 【答案】41【解析】h S V V FBC FBC E BEC F ⨯⨯==∆--31，根据几何体知，SBC FBC S S ∆∆⨯=21，而点E 到平面SBC 的距离是点A 到平面SBC 距离的一半，所以1314231=⨯⨯⨯=⨯⨯=∆∆-h s h S V FBC SBC SBC A ，所以4131=⨯⨯∆h s FBC ，所以三棱锥BEC F -的体积是415. 【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】一个正四棱柱的侧面展开图是一个边长为8cm 的正方形，则它的体积是 cm 2．6. 【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】已知矩形ABCD 的边4=AB ，3=BC 若沿对角线AC 折叠，使得平面DAC ⊥平面BAC ,则三棱锥ABC D -的体积为 ． 【答案】245【解析】因为平面DAC ⊥平面BAC ,所以D 到直线BC 距离为三棱锥ABC D -的高，134123412346,,25555ABC S h h ∆⨯⨯=⨯⨯=====11122463355D ABC ABC V S h -∆=⋅=⨯⨯=． 7. 【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】如图，已知平面⋂α平面l =β，βα⊥，B A ,是直线l 上的两点，D C ,是平面β内的两点，且l CB l DA ⊥⊥,，DA=4,AB=6,CB=8,P 是平面α上的一动点，且有BPC APD ∠=∠，则四棱锥ABCD P -体积的最大值是8. 【江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题】设棱长为a 的正方体的体积和表面积分别为1V ，1S ，底面半径和高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为2V ，2S ，若123=V V p ，则12S S 的值为 ▲ ．32【解析】试题分析：因为3322211221,6,,233r V a S a V r r S rl r ===⋅===p p p p ，所以31323=13V a ar V r=⇒=p p ， 因此2122322S S r ==p p9. 【南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试】如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB＝4，AA 1＝6．若E ，F 分别是棱BB 1，CC 1上的点，则三棱锥A —A 1EF 的体积是▲________．10. 【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】 如图，长方体1111ABCD A B C D -中，O 为1BD 的中点，三棱锥O ABD -的体积为1V ，四棱锥11O ADD A -的体积为2V ，则12V V 的值为 ▲ ．【答案】12【解析】试题分析：设长方体长宽高分别为,,a b c ，1122111111,,322123262Vabc abc V ab c V bc a V =⨯⨯==⨯⨯==11. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】若半径为2的球O 内切于一个正三棱柱111C B A ABC -OCDBC 1AB 1A D 1（第7题图）ABCA 1B 1FC 1E中，则该三棱柱的体积为 ． 【答案】483．【解析】由题设可知：三棱柱的高为4，底面内切圆的半径为2，则其底面三角形的边长为43，其底面积为23(43)1234S =⨯=，故该三棱柱的体积为1234483V =⨯=． 12. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】已知一个圆锥的母线长为2，侧面展开是半圆，则该圆锥的体积为_______. 【答案】3π 【解析】由题意得222,1,213r r h ππ===-=，圆锥的体积为21133333r h πππ==. 13. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】已知正五棱锥底面边长为2，底面正五边形中心到侧面斜高距离为3， 斜高长为4，则此正五棱锥体积为_______.14. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】已知正三棱柱的各条棱长均为1，圆锥侧面展开图为半径为2的半圆，那么这个正三棱柱与圆锥的体积比是_______. 【答案】3:4π【解析】由题意得圆锥母线为2，设圆锥底面半径为r 、高为h ，则22ππ21,21 3.r r h =⨯⇒==-=因此圆锥体积为213ππ.33r h =而正三棱柱体积为3，因此正三棱柱与圆锥的体积比是33=3:4π.15. 【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】已知正六棱锥P-ABCDEF 的侧棱SA=32,则它的体积最大值是 . 【答案】38【解析】设底面边长为a ，则高212a h -=，从而体积221223331a a V -⨯=461223a a +-=，记4612)(a a a f +-=，则由)22)(22(6486)('335-+-=+-=a a a a a a f 得当220<<a 时，0)('>a f ，当22>a 时，0)('<a f ， 从而当22=a 时，256)(max =a f ，故体积的最大值是38max =V . 法二（理科）：)12(2333124a a V -⨯=， 因)12(224)12(22224a a a a a -⨯⨯=-256)31222(43222=-++⨯≤a a a ，以下同法一. 16. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】已知正六棱锥的底面边长为2，侧棱长为5，则该正六棱锥的表面积为_______.二、解答题1. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】（本小题满分14分）如图，平行四边形⊥ABCD 平面CDE ， DE AD ⊥.（Ⅰ）求证： ⊥DE 平面ABCD ；（Ⅱ）若M 为线段BE 中点，N 为线段CE 的一个三等分点，求证：MN 不可能与平面ABCD 平行.【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析 【解析】A BCDEHA BCDE即MN 不可能与平面ABCD 平行.……14分2. 