湖南师范大学附属中学2020-2021学年度第一学期高二第二次月考数学试题

湖南师大附中2024—2025学年度高二第一学期期中考试语文时量:150分钟满分:150分得分：一、现代文阅读(35分)(一)现代文阅读Ⅰ(本题共5小题，19分)阅读下面的文字，完成1~5题。

①对于“过去之事、眼前之事、将来之事”，新闻和文学都有自己不同的表现方式。

然而，在当今商业化的趋势下，各类叙事成了大众文化的重要内容，新闻报道也进入了叙事的时代——一个让人眼花缭乱的“新闻故事化”时代。

虽然“新闻故事化”未必不好，但新闻叙事和文学叙事有着本质的区别。

②有人曾戏言：文学是“人学”，新闻是“事学”。

就文本而言，新闻与文学是两个不同类别的人文学科。

新闻反映的是客观事实，而文学表达的是主观情感。

从叙事内容来看，文学叙事的基础是“母题”，新闻叙事的基础是“事实”。

韦斯坦因认为文学叙事的母题数量和结构相对稳定，主要可以归结为生与死、爱与恨、美与丑三项二元组合结构，由此对应的基本题材就是战争、爱情与世俗生活，绝大部分文学作品的叙事主题都是由此产生的变体。

③文学叙事主题大多以情感发展为主线，通过性格、感情冲突塑造人物形象。

文学叙事的母题不论生与死、爱与恨还是美与丑，都带有强烈的感情判断色彩。

文学作品在安排情节时需要理性地建立大家的常识性认识，但感性是文学打动人的核心因素，文学叙事的成功与否在很大程度上取决于这种感性叙事能否充分激发读者的代入感和感情共鸣。

