2018-2019学年湖南师范大学附属中学高一上学期第一次月考数学试题 PDF版

2018-2019学年湖南师大附中高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{}{}|1,|M x x N x x a =>=>，且M N ⊆，则（ ） A ．1a ≤ B ．1a <C ．1a ≥D ．1a >【答案】A【解析】根据M N ⊆，在数轴上作出,M N ，可得结果. 【详解】根据M N ⊆，在数轴上作出集合,M N ，如图：可得：1a ≤， 故选：A. 【点睛】本题考查集合间的包含关系，注意利用数轴，是基础题. 2．函数()213f x x =+的值域是（ ） A ．R B ．1|3y y ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭C ．1|3y y ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭D ．1|03y y ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭【答案】D【解析】根据不等式的性质即可求出函数的值域. 【详解】因为221133033x x +≥⇒<≤+， 所以函数的值域为：1|03y y ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭. 故选：D. 【点睛】本题考查利用不等式的性质求函数的值域，注意不等式两边取倒数时，不会改变两边的正负，所以2103x <+不能弄错，考查基本运算求解能力.3．函数()log 42a y x =-+(0a >且1a ≠)的图象必经过点（ ）A ．()0,1B ．()5,1C ．()5,2D ．()1,5【答案】C【解析】令对数的真数为1，求出,x y 的值，从而得到函数过的定点坐标. 【详解】令415x x -=⇒=，所以2y =， 所以函数过的定点坐标为(5,2). 故选C. 【点睛】本题考查对数型函数过定点问题，考查对概念的理解，即只要对数的真数为1，不管底数如何变化，其对数值恒为1，考查基本运算求解能力.4．实数01lg 42lg52⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】根据指数，对数的运算计算即可. 【详解】解：()21lg 42lg51lg 451232⎛⎫-++=+⨯=+= ⎪⎝⎭， 故选：C. 【点睛】本题考查指数，对数的运算，是基础题.5．设22 log ,ln 3,a e b e c e -===（e 为自然对数的底数），则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ． c a b >>C ． b c a >>D ．b a c >>【答案】D【解析】分析：根据对数函数与指数函数的性质可借助中间数比较． 详解：21log 2e <<，ln32e >，2211e e-=<，∴b a c >>． 故选D ．点睛：比较大小时，能用一个函数的，可根据函数的单调性进行比较，不能归到一个函数的可借助于中间数比较，如0，1，2等等． 6．已知函数()ay xa R =∈的图象如图所示，则函数x y a -=与log a y x =在同一直角坐标系中的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由幂函数的图象得01a <<，则xy a -=为增函数，log ay x =为减函数，从而得到答案.【详解】由幂函数的图象得01a <<， 由1()xx y aa-==，得该函数单调递增， 由log a y x =，得该函数单调递减，故选：C. 【点睛】本题考查幂函数、指数函数、对数函数的图象，考查数形结合思想的运用，求解的关键是抓住函数的单调性.7．已知()()1,4{1,42xf x x f x x +<=⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，则()2log 3f ＝ （ ）A ．112 B ．124C ．14D ．12【答案】B【解析】试题分析：()2log 2422211log 3(log 6)(log 24)()224f f f =====L ,故选B ． 【考点】分段函数．8．已知()f x 是定义在(),0-∞上的减函数，且对任意()12,,0x x ∈-∞都有()()()1212f x f x f x x =+，则不等式()2122f x fx ⎡⎤⎛⎫->+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的解集为（ ）A ．(),3-∞-B ．13,2⎛⎫--⎪⎝⎭C ．()3,0-D ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】B【解析】利用函数单调性和运算关系，得到不等式组，解不等式即得答案。