【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分14分）如图所示,在直四棱柱1111-ABCD A B C D 中,=DB BC , ⊥DB AC ,点M 是棱1BB 上的一点.(1)求证：11//B D 面1A BD ；MABCD A 1B 1C 1D 1(2)求证：⊥MD AC ；(3)试确定点M 的位置,使得平面1DMC ⊥平面11CC D D .【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析. (3) 点M 为棱1BB 的中点【解析】又因为⊥AC BD ,且1⋂=BD BB B ，所以⊥1面BB D AC 而⊂1面BB D MD ，所以⊥MD ACMABCD A 1B1C 1D 1 NN 1O3. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分14分）如图，在四棱锥E－ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE上一点，G为EO中点.（Ⅰ）若DE//平面ACF，求证：F为BE的中点；（Ⅱ）若AB＝2CE，求证：CG⊥平面BDE.【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析【解析】（Ⅰ）连接OF，由四边形ABCD是正方形可知，点O为BD的中点，因为DE//平面ACF,平面ACF∩平面BDE=OF，DE平面DEB，所以OF//DE.……………… 4分因为O为BD的中点，所以 F 为BE 的中点. ……………… 6分因为CG ⊥EO ，CG 平面ACE ，所以CG ⊥平面BDE. … 14分4. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分14分）在四棱锥P ABCD -中，平面四边形ABCD 中AD //BC ，BAD ∠为二面角B PA D --一个平面角.（1）若四边形ABCD 是菱形，求证：BD ⊥平面PAC ；（2）若四边形ABCD 是梯形，且平面PAB I 平面PCD l =，问：直线l 能否与平面ABCD 平行？请说明理由.【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）不平行【解析】证：（1）因为BAD ∠为二面角B PA D --一个平面角，所以,.PA AB PA AD ⊥⊥……2分 由于,AB AD ABCD ⊂平面，且AB AD A =I ，所以PA ABCD ⊥平面，……4分由于BD ABCD ⊂平面，所以.PA BD ⊥PBC所以AC BD ⊥……6分由于,PA AC PAC ⊂平面，且PA AC A =I ，所以BD ⊥平面PAC ，……8分解：（2）不平行. ……10分假设直线l 平行平面ABCD ，由于l ⊂平面PCD ，且平面PCD I 平面ABCD CD =，所以//l CD ……12分同理可得//l AB ，所以//AB CD这与AB 和CD 是梯形ABCD 的两腰相矛盾，故假设错误，所以直线l 与平面ABCD 不平行. ……14分5. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】（本小题满分14分）如图，在正三棱锥111ABC A B C -中，E ，F 分别为1BB ，AC 的中点.（1）求证：//BF 平面1A EC ；（2）求证：平面1A EC ⊥平面11ACC A .又OE ⊂平面1A EC ，所以平面1A EC ⊥平面11ACC A . …………14分6. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】（本小题满分14分）在三棱锥ABC P -中，若E D AC BD ,,2=分别为PC AC ,的中点，且⊥DE 平面PBC ．（1）求证：//PA 平面BDE ；（2）求证：⊥BC 平面PAB ． EDCBPA7. 【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】（本小题满分14分）如图，在四棱锥ABCD P -中，四边形ABCD 为矩形，N M BP AB ,,⊥分别为PD AC ,的中点．(1)求证：//MN 平面ABP ；(2)求证：平面ABP ⊥平面APC 的充要条件是BP PC ⊥．NMP DCB A8. 【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】（本小题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，90PAC BAC ∠=∠=︒，PA PB =，点D ，F 分别为BC ，AB 的中点．（1）求证：直线//DF 平面PAC ；（2）求证：PF ⊥AD ． DF PADF PA9. 【2016高考冲刺卷（4）【江苏卷】】(本小题满分14分)如图，在三棱锥P —ABC 中，平面PAB ⊥平面ABC ，PA ⊥PB ，M ，N 分别为AB ，PA 的中点．（1）求证：PB ∥平面MNC ；（2）若AC ＝BC ，求证：PA ⊥平面MNC .A NBPM C10. 【江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题】 (本小题满分14分) 在直三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，12AA AB ， D 是AB 的中点．（1）求证：1BC ∥平面1ACD ； （2）若点P 在线段1BB 上，且114BP BB =，求证：AP ⊥平面1ACD ． （第16题图）CD ⊂平面ABC ，∴CD ⊥平面11AA B B ﹒ …………8分 ∵AP ⊂平面11A B BA ，∴CD AP ⊥． …………9分 ∵12BB BA =，11BB AA = ，114BP BB =， （第16题） C B 1A 1P DCBA∴1BP AD BA AA ， ∴Rt △ABP ∽Rt △1A AD ， 从而∠1AA D =∠BAP ，所以∠1AA D +∠1A AP =∠BAP +∠1A AP =90︒， ∴1AP A D ⊥． …………12分 又∵1CD A D D =I ，CD ⊂平面1ACD ，1A D ⊂平面1ACD ∴AP ⊥平面1ACD ． …………14分11. 【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】（本小题满分14分）如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中， E ，F 分别是AB ，BC 的中点，A 1C 1 与B 1D 1交于点O .