【数学】湖南师范大学附属中学2019-2020学年高一上学期第二次大练习试题

湖南师大附中2022-2023学年度高一第一学期第一次大练习数 学时量：120分钟 满分：150分得分：一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．若a ，b ，c ，d 为集合A 的四个元素，则以a ，b ，c ，d 为边长构成的四边形可能是（ ） A ．矩形 B ．平行四边形 C ．菱形 D ．梯形 【分析】利用集合中元素的互异性，直接判断选项多边形的边长构成的集合的元素个数即可得到结果．【解析】解：因为集合中的元素是互异的，也是无序的，所以平行四边形的边长构成的集合只有2个元素；菱形的边长构成的集合只有1个元素；矩形的边长构成的集合只有2个元素； 满足题意的可能是梯形． 故选：D ．2．集合{}24A x x =≤<，{}3782B x x x =-≥-，则A B =（ ）A ．{}34x x ≤<B ．{}2x x ≥C ．{}14x x ≤<D ．{}3x x ≥【分析】先分别求出集合A ，B ，由此能求出A B ．【解析】解：集合{|24}A x x =<， {|3782}{|3}B x x x x x =--=， {|34}AB x x ∴=<．故选：A ．3．下列各式正确的个数是（ ） ①{}{}00,1,2∈； ①{}{}0,1,22,1,0⊆； ①{}0,1,2∅⊆；①{}0∅=；①{}(){}0,10,1=；①{}00=．A ．1B ．2C ．3D ．4 【分析】利用集合之间的关系是包含与不包含、元素与集合之间的关系是属于与不属于的关系及其∅的意义即可判断出正误． 【解析】解：①集合之间的关系是包含与不包含，因此{0}{0∈，1，2}，不正确，应该为{0}{0，1，2}；②{0，1，2}{2⊆，1，0}，正确； ③{0∅⊆，1，2}，正确； ④∅不含有元素，因此{0}∅；⑤{0，1}与{(0,1)}的元素形式不一样，因此不正确；⑥元素与集合之间的关系是属于与不属于的关系，应该为0{0}∈，因此不正确． 综上只有：②，③正确． 故选：B ．4．已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题正确的是（ ） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若a bc c>，则a b > C ．若33a b >且0ab <，则11a b> D ．若22a b >且0ab >，则11a b> 【分析】根据不等式的性质，对A 、B 、C 、D 四个选项通过举反例进行一一验证． 【解析】解：A ．若a b >，则22ac bc >（错)，若0c =，则A 不成立；B ．若a bc c>，则a b >（错)，若0c <，则B 不成立； C ．若33a b >且0ab <，则11a b >（对)，若33a b >且0ab <，则00a b >⎧⎨>⎩D ．若22a b >且0ab >，则11a b >（错)，若00a b >⎧⎨>⎩，则11a b <，∴D 不成立． 故选：C ．5．已知命题“[]01,1x ∃∈-，20030x x a -++>”为真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．94a >-B ．4a >C ．24a -<<D ．2a >-【分析】命题“0[1x ∃∈-，1]，2030x x a -++>”为真命题 等价于23a x x >-在[1x ∈-，1]上有解，构造函数2()3f x x x =-求最大值代入极即可．【解析】解：命题“0[1x ∃∈-，1]，2030x x a -++>”为真命题 等价于23a x x >-在[1x ∈-，1]上有解，令2()3f x x x =-，[1x ∈-，1]，则等价于()min a f x f >=（1）2=-，2a ∴>-， 故选：D ．6．不等式02xx <-成立的一个必要不充分条件是（ ） A ．02x << B ．01x << C ．13x << D ．1x ≥-【分析】求出不等式02xx <-的解集，根据题意判断符合条件的选项即可．【解析】解：解不等式02xx <-等价于解(2)0x x -<得，02x <<，∵{}{}021x x x x <<≥-所以选项A 是充要条件，选项B 是充分不必要条件，选项C 是必要不充分条件，选项D 是既不充分也不必要条件． 故选：D ． 7．若不等式11014m x x +-≥-对104x x x ⎧⎫∈<<⎨⎬⎩⎭恒成立，则实数m 的最大值为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．10 【分析】根据题意，由基本不等式的性质分析可得1114x x+-的最小值为9，据此分析可得答案．【解析】解：根据题意，1(0,)4x ∈，则140x ->，则1141414(14)44(1[4(14)]()552914414414414x x x x x x x x x x x x -+=+=+-+=+++⨯----，当且仅当142x x -=时等号成立， 则1114x x+-的最小值为9， 若不等式11014m x x+--对1(0,)4x ∈恒成立，即式1114m x x +-恒成立，必有9m 恒成立， 故实数m 的最大值为9；故选：C ．8．在R 上定义运算：()1a b a b ⊕=+．已知12x ≤≤时，存在x 使不等式()()4m x m x -⊕+<成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．{}22m m -<<B ．{}12m m -<<C ．{}32m m -<<D ．{}12m m << 【分析】由a ⊕b 的定义，化简可得当12x 时，存在x 使不等式224m m x x +<-+成立，由二次函数的最值求法可得24x x -+在[1，2]的最大值，再由二次不等式的解法，可得所求范围．【解析】解：()m x -⊕()4m x +<，即为22(1)()4m x m x m x m x -++=-++<， 当12x 时，存在x 使不等式224m m x x +<-+成立，等价为22(4)max m m x x +<-+，由221154()24x x x -+=-+，可得2x =时，24x x -+取得最大值，且为6，所以26m m +<，解得32m -<<， 故选：C ．二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知集合A ={1，2，2a }，B ={1，2a +}，若B A ⊆，则a 的可能取值为（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 【分析】利用集合交集的定义，得到B A ⊆，再利用子集的定义求解即可． 【解析】解：因为B A ⊆，又集合{1A =，2，2}a ，{1B =，2}a +， 所以22a +=或22a a +=， 解得0a =或2a =或1a =-， 当1a =-时，不满足集合的互异性， 所以0a =或2a =． 故选：BD ． 10．若0a b <<，110c d<<，则下面四个不等式成立的有（ ） A ．11a b> B ．c d > C ．a b c d > D ．a ba cb d>++ 【分析】利用不等式的性质求解即可． 【解析】由0a b <<可得0a b >>，∴11a b>，故A 正确； 由110c d <<可得110c d >>，且0d c <<，∴c d <，故B 不正确； 由于a a b b c c d d =>=，∴a bc d >，故C 正确； 由于()()a ba b d b a c ad bc a c b d>⇔+>+⇔>++，且ad ad bc bc =>=，故D 正确；故选：ACD ．11．下列说法正确的有（ ）A ．命题“若3x >，则29x >”的否定是“若3x >，则29x ≤”B ．命题“x M ∃∈，()p x ⌝”的否定是“x M ∀∈，()p x ”C ．命题“0x ∃∈R ，()200310a x ax -+->”是假命题，则实数a 的取值范围为{}62a a -≤≤D ．命题“x ∀∈R ，221m m x x -<++”是真命题，则实数m 的取值范围为1322m m ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【分析】直接利用命题的否定，命题真假的判定，集合间的关系判断A 、B 、C 、D 的结论．【解析】命题“若3x >，则29x >”为全称量词命题，它的否定为存在量词命题“3x ∃>，则29x ≤，故A 不正确；命题“x M ∃∈，()p x ⌝”的否定是“x M ∀∈，()p x ”，故B 正确；“0x ∃∈R ，()200310a x ax -+->”是假命题，则它的否定“x ∀∈R ，()2310a x ax -+-≤”是真命题，则有30a -<，()200310a x ax -+->且△()2430a a =+-≤，解得62a -≤≤，故C 正确；“x ∀∈R ，221m m x x -<++”是真命题，则()22min1m m x x -<++，又221331244x x x ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭．则234m m -<，解得1322m -<<，故D 正确．故选BCD ．12．已知1x y +=，0y >，0x ≠，则121x x y ++的可能取值有（ ） A ．54B ．34C ．12D ．14【分析】先得到1x <，再分类讨论，并利用基本基本不等式求出1||32||14x x y ++即可． 【解析】解：1x y +=，0y >，0x ≠，10y x ∴=->，1x ∴<且0x ≠， ①当01x <<时，则 1||121211522||12142442444x x x x x x x x y x y x x x x +--+=+=+=+++=++--， 当且仅当242x xx x-=-，即23x =时取等号， ②当0x <时，则 1||12121322||1214244244x x x x x x x x y x y x x x x --+---+=+=+=-++-+=+-+----， 当且仅当242x xx x --=--，即2x =-时取等号， 综上，1||32||14x x y ++， 故选AB ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．命题“全等三角形的面积相等”的否定是____________________________． 【分析】因为原命题为全称命题，结合全称命题的否定为特称命题求解． 【解析】解：原命题：全等三角形的面积一定都相等，为全称命题，∴它的否定为：存在两个全等三角形的面积不相等，故答案为：存在两个全等三角形，它们的面积不相等14．已知0x >，则123x x--的最大值是________． 【分析】由函数123x x --（0x >）变形为123x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，再由基本不等式求得13x x +≥=1232x x--≤-【解析】解：13x x +≥=当且仅当13x x=，即x =时取等号∴1232x x --≤-故123x x--的最大值是2-故答案为：2-15．已知函数()21f x mx mx =--．若对于{}13x x x ∈≤≤，()5f x m <-恒成立，则实数m 的取值范围为________．【分析】由已知可得当[1x ∈，3]时2(6)0max mx mx m -+-<，再结合二次函数性质求m 的取值范围．【解析】由()5f x m <-可得260mx mx m -+-<， 由已知260mx mx m -+-<对于[1x ∈，3]恒成立， 所以当[1x ∈，3]时，2(6))0max mx mx m -+-<，当0m >时，函数26y mx mx m =-+-的图象为开口向上，对称轴为12x =的抛物线， 所以当3x =时，26([1,3])y mx mx m x =-+-∈取最大值，最大值为76m -，所以760m -<，由此可得607m <<，当0m <时，函数26y mx mx m =-+-的图象为开口向下，对称轴为12x =的抛物线，所以当1x =时，26([1,3])y mx mx m x =-+-∈取最大值，最大值为6m -， 所以60m -<，由此可得0m <，当0m =时，260mx mx m -+-<对于[1x ∈，3]恒成立，综上，67m <，所以实数m 的取值范围为67m m ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭． 故答案为：67m m ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭16．某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： ①男学生人数多于女学生人数； ①女学生人数多于教师人数； ①教师人数的两倍多于男学生人数．（1）若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________； （2）该小组人数的最小值为________． 【分析】①设男学生女学生分别为x ，y 人，若教师人数为4，则424x y y x >⎧⎪>⎨⎪⨯>⎩，进而可得答案；②设男学生女学生分别为x ，y 人，教师人数为z ，则2x y y z z x >⎧⎪>⎨⎪>⎩，进而可得答案；【解析】解：①设男学生女学生分别为x ，y 人， 若教师人数为4， 则424x y y x >⎧⎪>⎨⎪⨯>⎩，即48y x <<<， 即x 的最大值为7，y 的最大值为6， 即女学生人数的最大值为6．②设男学生女学生分别为x ，y 人，教师人数为z ， 则2x y y z z x >⎧⎪>⎨⎪>⎩，即2z y x z <<< 即z 最小为3才能满足条件， 此时x 最小为5，y 最小为4， 即该小组人数的最小值为12， 故答案为：6，12四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本大题满分10分） 设a ，b ∈R ，集合P ={1，a }，Q ={1-，b -}，若P =Q ． （1）求a b -的值；（2）集合{}210A x x cx =++<，(){}B x a x a b =-<<-+，若B A ⊆，求实数c 的取值范围． 