师大附中2018学年高一第一学期第一次阶段测试数学试卷一、选择题（共12道，每道5分）1．设集合{}{}{}1,2,3,2,3,4,M ,,A B x x a b a A b B ====+∈∈，则M 中元素的个数为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．62．下列各组函数表示同一函数的是（ ）A ．293x y x -=-与3y x =+ B.1y =-与1y x =-C ． 0y x =与1y =D ． 11yx x 与(x 1)1yx3．已知全集U R =，集合{}{}1,2,3,4,5,2A B x R x ==∈≥，如图中阴影部分所表示的集合为（ ）A.{}1B.{}0,1C .{}1,2 D.{}0,1,24、设函数()f x 由下表给出：则()()1ff （ ）A.-4B.-2C.0D.2 5．下列函数中，值域为（0，+∞）的是（ ） A.231yx x B.21(x 0)y x C. y=x 2+x +1D ．21yx 6．已知函数2(x)1f mxmx 的定义域是R ，则实数m 的取值范围是（ ）2 / 9A ． 04m ≤< B. 4m < C ．04m ≤≤ D ．04m <<7．设x R ∈，定义符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则函数()sgn f x x x =的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓缓爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到了终点．用S 1和S 2分别表示乌龟和兔子经过时间t 所行的路程，则下列图象中与故事情节相吻合的是（ ）A B C. D ．9．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的[)()1212,0,x x x x ∈+∞≠，有()()21210f x f x x x -<-．则（ ）A ．()()321f f f <-< B. ()()()123f f f <-<C ．()()(2)13f f f -<<D ．()()()312f f f <<- 10、已知函数(2)1,1(),1x a x x f x a x ，是(),-∞+∞上的增函数，则实数a 的取值范围（ ）A ．(1,2)B ．31,2C ．3,22D ．3,22 11．已知()()221,1=-=-xf xg x x，规定：当()()≥f x g x 时， ()()=h x f x ；当时，()()=-h x g x ，则()h x （ ）A ．有最小值﹣1，最大值1B ．有最大值1，无最小值C ．有最小值﹣1，无最大值D ．有最大值﹣1，无最小值12．已知定义域为D 的函数()f x ，若对任意x D ∈，存在正数M ，都有()f x M ≤成立，则称函数()f x 是定义域D 上的“有界函数”．已知下列函数： ①3(x)4xf x；②2(x)4f x ；③25(x)243f xx ；④(x)x 4f x ．其中“有界函数”的个数是（ ）A ．①②B ．②③ C②④ D ．③④二、填空题（共4题，每题5分）13．323649。

湖南省师范大学附属中学2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题第Ⅰ卷一、选择题1．若直线过点(1, 2)，(2, 2＋3)，则此直线的倾斜角是（） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°2．已知直线l 1：ax －y －2＝0和直线l 2: (a ＋2)x －y ＋1＝0，若l 1⊥l 2，则a 的值为（） A ．2 B ．1 C ．0 D ．－13．若a 、b 表示直线，α表示平面，下列命题中正确的个数为（） ①a ⊥α，b ∥αa ⊥b ；②a ⊥α，a ⊥b b ∥α；③a ∥α，a ⊥b b ⊥α. A ．1 B ．2 C ．3 D ．04．在空间直角坐标系中，点B 是A (1，2，3)在xOz 坐标平面内的射影，O 为坐标原点，则|OB |等于（）A.14B.13C. 5D.105．两圆x 2＋y 2－1＝0和x 2＋y 2－4x ＋2y －4＝0的位置关系是（） A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．外离6．如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是（）7．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －5＝0，则过点P (1，2)的最短弦所在直线l 的方程是（） A ．3x ＋2y －7＝0 B ．