（1）求证：A 1，C 1，F ，E 四点共面；（2）若底面ABCD 是菱形，且OD ⊥A 1E ，求证：OD ⊥平面A 1C 1FE .【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析【解析】1 EA B1 E AB A故1A ，1C ，F ，E 四点共面．……………7分（2）连接BD ，因为直棱柱中1DD ⊥平面1111A B C D ，11AC ⊂平面1111A B C D ， 所以1DD ⊥11A C ． ………………………9分因为底面1111A B C D 是菱形，所以11A C 11B D ⊥．又1DD I 111=B D D ，所以11AC ⊥平面11BB D D ． ………………11分 因为OD ⊂平面11BB D D ，所以OD ⊥11A C ．又OD ⊥1A E ，11A C I 11A E A =，11AC ⊂平面11AC FE ，1A E ⊂平面11AC FE ， 所以OD ⊥平面11AC FE . ……………………14分12. 【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】（本小题满分14分）如图，在四棱锥ABCD P -中，ABCD 为菱形，⊥PD 平面ABCD ，8,6==BD AC ，E 是棱PB 上的动点，AEC ∆面积的最小值是3．（1）求证：DE AC ⊥；（2）求四棱锥ABCD P -的体积．当AEC ∆面积的最小值是3时，EF 有最小值1 …………9分∵当PB EF ⊥时，EF 取最小值，∴1522=-=EF BF BE ，由 BD BE PD EF =，得158=PD ，又24862121=⨯⨯=⋅=BD AC S ABCD 故151564158243131=⨯⨯=⋅=-PD S V ABCD ABCD P …………14分 13. 【盐城市2016届高三年级第三次模拟考试】(本小题满分14分)如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ，,E F 分别为棱,AB PC 的中点.（1）求证：//EF 平面PAD ；（2）求证：平面PDE ⊥平面PEC .又E 是AB 的中点，所以//AE DC ，且12AE DC ， PB CDE第16题图 F14. 【2016高考冲刺卷（6）【江苏卷】】如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1BB ⊥底面ABCD ，//AD BC ，90BAD ∠=o ，AC BD ⊥.D 1 D AC 1A 1B 1 B C（Ⅰ）求证：1//B C 平面11ADD A ；（Ⅱ）求证：1AC B D ⊥；（Ⅲ）若12AD AA =，判断直线1B D 与平面1ACD 是否垂直？并说明理由.【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）不垂直（Ⅲ）结论：直线1B D 与平面1ACD 不垂直. 证明：假设1B D ⊥平面1ACD ， 由1AD ⊂平面1ACD ，得11B D AD ⊥. 由棱柱1111ABCD A B C D -中，1BB ⊥底面ABCD ，90BAD ∠=o可得111A B AA ⊥，1111A B A D ⊥，又因为1111AA A D A =I ， 所以11A B ⊥平面11AA D D ， 所以111A B AD ⊥. 又因为1111A B B D B =I ， 所以1AD ⊥平面11A B D ，所以11AD A D ⊥. 这与四边形11AA D D 为矩形，且1=2AD AA 矛盾， 故直线1B D 与平面1ACD 不垂直.15. 【2016高考冲刺卷（7）【江苏卷】】如图，在四棱锥A EFCB -中，AEF ∆为等边三角D 1A 1D B 1 B C AC 1形，平面AEF ⊥平面EFCB ，2EF =，四边形EFCB 是高为3的等腰梯形，//EF BC ，O 为EF 的中点．（1）求证：AO CF ⊥；（2）求O 到平面ABC 的距离．过O 作OH AG ⊥，垂足为H ，则BC OH ⊥，因为AG BC G =I ，所以OH ⊥平面ABC 因为3,3OG AO =62OH =，即O 到平面ABC 6（另外用等体积法谈亦可）16. 【2016高考冲刺卷（9）【江苏卷】】(本小题满分14分)在四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为菱形，侧面ABE 为等边三角形，且侧面ABE ⊥底面BCDE，,O F分别为,BE DE的中点．（Ⅰ）求证：AO CD⊥；（Ⅱ）求证：平面AOF⊥平面ACE；（Ⅲ）侧棱AC上是否存在点P，使得//BP平面AOF?若存在，求出APPC的值；若不存在，请说明理由．FOB C DAE。

第十章 立体几何一. 基础题组1. （2015年北京市昌平区高三二模文5）若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直 观图是（）2. （北京市东城区2015届高三5月综合练习（二）文6）若一个底面是正三角形的三棱柱 的正（主）视图如图所示，则其侧面积等于（）（A ） 3 （B ） 4（C ） 5 （D ） 6正（主）视图 3. （北京市房山区2015年高三第一次模拟文3） —个空间几何体的三视图如图所示，则这 个几何体的体积为（）4 8 , o俯视图A. —B. —C. 4D. 83 3WWW5. （2015年北京市昌平区高三二模文4）如图所示，某三棱锥的正视图、俯视图均为边长 为2的正三角形，则其左视图面积为（）（A ） 2 （B ）循 （0 |正视图俯视图4. （北京市丰台区2014-2015学年度第二学期统一练习（一）文5）某儿何体的三视图如图 所示，则该几何体的体积为（）A. 48B. 320. 16正视图侧视图 俯视图6. （北京市西城区2015届高三二模文5） —个几何体的三视图中，正（主）视图和 侧（左）视图如图所示，则俯视图不可能为（）7. （北京市西城区2015届高三一模考试文7） —个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是（）侧（左）视图8. （北京市延庆县2015届高三3月模拟文7） —个儿何体的三视图如图所示，那么这个儿 何体的体积为（）A. B.C. D.(A) 7(B) — (C)— (D)巴 6正（主）视图 俯视图侧（左）视图 1E （主）视图9. （北京市东城区2015届高三5月综合练习（二）文17）如图，在四棱锥P-ABCD^f 平ifij' PAD 丄平面ABCD, E 为AD 上一点，四边形BCDE 为矩形，ZPAD = 60PB = 2yfi , PA = ED = 2AE = 2.