湖南师范大学附属中学2021届高三第一学期数学月考试卷及答案(三)

2020-2021学年湖南师大附中高三（上）第一次月考数学（理科）试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合A={x|0＜x≤3}，B={x|x2＜4}，则集合A∪B等于（）A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣2，3] C．（0，+∞）D．（﹣∞，3）2．（5分）已知命题p：“∀a＞0，有e a≥1成立”，则￢p为（）A．∃a≤0，有e a≤1成立B．∃a≤0，有e a≥1成立C．∃a＞0，有e a＜1成立D．∃a＞0，有e a≤1成立3．（5分）有一长、宽分别为50m、30m的游泳池，一名工作人员在池边巡视，某时刻出现在池边任一位置的可能性相同．一人在池中心（对角线交点）处呼唤工作人员，其声音可传出，则工作人员能及时听到呼唤（出现在声音可传到区域）的概率是（）A．B．C． D．4．（5分）设抛物线y2=2px的焦点在直线2x+3y﹣8=0上，则该抛物线的准线方程为（）A．x=﹣4 B．x=﹣3 C．x=﹣2 D．x=﹣15．（5分）已知公差不为0的等差数列{a n}满足a1，a3，a4成等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，则的值为（）A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣36．（5分）执行如图所示程序框图所表示的算法，输出的结果是80，则判断框中应填入（）A．n≤8 B．n≥8 C．n≤9 D．n≥97．（5分）函数f（x）=sin2x和函数g（x）的部分图象如图所示，则函数g（x）的解析式可以是（）A．g（x）=sin（2x﹣）B．g（x）=sin（2x+）C．g（x）=cos（2x+）D．g（x）=cos（2x﹣）8．（5分）已知log a＜log b，则下列不等式一定成立的是（）A．ln（a﹣b）＞0 B．C．D．3a﹣b＜19．（5分）如图可能是下列哪个函数的图象（）A．y=2x﹣x2﹣1 B．y=C．y=（x2﹣2x）e x D．y=10．（5分）已知函数，函数﹣2a+2（a＞0），若存在x1、x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是（）A．B． C．D．11．（5分）如图，已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P、Q，若∠PAQ=60°且=3，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个多面体的三视图，若该多面体的所有顶点都在球O表面上，则球O的表面积是（）A．36π B．48π C．56π D．64π二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）求曲线y=，y=x2所围成图形的面积．14．（5分）已知函数f（x）=|log2x|在区间[m﹣2，2m]内有定义且不是单调函数，则m的取值范围为．15．（5分）如图所示，∠xOy=60°，，分别是与x轴、y轴正方向相同的单位向量，若=x+y，记=（x，y），设=（p，q），若的模长为1，则p+q的最大值是．16．（5分）如图，已知ABCD是边长为1的正方形，Q1为CD的中点，P i（i=1，2…，n）为AQ i与BD的交点，过P i作CD的垂线，垂足为Q i+1，则S= ．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知函数f（x）=2sin（x+）cosx．（1）若x∈[0，]，求f（x）的取值范围；（2）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A为锐角，f（A）=，b=2，c=3，求BC边上的中线长．18．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，△ADE，△BCF均为等边三角形，EF∥AB，EF=AD=AB，N为线段PC的中点．（1）求证：AF∥平面BDN；（2）求直线BN与平面ABF所成角的正弦值．19．（12分）某超市为了了解顾客结算时间的信息，安排一名工作人员收集，整理了该超市结算时间的统计结果，如表：结算所需的时间（分） 1 2 3 4 5频率0.1 0.4 0.3 0.1 0.1假设每个顾客结算所需的时间互相独立，且都是整数分钟，从第一个顾客开始办理业务时计时．（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始结算的概率；（2）X表示至第2分钟末已结算完的顾客人数，求X的分布列及数学期望．（注：将频率为概率）20．（12分）如图，设A，B两点的坐标分别为（﹣，0），（，0）．直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积为﹣．（1）求点P的轨迹C的方程；（2）若直线MN与轨迹C相交于M，N两点，且|MN|=2，求坐标原点O到直线MN距离的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=﹣klnx（x≥1）．（1）若f（x）≥0恒成立，求k的取值范围；（2）若取=2.2361，试估计ln的值．（精确到0.001）请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l：ρ=﹣，曲线C：（α为参数）．（Ⅰ）将直线l化成直角方程，将曲线C化成极坐标方程；（Ⅱ）若将直线l向上平移m个单位后与曲线C相切，求m的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣|+|x﹣a|，x∈R．（Ⅰ）求证：当a=﹣时，不等式lnf（x）＞1成立．（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的最大值．2016-2017学年湖南师大附中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）（炎德·英才大考）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2016•禹州市三模）集合A={x|0＜x≤3}，B={x|x2＜4}，则集合A∪B等于（）A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣2，3] C．（0，+∞）D．（﹣∞，3）【分析】求解一元二次不等式化简集合B，然后直接利用并集运算得答案．【解答】解：由x2＜4，解得﹣2＜x＜2．∴B=（﹣2，2），又集合A={x|0＜x≤3}=（0，3]，∴A∪B=（﹣2，3]，故选：B．【点评】本题考查并及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．2．（5分）（2016•抚顺一模）已知命题p：“∀a＞0，有e a≥1成立”，则￢p为（）A．∃a≤0，有e a≤1成立B．∃a≤0，有e a≥1成立C．∃a＞0，有e a＜1成立D．∃a＞0，有e a≤1成立【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．【解答】解：全称命题的否定是特称命题，则￢p：∃a＞0，有e a＜1成立，故选：C．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．3．（5分）（2016•海南校级模拟）有一长、宽分别为50m、30m的游泳池，一名工作人员在池边巡视，某时刻出现在池边任一位置的可能性相同．一人在池中心（对角线交点）处呼唤工作人员，其声音可传出，则工作人员能及时听到呼唤（出现在声音可传到区域）的概率是（）A．B．C． D．【分析】由题意可知所有可能结果用周长160表示，事件发生的结果可用两条线段的长度和60表示，即可求得．【解答】解：所有可能结果用周长160表示，事件发生的结果可用两条线段的长度和60表示，．故答案选：B．【点评】本题考查几何概型，根据题意绘制出图形，利用数形结合，求得结果，属于中档题．4．（5分）（2016•陕西一模）设抛物线y2=2px的焦点在直线2x+3y﹣8=0上，则该抛物线的准线方程为（）A．x=﹣4 B．x=﹣3 C．x=﹣2 D．x=﹣1【分析】求出直线与x轴的交点坐标，即抛物线的焦点坐标，从而得出准线方程．【解答】解：把y=0代入2x+3y﹣8=0得：2x﹣8=0，解得x=4，∴抛物线的焦点坐标为（4，0），∴抛物线的准线方程为x=﹣4．故选：A．【点评】本题考查了抛物线的性质，属于基础题．5．（5分）（2016•高安市校级模拟）已知公差不为0的等差数列{a n}满足a1，a3，a4成等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，则的值为（）A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3【分析】由题意可得：a3=a1+2d，a4=a1+3d．结合a1、a3、a4成等比数列，得到a1=﹣4d，进而根据等差数列的通项公式化简所求的式子即可得出答案．【解答】解：设等差数列的公差为d，首项为a1，所以a3=a1+2d，a4=a1+3d．因为a1、a3、a4成等比数列，所以（a1+2d）2=a1（a1+3d），解得：a1=﹣4d．所以==2，故选：A．【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列与等差数列的性质，利用性质解决问题．6．（5分）（2016秋•岳麓区校级月考）执行如图所示程序框图所表示的算法，输出的结果是80，则判断框中应填入（）A．n≤8 B．n≥8 C．n≤9 D．n≥9【分析】由图知，每次进入循环体后，新的s值是s加上2n+1得到的，故由此运算规律进行计算，经过8次运算后输出的结果即可．【解答】解：由图知s的运算规则是：s=s+（2n+1），故有：第一次进入循环体后s=3，n=2，第二次进入循环体后s=3+5，n=3，第三次进入循环体后s=3+5+7，n=4，第四次进入循环体后s=3+5+7+9，n=5，…第10次进入循环体后s=3+5+7+9+…+17=80，n=9．退出循环．故选：A．【点评】本题考查循环结构，已知运算规则与运算次数，求最后运算结果的一个题，是算法中一种常见的题型，属于基础题．7．（5分）（2016•湖南模拟）函数f（x）=sin2x和函数g（x）的部分图象如图所示，则函数g（x）的解析式可以是（）A．g（x）=sin（2x﹣）B．g（x）=sin（2x+）C．g（x）=cos（2x+）D．g（x）=cos（2x﹣）【分析】由图象可得g（x）的图象经过点（，），逐个选项验证可得．【解答】解：代值计算可得f（）=sin=，由图象可得g（x）的图象经过点（，），代入验证可得选项A，g（）=sin≠，故错误；选项B，g（）=sin≠，故错误；选项D，g（）=cos=﹣cos=≠，故错误；选项C，g（）=cos=cos=，故正确．故选：C．【点评】本题考查三角函数图象和解析式，逐个验证是解决问题的关键，属基础题．8．（5分）（2016•汉中二模）已知log a＜log b，则下列不等式一定成立的是（）A．ln（a﹣b）＞0 B．C．D．3a﹣b＜1【分析】由题意可得a＞b＞0，再利用对数函数、指数函数与幂函数的单调性即可得出答案．【解答】解：∵是定义域上的减函数，且，∴a＞b＞0．当0＜a﹣b＜1时，ln（a﹣b）＜0，当a﹣b≥1时，ln（a﹣b）≥0，∴A错误；∵，∴，B错误；∵是定义域R上的减函数，∴，又∵y=x b在（0，+∞）上是增函数，∴，∴，C正确；∵a﹣b＞0，∴3a﹣b＞1，D错误．故选：C．【点评】本题考查函数的单调性，函数值的比较，属于中档题．9．（5分）（2016•黄山一模）如图可能是下列哪个函数的图象（）A．y=2x﹣x2﹣1 B．y=C．y=（x2﹣2x）e x D．y=【分析】A中y=2x﹣x2﹣1可以看成函数y=2x与y=x2+1的差，分析图象是不满足条件的；B中由y=sinx是周期函数，知函数y=的图象是以x轴为中心的波浪线，是不满足条件的；C中函数y=x2﹣2x与y=e x的积，通过分析图象是满足条件的；D中y=的定义域是（0，1）∪（1，+∞），分析图象是不满足条件的．【解答】解：A中，∵y=2x﹣x2﹣1，当x趋向于﹣∞时，函数y=2x的值趋向于0，y=x2+1的值趋向+∞，∴函数y=2x﹣x2﹣1的值小于0，∴A中的函数不满足条件；B中，∵y=sinx是周期函数，∴函数y=的图象是以x轴为中心的波浪线，∴B中的函数不满足条件；C中，∵函数y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，当x＜0或x＞2时，y＞0，当0＜x＜2时，y＜0；且y=e x＞0恒成立，∴y=（x2﹣2x）e x的图象在x趋向于﹣∞时，y＞0，0＜x＜2时，y＜0，在x趋向于+∞时，y趋向于+∞；∴C中的函数满足条件；D中，y=的定义域是（0，1）∪（1，+∞），且在x∈（0，1）时，lnx＜0，∴y=＜0，∴D中函数不满足条件．故选：C．【点评】本题考查了函数的图象和性质的应用问题，解题时要注意分析每个函数的定义域与函数的图象特征，是综合性题目．10．（5分）（2009•丹东二模）已知函数，函数﹣2a+2（a＞0），若存在x1、x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是（）A．B． C．D．【分析】根据x的范围确定函数f（x）的值域和g（x）的值域，进而根据f（x1）=g（x2）成立，推断出，先看当二者的交集为空集时刻求得a的范围，进而可求得当集合的交集非空时a的范围．【解答】解：当x∈[0，1]时，值域是[0，1]，值域是，∵存在x1、x2∈[0，1]使得f（x1）=g（x2）成立，∴，若，则2﹣2a＞1或2﹣＜0，即，∴a的取值范围是．故选A【点评】本题主要考查了三角函数的最值，函数的值域问题，不等式的应用．解题的关键是通过看两函数值域之间的关系来确定a的范围．11．（5分）（2016•日照二模）如图，已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P、Q，若∠PAQ=60°且=3，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】确定△QAP为等边三角形，设AQ=2R，则OP=R，利用勾股定理，结合余弦定理，即可得出结论．【解答】解：因为∠PAQ=60°且=3，所以△QAP为等边三角形，设AQ=2R，则OP=R，渐近线方程为y=x，A（a，0），取PQ的中点M，则AM=由勾股定理可得（2R）2﹣R2=（）2，所以（ab）2=3R2（a2+b2）①在△OQA中，=，所以7R2=a2②①②结合c2=a2+b2，可得=．故选：B．【点评】本题考查双曲线的性质，考查余弦定理、勾股定理，考查学生的计算能力，属于中档题．12．（5分）（2016•丹东二模）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个多面体的三视图，若该多面体的所有顶点都在球O表面上，则球O的表面积是（）A．36π B．48π C．56π D．64π【分析】根据三视图知几何体是三棱锥为棱长为4的正方体一部分，画出直观图，由正方体的性质求出球心O到平面ABC的距离d、边AB和AC的值，在△ABC中，由余弦定理求出cos∠ACB后，求出∠ACB和sin ∠ACB，由正弦定理求出△ABC的外接圆的半径r，由勾股定理求出球O的半径，由球的表面积公式求解．【解答】解：根据三视图知几何体是：三棱锥D﹣ABC为棱长为4的正方体一部分，直观图如图所示：∵该多面体的所有顶点都在球O，∴由正方体的性质得，球心O到平面ABC的距离d=2，由正方体的性质可得，AB=BD==，AC=，设△ABC的外接圆的半径为r，在△ABC中，由余弦定理得，cos∠ACB===，∴∠ACB=45°，则sin∠ACB=，由正弦定理可得，2r===2，则r=，即球O的半径R==，∴球O的表面积S=4πR2=56π，故选：C．【点评】本题考查三视图求几何体外接球的表面积，正弦定理、余弦定理，以及正方体的性质，结合三视图和对应的正方体复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）（2014•大庆一模）求曲线y=，y=x2所围成图形的面积．【分析】先由解的x的值，再利用定积分即可求得面积．【解答】解：由，解得x=0，1．∴曲线所围成图形的面积===．故答案是．【点评】利用定积分求图形的面积是通法，一定要熟练掌握其方法步骤．14．（5分）（2016秋•岳麓区校级月考）已知函数f（x）=|log2x|在区间[m﹣2，2m]内有定义且不是单调函数，则m的取值范围为（2，3）．【分析】若函数f（x）=|log2x|在区间[m﹣2，2m]内有定义且不是单调函数，且在区间[m﹣2，2m]上x＞0恒成立，且1∈（m﹣2，2m），解得m的取值范围．【解答】解：若函数f（x）=|log2x|在区间[m﹣2，2m]内有定义且不是单调函数，且在区间[m﹣2，2m]上x＞0恒成立，且1∈（m﹣2，2m），则0＜m﹣2＜1＜2m，解得：m∈（2，3），故答案为：（2，3）．【点评】本题考查的知识点是函数恒成立问题，对数函数的图象和性质，难度中档．15．（5分）（2016秋•岳麓区校级月考）如图所示，∠xOy=60°，，分别是与x轴、y轴正方向相同的单位向量，若=x+y，记=（x，y），设=（p，q），若的模长为1，则p+q的最大值是．【分析】根据=（p，q），的模长为1，进而求出（p+q）2﹣pq=1，再利用ab≤，即可得答案．【解答】解：∵=（p，q），的模长为1，∴||=|p+q|=1，∴1=p2+2pqcos60°+q2=p2+pq+q2．∴（p+q）2﹣pq=1，即（p+q）2=1+pq≤1+，则，故﹣≤p+q≤．∴p+q的最大值是：．故答案为：．【点评】本题主要考查平面向量的坐标表示和运算，属中档题．16．（5分）（2016秋•岳麓区校级月考）如图，已知ABCD是边长为1的正方形，Q1为CD的中点，P i（i=1，2…，n）为AQ i与BD的交点，过P i作CD的垂线，垂足为Q i+1，则S= ．【分析】由题意可知：则A（1，1），Q1（，0），D（1，0），B（0，1），则直线BD：x+y=1，直线AQ：y=2x ﹣1，求得P1（，），则Q2（，0），则直线AQ2：y=3x﹣2，P2（，），则Q3（，0），则P i（，），Q i（，0），根据三角形面积公式，=丨DQ i丨丨P i Q i+1丨=（1﹣）×=（﹣），采用“裂项法”即可求得S的值．【解答】解：如图，以C点为坐标原点，建立平面直角坐标系，由正方形ABCD边长为1，则A（1，1），Q1（，0），D（1，0），B（0，1），则直线BD：x+y=1，直线AQ：y=2x﹣1，联立可得P1（，），则Q2（，0），则直线AQ2：y=3x﹣2，联立直线BD和直线AQ2，可得P2（，），则Q3（，0），…可得P i（，），Q i（，0），则=丨DQ i丨丨P i Q i+1丨=（1﹣）×=（﹣），S=（﹣），=[（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]，=（﹣），=，则S=，【点评】本题考查三角形的面积公式，考查数列的应用，考查利用“裂项法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2016秋•岳麓区校级月考）已知函数f（x）=2sin（x+）cosx．（1）若x∈[0，]，求f（x）的取值范围；（2）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A为锐角，f（A）=，b=2，c=3，求BC边上的中线长．【分析】（1）利用两角和与差的三角函数化简表达式为一个角的一个三角函数的形式，结合x的范围求出相位的范围，即可求出函数的值域．（2）求出A的值，设BC的中点为D，利用，通过平方求出BC边上的中线长．【解答】解：（1）=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]．∴≤sin（2x+）≤1．∴f（x）∈[0，1+]．（2）由，得，又A为锐角，∴．设BC的中点为D，则，∴，∴，∴BC边的中线长为．【点评】本题考查两角和与差的三角函数向量的数量积的应用，三角形的解法，考查计算能力．18．（12分）（2016秋•岳麓区校级月考）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，△ADE，△BCF 均为等边三角形，EF∥AB，EF=AD=AB，N为线段PC的中点．（1）求证：AF∥平面BDN；（2）求直线BN与平面ABF所成角的正弦值．【分析】（1）连结AC交BD于M，连结MN，推导出MN∥AF，由此能证明AF∥平面BDN．（2）取BC的中点P，AD的中点Q，连结PQ，过F作FO⊥PQ交PQ于点O，以O为坐标原点，x轴⊥AB，y 轴⊥BC建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线BN与平面ABF所成角的正弦值．【解答】证明：（1）连结AC交BD于M，连结MN，∵四边形ABCD是矩形，∴M是AC的中点，∵N是CF的中点，∴MN∥AF，又AF⊄平面BDN，MN⊂平面BDN，∴AF∥平面BDN．解：（2）取BC的中点P，AD的中点Q，连结PQ，过F作FO⊥PQ交PQ于点O，∵BC⊥FP，BC⊥PQ，PQ∩FP=P，∴BC⊥面EFPQ，FO⊂面EFPQ，∴BC⊥FO，又FO⊥PQ，PQ∩BC=P，∴FO⊥平面ABCD．如图，以O为坐标原点，x轴⊥AB，y轴⊥BC建立空间直角坐标系，∵△ADE，△FBC为等边三角形，∴梯形EFPQ为等腰梯形，∴，∴，∴．∴．设平面ABF的法向量为，则，∴，令得，∴，∴，∴直线BN与平面ABF所成角的正弦值为．【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19．（12分）（2016秋•岳麓区校级月考）某超市为了了解顾客结算时间的信息，安排一名工作人员收集，整理了该超市结算时间的统计结果，如表：结算所需的时间（分） 1 2 3 4 5频率0.1 0.4 0.3 0.1 0.1假设每个顾客结算所需的时间互相独立，且都是整数分钟，从第一个顾客开始办理业务时计时．（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始结算的概率；（2）X表示至第2分钟末已结算完的顾客人数，求X的分布列及数学期望．（注：将频率为概率）【分析】（1）设Y表示顾客结算所需的时间．用頻率估计概率，求出Y的分布，A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始结算”，则时间A对应三种情形：①第一个顾客结算所需的时间为1分钟，且第二个顾客结算所需的时间为3分钟；②第一个顾客结算所需的时间为3分钟，且第二个顾客结算所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客结算所需的时间均为2分钟．由此能求出结果．（2）X所有可能的取值为：0，1，2．X=0对应第一个顾客结算所需的时间超过为2分钟；X=1对应第一个顾客结算所需的时间为1分钟，且第二个顾客结算所需的时间超过为1分钟，或第一个顾客结算所需的时间为2分钟；X=2对应两个顾客结算所需的时间均为1分钟．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（1）设Y表示顾客结算所需的时间．用頻率估计概率，得Y的分布如下：Y 1 2 3 4 5P 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始结算”，则时间A对应三种情形：①第一个顾客结算所需的时间为1分钟，且第二个顾客结算所需的时间为3分钟；②第一个顾客结算所需的时间为3分钟，且第二个顾客结算所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客结算所需的时间均为2分钟．所以P（A）=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22．（2）X所有可能的取值为：0，1，2．①X=0对应第一个顾客结算所需的时间超过为2分钟，所以P（X=0）=P（Y＞2）=0.5；②X=1对应第一个顾客结算所需的时间为1分钟，且第二个顾客结算所需的时间超过为1分钟，或第一个顾客结算所需的时间为2分钟，所以P（X=1）=0.1×0.9+0.4=0.49；③X=2对应两个顾客结算所需的时间均为1分钟，所以P（X=2）=0.1×0.1=0.01；所以X的分布列为X 0 1 2P 0.5 0.49 0.01EX=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意互斥事件概率加法公式的合理运用．20．（12分）（2016秋•岳麓区校级月考）如图，设A，B两点的坐标分别为（﹣，0），（，0）．直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积为﹣．（1）求点P的轨迹C的方程；（2）若直线MN与轨迹C相交于M，N两点，且|MN|=2，求坐标原点O到直线MN距离的最大值．【分析】（1）设点M的坐标为（x，y），求出斜率，列出方程化简求解即可．（2）①若MN垂直于x轴，此时MN为椭圆的短轴，∴原点到直线MN的距离为0．②若MN与x轴不垂直，设直线MN的方程为y=kx+b，原点O到直线MN的距离为h，由，设M（x1，y1），N（x2，y2），利用韦达定理以及弦长公式，得到k与b的关系，然后求解距离的最大值．【解答】解：（1）设点M的坐标为（x，y），则．由已知有，化简得P的轨迹方程为．（2）①若MN垂直于x轴，此时MN为椭圆的短轴，∴原点到直线MN的距离为0．②若MN与x轴不垂直，设直线MN的方程为y=kx+b，原点O到直线MN的距离为h，由得：（1+2k2）x2+4kbx+2b2﹣2=0，∵△=16k2b2﹣8（1+2k2）（b2﹣1）＞0，∴b2＜2k2+1，…（*）设M（x1，y1），N（x2，y2），则．∵，∴，整理得，∵1+k2≥1，∴，即0＜2（1﹣b2）≤1，即，满足（*）式，∴，∴当时，h2取得最大值为，即h的最大值为．【点评】本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，最值的求法，考查转化思想以及计算能力．21．（12分）（2016秋•岳麓区校级月考）已知函数f（x）=﹣klnx（x≥1）．（1）若f（x）≥0恒成立，求k的取值范围；（2）若取=2.2361，试估计ln的值．（精确到0.001）【分析】（1），由此利用分类讨论思想和导数性质能求出k的取值范围．（2）由已知得在[1，+∞）上恒成立，由此能求出结果．【解答】解：（1）∵函数f（x）=﹣klnx（x≥1），∴．①当﹣2≤k≤2时，k2﹣4≤0，x2﹣kx+1≥0恒成立，所以x∈[1，+∞）时，f'（x）≥0，f（x）单调递增，f（x）≥f（1）=0恒成立．②当k＜﹣2或k＞2时，f'（x）=0，解得，且x1+x2=k，x1•x2=1．（ⅰ）若k＜﹣2，则x1＜0，x2＜0，∴x∈[1，+∞）时，f'（x）≥0，f（x）单调递增，f（x）≥f（1）=0恒成立．（ⅱ）若k＞2，则x1＜1，x2＞1，当x∈（1，x2）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，f（x）＜f（1）=0，这与f（x）≥0恒成立矛盾，综上所述，k的取值范围为（﹣∞，2]．（2）由（1）得在[1，+∞）上恒成立，取得，即，由（1）得k＞2时，在时恒成立，令，解得，取，则有在上恒成立，取得，∴，（精确到0.001）．取．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查对数值的估计值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.（本小题满分10分）[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016•银川模拟）如图，从圆O外一点P引圆的切线PC及割线PAB，C为切点，OD⊥BC，垂足为D．（1）求证：AC•CP=2AP•BD；（2）若AP，AB，BC依次成公差为1的等差数列，且，求AC的长．【分析】（1）证明△CAP～△BCP，然后推出AC•CP=2AP•BD；（2）设AP=x（x＞0），则AB=x+1，BC=x+2，由切割定理可得PA•PB=PC2，求出x，利用（1）即可求解AC 的长．【解答】（1）证明：∵PC为圆O的切线，∴∠PCA=∠CBP，又∠CPA=∠CPB，故△CAP～△BCP，∴，即AP•BC=AC•CP．又BC=2BD，∴AC•CP=2AP•BD…（5分）（2）解：设AP=x（x＞0），则AB=x+1，BC=x+2，由切割定理可得PA•PB=PC2，∴x（2x+1）=21，∵x＞0，∴x=3，∴BC=5，由（1）知，AP•BC=AC•CP，∴，∴…（10分）【点评】本题考查三角形相似，等差数列的性质的应用，切割线定理的应用，考查逻辑推理能力以及计算能力．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．（2016•河南一模）在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l：ρ=﹣，曲线C：（α为参数）．（Ⅰ）将直线l化成直角方程，将曲线C化成极坐标方程；（Ⅱ）若将直线l向上平移m个单位后与曲线C相切，求m的值．【分析】（Ⅰ）利用y=ρsinθ，x=ρcosθ，将直线l极坐标方程化成直角坐标方程，先把参数方程化为直角坐标方程，再转化为曲线C的极坐标方程，（Ⅱ）根据直线和圆的位置关系把圆的关系即可求出m的值．【解答】解：（Ⅰ）直线l的参数方程化为3ρcosθ+4ρsinθ+6=0，则由ρcosθ=x，ρsinθ=y，得直线的直角坐标方程为3x+4y+6=0．由，消去参数α，得（x﹣3）2+（y﹣5）2=25，即x2+y2﹣6x﹣10y+9=0（*），由ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y，代入（*）可得曲线C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ﹣10ρsinθ+9=0．（Ⅱ）设直线l'：3x+4y+t=0与曲线C相切．由（Ⅰ）知曲线C的圆心为（3，5），半径为5，则，解得t=﹣4或t=﹣54，所以l'的方程为3x+4y﹣4=0或3x+4y﹣54=0，即或．又将直线l的方程化为，所以或．【点评】本题考查参数方程化为标准方程，极坐标方程化为直角坐标方程，考查参数的几何意义，考查学生的计算能力，属于中档题[选修4-5：不等式选讲]24．（2014•海口二模）设函数f（x）=|x﹣|+|x﹣a|，x∈R．（Ⅰ）求证：当a=﹣时，不等式lnf（x）＞1成立．（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的最大值．【分析】（Ⅰ）当a=﹣时，根据f（x）=的最小值为3，可得lnf（x）最小值为ln3＞lne=1，不等式得证．（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得 f（x）≥|a﹣|，可得|a﹣|≥a，由此解得a的范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵当a=﹣时，f（x）=|x﹣|+|x+|=的最小值为3，∴lnf（x）最小值为ln3＞lne=1，∴lnf（x）＞1成立．（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得 f（x）=|x﹣|+|x﹣a|≥|（x﹣）﹣（x﹣a）|=|a﹣|，再由不等式f（x）≥a在R上恒成立，可得|a﹣|≥a，∴a﹣≥a，或 a﹣≤﹣a，解得a≤，故a的最大值为．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，函数的恒成立问题，属于基础题．。