2x ＋y －4＝0 C ．x －2y －3＝0 D ．x －2y ＋3＝08．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°9．从直线x －y ＋3＝0上的点向圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0引切线，则切线长的最小值为（） A.322 B.142 C.324 D.322－110．如图，等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 相交于G ，已知△A ′ED 是△AED 绕DE 旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（） A ．恒有DE ⊥A ′FB ．异面直线A ′E 与BD 不可能垂直C ．恒有平面A ′GF ⊥平面BCDED ．动点A ′在平面ABC 上的射影在线段AF 上 二、填空题11．如图，△O ′A ′B ′是水平放置的△OAB 的直观图，O ′A ′＝3, O ′B ′＝4，则△AOB 的面积是________．12．在三棱锥A －BCD 中，AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ⊥AD ，若AB ＝3，AC ＝4，AD ＝5，则三棱锥A －BCD 的外接球的表面积为________．13．如图所示，已知矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝a ，若P A ⊥平面AC ，在BC 边上取点E ，使PE ⊥DE ，则满足条件的E 点有两个时，a 的取值范围是________． 三、解答题14．已知直线l 经过点P (－2，5)，且斜率为－34.(Ⅰ)求直线l 的方程；(Ⅱ)求与直线l 切于点(2，2)，圆心在直线x ＋y －11＝0上的圆的方程．15．已知坐标平面上动点M (x ，y )与两个定点A (26，1)，B (2，1)的距离之比等于5. (Ⅰ)求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；(Ⅱ)记(Ⅰ)中的轨迹为C ，过点P (－2，3)的直线l 被C 所截得的线段的长为8，求直线l 的方程．16．如图所示，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，底面边长为a ，E 是PC 的中点．(Ⅰ)求证：P A ∥平面BDE ； (Ⅱ)求证：平面P AC ⊥平面BDE ；(Ⅲ)若二面角E －BD －C 为30°，求四棱锥P －ABCD 的体积．第Ⅱ卷一、选择题17．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”问题，若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为N ＝n (mod m )，例如11＝2(mod 3)．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n 等于（）A ．21B ．22C ．23D ．2418．在四棱锥P －ABCD 中，AD ⊥面P AB ，BC ⊥面P AB ，底面ABCD 为梯形，AD ＝4，BC ＝8，AB ＝6，∠APD ＝∠CPB ，满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是 A ．直线的一部分 B ．半圆的一部分C ．圆的一部分D ．球的一部分 二、填空题19．定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12（x ＋1），x ∈[0，1），1－|x －3|，x ∈[1，＋∞），则关于x 的函数F (x )＝f (x )－20172018的所有零点之和为________.三、解答题20．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中．(Ⅰ)求证：AC⊥BD1；(Ⅱ)是否存在直线与直线AA1，CC1，BD1都相交？若存在，请你在图中画出两条满足条件的直线(不必说明画法及理由)；若不存在，请说明理由．21.平面直角坐标系中，在x轴的上方作半径为1的圆Γ，与x轴相切于坐标原点O.平行于x 轴的直线l1与y轴交点的纵坐标为－1，A(x，y)是圆Γ外一动点，A与圆Γ上的点的最小距离比A到l1的距离小1.(Ⅰ)求动点A的轨迹方程；(Ⅱ)设l2是圆Γ平行于x轴的切线，试探究在y轴上是否存在一定点B，使得以AB为直径的圆截直线l2所得的弦长不变．22.已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)．