(I )若PF = APC(A G R),且PA 〃平面BEF,求久的值;(II)求证：CB 丄平面PEB.10. （北京市房山区2015年高三第一次模拟文28）如图，四棱锥E-ABCQ 中，侧而E4B丄底面 ABCD,底面 ABCD 是直角梯形，AD// BC. AB = BC = 2 AD , AD AB = 90 , A EAB 是正三角形，F 为EC 的中点.（I ）求证：DF //平面EAB,（II ）求证：DF 丄平面EBC.主视图 4£4十I 侧视图俯视图B. 120C. 144D. 180 2 A二.能力题组1.（2015年北京市昌平区高三二模文8）已知以面体A-BCD满足下列条件：（1）有一个面是边长为1的等边三角形；（2）有两个面是等腰直角三角形. 那么符合上述条件的所有四面体的体枳的不同值有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2.（2015年北京市昌平区高三二模文8）某三棱锥的正视图如图所示，则在下列图①②③④屮，所有可能成为这个三棱锥的俯视图的是（）3.（北京市石景山区2025届高三3月统一测试（一模）文7）如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱屮，最长的棱的长度为4. （北京市朝阳区2015届高三第二次综合练习文11） 一个四棱锥的三视图如图所示，则 这个四棱锥的体积为 ____ ;表面积为 ______ .5. （北京市朝阳区2015年高三第一次综合练习文12） 一个四棱锥的三视图如图所示，其 中侧视图为正三角形，则该四棱锥的体积是 _____________ ,四棱锥侧面中最大侧面的面积 是 __________.6. （2015年北京市昌平区高三二模文18）在如图所示的几何体屮，平面ACDE 丄平面ABC , CD//AE, F 是BE 的中点，ZACB = 90°, AE = 2CD = 2f AC = BC = i,BE =氏・（I ）求证：DFH 平而ABC ；(II) 求证：QF 丄平面ABE;C. 3 A. 2V2 B. V6D. 2V3俯视图第(12)(III)求三棱锥D-BCE的体积.7.(北京市朝阳区2015年高三第一次综合练习文17)如图，在三棱柱ABC—A/C屮, 各个侧面均是边2为2的正方形，D为线段AC的中点.(I )求证：BD丄平面ACCA；(II)求证：直线AB.//平面BC|D；(III)设M为线段BG上任意一点，在D BC.D内的平面区域(包括边界)是否存在点E,使CE丄DM ,并说明理由.8.(北京市丰台区2014-2015学年度第二学期统一练习(一)文18)如图，在三棱柱ABC-AB.C,中，侧棱人人丄底面ABC , M为棱AC中点.AB = BC , AC = 2, /L4j =V2 .(I )求证：B X C//平而A.BM；(II)求证：AC.丄平面A.BM；(III)在棱BB』勺上是否存在点N,使得平ffiAC./V丄平面AAGC?如果存在，求此时型的值；如果不存在，说明理由.BB 、9. (北京市丰台区2015届高三5月统一练习(二)文18)如图所示，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是直角梯形，BC//AD, 丄AD, AB = BC =丄AD, PA 丄底面ABCD,2过BC 的平面交PD 于M,交PA 于N (M 与£＞不重合).(I )求证：MN//BC ；(II) 求证：CD 丄 PC ；PM(III) 如果丄AC,求此时——的值.PD10. (北京市石景山区2015届高三3月统一测试(一模)文18)如图，己知AF 丄平面ABCD, 四边形ABEF 为矩形，四边形ABCD 为直角梯形,ZDAB= 90°, AB//CD, AD = AF = CD = 2, AB = 4.(I )求证：AC 丄平面BCE ；(II) 求三棱锥A-CDE 的体积；(III) 线段EF 上是否存在一点M,使得BM 丄CE ?若存在，确定H 点的位置；若不存在， 请说明理由.Cl1 1・(北京市两城区2015届高三二模文17)如图，在四棱锥E-ABCD^, AE 丄DE , CD 丄 平面 ADE , A3 丄平面 ADE , CD = DA = 6, AB = 2, DE = 3.(1) 求棱锥C-ADE 的体积；(2) 求证：平面ACE 丄平面CDE ；EF(3) 在线段DE 上是否存在一点F ，使AFH 平面BCE ?若存在，求出——的值；若不存在,ED说明理由.三. 拔高题组1. (北京市朝阳区2015年高三第一次综合练习文8)已知边长为3的正方形ABCD 与正 方形CDEF 所在的平面互相垂直，M 为线段CQ 上的动点(不含端点)，过M 作MHHDE交CE 于H ,作MGI/AD 交BD 于G ,连结GH.设CM =x (0<x<3),则下面四个图 象中大致描绘了三棱锥C-GHM 的体积y 与变量x 变化关系的是()F2. （北京市东城区2015届高三5月综合练习（二）文8）已知正方体ABCD-A^C.D.的 棱长为1, E , F 分别是边马，CG 的中点，点M 是BQ 上的动点，过点E, M , F 的平 而与棱交于点N,设=兀，平行四边形EMFN 的面积为S,设y = S 2t 则），关于x 的 函数y = /（x ）的解析式为（）3厂,(B) f(x) = < ]X H —,23. （北京市丰台区2014-2015学年度第二学期统一练习（一）文8）在正方体ABCD-A^C^中，P 为底面ABCD 上一动点，如果P 到点人的距离等于P 到直线CC ；的距离，那么点P 的轨迹所在的曲线是（）A.直线B.圆C.抛物线D.椭圆 4. （北京市石景山区2015届高三3月统一测试（一模）文8）如图，正方体ABCD-A 】B ：CD 的棱长为1，点M 在棱AB 上，且AM= 1 ,点P 是平面ABCD 上的动点，且动点P 到直线AD 3 的距离与点P 到点M 的距离的平方差为1,则动点P 的轨迹是（）(A) /(%) = 2x 2 -2x + —-2%2+-,(c) /(x) = 2-2(x-l)2 + (D) /(X ) = -2X 2+2X + -,XG[0 J]A.圆B.抛物线C.双曲线D.椭圆5.（北京市西城区2015届高三二模文8）在长方体ABCD_A&CQ中，AB =近,BC = AA l=l,点P为对角线AC；上的动点，点Q为底面ABCD上的动点（点P, Q可以重合），则Bf+PQ的最小值为（）A. V2B.y/3C.~D.226.（北京市延庆县2015届高三3月模拟文14）ABCD是矩形，AB = 4, AD = 3，沿AC 将\ADC 折起到AAP Z C,使平面AD'C丄平面AABC, F是AD'的中点，E是线段AC上的一点，给出下列结论：①存在点£,使得EF//平面BCZY ②存在点E,使得EF丄平面ABD'③ 存在点E,使得Z/E丄平面ABC ④ 存在点E,使得AC丄平面BD'E其中正确结论的序号是 ___________ .