湖南师范大学附属中学2021-2022学年高三上学期12月联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知集合{}{}22,1,0,1,2,4A B x x =--=∈<Z ，则A B =（ ）A ．{2,1,0,1,2}--B ．{1,0,1}-C ．{0,1,2}D ．{0,1}2．若复数352i z =-（i 为虚数单位）则||z =（ ） ABCD3．已知向量(2,1),(,4)AB AC a ==，若AB AC ⊥，则||BC =（ ） ABC．D ．54．已知11cos 22cos()παπα⎛⎫- ⎪⎝⎭=-+，则2sin cos sin cos αααα-=+（ ） A ．1- B ．1 C ．5- D ．55．1859年，英国作家约翰·泰勒（John Taylor ，1781-1846）在其《大金字塔》一书中1.618≈）．泰勒还引用了古希腊历史学家希罗多德的记载：胡夫金字塔的形状为正四棱锥，每一个侧面的面积都等于金字塔高的平方．如图，已知金字塔型正四棱锥P ABCD -的底面边长约为656英尺，顶点P 在底面上的投影为底面的中心O ，H 为线段BC 的中点，根据以上信息，PH 的长度（单位：英尺）约为（ ）A ．302.7B ．405.4C ．530.7D ．1061.46．函数2sin ()1x xf x x -=+的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．7．已知抛物线22(0)y px p =>上一点(2,)m 到焦点的距离为3，准线为l ，若l 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>C 的离心率为（ ） A ．3BCD8．在等比数列{}n a 中，1234567845122,55a a a a a a a a a a +++++++==-，则1234567811111111a a a a a a a a +++++++=（ ） A ．6- B ．2425-C ．145D ．2二、多选题9．已知二项式2nx ⎛⎝的展开式中共有8项，则下列说法正确的有（ ）A ．所有项的二项式系数和为128B ．所有项的系数和为1C ．二项式系数最大的项为第5项D ．有理项共3项10．已知函数()2cos 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再向左平移2π个单位长度，向上平移2个单位长度，得到函数()g x 的图象，则以下结论正确的是（ ） A ．()g x 的最大值为1B ．函数()g x 的单调递增区间为73,3()44k k k ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．4x π=-是函数()g x 的一条对称轴D ．,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()g x 的一个对称中心11．已知圆22:68210C x y x y +--+=和直线:340l kx y k -+-=，则（ ） A ．直线l 与圆C 的位置关系无法判定B ．当1k =时，圆C 上的点到直线l2+ C ．当圆C 上有且仅有3个点到直线l 的距离等于1时，0k =D ．如果直线l 与圆C 相交于M 、N 两点，则MN 的中点的轨迹是一个圆12．已知图1中，正方形EFGH的边长为A 、B 、C 、D 是各边的中点，分别沿着AB 、BC 、CD 、DA 把ABF 、BCG 、CDH △、DAE △向上折起，使得每个三角形所在的平面都与平面ABCD 垂直，再顺次连接EFGH ，得到一个如图2所示的多面体，则（ ）．A ．平面AEF ⊥平面CGHB ．直线AF 与直线CG 所成的角为60°C ．多面体ABCD EFGH -的体积为63+D ．直线CG 与平面AEF 所成角的正切值为2 三、填空题13．已知()f x 为奇函数，当0x <时，()2()log 1f x x =-，则()3f =_________. 14．从下图12个点中任取三个点则所取的三个点能构成三角形的概率为________．15．某同学在参加魔方实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为心重合），若其中一个截面圆的周长为6π，则该球的半径是__________．四、双空题16．已知22,30,()1ln ,0 3.1x x x f x x x ⎧-+-≤<⎪=⎨≤≤⎪+⎩（1）函数()f x 的零点个数为________个；（2）若()()g x f x ax a =--的图象与x 轴有3个不同的交点，则实数a 的取值范围为_______． 五、解答题17．已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ．若()17252,4a S a a ==+． (1)求{}n a 的通项公式；(2)设22n an n b a =+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T ．18．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2S BC =⋅（其中S 为ABC 的面积）．(1)求角B 的大小；(2)若ABC 为锐角三角形，且4c =，求a 的取值范围．19．某电视台招聘节目主持人，甲、乙两人同时应聘．应聘者需进行笔试和面试，笔试分为三个环节，每个环节都必须参与，甲笔试部分每个环节通过的概率均为23，乙笔试部分每环节通过的概率依次为211,,323，笔试三个环节至少通过两个才能够参加面试，否则直接淘汰；面试分为两个环节，每个环节都必须参与，甲面试部分每个环节通过的概率依次为23，12，乙面试部分每个环节通过的概率依次为32,43．若面试部分的两个环节都通过，则可以成为该电视台的节目主持人．甲、乙两人通过各个环节相互独立．(1)求乙能参与面试的概率；(2)记甲本次应聘通过的环节数为X ，求X 的分布列以及数学期望．20．如图，已知四棱台1111ABCD A B C D -的上、下底面分别是边长为2和4的正方形， 14A A =，且1A A ⊥底面ABCD ，点,P Q 分别在棱1DD 、BC 上·(1)若P 是1DD 的中点，证明：1AB PQ ⊥；(2)若//PQ 平面11ABB A ，二面角P QD A --的余弦值为49，求四面体ADPQ 的体积．21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，离心率为1e 2=．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设椭圆C 的左、右两个顶点分别为12,A A ，T 为直线:4l x =上的动点，且T 不在x 轴上，直线1TA 与C 的另一个交点为M ，直线2TA 与C 的另一个交点为N ，F 为椭圆C 的左焦点，求证：FMN 的周长为定值．22．已知函数ln ()1x f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，（其中a 为非零实数）． (1)讨论()f x 的单调性；(2)若函数()e ()x g x f x =-（e 为自然对数的底数）有两个零点． ①求实数a 的取值范围；①设两个零点分别为1x 、2x ，求证：()12212e x x x x -+>．参考答案：1．B 【解析】 【分析】计算得到B 集合的等价集合，然后求交集即可. 【详解】{}24B x x =∈<Z ，{}{}{}24221,0,1B x x x x ∴=∈<=∈-<<=-Z Z ，又{}2,1,0,1,2A =--，{1,0,1}A B ∴=-．故选：B 2．C 【解析】 【分析】先对复数化简，然后再求复数的模 【详解】由题意可知：3555(2i)2i 2i 2i (2i)(2i)z -====--++-，则|z |= 故选：C 3．D 【解析】 【分析】根据AB AC ⊥求得a ，由此求得BC ，进而求得||BC . 【详解】由题意可得240AB AC a ⋅=+=，解得2a =-，所以(4,3)BC AC AB =-=-，因此||(5BC =-=．故选：D 4．D 【解析】 【分析】利用三角函数诱导公式和齐次式弦化切即可解答。