文学叙事作品中的“事”一般而言是虚构的，亚里士多德说：“诗人的职责不在于描述已发生的事，而在于描述可能发生的事，即按照可然律或必然律可能发生的事。

”而新闻作品所叙之事，依据新闻的本质，则是已经发生和正在发生的事，即事实。

因此，新闻叙事应具有客观真实的特点。

新闻叙事要求叙事者从理性的态度出发，诉诸受众的内容以信息为主，用客观事实表现社会或人物状态。

当然，新闻报道中也会有感性的描写、刻画，但其目的是让新闻叙事更生动、真实，具有更强的感染力。

④再者，文学叙事主题通常具有较强的个人化特征，即叙事者对叙事文本传达或是否需要传达某个内容给读者并不在意，更多是叙事者个人意识和情感的宣泄。

大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）数学命题人：高三数学备课组 审题人：高三数学备课组时量：120分钟 满分：150分一､选选选：本选共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1. 已知{}()260,{lg 10}Axx x B x x =+−≤=−<∣∣，则A B = （ ）A. {}32xx −≤≤∣ B. {32}x x −≤<∣ C. {12}x x <≤∣D. {12}x x <<∣2. 若复数z 满足()1i 3i z +=−+（i 是虚数单位），则z 等于（ ）A.B.54C.D.3. 已知平面向量()()5,0,2,1ab ==−，则向量a b +在向量b上投影向量为（ ）A. ()6,3−B. ()4,2−C. ()2,1−D. ()5,04. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（ ） A. 21B. 19C. 12D. 425. 某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若()2,X Nµσ∼，记()()p k P k X k µσµσ=−≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A 136人 B. 272人C. 328人D. 820人6. 已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ∈−=⋅=，则αβ+=（ ） A.π6 B.π4C.π3D.2π37. 已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b−=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条的.渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A.B.C. (D. (8. 已知函数()220log 0x a x f x x x ⋅≤= > ，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()0,1B. ()(),00,1−∞∪C. [)1,+∞D. ()()0,11,+∞二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 如图，在正方体111ABCD A B C D −中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（ ）A. E F M P ，，，四点共面B. 平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C. //EF 平面PMND. 平面MEF ⊥平面PMN10. 已知函数()5π24f x x=+，则（ ）A. ()f x 的一个对称中心为3π,08B. ()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象 C. ()f x 在区间5π7π,88上单调递增 D. 若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m∈11. 已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++−=，则（ ）A. ()f x 的图象关于点()2,1对称B. ()f x 是以8为周期的周期函数C. ()20240g =D.20241(42)2025k f k =−=∑ 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 6(31)x y +−的展开式中2x y 的系数为______．13. 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x ′−>，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.14. 已知点C 为扇形AOB 弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λµλµ=+∈，则λµ+的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=． （1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB =，求CD 的长．16. 已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点． （1）求a 的值； （2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x −≥，求k 的取值范围． 17. 已知四棱锥P ABCD −中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥==为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．的（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD18. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C ypx p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r −+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ 长度的最小值； （2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.19. 龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况． 日期t 12345678910销售量千张 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 2.59 2.68 2.76 2.7 04经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t ======∑∑∑ （1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ； （3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()N n P n ∗∈.①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε−<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．..参考公式： ()()()1122211ˆˆ,n ni ii ii i n n i i i i x x y y x y nx yay bx x xx nx====−−−==−−−∑∑∑∑.大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）数学命题人：高三数学备课组 审题人：高三数学备课组时量：120分钟 满分：150分一､选选选：本选共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1. 已知{}()260,{lg 10}Axx x B x x =+−≤=−<∣∣，则A B = （ ）A. {}32xx −≤≤∣ B. {32}x x −≤<∣ C. {12}x x <≤∣ D. {12}x x <<∣【答案】D 【解析】【分析】通过解一元二次不等式和对数函数的定义域，求出集合,A B ，再求交集． 【详解】集合{}()32,{lg 10}{12}A x x B x x x x =−≤≤=−<=<<∣∣∣，则{12}A B xx ∩=<<∣， 故选：D ．2. 若复数z 满足()1i 3i z +=−+（i 是虚数单位），则z 等于（ ）A.B.54C.D.【答案】C 【解析】【分析】由复数的除法运算计算可得12i z =−+，再由模长公式即可得出结果. 【详解】依题意()1i 3i z +=−+可得()()()()3i 1i 3i 24i12i 1i 1i 1i 2z −+−−+−+====−+++−，所以z =. 故选：C3. 已知平面向量()()5,0,2,1a b ==−，则向量a b +在向量b上的投影向量为（ ）A. ()6,3−B. ()4,2−C. ()2,1−D. ()5,0【答案】A 【解析】【分析】根据投影向量的计算公式即可求解.【详解】()()7,1,15,a b a b b b +=−+⋅==所以向量a b +在向量b 上的投影向量为()()236,3||a b b b bb +⋅==− .故选：A4. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（ ） A. 21 B. 19C. 12D. 42【答案】A 【解析】【分析】根据等差数列的性质，即可求解公差和首项，进而由求和公式求解.【详解】{}n a 是等差数列，396214a a a ∴+==，即67a =，所以67769,a a a a == 故公差76162,53d a a a a d =−=∴=−=−，()767732212S ×∴=×−+×=， 故选：A5. 某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若()2,X Nµσ∼，记()()p k P k X k µσµσ=−≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A. 136人B. 272人C. 328人D. 820人【答案】B 【解析】【分析】首先求出平均数，即可得到学生的数学成绩2~(73.5,22)X N ，再根据所给条件求出(5790)P X ≤≤，即可求出(90)P X ≥，即可估计人数．【详解】由题得0.4915073.5,22µσ=×==，()()(),0.750.547p k P k X k p µσµσ=−≤≤+≈ ，()5790P X ∴≤≤ ()0.750.547p ≈，()()900.510.5470.2265P X ≥×−，∴该校及格人数为0.22651200272×≈（人），故选：B ． 6. 已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ∈−=⋅=，则αβ+=（ ） A.π6 B.π4C.π3D.2π3【答案】D 【解析】【分析】利用两角差的余弦定理和同角三角函数的基本关系建立等式求解，再由两角和的余弦公式求解即可．【详解】由已知可得5cos cos sin sin 6sin sin 4cos cos αβαβαβαβ⋅+⋅=⋅ =⋅ ， 解得1cos cos 62sin sin 3αβαβ⋅=⋅=，，()1cos cos cos sin sin 2αβαβαβ∴+=⋅−⋅=−，π,0,2αβ∈，()0,παβ∴+∈， 2π,3αβ∴+=，故选：D ．7. 已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b−=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A.B.C. (D. (【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线以及圆的方程可求得弦长AB =，再根据不等式123AB F F >整理可得2259c a <，即可求得双曲线的离心率的取值范围.【详解】设以()2,0F c 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线0bx ay −=交于,A B 两点， 则2F 到渐近线0bx ay −=的距离d b，所以AB =， 因为123AB F F >，所以32c ×>，可得2222299a b c a b −>=+， 即22224555a b c a >=−，可得2259c a <，所以2295c a <，所以e <，又1e >，所以双曲线的离心率的取值范围是 .