（写出所有正确结论的序号）7.（北京市朝阳区2015届高三第二次综合练习文18）如图，在矩形ABCD中，AB = 2AD f M为CD的中点.将A4DM沿AM折起，使得平面ADM丄平面ABCM•点O是线段AM的中点.（I ）求证：平面QOB丄平面ABCM；（II）求证：AD丄BM；（III）过D点是否存在一条直线/,同时满足以下两个条件：①/i平面BCD；②l/lAM .请说明理由.8.（北京市海淀区2015届高三下学期期屮练习（一模）文18）如图1,在梯形ABCD屮,ADOBC, AD丄DC , BC = 2AD,四边形ABEF是矩形.将矩形ABEF沿折起到四边形ABE.F,的位置，使平面ABEE丄平面ABCD, M为A片的中点，如图2.（I ）求证：BE.1DC；（II）求证：DM〃平面BCE】；（III）判断直线CD与的位置关系,并说明理由.三一模考试文17)如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ASCD 为正方形, ADEF 丄平面ABCD f 且BC = 2EF, AE = AF ，点G 是EF 的中点.(I )证明：AG 丄CD ；(II) 若点M 在线段AC 上，且如=丄，求证：GM//平面ABF ；MC 3(III) 已知空间屮有一点O 到A,B,C,D,G 五点的距离相等，请指出点O 的位置.(只需 写出结论)10.(北京市延庆县2015届高三3月模拟文17)如图,矩形ABCQ 中，AB = 3, BC = 4. E, F 分别在线段BC 和AD 上，EF // AB f 将矩形ABEF 沿EF 折起.记折起后的矩形为 MVEF,且平面MNEF 丄平面ECDF .(I )求证：NC 〃平面MFD ；(II) 若 EC = 3,求证：ND 丄 FC ；(III) 求四面体NFEC 体积的最大值.9.(北京市西城区2015届高EF//AD ,平面 D图1图2。

专题10立体几何综合目录一览2023真题展现考向一求二面角考向二求距离真题考查解读近年真题对比考向一求三棱锥体积考向二求二面角命题规律解密名校模拟探源易错易混速记/二级结论速记考向一求二面角1．（2023•新高考Ⅱ•第20题）如图，三棱锥A ﹣BCD 中，DA ＝DB ＝DC ，BD ⊥CD ，∠ADB ＝∠ADC ＝60°，E 为BC 中点．（1）证明BC ⊥DA ；（2）点F 满足퐸 →=퐷 →，求二面角D ﹣AB ﹣F 的正弦值．证明：（1）连接AE ，DE ，∵DB ＝DC ，E 为BC 中点．∴DE ⊥BC ，又∵DA ＝DB ＝DC ，∠ADB ＝∠ADC ＝60°，∴△ACD 与△ABD 均为等边三角形，∴AC ＝AB ，∴AE ⊥BC ，AE ∩DE ＝E ，∴BC ⊥平面ADE ，∵AD ⊂平面ADE ，∴BC ⊥DA ．（2）解：设DA ＝DB ＝DC ＝2，∴퐵 =22，∵퐷퐸= 퐸=2，AD ＝2，∴AE 2+DE 2＝4＝AD 2，∴AE ⊥DE ，又∵AE ⊥BC ，DE ∩BC ＝E ，∴AE ⊥平面BCD ，以E 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，퐷(2，0，0)， (0，0，2)，퐵(0，2，0)，E （0，0，0），∵퐸 →=퐷 →，∴ (−2，0，2)，∴퐷 →=(−2，0，2)， 퐵→=(0，2，−2)， →=(−2，0，0)，设平面DAB 与平面ABF 的一个法向量分别为�1→=(�1，�1，�1)，�2→=(�2，�2，�2)，则−2�1+2�1=02�1−2�1=0，令x 1＝1，解得y 1＝z 1＝1，2�2−2�2=0−2�2=0，令y 2＝1，解得x 2＝0，z 2＝1，故�1→=（1，1，1），�2→=（0，1，1），设二面角D ﹣AB ﹣F 的平面角为θ，则|cos θ|=|�1→⋅�2→||�1→||�2→|==63，故sin θ=33，所以二面角D ﹣AB ﹣F 的正弦值为33．考向二求距离2．（2023•新高考Ⅰ•第18题）如图，在正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 中，AB ＝2，AA 1＝4．点A 2，B 2，C 2，D 2分别在棱AA 1，BB 1，CC 1，DD 1上，AA 2＝1，BB 2＝DD 2＝2，CC 2＝3．（1）证明：B 2C 2∥A 2D 2；（2）点P 在棱BB1上，当二面角P ﹣A 2C 2﹣D 2为150°时，求B 2P ．解：（1）证明：根据题意建系如图，则有：B 2（0，2，2），C 2（0，0，3），A 2（2，2，1），D 2（2，0，2），∴퐵2 2→=(0，−2，1)， 2퐷2→=(0，−2，1)，∴퐵2 2→= 2퐷2→，又B 2，C 2，A 2，D 2四点不共线，∴B 2C 2∥A 2D 2；（2）在（1）的坐标系下，可设P （0，2，t ），t ∈[0，4]，又由（1）知C 2（0，0，3），A 2（2，2，1），D 2（2，0，2），∴ 2 2→=(2，2，−2)， 2�→=(0，2，�−3)， 2퐷2→=(0，−2，1)，设平面PA 2C 2的法向量为�→=(�，�，�)，则�→⋅ 2 2→=2�+2�−2�=0�→⋅ 2�→=2�+(�−3)�=0，取�→=(�−1，3−�，2)，设平面A 2C 2D 2的法向量为�→=(�，�，�)，则�→⋅ 2 2→=2�+2�−2�=0�→⋅ 2퐷2→=−2�+�=0，取�→=(1，1，2)，∴根据题意可得|cos150°|＝|cos ＜�→，�→＞|=|�→⋅�→||�→||�→|，∴32=∴t 2﹣4t+3＝0，又t ∈[0，4]，∴解得t ＝1或t ＝3，∴P 为B 1B 2的中点或B 2B 的中点，∴B 2P ＝1．【命题意图】考查线面平行与垂直、空间几何体的表面积与体积、空间角等．【考查要点】命题会涉及到线面平行与垂直的证明，等体积法求空间几何体的体积，空间向量法求空间距离、空间角，考查空间想象力、运算求解能力、数形结合思想、转化与化归思想．【得分要点】1．直线与平面平行（1）直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ，则a ∥α．（2）直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．用符号表示为：若a ∥α，a ⊂β，α∩β＝b ，则a ∥b ．2．直线与平面垂直（1）直线与平面垂直的定义：如果一条直线l 和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l 和平面α互相垂直，记作l ⊥α，其中l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面．