2021年高三数学上学期第一次月考试题理（含解析）湘教版【试卷综析】试卷注重对基础知识和基本方法全面考查的同时,又突出了对数学思想、数学核心能力的综合考查, 试卷以考查考生对“双基”的掌握情况为原则,重视基础,紧扣教材,回归课本,整套试卷中有不少题目可以在教材上找到原型.对中学数学教学和复习回归课本,重视对基础知识的掌握起到好的导向作用.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将所选答案填在答题卡中对应位置.【题文】1.如果复数(其中为虚数单位,为实数)的实部和虚部互为相反数,那么= ( )A. B. C. D. 2【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．L4【答案解析】C 解析：由,依题有,即.选C.【思路点拨】复数分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，利用实部和虚部互为相反数，求出b．【题文】2.用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中依次抽取一个容量为5的样本,则个体被抽到的概率为( )A. B. C. D.【知识点】简单随机抽样．I1【答案解析】B 解析：由抽样的公平性可知,每个个体入样的概率均为.选B.【思路点拨】依据简单随机抽样方式，总体中的每个个体被抽到的概率都是一样的，再结合容量为5，可以看成是抽5次，从而可求得概率．【题文】3.设偶函数满足,则( )A. B.C. D.【知识点】函数的奇偶性.B4【答案解析】C 解析：当时,由,得,由图象对称性可知选C.【思路点拨】由函数的奇偶性解不等式可得结果.【题文】4.若展开式中的所有二项式系数之和为512,则该开式中常数项为( )A. B. 84 C. D. 36【知识点】二项式定理系数的性质.J3【答案解析】B 解析：由二项式系数之和为,即,又令,则故常数项为.选B.【思路点拨】结合二项式定理，通过令x=-1，即可求出展开式的所有二项式系数的和，然后求出n 的值，利用二项式的通项，求出常数项即可．【题文】5.设条件,条件,其中为正常数.若是的必要不充分条件,则 的取值范围是( )A. B. C. D.【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．A2【答案解析】A 解析：由条件对应的集合为,条件对应.且依题意,可知,又,故.选A.【题文】6.按照如图所示的程序运行,已知输入的的值为,则输出的值为( ) A. B.C. D. 【知识点】程序框图．L1 【答案解析】A 解析：由于输入的初始值为,故 ,即.故选A.问题的关键．【题文】7.已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示, 则该几何体的体积为( ) A. B.C. D.【知识点】由三视图求面积、体积．G2【答案解析】B 解析：由该几何体的三视图可以借用长方体将其还原 为直观图如右所示,(由简到繁)，由俯视图→侧视图→正视图→直观图,其为四棱锥,所以,选B. 棱锥的高线，求出棱锥的高，代入棱锥的体积公式计算．【题文】8.设,若是的最小值,则的取值范围为( )A. [-1,2]B. [-1,0]C. [1,2]D. [0,2]【知识点】分段函数的应用．B10【答案解析】D 解析：当时,显然不是的最小值,当时,可知时,,而当时,,依题意,得,所以即求. 选D.【思路点拨】分别由f （0）=a ，，综合得出a 的取值范围．【题文】9.已知锐角是的一个内角,是三角形中各角的对应边,若,则下列各式正确的是( )正视图 1 1 2 2 2 2 侧视图 俯视图 B 1 1A. B. C. D.【知识点】正弦定理.C8【答案解析】C 解析：由得,,又为锐角,故,于是,即.于是由余弦定理有,即,解得,选C.【思路点拨】事实上在中,如果三边成等差或等比数列,即,那么我们都可以结合重要不等式知识得到.本题考查的是其逆向问题.【题文】10.如图,圆的半径为1,是圆上的定点,是圆上的动点, 角的始边为射线,终边为射线,过点作直线 的垂线,垂足为,将点到直线的距离表示 为的函数,则在上的图象大致为( )【知识点】函数的图像与性质.B10 【答案解析】C 解析：由,于是,由三角函数线有,,于是的最大值为,故选C. 【思路点拨】先由三角函数线得，再求最大值.二、填空题:本大题共5小题,共25分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.【题文】11.已知直线的极坐标方程为,则极点到直线的距离为 .【知识点】简单曲线的极坐标方程；与圆有关的比例线段．N3 H2【答案解析】 解析：由化为直角坐标方程为,于是极点到该直线的距离为,故答案为【思路点拨】先将原极坐标方程中的三角函数式展开后两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行求解即得．【题文】12.设均为正数,满足,则的最小值是 .【知识点】基本不等式．E6【答案解析】3 解析：∵，∴，∴，当且仅当x=3z 时取“=”．故答案为3．【思路点拨】由x-2y+3z=0可推出，代入中，消去y ，再利用均值不等式求解即可．【题文】13.数列的前项和为,若,则 .【知识点】数列递推式.D1【答案解析】 解析：由……①,可推出,……②①-②式得,,于是,,故.【思路点拨】借助于，可得，进而得到结果.【题文】14.若满足约束条件,且取得最小值的点有无数个,则 .【知识点】简单线性规划．E5【答案解析】或 解析：先作出可行域如右图:又目标函数,依题意,所以①当,即时,依题意有目标直线时,当其运动 至与重合时,最优解有无数个,符合题意,即,即;②同理当,即时,必有,即,即,综上①②可知,或 为所求. x x x x【思路点拨】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，要使z=kx+y 取最小值的最优解有无穷多个，则目标函数和其中一条直线平行，然后根据条件即可求出a 的值．【题文】15.已知椭圆的离心率为,过椭圆上一点作直线分别交椭圆于两点,且斜率为,若点 关于原点对称,则的值为 .【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．H5 H8【答案解析】解析：由,得,如右图所示, 取中点,连结,则由几何意义知, ,又,故,即 【思路点拨】本题有一般性结论,即过椭圆的中心的任一条直线交椭圆于两点,是椭圆上异于的任意一点,且当都存在时,则有. 三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,16.(本小题满分12分)xx 年巴西世界杯的志愿者中有这样一组志愿者:有几个人只通晓英语,还有几个人只通晓俄语,剩下的人只通晓法语,已知从中任抽一人恰是通晓英语的概率为,恰是通晓俄语的人的概率为,且通晓法语的人数不超过3人.(Ⅰ)求这组志愿者的人数;(Ⅱ)现从这组志愿者中选出通晓英语、俄语和法语的志愿者各1人,若甲通晓俄语,乙通晓法语,求甲和乙不全被选中的概率;(Ⅲ)现从这组志愿者中抽取3人,求3人所会的语种数的分布列.【知识点】概率的应用．K6【答案解析】(Ⅰ)10 (Ⅱ) (Ⅲ)见解析解析：(Ⅰ)设通晓英语、俄语、法语人分别有人,且;则依题意有,即…………………………………………2分消去得,,当且仅当时,符合正整数条件,所以,也即这组志愿者有10人;………………………………………………………3分 (Ⅱ)记事件为“甲、乙不全被选中”,则的对立事件表示“甲、乙全被选中”,于是;…………………………………………………7分(Ⅲ)随机变量的可能取值为1,2,3,且由古典概型知33212121535537283310101179(1),(2)120120C C C C C C C C P X P X C C +++======.………………………………………………………………11分所以随机变量的分布列如下:.……………………………………………………………12分【思路点拨】（I ）设通晓英语的，通晓俄语的，通晓法语的人数，根据通晓英语的人的概率为，是通晓俄语的人数的概率为，列出关于所设的人数的表示式，解出结果．（II ）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件有C51C31C21种结果，甲通晓俄语，乙通晓法语，则甲和乙不全被选中的对立事件是全被选中，先做出两个人全被选中的概率，用对立事件的概率公式得到甲和乙不全被选中的概率．（III ）随机变量X 的可能取值为1，2，3，求出相应的概率，进而可求3人所会的语种数X 的分布列．如图,点是单位圆与轴的正半轴的交点,点. (Ⅰ)若,求;(Ⅱ)设点为单位圆上的动点,点满足,求的取值范围.【知识点】三角函数中的恒等变换应用；任意角的三角函数的定义．【答案解析】(Ⅰ) (Ⅱ)解析：(Ⅰ)由三角函数定义可知, 所以1sin 22sin cos 2()2ααα==-=,即求…………………………………5分 (Ⅱ)由三角函数定义知,所以所以11()(1cos2)2sin(2)262f OB OQ πθθθθ=⋅=-++=--, 又因,故,即,于是,所以的取值范围是.……………………………………12分【思路点拨】(Ⅰ) 直接结合三角函数的定义求解sinα，cosα的值，然后，根据二倍角公式进行求值；(Ⅱ) 首先求解f （θ），然后根据，确定f （θ）的取值范围．【题文】18.(本小题满分12分) 直三棱柱中,,点在上.(Ⅰ)若是中点,求证:平面;(Ⅱ)当时,求二面角的余弦值. 【知识点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．G4 G11【答案解析】(Ⅰ)见解析 (Ⅱ)解析：(Ⅰ)连接交于点,连接,因为直三棱柱中侧面为矩形,所以 为的中点,又是中点, 于是,且面 , AC1⊄平面B1CD 所以平面;…………………………6分(Ⅱ)由知,即, 又直三棱柱中面,于是以为原点建立空间 直角坐标系如右图所示,于是, 又,由平面几何易知, 显然平面的一个法向量为, 又设平面的一个法向量为,则由,得,解得,取,则,设二面角的平面角为, 则,又由图知 为锐角, 【思路点拨】(Ⅰ) 通过作平行线，由线线平行证明线面平行；(Ⅱ) 建立空间直角坐标系，求得两平面的法向量，利用向量法求二面角的余弦值．A C DBC 1 A 1 B 1 A CD BC 1 A 1B 1E在数列中,已知.(Ⅰ)求证:是等比数列;(Ⅱ)令为数列的前项和,求的表达式.【知识点】数列的求和；等比关系的确定．D3 D4【答案解析(Ⅰ) 见解析(Ⅱ)解析：(Ⅰ)证明:由可得所以数列以是-2为首项,以2为公比的等比数列………………………………6分(Ⅱ) 由(Ⅰ)得:,所以,所以12221212(1)(1)(1)()222222n n n n n n S b b b n =+++=-+-++-=+++-令,则,两式相减得2311111111122222222n n n n n n n T ++=+++-=--,所以,即…………………………………………………13分【思路点拨】(Ⅰ)此证明题应从结论中找方法，要证明数列{an-n}是等比数列，将题设中的条件an+1=2an-n+1变形为an+1-（n+1）=2（an-n ）即可；(Ⅱ)由(Ⅰ)结论可求出bn ，由通项公式的形式可以看出，本题宜先用分组求和的技巧，然后对其一部分用错位减法求和．最后将结果综合起来．【题文】20.(本小题满分13分)已知椭圆的一个顶点为,焦点在轴上.若右焦点到直线的距离为3.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设椭圆与直线相交于不同的两点.当时,求的取值范围.【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．H5 H8【答案解析】(Ⅰ) (Ⅱ)解析：(Ⅰ)依题意可设椭圆方程为,右焦点,由题设,得,故;故椭圆的方程为………5分综上可得,【思路点拨】(Ⅰ)依题意可设椭圆方程为，由题设解得a2=3设P 为弦MN 的中点，由,,得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2-1）=0∴△＞0，即m2＜3k2+1．由此可推导出m的取值范围．【题文】21.(本小题满分13分)已知函数.(Ⅰ)求函数的单调区间;(Ⅱ)若函数的图象在点处的切线的倾斜角为,对于任意的,函数在区间上总不是单调函数,求的取值范围;(Ⅲ)求证:.【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．B12【答案解析】(Ⅰ) 见解析(Ⅱ) (Ⅲ)见解析解析：(Ⅰ)由,.………………………………………………………1分①当时,显然时,,当时,,所以此时的单调递增区间为,递减区间为,②同理当时, 的单调递增区间为,递减区间为,③当时,不是单调函数;.……………………………………………………4分(Ⅱ)由题知,,得,所以.所以,且,……………6分令时,可知恒成立,即一定有两个不等实根,且注意到,所以不妨设,又,于是可知时,,又时,即在上递减,在上递增,依题意可知,于是只须,…………………………………………7分又以上事实对恒成立.故,得;……………9分(Ⅲ)分析:要证成立,即证ln2ln3ln4ln123(1),2n n n ⨯⨯⨯⨯<⨯⨯⨯⨯-≥,也即证,成立,而这是我们众所周知的超越不等式,下面用综合法证明. 证明过程: 由(Ⅰ)知当时,在上递增,所以()ln3(1)2ln1,1f x x x f x x x=-+->=-⇔<->………………………………11分也所以在上式中分别令得, ,以上同向正数不等式相乘得ln2ln3ln4ln123(1),2n n n ⨯⨯⨯⨯<⨯⨯⨯⨯-≥两边同除以得, ,即证.…………………13分【思路点拨】利用导数求函数的单调区间的步骤是①求导函数f′（x）；②解f′（x）＞0（或＜0）；③得到函数的增区间（或减区间），对于本题的(Ⅰ)在求单调区间时要注意函数的定义域以及对参数a的讨论情况；(Ⅱ)点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，即切线斜率为1，即f'（2）=1，可求a值，代入得g（x）的解析式，由t∈[1，2]，且g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数可知：，于是可求m的范围．(Ⅲ)是近年来高考考查的热点问题，即与函数结合证明不等式问题，常用的解题思路是利用前面的结论构造函数，利用函数的单调性，对于函数取单调区间上的正整数自变量n有某些结论成立，进而解答出这类不等式问题的解．23889 5D51 嵑20402 4FB2 侲 23612 5C3C 尼wm25313 62E1 拡28970 712A 焪21379 5383 厃624058 5DFA 巺39879 9BC7 鯇33350 8246 艆28801 7081 炁28354 6EC2 滂。

20XX年中学测试中学试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：20XX—2021学年度湖南师大附中上学期高三月考试卷（三）时量：90分钟满分：100分第Ⅰ卷（选择题共48分）可能用到的原子量：H1 He 4 C12 N14 O16 Na23 K39 Ca40 I127一、选择题（共16题共30道小题，第1—20题每题1分，第21—30题每题2分，共40分。

）1．我国三峡工程提供的清洁、廉价、强劲、可再生的水电，相当于每年燃烧3000万吨原煤的火力发电厂产生的能源，因此，三峡工程有助于控制：（）①温室效应②二氧化碳的排放③白色污染④碳氢化合物的排放A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④2．下列说法正确的是（）A．所有原子都是由质子、中子、电子构成B．元素的种类由原子核外电子数决定C．元素的性质由其质量数决定的D．元素在周期表中的位置由其原子结构决定的3．物质发生化学反应时：①电子总数②原子总数③分子总数④物质的种类⑤物质的总质量⑥物质的总能量，反应前后肯定不发生变化的是（）A．④⑤⑥B．②⑤⑥C．①②③⑤D．①②⑤4．下列物质中，既有离了键，又有非极性键是（）A．H2SO4 B．NH4Cl C．Na2O2 D．CaCO35．设N A为阿伏加德罗常数，下列叙述正确的是（）A．在常温常压下，1mol羟基（—OH）含有的电子数为10N AB．在常温常压下，4.0gHe所含有的分子数为N AC．含4nmol HCl的浓盐酸与足量的MnO2加热反应，生成的Cl2分子数为nN AD．60gSiO2晶体中含有Si—O键数目是2N A6．下列物质的保存方法正确的是（）A．氢氟酸保存在玻璃瓶中B．氯水保存在棕色细口瓶中C．液溴盛放在用橡皮塞的玻璃瓶中D．固态碘放在棕色细口瓶中7．在pH=0的无色透明溶液中，能大量共存的一组离子是（）A．K+、Mg2+、Cl－、CO32－B．Fe2+、Cu2+、NO3－、SO42－C．Al3+、Zn2+、Cl－、NO3－D．Mg2+、Ca2+、NO3－、AlO2－8．将氯气通入含有下列物质的溶液中，恰好完全反应时，溶液的pH几乎不变的是（）A．Na2S B．HI C．Na2SO3 D．NaHCO39．下列反应的离子方程式正确的是（）A．氯气跟烧碱溶液反应：Cl2+OH－=Cl－+HClOB．漂白粉溶液中通入足量SO2气体；Ca2++2ClO+SO2+H2O====CaSO3↓2HClOC．FeBr2溶液中加入足量氯水； 2Fe2++2Br－+2Cl2====2Fe3++Br2+4Cl－D．氯化镁溶液中加入足量浓氨水：Mg2++2NH3·H2O====Mg(OH)2↓+2NH4+10．X、Y、Z三种非金属，原子最外层电子数相等，等物质的量的单质X2、Y2、Z2分别与足量钠反应时，反应热为△H x2>△H y2>△H z2，下列判断正确的是（）A．原子半径：X<Y<ZB．气态氢化物的稳定性：H n X<H n Y<H n ZC．气态氢化物的沸点：H n X>H n Y>H n ZD．最高价氧化物对应的水化物的酸性可能为：HZO4<HYO4<HXO411．已知aA n+与bB(n+1)+电子层结构相同，cC n－与d D(n+1)－电子层结构相同，且A n+比c C n－少8个电子，下列关于A、B、C、D四种元素的叙述正确的是（）A．原子序数：A<B<C<DB．原子半径：A>B>C>DC．离子半径：B(n+1)+<A n+<C n－<D(n+1)－D．金属性A>B，非金属性D>C12．ClO2是一种消毒杀菌效率高、二次污染小的水处理剂。

中，利用余弦定理可得 是定值，判断 正确；
中，取 中点 ，连接 ， ，由题意判断 不成立；
中，当三棱锥 的体积最大时，求出该三棱锥外接球的表面积即可．
【详解】
解：对于 ：如图1，取 中点 ，连接 交 与 ，
则 ， ，
如果 ，可得到 ，
又 ，且三线 ， ， 共面共点，不可能，则 错误．
对于 ：如图1，可得由 （定值），
A． B． C．2D．8
3．若l，m为两条不同的直线， 为平面，且 ，则“ ”是“ ”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．历史上，最伟大的数学家一直都热衷于寻找质数的“分布规律”，法国数学家马林·梅森就是研究质数的数学家中成就很高的一位，正因为他的卓越贡献，现在人们将形如“ （p是质数）”的质数称为梅森数，迄今为止共发现了51个梅森数，前4个梅森数分别是 ， ， ， ，3，7是1位数，31是2位数，127是3位数.已知第10个梅森数为 ，则第10个梅森数的位数为（）（参考数据： ）
所以可得 ， ，所以AB对；
因为 ，
因为 ，则 ，即 ，所以
，故C错；
因为 ，令 ， .
可得 在 上递减，可知 在 上恒成立.
又 .所以 成立.故D正确.
故选：ABD
【点睛】
关键点睛：本题考查圆的切线问题和数列不等式的证明问题，解答本题的关键是设出切线方程，方程联立由 ，得出 ， ，证明得到 ，从而可比较 与 的大小，设 ，利用导数得出 在 上恒成立，来判断 与 的大小，属于中档题.
（定值）， （定值），
由余弦定理可得 ，
所以 是定值，则 正确．
对于 ：如图2，取 中点 ，连接 ， ，
由题意得 面 ，即可得 ，