(Ⅰ)若f (x )＋f (x －1)＞0成立，求x 的取值范围；(Ⅱ)若定义在R 上奇函数g (x )满足g (x ＋2)＝－g (x )，且当0≤x ≤1时，g (x )＝f (x )，求g (x )在[－3，－1]上的解析式，并写出g (x )在[－3，3]上的单调区间(不必证明)；(Ⅲ)对于(Ⅱ)中的g (x )，若关于x 的不等式g ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －2x8＋2x ＋3≥g ⎝⎛⎭⎫－12在R 上恒成立，求实数t 的取值范围．【参考答案】第Ⅰ卷一、选择题 1.C【解析】利用斜率公式k ＝3＝tan θ，可求倾斜角为60°. 2．D【解析】由题知(a ＋2)a ＋1＝a 2＋2a ＋1＝(a ＋1)2＝0，∴a ＝－1.也可以代入检验． 3．A【解析】①正确． 4．D【解析】点A (1，2，3)在xOz 坐标平面内的射影为B (1，0，3)， ∴|OB |＝12＋02＋32＝10. 5．B【解析】将两圆化成标准方程分别为x 2＋y 2＝1，(x －2)2＋(y ＋1)2＝9，可知圆心距d ＝5，由于2<d <4，所以两圆相交． 6．C【解析】当俯视图为A 中正方形时，几何体为边长为1的正方体，体积为1；当俯视图为B 中圆时，几何体为底面半径为12，高为1的圆柱，体积为π4；当俯视图为C 中三角形时，几何体为三棱柱，且底面为直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，体积为12；当俯视图为D 中扇形时，几何体为圆柱的14，且体积为π4.7．D【解析】化成标准方程(x －2)2＋y 2＝9，过点P (1，2)的最短弦所在直线l 应与PC 垂直，故有k l ·k PC ＝－1，由k PC ＝－2得k l ＝12，进而得直线l 的方程为x －2y ＋3＝0.8．C【解析】将直三棱柱ABC －A 1B 1C 1补形为正方体ABDC －A 1B 1D 1C 1, 则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于BA 1与BD 1所成的角，为60°. 9．B【解析】当圆心到直线距离最短时，可得此时切线长最短．d ＝322，切线长＝⎝⎛⎭⎫3222－12）＝142.10．B【解析】对A 来说，DE ⊥平面A ′GF ，∴DE ⊥A ′F ；对B 来说，∵E 、F 为线段AC 、BC 的中点，∴EF ∥AB ，∴∠A ′EF 就是异面直线A ′E 与BD 所成的角，当(A ′E )2＋EF 2＝(A ′F )2时，直线A ′E 与BD 垂直，故B 不正确；对C 来说，因为DE ⊥平面A ′GF ，DE 平面BCDE ，∴平面A ′GF ⊥平面BCDE ，故C 正确； 对D 来说，∵A ′D ＝A ′E ，∴DE ⊥A ′G ，∵△ABC 是正三角形，∴DE ⊥AG ，又A ′G ∩AG ＝G ，∴DE ⊥平面A ′GF ，从而平面ABC ⊥平面A ′AF ，且两平面的交线为AF ，∴A ′在平面ABC 上的射影在线段AF 上，正确． 二、填空题 11．12【解析】△OAB 为直角三角形，两直角边分别为4和6，S ＝12. 12．50π【解析】三棱锥A －BCD 的外接球就是长宽高分别为3、4、5的长方体的外接球，所以外接球的半径R 满足：2R ＝32＋42＋52＝5 2.所以三棱锥A －BCD 的外接球的表面积S ＝4 πR 2＝50 π. 13. a >6【解析】由P A ⊥平面AC ，PE ⊥DE ，得AE ⊥DE .问题转化为以AD 为直径的圆与BC 有两个交点，所以a2>3，解得a >6.三、解答题14．(Ⅰ)3x ＋4y －14＝0 (Ⅱ)(x －5)2＋(y －6)2＝2515．解：(Ⅰ)由题意，得|MA ||MB |＝5.（x －26）2＋（y －1）2（x －2）2＋（y －1）2＝5，化简，得x 2＋y 2－2x －2y －23＝0. 即(x －1)2＋(y －1)2＝25.∴点M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －1)2＝25，轨迹是以(1，1)为圆心，以5为半径的圆． (Ⅱ)当直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝－2， 此时所截得的线段的长为252－32＝8， ∴l ：x ＝－2符合题意．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为 y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0， 圆心到l 的距离d ＝|3k ＋2|k 2＋1， 由题意，得⎝ ⎛⎭⎪⎫|3k ＋2|k 2＋12＋42＝52，解得k ＝512.∴直线l 的方程为512x －y ＋236＝0.即5x －12y ＋46＝0.综上，直线l 的方程为x ＝－2，或5x －12y ＋46＝0. 16．