故选：B8. 已知函数()220log 0x a x f x x x ⋅≤= > ，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()0,1 B. ()(),00,1−∞∪C. [)1,+∞D. ()()0,11,+∞【答案】C 【解析】【分析】利用换元法设()u f x =，则方程等价为()0f u =，根据指数函数和对数函数图象和性质求出1u =，利用数形结合进行求解即可． 【详解】令()u f x =，则()0f u =．�当0a =时，若()0,0u f u ≤=；若0u >，由()2log 0f u u==，得1u =． 所以由()()0ff x =可得()0f x ≤或()1f x =．如图所示，满足()0f x ≤的x 有无数个，方程()1f x =只有一个解，不满足题意；�当0a ≠时，若0≤u ，则()20uf u a =⋅≠；若0u >，由()2log 0f u u==，得1u =． 所以由()()0ff x =可得()1f x =，当0x >时，由()2log 1f x x==，可得2x =， 因为关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则方程()1f x =在(,0∞−]上有且仅有一个实数根，若0a >且()(]0,20,xx f x a a ≤=⋅∈，故1a ≥； 若0a <且()0,20xx f x a ≤=⋅<，不满足题意．综上所述，实数a 的取值范围是[)1,+∞， 故选：C ．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 如图，在正方体111ABCD A B C D −中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（ ）A. E F M P ，，，四点共面B. 平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C. //EF 平面PMND. 平面MEF ⊥平面PMN【答案】BD 【解析】【分析】可得过,,E F M 三点的平面为一个正六边形，判断A ；分别连接,E F 和1,B C ，截面1C BEF 是等腰梯形，判断B ；分别取11,BB CC 的中点,G Q ，易证EF 显然不平行平面QGMN ，可判断C ；EM ⊥平面PMN ，可判断D.【详解】对于A ：如图经过,,E F M 三点的平面为一个正六边形EFMHQK ，点P 在平面外，,,,E F M P ∴四点不共面，∴选项A 错误；对于B ：分别连接,E F 和1,B C ，则平面PEF 即平面1C BEF ，截面1C BEF 是等腰梯形，∴选项B 正确；对于C ：分别取11,BB CC 的中点,G Q ，则平面PMN 即为平面QGMN ， 由正六边形EFMHQK ，可知HQ EF ，所以MQ 不平行于EF ，又,EF MQ ⊂平面EFMHQK ，所以EF MQ W = ，所以EF I 平面QGMN W =， 所以EF 不平行于平面PMN ，故选项C 错误；对于D ：因为,AEM BMG 是等腰三角形，45AME BMG ∴∠=∠=°， 90EMG ∴∠=°，EMMG ∴⊥，,M N 是,AB CD 的中点，易证MN AD ∥，由正方体可得AD ⊥平面11ABB A ，MN ∴⊥平面11ABB A ，又ME ⊂平面11ABB A ，EM MN ∴⊥，,MG MN ⊂ 平面PMN ，EM ∴⊥平面GMN ，EM ⊂ 平面MEF ，∴平面MEF ⊥平面,PMN 故选项D 正确．���BD ．10. 已知函数()5π24f x x=+，则（ ）A. ()f x 的一个对称中心为3π,08B. ()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象 C. ()f x 在区间5π7π,88上单调递增 D. 若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m∈【答案】BD 【解析】【分析】代入即可验证A ，根据平移可得函数图象，即可由正弦型函数的奇偶性求解B ，利用整体法即可判断C ，由5πcos 24x+求解所以根，即可求解D.【详解】对于A ，由35π3π2π0848f =+×=≠，故A 错误；对于B ，()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得： 3π3π5ππ228842y f x x x x=−−++，为奇函数，故B 正确； 对于C ，当5π7π,88x∈时，则5π5π2,3π42x +∈ ，由余弦函数单调性知，()f x 在区间5π7π,88 上单调递减，故C 错误；对于D ，由()1f x =，得5πcos 24x+ππ4x k =+或ππ,2k k +∈Z ， ()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，其横坐标从小到大依次为：ππ5π3π9π5π,,,,,424242， 而第7个交点的横坐标为13π4， 5π13π24m ∴<≤，故D 正确. 故选：BD11. 已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++−=，则（ ）A. ()f x 的图象关于点()2,1对称B. ()f x 是以8为周期的周期函数C. ()20240g =D.20241(42)2025k f k =−=∑ 【答案】ABC 【解析】【分析】根据函数奇偶性以及所满足的表达式构造方程组可得()()222f x f x ++−=，即可判断A 正确；利用对称中心表达式进行化简计算可得B 正确，可判断()g x 也是以8为周期的周期函数，即C 正确；根据周期性以及()()42f x f x ++=计算可得20241(42)2024k f k =−=∑，可得D 错误. 【详解】由题意()()()(),f x f x g x g x −=−=−，且()()()00,21g f x g x =++−=， 即()()21f x g x +−=①， 用x −替换()()21f x g x ++−=中的x ，得()()21f x g x −+=②， 由①+②得()()222f x f x ++−=， 所以()f x 的图象关于点(2,1)对称，且()21f =，故A 正确；由()()222f x f x ++−=，可得()()()()()42,422f x f x f x f x f x ++−=+=−−=−， 所以()()()()82422f x f x f x f x +=−+=−−= ， 所以()f x 是以8为周期的周期函数，故B 正确； 由①知()()21g x f x =+−，则()()()()882121g x f x f x g x +=++−=+−=，故()()8g x g x +=，因此()g x 也是以8为周期的周期函数， 所以()()202400g g ==，C 正确；又因为()()42f x f x ++−=，所以()()42f x f x ++=， 令2x =，则有()()262f f +=，令10x =，则有()()10142,f f +=…， 令8090x =，则有()()809080942f f +=， 所以1012(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2222024f f f f f f ++++++=+++=个所以20241(42)(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2024k f k f f f f f f =−=++++++=∑ ，故D 错误.故选：ABC【点睛】方法点睛：求解函数奇偶性、对称性、周期性等函数性质综合问题时，经常利用其中两个性质推得第三个性质特征，再进行相关计算.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 6(31)x y +−的展开式中2x y 的系数为______． 【答案】180− 【解析】【分析】根据题意，由条件可得展开式中2x y 的系数为213643C C (1)⋅−，化简即可得到结果． 【详解】在6(31)x y +−的展开式中， 由()2213264C C 3(1)180x y x y ⋅⋅−=−，得2x y 的系数为180−. 故答案为：180−．13. 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x ′−>，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.【答案】()()1,01,−∪+∞ 【解析】【分析】根据函数奇偶性并求导可得()()f x f x ′′−=，因此可得()()2f x f x ′>，可构造函数()()2xf x h x =e并求得其单调性即可得()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，即可得出结论. 【详解】因为()f x 为奇函数，定义域为R ，所以()()f x f x −=−，两边同时求导可得()()f x f x ′′−−=−，即()()f x f x ′′−=且()00f =，又因为当0x >时，()()2f x f x ′−>，所以()()2f x f x ′>. 构造函数()()2xf x h x =e，则()()()22x f x f x h x ′−′=e ， 所以当0x >时，()()0,h x h x ′>在()0,∞+上单调递增，又因为()10f =，所以()()10,h h x =在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零， 又因为2e 0x >，所以()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零， 因为()f x 为奇函数，所以()f x 在(),1∞−−上小于零，在()1,0−上大于零， 综上所述，()0f x >的解集为()()1,01,−∪+∞. 故答案为：()()1,01,−∪+∞14. 已知点C 为扇形AOB 的弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λµλµ=+∈，则λµ+的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】建系设点的坐标，再结合向量关系表示λµ+，最后应用三角恒等变换及三角函数值域求范围即可. 【详解】方法一：设圆O 的半径为1，由已知可设OB 为x 轴的正半轴，O 为坐标原点，过O 点作x 轴垂线为y 轴建立直角坐标系，其中()()1,1,0,cos ,sin 2A B C θθ ，其中π,0,3BOC θθ ∠=∈ ， 由(),R OC OA OB λµλµ=+∈，即()()1cos ,sin 1,02θθλµ =+，整理得1cos sin 2λµθθ+=，解得cos λµθ=，则ππcos cos ,0,33λµθθθθθ+=++=+∈，ππ2ππ,,sin 3333θθ+∈+∈所以λµ +∈ . 方法二：设k λµ+=，如图，当C 位于点A 或点B 时，,,A B C 三点共线，所以1k λµ=+=； 当点C 运动到AB的中点时，k λµ=+，所以λµ +∈故答案为：四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=． （1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB =，求CD 的长．【答案】（1）2π3C = （2）3CD = 【解析】【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦定理整理得到()2cos 1sin 0C B +=，再利用三角形的内角及正弦函数的性质即可求解；（2）利用正弦定理得出3b a =，再由余弦定理求出4a =，12b =，再根据三角形的面积建立等式求解． 【小问1详解】 由22cos a b c B +=，根据正弦定理可得2sin sin 2sin cos A B C B +=，则()2sin sin 2sin cos B C B C B ++=，所以2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C B C B C B ++=，整理得()2cos 1sin 0C B +=， 因为,B C 均为三角形内角，所以(),0,π,sin 0B C B ∈≠， 因此1cos 2C =−，所以2π3C =． 