湖南师大附中高三上学期数学理科第一次月考试卷湖南师大附中2021届高三上学期数学文科第一次月考试卷〔含解析〕本试题卷包括选择题、填空题和解答题三局部，共6页。

时量120分钟。

总分值150分。

一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只要一项为哪一项契合标题要求的.1.集合M={xx2-2x0}，N={xxA.[2，+)B.(2，+)C.(-，0)D.(-，0]2.以下四个命题p1：x(0，+)，12x13xp2：x(0，1)，log12xlog13xp3：x(0，+)，12xlog12x p4：x0，13，12x其中的真命题是(D)A.p1，p3B.p1，p4C.p2，p3D.p2，p43.在如右图所示的顺序框图中输入10，结果会输入(D)A.10B.11C.512D.1 0244.将函数f(x)=sin x+cos x的图象向左平移0)个单位长度，所得图象关于原点对称，那么的最小值为(C)A.-B.C.3D.545.假定实数x，y满足条件y2x-1yx+1，那么z=x+3y的最大值为(B)A.9B.11C.12D.166.不全相等的五个数a、b、c、m、n具有关系如下：a、b、c成等比数列，a、m、b和b、n、c都成等差数列，那么am+cn=(C)A.-2B.0C.2D.不能确定7.边长为1的正方形ABCD位于第一象限，且顶点A、D区分在x、y的正半轴上(含原点)滑动，那么OBOC的最大值是(C)A.1B.22C.2D.58.一个四面体的三视图如下图，那么该四面体的外表积为(D)A.34B.32C.3D.23【解析】如下图，四面体为正四面体.9.假定曲线C1：x2+y2-2x=0与曲线C2：y(y-mx-m)=0有4个不同的交点，那么实数m的取值范围是(B)A.-33，33B.-33，00，33C.-33，33D.-，-3333，+【解析】曲线C1：(x-1)2+y2=1，图象为圆心为(1，0)，半径为1的圆;曲线C2：y=0，或许y-mx-m=0，直线y-mx-m=0恒过定点(-1，0)，即曲线C2图象为x轴与恒过定点(-1，0)的两条直线.作图剖析：k1=tan 30=33，k2=-tan 30=-33，又直线l1(或直线l2)、x轴与圆共有四个不同的交点，结合图形可知m=k-33，00，33.10.集合A=xx=a0+a13+a232+a333，其中ai0，1，2i=0，1，2，3且a30，那么A中一切元素之和等于(D)A.3 240B.3 120C.2 997D.2 889【解析】由题意可知，a0，a1，a2各有3种取法(均可取0，1，2)，a3有2种取法(可取1，2)，由分步计数原理可得共有3332种方法，当a0取0，1，2时，a1，a2各有3种取法，a3有2种取法，共有332=18种方法，即集合A中含有a0项的一切数的和为(0+1+2)同理可得集合A中含有a1项的一切数的和为(30+31+32)集合A中含有a2项的一切数的和为(320+321+322)集合A中含有a3项的一切数的和为(331+332)由分类计数原理得集合A中一切元素之和：S=(0+1+2)18+(30+31+32)18+(320+321+322)18+(331+332)27=18(3+9+27)+8127=702+2 187=2 889.应选D.选择题答题卡题号12345678910答案ADDCBCCDBD二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.11.在△ABC中，a=15，b=10，A=60，那么cos B=__63__.12.如右图，椭圆x216+y212=1的长轴为A1A2，短轴为B1B2，将坐标平面沿y轴折成一个二面角，使点A2在平面B1A1B2上的射影恰恰是该椭圆的左焦点，那么此二面角的大小为__3__.13.假定f(x)+01f(x)dx=x，那么f(x)=__x-14__.【解析】由于01f(x)dx是个常数，无妨设为m，所以f(x)=x-m，其原函数F(x)=12x2-mx+C(C为常数)，所以可得方程m=12-m，解得m=14.故f(x)=x-14.14.在函数f(x)=aln x+(x+1)2x0的图象上任取两个不同的点P(x1，y1)、Q(x2，y2)，总能使得f(x1)-f(x2)4(x1-x2)，那么实数a的取值范围为__12，+__.【解析】由题意f(x)4对恣意x0恒成立，也就是a2x(1-x)max=12.15.两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研讨数学效果，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，依照点或小石子能陈列的外形对数停止分类，图中的实心点的个数1、5、12、22、，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a1=1，第2个五角形数记作a2=5，第3个五角形数记作a3=12，第4个五角形数记作a4=22，，假定按此规律继续下去，那么a5=__35__，假定an=145，那么n=__10__. 【解析】依据图形变化的规律可归结得an=3n2-n2.三、解答题：本大题共6个小题，共75分.解容许写出文字说明、证明进程或演算步骤.16.(此题总分值12分)设f(x)=sin6-2cos28x+1.(1)求f(x)的最小正周期;(2)假定函数y=f(x)与y=g(x)的图象关于直线x=1对称，求当x0，43时y=g(x)的最大值.【解析】(1)f(x)=sin4xcos6-cos4xsin6-cos4x=32sin4x-32cos4x=3 sin3，故f(x)的最小正周期为T=24=8.(6分)(2)法一：在y=g(x)的图象上任取一点(x，g(x))，它关于x=1的对称点为(2-x，g(x)).由题设条件，点(2-x，g(x))在y=f(x)的图象上，从而g(x)=f(2-x)=3sin4(2-x)-3=3sin4x-3=3cos3，当043时，33 ，因此y=g(x)在区间0，43 上的最大值为ymax=3cos3=32.(12分)法二：因区间0，43关于x=1的对称区间为23，2，且y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=1对称，故y=g(x)在区间0，43上的最大值为y=f(x)在区间23，2上的最大值.由(1)知f(x)=3sin3.当232时，-36.因此y=g(x)在区间0，43上的最大值为ymax=3sin6=32.(12分)17.(此题总分值12分)某电视台拟举行由选手报名参与的竞赛类型的文娱节目，选手进入正赛前需经过海选，参与海选的选手可以参与A、B、C三个测试项目，只需经过一项测试即可中止测试，经过海选.假定经过海选的人数超越预定正赛参赛人数，那么优先思索参与海选测试次数少的选手进入正赛.甲选手经过项目A、B、C测试的概率为区分为15、13、12，且经过各次测试的事情相互独立.(1)假定甲选手先测试A项目，再测试B项目，后测试C项目，求他经过海选的概率;假定改动测试顺序，对他经过海选的概率能否有影响?说明理由;(2)假定甲选手按某种顺序参与海选测试，第一项能经过的概率为p1，第二项能经过的概率为p2，第三项能经过的概率为p3，设他经过海选时参与测试的次数为，求的散布列和希冀(用p1、p2、p3表示);并说明甲选手按怎样的测试顺序更有利于他进入正赛.【解析】(1)依题意，甲选手不能经过海选的概率为1-151-13 1-12=415，故甲选手能经过海选的概率为1-1-151-13 1-12=1115.(3分)假定改动测试顺序对他经过海选的概率没有影响，由于无论按什么顺序，其不能经过的概率均为1-151-131-12=415，即无论按什么顺序，其能经过海选的概率均为1115.(5分) (2)依题意，的一切能够取值为1、2、3.P(=1)=p1，P(=2)=(1-p1)p2，P(=3)=(1-p1)(1-p2)p3.故的散布列为123Pp1(1-p1)p2(1-p1)(1-p2)p3(8分)E=p1+2(1-p1)p2+3(1-p1)(1-p2)p3(10分)区分计算当甲选手按CBA，CAB，BAC，BCA，ABC，ACB的顺序参与测试时，E的值，得甲选手按CBA的顺序参与测试时，E最小，由于参与测试的次数少的选手优先进入正赛，故该选手选择将自己的优势项目放在前面，即按CBA的顺序参与测试更有利于进入正赛.(12分)18.(此题总分值12分)如图，△ABC的外接圆⊙O的半径为5，CE垂直于⊙O所在的平面，BD∥CE，CE=4，BC=6，且BD=1，cosADB=101101.(1)求证：平面AEC平面BCED;(2)试问线段DE上能否存在点M，使得直线AM与平面ACE所成角的正弦值为22121?假定存在，确定点M的位置;假定不存在，请说明理由.【解析】(1)证明：∵BD平面ABCBDAB，又由于 BD=1，cosADB=101101.故AD=101，AB=10=直径长，(3分)ACBC.又由于EC平面ABC，所以ECBC.∵ACEC=C，BC平面ACE，又BC平面BCED，平面AEC平面BCED.(6分)(2)法一：存在，如图，以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线CE为z轴树立空间直角坐标系，那么有点的坐标，A(8，0，0)，B(0，6，0)，D(0，6，1)，E(0，0，4).那么AD=(-8，6，1)，DE=(0，-6，3)，设DM=DE=(0，-6，3)=(0，-6，3)，01故AM=AD+DM=(-8, 6-6，1+3)由(1)易得平面ACE的法向量为CB=(0，6，0)，设直线AM与平面ACE所成角为，那么sin=|AMCB||AM||CB|=36-3664+36(1-)2+(1+3)26=22121，解得=13.(10分)所以存在点M，且DM=13DE时，直线AM与平面ACE所成角的正弦值为22121. (12分)法二：(几何法)如图，作MNCE交CE于N，衔接AN，那么MN平面AEC，故直线AM与平面ACE所成的角为MAN，且MNAN，NCAC.设MN=2x，由直线AM与平面ACE所成角的正弦值为22121，得AM=21x，所以AN=17x.另一方面，作DK∥MN∥BC，得EN=x，NC=4-x而AC=8，故Rt△ANC中，由AN2=AC2+NC2得17x2=64+(4-x)2，x=2，MN=4，EM=25所以存在点M，且EM=25时，直线AM与平面ACE所成角的正弦值为22121. (12分)19.(此题总分值13分)等比数列{an}中的前三项a1、a2、a3区分是下面数阵中第一、二、三行中的某三个数，且三个数不在同一列. 5436108202116(1)求此数列{an}的通项公式;(2)假定数列{bn}满足bn=3an--1nlg an，求数列{bn}的前n 项和Sn.【解析】(1)经检验，当a1=5或4时，不能够失掉契合题中要求的等比数列;故有a1=3，a2=6，a3=12，等比数列公比q=2，所以an=32n-1.(5分)(2)由an=32n-1得bn=3an--1nlg an=92n-1-(-1)nlg3+(n-1)lg 2.所以Sn=9(1+2++2n-1)--1+-12++-1n(lg 3-lg 2)--1+2-3++(-1)nnlg 2(9分)n为偶数时，Sn=91-2n1-2-n2lg 2=9(2n-1)-n2lg 2.n为奇数时，Sn=91-2n1-2+(lg 3-lg 2)-n-12-nlg2=9(2n-1)+n-12lg 2+lg 3.所以， Sn=9(2n-1)-n2lg 2，n为偶数，9(2n-1)+n-12lg 2+lg 3，n为奇数.(13分)20.(此题总分值13分)圆C：(x-1)2+(y-1)2=2经过椭圆∶x2a2+y2b2=1(a0)的右焦点F和上顶点B.(1)求椭圆的方程;(2)如图，过原点O的射线l与椭圆在第一象限的交点为Q，与圆C的交点为P，M为OP的中点，求OMOQ的最大值. 【解析】(1)在C：(x-1)2+(y-1)2=2中，令y=0得F(2，0)，即c=2，令x=0，得B(0，2)，b=2，由a2=b2+c2=8，椭圆：x28+y24=1.(4分)(2)法一：依题意射线l的斜率存在，设l：y=kx(x0，k0)，设P(x1，kx1)，Q(x2，kx2)由y=kxx28+y24=1得：(1+2k2)x2=8，x2=221+2k2.(6分)由y=kx(x-1)2+(y-1)2=2得：(1+k2)x2-(2+2k)x=0，x1=2+2k1+k2，OMOQ=x12，kx12(x2，kx2)=12(x1x2+k2x1x2)=221+k1+2k2(k0). (9分)=22(1+k)21+2k2=22k2+2k+11+2k2.设(k)=k2+2k+11+2k2，(k)=-4k2-2k+2(1+2k2)2，令(k)=-4k2-2k+2(1+2k2)20，得-1又k0，(k)在0，12上单调递增，在12，+上单调递减.当k=12时，(k)max=12=32，即OMOQ的最大值为23.(13分) 法二：依题意射线l的斜率存在，设l：y=kx(x0，k0)，设P(x1，kx1)，Q(x2，kx2)由y=kxx28+y24=1得：(1+2k2)x2=8，x2=221+2k2.(6分) OMOQ=(OC+CM)OQ=OCOQ=(1，1)(x2，kx2)=(1+k)x2=221+k1+2k2(k0)(9分)=22(1+k)21+2k2.设t=1+k(t1)，那么(1+k)21+2k2=t22t2-4t+3=12-41t+31t2=131t-232+2332.当且仅当1t=23时，(OMOQ)max=23.(13分)21.(此题总分值13分)函数f(x)=ex-ax2-2x-1(xR).(1)当a=0时，求f(x)的单调区间;(2)求证：对恣意实数a0，有f(x)a2-a+1a.【解析】(1)当a=0时，f(x)=ex-2x-1(xR)，∵f(x)=ex-2，且f(x)的零点为x=ln 2，当x(-，ln 2)时，f(x)当x(ln 2，+)时，f(x)0即(-，ln 2)是f(x)的单调减区间，(ln 2，+)是f(x)的单调增区间.(5分)(2)由f(x)=ex-ax2-2x-1(xR)得：f(x)=ex-2ax-2，记g(x)=ex-2ax-2(xR).∵a0，g(x)=ex-2a0，即f(x)=g(x)是R上的单调增函数，又f(0)=-10，f(1)=e-2a-20，故R上存在独一的x0(0，1)，使得f(x0)=0，(8分)且当xx0时，f(x)0.即f(x)在(-，x0)上单调递减，在(x0，+)上单调递增，那么f(x)min=f(x0)=ex0-ax20-2x0-1，再由f(x0)=0得ex0=2ax0+2，将其代入前式可得f(x)min=-ax20+2(a-1)x0+1(10分)又令(x0)=-ax20+2(a-1)x0+1=-ax0-a-1a2+(a-1)2a+1由于-a0，对称轴x=a-1a1，而x00，1，(x0)(1)=a-1又(a-1)-a2-a+1a=-1a0，(x0)a2-a+1a故对恣意实数a0，都有f(x)a2-a+1a.(13分)湖南师大附中2021届高三上学期数学文科第一次月考试卷就分享到这里了，更多相关信息请继续关注高考数学试题栏目！。

湖南师大附中2025届高三月考试卷（三）数学时量：120分钟满分：150分得分：________________一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合的真子集个数是（ ）A.7B.8C.15D.162.“”是“”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知角的终边上有一点的坐标是，其中，则（ ）A.B.C.D.4.设向量，满足，等于（ ）A. B.2C.5D.85.若无论为何值，直线与双曲线总有公共点，则的取值范围是（ ）A. B.C.，且 D.，且6.已知函数的图象关于原点对称，且满足，且当时，，若，则等于（ ）A.B.C. D.7.已知正三棱台所有顶点均在半径为5的半球球面上，且棱台的高为（ ）A.1B.4C.7D.1或78.北宋数学家沈括博学多才、善于观察.据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：{}0,1,2,311x -<240x x -<αP ()3,4a a 0a ≠sin2α=4372524252425-a b a b += a b -=a b ⋅ θsin cos 10y x θθ⋅+⋅+=2215x y m -=m 1m ≥01m <≤05m <<1m ≠1m ≥5m ≠()2f x ()()130f x f x ++-=()2,4x ∈()()12log 2f x x m =--+()()2025112f f -=-m 132323-13-111ABC A B C -AB =11A B =“怎么求这些酒坛的总数呢？”经过反复尝试，沈括提出对于上底有个，下底有个，共层的堆积物（如图所示），可以用公式求出物体的总数，这就是所谓的“隙积术”，相当于求数列，的和.若由小球堆成的上述垛积共7层，小球总个数为238，则该垛积最上层的小球个数为（）A.2B.6C.12D.20二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若，则下列正确的是（）A. B.C. D.10.对于函数和，下列说法中正确的有（）A.与有相同的零点B.与有相同的最大值点C.与有相同的最小正周期D.与的图象有相同的对称轴11.过点的直线与抛物线交于，两点，抛物线在点处的切线与直线交于点，作交于点，则（）A.B.直线恒过定点C.点的轨迹方程是D.的最小值为选择题答题卡题号1234567891011得分ab cd n()()()2266n nS b d a b d c c a⎡⎤=++++-⎣⎦ab()()()()()()11,22,,11a b a b a n b n cd+++⋅++-+-=2024220240122024(12)x a a x a x a x+=++++2024a=20240120243a a a+++=012320241a a a a a-+-++=12320242320242024a a a a-+--=-()sin cosf x x x=+()sin cos22g x x xππ⎛⎫⎛⎫=---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x()g x()f x()g x()f x()g x()f x()g x()0,2P2:4C x y=()11,A x y()22,B x yC A2y=-N NM AP⊥AB M5OA OB⋅=-MNM()22(1)10y x y-+=≠ABMN答案三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数，的模长为1，且，则________.13.在中，角，，所对的边分别为，，已知，，，则________.14.若正实数是函数的一个零点，是函数的一个大于e 的零点，则的值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）现有某企业计划用10年的时间进行技术革新，有两种方案：贷款利润A 方案一次性向银行贷款10万元第1年利润1万元，以后每年比前一年增加的利润B 方案每年初向银行贷款1万元第1年利润1万元，以后每年比前一年增加利润3000元两方案使用期都是10年，贷款10年后一次性还本付息（年末结息），若银行贷款利息均按的复利计算.（1）计算10年后，A 方案到期一次性需要付银行多少本息？（2）试比较A 、B 两方案的优劣.（结果精确到万元，参考数据：，）16.（本小题满分15分）如图，四棱锥中，底面为等腰梯形，.点在底面的射影点在线段上.（1）在图中过作平面的垂线段，为垂足，并给出严谨的作图过程；（2）若.求平面与平面所成锐二面角的余弦值.17.（本小题满分15分）1z 2z 21111z z +=12z z +=ABC ∆A B C a b c 5a =4b =()31cos 32A B -=sin B =1x ()2e e xf x x x =--2x ()()()3e ln 1e g x x x =---()122e ex x -25%10%101.12.594≈101.259.313≈P ABCD -ABCD 222AD AB BC ===P Q AC A PCD H 2PA PD ==PAB PCD已知函数，为的导数.（1）证明：当时，；（2）设，证明：有且仅有2个零点.18.（本小题满分17分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的两个焦点为、，为椭圆上一动点，设，当时，.（1）求椭圆的标准方程.（2）过点的直线与椭圆交于不同的两点、（在，之间），若为椭圆上一点，且，①求的取值范围；②求四边形的面积.19.（本小题满分17分）飞行棋是大家熟悉的棋类游戏，玩家通过投掷骰子来决定飞机起飞与飞行的步数.当且仅当玩家投郑出6点时，飞机才能起飞.并且掷得6点的游戏者可以连续投掷骰子，直至显示点数不是6点.飞机起飞后，飞行步数即骰子向上的点数.（1）求甲玩家第一轮投掷中，投郑次数的均值）（2）对于两个离散型随机变量，，我们将其可能出现的结果作为一个有序数对，类似于离散型随机变量的分布列，我们可以用如下表格来表示这个有序数对的概率分布：（记，）()e sin cos x f x x x =+-()f x '()f x 0x ≥()2f x '≥()()21g x f x x =--()g x xOy 2222:1(0)x y C a b a b+=>>1F 2F P C 12F PF θ∠=23πθ=12F PF ∆C ()0,2B l M N M B N Q C OQ OM ON =+ OBMOBNS S OMQN X 11()()lim ()n n k k E X kP k kP k ∞→∞==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑ξη()()()11,m i i ijj p x p x p x y ξ====∑()()()21,njjiji p y p y p x y η====∑ξη1x 2x ⋯nx 1y ()11,p x y ()21,p x y ⋯()1,n p x y ()21p y 2y ()12,p x y ()22,p x y()2,n p x y ()22p y1若已知，则事件的条件概率为.可以发现依然是一个随机变量，可以对其求期望.（ⅰ）上述期望依旧是一个随机变量（取值不同时，期望也不同），不妨记为，求；（ⅱ）若修改游戏规则，需连续掷出两次6点飞机才能起飞，记表示“甲第一次未能掷出6点”表示“甲第一次掷出6点且第二次未能掷出6点”，表示“甲第一次第二次均掷出6点”，为甲首次使得飞机起飞时抛掷骰子的次数，求.⋯⋯⋯⋯⋯⋯my ()1,m p x y ()2,m p x y ⋯(),n m p x y ()2m p y ()11p x ()12p x()1n p x i x ξ={}j y η={}{}{}()()1,,j i i j jii i P y x p x y Py x P x p x ηξηξξ=======∣i x ηξ=∣{}{}1mi j j i j E x y P y x ηξηξ===⋅==∑∣∣()()111,mj i j i i y p x y p x ==⋅∑ξ{}E ηξ∣{}E E ηξ⎡⎤⎣⎦∣0ξ=1ξ=2ξ=ηE η湖南师大附中2025届高三月考试卷（三）数学参考答案题号1234567891011答案CACBBDABBCACDBC一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.C 【解析】集合共有（个）真子集.故选C.2.A 【解析】解不等式，得，解不等式，得，所以“”是“”的充分不必要条件.3.C 【解析】根据三角函数的概念，，，故选C.4.B 【解析】.5.B 【解析】易得原点到直线的距离，故直线为单位圆的切线，由于直线与双曲线总有公共点，所以点必在双曲线内或双曲线上，则.6.D 【解析】依题意函数的图象关于原点对称，所以为奇函数，因为，故函数的周期为4，则，而，所以由可得，而，所以，解得.7.A 【解析】上下底面所在外接圆的半径分别为，，过点，，，的截面如图：{}0,1,2,342115-=240x x -<04x <<11x -<02x <<11x -<240x x -<44tan 33y a x a α===22sin cos 2tan 24sin211tan 25ααααα===+()2211()()1911244a b a b a b ⎡⎤⋅=+--=⨯-=⎣⎦ 1d ==2215x y m -=()1,0±01m <≤()f x ()f x ()()()133f x f x f x +=--=-()f x ()()20251f f =()()11f f -=-()()2025112f f -=-()113f =()()13f f =-()121log 323m --=13m =-13r =24r =A 1A 1O 2O，，，故选A.8.B 【解析】由题意，得，，则由得，整理得，所以.因为，为正整数，所以或6.因此有或而无整数解，因此.故选B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.BC 【解析】对于A ：令，则，故A 错误；对于B ：令，则，故B 正确；对于C ：令，则，故C 正确；对于D ，由，两边同时求导得，令，则，故D 错误.故选BC.10.ACD 【解析】，.令，则，；令，则，，两个函数的零点是相同的，故选项A 正确.的最大值点是，，的最大值点是，，两个函数的最大值虽然是相同的，但最大值点是不同的，故选项B 不正确.由正弦型函数的最小正周期为可知与有相同的最小正周期，故选项C 正确.曲线的对称轴为，，曲线的对称轴为，，两个函数的图象有相同的对称轴，故选项D 正确.故选ACD.11.BC 【解析】作图如下：24OO ==13OO ==211h OO OO ∴=-=6c a =+6d b =+()()()772223866b d a b dc c a ⎡⎤++++-=⎣⎦()()()()77262126623866b b a b b a a a ⎡⎤++++++++-=⎣⎦()321ab a b ++=773aba b +=-<a b 3ab =6,3a b ab +=⎧⎨=⎩5,6.a b ab +=⎧⎨=⎩63a b ab +=⎧⎨=⎩6ab =0x =01a =1x =20240120243a a a +++= 1x =-012320241a a a a a -+-++= 2024220240122024(12)x a a x a x a x +=++++ 202322023123202420242(12)232024x a a x a x a x ⨯⨯+=++++ 1x =-12320242320244048a a a a -++-=- ()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()3244g x x x πππ⎛⎫⎛⎫=--=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()0f x =4x k ππ=-+k ∈Z ()0g x =34x k ππ=+k ∈Z ()f x 24k ππ+k ∈Z ()g x 324k ππ-+k ∈Z 2πω()f x ()g x 2π()y f x =4x k ππ=+k ∈Z ()y g x =54x k ππ=+k ∈Z设直线的方程为（斜率显然存在），，，联立消去整理可得，由韦达定理得，，A.，，故A 错误；B.抛物线在点处的切线为，当时，，即，直线的方程为，整理得，直线恒过定点，故B 正确；C.由选项B 可得点在以线段为直径的圆上，点除外，故点的轨迹方程是，故C 正确；D.，则，，，则，设，，当单调递增，所以，故D 错误.故选BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.AB 2y tx =+211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭22,4,y tx x y =+⎧⎨=⎩x 2480x tx --=124x x t +=128x x =-221212444x x y y =⋅=1212844OA OB x x y y ⋅=+=-+=- C A 21124x x x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2y =-11121244282222x x x x x t x x =-=-=+=-()2,2N t -MN ()122y x t t +=--xy t=-MN ()0,0M OP O M ()22(1)10y x y -+=≠2MN AB ===22ABMN ===m =m ≥12ABm MN m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()1f m m m =-m ≥()2110f m m=+>'m ≥()f m min ()f m f==12.1【解析】设，，因为，所以.因为，，所以，所以，所以，，所以.【解析】在中，因为，所以.又，可知为锐角且.由正弦定理，，于是.将及的值代入可得，平方得，故.14.e 【解析】依题意得，，即，，，即，，，，，又，，同构函数：，则，又，，，，又，，单调递增，，.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【解析】（1）A 方案到期时银行贷款本息为（万元）.……（3分）()1i ,z a b a b =+∈R ()2i ,z c d cd =+∈R 21111z z +=1222111z z z z z z +=111z z =221z z =121z z +=()()i i i 1a b c d a c b d -+-=+-+=1a c +=0b d +=()()12i 1z z a c b d +=+++=ABC ∆a b >A B >()31cos 32A B -=A B -()sin A B -=sin 5sin 4A aB b ==()()()5sin sin sin sin cos cos sin 4B A A B B A B B A B B ⎡⎤==-+=-+-⎣⎦()cos A B -()sin A B -3sin B B =2229sin 7cos 77sin B B B ==-sin B =1211e e 0xx x --=1211e e xx x -=10x >()()322e ln 1e 0x x ---=()()322e ln 1e x x --=2e x >()()()131122e e e e ln 1x x x x x ∴-==--()()()11122e e ln 1e x x x x +∴-=--()()()21ln 11112e e ln 1e e x x x x -++⎡⎤∴-=--⎣⎦2ln 1x > 2ln 10x ->∴()()1e e ,0x F x x x +=->()()312ln 1e F x F x =-=()()111e e e e e 1e x x x x F x x x +++=-+'=-+0x > 0e e 1x ∴>=e 10x ∴->1e 0x x +>()0F x ∴'>()F x 12ln 1x x ∴=-()()()31222222e ln 1e e e eeex x x x ---∴===()1010110%26⨯+≈（2）A 方案10年共获利：（万元），……（5分）到期时银行贷款本息为（万元），所以A 方案净收益为：（万元），……（7分）B 方案10年共获利：（万元），……（9分）到期时银行贷款本息为（万元），……（11分）所以B 方案净收益为：（万元），……（12分）由比较知A 方案比B 方案更优.……（13分）16.【解析】（1）连接，有平面，所以.在中，.同理，在中，有.又因为，所以，，所以，，故，即.又因为，，平面，所以平面.平面，所以平面平面.……（5分）过作垂直于点，因为平面平面，平面平面，且平面，有平面.……（7分）（2）依题意，.故为，的交点，且.所以过作直线的平行线，则，，，两两垂直，以为原点建立如图所示空间直角坐标系，()1091.2511125%(125%)33.31.251-+++++=≈- 1010(110%)25.9⨯+≈33.325.97-≈()()101010.31 1.3190.310123.52⨯-⨯++++⨯=⨯+= ()()10109 1.11.11(110%)(110%)110%17.51.11-++++++=≈- 23.517.56-≈PQ PQ ⊥ABCD PQ CD ⊥ACD ∆2222cos 54cos AC AD CD AD CD ADC ADC =+-⋅⋅∠=-∠ABC ∆222cos AC ABC =-∠180ABC ADC ∠+∠= 1cos 2ADC ∠=()0,180ADC ∠∈ 60ADC ∠=AC =222AC CD AD +=AC CD ⊥PQ AC Q = PQ AC ⊂PAC CD ⊥PAC CD ⊂PCD PCD ⊥PAC A AH PC H PCD ⊥PAC PCD PAC PC =AH ⊂PAC AH ⊥PCD AQ DQ ==Q AC BD 2AQ ADCQ BC==23AQ AC ==PQ ==C PQ l l AC CD C则：，，，，所以，，，.设平面的法向量为，则取.同理，平面的法向量，，……（14分）故所求锐二面角余弦值为.……（15分）17.【解析】（1）由，设，则，当时，设，，，，和在上单调递增，，，当时，，，则，函数在上单调递增，，即当时，.()1,0,0D P ⎛ ⎝()A 12B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭()1,0,0CD = CP ⎛= ⎝ 0,AP ⎛= ⎝ 1,2BP ⎛= ⎝ PCD (),,m x y z =)0,0,m CD x m CP y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩()0,m =- PAB )1n =-1cos ,3m n m n m n ⋅==13()e cos sin xf x x x =+'+()e cos sin xh x x x =++()e sin cos xh x x x =+'-0x ≥()e 1x p x x =--()sin q x x x =-()e 10x p x ='-≥ ()1cos 0q x x ='-≥()p x ∴()q x [)0,+∞()()00p x p ∴≥=()()00q x q ≥=∴0x ≥e 1x x ≥+sin x x ≥()()()e sin cos 1sin cos sin 1cos 0xh x x x x x x x x x =-+≥+-+=-++≥'∴()e cos sin x h x x x =++[)0,+∞()()02h x h ∴≥=0x ≥()2f x '≥（2）由已知得.①当时，，在上单调递增，又，，由零点存在定理可知，在上仅有一个零点.……（10分）②当时，设，则，在上单调递减，，，，在上单调递减，又，，由零点存在定理可知在上仅有一个零点，综上所述，有且仅有2个零点.……（15分）18.【解析】（1）设，为椭圆的焦半距，，，当时，最大，此时或，不妨设，当时，得，所以，又因为，所以，.从，而椭圆的标准方程为.……（3分）（2）由题意，直线的斜率显然存在.设，.……（4分），同理，..……（6分）联立，……（8分）()e sin cos 21xg x x x x =+---0x ≥()()e cos sin 220x g x x x f x =+='+--'≥ ()g x ∴[)0,+∞()010g =-< ()e 20g πππ=->∴()g x [)0,+∞0x <()2sin cos (0)e x x xm x x --=<()()2sin 10exx m x -=≤'()m x ∴(),0-∞()()01m x m ∴>=e cos sin 20x x x ∴++-<()e cos sin 20x g x x x ∴=++-<'()g x ∴(),0-∞()010g =-< ()e 20g πππ--=+>∴()g x (),0-∞()g x ()00,P x y c C 12122F PF p S c y ∆=⋅⋅00y b <≤ 0y b =12F PF S ∆()0,P b ()0,P b -()0,P b 23πθ=213OPF OPF π∠=∠=c =12F PF S bc ∆==1b =c =2a =∴C 2214x y +=l ()11: 2.,l y kx M x y =+()22,N x y 1112OBM S OB x x ∆∴=⋅=2OBN S x ∆=12OBM OBN S xS x ∆∆∴=()22222,141612044y kx k x kx x y =+⎧⇒+++=⎨+=⎩，.……（9分）又，，，同号..，，.令，则，解得，.……（12分）（3），.且四边形为平行四边形.由（2）知，，.而在椭圆上，.化简得.……（14分）线段，……（15分）到直线的距离……（16分）.……（17分）()()222Δ(16)4121416430k k k∴=-⨯⨯+=->234k ∴>1221614k x x k -+=+ 12212014x x k=>+1x ∴2x ()()2222122121212216641421231414k x x x x k k x x x x k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭∴===++++234k > ()2226464164,1331434k k k ⎛⎫∴=∈ ⎪⎛⎫+⎝⎭+ ⎪⎝⎭211216423x x x x ∴<++<()120x x λλ=≠116423λλ<++<()1,11,33λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()1,11,33OBM OBN S S ∆∆⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ OQ OM ON =+()1212,Q x x y y ∴++OMQN 1221614k x x k -+=+()121224414y y k x x k ∴+=++=+22164,1414k Q k k -⎛⎫∴ ⎪++⎝⎭Q C 2222164441414k k k -⎛⎫⎛⎫∴+⨯= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭2154k =∴MN ====O MN d ==OMQN S MN d ∴=⋅==四边形19.【解析】（1），，2，3，…，所以，，2，3，…，记，则.作差得：，所以，.故.……（6分）（2）（ⅰ）所有可能的取值为：，.且对应的概率，.所以，又，所以.……（12分）（ⅱ），；，；，，，故.……（17分）()11566k P X k -⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭1k =()56k k k P X k ⋅==1k =()21111512666nn k kP k n =⎛⎫=⨯+⨯++⨯ ⎪⎝⎭∑ 211112666n n S n =⨯+⨯++⨯ 2311111126666n n S n +=⨯+⨯++⨯ 1211111511111111661666666556616n n n n n n n S n n ++⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++-⨯=-⨯=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭- 611155566n n n S ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅-+⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()16615556n nn k kP k S n =⎛⎫⎛⎫==-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑116616()()lim ()lim 5565nn n n k k E X kP k kP k n ∞→∞→∞==⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-+=⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑{}E ηξ∣{}i E x ηξ=∣1,2,,i n = {}{}()()()1ii i p E E x p x p x ηξηξξ=====∣∣1,2,,i n = {}()()()()()111111111[{}],,nnm n m i i j i j i j i j i i j i j i E E E x p x y p x y p x y p x y p x ηξηξ=====⎛⎫==⋅=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∣∣()()()()21111111,,,n m m n mn mj i j j i j j i j j j i j j i j i j y p x y y p x y y p x y y p y E η=======⎛⎫⋅=⋅==⋅= ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑{}E E E ηξη⎡⎤=⎣⎦∣{}01E E ηξη==+∣156p ={}12E E ηξη==+∣2536p ={}22E η==3136p ={}()()5513542122636363636E E E E E E ηηηηηξ⎡⎤==++++⨯=+⎣⎦∣42E η=。