(Ⅰ)证明：连接OE ． ∵O 、E 分别为AC 、PC 中点， ∴OE ∥P A .∵OE 面BDE ，P A 平面BDE ， ∴P A ∥平面BDE .(Ⅱ)证明：∵PO ⊥平面ABCD ，∴PO ⊥BD . 在正方形ABCD 中，BD ⊥AC ， 又∵PO ∩AC ＝O ，∴BD ⊥平面P AC .又∵BD 平面BDE ，∴平面P AC ⊥平面BDE . (Ⅲ)解：取OC 中点F ，连接EF . ∵E 为PC 中点，∴EF 为△POC 的中位线，∴EF ∥PO . 又∵PO ⊥平面ABCD ， ∴EF ⊥平面ABCD ， ∵OF ⊥BD ，∴OE ⊥BD .∴∠EOF 为二面角E －BD －C 的平面角，∴∠EOF ＝30°.在Rt △OEF 中，OF ＝12OC ＝14AC ＝24a ，∴EF ＝OF ·tan 30°＝612a ，∴OP ＝2EF ＝66a . ∴V P －ABCD ＝13×a 2×66a ＝618a 3.第Ⅱ卷17．C 18．C【解析】因为AD ⊥平面P AB ，BC ⊥平面P AB ，所以AD ∥BC ，且∠DAP ＝∠CBP ＝90°.又∠APD ＝∠CPB ，AD ＝4，BC ＝8，可得tan ∠APD ＝AD P A ＝CB PB ＝tan ∠CPB ，即得PB P A ＝CBAD ＝2，在平面P AB 内，以AB 所在直线为x 轴，AB 中点O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A (－3，0)、B (3，0)．设点P (x ，y )，则有|PB ||P A |＝（x －3）2＋y 2（x ＋3）2＋y 2＝2，整理得x 2＋y 2＋10x ＋9＝0.由于点P 不在直线AB 上，故此轨迹为一个圆，但要去掉二个点，选C. 19．1－220172018【解析】∵当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12（x ＋1），x ∈[0，1）；1－|x －3|，x ∈[1，＋∞）；即x ∈[0，1)时，f (x )＝log 12(x ＋1)∈(－1，0]；x ∈[1，3]时，f (x )＝x －2∈[－1，1]； x ∈(3，＋∞)时，f (x )＝4－x ∈(－∞，－1)； 画出x ≥0时f (x )的图象，再利用奇函数的对称性，画出x ＜0时f (x )的图象，如图所示；则直线y ＝20172018，与y ＝f (x )的图象有5个交点，则方程f (x )－20172018＝0共五个实根， 最左边两根之和为－6，最右边两根之和为6，∵x ∈(－1，0)时，－x ∈(0，1)，∴f (－x )＝log 12(－x ＋1)， 又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－log 12(－x ＋1)＝log 12(1－x )－1＝log 2(1－x )，∴中间的一个根满足log 2(1－x )＝20172018， 即1－x ＝220172018，解得x ＝1－220172018， ∴所有根的和为1－220172018. 20．(Ⅰ)证明：如图，连结BD .∵正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，∴D 1D ⊥平面ABCD .∵AC 平面ABCD ，∴D 1D ⊥AC .∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD .∵BD ∩D 1D ＝D ，∴AC ⊥平面BDD 1.∵BD 1平面BDD 1，∴AC ⊥BD 1.(5分)(Ⅱ)解：存在．答案不唯一，作出满足条件的直线一定在平面ACC 1A 1中，且过BD 1的中点并与直线A 1A ，C 1C 相交．下面给出答案中的两种情况，其他答案只要合理就可以给满分．21．解：(Ⅰ)设圆Γ的圆心为O 1，显然圆Γ上距A 距离最小的点在AO 1上，于是依题意知AO 1的长度等于A 到l 1的距离．显然A 不能在l 1的下方，若不然A 到l 1的距离小于AO 1的长度， 故有（y －1）2＋x 2＝y －(－1)，即y ＝14x 2 (x ≠0)． (Ⅱ)若存在这样的点B ，设其坐标为(0，t )，以AB 为直径的圆的圆心为C ，过C 作l 2的垂线，垂足为D .则C 点坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，y ＋t 2，于是CD ＝|y ＋t －4|2， AB ＝x 2＋（y －t ）2＝4y ＋（y －t ）2设所截弦长为l ，则l 24＝⎝⎛⎭⎫AB 22－CD 2＝4y ＋（y －t ）24－（y ＋t ）2－8（y ＋t ）＋164， 于是l 2＝(12－4t )y ＋8t －16，弦长不变即l 不随y 的变化而变化，故12－4t ＝0，即t ＝3.即存在点B (0，3)，满足以AB 为直径的圆截直线l 2所得的弦长不变．22．