（2）直线与平面垂直的判定：定义法：对于直线l 和平面α，l ⊥α⇔l 垂直于α内的任一条直线．判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．（3）直线与平面垂直的性质：①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a ⊥α，b ⊥α⇒a ∥b ②由定义可知：a ⊥α，b ⊂α⇒a ⊥b ．3．二面角的平面角求法：（1）定义法．（2）三垂线定理及其逆定理．（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．（4）平移或延长（展）线（面）法．（5）射影公式．（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角．（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：设平面α和β的法向量分别为�→和�→，若两个平面的夹角为θ，则①当0≤＜�→，�→＞≤�2，θ=＜�→，�→＞，cos θ＝cos ＜�→，�→＞=�→⋅�→|�→||�→|．②当�2＜＜�→，�→＞＜π时，cos θ＝﹣cos ＜�→，�→＞=−�→⋅�→|�→||�→|考向一求三棱锥体积3．（2021•新高考Ⅰ）如图，在三棱锥A﹣BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为BD的中点．（1）证明：OA⊥CD；（2）若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E﹣BC﹣D的大小为45°，求三棱锥A﹣BCD的体积．【解答】解：（1）证明：因为AB＝AD，O为BD的中点，所以AO⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AO⊂平面ABD，所以AO⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，所以AO⊥CD；（2）方法一：取OD的中点F，因为△OCD为正三角形，所以CF⊥OD，过O作OM∥CF与BC交于点M，则OM⊥OD，所以OM，OD，OA两两垂直，以点O为坐标原点，分别以OM，OD，OA所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则B（0，﹣1，0），，D（0，1，0），设A（0，0，t），则，因为OA⊥平面BCD，故平面BCD的一个法向量为，设平面BCE的法向量为，又，所以由，得，令x＝，则y＝﹣1，，故，因为二面角E﹣BC﹣D的大小为45°，所以，解得t＝1，所以OA＝1，又，所以，故＝．方法二：过E作EF⊥BD，交BD于点F，过F作FG⊥BC于点G，连结EG，由题意可知，EF∥AO，又AO⊥平面BCD1所以EF⊥平面BCD，又BC⊂平面BCD，所以EF⊥BC，又BC⊥FG，FG∩EF＝F所以BC⊥平面EFG，又EG⊂平面EFG，所以BC⊥EG，则∠EGF为二面角E﹣BC﹣D的平面角，即∠EGF＝45°，又CD＝DO＝OB＝OC＝1，所以∠BOC＝120°，则∠OCB＝∠OBC＝30°，故∠BCD＝90°，所以FG∥CD，因为，则，所以，则，所以EF＝GF＝，则，所以．考向二求二面角4．（2022•新高考Ⅰ）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为．（1）求A到平面A1BC的距离；（2）设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A﹣BD﹣C的正弦值．【解答】解：（1）由直三棱柱ABC﹣A 1B1C1的体积为4，可得＝＝，设A到平面A 1BC的距离为d，由＝，∴•d＝，∴×2•d＝，解得d＝．（2）连接AB1交A1B于点E，∵AA1＝AB，∴四边形ABB1A1为正方形，∴AB1⊥A1B，又∵平面A1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B，∴AB1⊥平面A1BC，∴AB1⊥BC，由直三棱柱ABC﹣A1B1C1知BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥BC，又AB1∩BB1＝B1，∴BC⊥平面ABB1A1，∴BC⊥AB，以B为坐标原点，BC，BA，BB1所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，∵AA1＝AB，∴BC×AB×＝2，又AB×BC×AA1＝4，解得AB＝BC＝AA1＝2，则B（0，0，0），A（0，2，0），C（2，0，0），A1（0，2，2），D（1，1，1），则＝（0，2，0），＝（1，1，1），＝（2，0，0），设平面ABD的一个法向量为＝（x，y，z），则，令x＝1，则y＝0，z＝﹣1，∴平面ABD的一个法向量为＝（1，0，﹣1），设平面BCD的一个法向量为＝（a，b，c），，令b＝1，则a＝0，c＝﹣1，平面BCD的一个法向量为＝（，1，﹣1），cos＜，＞＝＝，二面角A﹣BD﹣C的正弦值为＝．5．（2022•新高考Ⅱ）如图，PO是三棱锥P﹣ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，E为PB的中点．（1）证明：OE∥平面PAC；（2）若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求二面角C﹣AE﹣B的正弦值．【解答】解：（1）证明：连接OA，OB，依题意，OP⊥平面ABC，又OA⊂平面ABC，OB⊂平面ABC，则OP⊥OA，OP⊥OB，∴∠POA＝∠POB＝90°，又PA＝PB，OP＝OP，则△POA≌△POB，∴OA＝OB，延长BO交AC于点F，又AB⊥AC，则在Rt△ABF中，O为BF中点，连接PF，在△PBF中，O，E分别为BF，BP的中点，则OE∥PF，∵OE⊄平面PAC，PF⊂平面PAC，∴OE∥平面PAC；（2）过点A作AM∥OP，以AB，AC，AM分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由于PO＝3，PA＝5，由（1）知OA＝OB＝4，又∠ABO＝∠CBO＝30°，则，∴，又AC＝AB tan60°＝12，即C（0，12，0），设平面AEB的一个法向量为，又，则，则可取，设平面AEC的一个法向量为，又，则，则可取，设锐二面角C﹣AE﹣B的平面角为θ，则，∴，即二面角C﹣AE﹣B正弦值为．6．（2021•新高考Ⅱ）在四棱锥Q﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD＝2，QD＝QA＝，QC＝3．