2021年高三数学第一次月考试题文（含解析）湘教版【试卷综评】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。

本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页。

时量120分钟。

满分150分。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】1．已知a是实数，a＋i1－i是纯虚数，则a＝( )A．1 B．－1 C. 2 D．－2【知识点】复数代数形式的运算. L4【答案解析】A 解析：因为是纯虚数，所以，即，故选A.【思路点拨】先把原复数化简，再令实部等于0即可解得a的值.【题文】2．极坐标方程所表示的曲线是( )A．一条直线 B．一个圆 C．一条抛物线 D．一条双曲线【知识点】极坐标方程.N3【答案解析】C 解析：把两边同时乘以可得：，又因为，代入可得,表示一条抛物线,故选C. 【思路点拨】把原式变形，再把代入即可化简.【题文】3．设集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x≥1}，则“x∈A且x∉B”成立的充要条件是( )A ．－1<x≤1B ．x ≤1C ．x>－1D ．－1<x<1【知识点】集合的运算.A1【答案解析】D 解析：因为集合A ＝{x|x>－1}，B ＝{x|x≥1}，所以x ∈A 且x ∉B 可得－1<x<1. 故选D.【思路点拨】利用交集与补集的运算即可.【题文】4．如果函数f(x)＝sin(π2x ＋θ)(0<θ<π)是最小正周期为T 的偶函数，那么( )A ．T ＝4π，θ＝π2B ．T ＝4，θ＝π2C ．T ＝4，θ＝π4D ．T ＝4π，θ＝π4【知识点】函数的周期性；函数的奇偶性.B4 B5【答案解析】B 解析：由周期的公式可得：，若为偶函数，则必为的奇数倍，而在中只有满足题意，所以，故选B.【思路点拨】先利用公式求出周期，再结合偶函数的性质得到即可.【题文】5．已知a ，b 为两条直线，α，β为两个平面，下列命题中正确的是( )A ．若α∥b ，β∥b ，则α∥βB ．若α∥a ，α∥b ，则a ∥bC ．若a ⊥α，b ⊥β，则α∥βD ．若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β【知识点】 空间中线线、线面间的位置关系. G4 G5【答案解析】D 解析：对于A ：若α∥b ，β∥b ，则α∥β或相交，故A 错误；对于B ：若α∥a ，α∥b ，则a 与b 平行、相交或异面.故B 错误；对于C ：明显错误；对于D ：若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β，正确.故选D.【思路点拨】依据定理、公理依次排除即可.【题文】6．若ax2＋bx ＋c<0的解集为{x|x<－2或x>4},则对于函数f(x)＝ax2＋bx ＋c 应有( )A ．f(5)<f(2)<f(－1)B ．f(5)<f(－1)<f(2)C ．f(－1)<f(2)<f(5)D ．f(2)<f(－1)<f(5)【知识点】函数的单调性；函数的对称性.B3 B5【答案解析】B 解析：因为ax2＋bx ＋c<0的解集为{x|x<－2或x>4}，可知：，，解得：，代入，即，所以，表示开口方向向下，对称轴为1的抛物线，则函数在递减，所以，而由对称性可得：，所以，故选B.【思路点拨】先由不等式的解集判断出a 的符号以及与b ，c 的关系，再由单调性得到的关系为，而由对称性可得：即可得解.【题文】7.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则得到的这个新三角形的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度决定【知识点】余弦定理.C8【答案解析】A 解析：设增加同样的长度为x ，原三边长为a 、b 、c ，且c2＝a2＋b2，a ＋b>c.新的三角形的三边长为a ＋x 、b ＋x 、c ＋x ，知c ＋x 为最大边，其对应角最大．而(a ＋x)2＋(b ＋x)2－(c ＋x)2＝x2＋2(a ＋b －c)x>0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正，则为锐角，那么它为锐角三角形．故选A.【思路点拨】设增加同样的长度为x ，原三边长为a 、b 、c ，且c2＝a2＋b2，a ＋b>c.新的三角形的三边长为a ＋x 、b ＋x 、c ＋x ，知c ＋x 为最大边，其对应角最大．而(a ＋x)2＋(b＋x)2－(c ＋x)2＝x2＋2(a ＋b －c)x>0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正即可判断.【题文】8．若1a <1b<0，则下列不等式中不正确的是( ) A ．ab<b2 B ．a ＋b<ab C ．a2>b2 D.b a ＋a b>2 【知识点】比较大小.E1【答案解析】C 解析：令代入检验可排除A,B,D ；故选C.【思路点拨】利用排除法与赋值法相结合可得结果.【题文】9．已知an ＝logn ＋1(n ＋2)(n∈N *)，观察下列运算：( )a1·a2＝log23·log34＝lg 3lg 2·lg 4lg 3＝2； a1·a2·a3·a4·a5·a6＝log23·log34·……·log78＝lg 3lg 2·lg 4lg 3·……·lg 8lg 7＝3；……. 若a1·a2·a3·……·ak (k∈N *)为整数，则称k 为“企盼数”，试确定当a1·a2·a3·……·ak ＝2 014时，“企盼数”k 为A ．22 014＋2B ．22 014C ．22 014－2D ．22 014－4【知识点】对数的运算.B7【答案解析】C 解析： a1·a2·a3·……·ak＝lg （k ＋2）lg 2＝2 014⇒lg(k ＋2)＝lg 22 014⇒k ＝22 014－2.【思路点拨】由新定义计算a1·a2·a3·……·ak 后再解方程即可.【题文】10．过点(－2，0)的直线l 与抛物线y ＝x22相交于两点，且在这两个交点处抛物线的切线互相垂直，则直线l 的斜率k 等于( )A ．－16B ．－14 C.14 D.12【知识点】导数的几何意义；抛物线的性质.B11 H7【答案解析】C 解析：对抛物线y ＝x22，y′＝x ，l 的方程是y ＝k(x ＋2)代入y ＝x22得：x2－2kx －4k ＝0，设两个交点是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4k2＋16k>0x1x2＝－4k ，而在这两个交点处抛物线的切线互相垂直即x1x2＝－1.∴k＝14且满足Δ>0. 【思路点拨】设出直线方程再与抛物线方程联立转化为关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系以及判别式求出，然后结合在这两个交点处抛物线的切线互相垂直即可得到结果.二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．11．在200个产品中，一等品40个，二等品60个，三等品100个，用分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本，则从二等品中应抽取___个．【知识点】分层抽样.I1【答案解析】12 解析：用分层抽样的方法抽取的比例为，所以从二等品中应抽取，故答案为12.【思路点拨】分层抽样的特点是按比例进行抽取，先计算出抽取的比例，在计算从二等品中应抽取的个数即可.【题文】12．阅读右边的框图填空：若a ＝0.80.3，b ＝0.90.3，c ＝log50.9，则输出的数是___．【知识点】程序框图；指数函数、对数函数的性质.B6 B7 L1【答案解析】b(或0.90.3)解析：因为由指数函数、对数函数的性质可知：0.30.350.80.9log 0.9<0a b c ＝>0，＝>0，＝，且，根据框图的流程指向可得输出的结果为b ，故答案为b(或0.90.3).【思路点拨】先根据指数函数、对数函数的性质判断出a ，b ，c 的大小关系，再由框图的流程指向可得输出的结果.【题文】13．若直线y ＝kx 与圆x2＋y2－4x ＋3＝0相切，则k 的值是____．【知识点】直线与圆的位置关系.H4【答案解析】 解析：因为直线y ＝kx 与圆x2＋y2－4x ＋3＝0相切，所以圆心到直线的距离，解得，故答案为.【思路点拨】直线y ＝kx 与圆x2＋y2－4x ＋3＝0相切转化为圆心到直线的距离等于圆的半径，列出方程解之即可.【题文】14．设函数f(x)＝x(ex ＋1)＋12x2，则函数f(x)的单调递增区间为____． 【知识点】函数的单调性与导数的关系.B12【答案解析】解析：因为函数f(x)＝x(ex ＋1)＋12x2，所以其导函数为：，又因为求其单调递增区间，所以，即，解得：，故答案为.【思路点拨】先求导，再利用解不等式即可.【题文】15．当n 为正整数时，定义函数N(n)表示n 的最大奇因数．如N(3)＝3，N(10)＝5，….记S(n)＝N(1)＋N(2)＋N(3)＋…＋N(2n)．则(1)S(3)＝____；(2)S(n)＝____.【知识点】函数值的求解.B1【答案解析】22； 4n ＋23解析：由题设知，N(2n)＝N(n)，N(2n －1)＝2n －1. 又S(0)＝N(1)＝1.(1)S(3)＝[N(1)＋N(3)＋N(5)＋N(7)]＋[N(2)＋N(4)＋N(6)＋N(8)]＝[1＋3＋5＋7]＋[N(1)＋N(2)＋N(3)＋N(4)]＝42＋S(2)＝42＋41＋S(1)＝42＋41＋40＋S(0)＝22.(2)S(n)＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋[N(2)＋N(4)＋N(6)＋…＋N(2n)]＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋[N(1)＋N(2)＋N(3)＋…＋N(2n －1)]，∴S(n)＝4n －1＋S(n －1)(n≥1)，∴S(n)＝4n －1＋4n －2＋…＋41＋40＋1＝4n ＋23. 【思路点拨】（1）由题意可得，S （3）=N （1）+N （2）+N （3）+…+N （8），分别寻求每一项的值，然后可求;（2）先根据题意求出当n=1时，S （1）=N （1）+N （2），S （2）=N （1）+N （2）+N （3）+N（4），S （3）=N （1）+N （2）+N （3）+N （4）+…+N （8），S （4）=N （1）+N （2）+N （3）+N （4）+…+N （16），根据值出现的规律总结一般规律，然后可求.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．(本题满分12分)已知函数f(x)＝3sin ωx ·cos ωx ＋cos2ωx ＋1(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求当x∈(0，π2]时f(x)的值域． 【知识点】二倍角公式；三角函数的最值.C4 C6【答案解析】(1) ω＝2. (2) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，52 解析：(1)f(x)＝3sin ωxcos ωx ＋1＋cos 2ωx 2＋1＝32sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋32＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋32. ∵ω>0，∴T＝2πω＝π，∴ω＝2. (6分) (2)由(1)得：f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32., ∵0<x ≤π2，∴π6<2x ＋π6≤7π6， ∴－12≤sin(2x ＋π6)≤1，∴1≤f (x)≤52，∴f(x)的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，52. (12分) 【思路点拨】(1)先利用二倍角公式化简，再利用周期公式求出ω即可；(2)结合单调性求出最值.【题文】17．(本题满分12分)某中学高三(1)班共有50名学生，他们每天自主学习的时间在180到330分钟之间，将全第二组 [210，240) 10 0.2 第三组[240，270) 12 0.24 第四组[270，300) a b 第五组 [300，330) 6 c(1)求表中a 、b 、c 的值；(2)某课题小组为了研究自主学习时间与成绩的相关性，需用分层抽样的方法从这50名学生中随机抽取20名作统计分析，则在第二组学生中应抽取多少人？(3)已知第一组学生中有3名男生和2名女生，从这5名学生中随机抽取2人，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．【知识点】频率分布表；分层抽样；古典概型.I1 I2 K2【答案解析】 (1) a ＝17，b ＝0.34，c ＝0.12. (2)4 (3) P ＝35. 解析： (1)由表知5＋10＋12＋a ＋6＝50，则a ＝17，b ＝1750＝0.34，c ＝650＝0.12. (4分) (2)因为10×2050＝4，所以在第二组学生中应抽取4人． (7分) (3)从5名学生中随机抽取2人有10种取法(可列举出来)，其中恰好抽到1名男生和1名女生的情况有6种(也列举出来)，则所求概率P ＝610＝35. (12分) 【思路点拨】(1) 根据总数为50 先求a 的值，再计算b ，c 即可(2) 按比例抽取即可，(3)列举出从5名学生中随机抽取2人的所有情况，再找出满足题意的情况，代入公式即可.【题文】18．(本题满分12分)如图，已知三棱锥P －ABC 中，PC⊥平面ABC ，AB⊥BC，PC ＝BC ＝4，AB ＝2，E 、F 分别是PB 、PA 的中点．(1)求证：侧面PAB⊥侧面PBC ；(2)求三棱锥P －CEF 的外接球的表面积．【知识点】面面垂直的判定；组合体.G5 G8【答案解析】(1)见解析 (2) 17π.解析：(1)∵PC⊥平面ABC ，∴AB⊥PC，又AB⊥BC，则AB⊥侧面PBC ，AB ⊂侧面PAB ，故侧面PAB⊥侧面PBC. (6分)(2)∵PC＝BC ＝4，E 为PB 的中点，∴CE⊥PB，而侧面PAB 垂直侧面PBC 于PB ，∴CE⊥EF.由E 、F 分别是PB 、PA 的中点有EF∥AB，则EF⊥侧面PBC.故EC 、EF 、EP 两两垂直， (9分)三棱锥P －CEF 的外接球就是以EC 、EF 、EP 为长、宽、高的长方体的外接球，易求得EC ＝EP ＝22，EF ＝1， 其外接球的直径是8＋8＋1＝17，故所求三棱锥P —CEF 的外接球的表面积是4π⎝ ⎛⎭⎪⎫1722＝17π. (12分) 【思路点拨】(1) PC⊥平面ABC ，∴AB⊥PC，又AB⊥BC，则AB⊥侧面PBC ，AB ⊂侧面PAB ， 故侧面PAB⊥侧面PBC. (2)由已知得到三棱锥P －CEF 的外接球就是以EC 、EF 、EP 为长、宽、高的长方体的外接球即可求出结果.【题文】19．(本题满分13分) 已知函数f(x)＝13x3＋12ax2－(a ＋2)x ＋b(a ，b∈R)在[－1，1]上是减函数． (1)求实数a 的取值范围；(2)设12<a<1，若对任意实数u 、v∈[a－1，a]，不等式|f(u)－f(v)|≤2912恒成立，求实数a 的最小值．【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求最值.B12【答案解析】(1) a≥－12. (2) 34解析： (1)由函数f(x)＝13x3＋12ax2－(a ＋2)x ＋b(a ，b∈R)在[－1，1]上是减函数得： x∈[－1，1]时，f′(x)＝x2＋ax －a －2≤0恒成立． (3分)∴⎩⎪⎨⎪⎧f′（1）＝1＋a －a －2≤0f′（－1）＝1－a －a －2≤0，可得a≥－12. (6分) (2)∵12<a<1，∴－12<a －1<0，∴[a－1，a]⊂[－1，1]， 故f(x)在[a －1，a]上是减函数， (7分)∴fmax＝f(a －1)＝13(a －1)3＋12a(a －1)2－(a ＋2)(a －1)＋b ， fmin ＝f(a)＝13a3＋12a3－a(a ＋2)＋b. 依条件有fmax －fmin≤2912， ∴fmax－fmin ＝－2a2＋52a ＋53≤2912， (11分) 即8a2－10a ＋3≥0，a≥34或a≤12， ∵12<a<1，∴amin＝34. (13分) 【思路点拨】(1) 转化为x∈[－1，1]时，f′(x)＝x2＋ax －a －2≤0恒成立的问题即可；(2)结合已知条件得到f(x)在[a －1，a]上是减函数，再利用fmax －fmin≤2912即可得到结果. 【题文】20．(本题满分13分)如图，已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2c ，0(c 是双曲线的半焦距)，双曲线虚轴的下端点为B.过双曲线的右焦点F(c ，0)作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ，若点D 满足2OD →＝OF →＋OP →(O 为原点)，且A 、B 、D 三点共线．(1)求双曲线的离心率；(2)若a ＝2，过点B 的直线l 交双曲线的左、右支于M 、N 两点，且△OMN 的面积S △OMN ＝26，求l 的方程．【知识点】直线与圆锥曲线的关系；双曲线的简单性质．H6 H8【答案解析】(1) 34 (2) y ＝±24x －1. 解析：(1)∵B(0，－b)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2c ，0，易求得P ⎝⎛⎭⎪⎫c ，b2a . ∵2OD →＝OF →＋OP →，即D 为线段FP 的中点，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b22a . (3分) 又A 、B 、D 共线．而AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a2c ，－b ，AD →＝⎝⎛⎭⎪⎫c －a2c ，b22a ， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫c －a2c ·(－b)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a2c ⎝ ⎛⎭⎪⎫b22a ，得a ＝2b ， (5分) ∴e＝c a ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1＋14＝52. (6分) (2)∵a＝2，而e ＝52，∴b2＝1， 故双曲线的方程为x24－y2＝1.① (7分) ∴B 点的坐标为(0，－1)，设l 的方程为y ＝kx －1，②②代入①得(1－4k2)x2＋8kx －8＝0，由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧1－4k2≠0Δ＝64k2＋32（1－4k2）>0x1·x2＝84k2－1<0，得：k2<14. (9分) 设M 、N 的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则x1＋x2＝8k 4k2－1.而S△OMN＝12|OB|(|x1|＋|x2|)＝12|x1－x2|＝12（x1＋x2）2－4x1·x2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 4k2－12－324k2－1＝22·1－2k21－4k2＝26， (11分) 整理得24k4－11k2＋1＝0，解得：k2＝18或k2＝13(舍去)． ∴所求l 的方程为y ＝±24x －1. (13分) 【思路点拨】(1) 欲求双曲线的离心率，只需找到含a ，c 的齐次式，由已知，易求P 点坐标，根据2OD →＝OF →＋OP → (O 为原点)，可判断D 点为FP 的中点，再根据已知可找到a ，b 的关系，进而转化为含a ，c 的等式，即可求出离心率e 的值．（2）当a=2时，根据（1）中所求离心率，可求出b 的值，进而求出双曲线方程，根据直线MN 过B 点，设出直线MN 的方程，与双曲线方程联立，解出x1+x2，x1x2，△OMN 被y 轴分成两个三角形，分别求出面积，再相加，即为△OMN 的面积，让其等于题目中所给的值，可得到关于直线l 的斜率k 的方程，解出k 即可．【题文】21．(本题满分13分)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤4y ≥0y ≤nx （n∈N *）所表示的平面区域为Dn ，记Dn 内整点的个数为an(横纵坐标均为整数的点称为整点)．(1)n ＝2时，先在平面直角坐标系中作出区域D2，再求a2的值；(2)求数列{an}的通项公式；(3)记数列{an}的前n 项的和为Sn ，试证明：对任意n∈N *恒有S122S2＋S232S3＋…＋Sn （n ＋1）2Sn ＋1<512成立． 【知识点】等差数列的前n 项和；不等式的证明.D2 E7【答案解析】(1)25 (2) 10n ＋5. (3)见解析解析： (1)D2如图中阴影部分所示，∵在4×8的矩形区域内有5×9个整点，对角线上有5个整点，∴a2＝5×9＋52＝25. (3分) (另解：a2＝1＋3＋5＋7＋9＝25)(2)直线y ＝nx 与x ＝4交于点P(4，4n)，据题意有an ＝5×（4n ＋1）＋52＝10n ＋5. (6分) (另解：an ＝1＋(n ＋1)＋(2n ＋1)＋(3n ＋1)＋(4n ＋1)＝10n ＋5)(3)Sn ＝5n(n ＋2)． (8分)∵Sn （n ＋1）2Sn ＋1＝n （n ＋2）（n ＋1）2（n ＋1）（n ＋3）＝1（n ＋1）（n ＋3）·n （n ＋2）（n ＋1）2<1（n ＋1）（n ＋3）， ∴S122S2＋S232S3＋…＋Sn （n ＋1）2Sn ＋1<12×4＋13×5＋…＋1（n ＋1）（n ＋3）(11分) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋13－15＋14－16＋…＋1n ＋1－1n ＋3 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13－1n ＋2－1n ＋3<512. (13分) 【思路点拨】(1) 根据已知条件画出图形即可；(2) 借助于等差数列的前n 项和公式即可；(3)先利用裂项相消法，再结合放缩法即可.DYz33918 847E 葾 !25966 656E 敮24988 619C 憜20439 4FD7 俗19992 4E18 丘;36959 905F 遟 39638 9AD6 髖。