解：(Ⅰ)由f (x )＋f (x －1)＞0得log 2(x ＋1)＋log 2x ＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＞1x ＞0x ＋1＞0，解得x ＞5－12，所以x 的取值范围是x ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＞5－12(5分)； (Ⅱ)当－3≤x ≤－2时，g (x )＝－g (x ＋2)＝g (－x －2)＝f (－x －2)＝log 2(－x －2＋1)＝log 2(－x －1)， 当－2＜x ≤－1时，g (x )＝－g (x ＋2)＝－f (x ＋2)＝－log 2(x ＋3)，综上可得g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（－1－x ），（－3≤x ≤－2）－log 2（3＋x ），（－2＜x ≤－1）， g (x )在[－3，－1]和[1，3]上递减；g (x )在[－1，1]上递增；(Ⅲ)因为g ⎝⎛⎭⎫－12＝－g ⎝⎛⎭⎫12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－log 232， 由(Ⅱ)知，若g (x )＝－log 232，得x ＝－32或x ＝52， 由函数g (x )的图象可知若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －2x8＋2x ＋3≥g ⎝⎛⎭⎫－12在R 上恒成立． 设u ＝t －2x 8＋2x ＋3＝－18＋t ＋18（1＋2x ）， 当t ＋1≥0时，u ＝－18＋t ＋18（1＋2x ）∈⎝⎛⎭⎫－18，－18＋t ＋18， 则u ∈⎝⎛⎭⎫－18，－18＋t ＋18⎝⎛⎭⎫－12，52，则－18＋t ＋18≤52， 解得－1≤t ≤20.当t ＋1＜0时，u ＝18＋t ＋18（1＋2x ）∈⎝⎛⎭⎫－18＋t ＋18，－18， 则u ∈⎝⎛⎭⎫－18＋t ＋18，－18⎝⎛⎭⎫－12，52，则－18＋t ＋18≥－12， 解得－4≤t ＜－1.综上，故－4≤t ≤20.。

2018-2019学年湖南师大附中高三（上）月考数学试卷（文科）（四）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U＝R，集合M＝{x|2x＜1}，集合N＝{x|log2x＞1}，则下列结论中成立的是（（）A．M∩N＝M B．M∪N＝N C．M∩（∁U N）＝M D．（∁U M）∩N 2．（5分）已知三条不重合的直线m、n、l，两个不重合的平面α、β，下列四个命题中正确的是（）A．若l⊥α，m⊥β，且l∥m，则α∥βB．若m∥n，n⊂α，则m∥αC．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βD．若α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，则n⊥α3．（5分）已知P（1，3）在双曲线＝1（a＞0，b＞0）的渐近线上，则该双曲线的离心率为（（）A．B．2C．D．4．（5分）已知f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈R）在一个周期内的图象如图所示，则y＝f（x）的解析式是（）A．f（x）＝sin（2x﹣）B．f（x）＝sin（2x）C．f（x）＝sin（2x+）D．f（x）＝sin（x+）5．（5分）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图则输出的值为（）（参考数据：sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．6B．12C．24D．486．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，通项公式a n＝log2（n∈N*），则满足不等式S n＜﹣6的n的最小值是（）A．62B．63C．126D．1277．（5分）设A，B，C为圆O上三点，且AB＝3，AC＝5，则•＝（）A．﹣8B．﹣1C．1D．88．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）＝f（x+2），数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2a n+2，则f（a n）＝（）A．0B．0或1C．﹣1或0D．1或﹣19．（5分）设定义域为R的函数f（x）＝，若b＜0，则关于x的方程f2（x）+bf（x）＝0的不同实根共有（）A．4个B．5个C．7个D．8个10．（5分）一个圆锥被过顶点的平面截去了较少的一部分几何体，余下的几何体的三视图如图，则余下部分的几何体的体积为（）A．+B．+C．+D．+ 11．