【分析】（1）利用集合P Q =元素相等，可得a 、b 的值，从而求a b -的值； （2）利用集合之间的关系求解． 【解析】 解：（1）设a ，b R ∈，{1P =，}a ，{1Q =-，}b -，若P Q =，则1a =-，1b =-，故0a b -=； （2）由（1）可知：{}12B x x A =<<⊆，则210x cx ++<在12x <<上恒成立，记()21f x x cx =++，则只需要()()1020f f ≤⎧⎪⎨≤⎪⎩，52c ⇒≤-．18．（本大题满分12分） （1）设0x y <<，试比较()()22x yx y +-与()()22xy x y -+的大小；（2）已知a ，b ，x ，y 都是正数，且11a b>，x y >，求证：x y x a y b >++． 【分析】（1）方法一：利用作差法，即可比较两式的大小；方法二：根据题意，利用作商法，也可以比较两式的大小；（2）利用作差法，即可证明x yx a y b>++． 【解析】（1）解：方法一：2222()()()()x y x y x y x y +---+222()[()()]x y x y x y =-+-+ 2()xy x y =--；因为0x y <<，所以0xy >，0x y -<， 所以2()0xy x y -->，所以2222()()()()x y x y x y x y +->-+；方法二：0x y <<，所以0x y -<，22x y >，0x y +<， 所以22()()0x y x y +-<，22()()0x y x y -+<； 所以22222222()()01()()2x y x y x y x y x y x y xy+-+<=<-+++，所以2222()()()()x y x y x y x y +->-+；（2）证明：()()x y bx ayx a y b x a y b --=++++， 因为11a b>且a ，(0,)b ∈+∞，所以0b a >>；又因为0x y >>，所以0bx ay >>，所以x yx a y b >++． 19．（本大题满分12分）对于由有限个自然数组成的集合A ，定义集合(){},S A a b a A b A =+∈∈，记集合()S A 的元素个数为()()d S A ．定义变换T ，变换T 将集合A 变换为集合()()T A A S A =． （1）若A ={0，1，2}，求()S A ，()T A ；（2）若集合A ={1x ，2x ，3x ，…，n x }，123x x x <<<…n x <，n ∈N ，证明：“()()21d S A n =-”的充要条件是“2132x x x x -=-=…1n n x x -=-”． 【分析】（1）根据定义直接进行计算即可；（2）根据充分条件和必要条件，结合等差数列的性质进行证明． 【解析】 解：（1）若集合{0A =，1，2}，则S （A ）T =（A ）{0=，1，2，3，4}． （2）令1{A x =，2x ，}n x ⋯．不妨设12n x x x <<⋯<． 充分性：设{}k x 是公差为(0)d d ≠的等差数列．则111(1)(1)2(2)(1i j x x x i d x j d x i j d i +=+-++-=++-，)j n且22i j n +．所以i j x x +共有21n -个不同的值．即(d S （A ）)21n =-．必要性：若(d S （A ）)21n =-．因为1122i i i i x x x x ++<+<，(1i =，2，⋯，1)n -． 所以S （A ）中有21n -个不同的元素：12x ，22x ，⋯，2n x ，12x x +，23x x +，⋯，1n n x x -+． 任意(1,)i j x x i j n +的值都与上述某一项相等．又1212i i i i i i x x x x x x +++++<+<+，且11122i i i i i x x x x x +++++<<+，1i =，2，⋯，2n -． 所以212i i i x x x +++=，所以{}k x 是等差数列，且公差不为0 20．（本大题满分12分） 已知258x y +=． （1）当0x >，0y >时，求xy 的最大值； （2）当1x >-，2y >-时，若不等式2101412m m x y +≥+++恒成立，求实数m 的取值范围． 【分析】（1）对等式左边直接使用基本不等式即可求出xy 的最大值；（2）先由基本不等式求出10112x y +++的最小值，然后由不等式恒成立转化为2101()412min m m x y ++++，解二次不等式可求． 【解析】 解：（1）∵0x >，0y >，258x y +=．∴()()221112518825251021025x y xy x y +⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅≤⋅=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当254x y ==时取等号，即2x =，45y =时取等号， 所以xy 的最大值为85；（2）因为258x y +=，1x >-，2y >-， 即2(1)5(2)20x y +++=， 所以 1011101150(2)2(1)19()[2(1)5(2)](25](2520)1220122012204y x x y x y x y x y +++=++++=+++=++++++，当且仅当50(2)2(1)12y x x y ++=++且258x y +=即173x =，23y =-时取等号，此时10112x y +++取得最小值94，因为不等式2101412m m x y ++++恒成立， 所以2944m m +，解得，9122m-，∴实数m 的取值范围：为91{|}22m m -．21．（本大题满分12分） 党的十八大以来，精准扶贫取得了历史性成就，其中产业扶贫是扶贫工作的一项重要举措，长沙某驻村扶贫小组在湘西某贫困村实施产业扶贫，计划帮助该村进行猕猴桃的种植与销售，为了迎合大众需求，提高销售量，将以装盒售卖的方式销售．经市场调研，若要提高销售量，则猕猴桃的售价需要相应的降低，已知猕猴桃的种植与包装成本为24元/盒，且每万盒猕猴桃的销售收入()I x （单位：万元）与售价量x （单位：万盒）之间满足关系式()2562,010*******17.6,10x x I x x x x -<≤⎧⎪=⎨+->⎪⎩． （1）写出利润()F x （单位：万元）关于销售量x （单位：万盒）的关系式；（利润=销售收入－成本）（2）当销售量为多少万盒时，该村能够获得最大利润？此时最大利润是多少？【分析】（1）根据已知条件，结合利润=销售收入－成本，分010x <≤，10x >两种情况讨论，即可求解．（2）根据已知条件，结合二次函数的性质，以及基本不等式的公式，分别求解分段函数的最大值，再通过比较大小，即可求解． 【解析】解：（1）当010x <≤时，()()222456224232F x xI x x x x x x x =-=--=-+， 当10x >时，()()2328144014402417.624 6.4328F x xI x x x x x x x x⎛⎫=-=+--=--+ ⎪⎝⎭， 故()2232,01014406.4328,10x x x F x x x x ⎧-+<≤⎪=⎨--+>⎪⎩． （2）当010x <≤时，()()2223228128F x x x x =-+=--+，故当8Fx =时，()F x 取得最大值，且最大值为128， 当10x >时，()144014406.4328 6.4328328136F x x x x x ⎛⎫=--+=-++≤-= ⎪⎝⎭， 当且仅当14406.4x x =，即15x =（负值舍去）时，等号成立，此时()F x 取得最大值，且最大值为136，由于136128>，所以销售量为15万盒时，该村的获利最大，此时的最大利润为136万元． 22．（本大题满分12分）已知二次函数()2ax bx c f x =++．（1）若()0f x >的解集为{}34x x -<<，解关于x 的不等式()2230bx ax c b +-+<；（2）若对任意x ∈R ，()0f x ≥恒成立，求ba c+的最大值； （3）已知4b =，a c >，若()0f x ≥对于一切实数x 恒成立，并且存在0x ∈R ，使得2000ax bx c ++=成立，求2242a c a c+-的最小值．【分析】（1）依题意，得0a <，34b a -+=-，34cb a a-⨯=⇒=-，12(0)c a a =-<，故()222302150bx ax c b x x +-+<⇔--<，解之即可；（2）由△240b ac =-<，00a c >⇒，得到2ac b ac -，再利用基本不等式可求得ba c+的最大值； （3）依题意，可得01640a ac >⎧⎨=-⎩，即04a ac >⎧⎨⎩，由存在0x R ∈，使得200ax bx c ++=成立可得△16404ac ac =-=⇒=，利用基本不等式即可求得2242a c a c+-的最小值．【解析】 解：（1）20ax bx c ++>的解集为{|34}x x -<<，0a ∴<，34b a -+=-，34cb a a-⨯=⇒=-，12(0)c a a =-<，()()222230215002150bx ax c b ax ax a a x x +-+<⇔-++<<⇔--<，∴解集为(3,5)-；（2）对任意x R ∈，()0f x 恒成立，∴△240b ac =-，即24b ac ，又0a >，0c ∴， 故2ac b ac -，∴21b ac a ca c a c a c +=+++，当c a =，2b a =时取“=”， ∴b a c+的最大值为1， （3）由()0f x 对于一切实数x 恒成立，可得01640a ac >⎧⎨=-⎩即04a ac >⎧⎨⎩，由存在0x R ∈，使得200ax bx c ++=成立可得△1640ac =-， ∴△1640ac =-=， 4ac ∴=，∴2222(24(2)168222a a c a c a c a c a -+-+==---， 当且仅当24a c -=时，等号成立，∴2242a c a c+-的最小值为8．。

2025届湖南师范大学附属中学高考仿真卷数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知命题2:21,:560p x m q x x -<++<，且p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为（ ）A ．12m >B ．12m ≥C ．1mD ．m 1≥2．()()52122x x --的展开式中8x的项的系数为（ ）A ．120B ．80C ．60D ．403．已知数列{}n a 中，112,()1,n n n a n a a a n N *+=-=+∈ ，若对于任意的[]*2,2,a n N ∈-∈，不等式21211n a t at n +<+-+恒成立，则实数t 的取值范围为（ ） A ．(][),21,-∞-⋃+∞ B ．(][),22,-∞-⋃+∞ C ．(][),12,-∞-⋃+∞ D ．[]2,2-4．函数1()ln 1f x x x =--的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．5．五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分.古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．156．设,,a b R i ∈是虚数单位，则“复数z a bi =+为纯虚数”是“0ab =”的（ ） A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充分不必要条件7．已知双曲线C 的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线C 的方程不可能为（ ）A ．221155x y -=B ．221515x y -=C ．221312y x -=D ．221217y x -=8．直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（） A ．B ．C ．D ．9．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos (2)cos c a B a b A -=-，则ABC 的形状为（ ） A ．直角三角形 B ．等腰非等边三角形 C ．等腰或直角三角形D ．钝角三角形10．集合{}2,A x x x R =>∈，{}2230B x x x =-->，则A B =（ ）A ．(3,)+∞B ．(,1)(3,)-∞-+∞C ．(2,)+∞D ．(2,3)11．已知方程1x x y y +=-表示的曲线为()y f x =的图象，对于函数()y f x =有如下结论：①()f x 在()+-∞∞，上单调递减；②函数()()F x f x x =+至少存在一个零点；③()y f x =的最大值为1；④若函数()g x 和()f x 图象关于原点对称，则()y g x =由方程1y y x x +=所确定；则正确命题序号为( ) A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④12．设函数22sin ()1x xf x x =+，则()y f x =，[],x ππ∈-的大致图象大致是的( )A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖南师范大学附属中学【最新】高一上学期第二次阶段性检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知直线的倾斜角为45，在y 轴上的截距为2，则此直线方程为（ ） A ．2y x =--B ．2y x =-C ．2y x =-+D ．2y x =+2．利用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图,得到下列结论,其中正确的是（ ） A ．正三角形的直观图仍然是正三角形 B ．平行四边形的直观图一定是平行四边形 C ．