【小问2详解】因为CD 是角C的平分线，AD DB=所以在ACD 和BCD △中，由正弦定理可得，,ππsin sin sin sin 33AD CD BD CDA B ==， 因此sin 3sin BADA BD==，即sin 3sin B A =，所以3b a =， 又由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+−，即222293a a a =++， 解得4a =，所以12b =．又ABCACD BCD S S S =+△△△，即111sin sin sin 222ab ACB b CD ACD a CD BCD ∠∠∠=⋅⋅+⋅⋅， 即4816CD =，所以3CD =． 16. 已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点． （1）求a 的值； （2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x −≥，求k 的取值范围． 【答案】（1）1a = （2）(]()10,−∞−+∞ , 【解析】【分析】（1）直接根据极值点求出a 的值；（2）先由（1）求出()f x 的最小值，由题意可得是求()g x 的最小值，小于等于()f x 的最小值，对()g x 求导，判断由最小值时的k 的范围，再求出最小值与()f x 最小值的关系式，进而求出k 的范围． 【小问1详解】()()111ln ln 1a a f x ax x x x a x xα−−==′+⋅+，由1111ln 10e e e a f a −=+=′，得1a =， 当1a =时，()ln 1f x x =′+，函数()f x 在10,e上单调递减，在1,e∞ +上单调递增， 所以1ex =为函数()ln af x x x =的极小值点， 所以1a =． 【小问2详解】由（1）知min 11()e ef x f ==−． 函数()g x 的导函数()()1e xg x k x −=−′ �若0k >，对()1210,,x x k ∞∀∈+∃=−，使得()()12111e 1e k g x g f x k=−=−<−<−≤，即()()120f x g x −≥，符合题意． �若()0,0kg x =，取11ex =，对2x ∀∈R ，有()()120f x g x −<，不符合题意．�若0k <，当1x <时，()()0,g x g x ′<在(),1∞−上单调递减；当1x >时，()()0,g x g x ′>在(1,+∞)上单调递增，所以()min ()1ekg x g ==， 若对()120,,x x ∞∀∈+∃∈R ，使得()()120f x g x −≥，只需min min ()()g x f x ≤， 即1e ek ≤−，解得1k ≤−． 综上所述，k 的取值范围为(](),10,∞∞−−∪+．17. 已知四棱锥P ABCD −中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD ∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥==为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD【答案】（1）证明见解析 （2）F 位于棱PC 靠近P 的三等分点 【解析】【分析】（1）连接,,PE EC EC 交BD 于点G ，利用面面垂直的性质定理和三角形全等，即可得证； （2）取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立，利用线面角公式代入即可求解．小问1详解】如图，连接,,PE EC EC 交BD 于点G ．因为E 为AB 的中点，PA PB =，所以PE AB ⊥．因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面,ABCD AB PE =⊂平面PAB ， 所以PE ⊥平面ABCD ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以PE BD ⊥．因为ABD BCE ≅ ，所以CEB BDA ∠∠=，所以90CEB ABD ∠∠+= ， 所以BD EC ⊥，因为,,PE EC E PE EC ∩=⊂平面PEC ， 所以BD ⊥平面PEC ．因为EF ⊂平面PEC ，所以BD EF ⊥． 【小问2详解】如图，取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，【设2AB =，则2,1,BC AD PA PB ====则()()()()0,0,1,1,2,0,1,1,0,0,0,0P C D E −，设(),,,(01)F x y z PF PC λλ=<<， 所以()(),,11,2,1x y z λ−=−，所以,2,1x y z λλλ===−，即(),2,1F λλλ−．则()()()2,1,0,1,2,1,,2,1DC PC EF λλλ==−=−，设平面PCD 的法向量为(),,m a b c =，则00DC m PC m ⋅=⋅=，，即2020a b a b c += +−= ，，取()1,2,3m =−− ， 设EF 与平面PCD 所成的角为θ，由cos θ=sin θ=．所以sin cos ,m EF m EF m EF θ⋅===整理得2620λλ−=，因为01λ<<，所以13λ=，即13PF PC = ，故当F 位于棱PC 靠近P 的三等分点时，EF 与平面PCD18. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C ypx p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r −+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ 长度的最小值；（2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.【答案】（1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆的短轴可得抛物线方程2y x =，进而根据两点斜率公式，结合三角形的三边关系，即可由二次函数的性质求解，（2）根据两点坐标可得直线,MN DM 的直线方程，由直线与圆相切可得,a b 是方程()()()2222124240r x r x r −+−+−=的两个解，即可利用韦达定理代入化简求解定点. 【小问1详解】 由题意得椭圆的方程：221116y x +=，所以短半轴14b = 所以112242p b ==×=，所以抛物线1C 的方程是2y x =. 设点()2,P t t ，则111222PQ PE ≥−=−=≥， 所以当232ι=时，线段PQ . 【小问2详解】()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的点，21t ∴=，且()0,1,1t D >∴设()()22,,,M a a N b b ，则： 直线()222:b a MN y a x a b a −−=−−，即()21y a x a a b −=−+，即()0x a b y ab −++=. 直线()21:111a DM y x a −−=−−，即()10x a y a −++=. 由直线DMr =，即()()()2222124240r a r a r −+−+−=..同理，由直线DN 与圆相切得()()()2222124240r b r b r −+−+−=. 所以,a b 是方程()()()2222124240r x r x r −+−+−=的两个解， 22224224,11r r a b ab r r −−∴+==−− 代入方程()0x a b y ab −++=得()()222440x y r x y +++−−−=， 220,440,x y x y ++= ∴ ++= 解得0,1.x y = =− ∴直线MN 恒过定点()0,1−.【点睛】圆锥曲线中定点问题的两种解法（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.技巧：若直线方程为()00y y k x x −=−,则直线过定点()00,x y ;若直线方程为y kx b =+ (b 为定值),则直线过定点()0,.b 19. 龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况． 日期t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 销售量千张 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 259 2.68 2.76 2.7 0.4经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t ======∑∑∑. （1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；..（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ；（3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()Nn P n ∗∈. ①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε−<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．参考公式： ()()()1122211ˆˆ,n ni ii i i i n n ii i i x x y y x y nx y ay bx x x x nx ====−−−==−−−∑∑∑∑. 【答案】（1）673220710001200y t + （2）433774n n P =+⋅−（3）①最大值为1316，最小值为14；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）计算出新数据的相关数值，代入公式求出 ,ab 的值，进而得到y 关于t 的回归方程； （2）由题意可知1213,(3)44n n n P P P n −−=+≥，其中12113,416P P ==，构造等比数列，再利用等比数列的通项公式求解；（3）①分n 为偶数和n 为奇数两种情况讨论，结合指数函数的单调性求解；②利用数列收敛的定义，准确推理、运算，即可得证． 【小问1详解】 解：剔除第10天的数据，可得2.2100.4 2.49y ×−==新， 12345678959t ++++++++=新， 则9922111119.73100.4114,73,38510285i i i i t y t = =−×==−= ∑∑新新，所以912922119114,7395 2.4673ˆ2859560009i i i i t y t y b t t == − −×× ==−× − ∑∑新新新新新， 可得6732207ˆ 2.4560001200a =−×=，所以6732207ˆ60001200y t +. 【小问2详解】 解：由题意知1213,(3)44n n n P P P n −−=+≥，其中12111313,444416P P ==×+=， 所以11233,(3)44n n n n P P P P n −−−+=+≥，又由2131331141644P P ++×， 所以134n n P P − +是首项为1的常数列，所以131,(2)4n n P P n −+=≥ 所以1434(),(2)747n n P P n −−=−−≥，又因为1414974728P −=−=−， 所以数列47n P − 是首项为928−，公比为34−的等比数列， 故1493()7284n n P −−=−−，所以1934433()()2847774n n n P −=−−+=+−. 【小问3详解】 解：①当n 为偶数时，19344334()()28477747n n n P −=−−+=+⋅>单调递减， 最大值为21316P =； 当n 为奇数时，19344334()()28477747n n n P −=−−+=−⋅<单调递增，最小值为114P =， 综上可得，数列{}n P 的最大值为1316，最小值为14. ②证明：对任意0ε>总存在正整数0347[log ()]13N ε=+，其中 []x 表示取整函数， 当 347[log ()]13n ε>+时，347log ()34333333()()()7747474n n n P εε−=⋅−=⋅<⋅=， 所以数列{}n P 收敛.【点睛】知识方法点拨：与新定义有关的问题的求解策略：1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.方法点拨：与数列有关的问题的求解策略：3、若新定义与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识.。