（5分）本周星期日下午1点至6点学校图书馆照常开放，甲、乙两人计划前去自习，其中甲连续自习2小时，乙连续自习3小时．假设这两人各自随机到达图书馆，则下午5点钟时甲、乙两人都在图书馆自习的概率是（）A．B．C．D．12．（5分）设函数d（x）与函数y＝log2x关于直线y＝x对称．已知f（x）＝，若函数f（x）恰有2个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．[）∪[2，+∞）B．[）∪[）C．[）D．（]二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．13．（5分）已知圆C1：（x﹣a）2+y2＝1与圆C2：x2+y2﹣6x+5＝0外切，则a的值为．14．（5分）如果复数z满足关系式z+||＝2+i，那么z等于．15．（5分）若2a＝5b＝10，则等于．16．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：对任意实数a、b都有f（a+b）＝f（a）+f （b）﹣1，且当x＞0时f（x）＞1．若f（4）＝5，则不等式f（3x2﹣x﹣2）＜3的解集为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知函数f（x）＝a sin x+b cos x，a≠0，x∈R，f（x）的最大值是2，且在x＝处的切线与直线x﹣y＝0平行．（1）求a、b的值；（2）先将f（x）的图象上每点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将其向右平移个单位得到函数g（x）的图象，已知g（）＝，α∈（），求cos2α的值．18．（12分）如图，已知三棱柱ABC﹣ABC侧棱柱垂直于底面，AB＝AC，∠BAC＝90°点M，N分别为A′B和B′C′的中点．（1）证明：MN∥平面AA′C′C；（2）设AB＝λAA′，当λ为何值时，CN⊥平面A′MN，试证明你的结论．19．（12分）某地1～10岁男童年龄x i（岁）与身高的中位数y i（cm）（i＝1，2，…10）如表：x（岁）12345678910y（cm）76.588.596.8104.1111.3117.7124130135.4140.2上表的数据作初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．（x i）2（y i）2（x i）（y i）112.4582.503947.71566.85（1）求y关于x的线性回归方程（回归方程系数精确到0.01）；（2）某同学认为，y＝px2+qx+r更适宜作为y关于x的回归方程类型，他求得的回归方程是＝﹣0.30x2+10.17x+68.07．经调查，该地11岁男童身高的中位数为145.3cm．与（1）中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？（3）从6岁～10岁男童中每个年龄阶段各挑选一位男童参加表演（假设该年龄段身高的中位数就是该男童的身高）．再从这5位男童中任挑选两人表演“二重唱”，则“二重唱”男童身高满足|y i﹣y j|≤6，（i，j＝6，7，8，9，10）的概率是多少？参考公式：＝，＝20．（12分）如图，已知抛物线C：y2＝x和⊙M：（x﹣4）2+y2＝1，过抛物线C上一点H （x0，y0）（y0≥1）做两条直线与⊙M相切于A、B两点，分别交抛物线于E、F两点．（1）当∠AHB的角平分线垂直x轴时，求直线EF的斜率；（2）若直线AB在y轴上的截距为t，求t的最小值．21．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+1在x＝3处的切线方程为y＝5x﹣8．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若关于x的方程f（x）＝ke x恰有两个不同的实根，求实数k的值；（3）数列{a n}满足2a1＝f（2），a n+1＝f（a n），n∈N*，证明：①a n+1＞a n＞1②S＝＜2．请考生在第22～23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-4：极坐标与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数）．（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；（2）已知A（﹣2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求△ABM面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝k﹣|x﹣4|，x∈R，且f（x+4）≥0的解集为[﹣1，1]．（1）求k的值；（2）若a，b，c是正实数，且，求证：．。