（Ⅰ）求证：平面QAD⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角B﹣QD﹣A的平面角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：△QCD中，CD＝AD＝2，QD＝，QC＝3，所以CD2+QD2＝QC2，所以CD⊥QD；又CD⊥AD，AD∩QD＝D，AD⊂平面QAD，QD⊂平面QAD，所以CD⊥平面QAD；又CD⊂平面ABCD，所以平面QAD⊥平面ABCD．（Ⅱ）解：取AD的中点O，在平面ABCD内作Ox⊥AD，以OD所在直线为y轴，OQ所在直线为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示：则O（0，0，0），B（2，﹣1，0），D（0，1，0），Q（0，0，2），因为Ox⊥平面ADQ，所以平面ADQ的一个法向量为＝（1，0，0），设平面BDQ的一个法向量为＝（x，y，z），由＝（﹣2，2，0），＝（0，﹣1，2），得，即，令z＝1，得y＝2，x＝2，所以＝（2，2，1）；所以cos＜，＞＝＝＝，所以二面角B﹣QD﹣A的平面角的余弦值为．本章内容是高考必考内容之一，多考查空间几何体的表面积与体积，空间中有关平行与垂直的判定，空间角与距离的求解，空间向量的应用等问题。

2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编立体几何客观题（精解精析版）一、选择题1．(2021年高考全国乙卷理科)在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为()A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6【答案】D解析：如图，连接11,,BC PC PB ，因为1AD ∥1BC ，所以1PBC ∠或其补角为直线PB 与1AD 所成的角，因为1BB ⊥平面1111D C B A ，所以11BB PC ⊥，又111PC B D ⊥，1111BB B D B ⋂=，所以1PC ⊥平面1P B B ，所以1PC PB ⊥，设正方体棱长为2，则111112BC PC D B ===1111sin 2PC PBC BC ∠==，所以16PBC π∠=．故选：D2．(2021年高考全国甲卷理科)在一个正方体中，过顶点A 的三条棱的中点分别为E ，F ，G ．该正方体截去三棱锥A EFG -后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是()()A．B．C．D．【答案】D解析：由题意及正视图可得几何体的直观图，如图所示，所以其侧视图为故选：D3．(2021年高考全国甲卷理科)已如A．B．C是半径为1的球O的球面上的三个点，且,1AC BC AC BC⊥==，则三棱锥O ABC-的体积为()A．212B．312C．24D．34【答案】A解析：,1AC BC AC BC ⊥== ，ABC ∴ 为等腰直角三角形，AB ∴=，则ABC 外接圆的半径为22，又球的半径为1，设O 到平面ABC 的距离为d ，则22d =，所以1112211332212O ABC ABC V S d -=⋅=⨯⨯⨯⨯=．故选：A ．【点睛】关键点睛：本题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到截面距离的勾股关系求解．4．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC 的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为()A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π【答案】A【解析】设圆1O 半径为r ，球的半径为R ，依题意，得24,2r r ππ=∴=， ABC 为等边三角形，由正弦定理可得2sin 60AB r =︒=，1OO AB ∴==，根据球的截面性质1OO ⊥平面ABC ，11,4OO O A R OA ∴⊥====，∴球O 的表面积2464S R ππ==．故选：A【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题．5．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()()A ．514-B ．512-C ．514+D ．512+【答案】C【解析】如图，设,CD a PE b ==，则22224a PO PE OEb =-=-，由题意212PO ab =，即22142a b ab-=，化简得24()210b b a a -⋅-=，解得154b a =（负值舍去）．故选：C ．【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题．6．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知△ABC 是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上．若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为()A ．3B ．32C ．1D ．32【答案】C解析：设球O 的半径为R ，则2416R ππ=，解得：2R =．设ABC 外接圆半径为r ，边长为a ，ABC 是面积为934的等边三角形，21393224a ∴⨯=，解得：3a =，22229933434a r a ∴=-=-=，∴球心O 到平面ABC 的距离22431d R r =-=-=．故选：C ．【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面．7．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为()()A ．EB ．FC ．GD ．H【答案】A解析：根据三视图，画出多面体立体图形，14D D 上的点在正视图中都对应点M ,直线34B C 上的点在俯视图中对应的点为N,∴在正视图中对应M ,在俯视图中对应N 的点是4D ,线段34D D ,上的所有点在侧试图中都对应E ,∴点4D 在侧视图中对应的点为E ．故选：A【点睛】本题主要考查了根据三视图判断点的位置，解题关键是掌握三视图的基础知识和根据三视图能还原立体图形的方法，考查了分析能力和空间想象，属于基础题．8．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是()()A ．6+4B ．C ．D ．