2020-2021学年湖南师范大学附属中学高二上学期期末考试数学（文）试题(内容： 必修3，选修1－1，选修1－2，选修4－4)时量：120分钟 满分：100 分(必考试卷Ⅰ)，50分(必考试卷Ⅱ)必考试卷Ⅰ(满分100分)一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数－i ＋1i＝A ．－2iB .12i C ．0 D ．2i2．下列选项叙述错误的是A ．命题“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”的逆否命题是“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”B ．若命题p ：x ∈R ，x 2＋x ＋1≠0，则綈p ：x 0∈R ，x 20＋x 0＋1＝0C ．若p ∨q 为真命题，则p ，q 均为真命题D ．“x >2”是“x 2－3x ＋2>0”的充分不必要条件3．若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式：y ＝－x 3＋27x ＋123(x >0)，则获得最大利润时的年产量为A ．1百万件B ．2百万件C ．3百万件D ．4百万件4．“k >4”是“方程x 2k －4＋y 210－k＝1表示焦点在x 轴上的双曲线”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．若函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象可能为6．在△ABC 的边AB 上随机取一点P ，记△CAP 和△CBP 的面积分别为S 1和S 2，则S 1>2S 2的概率是 A.12 B.13 C.14 D.157．执行如图所示的程序框图，会输出一列数，则这个数列的第3项是A ．870B ．30C ．6D ．38．在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B 样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得的数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差9．已知双曲线x 2a 2－y 2b2的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为A ．5x 2－4y 25＝1 B.x 25－y24＝1C.y 25－x 24＝1 D ．5x 2－5y 24＝1 10．设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋2x ＋1，若f (x )在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是A ．(22，＋∞)B ．[22，＋∞)C ．(－∞，－22)D ．(－∞，－22] 答题卡题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 得分 答 案11．用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设________________． 12．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如下图)．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2 500，3 000](元)月收入段应抽出________人．13．对于定义域为R 的函数f (x )，若函数f (x )在()－∞，x 0和()x 0，＋∞上均有零点，则称x 0为函数f (x )的一个“给力点”．现给出下列四个函数：①f ()x ＝3||x －1＋12；②f ()x ＝2＋lg ||x －1；③f ()x ＝x 33－x －1；④f ()x ＝x 2＋ax －1(a ∈R )．则存在“给力点”的函数是________．(填序号)三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14．(本小题满分11分)已知曲线C 的极坐标方程是ρ－6cos θ＋2sin θ＋1ρ＝0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴， 建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系xOy 中， 直线l 经过点P(3，3)，倾斜角α＝π3.(1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程； (2)设l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|AB|的值．为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名小学生进行了问卷调查得到如下列联表：(平均每天喝500 ml已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为.15(1)请将上面的列联表补充完整；(2)是否有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由；(3)现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中(其中有2名女生)，抽取2人参加竞技运动，则正好抽到一男一女的概率是多少？(参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d)（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t(t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px(p>0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交抛物线C 于点H.(1)求|OH||ON|；(2)除H 以外，直线MH 与抛物线C 是否有其他公共点？说明理由．必考试卷Ⅱ(满分50分)一、选择题：本大题共1个小题，每小题5分，共5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．17．已知函数f(x)＝x 2＋x sin x ＋cos x 的图象与直线y ＝b 有两个不同交点，则b 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(0，＋∞) C ．(－∞，1) D ．(1，＋∞)二、填空题：本大题共2个小题，每小题5分，共10分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．18．如图，已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 2与圆x 2＋y 2＝b 2相切于点Q ，且点Q 为线段PF 2的中点，则椭圆C 的离心率为________．19．把正整数排列成如图甲所示三角形数阵，然后擦去偶数行中的奇数和奇数行中的偶数，得到如图乙所示三角形数阵，设a i j 为图乙三角形数阵中第i 行第j 个数，若a mn ＝2 017，则实数对(m ，n)为____________．三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20．(本小题满分10分)设f(x)＝a(x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0，6)． (1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．21.(本小题满分12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，A 为短轴的一个端点且||OA ＝||OF ＝2(其中O 为坐标原点)．(1)求椭圆的方程；(2)若C 、D 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M 满足MD ⊥CD ，连接CM ，交椭圆于点P ，试问x 轴上是否存在异于点C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线DP 、MQ 的交点，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．22.(本小题满分13分)已知函数f ()x ＝12x 2，g ()x ＝a ln x .(1)设h ()x ＝f ()x ＋g ()x ，若对任意两个不等的正数x 1，x 2，都有h （x 1）－h （x 2）x 1－x 2>0恒成立，求实数a 的取值范围；(2)若在[]1，e 上存在一点x 0，使得f ′()x 0＋1f ′()x 0<g ()x 0－g ′()x 0成立，求实数a 的取值范围．2020-2021学年湖南师范大学附属中学高二上学期期末考试数学（文）试题参考答案必考试卷Ⅰ一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.5.C 【解析】根据f ′(x)的符号，f(x)图象应该是先下降后上升，最后下降，排除A 、D ；从适合f ′(x)＝0的点可以排除B .10．C 【解析】f ′(x)＝x 2－ax ＋2，依题意，存在x ∈(－2，－1)，使不等式g ′(x)＝x 2－ax ＋2<0成立，即x ∈(－2，－1)时，a<⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x max ＝－22，当且仅当x ＝2x 即x ＝－2时等号成立．所以满足要求的a 的取值范围是(－∞，－22)．二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上． 11．三角形三个内角都大于60° 12．2513．②④ 【解析】对于①， f ()x ＝3||x －1＋12>0，不存在“给力点”；对于②，取x 0＝1，f ()x 在(－1，1)上有零点x ＝99100，在(1，＋∞)上有零点x ＝101100，所以f ()x 存在“给力点”为1；对于③，f ′(x)＝(x ＋1)(x －1)，易知f(x)只有一个零点．对于④，f(x)＝x 2＋ax －1(a ∈R )定义域为R ，因为判别式a 2＋4>0，则一定存在“给力点”．综上可得，②④正确．三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．14．【解析】(1)曲线C 化为：ρ2－6ρcos θ＋2ρsin θ＋1＝0，再化为直角坐标方程为 x 2＋y 2－6x ＋2y ＋1＝0，化为标准方程是(x －3)2＋(y ＋1)2＝9，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cosπ3y ＝3＋t sin π3.(t 为参数)(5分)(2)将l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，整理得：t 2＋43t ＋7＝0，Δ＝(43)2－4×7＝20>0，则t 1＋t 2＝－43，t 1·t 2＝7，所以|AB|＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1·t 2＝48－28＝2 5.(11分)15．【解析】(1)设常喝碳酸饮料中肥胖的学生有x 人，由x ＋230＝415，即得x ＝6.(2分)补充列联表如下：(5分)(2)由已知数据可求得：K 2＝30（6×18－2×4）210×20×8×22≈8.523>7.879，因此有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关．(8分)(3)设常喝碳酸饮料的肥胖者中男生为A 、B 、C 、D ，女生为E 、F ，则任取两人有AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BC ，BD ，BE ，BF ，CD ，CE ，CF ，DE ，DF ，EF ，共15种基本事件．设抽中一男一女为事件A ，事件A 含有AE ，AF ，BE ，BF ，CE ，CF, DE ，DF 这8个基本事件．故抽出一男一女的概率是p ＝815.(12分)16．【解析】(1)由已知得M(0，t)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t .(2分) 又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ，(3分) 所以ON 的方程为y ＝ptx ，(4分)代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t2p，(5分)因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t .(6分)所以N 为OH 的中点，即|OH||ON|＝2.(8分)(2)直线MH 与抛物线C 除H 以外没有其他公共点．(9分) 直线MH 的方程为y －t ＝p2tx ，(10分)即x ＝2t p(y －t)．代入y 2＝2px 得：y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，(11分)即直线MH 与抛物线C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与抛物线C 没有其他公共点．(12分)必考试卷Ⅱ一、选择题：本大题共1个小题，每小题5分，共5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．17．D 【解析】f ′(x)＝x(2＋cos x)，令f ′(x)＝0，得x ＝0.∴当x>0时，f ′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上递增．当x<0时，f ′(x)<0，f(x)在(－∞，0)上递减．∴f(x)的最小值为f(0)＝1.∵函数f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调，∴当b>1时，曲线y ＝f(x)与直线y ＝b 有且仅有两个不同交点．综上可知，b 的取值范围是(1，＋∞)．二、填空题：本大题共2个小题，每小题5分，共10分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．18.53【解析】连接PF 1，QO ，显然|OF 1|＝|OF 2|，由已知点Q 为线段PF 2的中点，则PF 1∥QO ，故|PF 1|＝2b ，又根据椭圆的定义得：|PF 2|＝2a －2b ，在直角三角形PF 2F 1中，(2c)2＝(2b)2＋(2a －2b)2b a ＝23e＝53. 19．(45，41) 【解析】分析乙图，可得(1)第k 行有k 个数，则前k 行共有k （k ＋1）2个数；(2)第k行最后一个数为k 2；(3)每一行的第一个数字都比上一行的最后一个数字大1；(4)从第二行开始，以下每一行的数，从左到右都是公差为2的等差数列．又442＝1 936，452＝2 025，则442<2 017<452，则2 017出现在第45行，第45行第1个数是442＋1＝1 937，这行中第2 017－1 9372＋1＝41个数为2 017，前44行共有44×452＝990个数，则2 017为第990＋41＝1 031个数，则实数对(m ，n)为(45，41)．三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20．【解析】(1)因为f(x)＝a(x －5)2＋6ln x ，所以f ′(x)＝2a(x －5)＋6x .令x ＝1，得f(1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ，所以曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a)(x －1)， 由点(0，6)在切线上，可得6－16a ＝8a －6，故a ＝12.(4分)(2)由(1)知，f(x)＝12(x －5)2＋6ln x(x>0)，f ′(x)＝x －5＋6x ＝（x －2）（x －3）x .令f ′(x)＝0，解得x ＝2或3.(6分)当0<x<2或x>3时，f ′(x)>0，故f(x)在(0，2)，(3，＋∞)上为增函数； 当2<x<3时，f ′(x)<0，故f(x)在(2，3)上为减函数．(8分)由此可知f(x)在x ＝2处取得极大值f(2)＝92＋6ln 2，在x ＝3处取得极小值f(3)＝2＋6ln 3.综上，f(x)的单调增区间为(0，2)，(3，＋∞)，单调减区间为(2，3)，f(x)的极大值为92＋6ln 2，极小值为2＋6ln 3.(10分)21．【解析】(1)由已知：b ＝c ＝2，∴a 2＝4，故所求椭圆方程为x 24＋y22＝1.(4分)(2)由(1)知，C(－2，0)，D(2，0)，由题意可设CM ：y ＝k(x ＋2)，P(x 1，y 1)，M(2，4k)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1y ＝k （x ＋2），整理得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0.(6分)方程显然有两个解，由韦达定理：x 1x 2＝8k 2－41＋2k 2，得x 1＝2－4k 21＋2k 2，y 1＝4k 1＋2k2.所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 21＋2k 2，4k 1＋2k 2，设Q(x 0，0)，(8分)若存在满足题设的Q 点，则MQ ⊥DP ，由MQ →·DP →＝0， 整理，可得8k 2x 01＋2k 2＝0恒成立，所以x 0＝0.(12分)故存在定点Q(0，0)满足题设要求．22．【解析】(1)h ()x ＝f ()x ＋g ()x ＝12x 2＋a ln x ，因为对任意两个不等的正数x 1，x 2，都有h （x 1）－h （x 2）x 1－x 2>0，设x 1>x 2，则h(x 1)－h(x 2)>0，问题等价于函数h ()x ＝f ()x ＋g ()x ＝12x 2＋a ln x 在()0，＋∞上为增函数．(2分)所以h ′(x)＝x ＋a x ≥0在()0，＋∞上恒成立，即a ≥－x 2在()0，＋∞上恒成立．∵－x 2<0，所以a ≥0，即实数a 的取值范围是[0，＋∞)．(6分)(2)不等式f ′()x 0＋1f ′()x 0<g ()x 0－g ′()x 0等价于x 0＋1x 0<a ln x 0－a x 0，整理得x 0－a ln x 0＋1＋ax 0<0.设m ()x ＝x －a ln x ＋1＋ax ，由题意知，在[]1，e 上存在一点x 0，使得m ()x 0<0.(7分)由m ′()x ＝1－a x －1＋a x 2＝x 2－ax －（1＋a ）x 2＝（x －1－a ）（x ＋1）x 2. 因为x>0，所以x ＋1>0，即令m ′()x ＝0，得x ＝1＋a.①当1＋a ≤1，即a ≤0时，m ()x 在[]1，e 上单调递增， 只需m ()1＝2＋a<0，解得a<－2.(9分)②当1<1＋a<e ，即0<a<e －1时，m ()x 在x ＝1＋a 处取最小值．令m ()1＋a ＝1＋a －a ln (1＋a)＋1<0，即a ＋1＋1<a ln (a ＋1)，可得a ＋1＋1a<ln (a ＋1)．考查式子t ＋1t －1<ln t ， 因为1<t<e ，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不能成立．(11分) ③ 当1＋a ≥e ，即a ≥e －1时，m ()x 在[]1，e 上单调递减，只需m ()e ＝e －a ＋1＋a e <0，解得a>e 2＋1e －1. 综上所述，实数a 的取值范围是()－∞，－2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2＋1e －1，＋∞.(13分)。