正方形的直观图是正方形 D ．圆的直观图是圆3．设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ） A ．若,l ααβ⊥⊥，则l β⊂ B ．若//,//l ααβ，则l β⊂ C ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥D ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥4．已知函数()()()3log 0210x x x f x x -⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩，则()()211log 3f f f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（ ）A ．6B ．5C ．72D ．535．一个几何体的三视图及尺寸如下图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，该几何体的表面积是 （ ）A ．16πB ．8πC ．16πD ．8π6．若变量x ，y 满足|x |﹣ln1y=0，则y 关于x 的函数图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．7．已知某三棱锥的三视图如图所示，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．12πB ．4πC ．3πD ．π8．已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足：对任意正实数,a b ，都有()()()2f ab f a f b =+-，且当1x >时恒有()2f x <，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 在()0,∞+上是减函数B ．()f x 在()0,∞+上是增函数C ．()f x 在()0,1上是减函数，在()1,+∞上是增函数D ．()f x 在()0,1上是增函数，在()1,+∞上是减函数9．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以,,,A B C D 四点为顶点的棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为（ ） A ．90°B ．60C ．45°D ．30°10．如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．11．若函数()()20f x ax bx c a =++≠的图象和直线y x =无交点，给出下列结论：①方程()f f x x ⎡⎤=⎣⎦一定没有实数根； ②若0a <，则必存在实数0x ，使()()0ff x x >；③若0a b c ++=，则不等式()f f x x ⎡⎤<⎣⎦对一切实数x 都成立； ④函数()2g x ax bx c =-+的图象与直线y x =-也一定没有交点．其中正确的结论个数有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB ==，1AD =，E ，F ，G 分别是1DD ，AB ，1CC 的中点，则异面直线1A E 与GF 所成角是（ ）．A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°二、填空题13．无论m 为何值，直线:(1)740l m x y m +---=恒过一定点P ，则点P 的坐标为__________．14．已知函数()·,0ln ,0x a e x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，其中e 为自然数的底数，若关于x 的方程()()0f f x =有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围是__________．15．对定义在区间D 上的函数()f x ，若存在常数0k >，使对任意的x D ∈，都有()()f x k f x +>成产，则称()f x 为区间D 上的 “k 阶增函数”．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当()220,x f x x a a ≥=--．若()f x 为R 上的“4阶增函数”，则实数a 的取值范围是__________．三、解答题16．已知直线12:310,:(2)0l ax y l x a y a ++=+-+=． （1）若12l l ⊥，求实数a 的值；（2）当12l l //时，求直线1l 与2l 之间的距离．17．一只小船以10/m s 的速度由南向北匀速驶过湖面，在离湖面高20米的桥上，一辆汽车由西向东以20/m s 的速度前进（如图），现在小船在水平面上的P 点以南的40米处，汽车在桥上Q 点以西的30米处（其中PQ ⊥水平面），请画出合适的空间图形并求小船与汽车间的最短距离．（不考虑汽车与小船本身的大小）．18．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，且侧棱垂直于底面，由B 沿棱柱侧面经过棱1CC 到点1A 的最短路线长为设这条最短路线与1CC 的交点为D ．（1）求三棱柱111ABC A B C -的体积； （2）证明：平面1A BD ⊥平面11A ABB ．19．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()2f x x =．（1）求()f x 的函数解析式；（2）若对任意的[]1,2x a a ∈-+，不等式()()3f x f x a ≤+恒成立，求实数a 的取值范围．20．如图（甲），在直角梯形ABED 中，//AB DE ，AB BE ⊥，AB CD ⊥，且BC CD =，2AB =，F 、H 、G 分别为AC 、AD 、DE 的中点，现将ACD ∆沿CD 折起，使平面ACD ⊥平面CBED ，如图（乙）．（1）求证：平面//FHG 平面ABE ； （2）若43BC =，求二面角D AB C --的余弦值． 21．已知函数()()1log ,log 1aa f x g x x x ==-（0a >，且1a ≠）． （1）当2a =时，设集合(){}|0A x f x =≥，求集合A ；（2）在（1）的条件下，若()()(){}2B x g x b g bx g =++，且满足A B ⊆，求实数b 的取值范围；（3）若对任意的[]13,5x ∈，存在[]2,1x a a ∈+，使不等式()()12f x g x >恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案1．D 【解析】 【分析】由题意可得直线的斜率和截距，由斜截式可得答案． 【详解】解：∵直线的倾斜角为45°，∴直线的斜率为k ＝tan45°＝1， 由斜截式可得方程为：y ＝x +2， 故选：D ． 【点睛】本题考查直线的斜截式方程，属基础题． 2．B 【解析】试题分析：由斜二测画法的步骤可知平行四边形的直观图一定是平行四边形，故选B 考点：本题考查了斜二测画法的概念运用点评：掌握斜二测画法的步骤是解决此类问题的关键 3．C 【解析】对于A 、B 、D 均可能出现//l β，而对于C 是正确的． 4．A 【解析】因为21log 321((1))(log )(0)2123163f f f f -+=++=++= ，故选A.5．D 【详解】由三视图可知该几何体的直观图是轴截面在水平面上的半个圆锥，表面积为211142268222πππ⋅⋅+⋅⋅=,故选D ． 6．B 【分析】由条件可得1xy e=，显然定义域为R ，且过点()01，，当0x >时，1xy e=是减函数，即可选出答案 【详解】若变量x y ，满足10x lny -=，则1x y e=，显然定义域为R ，且过点()01，，故排除C D ， 再根据当0x >时，1xy e=是减函数，排除A故选B 【点睛】本题主要考查的是指数式与对数式的互化，指数函数的图象和性质的综合运用，以及函数的定义域，值域，单调性，函数恒过定点问题，属于基础题． 7．C 【解析】因为正视图，侧视图和俯视图都是边长为1的正方形，将三棱锥A BCD -按如图所示放在正方体中，则其外接球的直径等于正方体的对角线长，因为正方体的棱长为1，所以表面积243S ππ==⎝⎭故选C 8．A 【详解】解：设x 1＞x 2＞0，则12x x ＞1，∵当x ＞1时恒有f （x ）＜2，∴f （12x x ）＜2，∵任意正实数a ，b 都有f （ab ）＝f （a ）+f （b ）﹣2， ∴f （x 1）﹣f （x 2）＝f （12x x •x 2）﹣f （x 2）＝f （12x x ）﹣2＜0， 即f （x 1）＜f （x 2）∴f （x ）在（0，+∞）上是减函数． 故选A ．点睛：抽象函数的单调性问题，一般要结合所给出抽象函数的性质，构造221211,x x x x x x x =+∆=⋅等形式，结合所给性质计算21()()f x f x -，然后判断其符号，从而得到函数的单调性. 9．C 【分析】先记正方形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，根据折起后的图形，得到当DO ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -的体积最大，从而推出DBO ∠为直线BD 和平面ABC 所成的角，根据题中条件，即可求出线面角. 【详解】记正方形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ， 将正方形ABCD 沿对角线AC 折起后，如图， 当DO ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -的体积最大.DBO ∴∠为直线BD 和平面ABC 所成的角，∵因为正方体对角线相互垂直且平分， 所以在Rt DOB 中，OD OB =，∴直线BD 和平面ABC 所成的角大小为45°. 故选：C. 【点睛】本题主要考查求线面角，以及三棱锥体积最大的问题，熟记线面角的概念，以及三棱锥的结构特征即可，属于常考题型. 10．B 【解析】试题分析：由题意知，MN ⊥平面BB 1D 1D ，则MN 在底面ABCD 上的射影是与对角线AC 平行的直线，故当动点P 在对角线BD 1上从点B 向D 1运动时，x 变大y 变大，直到P 为BD 1的中点时，y 最大为AC ．然后x 变小y 变小，直到y 变为0，因底面ABCD 为正方形，故变化速度是均匀的，且两边一样．故答案为B ． 考点：函数的图像与图像项变化．点评：本题考查了函数图象的变化，根据几何体的特征和条件进行分析两个变量的变化情况，再用图象表示出来，考查了作图和读图能力．属于中档题． 11．C 【解析】因为函数()()20f x ax bx c a =++≠的图象和直线y x =无交点，所以()(0)f x x a >>或()(0)f x x a << 恒成立.因为[()]()f f x f x x >>或[()]()f f x f x x <<恒成立，故()f f x x ⎡⎤=⎣⎦一定没有实数根；故①正确；若0a < 则不等式()f f x x ⎡⎤<⎣⎦对一切实数都成立，所以不存在0x ，使()()00f f x x >；故②错误；若0a b c ++=，则(1)01f =< ，可得0a < ，因此不等式()f f x x ⎡⎤<⎣⎦对一切实数都成立；故③正确；易知函数()()g x f x =- ，与()f x 的图象关于y 轴对称，所以()g x 和直线y x =- 也一定没有交点，故④正确；综上知选C. 12．D连接11,B G B F ，由长方体的结构特征易得11//B G A E ，从而1B GF ∠是异面直线1A E 与GF 所成角，然后在1B GF 中求解. 【详解】 如图所示：连接11,B G B F ，由长方体的结构特征得11//B G A E ， 所以1B GF ∠是异面直线1A E 与GF 所成角， 因为12AA AB ==，1AD =，所以11BG B F GF == 即22211B G GF B F +=，所以190B GF ∠=，故异面直线1A E 与GF 所成角90 故选：D 【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 13．()7,3直线():1740l m x y m +---=即()707407,340x m x x y x y x y -=⎧-+--=∴∴==⎨--=⎩故点P 的坐标为()7,3 14．()(),00,1-∞【解析】 若0a = 则方程()()0f f x =有无数个实根，不满足条件，若0a ≠，若()()0f f x =，则()1f x =，0x时，1()1f x=， 关于x 的方程()()0f f x =有且只有一个实数根，故当0x ≤时， ·1xa e =无解，即1x e a =在0x ≤ 时无解，故10a <或11a>，故(,0)(0,1)a ∈-∞⋃.15．()1,1- 【解析】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，22()()f x f x x a a =--=-++，所以函数的最大零点为22a ，最小零点为 22a -，函数(4)y f x =+的最大零点为224a - ，若()f x 为R 上的“4阶增函数”，即(4)y f x =+的图象在函数()y f x =的图象的上方，即有22242a a -<-，所以a 的取值范围为(1,1)-.16．（1）32a =；（2． 【分析】（1）由垂直可得两直线系数关系，即可得关于实数a 的方程.（2）由平行可得两直线系数关系，即可得关于实数a 的方程，进而可求出两直线的方程，结合直线的距离公式即可求出直线1l 与2l 之间的距离. 【详解】（1）由12l l ⊥知3(2)0a a +-=，解得32a =．（2）当12l l //时，有(2)303(2)0a a a a --=⎧⎨--≠⎩，解得3a =．此时12:3310,:30l x y l x y ++=++=，即233:90x y l ++=，则直线1l 与2l 之间的距离3d ==． 