【答案】C解析：根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：12222ABC ADC CDB S S S ===⨯⨯=△△△根据勾股定理可得：AB AD DB ===∴ADB △是边长为的等边三角形根据三角形面积公式可得：211sin 60222ADB S AB AD =⋅⋅︒=⋅=△∴该几何体的表面积是：632=⨯++．故选：C ．【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题．9．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)如图，点N 为正方形ABCD 的中心，ECD △为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则()A ．BM EN =，且直线,BM EN 是相交直线B ．BM EN ≠，且直线,BM EN 是相交直线C ．BM EN =，且直线,BM EN 是异面直线D ．BM EN ≠，且直线,BM EN 是异面直线【答案】B 【解析】取DC 中点E ，如图连接辅助线，在BDE △中，N 为BD 中点，M 为DE 中点，所以//MN BE ，所以BM ，EN 共面相交，选项C ，D 错误． 平面CDE ⊥平面ABCD ，EF CD ⊥，EF ∴⊥平面ABCD ，又DC CD ⊥,∴DC ⊥平面DCE ，从而EF FN ⊥，BC MC ⊥．所以MCB △与EFN△均为直角三角形．不妨设正方形边长为2，易知3,1MC EF NF ===，所以22(3)27BM =+=，22(3)12EN =+=,BM EN ∴≠，故选B ．【点评】本题比较具有综合性，既考查了面面垂直、线面垂直等线面关系，还考查了三角形中的一些计算问题，是一个比较经典的题目．10．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)设α、β为两个平面，则αβ//的充要条件是()()A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是αβ//的充分条件，由面面平行性质定理知，若αβ//，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是αβ//的必要条件，故选B .【点评】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβ”此类的错误．11．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC △是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为()A ．B ．C ．D 【答案】D解析：三棱锥P ABC -为正三棱锥，取AC 中点M ，连接,PM BM ，则,AC PM AB BM ⊥⊥，PM BM M = ，可得AC ⊥平面PBM ，从而AC PB ⊥，又//,PB EF EF CE ⊥，可得PB CE ⊥，又AC CE C = ，所以PB ⊥平面PAC ，从而,PB PA PB PC ⊥⊥，从而正三棱锥P ABC -的三条侧棱,,PA PB PC 两两垂直，且PA PB PC ===,,PA PB PC 为棱的正方体，正方体的体对角线即为球O 的直径，即22R R ==，所以球O 的体积为343V R π==．12．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)设,,,A B C D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC △为等边三角形且其面积为，则三棱锥D ABC -体积的最大值为()A．B．C．D．【答案】B解析：设ABC △的边长为a，则21sin 6062ABC S a a =︒=⇒=△，此时ABC △外接圆的半径为112sin 60232a r =⋅=⨯︒，故球心O 到面ABC2==，故点D 到面ABC 的最大距离为26R +=，此时11633D ABC ABC D ABC V S d --=⋅=⨯=△，故选B．点评：本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当DM ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -体积最大很关键，由M 为三角形ABC 的重心，计算得到23BM BE ==，再由勾股定理得到OM ，进而得到结果，属于较难题型．13．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头，若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体．则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()()【答案】A解析：依题意，结合三视图的知识易知，带卯眼的木构件的俯视图可以是A 图．14．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA =线1AD 与1DB 所成角的余弦值为()A ．15B ．56C ．55D ．22【答案】C解析：以D 为坐标原点，1,,DA DC DD DA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则11(0,0,0),(1,0,0),(1,1,3),(0,0,3)D A B D ，所以11(1,0,3),(1,1,3)AD DB =-=因为111111135cos ,5||||25AD DB AD DB AD DB ⋅-+<>===⋅⨯所以异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为55，故选C ．15．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)已知正方体的校长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面而积的最大值为()A ．334B ．233C ．324D ．32【答案】A【解析一】根据题意，平面α与正方体对角线垂直，记正方体为111ABCD A B C D -不妨设平面α与1AC 垂直，且交于点M ．平面ABD 与平面11B D C 与1AC 分别交于,P Q ．正方体中心为O ,则容易证明当M 从A 运动到P 时，截面为三角形且周长逐渐增大:当M 从P 运动到Q 时，截面为六边形且周长不变;当M 从Q 运动到1C 时，截面为三角形且周长还渐减小。