湖南师大附中2020-2021学年度高二第一学期第二次大练习数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知对数函数y ＝log a x （a ＞0，a ≠1）的图象经过点P （3，1-），则幂函数a x y =的图象是A ．B ．C ．D ．2．设m 为给定的实常数，命题p ：∀x ∈R ，x 2﹣4x +2m ≥0，则“m ≥1”是“p 为真命题”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．下列结论中正确的是A ．椭圆14522=+y x 的焦点坐标是（3±，0）B ．双曲线13422=-x y 的顶点坐标是（2±，0）C ．抛物线x y 122-=的准线方程是3=x D ．直线0143=+-y x 与圆()()42122=-++y x 相交4．已知△ABC 的面积为233，︒=60A ，且2sin B ＝3sin C ，则△ABC 的周长为A ．75+B ．105+C ．195+D ．125．在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩按[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100)分成六组，其频率分布直方图如图所示，则下列说法中错误的是A ．成绩在[70，80)内的考生人数最多B ．不及格(60分以下)的考生人数约为1000人C ．考生竞赛成绩平均分的估计值为70.5分D ．考生竞赛成绩中位数的估计值为75分6．已知△ABC 是边长为3的正三角形，点M 是AB 的中点，点N 在AC 边上，且NC AN 2=，则BN CM ⋅=A ．23-B ．23-C ．233-D ．29-7．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点F 在x 轴正半轴上，点M 为圆O ：1222=+y x 与C 的一个交点，且3=MF ，则C 的标准方程是A ．y 2＝2xB ．y 2＝3xC ．y 2＝4xD ．y 2＝6x8．已知四棱锥S ﹣ABCD 的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD 是经过球心O 的正方形，当该四棱锥的体积取最大值时，其表面积为344+，则球O 的体积等于A ．π324B ．π328C ．π3216D ．π3232二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．对于两条不同直线m ，n 和两个不同平面α，β，则下列说法中正确的是A ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n B ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥βC ．若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥βD ．若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥α10．对于函数f （x ）＝cos （x 3π+），下列结论正确的是A ．f （x ）的一个周期为π2-B ．f （x ）在 ⎝⎛2π，)π上单调递减C ．f （x ）的图象关于直线x ＝38π对称D ．6π=x 为f （x π+）的一个零点11．设双曲线C ：12222=-by a x (0>a ，0>b )的右焦点为F ，直线l 为C 的一条斜率为正数的渐近线，O 为坐标原点.若在C 的左支上存在点P ，使点P 与点F 关于直线l 对称，则下列结论正确的是A ．bPF 2=B ．△POF 的面积为ab C ．双曲线C 的离心率为3D ．直线l 的方程是xy 2=12．已知函数f （x ）＝()⎩⎨⎧≥-<--03032x x f x x x ，，，则下列结论正确的是A ．f （x ）在区间[4，6]上是增函数B ．f （﹣2）+f （2020）＝4C ．若函数y ＝f （x ）﹣m 在（﹣∞，6）上有6个零点x i （i ＝1，2，…，6），则∑=61i ix ＝9D ．当311-<<-k 时，关于x 的方程f （x ）＝kx +1恰有3个实根三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．使{1，2}=M {1，2，3}成立的集合M 共有个．14．已知a ，b 为单位向量，且a ⊥()b a 2+，则向量a 与b 的夹角为．15．已知0>a ，0>b ，且6=+b a ，则31+++b a 的最大值为．16．已知点A (1，0)，B (1-，0)，动点M 满足：直线AM 与直线BM 的斜率之积为定值m ()0≠m ．（1）若点M 的轨迹是焦点在y 轴上的椭圆(除去点A 、B )，则m 的取值范围是；（2）若点M 的轨迹是焦距为4的双曲线(除去点A 、B )，则m =．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）设函数f （x ）＝sin （6πω-x ）+sin （2πω-x ），其中0＜ω＜3，已知f （6π）＝0．（1）求f （x ）的最小正周期；（2）将函数y ＝f （x ）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将整个图象向左平移4π个单位，得到函数y ＝g （x ）的图象，求g （x ）在区间[4π-，43π]上的最小值．18．（本小题满分12分）已知数列{a n }满足a 1＝4，当n ≥2时，n n n a a 221=--．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设数列{a n }的前n 项和为S n ，证明：S n ≤()*N ∈-n a n 42．某工厂生产不同规格的一种产品，根据统计分析，其合格产品的质量y （g ）与尺寸x （mm ）之间的相关关系可用回归模型y ＝cx b （b ，c 都为正常数）进行拟合．现随机抽取6件合格产品，其检测数据如下表：尺寸x （mm ）384858687888质量y （g ）16.818.820.722.42425.5质量与尺寸的比xy0.4420.3920.3570.3290.3080.290（1）检测标准指出，当产品质量与尺寸的比值在区间（0.302，0.388）内时为优等品．现从所抽取的6件合格产品中再任选2件，求选中的2件产品均为优等品的概率；（2）经计算，6.24ln 61=∑=i ix，3.18ln 61=∑=i iy，()4.101ln 612=∑=i ix ，3.75ln ln 61=∙∑=i iiyx ，求y 关于x 的回归方程．附：对于样本数据（u i ，v i ）（i ＝1，2，…，n ），其回归直线a u b vˆˆˆ+=的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()(()∑∑∑∑====--=---=ni ini i i ni ini i iu n uv u n vu u uv v u ub1221121ˆ，u b v aˆˆ-=．如图所示，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 在棱AB 上移动．（1）证明：D 1E ⊥A 1D ；（2）求当AE 为何值时，二面角D 1﹣EC ﹣D 的大小为45°？21．（本小题满分12分）新冠肺炎疫情的发生促进了医药科研的发展．某医药研究所研发了一种治疗新冠肺炎的新药，经临床试验，该药物在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效的治疗作用，且每服用m （1≤m ≤4且m ∈R ）个单位的药剂，药剂在血液中的含量y （克）随着时间x （小时）变化的函数关系式近似为y ＝mf （x ），其中f （x ）＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-<≤+.8624,60410x x x x，，（1）若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？（2）若病人第一次服用2个单位的药剂，在有效治疗时间末端再服用m 个单位的药剂．要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，求m的最小值．如图，设椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，A 、B 为椭圆长轴的两个端点，F 为椭圆的右焦点．已知椭圆的离心率为23，且|AF |•|BF |＝4．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设M 是椭圆C 上不同于A ，B 的一个动点，直线AM ，BM 分别与直线x ＝6相交于点D ，E ，求|DE |的最小值．。