【点睛】本题考查了由两直线平行求参数，考查了由两直线垂直求参数的值，属于基础题. 17．2t =时AB 最短，最短距离为30m ． 【解析】试题分析：设经过时间t 汽车在A 点，船在B 点（如图），则3020AQ t =-，4010BP t =-，20PQ =，且有AQ BP ⊥，PQ AQ ⊥，PQ PB ⊥． 设小船所在平面为,,AQ QP α确定的平面为β，记l αβ⋂=，由//,AQ AQ αβ⊂得//AQ l ．又PQ ⊥水平面，即PQ α⊥．作//AC PQ ，则AC α⊥．连接CB ，则AC CB ⊥．再由AQ BP ⊥，//CP AQ 得CP BP ⊥，利用勾股定理得出222AB AC BC =+()2222100529PQ PB PC t ⎡⎤=++=-+⎣⎦，即可得出AB 最短距离.试题解析：设经过时间t 汽车在A 点，船在B 点（如图），则3020AQ t =-，4010BP t =-，20PQ =， 且有AQ BP ⊥，PQ AQ ⊥，PQ PB ⊥．设小船所在平面为,,AQ QP α确定的平面为β，记l αβ⋂=， 由//,AQ AQ αβ⊂得//AQ l ． 又PQ ⊥水平面，即PQ α⊥．作//AC PQ ，则AC α⊥．连接CB ，则AC CB ⊥． 再由AQ BP ⊥，//CP AQ 得CP BP ⊥，所以222AB AC BC =+ 222PQ PB PC =++ ()()2222040103020t t =+-+-()2100529t ⎡⎤=-+⎣⎦，所以2t =时AB 最短，最短距离为30m ．18．（1）（2）详见解析 【解析】试题分析：（1）由题意求出棱长，再求出三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面面积，再求出高AA 1，即可求出棱柱的体积．（2）连接AD ，B 1D ，平面A 1BD 内的直线OD 垂直平面A 1ABB 1内的两条相交直线A 1B ，AB 1，即可证明平面A 1BD ⊥平面A 1ABB 1． 试题解析：(1)如图，将侧面11BB C C 绕棱1CC 旋转120使其与侧面11AAC C 在同一平面上，点B 运动到点2B 的位置，连接12A B ，则12A B 就是由点B 沿棱柱侧面经过棱1CC 到点1A 的最短路线． 设棱柱的棱长为a ，则21B C AC AA a ===， ∵1//CD AA ，∴D 为1CC 的中点，在12Rt A AB ∆中，由勾股定理得2221212A A AB A B +=，即(2224a a +=解得2a =，∵22ABC S ∆==∴1111ABC A B C ABC V S AA -∆=⋅=（2）设1A B 与1AB 的交点为O ，连结1OD AD B D 、、， ∵11Rt AC D Rt BCD Rt ACD ∆∆∆≌≌，∴11A D BD B D AD ===，∴11,OD A B OD AB ⊥⊥， ∵11A B AB O ⋂=，∴OD ⊥平面11A ABB ．又∵OD ⊂平面1A BD ，∴平面1A BD ⊥平面11A ABB ．19．（1）()22,0,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩；（2）)2,a ⎡∈+∞⎣． 【解析】试题分析：（1）()f x 是定义在R 上的奇函数，所以当0x <时，()()0,x f x f x ->=--，从而可求出函数在0x <时解析式，当0x =时利用 ()()00f f -=-求出即可；（2）分析函数在()0,+∞x a ≤+恒成立，分离参数得)1a x ≥恒成立，再利用)1y x =的增减性即可求出.试题解析：（1）因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以当0x <时，()()20,x f x f x x ->=--=-，又()00f =，所以()f x 的函数解析式为()22,0,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩；（2）当0x >时，()()2,f x x f x =在()0,+∞上是增函数，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，()f x 在R 上是增函数，所以()())()3f x f x a ff x a x a ≤+⇔≤+⇔≤+恒成立，)1a x ≥恒成立，由于函数)1y x =在[]1,2a a -+上单调递增，所以)()12a a ≥+，即2a ≥，即)2,a ⎡∈+∞⎣．20．(1)详见解析(2)6【解析】试题分析：（1）欲证平面FHG ∥平面ABE ，只需证明线面平行，故只需要在平面FHG 中寻找两条相交直线与平面平行；（2）43BC =这时23AC =，从而AB == 过点C 作CM AB ⊥于M ，连结MD ．因为,,CD AC CD BC AC BC C ⊥⊥⋂=，所以CD ⊥面ABC ．因为CM ⊂面ABC ，所以CM CD ⊥,所以AB ⊥面MCD ，因为MD ⊂面MCD ，所以AB MD ⊥，所以CMD ∠是二面角D AB C --的平面角，由AB CM AC BC ⋅=⋅得CM ，得MD 所以在Rt MCD ∆中cos MCCMD MD∠=即可得解. 试题解析：（1）证明：由图（甲）结合已知条件知四边形CBED 为正方形，如图（乙）， ∵F H G 、、分别为AC AD DE 、、的中点，∴//,//FH CD HG AE ． ∵//CD BE ，∴//FH BE ．∵BE ⊂面ABE ，FH ⊄面ABE ．∴//FH 面ABE ． 同理可得//HG 面ABE ，又∵FH HG H ⋂=,∴平面//FHG 平面ABE ． （2）43BC =这时23AC =，从而AB==过点C作CM AB⊥于M，连结MD．∵,,CD AC CD BC AC BC C⊥⊥⋂=，∴CD⊥面ABC．∵CM⊂面ABC，∴CM CD⊥,∴AB⊥面MCD，∵MD⊂面MCD，∴AB MD⊥，∴CMD∠是二面角D AB C--的平面角，由AB CM AC BC⋅=⋅得243AC BCCMAB⨯⋅===，∴MD==，在Rt MCD∆中cosMCCMDMD∠===．点睛：本题考查面面平行的判定定理，考查用定义求二面角，考查了线面垂直的判定定理，注意证明过程的严谨性，计算的准确性，属于中档题.21．（1）{}|12A x x=<≤（2）20,3⎛⎫⎪⎝⎭（3）()0,1．【解析】试题分析：（1）将2a=代入，解对数不等式即可求出；（2）化简不等式，可得()()22log log2x b bx+>，即2x b bx+>，再结合A B⊆，列出不等式组即可求解；（3）原问题等价于当[][]123,5,,1x x a a∈∈+时，()()min minf tg x⎡⎤⎡⎤>⎣⎦⎣⎦，分别根据增减性求出两个函数的最小值即可建立不等式1log log 4a a a >，解不等式即可求出a 的取值范围. 试题解析：（1）由2a =时，由()0f x ≥得21log 01x ≥-，即111x ≥-，解得 12x <≤，所以{}|12A x x =<≤．（2）由()()()2g x b g bx g +>+得()()222log log log 2x b bx +>+，所以()()22log log 2,x b bx A B +>⊆可转化为；2020x b bxx b bx +>⎧⎪+>⎨⎪>⎩在(]1,2x ∈上恒成立，解得实数b 的取值范围为20,3⎛⎫⎪⎝⎭．（3）对任意的[]13,5x ∈，存在[]2,1x a a ∈+，使不等式()()12f x g x >恒成立，等价于[][]123,5,,1x x a a ∈∈+时，()()min min f t g x ⎡⎤⎡⎤>⎣⎦⎣⎦．当1a >时，由复合函数的单调性可知()1log 1af x x =-为[]3,5上的减函数，()log a g x x =为[],1a a +上的增函数，()()minminf tg x ⎡⎤⎡⎤>⎣⎦⎣⎦等价于()()5f g a >，即1log log 4a a a >，解得a ∈∅；当01a <<时，()1log 1a f x x =-为[]3,5上的增函数，()log a g x x =为[],1a a +上的减函数，()()minminf tg x ⎡⎤⎡⎤>⎣⎦⎣⎦等价于()()31f g a >+，即()1log log 12a a a >+，解得01a <<．综上，实数a 的取值范围为()0,1．。

专题07概率1．【吉林省长春市第150中学2017-2018学年高一下学期期末】从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A为“所取的3个球中至多有1个白球”，则与事件A互斥的事件是（）A．所取的3个球中至少有一个白球B．所取的3个球中恰有2个白球1个黑球C．所取的3个球都是黑球D．所取的3个球中恰有1个白球2个黑球2．【北京市房山区2020-2021学年高一上学期期末】某工厂生产了一批节能灯泡，这批产品按质量分为一等品、二等品、不合格品．从这批产品中随机抽取一件进行检测，设“抽到一等品”的概率为0.75，“抽到二等品”的概率为0.2，则“抽到不合格品”的概率为（）A．0.05 B．0.25 C．0.8 D．0.953．【湖南省娄底市2019-2020学年高一下学期期末】从一批产品中取出三件产品，设事件A 为“三件产品全不是次品”，事件B为“三件产品全是次品”，事件C为“三件产品至少有一件是次品”，则下列结论正确的是（）A．B与C互斥B．任何两个均互斥C．A与C互斥D．任何两个均不互斥4．【北京市东城区2019-2020学年度高一下学期期末统一检测】在北京消费季活动中，某商场为促销举行购物抽奖活动，规定购物消费每满200元就可以参加一次抽奖活动，中奖的概率为110.那么以下理解正确的是（）A．某顾客抽奖10次，一定能中奖1次B．某顾客抽奖10次，可能1次也没中奖C．某顾客消费210元，一定不能中奖D．某顾客消费1000元，至少能中奖1次5．【湖南师范大学附属中学2019-2020学年高一下学期期末】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）A．25B．35C．12D．136．【北京八中2018-2019学年度高一第二学期期末】从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）A ．至少有一个黑球与都是黑球B ．至少有一个黑球与至少有一个红球C ．恰好有一个黑球与恰好有两个黑球D ．至少有一个黑球与都是红球7．【山东省威海市2020-2021学年高一上学期期末】从含有3件正品2件次品的5件产品中，任意取出2件产品，则取出的2件产品中至少有一件次品的概率为（）A ．710B ．310C ．15D ．1108．【北京市海淀区2020-2021学年高一上学期期末】从数字2,3,4,6中随机取两个不同的数，分别记为x 和y ，则xy为整数的概率是（） A ．16 B ．14 C ．12 D ．7129．【辽宁省沈阳市郊联体2020-2021学年高一上学期期末】从装有大小和形状完全相同的8个红球和2个白球的口袋内任取两个球，下列各对事件中，互斥而不对立的是（） A ．“至少一个白球”和“都是红球”B ．“至少一个白球”和“至少一个红球”C ．“恰有一个白球”和“恰有一个红球”D ．“恰有一个白球”和“都是红球”10．【甘肃省庆阳市镇原中学第2019-2020学年高一下学期期末】围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是（）A ．17B ．1235C ．1735D ．111．【湖北省荆门市2019-2020学年高一下学期期末】华人数学家张益唐证明了孪生素数（注：素数也叫做质数）猜想的一个弱化形式，孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p 使得2p +是素数，素数对(),2p p +称为孪生素数.从15以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为（）A．115B．15C．13D．1212．【山东省烟台市2019-2020学年高一下学期期末】人的眼皮单双是由遗传自父母的基因决定的，其中显性基因记作B，隐性基因记作b：成对的基因中，只要出现了显性基因，就一定是双眼皮（也就是说，“双眼皮”的充要条件是“基因对是BB，bB或Bb”）.人的卷舌与平舌（指是否能左右卷起来）也是由一对基因对决定的.分别用D，d表示显性基因、隐性基因，基因对中只要出现了显性基因D，就一定是卷舌的.生物学上已经证明：控制不同性状的基因邀传时互不干扰.若有一对夫妻，两人决定眼皮单双和舌头形态的基因都是BdDd，不考虑基因突变，他们的孩子是单眼皮且卷舌的概率为（）A．116B．316C．716D．91613．【广东省佛山市第一中学2019-2020学年高一下学期期末】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽取的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为（）A．35B．310C．15D．11014．【广东省佛山市第一中学2019-2020学年高一下学期期末】甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙获胜的概率为13，则下列说法正确的是（）A．甲获胜的概率是16B．甲不输的概率是12C．乙输的概率是13D．乙不输的概率是1215．【湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年高一下学期期末】数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“垂帘画阁画帘垂，谁系怀思怀系谁？”既可以顺读也可以逆读，数学中有回文数，如343、12521等，两位数的回文数有11、22、33、…、99共9个，则三位数的回文数中为偶数的概率是（）A．19B．29C．39D．4916．【辽宁省沈阳市2020-2021学年高一上学期期末】设,,A B C为三个随机事件，若A与B互斥，B与C对立，且1()4P A=，()23P C=，则()P A B+=_____________．17．