湖南师范大学附属中学2020-2021学年高三上学期第三次月考数学（文）试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若复数21(1)z a a i =-++（i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值是（ ） A ．-1和1 B ．1 C ．-1 D ．02．命题“∃x 0∈(0,+∞)，lnx 0=x 0+1”的否定是（ ）A ．∃x 0∈(0,+∞)，lnx 0≠x 0+1B ．∀x ∉(0,+∞)，lnx ≠x +1C ．∀x ∈(0,+∞)，lnx ≠x +1D ．∃x 0∉(0,+∞)，lnx 0≠x 0+1 3．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是如图所示的一个正方形，则原来的图形是（ ）．A ．B ．C ．D ．4．若变量x ，y 满足约束条件3123x y x y x y +⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则y z x =的最大值为（ ） A ．4 B ．2 C ．12 D ．545．古印度“汉诺塔问题”：一块黄铜平板上装着,,A B C 三根金铜石细柱，其中细柱A 上套着个大小不等的环形金盘，大的在下、小的在上.将这些盘子全部转移到另一根柱子上，移动规则如下：一次只能将一个金盘从一根柱子转移到另外一根柱子上，不允许将较大盘子放在较小盘子上面.若A 柱上现有3个金盘（如图），将A 柱上的金盘全部移到B 柱上，至少需要移动次数为（ ）A ．5B ．7C ．9D ．116．设函数()f x =sin()cos()x x ωϕωϕ+++（ω＞0，||ϕ＜2π）的最小正周期为π，且()f x -=()f x ，则()f x （ ）A ．在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 B ．在3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 C ．在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 D ．在3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 7．已知直线l 过点(),0A a 且斜率为1，若圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，则a 的值为（ ）A ．B ．±C ．2±D ．8．如图，在ABC ∆中，已知5AB =，6AC =，12BD DC =，4AD AC ⋅=，则AB BC ⋅=A ．-45B ．13C ．-13D ．-37 9．设0a b >>，且2ab =，则21()a a a b +-的最小值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．410．已知函数221,10()1,01x x f x x x ⎧--≤<=⎨+≤<⎩，且满足(1)(1)0f x f x +--=，()1x g x x =-，则方程()()f x g x =在[3,5]-上所有实根的和为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．611．已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A BCD -的外接球，3BC =，AB =点E 在线段BD 上，且6BD BE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ）A ．5,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．7,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．9,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 12．已知函数()f x 在R 上都存在导函数()f x '，对于任意的实数都有2()e ()x f x f x -=，当0x <时，()()0f x f x '+>，若e (21)(1)a f a f a +≥+，则实数a 的取值范围是( )A ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．[0,)+∞ D ．(,0]-∞二、填空题 13．九进制数2018化为十进制数为________．14．设F 1，F 2是双曲线C ，22221a x y b-=(a>0,b>0)的两个焦点．若在C 上存在一点P ．使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2=30°，则C 的离心率为________________.15．设数列{}n a 满足12a =，26a =，且2122n n n a a a ++-+=，则n a =______. 16．把函数f (x )＝x 3－3x 的图象C 1向右平移u 个单位长度，再向下平移v 个单位长度后得到图象C 2，若对任意u ＞0，曲线C 1与C 2至多只有一个交点，则v 的最小值为_________．三、解答题17．2021年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为,,,,,A B C D E F .享受情况如下表，其中“”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.（i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii ）设M 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M 发生的概率.18．在ABC ∆中，角A B C 、、的对边长分别为a b c 、、cos 1B B -=，且1b =．（1）若512A π=，求c 的值； （2）设AC 边上的高为h ，求h 的最大值．19．如图，矩形BDEF 垂直于正方形,ABCD GC 垂直于平面ABCD ．且22AB DE CG ===．（1）求三棱锥A FGC -的体积；（2）求证：面GEF ⊥面AEF ．20．已知椭圆2222:1(0)x y L a b a b+=>>的一个焦点与抛物线28y x =的焦点重合，点在L 上．（1）求L 的方程；（2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与L 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ，证明：OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．21．设函数2()(1)x f x xe a x =++，其中a ∈R ．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a >时，试证明：函数()f x 有且仅有两个零点()1212,x x x x <，且122x x +<-．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin x a y b φφ=⎧⎨=⋅⎩（0a b >>，φ为参数），曲线1C上的点2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭对应的参数3πϕ=．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 是圆心在极轴上，且经过极点的圆．射线3πθ=与曲线2C 交于点1,3D π⎛⎫ ⎪⎝⎭． （1）求曲线2C 的直角坐标方程；（2）若点()1,A ρθ，2,2B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在曲线1C 上，求221211ρρ+的值． 23．已知函数()241f x x x =-++，x ∈R ．（1）解不等式()9f x ≤；（2）若方程()2f x x a =-+在区间[]0,2有解，求实数a 的取值范围．参考答案1．B【分析】根据纯虚数概念,即可求得a 的值.【详解】因为复数21(1)z a a i =-++是纯虚数所以实部为0,即210a -=解得1a =±又因为纯虚数10a +≠ ,即1a ≠-所以1a =所以选B【点睛】本题考查了复数的基本概念，纯虚数的定义，属于基础题．2．C【解析】【分析】按规则写出存在性命题的否定即可.【详解】命题“∃x 0∈(0,+∞)，lnx 0=x 0+1”的否定为“∀x ∈(0,+∞)，lnx ≠x +1”， 故选C.【点睛】全称命题的一般形式是：∀x ∈M ，p (x )，其否定为∃x ∈M,¬p (x ).存在性命题的一般形式是∃x ∈M ，p (x )，其否定为∀x ∈M,¬p (x ).3．A【解析】试题分析：由斜二测画法的规则知与x'轴平行或重合的线段与x ’轴平行或重合，其长度不变，与y 轴平行或重合的线段与x ’轴平行或重合，其长度变成原来的一半，正方形的对角线在y'轴上，可求得其长度为，故在平面图中其在y 轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为2，观察四个选项，A 选项符合题意．故应选A ．考点：斜二测画法．点评：注意斜二测画法中线段长度的变化．4．B【解析】【分析】画出约束条件所表示的平面区域，结合图象，得出当过点A时，直线的斜率最大，即可求解，得到答案.【详解】画出约束条件3123x yx yx y+⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩所表示的平面区域，如图所示，由目标函数yzx=，可化为yzx-=-表示平面区域的点与原点(0,0)O连线的斜率，结合图象可知，当过点A时，此时直线的斜率最大，又由31x yx y+=⎧⎨-=-⎩，解得(1,2)A，所以目标函数的最大值为20210z-==-，故选B.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．5．B【分析】设细柱A 上套着n 个大小不等的环形金盘，至少需要移动次数记为{}n a ，则121n n a a -=+，利用该递推关系可求至少需要移动次数.【详解】设细柱A 上套着n 个大小不等的环形金盘，至少需要移动次数记为{}n a .要把最下面的第n 个金盘移到另一个柱子上，则必须把上面的1n -个金盘移到余下的一个柱子上，故至少需要移动1n a -次.把第n 个金盘移到另一个柱子上后，再把1n -个金盘移到该柱子上，故又至少移动1n a -次，所以121n n a a -=+，11a =，故23a =，37a =，故选B.【点睛】本题考查数列的应用，要求根据问题情境构建数列的递推关系，从而解决与数列有关的数学问题.6．A【分析】由题意结合三角恒等变换得()+4f x x πωϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由三角函数的性质可得ω、ϕ，再由三角函数的图象与性质即可得解.【详解】由题意()sin()cos()+4f x x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+++=+ ⎪⎝⎭， 因为函数()f x 的最小正周期为π，且()f x -=()f x ， 所以2ππω=，且+4πϕ=,2k k Z ππ+∈，解得ω=2，ϕ=,4k k Z ππ+∈，又||ϕ<2π，所以ϕ=4π，所以()f x 2+2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭2x ，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()20,x π∈，故()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故A 正确，C 错误； 当3,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,232x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故()f x 在3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，故B 、D 错误. 故选：A.【点睛】本题考查了三角函数图象与性质的综合应用，考查了三角恒等变换的应用，牢记三角函数图象的特征是解题关键，属于中档题.7．D【分析】根据直线l 过点(),0A a 且斜率为1，写出直线方程，再根据圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，结合半径，则由圆心到直线的距离为1求解.【详解】因为直线l 过点(),0A a 且斜率为1，所以直线方程为y x a =-，即0x y a --=，因为圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，所以圆心到直线的距离为：1，1=，解得a =故选：D【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.8．D【分析】先用AB 和AC 表示出2 A AB BC AB C AB ⋅=⋅-，再根据，12BD DC =用用AB 和AC 表示出AD ，再根据4AD AC ⋅=求出A AB C ⋅的值，最后将A AB C ⋅的值代入2A AB BC AB C AB ⋅=⋅-，，从而得出答案． 【详解】()2A =A AB BC AB C AB AB C AB ⋅=⋅-⋅-，∵12BD DC =， ∴111B C ?C B 222AD A A AD AD A AD A -=-=-+（），整理可得：12AB 33AD AC +＝， 221A A 433AD AC AB C C ∴⋅⋅+=＝∴ A =-12AB C ⋅，∴2=A =122537AB BC AB C AB ⋅⋅---=-．， 故选：D ．【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算，注意运用平面向量的基本定理，以及向量的数量积的性质，考查了运算能力，属于中档题． 9．D 【解析】 【分析】 由221112()2()()()a a ab a a b a a b a a b a a b +=-++=-++---，利用基本不等式，即可求解，得到答案． 【详解】因为0a b >>，∴()0a a b ->， 又由2ab =，所以221112()2()()()a a ab a a b a a b a a b a a b +=-++=-++---2224≥=+=，当且仅当()1a a b -=，即a =b =所以21()a a ab +-的最小值是4，故选D.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最小值，其中解答中根据题意，构造使用基本不等式的使用条件，准确利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题． 10．B 【分析】由题意可知，函数的周期2T =，并画出两个函数的图象，由图象可知两个函数都关于点()1,1对称，根据对称性求方程的实根和.【详解】由于(1)(1)0f x f x +--=，故函数()f x 的周期为2， 画出()f x ()g x 的图象如下图所示．注意到函数()f x 和1()11g x x =+-都关于(1,1)A 中心对称． 所以()()f x g x =在[3,5]-上的四个交点的横坐标，即所有实根关于1x =对称， 由图象可知有4个交点，根据中点坐标公式可得所有实根的和为224⨯=． 故选：B 【点睛】本题考查函数的图象和性质的综合应用，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，本题的关键是由图象判断出两个函数都关于点()1,1对称. 11．A 【解析】分析：过E 作球O 的截面中，面积最大的是过球心O 的截面，最小的是垂直于OE 的截面，求出球的半径，以及垂直于OE 的截面半径，从而可得结果. 详解：显然过E 作球O 的截面中，面积最大的是过球心O 的截面，最小的是垂直于OE 的截面， 设三棱锥的外接球半径为R ，()223R R +-=，解得2R =，截面面积最大为4π，如图，1OH =，2222cos30EH BH BE BH BE =+-⋅⋅113242=+-1367444=-=， 222711144OE EH OH ∴=+=+=， ∴垂直于OE 的截面半径r 满足2221152444r OE =-=-=， 254S r ππ∴==，即截面最小面积为54π， 截面圆面积的取值范围是5,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选A. 点睛：本题主要考球的性质及圆内接三角形的性质、棱锥的体积公式及球的体积公式，属于难题.球内接多面体问题是将多面体和旋转体相结合的题型，既能考查旋转体的对称形又能考查多面体的各种位置关系，做题过程中主要注意以下两点：①多面体每个面都分别在一个圆面上，圆心是多边形外接圆圆心；②注意运用性质2221R r OO =+.12．B【分析】先构造函数，再利用函数奇偶性与单调性化简不等式，解得结果. 【详解】令()()xg x e f x =，则当0x <时，()[()()]0xg x e f x f x ''=+>， 又()()()()x x g x ef x e f xg x --=-==，所以()g x 为偶函数，从而()()211ae f a f a +≥+等价于211(21)(1),(21)(1)a a ef a e f ag a g a +++≥++≥+， 因此22(|21|)(|1|),|21||1|,3200.3g a g a a a a a a -+≥-+-+≥-++≤∴-≤≤选B. 【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性求解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题. 13．1475 【分析】由进位制的换算公式直接求解. 【详解】()32092018290919891475=⨯+⨯+⨯+⨯=.故答案为：1475 【点睛】本题考查进位制，属于基础知识的考查，简单题型.141； 【详解】设点P 在双曲线右支上, 由题意,在Rt △F 1PF 2中, |F 1F 2|=2c,∠PF 1F 2=30°,得|PF 2|=c,|PF 1根据双曲线的定义:|PF 1|-|PF 2|=2a,即e=ca15．()()*1n n n N +∈【分析】构造1n n n b a a +=-，求出1b ，由题意可得()()21112n n n n n n a a a a b b ++++---=-=，利用等差数列的通项公式可得n b ，利用累加法即可求得n a . 【详解】构造1n n n b a a +=-，则1214b a a =-=，由题意可得()()21112n n n n n n a a a a b b ++++---=-=， 故数列{}n b 是以4为首项2为公差的等差数列， 故()*142(1)22n n n b a a n n n N +=-=+-=+∈，所以21324314,6,8,2n n a a a a a a a a n --=-=-=-=，以上n -1个式子相加可得1(1)(42)2n n n a a -+-=，解得()*(1)n a n n n N =+∈，故答案为：()()*1n n n N +∈【点睛】本题考查等差数列，累加法求数列通项公式，属于基础题. 16．4 【解析】根据题意曲线C 的解析式为3()3(),y x u x u v =----则方程33()3()3x u x u v x x ----=-，即233(3)0ux u u v -+≤，即对任意0u >恒成立，于是的最大值，令31()3(0),4g u u u u =-+>则233(()3(2)(2)44g u u u u =-+=--+由此知函数()g u 在（0，2）上为增函数，在(2,)+∞上为减函数，所以当2u =时，函数()g u 取最大值，即为4，于是4v ≥，v 的最小值为4 17．（I ）6人，9人，10人； （II ）（i ）见解析；（ii ）1115.【分析】（I ）根据题中所给的老、中、青员工人数，求得人数比，利用分层抽样要求每个个体被抽到的概率是相等的，结合样本容量求得结果；（II ）（I ）根据6人中随机抽取2人，将所有的结果一一列出； （ii ）根据题意，找出满足条件的基本事件，利用公式求得概率. 【详解】（I ）由已知，老、中、青员工人数之比为6:9:10， 由于采取分层抽样的方法从中抽取25位员工， 因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人. （II ）（i ）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{}{}{}{}{},,,,,,,,,A B A C A D A E A F ,{}{}{}{},,,,,,,B C B D B E B F ,{}{}{},,,,,C D C E C F ,{}{}{},,,,,D E D F E F ,共15种；（ii ）由表格知，符合题意的所有可能结果为{}{}{}{},,,,,,,A B A D A E A F ,{}{}{},,,,,B D B E B F ,{}{},,,C E C F ,{}{},,,D F E F ,共11种，所以，事件M 发生的概率11()15P M =. 【点睛】本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型即其概率计算公式等基本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.18．（1）3；（2）2． 【解析】试题分析：（1）在ABC ∆cos 1B B -=求得1sin()62B π-=，得512A π=，进而求解B 的值，可根据C A B π=--，在利用1b =，利用正弦定理求解c 的值；（2）根据11sin 22ABC S bh ac B ∆==，,13B b π==，求得2h ac =，由余弦定理可得1ac ≤，从而可求解h 的最大值．试题解析：（1）由已知，2sin()16B π-=，即1sin()62B π-=．因为5,12A A B ππ=+<，则7012B π<<，从而56612B πππ-<-<． 所以66B ππ-=，即3B π=．因为14C A B b ππ=--==，,由正弦定理，得sinsin 4sin sin 3b Cc B ππ==== （2）因为11sin ,,1223ABC S bh ac B B b π∆====，则sin ac B h b == 由余弦定理，得222222cos 2b a c ac B a c ac ac ac ac =+-=+-≥-=，则1ac ≤，所以2h ≤，当且仅当a c =时取等号，所以h的最大值为2． 考点：正弦定理及余弦定理的应用． 19．（Ⅰ）23；（Ⅱ）详见解析. 【详解】（1）因为面BDEF ⊥面ABCD ， 面BDEF ⋂面,ABCD BD FB BD =⊥， 所以FB ABCD ⊥面又因为CG ⊥面ABCD ，故//CG FB ，112PGC BGC S S BC GC ∆∆==⨯= 因为,AB FB AB BC ⊥⊥， 所以AB 即三棱锥A FGC -的高， 因此三棱锥A FGC -的体积121233V =⨯⨯= （2）如图，设EF 的中点为M ，连结AM GM AG 、、．在RT ACG ∆中可求得3AG =；在直角梯形FBCG EDCG 、中可求得FG EG ==在RT ABF RT ADE ∆∆、中可求得AF AE ==从而在等腰AEF ∆，等腰GEF ∆中分别求得AM GM ==，此时在AMG ∆中有222=AM GM AG +， 所以AM GM ⊥因为M 是等腰AEF ∆底边中点，所以AM EF ⊥， 所以AM GEF ⊥平面， 因此面GEF ⊥面AEF 【方法点晴】本题主要考查的是线面垂直和面面垂直的判定定理和性质定理，属于中档题．再立体几何中如果题目条件中有面面垂直，则必然会用到面面垂直的性质定理，即由面面垂直得线面垂直；证明线面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线．本题用到了直角三角形．20．（1）22184x y +=（2）证明见解析【分析】（1）由已知可知2c =，再将点代入椭圆方程，和222a c b -= 联立求解椭圆方程. （2）设直线方程(,0)y kx b k b =+≠，与椭圆方程联立，求弦AB 的中点M 坐标，并表示斜率OM k ，即可证明结论. 【详解】（1）抛物线28y x =的焦点为(2,0)，由题意可得2c =，即224a b -=，又点在L 上，可得22421a b +=，解得a =2b =，即有椭圆22:184x y L +=．（2）证明：设直线l 的方程为(,0)y kx b k b =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ，将直线y kx b =+代入椭圆方程22184x y+=，可得()222124280k xkbx b +++-=，122412kbx x k+=-+， 即有AB 的中点M 的横坐标为2212kb k -+，纵坐标为2221212kb bk b k k -⋅+=++，直线OM 的斜率为112M OM M y k x k==-⋅， 即有12OM k k ⋅=-．则OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值． 【点睛】本题考查椭圆方程的求法，以及弦中点的证明问题，意在考查推理与计算，属于中档题型. 21．（1）见解析（2）证明见解析 【分析】（1）先求函数的导数，()()(1)2xf x x e a '=++，然后分情况讨论函数的单调性；（2）由（1）知，当1a >时，()f x 在(,1)-∞-上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增，根据零点存在性定理讨论零点所在的区间，构造()()(2)F x f x f x =---，判断()F x 在()1,-+∞的单调性，得到()2(1)0F x F >-=,()()2220f x f x --->，再根据()()12f x f x =，根据函数的单调性证明【详解】（1）函数()f x 定义域为R ，()()(1)2xf x x e a '=++，0a ≥时，20x e a +>恒成立，故()0f x '>的解集为(1,)-+∞．所以()f x 在(,1)-∞-上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增． 0a <时，()0f x '=有两个实根：-1，ln(2)a -．当102a e-<<时，ln(2)1a -<-，令()0f x '>，解得(,ln(2))(1,)x a ∈-∞-⋃-+∞． 故()f x 在(ln(2),1)a --上单调递减，在(,ln(2))a -∞-，(1,)-+∞上单调递增； 当12ea <-时，ln(2)1a ->-，令()0f x '>，解得(,1)(ln(2),)x a ∈-∞-⋃-+∞． 故()f x 在(1,ln(2))a --上单调递减，在(,1)-∞-，(ln(2),)a -+∞上单调递增； 当12ea =-时，()0f x '≥恒成立，()f x 为R 上的增函数． （2）由（1）知，当1a >时，()f x 在(,1)-∞-上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增．故min 1()(1)0f x f e=-=-<． 又(0)0f a =>，2222(2)10f a e e-=-+>->．由零点存在性定理知，函数()f x 仅有两个零点121,,(2,1)x x x ∈--，2(1,0)x ∈-． 令()()(2)F x f x f x =---，有(1)0F -=．()2()()(2)(1)x x F x f x f x x e e --'''=---=+-．(1,)x ∈-+∞时，()0F x '>，函数()F x 单调递增，所以()2(1)0F x F >-=．即()()2220f x f x --->，又()()12f x f x =，所以()()122f x f x >--．122(,1),x x --∈-∞-，函数()f x 在(,1)-∞-上单调递减，所以122x x <--．所以122x x +<-．【点睛】本题考查利用导数讨论函数的单调性，和证明不等式，意在考查分类讨论和推理与证明，本题的关键是判断零点所在区间后，设()()(2)F x f x f x =---，并且得到()2(1)0F x F >-=，然后根据单调性即可证明不等式.22．（1）()2211x y -+=（2）54 【分析】（1）由题意可知圆2C 的方程为2cos R ρθ=，代入点1,3D π⎛⎫ ⎪⎝⎭，求得极坐标方程，然后再根据转化公式转化为曲线2C 的直角坐标方程；（2）首先求曲线1C 的参数方程2cos sin x y φφ=⎧⎨=⋅⎩（ϕ为参数），即2214x y +=，将,A B 两点的极坐标化为直角坐标，代入椭圆方程，化简求值.【详解】（1）设圆2C 的半径为R ，由题意，圆2C 的方程为2cos R ρθ=，（或222()x R y R -+=）． 将点1,3D π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入2cos R ρθ=，得12cos 3R π=，即1R =.（或由1,3D π⎛⎫ ⎪⎝⎭，得12D ⎛ ⎝⎭，代入222()x R y R -+=，得1R =）， 即2cos ρθ= ，2222cos 2x y x ρρθ=⇒+=所以曲线2C 的直角坐标方程为()2211x y -+=．（2）将1,2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭及对应的参数3πϕ=，代入cos sin x a y b φφ=⎧⎨=⎩，得1cos 3sin 23a b ππ⎧=⎪⎪=⎪⎩，即21a b =⎧⎨=⎩． 所以曲线1C 的方程为2cos sin x y φφ=⎧⎨=⋅⎩（ϕ为参数）， 因为点()1,A ρθ，2,2B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在曲线1C 上， 所以222211cos sin 14ρθρθ+=，222222sin cos 14ρθρθ+=， 21224cos 4sin ρθθ=+ ，22224sin 4cos ρθθ=+ 所以2222221211cos sin 5sin cos 444θθθθρρ⎛⎫⎛⎫+=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题考查直角坐标方程，极坐标方程和参数方程的互化，以及曲线参数方程的引用，意在考查转化与化归和变形能力，属于基础题型.23．（1）[]2,4-（2）19,74⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）通过讨论x 的范围得到关于x 的不等式组，解出即可；（2）根据题意，原问题可以等价函数y a =和函数25y x x =-+图象在区间[]0,2上有交点，结合二次函数的性质分析函数25y x x =-+的值域，即可得答案．【详解】解：（1）()9f x ≤可化为2419x x -++≤， 故2339x x >⎧⎨-≤⎩，或1259x x -≤≤⎧⎨-≤⎩，或1339x x <-⎧⎨-+≤⎩； 解得：24x <≤，或12x -≤≤，或21x -≤<-；不等式的解集为[]2,4-；（2）由题意：()225f x x a a x x =-+⇔=-+，[]0,2x ∈． 故方程()2f x x a =-+在区间[]0,2有解⇔函数y a =和函数25y x x =-+，图像在区间[]0,2上有交点当[]0,2x ∈时，2195,74y x x =-+∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦∴实数a 的取值范围是19,74⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查绝对值不等式的性质以及应用，注意零点分段讨论法的应用，属于中档题．。