湖南师范大学附属中学2020-2021学年高三上学期第二次月考数学（理）试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}2|230A x x x =--<，集合{}1|21x B x +=>，则C B A =（ ）A ．[3,)+∞B ．(3,)+∞C ．(,1][3,)-∞-⋃+∞D ．(,1)(3,)-∞-+∞2．已知函数()2f x x bx c =++，则“0c <”是“0x R ∃∈，使()00f x <”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．设40.48,8a log b log ==,0.42c =,则( ) A ．b c a <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<4．若平面区域30,{230,230x y x y x y +-≥--≤-+≥夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（ ） ABC．2D5．函数||4x e y x=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S 不可能是（ ）A ．0.7B ．0.75C ．0.8D ．0.97．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图（1）中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，所以将其称为三角形数；类似地，称图（2）中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数，则下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）A ．289B ．1024C ．1225D ．13788．已知,A B 是圆22:16O x y +=的两个动点，524,33AB OC OA OB ==-，若M 分别是线段AB 的中点，则·OC OM =（ ）A ．8+B ．8-C ．12D ．49．点A 、B 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>长轴的端点，C 、D 为椭圆E 短轴的端点，动点M 满足||2||MA MB =，记动点M 的轨迹为曲线Γ，若曲线Γ上两点1M 、2M满足1M AB △面积的最大值为8，2M CD △面积的最小值为1，则椭圆的离心率为（ ）A ．3B ．3C ．2D ．210．如图所示，在单位正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的面对角线A 1B 上存在一点P 使得AP +D 1P 取得最小值，则此最小值为（ ）A ．2BC ．2+D 11．已知函数()22ln f x x x =-与()()()sin 0g x x ωϕω=+>有两个公共点，则在下列函数中满足条件的周期最大的()g x = A ．sin 22x ππ⎛⎫-⎪⎝⎭B ．sin 22x ππ⎛⎫-⎪⎝⎭C ．sin 2x ππ⎛⎫-⎪⎝⎭D ．sin 2x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭12．设D 是含数1的有限实数集，()f x 是定义在D 上的函数，若()f x 的图象绕原点逆时针旋转π6后与原图象重合，则在以下各项中，()1f 的可能取值只能是（ ）A B C D ．0二、填空题13．定积分=⎰____________.14．在公差大于0的等差数列{}n a 中，71321a a -=，且1a ，31a -，65a +成等比数列，则数列(){}11n n a --的前21项和为_________.15．若函数()y f x =的图象上存在两个点A ，B 关于原点对称，则称点对[],A B 为()y f x =的“友情点对”，点对[],A B 与[],B A 可看作同一个“友情点对”，若函数()322,069,0x f x x x x a x <⎧=⎨-+-+≥⎩恰好有两个“友情点对”，则实数a 的值为__________16．点M 为棱长是1111ABCD A B C D -的内切球O 的球面上的动点，点N 为11B C 的中点，若满足DM BN ⊥，则动点M 的轨迹的长度为________三、解答题17．在ABC ∆ 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=（1） 求sin sin CA的值 （2） 若1cos ,24B b == ，求ABC ∆的面积.18．某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如下表：从某企业生产的这种产品中抽取200件，检测后得到如下的频率分布直方图：(1)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的规定？(2)在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率；(3)该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值X 近似满足~(218,140)X N ，则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少？19．如图，ABCD 是边长为2的正方形，平面EAD ⊥平面ABCD ，且EA ED =，O 是线段AD 的中点，过E 作直线//l AB ，F 是直线l 上一动点.（1）求证：OF BC ⊥；（2）若直线l 上存在唯一一点F 使得直线OF 与平面BCF 垂直，求此时二面角B OFC --的余弦值.20．已知抛物线C 的顶点为O （0，0），焦点F （0，1） （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）过F 作直线交抛物线于A 、B 两点．若直线OA 、OB 分别交直线l ：y=x ﹣2于M 、N 两点，求|MN|的最小值．21．已知函数()2ln f x x x =.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）证明：对任意的0t >，存在唯一的s ，使()t f s =；（3）设（2）中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =，证明：当2t e >时，有()ln 215ln 2g t t <<. 22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（a 为参数），在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）求C 的普通方程和l 的倾斜角；（2）设点(0,2)P ，l 和C 交于A ，B 两点，求||+||PA PB . 23．已知函数()|1||3|f x x x =-+-. (1)解不等式()1f x x ≤+；(2)设函数()f x 的最小值为c ，实数,a b 满足0,0,a b a b c >>+=，求证：22111a b a b +≥++.参考答案1．A 【分析】首先解得集合A ，B ，再根据补集的定义求解即可. 【详解】 解：{}2|230{|13}A x x x x x =--<=-<<，{}1|21{|1}x B x x x +=>=>-，{}C |3[3,)B A x x ∴=≥=+∞，故选A ．【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，指数不等式的解法以及补集的运算，属于基础题. 2．A 【分析】通过c ＜0，判断函数对应的不等式有解，说明充分性；不等式有解，说明c 的值不一定小于0，判断必要性即可． 【详解】已知函数()2f x x bx c =++，则“0c <”时，函数与x 轴有两个交点，所以“0x R ∃∈，使()00f x <”成立.而“0x R ∃∈，使()00f x <”.即20x bx c ++<，所以240b c ∆=->，即24b c >，c 不一定有0c <，如2320x x ++<.综上，函数()2f x x bx c =++.则“0c <”是“0x R ∃∈，使()00f x <”的充分不必要条件；故选A . 【点睛】本题考查充要条件的判断与应用，二次函数与二次不等式的解集的关系，考查计算能力． 3．A 【分析】根据指数函数、对数函数单调性比较数值大小. 【详解】因为4233log 8log 222a ===，0.40.4log 8log 10b =<=，0.40.53222c =<=<，所以b c a <<， 故选A. 【点睛】本题考查利用指、对数函数的单调性比较数值大小，难度一般.利用指、对数函数单调性比较大小时，注意利用中间量比较大小，常用的中间量有：0,1. 4．B 【解析】试题分析：画出不等式组的平面区域如题所示，由230{30x y x y -+=+-=得(1,2)A ，由230{30x y x y --=+-=得(2,1)B ，由题意可知,当斜率为1的两条直线分别过点A 和点B 时，两直线的距离最小，即AB ==B ．考点：线性规划． 5．C 【分析】由函数的奇偶性可排除B ；由(1),(3)f f 可排除选项A 、D. 