【山东省枣庄市2019-2020学年高一（下）期末】在一次全运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛．羽毛球的比赛规则是3局2胜制，假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，利用计算机模拟试验，估计甲获得冠军的概率．为此，用计算机产生1～5之间的随机数，当出现随机数1，2或3时，表示一局比赛甲获胜，其概率为0.6．由于要比赛三局，所以每3个随机数为一组．例如，产生了20组随机数：423 231 423 344 114 453 525 323 152 342345 443 512 541 125 342 334 252 324 254相当于做了20次重复试验，用频率估计甲获得冠军的概率的近似值为_____．18．【福建省三明市2019-2020学年高一（下）期末】已知事件A B ，互相对立，且2P A P B （）＝（），则P （A ）＝_____．19．【陕西省宝鸡市渭滨区2019-2020学年高一下学期期末】甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是16，甲不输的概率是56，则甲赢的概率为______. 20．【重庆市九龙坡区2019-2020学年高一下学期期末】已知一个口袋有3个白球，1个黑球，这些球除颜色外全部相同，现从口袋中随机逐个取出两球，取出的两个球是一黑一白的概率是________.21．【北京市房山区2020-2021学年高一上学期期末】暑假期间，甲外出旅游的概率是14，乙外出旅游的概率是15，假定甲乙两人的行动相互之间没有影响，则暑假期间两人中至少有一人外出旅游的概率是__________.22．【湖南省怀化市2019-2020学年高一下学期期末】甲､乙两人随意入住两间空房，则甲､乙两人各住一间房的概率是_______23．【安徽师范大学附属中学2019-2020学年高一下学期期末】抛掷甲、乙两枚质地均匀且各面分别标有1，2，3，4，5，6的骰子，记正面向上的数字分别为x ，y ，则x y <的概率是__________.24．【延安市实验中学高一下学期期末】采用简单随机抽样从含10个个体的总体中抽取一个容量为4的样本,若个体a 前两次未被抽到,则第三次被抽到的概率为_____.25．【山西省朔州市怀仁一中2018-2019学年高一上学期期末】口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件A =“取出的两球同色”，B =“取出的2球中至少有一个黄球”，C =“取出的2球至少有一个白球”，D “取出的两球不同色”，E =“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为________.①A 与D 为对立事件；②B 与C 是互斥事件；③C 与E 是对立事件：④()1P C E =；⑤()()P B P C =.26．【安徽省淮北市树人高级中学2020-2021学年高一上学期期末】甲､乙两人独立破译一个密码，他们译出的概率分别为13和1.4求：（1）两人都译出的概率；（2）两人中至少一人译出的概率；（3）至多有一人译出的概率.27．【辽宁省营口市2020-2021学年高一上学期期末】甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译密码的概率为0.7，乙破译密码的概率为0.6.记事件A：甲破译密码，事件B：乙破译密码. （1）求甲、乙二人都破译密码的概率；（2）求恰有一人破译密码的概率.28．【安徽省蚌埠市2020-2021学年高一上学期期末】袋中装有6个形状、大小完全相同的球，其中黑球2个、白球2个、红球2个，规定取出一个黑球记0分，取出一个白球记1分，取出一个红球记2分，抽取这些球的时候，谁也无法看到球的颜色，首先由甲取出3个球，并不再将它们放回原袋中，然后由乙取出剩余的3个球，规定取出球的总积分多者获胜.（1）求甲、乙成平局的概率；（2）从概率的角度分析先后取球的顺序是否影响比赛的公平性.29．【北京市东城区2019-2020学年度高一下学期期末统一检测】某医院首批援鄂人员中有2名医生，3名护士和1名管理人员.采用抽签的方式，从这六名援鄂人员中随机选取两人在总结表彰大会上发言.（Ⅰ）写出发言人员所有可能的结果构成的样本空间；（Ⅱ）求选中1名医生和1名护士发言的概率；（Ⅲ）求至少选中1名护士发言的概率.30．【山东省滕州一中2019-2020学年高一下学期期末】若5张奖券中有2张是中奖的，先由甲抽1张，然后由乙抽1张，求：（1）甲中奖的概率()P A；（2）甲､乙都中奖的概率()P B；（3）只有乙中奖的概率(C)P.。

大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）数学命题人：高三数学备课组 审题人：高三数学备课组时量：120分钟 满分：150分一､选选选：本选共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1. 已知{}()260,{lg 10}Axx x B x x =+−≤=−<∣∣，则A B = （ ）A. {}32xx −≤≤∣ B. {32}x x −≤<∣ C. {12}x x <≤∣D. {12}x x <<∣2. 若复数z 满足()1i 3i z +=−+（i 是虚数单位），则z 等于（ ）A.B.54C.D.3. 已知平面向量()()5,0,2,1ab ==−，则向量a b +在向量b上投影向量为（ ）A. ()6,3−B. ()4,2−C. ()2,1−D. ()5,04. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（ ） A. 21B. 19C. 12D. 425. 某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若()2,X Nµσ∼，记()()p k P k X k µσµσ=−≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A 136人 B. 272人C. 328人D. 820人6. 已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ∈−=⋅=，则αβ+=（ ） A.π6 B.π4C.π3D.2π37. 已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b−=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条的.渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A.B.C. (D. (8. 已知函数()220log 0x a x f x x x ⋅≤= > ，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()0,1B. ()(),00,1−∞∪C. [)1,+∞D. ()()0,11,+∞二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 如图，在正方体111ABCD A B C D −中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（ ）A. E F M P ，，，四点共面B. 平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C. //EF 平面PMND. 平面MEF ⊥平面PMN10. 已知函数()5π24f x x=+，则（ ）A. ()f x 的一个对称中心为3π,08B. ()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象 C. ()f x 在区间5π7π,88上单调递增 D. 若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m∈11. 已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++−=，则（ ）A. ()f x 的图象关于点()2,1对称B. ()f x 是以8为周期的周期函数C. ()20240g =D.20241(42)2025k f k =−=∑ 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 6(31)x y +−的展开式中2x y 的系数为______．13. 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x ′−>，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.14. 已知点C 为扇形AOB 弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λµλµ=+∈，则λµ+的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=． （1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB =，求CD 的长．16. 已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点． （1）求a 的值； （2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x −≥，求k 的取值范围． 17. 已知四棱锥P ABCD −中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥==为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．的（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD18. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C ypx p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r −+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ 长度的最小值； （2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.19. 龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况． 日期t 12345678910销售量千张 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 2.59 2.68 2.76 2.7 04经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t ======∑∑∑ （1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ； （3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()N n P n ∗∈.①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε−<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．..参考公式： ()()()1122211ˆˆ,n ni ii ii i n n i i i i x x y y x y nx yay bx x xx nx====−−−==−−−∑∑∑∑.大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）数学命题人：高三数学备课组 审题人：高三数学备课组时量：120分钟 满分：150分一､选选选：本选共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1. 已知{}()260,{lg 10}Axx x B x x =+−≤=−<∣∣，则A B = （ ）A. {}32xx −≤≤∣ B. {32}x x −≤<∣ C. {12}x x <≤∣ D. {12}x x <<∣【答案】D 【解析】【分析】通过解一元二次不等式和对数函数的定义域，求出集合,A B ，再求交集． 【详解】集合{}()32,{lg 10}{12}A x x B x x x x =−≤≤=−<=<<∣∣∣，则{12}A B xx ∩=<<∣， 故选：D ．2. 若复数z 满足()1i 3i z +=−+（i 是虚数单位），则z 等于（ ）A.B.54C.D.【答案】C 【解析】【分析】由复数的除法运算计算可得12i z =−+，再由模长公式即可得出结果. 【详解】依题意()1i 3i z +=−+可得()()()()3i 1i 3i 24i12i 1i 1i 1i 2z −+−−+−+====−+++−，所以z =. 故选：C3. 已知平面向量()()5,0,2,1a b ==−，则向量a b +在向量b上的投影向量为（ ）A. ()6,3−B. ()4,2−C. ()2,1−D. ()5,0【答案】A 【解析】【分析】根据投影向量的计算公式即可求解.【详解】()()7,1,15,a b a b b b +=−+⋅==所以向量a b +在向量b 上的投影向量为()()236,3||a b b b bb +⋅==− .故选：A4. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（ ） A. 21 B. 19C. 12D. 42【答案】A 【解析】【分析】根据等差数列的性质，即可求解公差和首项，进而由求和公式求解.【详解】{}n a 是等差数列，396214a a a ∴+==，即67a =，所以67769,a a a a == 故公差76162,53d a a a a d =−=∴=−=−，()767732212S ×∴=×−+×=， 故选：A5. 