故选：B.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分：
9.给出下列命题，其中正确的命题是（）
A.若 ，则 是钝角
B.若 ，则 ，A， ， 一定共面
C.过点 且在 轴截距相等的直线方程为
D.直线 的倾斜角 的取值范围是
所以 ,
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 .
故答案为： .
16.已知 、 为实数， ，若 对 恒成立，则 的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】求出函数的导函数，判断可得 ，即可求得函数的单调区间，从而求出函数的最小值，依题意可得 ，即可得到 ，从而得到 ，再令 ， ，利用导数说明函数的单调性，从而求出函数的最小值，即可求出 的取值范围.
【详解】解：因为 ，所以 ，
若 ，则 恒成立，所以 在 上单调递增，且当 时 ，不符合题意，
所以 ，令 ，解得 ，当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，则 ，
则 ，
令 ， ，
则 ，所以当 时 ，当 时 ，
即 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，
所以 ，即 的最小值为 .
因为 ，所以 ，
令 （ ），则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以当 时， 取得最小值，所以 ，
所以 ，所以 ：
设
设
在 上， ， 递减，所以
所以 ， 递增，
所以 ，即
所以
综上：
故选：B
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数判断函数的单调性，考查利用函数的单调性比较大小，解题的关键是根据合理构造函数，通过函数的单调性比较大小，考查数学转化思想，属于较难题.

数学（理科） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|log 1A x x =<，{}|2,0x B y y x ==≥，则A B =（ ）A ．∅B ．{}|12x x <<C ．{}|12x x ≤<D ．{}|12x x <≤2.将直线3y x =绕原点逆时针旋转90︒，再向右平移1个单位，所得到的直线为（ ） A ．1133y x =-+ B ．113y x =-+ C ．33y x =- D ．113y x =+ 3.已知命题p ：(,0)x ∃∈-∞，23xx<；命题q ：(0,)2x π∀∈，sin x x <，则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ⌝∧D ．()p q ∧⌝4.某工厂生产某种产品的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）有如下几组样本数据：x3 4 5 6 y2.5344.5据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直线的斜率为0.7，则这组样本数据的回归直线方程是（ ） A ．0.7 2.05y x =+ B ．0.71y x =+C ．0.70.35y x =+D ．0.70.45y x =+5.已知3sin()25πα-=，则cos(2)πα-的值为（ ） A ．2425B ．725C ．725-D ．2425-6.等比数列{}n a 中，42a =，55a =，则数列{}lg n a 的前8项和等于（ ） A ．6B ．5C ．4D ．37.已知0a >，则821a a ++的最小值为（ ）A ．B ．4C ．52D ．728.已知a 与b 为单位向量，且a b ⊥，向量c 满足||2c a b --=，则||c 的范围为（ ）A ．1,1⎡+⎣B ．22⎡-+⎣C ．D ．3⎡-+⎣9.已知两定点(1,0)A -和(1,0)B ，动点(,)P x y 在直线:3l y x =+上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为（ ）A B C D 10.已知偶函数()y f x =对于任意的[0,)2x π∈满足'()cos ()sin 0f x x f x x +>（其中'()f x 是函数()f x 的导函数），则下列不等式中成立的是（ ）A ()()34f ππ-<B ()()34f ππ-<-C ．(0)()4f π>-D ．()()63f ππ<11.定义{}()max ,()a ab a b b a b ≥⎧=⎨<⎩，已知实数x ，y 满足||2x ≤，||2y ≤，设{}max 4,3z x y x y =+-，则z 的取值范围是（ ）A ．[]7,10-B ．[]6,10-C ．[]6,8-D ．[]7,8-12.将圆的一组n 等分点分别涂上红色或蓝色，从任意一点开始，按逆时针方向依次记录k （k n ≤）个点的颜色，称为该圆的一个“k 阶色序”，当且仅当两个k 阶色序对应位置上的颜色至少有一个不相同时，称为不同的k 阶色序．若某国的任意两个“k 阶色序”均不相同，则称该圆为“k 阶魅力圆”．“3阶魅力圆”中最多可有的等分点个数为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．10第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.如图，点A 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(2,4)，函数2()f x x =，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 ．14.若52345012345(12)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则135a a a ++= ．15.对于数列{}n x ，若对任意*n N ∈，都有212n n n x x x +++<成立，则称数列{}n x 为“减差数列”．设2122n n tn nb t --=-，若数列5b ，6b ，7b ，…，n b （5n ≥，*n N ∈）是“减差数列”，则实数t 的取值范围是 ．16.如图，一块均匀的正三角形的钢板的质量为kg ，在它的顶点处分别受力1F ，2F ，3F ，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的角都是60︒，且123||||||F F F ==．要提起这块钢板，123||,||,||F F F 均要大于x kg ，则x 的最小值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2c =，60C =︒． （1）求sin sin a bA B++的值；（2）若a b ab +=，求ABC ∆的面积．18.为了参加师大附中第30届田径运动会的开幕式，高三年级某6个班联合到集市购买了6根竹竿，作为班期的旗杆之用，它们的长度分别为3.8,4.3,3.6,4.5,4.0,4.1（单位：米）．（1）若从中随机抽取两根竹竿，求长度之差不超过0.5米的概率；（2）若长度不小于4米的竹竿价格为每根10元，长度小于4米的竹竿价格为每根a 元．从这6根竹竿中随机抽取两根，若期望这两根竹竿的价格之和为18元，求a 的值．19.已知正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，1AA =D 为AC 的中点，点E 在线段1AA 上．（1）当1:1:2AE EA =时，求证：1DE BC ⊥；（2）是否存在点E ，使二面角D BE A --等于60︒？若存在，求AE 的长；若不存在，请说明理由．20.如图，抛物线1C ：28y x =与双曲线2C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）有公共焦点2F ，点A 是曲线1C ，2C 在在第一象限的交点，且2||5AF =． （1）求双曲线2C 的方程；（2）以1F 为圆心的圆M 与双曲线的一条渐进线相切，圆22:(2)1N x y -+=．已知点P ，过点P 作互相垂直分别与圆M 、圆N 相交的直线1l 和2l ，设1l 被圆M 解得的弦长为s ，2l 被圆N 截得的弦长为t ．试探索st是否为定值？请说明理由．21.设函数3211()32f x ax bx cx =++（a ，b ，c R ∈，0a ≠）的图象在点(,())x f x 处的切线的斜率为()k x ，且函数1()()2g x k x x =-为偶函数．若函数()k x 满足下列条件：①(1)0k -=；②对一切实数x ，不等式211()22k x x ≤+恒成立．（1）求函数()k x 的表达式； （2）设函数212()()ln (23)f x h x x m x x=-++（0x >）的两个极值点1x ，2x （12x x <）恰为2()ln x x sx tx ϕ=--的零点．当m ≥时，求1212()'()2x x y x x ϕ+=-的最小值． 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C的参数方程为2,,x y θθ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），曲线2C 的极坐标方程为2cos 6sin ρθθ=+．（1）将曲线1C 的参数方程化为普通方程，将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）在同一坐标系下，曲线1C ，2C 是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．23.选修4-5：不等式选讲设对于任意实数x ，不等式|7||1|x x m ++-≥恒成立． （1）求实数m 的取值范围；（2）当m 取最大值时，解关于x 的不等式：|3|2212x x m --≤-．湖南师大附中2017届高三月考试卷（三）数学（理科）答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 CACCBCDBADAC二、填空题 13.512 14.122 15.3(,)5+∞ 16.10 三、解答题17.解：（1）由正弦定理可得：2sin sin sin sin 603a b c A B C ====︒，所以11sin 422ABC S ab C ∆==⨯= 18.解：（1）因为6根竹竿的长度从小到大依次为3.6,3.8,4.0,4.1,4.3,4.5，其中长度之差超过0.5米的两根竹竿长可能是3.6和4.3,3.6和4.5,3.8和4.5．2631()5P A C ==，所以14()1()155P A P A =-=-=， 故所求的概率为45． （2）设任取两根竹竿的价格之和为ξ，则ξ的可能取值为2a ，10a +，20，其中2611(2)15P a C ξ===，1124268(10)15C C P a C ξ=+==，24266(20)15C P C ξ===， 所以1862402(10)201515153a E a a ξ+=⨯++⨯+⨯=． 令240183a +=，得7a =． 19.（1）证明：连接1DC ，因为111ABC A B C -为正三棱柱，所以ABC ∆为正三角形， 又因为D 为AC 的中点，所以BD AC ⊥， 又平面ABC ⊥平面11ACC A ，平面ABC平面11ACC A AC =，所以BD ⊥平面11ACC A ，所以BD DE ⊥．因为1:1:2AE EA =，2AB =，1AA =3AE =，1AD =， 所以在Rt ADE ∆中，30ADE ∠=︒，在1Rt DCC ∆中，160C DC ∠=︒，所以190EDC ∠=︒，即1DE DC ⊥， 又1BDDC D =，所以DE ⊥平面1BDC ，1BC ⊂平面1BDC ，所以1DE BC ⊥． （2）假设存在点E 满足条件，设AE m =，取11A C 的中点D 1，连接1DD ，则1DD ⊥平面ABC ， 所以1DD AD ⊥，1DD BD ⊥，分别以DA ，DB ，1DD 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -， 则(1,0,0)A，B ，(1,0,)E m ，所以DB =，(1,0,)DE m =，(AB =-，(0,0,)AE m =， 设平面DBE 的一个法向量为1111(,,)n x y z =，则110,0,n DB n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即1110,0,x mz =+=⎪⎩令11z =，得1(,0,1)n m =-， 同理，平面ABE 的一个法向量为2222(,,)n x y z =，则220,0,n AB n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即2220,0,x mz ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩取21y =，得2(3,1,0)n =，所以121|cos ,|cos602n n <>==︒=，解得m =<，故存在点E ，当AE =时，二面角D BE A --等于60︒．20.解：（1）∵抛物线1C ：28y x =的焦点为2(2,0)F ， ∴双曲线2C 的焦点为1(2,0)F -，2(2,0)F ，设00(,)A x y 在抛物线1C ：28y x =上，且2||5AF =， 由抛物线的定义得025x +=，∴03x =，∴2083y =⨯，∴0y =±1||7AF ==，又∵点A 在双曲线上，由双曲线定义得2|75|2a =-=，所以1a =，∴双曲线的方程为：2213y x -=． （2）st为定值.下面给出说明：设圆M 的方程为222(2)x y r ++=，双曲线的渐近线方程为y =．∵圆M 与渐近线y =相切，∴圆M 的半径为2r ==故圆M ：22(2)3x y ++=． 依题意1l 、2l 的斜率存在且均不为零，所以设1l 的方程为(1)y k x =-，即0kx y k -+=，设2l 的方程为1(1)y x k=--，即10x ky +-=，∴点M 到直线1l的距离1d =，点N 到直线2l的距离2d =，∴直线1l 被圆M截得的弦长s = 直线2l 被圆N截得的弦长t ==∴s t =st21.解：由已知可得2()'()k x f x ax bx c ==++，∵函数1()()2g x k x x =-为偶函数， ∴11()()()()22g x k x x k x x -=---=-，即221122ax bx c x ax bx c x -++=++-恒成立，所以12b =．又(1)0k -=，∴102a c -+=，12a c +=，又∵对一切实数x ，不等式211()22k x x ≤+恒成立，∴2111()0222a x x c -++-≤恒成立，∴10,21114()()0,422a a c ⎧-<⎪⎪⎨⎪∆=---≤⎪⎩∴14a c ==，∴2111()424k x x x =++． （2）由（1）得，32111()1244f x x x x =++， ∴2()2ln 32h x x x mx =++-（0x >），222(1)'()22x m x h x x m xx-+=+-=，由题意得2121240,,1,m x x m x x ⎧∆=->⎪+=⎨⎪⋅=⎩又m ≥， ∴221212()92x x m x x +=≥，解得12102x x <≤， ∵1x ，2x （12x x <）为2()ln x x sx tx ϕ=--的零点，∴21111()ln x x sx tx ϕ=--0=，22222()ln 0x x sx tx ϕ=--=， 两式相减得，11212122ln ()()()x s x x x x t x x x --+--0=， 又1'()2x sx t xϕ=--，从而12121212122()'()()()2x x y x x x x s x x t x x ϕ⎡⎤+=-=--+-⎢⎥+⎣⎦1211222()ln x x x x x x -=-+1211222(1)ln 1x x x x x x -=-+， 设12x n x =（102n <≤）， 则1212()'()2x x y x x ϕ+=-2(1)ln 1n n n -=-+（102n <≤）记为()M n ， 222(1)(1)1(1)'()20(1)(1)n n n M n n n n n +----=-=<++， ∴()M n 在1(0,]2上单调递减， ∴min 12()()ln 223M n M ==-， 故1212()'()2x x y x x ϕ+=-的最小值为2ln 23-． 22.解：（1）由2,x y θθ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）得22(2)10x y ++=， 曲线1C 的普通方程为22(2)10x y ++=，∵2cos 6sin ρθθ=+，∴22cos 6s in ρρθρθ=+，∴有2226x y x y +=+，即22(1)(3)10x y -+-=为所求曲线2C 的直角坐标方程．（2）∵圆1C 的圆心坐标(2,0)-，圆2C 的圆心坐标为(1,3)，∴12||C C ==<设相交弦长为d ，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段12C C ，∴222()2d+=，∴d =．23.解：（1）|7||1|x x ++-可以看做数轴上的点x 到点7-和点1的距离之和， ∴min (|7||1|)8x x ++-=，∴8m ≤．（2）由（1）得m 的最大值为8，原不等式等价于|3|24x x --≤，∴有3,324x x x ≥⎧⎨--≤⎩或3,324,x x x <⎧⎨--≤⎩从而3x ≥或133x -≤<， ∴原不等式的解集为1|3x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭．。