某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若()2,X Nµσ∼，记()()p k P k X k µσµσ=−≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A. 136人B. 272人C. 328人D. 820人【答案】B 【解析】【分析】首先求出平均数，即可得到学生的数学成绩2~(73.5,22)X N ，再根据所给条件求出(5790)P X ≤≤，即可求出(90)P X ≥，即可估计人数．【详解】由题得0.4915073.5,22µσ=×==，()()(),0.750.547p k P k X k p µσµσ=−≤≤+≈ ，()5790P X ∴≤≤ ()0.750.547p ≈，()()900.510.5470.2265P X ≥×−，∴该校及格人数为0.22651200272×≈（人），故选：B ． 6. 已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ∈−=⋅=，则αβ+=（ ） A.π6 B.π4C.π3D.2π3【答案】D 【解析】【分析】利用两角差的余弦定理和同角三角函数的基本关系建立等式求解，再由两角和的余弦公式求解即可．【详解】由已知可得5cos cos sin sin 6sin sin 4cos cos αβαβαβαβ⋅+⋅=⋅ =⋅ ， 解得1cos cos 62sin sin 3αβαβ⋅=⋅=，，()1cos cos cos sin sin 2αβαβαβ∴+=⋅−⋅=−，π,0,2αβ∈，()0,παβ∴+∈， 2π,3αβ∴+=，故选：D ．7. 已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b−=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A.B.C. (D. (【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线以及圆的方程可求得弦长AB =，再根据不等式123AB F F >整理可得2259c a <，即可求得双曲线的离心率的取值范围.【详解】设以()2,0F c 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线0bx ay −=交于,A B 两点， 则2F 到渐近线0bx ay −=的距离d b，所以AB =， 因为123AB F F >，所以32c ×>，可得2222299a b c a b −>=+， 即22224555a b c a >=−，可得2259c a <，所以2295c a <，所以e <，又1e >，所以双曲线的离心率的取值范围是 .故选：B8. 已知函数()220log 0x a x f x x x ⋅≤= > ，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()0,1 B. ()(),00,1−∞∪C. [)1,+∞D. ()()0,11,+∞【答案】C 【解析】【分析】利用换元法设()u f x =，则方程等价为()0f u =，根据指数函数和对数函数图象和性质求出1u =，利用数形结合进行求解即可． 【详解】令()u f x =，则()0f u =．�当0a =时，若()0,0u f u ≤=；若0u >，由()2log 0f u u==，得1u =． 所以由()()0ff x =可得()0f x ≤或()1f x =．如图所示，满足()0f x ≤的x 有无数个，方程()1f x =只有一个解，不满足题意；�当0a ≠时，若0≤u ，则()20uf u a =⋅≠；若0u >，由()2log 0f u u==，得1u =． 所以由()()0ff x =可得()1f x =，当0x >时，由()2log 1f x x==，可得2x =， 因为关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则方程()1f x =在(,0∞−]上有且仅有一个实数根，若0a >且()(]0,20,xx f x a a ≤=⋅∈，故1a ≥； 若0a <且()0,20xx f x a ≤=⋅<，不满足题意．综上所述，实数a 的取值范围是[)1,+∞， 故选：C ．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 如图，在正方体111ABCD A B C D −中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（ ）A. E F M P ，，，四点共面B. 平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C. //EF 平面PMND. 平面MEF ⊥平面PMN【答案】BD 【解析】【分析】可得过,,E F M 三点的平面为一个正六边形，判断A ；分别连接,E F 和1,B C ，截面1C BEF 是等腰梯形，判断B ；分别取11,BB CC 的中点,G Q ，易证EF 显然不平行平面QGMN ，可判断C ；EM ⊥平面PMN ，可判断D.【详解】对于A ：如图经过,,E F M 三点的平面为一个正六边形EFMHQK ，点P 在平面外，,,,E F M P ∴四点不共面，∴选项A 错误；对于B ：分别连接,E F 和1,B C ，则平面PEF 即平面1C BEF ，截面1C BEF 是等腰梯形，∴选项B 正确；对于C ：分别取11,BB CC 的中点,G Q ，则平面PMN 即为平面QGMN ， 由正六边形EFMHQK ，可知HQ EF ，所以MQ 不平行于EF ，又,EF MQ ⊂平面EFMHQK ，所以EF MQ W = ，所以EF I 平面QGMN W =， 所以EF 不平行于平面PMN ，故选项C 错误；对于D ：因为,AEM BMG 是等腰三角形，45AME BMG ∴∠=∠=°， 90EMG ∴∠=°，EMMG ∴⊥，,M N 是,AB CD 的中点，易证MN AD ∥，由正方体可得AD ⊥平面11ABB A ，MN ∴⊥平面11ABB A ，又ME ⊂平面11ABB A ，EM MN ∴⊥，,MG MN ⊂ 平面PMN ，EM ∴⊥平面GMN ，EM ⊂ 平面MEF ，∴平面MEF ⊥平面,PMN 故选项D 正确．���BD ．10. 已知函数()5π24f x x=+，则（ ）A. ()f x 的一个对称中心为3π,08B. ()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象 C. ()f x 在区间5π7π,88上单调递增 D. 若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m∈【答案】BD 【解析】【分析】代入即可验证A ，根据平移可得函数图象，即可由正弦型函数的奇偶性求解B ，利用整体法即可判断C ，由5πcos 24x+求解所以根，即可求解D.【详解】对于A ，由35π3π2π0848f =+×=≠，故A 错误；对于B ，()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得： 3π3π5ππ228842y f x x x x=−−++，为奇函数，故B 正确； 对于C ，当5π7π,88x∈时，则5π5π2,3π42x +∈ ，由余弦函数单调性知，()f x 在区间5π7π,88 上单调递减，故C 错误；对于D ，由()1f x =，得5πcos 24x+ππ4x k =+或ππ,2k k +∈Z ， ()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，其横坐标从小到大依次为：ππ5π3π9π5π,,,,,424242， 而第7个交点的横坐标为13π4， 5π13π24m ∴<≤，故D 正确. 故选：BD11. 已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++−=，则（ ）A. ()f x 的图象关于点()2,1对称B. ()f x 是以8为周期的周期函数C. ()20240g =D.20241(42)2025k f k =−=∑ 【答案】ABC 【解析】【分析】根据函数奇偶性以及所满足的表达式构造方程组可得()()222f x f x ++−=，即可判断A 正确；利用对称中心表达式进行化简计算可得B 正确，可判断()g x 也是以8为周期的周期函数，即C 正确；根据周期性以及()()42f x f x ++=计算可得20241(42)2024k f k =−=∑，可得D 错误. 【详解】由题意()()()(),f x f x g x g x −=−=−，且()()()00,21g f x g x =++−=， 即()()21f x g x +−=①， 用x −替换()()21f x g x ++−=中的x ，得()()21f x g x −+=②， 由①+②得()()222f x f x ++−=， 所以()f x 的图象关于点(2,1)对称，且()21f =，故A 正确；由()()222f x f x ++−=，可得()()()()()42,422f x f x f x f x f x ++−=+=−−=−， 所以()()()()82422f x f x f x f x +=−+=−−= ， 所以()f x 是以8为周期的周期函数，故B 正确； 由①知()()21g x f x =+−，则()()()()882121g x f x f x g x +=++−=+−=，故()()8g x g x +=，因此()g x 也是以8为周期的周期函数， 所以()()202400g g ==，C 正确；又因为()()42f x f x ++−=，所以()()42f x f x ++=， 令2x =，则有()()262f f +=，令10x =，则有()()10142,f f +=…， 令8090x =，则有()()809080942f f +=， 所以1012(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2222024f f f f f f ++++++=+++=个所以20241(42)(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2024k f k f f f f f f =−=++++++=∑ ，故D 错误.故选：ABC【点睛】方法点睛：求解函数奇偶性、对称性、周期性等函数性质综合问题时，经常利用其中两个性质推得第三个性质特征，再进行相关计算.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 6(31)x y +−的展开式中2x y 的系数为______． 【答案】180− 【解析】【分析】根据题意，由条件可得展开式中2x y 的系数为213643C C (1)⋅−，化简即可得到结果． 【详解】在6(31)x y +−的展开式中， 由()2213264C C 3(1)180x y x y ⋅⋅−=−，得2x y 的系数为180−. 故答案为：180−．13. 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x ′−>，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.【答案】()()1,01,−∪+∞ 【解析】【分析】根据函数奇偶性并求导可得()()f x f x ′′−=，因此可得()()2f x f x ′>，可构造函数()()2xf x h x =e并求得其单调性即可得()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，即可得出结论. 【详解】因为()f x 为奇函数，定义域为R ，所以()()f x f x −=−，两边同时求导可得()()f x f x ′′−−=−，即()()f x f x ′′−=且()00f =，又因为当0x >时，()()2f x f x ′−>，所以()()2f x f x ′>. 构造函数()()2xf x h x =e，则()()()22x f x f x h x ′−′=e ， 所以当0x >时，()()0,h x h x ′>在()0,∞+上单调递增，又因为()10f =，所以()()10,h h x =在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零， 又因为2e 0x >，所以()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零， 因为()f x 为奇函数，所以()f x 在(),1∞−−上小于零，在()1,0−上大于零， 综上所述，()0f x >的解集为()()1,01,−∪+∞. 故答案为：()()1,01,−∪+∞14. 已知点C 为扇形AOB 的弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λµλµ=+∈，则λµ+的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】建系设点的坐标，再结合向量关系表示λµ+，最后应用三角恒等变换及三角函数值域求范围即可. 【详解】方法一：设圆O 的半径为1，由已知可设OB 为x 轴的正半轴，O 为坐标原点，过O 点作x 轴垂线为y 轴建立直角坐标系，其中()()1,1,0,cos ,sin 2A B C θθ ，其中π,0,3BOC θθ ∠=∈ ， 由(),R OC OA OB λµλµ=+∈，即()()1cos ,sin 1,02θθλµ =+，整理得1cos sin 2λµθθ+=，解得cos λµθ=，则ππcos cos ,0,33λµθθθθθ+=++=+∈，ππ2ππ,,sin 3333θθ+∈+∈所以λµ +∈ . 方法二：设k λµ+=，如图，当C 位于点A 或点B 时，,,A B C 三点共线，所以1k λµ=+=； 当点C 运动到AB的中点时，k λµ=+，所以λµ +∈故答案为：四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=． （1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB =，求CD 的长．【答案】（1）2π3C = （2）3CD = 【解析】【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦定理整理得到()2cos 1sin 0C B +=，再利用三角形的内角及正弦函数的性质即可求解；（2）利用正弦定理得出3b a =，再由余弦定理求出4a =，12b =，再根据三角形的面积建立等式求解． 【小问1详解】 由22cos a b c B +=，根据正弦定理可得2sin sin 2sin cos A B C B +=，则()2sin sin 2sin cos B C B C B ++=，所以2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C B C B C B ++=，整理得()2cos 1sin 0C B +=， 因为,B C 均为三角形内角，所以(),0,π,sin 0B C B ∈≠， 因此1cos 2C =−，所以2π3C =． 【小问2详解】因为CD 是角C的平分线，AD DB=所以在ACD 和BCD △中，由正弦定理可得，,ππsin sin sin sin 33AD CD BD CDA B ==， 因此sin 3sin BADA BD==，即sin 3sin B A =，所以3b a =， 又由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+−，即222293a a a =++， 解得4a =，所以12b =．又ABCACD BCD S S S =+△△△，即111sin sin sin 222ab ACB b CD ACD a CD BCD ∠∠∠=⋅⋅+⋅⋅， 即4816CD =，所以3CD =． 16. 已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点． （1）求a 的值； （2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x −≥，求k 的取值范围． 【答案】（1）1a = （2）(]()10,−∞−+∞ , 【解析】【分析】（1）直接根据极值点求出a 的值；（2）先由（1）求出()f x 的最小值，由题意可得是求()g x 的最小值，小于等于()f x 的最小值，对()g x 求导，判断由最小值时的k 的范围，再求出最小值与()f x 最小值的关系式，进而求出k 的范围． 【小问1详解】()()111ln ln 1a a f x ax x x x a x xα−−==′+⋅+，由1111ln 10e e e a f a −=+=′，得1a =， 当1a =时，()ln 1f x x =′+，函数()f x 在10,e上单调递减，在1,e∞ +上单调递增， 所以1ex =为函数()ln af x x x =的极小值点， 所以1a =． 【小问2详解】由（1）知min 11()e ef x f ==−． 函数()g x 的导函数()()1e xg x k x −=−′ �若0k >，对()1210,,x x k ∞∀∈+∃=−，使得()()12111e 1e k g x g f x k=−=−<−<−≤，即()()120f x g x −≥，符合题意． �若()0,0kg x =，取11ex =，对2x ∀∈R ，有()()120f x g x −<，不符合题意．�若0k <，当1x <时，()()0,g x g x ′<在(),1∞−上单调递减；当1x >时，()()0,g x g x ′>在(1,+∞)上单调递增，所以()min ()1ekg x g ==， 若对()120,,x x ∞∀∈+∃∈R ，使得()()120f x g x −≥，只需min min ()()g x f x ≤， 即1e ek ≤−，解得1k ≤−． 综上所述，k 的取值范围为(](),10,∞∞−−∪+．17. 已知四棱锥P ABCD −中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD ∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥==为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD【答案】（1）证明见解析 （2）F 位于棱PC 靠近P 的三等分点 【解析】【分析】（1）连接,,PE EC EC 交BD 于点G ，利用面面垂直的性质定理和三角形全等，即可得证； （2）取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立，利用线面角公式代入即可求解．小问1详解】如图，连接,,PE EC EC 交BD 于点G ．因为E 为AB 的中点，PA PB =，所以PE AB ⊥．因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面,ABCD AB PE =⊂平面PAB ， 所以PE ⊥平面ABCD ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以PE BD ⊥．因为ABD BCE ≅ ，所以CEB BDA ∠∠=，所以90CEB ABD ∠∠+= ， 所以BD EC ⊥，因为,,PE EC E PE EC ∩=⊂平面PEC ， 所以BD ⊥平面PEC ．因为EF ⊂平面PEC ，所以BD EF ⊥． 【小问2详解】如图，取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，【设2AB =，则2,1,BC AD PA PB ====则()()()()0,0,1,1,2,0,1,1,0,0,0,0P C D E −，设(),,,(01)F x y z PF PC λλ=<<， 所以()(),,11,2,1x y z λ−=−，所以,2,1x y z λλλ===−，即(),2,1F λλλ−．则()()()2,1,0,1,2,1,,2,1DC PC EF λλλ==−=−，设平面PCD 的法向量为(),,m a b c =，则00DC m PC m ⋅=⋅=，，即2020a b a b c += +−= ，，取()1,2,3m =−− ， 设EF 与平面PCD 所成的角为θ，由cos θ=sin θ=．所以sin cos ,m EF m EF m EF θ⋅===整理得2620λλ−=，因为01λ<<，所以13λ=，即13PF PC = ，故当F 位于棱PC 靠近P 的三等分点时，EF 与平面PCD18. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C ypx p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r −+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ 长度的最小值；（2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.【答案】（1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆的短轴可得抛物线方程2y x =，进而根据两点斜率公式，结合三角形的三边关系，即可由二次函数的性质求解，（2）根据两点坐标可得直线,MN DM 的直线方程，由直线与圆相切可得,a b 是方程()()()2222124240r x r x r −+−+−=的两个解，即可利用韦达定理代入化简求解定点. 【小问1详解】 由题意得椭圆的方程：221116y x +=，所以短半轴14b = 所以112242p b ==×=，所以抛物线1C 的方程是2y x =. 设点()2,P t t ，则111222PQ PE ≥−=−=≥， 所以当232ι=时，线段PQ . 【小问2详解】()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的点，21t ∴=，且()0,1,1t D >∴设()()22,,,M a a N b b ，则： 直线()222:b a MN y a x a b a −−=−−，即()21y a x a a b −=−+，即()0x a b y ab −++=. 直线()21:111a DM y x a −−=−−，即()10x a y a −++=. 由直线DMr =，即()()()2222124240r a r a r −+−+−=..同理，由直线DN 与圆相切得()()()2222124240r b r b r −+−+−=. 所以,a b 是方程()()()2222124240r x r x r −+−+−=的两个解， 22224224,11r r a b ab r r −−∴+==−− 代入方程()0x a b y ab −++=得()()222440x y r x y +++−−−=， 220,440,x y x y ++= ∴ ++= 解得0,1.x y = =− ∴直线MN 恒过定点()0,1−.【点睛】圆锥曲线中定点问题的两种解法（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.技巧：若直线方程为()00y y k x x −=−,则直线过定点()00,x y ;若直线方程为y kx b =+ (b 为定值),则直线过定点()0,.b 19. 龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况． 日期t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 销售量千张 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 259 2.68 2.76 2.7 0.4经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t ======∑∑∑. （1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；..（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ；（3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()Nn P n ∗∈. ①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε−<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．参考公式： ()()()1122211ˆˆ,n ni ii i i i n n ii i i x x y y x y nx y ay bx x x x nx ====−−−==−−−∑∑∑∑. 【答案】（1）673220710001200y t + （2）433774n n P =+⋅−（3）①最大值为1316，最小值为14；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）计算出新数据的相关数值，代入公式求出 ,ab 的值，进而得到y 关于t 的回归方程； （2）由题意可知1213,(3)44n n n P P P n −−=+≥，其中12113,416P P ==，构造等比数列，再利用等比数列的通项公式求解；（3）①分n 为偶数和n 为奇数两种情况讨论，结合指数函数的单调性求解；②利用数列收敛的定义，准确推理、运算，即可得证． 【小问1详解】 解：剔除第10天的数据，可得2.2100.4 2.49y ×−==新， 12345678959t ++++++++=新， 则9922111119.73100.4114,73,38510285i i i i t y t = =−×==−= ∑∑新新，所以912922119114,7395 2.4673ˆ2859560009i i i i t y t y b t t == − −×× ==−× − ∑∑新新新新新， 可得6732207ˆ 2.4560001200a =−×=，所以6732207ˆ60001200y t +. 【小问2详解】 解：由题意知1213,(3)44n n n P P P n −−=+≥，其中12111313,444416P P ==×+=， 所以11233,(3)44n n n n P P P P n −−−+=+≥，又由2131331141644P P ++×， 所以134n n P P − +是首项为1的常数列，所以131,(2)4n n P P n −+=≥ 所以1434(),(2)747n n P P n −−=−−≥，又因为1414974728P −=−=−， 所以数列47n P − 是首项为928−，公比为34−的等比数列， 故1493()7284n n P −−=−−，所以1934433()()2847774n n n P −=−−+=+−. 【小问3详解】 解：①当n 为偶数时，19344334()()28477747n n n P −=−−+=+⋅>单调递减， 最大值为21316P =； 当n 为奇数时，19344334()()28477747n n n P −=−−+=−⋅<单调递增，最小值为114P =， 综上可得，数列{}n P 的最大值为1316，最小值为14. ②证明：对任意0ε>总存在正整数0347[log ()]13N ε=+，其中 []x 表示取整函数， 当 347[log ()]13n ε>+时，347log ()34333333()()()7747474n n n P εε−=⋅−=⋅<⋅=， 所以数列{}n P 收敛.【点睛】知识方法点拨：与新定义有关的问题的求解策略：1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.方法点拨：与数列有关的问题的求解策略：3、若新定义与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识.。

湖南师大附中2019届高三月考试卷(四)数 学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。