湖南师大附中2021届高三年级上学期第三次月考数 学本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页．时量120分钟．满分150分．第I 卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知R 是实数集，⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=12x xM ，}1|{-==x y y N ，则=)(M N C R A ．(1，2) B ．[0，2]C ．∅D ．]2,(-∞2．如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点B A ,对应的复数分别是21,z z ，则=-||21z zA ．2B ．22C ．2D ．83．若m l ,为两条不同的直线，α为平面，且α⊥l ，则“α//m ”是“l m ⊥”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．历史上，最伟大的数学家一直都热衷于寻找质数的“分布规律”，法国数学家马林·梅森就是研究质数的数学家中成就很高的一位，正因为他的卓越贡献，现在人们将形如“ρρ(12-是质数）”的质数称为梅森数，迄今为止共发现了51个梅森数，前4个梅森数分别是=-=-=-12,712,31253212712,317=-，3，7是1位数，31是2位数，127是3位数，已知第10个梅森数为1289-，则第10个梅森数的位数为（参考数据：)301.02lg ≈A ．25B ．29C ．27D ．285．为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这三种题型进行改编，则每种题型至少指派1名教师的不同分派方法种数为 A ．150 B ．180 C ．200 D ．2806．已知定义在R 上的偶函数)(x f ，对任意R x ∈，都有)2()2(+=-x f x f 且当]0,2[-∈x 时.12)(-=-xx f 若在1>a 时，关于x 的方程-)(x f 0)2(log =+x a 恰有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是 A ．(1，2)B ．)2,2(32 C ．),2()2,(32∞+-∞D ．),2(∞+7．已知O 为ABC ∆的外心，02=+OB OA ，则ACB ∠的正弦值为 A ．46 B ．41 C ．21 D ．83 8．l 是经过双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 焦点F 且与实轴垂直的直线，B A ,是双曲线C 的两个顶点，若在l 上存在一点P ，使︒=∠45APB ，则双曲线离心率的最大值为 A ．2B ．3C ．2D ．3二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分． 9．下列命题正确的是A ．若随机变量),100(~pB X ，且20)(=X E ，则5121=⎪⎭⎫⎝⎛+X D B ．在一次随机试验中，彼此互斥的事件D C B A ,,,的概率分别为0.2，0.2，0.3，0.3，则A 与D C B 是互斥事件，也是对立事件C ．一只袋内装有m 个白球，m n -个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了ξ个白球，)2(=ξP 等于()32nmA A m n -D ．由一组样本数据),(,),,(),,(2211n n y x y x y x 得到回归直线方程=y a bx +，那么直 线a bx y +=至少经过),(,),,(),,(2211n n y x y x y x 中的一个点 10．若非零实数b a ,满足b a <，则下列不等式不一定成立的是A ．1<b aB ．2≥+baa b C ．ba ab 2211<D ．b b a a +<+2211．如图，矩形ABCD 中，M 为BC 的中点，将ABM ∆沿直线AM 翻折成M AB 1∆，连结N D B ,1为D B 1的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是 A ．存在某个位置，使得1AB CN ⊥ B ．翻折过程中，CN 的长是定值 C ．若BM AB =，则D B AM 1⊥D ．若1==BM AB ，当三棱锥AMD B -1的体积最大时，三棱锥-1B AMD 的外接球的表面积是π412．已知曲线).,2,1(02:22 ==+-n y nx x C n 从点)0,1(-P 向曲线n C 引斜率为)0(>n n k k 的切线n l ，切点为).,(n n n y x P 则下列结论正确的是A ．数列}{n x 的通项为1+=n n x n B ．数列}{n y 的通项为112++=n n n y nC ．当3>n 时，nnn x x x x x x +->••••-1112531 D ．nn n n y xx x sin 211<+- 第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若1717221017)1()1()1()2(x a x a x a a x +++++++=+ ，则++10a a 1632a a a +++= .14．已知抛物线x y C 4:2=与圆9)1(:22=+-y x E 相交于B A ,两点，点M 为劣弧上不同于B A ,的一个动点，平行于x 轴的直线MN 交抛物线于点N ，则MNE ∆的周长的取值范围为 ．15．既要金山银山，又要绿水青山，说明了既要发展经济，又要保护环境，两者兼得，社会才能又快又好的发展．现某风景区在践行这一理念下，计划在如图所示的以AB 为直径的半圆形山林中设计一条休闲小道C AC (与B A ,不重合），B A ,相距400米，在紧邻休闲小道AC 的两侧及圆弧上进行绿化，设θ=∠BAC ，则绿化带的总长度)(θf 的最大值约为 米．（参考数据：)3,7.13≈≈π16．定义在R 上的函数)(x f 的导函数为)('x f ，0)0(=f ，若对任意R x ∈，都有1)()('>-x f x f ，则使得11)(>+xex f 成立的x 的取值范围为 .四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）在①1cos cos 22cos 22sin222=+++-B C BC B C ，②cb B A B =+tan tan tan 2，③)cos 3(sin 3C C a b +=三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，且满足13=a ，3=b ， ，求ABC ∆的面积．18．（本小题满分12分）在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状的这一阶段称为潜伏期．各种传染疾病的潜伏期不同，数小时、数天、甚至数月不等．某市疾病预防控制中心统计了该市200名传染病患者的相关信息，得到如下表格：潜伏期（单位：天） [0,2] (2,4] (4,6] (6,8] (8,10] (10,12] (12,14]人数174360502631(1)该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，根据上表数据将如下列联表补充完整，并根据列联表判断是否有99%的把握认为该传染病的潜伏期潜伏期≤6天潜伏期>6天总计 50岁以上（含50岁）100 50岁以下 55 总计200(2)将200名患者的潜伏期超过6天的频率视为该市每名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立．为了深入研究，该市疾病预防控制中心随机调查了该地区30名患者，其中潜伏期超过6天的人数为X ，求随机变量X 的期望和方差． 附：P (2K ≥0k )0.05 0.025 0.010 0k3.8415.0246.635))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中.d c b a n +++=19．（本小题满分12分）已知，如图四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为菱形，︒=∠60ABC ，⊥==PA PA AB ,2平面M E ABCD ,,分别是PD BC ,中点，点F 在棱PC 上移动．(1)证明：无论点F 在PC 上如何移动，都有平面⊥AEF 平面PAD ； (2)当直线AF 与平面PCD 所成的角最大时，确定点F 的位置． 20．（本小题满分12分）已知数列}{n a 的首项21=a ，前n 项和为n S ，且数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是以21为公差的等差数列．(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)设n n n a b 2=，*N n ∈，数列}{n b 的前n 项和为n T ，①求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n T n为等比数列，②若存在整数)1(,>>n m n m ，使得)()(λλ++=nm n m S n S m T T ，其中λ为常数，且2-≥λ，求λ的所有可能值．21．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点分别为21,F F ，离心率为22，过2F 的直线与椭圆C 交于Q P ,两点，若PQ F 1∆的周长为8．(1)求椭圆C 的方程；(2)动直线)0(:=/+=m m kx y l 交椭圆C 于B A ,两点，交y 轴于点.M 点N 是M 关于O 的对称点，的半径为.||NO 设D 为AB 的中点，DF DE ,与分别相切于点F E ,，求EDF ∠的最小值．22．（本小题满分12分）已知函数xx x f )1ln(1)(++=，).(1)(R m x mx g ∈+=(1)判断函数)(x f 在),0(∞+上的单调性；(2)若)()(x g x f >在),0(∞+上恒成立，求整数m 的最大值． (3)求证：32)]1(1[)321)(211(->++⨯+⨯+n e n n （其中e 为自然对数的底数）．数学参考答案题号12 3 45 6 7 8 9 10 11 12 答案 DBACABAABCABDBDABD一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．D 【解析】}20|{12><=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=x x x x xM ，或 ，}0|{}1|{≥=-==y y x y y N ，即,2()0,( -∞=M )∞+，),0[∞+=N ，]2,()(-∞=M N C R ，故选D ． 2．B 【解析】由图象可知i z =1，i z -=22，故222)2(|22|||2221=+-=+-=-i z z ．故选B ．3．A 【解析】由α⊥l 且α//m 能推出l m ⊥，充分性成立；若α⊥l 且l m ⊥，则α//m 或者α⊂m ，必要性不成立，因此“α//m 是l m ⊥”的充分不必要条件，故选A ．4．C 【解析】789.262lg 89)12lg(89≈≈-，故789.26891012≈-，故第10个梅森数的位数为27，故选C ．5．A 【解析】由题设可分如下两类：①若分成1，1，3的情况，则有603335=A C （种）分派方法；②若分成1，2，2的情况，则有9033222325=A A C C （种）分派方法，由分类加法计数原理可得共有60+90=150（种）分派方法，故选A ．6．B 【解析】)2()2(+=-x f x f ，)4()(+=∴x f x f ，)(x f ∴周期为4，1>a 时，做出)(x f y =和)2(log +x a 的函数图象如图所示：关于x 的方程)1(0)2(log )(>=+-a x x f a 恰有3个不同的实数根，)(x f y =∴与()()12log >+=a x y a 的函数图象有3个交点，⎩⎨⎧>+<+∴,3)26(1,3)22(log a a og 解得：.243<<a 故选B ．7．A 【解析】设外接圆的半径为R ，062=++OC OB OA ，OC OB OA 62-=+，22)6()2(OC OB OA -=+，222644R OB OA R R =⋅++，即24R OB OA =⋅即41cos =∠AOB ，832cos 1sin 2=∠-=∠∴AOB ACB ，.46sin =∠∴ACB 8．A 【解析】设点),(m c P （不妨设0>m ），则有=∠⋅∠+∠-∠=∠-∠PAFPBF PAF PBF PAF PBF tan tan 1tan tan )tan(12122222=+=-++--b m am ac m a c ma c m ，即122=+mb m a 有解，即a m b m 22=+有解，又b m b m 22≥+，所以.22b a ≥ 故.21≤<e二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分． 9．BC10．ABD 【解析】当0<<b a 时，1<ba 不成立；当0<b a 时，2≥+a bb a 不成立；因为0)(11222<-=-ab ba b a ab ，则ba ab 2211<一定成立；因为)1)((22++-=-+-b a b a b a b a 符号不定，故b b a a +<+22不一定成立，故选ABD ．11．BD 【解析】对于A ：如图1，取AD 中点E ，连接EC 交MD 于F ，则1//AB NE ，1//MB NF ， 如果1AB CN ⊥，可得到NC EN ⊥，又FN EN ⊥，且三线NC NF NE ,,共面共点，不可能，故A 错误．对于B ：如图1，可得1MAB NEC ∠=∠（定值），121AB NE =（定 值），EC AM =（定值），由余弦定理可得222EC NE NC +=NEC EC NE ∠⋅⋅-cos 2，NC ∴是定值，故B 正确；对于C ：如图2，取AM 中点O ，连接DO O B ,1，由题意得1OB AM ⊥，因为MD AD =/，OD ∴与AM 不垂直，AM ∴与D B 1不垂直，可得C 错误，对于D ：当平面⊥AM B 1平面AMD 时，三棱锥AMD B -1的体积最大，由题意得AD 中点H 就是三凌锥AMD B -1的外接球的球心，球半径为1，表面积是π4，故D 正确，故选BD.12．ABD 【解析】设直线)1(:+=x k y l n n ，联立0222=+-y nx x ，得0)22()1(2222=+-++n n n k x n k x k ，则由=∆0得12+=n n k n ，所以可得1+=n nx n ，112++=n n n y n ，AB 对；因为•••+=+-531,12111x x x n x x n n 1211212...5331212432112+=+-⨯⨯⨯<-⨯⨯⨯=•-n n n n n x n ，故C 错；因为=+=121n y x n nn nx x +-11，令x x x f sin 2)(-=，.cos 21)('x x f -= 可得)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛4,0π上递减，可知x x sin 2<在⎪⎭⎫⎝⎛4,0π上恒成立，又431121π<≤+n ．故D 正确.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．1217-【解析】由题意，由1717)]1(1[)2(x x ++=+，17117)1(x T +=+，117=∴a ，令0=x ，则++=10172a a 172a a ++ ，所以.1217163210-=+++++a a a a a14．(6，8) 【解析】画出图象如下图所示，圆E 的圆心为(1，0)，半径为3，抛物线的焦点为(1，0)，准线为1-=x ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,9)1(,4222y x x y 解得)22,2(A ，)22,2(-B ，所以42<<M x ，设平行于x 轴的直线MN 交抛物线的准线1-=x 于D ，根据抛物线的定义可知ND NE =，所以MNE ∆的周长为++=++ND MN NE ME 3MD MN +=3，而)5,3(1∈+=M x MD ，所以)8,6(3∈+MD ，也即MNE ∆周长的取值范围是(6，8).15．880【解析】如图所示，设圆心为O ，连接BC OC ,因为点C 在半圆上，所以CB AC ⊥，所以θθcos 400cos ||||==AB AC ， 弧的长为θθ4002200=⨯，所以绿 化带的总长度为θθθ400cos 800)(+=f ，⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ．所以.400sin 800)('+-=θθf 令0)('=θf ，得21sin =θ，所以.6πθ= 当⎪⎭⎫⎝⎛∈6,0πθ时，)(,0)('θθf f >单调递增；当⎪⎭⎫⎝⎛∈2,6ππθ时，)(,0)('θθf f <单调递减；所以当6πθ=时，)(θf 取得极大值，也是最大值，所以.8802006803200340064006cos 8006=+≈+=⨯+=⎪⎭⎫⎝⎛ππππf 故答案为880. 16．),0(∞+【解析】构造函数xex f x g 1)()(+=， .1)0(=g 对任意R x ∈，都有01)()('>--x f x f ，=)('x g ∴>--=+-,01)()(')1)(()('2x x x x ex f x f e e x f e x f 函数)(x g 在R 上单调递增，由=>=+1)(1)(x g e x f x)0(g ，x x ∴>∴,0的取值范围为).,0(∞+四、解答题：本题共6小题，共70分。