时量120分钟。

满分150分。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝R ，集合M ＝{} |x 2x <1，集合N ＝{} |x log 2x >1，则下列结论中成立的是(C) A ．M ∩N ＝M B ．M ∪N ＝N C ．M ∩()∁U N ＝M D.()∁U M ∩N ＝【解析】由2x <1＝20，得x <0，由log 2x >1＝log 22，∴x >2，∴M ∩()∁U N ＝{}x |x <0∩{}x |x ≤2＝M ，故答案为C.2．已知三条不重合的直线m 、n 、l ，两个不重合的平面α、β，下列四个命题中正确的是(A) A ．若l ⊥α，m ⊥β，且l ∥m ，则α∥β B ．若m ∥n ，n α，则m ∥αC ．若m α，n α，m ∥β，n ∥β，则α∥βD ．若α⊥β，α∩β＝m ，n β，则n ⊥α【解析】∵m 与α的位置关系不确定，∴m ∥α不一定成立，B 不成立；由于m 与n 几何位置关系不确定，∴α∥β的条件不具备，C 不成立；D 也不成立，∴选A.3．已知P (1，3)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1()a >0，b >0的渐近线上，则该双曲线的离心率为(A)A.10 B ．2 C. 5 D. 3【解析】根据点P (1，3)在双曲线的渐近线上，所以双曲线的一条渐近线方程为y ＝3x ，所以有ba ＝3，即b ＝3a ，根据双曲线中a ，b ，c 的关系，可以得c ＝10a ，所以有e ＝10，故选A.4．已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，||φ<π2，x ∈R )在一个周期内的图象如图所示，则y ＝f (x )的解析式是(B)A ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6B ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3【解析】由函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，||φ<π2，x ∈R )在一个周期内的图象可得：A ＝1，14T ＝14·2πω＝π12＋π6，解得ω＝2，再把点⎝⎛⎭⎫π12，1代入函数的解析式可得：1＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋φ，即sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝1.再由||φ<π2可得：φ＝π3，所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.故应选B.5．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为(参考数据：sin 15°＝0.258 8，sin 7.5°＝0.130 5)(C)A ．12B ．16C ．24D ．48【解析】由程序框图可列表如下：n 6 12 24 S332336－32因为36－32≈3.106>3.10，所以输出n 的值为24，故选C.6．已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，通项公式a n ＝log 2n ＋1n ＋2(n ∈N *)，则满足不等式S n <－6的n的最小值是(D)A ．62B ．63C ．126D ．127【解析】因为S n ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫23×34×…×n ＋1n ＋2＝log 2⎝⎛⎭⎫2n ＋2<－6，所以2n ＋2<2－6，n >126，故应选D. 7．设A 、B 、C 为圆O 上三点，且AB ＝3，AC ＝5，则AO →·BC →＝(D) A ．－8 B ．－1 C ．1 D ．8【解析】取BC 的中点D ，连接AD ，OD ，因为O 为三角形ABC 外接圆的圆心，则AD →＝12(AB →＋AC →)，OD →·BC →＝0.所以AO →·BC →＝(AD →＋DO →)·BC →＝AD →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(|AC →|2－|AB →|2)＝8，选D.8．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x )＝f (x ＋2)，数列{}a n 的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n ＋2，则f (a n )＝(A)A ．0B ．0或1C ．－1或0D ．1或－1【解析】∵f (x )＝f (x ＋2)，所以f (x )函数周期为2，∵数列{}a n 满足S n ＝2a n ＋2，∴a 1＝－2，S n －1＝2a n －1＋2，∴a n ＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1，∴{a n }以－2为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝－2n ，∴f (a n )＝f (－2n )＝f ()0＝0，故选A.9．设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎨⎧||lg ||x －2，x ≠2，0，x ＝2，若b <0，则关于x 的方程[f (x )]2＋bf (x )＝0的不同实数根共有(C)A ．4个B ．5个C ．7个D ．8个【解析】由[f (x )]2＋bf (x )＝0，得f (x )＝0或f (x )＝－b .所以方程[f (x )]2＋bf (x )＝0的根的个数转化为函数y ＝f (x )与函数y ＝0，y ＝－b (b <0)的图象的交点个数．因为函数f (x )的图象大致如图所示，数形结合可知，f (x )＝0有3个实数根，f (x )＝－b (b <0)有4个实数根，所以[f (x )]2＋bf (x )＝0共有7个不同的实数根，故答案选C.10．一个圆锥被过顶点的平面截去了较少的一部分几何体，余下的几何体的三视图如下，则余下部分的几何体的体积为(D)A.8π3＋15B.16π3＋ 3C.8π3＋233D.16π9＋233【解析】由已知中的三视图，圆锥母线为l ＝（5）2＋⎝⎛⎭⎫2322＝22，圆锥的高h ＝（5）2－12＝2，圆锥底面半径为r ＝l 2－h 2＝2，截去的底面弧的圆心角为120°，故底面剩余部分为S ＝23πr 2＋12r 2sin 120°＝83π＋3，故几何体的体积为：V ＝13Sh ＝13×⎝⎛⎭⎫83π＋3×2＝169π＋233，故选D. 11．本周星期日下午1点至6点学校图书馆照常开放，甲、乙两人计划前去自习，其中甲连续自习2小时，乙连续自习3小时．假设这两人各自随机到达图书馆，则下午5点钟时甲、乙两人都在图书馆自习的概率是(B)A.19B.16C.13D.12【解析】据题意，甲、乙应分别在下午4点、3点之前到达图书馆，设甲、乙到达图书馆的时间分别为x ，y ，则⎩⎨⎧1≤x ≤4，1≤y ≤3，所对应的矩形区域的面积为6.若下午5钟点时甲、乙两人都在自习，则⎩⎨⎧3≤x ≤4，2≤y ≤3，所对应的正方形区域的面积为1，所以P ＝16，选B.12．设函数d (x )与函数y ＝log 2x 关于直线y ＝x 对称．已知f (x )＝⎩⎨⎧d （x ）－a ，x <1，4（x 2－3ax ＋2a 2），x ≥1，若函数f (x )恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是(A)A.⎣⎡⎭⎫12，1∪[2，＋∞)B.⎣⎡⎭⎫14，1∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞ C.⎣⎡⎭⎫14，＋∞ D.⎝⎛⎦⎤－∞，32 【解析】因为函数d (x )与函数y ＝log 2x 关于直线y ＝x 对称，所以d (x )＝2x ；设g (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1，h (x )＝2x －a ，x <1，因为f (x )恰有2个不同的零点，又因为h (x )至多有一个零点，故：①若g (x )有两个零点，h (x )没有零点，则⎩⎨⎧a ≥1，h （1）＝2－a ≤0，得a ≥2②若g (x )和h (x )各有1个零点，则⎩⎪⎨⎪⎧a <1，2a ≥1且⎩⎨⎧－a <0，h （1）＝2－a >0，得12≤a <1.综上，a ∈⎣⎡⎭⎫12，1∪[2，＋∞)．故答案选A.选择题答题卡题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案CAABCDDACDBA本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．13．已知圆C 1：(x －a )2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x ＋5＝0外切，则a 的值为__0或6__． 【解析】圆C 1：(x －a )2＋y 2＝1的圆心为()a ，0，半径为1，圆C 2：x 2＋y 2－6x ＋5＝0的圆心为()3，0，半径为2，两圆外切，所以||a －3＝3，∴a ＝0，6，故a 的值为0或6.14．如果复数z 满足关系式z ＋||z －＝2＋i ，那么z 等于__34＋i__． 【解析】设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，||z －＝a 2＋b 2，所以a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋i ， 所以得：⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝1，解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34，b ＝1所以z ＝34＋i.15．已知2a ＝5b ＝10，则a ＋bab＝__1__．【解析】由已知，a ＝log 210＝1lg 2，b ＝log 510＝1lg 5.所以a ＋b ab ＝1a ＋1b ＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.16．已知定义在R 上的函数f (x )满足：对任意实数a 、b 都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，且当x ＞0时f (x )＞1.若f (4)＝5，则不等式f (3x 2－x －2)<3的解集为__⎝⎛⎭⎫－1，43__． 【解析】设x 1＞x 2，则x 1－x 2＞0，f (x 1－x 2)＞1.所以f (x 1)－f (x 2)＝f [(x 1－x 2)＋x 2]－f (x 2)＝f (x 1－x 2)－1>0，即f (x 1)＞f (x 2)，所以f (x )是增函数．因为f (4)＝5，即f (2)＋f (2)－1＝5，所以f (2)＝3.所以原不等式化为f (3x 2－x －2)<f (2)3x 2－x －2<23x 2－x －4<0－1<x <43.故不等式的解集是⎝⎛⎭⎫－1，43. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本题满分12分)已知函数f (x )＝a sin x ＋b cos x ，a ≠0，x ∈R ，f (x )的最大值是2，且在x ＝π6处的切线与直线x －y＝0平行．(1)求a 、b 的值；(2)先将f (x )的图象上每点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，再将其向右平移π6个单位得到函数g (x )的图象，已知g ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1013，α∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，求cos 2α的值．【解析】(1)f ′(x )＝a cos x －b sin x ，1分由已知有：⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝2a cos π6－b sin π6＝1，解之得：⎩⎨⎧a ＝3，b ＝1.4分 (2)由(1)有f (x )＝3sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，6分因为将f (x )的图象上每点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，再将其向右平移π6个单位得到函数g (x )的图象，则g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，8分由g ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1013，α∈⎝⎛⎭⎫π6，π2得sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝513，且2α＋π3∈⎝⎛⎭⎫2π3，π，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－1213，10分cos 2α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π3＋sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin π3＝－1213·12＋513·32＝53－1226.12分18．(本题满分12分)如图，已知三棱柱ABC －A ′B ′C ′的侧棱垂直于底面，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点M ，N 分别是A ′B 和B ′C ′的中点。