【详解】设||()4x e f x x =，定义域为{|0}x x ≠，||()()4x e f x f x x-=-=-，所以()f x 为奇函数，故排除选项B ；又(1)14e f =<，排除选项A ；3(3)112e f =>，排除选项D.故选：C 【点睛】本题考查由解析式选函数图象的问题，涉及到函数的性质，此类题一般从单调性、奇偶性、特殊点的函数值入手，是一道容易题. 6．A 【解析】试题分析：根据程序框图：111,1122i S ===-⨯；1111112,1112232233i S ==-+=-+-=-⨯；；当1,11i n S n ==-+．当3n =时，13144S =-=；当4n =时，14155S =-=；当9n =时，1911010S =-=；当171110n -=+时，73n N =∉，所以选A ．考点：1.程序框图；2.数列裂项相消法求和．【易错点晴】本题主要考查的是程序框图和数列中的裂项相消法，属于中档题．在给出程序框图求解输出结果的试题中一定要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，根据前面的式子找到其中的规律，对本题来说就是这个程序框图的本质是利用裂项相消法求和，所以，又，找到各项满足条件的即可．7．C 【分析】记三角形数构成的数列为{}n a ，计算可得()12n n n a +=；易知2n b n =．据此确定复合题意的选项即可. 【详解】记三角形数构成的数列为{}n a ，则11a =，2312a ==+，36123a ==++，4101234a ==+++，…，易得通项公式为()11232n n n a n +=++++=；同理可得正方形数构成的数列{}n b 的通项公式为2n b n =．将四个选项中的数字分别代入上述两个通项公式，使得n 都为正整数的只有249501225352⨯==． 故选C ． 【点睛】本题主要考查归纳推理的方法，数列求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 8．C 【详解】 由题意1122OM OA OB =+，则2252115113322632OC OM OA OB OA OB OA OB OA OB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+=-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又圆的半径为4，4AB，则,OA OB 两向量的夹角为π3．则8OA OB ⋅=，2216OA OB ==，所以12OC OM ⋅=．故本题答案选C ．点睛：本题主要考查平面向量的基本定理.用平面向量的基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并且运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合,在基底未给出的情况下进行向量的运算,合理地选取基底会给解题带来方便.进行向量运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中. 9．C 【分析】根据题意求得动点M 的轨迹方程,再分析1M AB △与2M CD △面积的表达式求解,a b 的关系进而求得离心率即可. 【详解】由题可设(,0),(,0)A a B a -,(,)M x y 则因为||2||MA MB =,故22222()4()4x a y x a y =⇒++=-+.化简得Γ：222516()39x a y a -+=.故当1254,,,0333M a a M a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时1M AB △面积最大, 2M CD △面积的最小.故14128,212323a a a a b b ⎧=⎪⨯⨯=⨯⨯=⇒⎨=⎪⎩.故椭圆的离心率2e ==. 故选：C 【点睛】本题主要考查了圆的轨迹方程的求解以及离心率的求解问题,需要根据题意列出(,)M x y 满足的条件,再化简求得方程,属于中等题型. 10．D 【解析】试题分析：将1ABA ∆翻折到与四边形11A BCD 同一平面内，1AP D P +的最小值为1D A ，在11D AA ∆中1111131,1,4A D AA AA D π==∠=，由余弦定理可得1AD =考点：1.翻折问题；2.空间距离 11．C 【解析】 【分析】利用导数研究函数f （x ）的最值，利用f （x ）与g （x ）的图象有两个公共点，建立条件关系，结合周期公式和最值点，即可得到结论． 【详解】因为()22ln f x x x =-为偶函数，所以当0x >时，()22ln f x x x =-，则()()()21122x x f x x x x+-'=-=，所以()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以当1x =时，()()min 11f x f ==，所以当0x <时，()()min 11f x f =-=，所以()g x 的最大周期是2.所以22T πω==，ωπ=，又()g x 恰好在1x =和1x =-处取得最大值1，故2πϕ=-，故选C .【点睛】本题主要考查函数图象的应用，根据导数研究函数的最值是解决本题的关键，考查了三角函数的性质的应用，属于中档题． 12．B 【分析】利用函数的定义即可得到结果. 【详解】由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转6π个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当f （1）0时，此时得到的圆心角为3π，6π，0，然而此时x=0或者x=1时，都有2个y 与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x 只能对应一个y ，因此只有当x=2，此时旋转6π，此时满足一个x 只会对应一个y ，故选B ． 【点睛】本题考查函数的定义，即“对于集合A 中的每一个值，在集合B 中有唯一的元素与它对应”(不允许一对多). 13．4π【分析】根据定积分的几何意义即可求出． 【详解】令0)y y =≥，则（x -1）2+y 2＝1表示以（1，0）为圆心，以1为半径的圆，其面积为π，所以⎰表示半径为1的四分之一圆的面积,如下图.故答案为4π 【点睛】本题考查定积分的几何意义，准确转化为图形的面积是解决问题的关键，属基础题． 14．21 【分析】设公差为d （d ＞0），运用等差数列的通项公式，可得首项为1，再由等比数列的中项的性质，解方程可得公差d ，进而得到等差数列{a n }的通项，再由并项求和即可得到所求和． 【详解】公差d 大于0的等差数列{}n a 中，71321a a -=，可得()11212121a d a d +-+=，即11a =，由1a ，31a -，65a +成等比数列，可得()()231615a a a -=+，即为()2121155d d +-=++，解得2d =（负值舍去），则()12121n a n n =+-=-，*n N ∈， 所以数列(){}11n n a --的前21项和为123419202113573739412104121a a a a a a a -+-++-+=-+-++-+=-⨯+=.故答案为21. 【点睛】本题考查数列的求和，注意运用并项求和，考查等差数列的通项公式和等比数列的中项的性质，考查运算能力，属于中档题． 15．2【分析】由对称可知f （x ）＝﹣2在（0，+∞）上有两解，分离参数得a ＝x 3﹣6x 2+9x ﹣2，作出函数图象，根据解的个数得出a 的范围． 【详解】由题意可知32692x x x a -+-+=-在()0,∞+上有两解，即32692a x x x =-+-在()0,∞+上有两解，设()32692g x x x x =-+-，则()23129g x x x '=-+.令()0g x '=得1x =或3x =.∴当01x <<时，()0g x '>，当13x <<时，()0g x '<，当3x >时，()0g x '>， ∴()g x 在()0,1上单调递增，在[)1,3上单调递减，在[)3,+∞上单调递增，∴当1x =时，()g x 取得极大值()12g =，当3x =时，()g x 取得极小值()32g =-. 作出()g x 的函数图象如图所示：∵32692a x x x =-+-在()0,∞+上有两解，∴2a =. 故答案为2 【点睛】本题考查了函数的单调性与极值计算，根的个数与函数图象的关系，属于中档题．16【分析】取1BB 的中点H ，连接CH ，可证得NB ⊥平面DCH ，由题意，点M 的轨迹是内切球O的球面与平面DCH 相交得到的小圆，利用垂径定理即可得出结论． 【详解】正方体1111ABCD A B C D -的内切球O 的半径R =由题意，取1BB 的中点H ，连接CH ，则CH NB ⊥，DC NB ⊥，∴NB ⊥平面DCH ，∴动点M 的轨迹就是平面DCH 与内切球O 的球面相交得到的小圆，∵正方体1111ABCD A B C D -的棱长是∴O 到平面DCH 的距离为d =，截面圆的半径r ==所以动点M 的轨迹的长度为截面圆的周长25r π=.故答案为5【点睛】本题考查了学生的空间想象力，求出点M 的轨迹是关键，属于中档题．17．（1）sin 2sin C A = （2【分析】（1）正弦定理得边化角整理可得()()sin 2sin A B B C +=+，化简即得答案．（2）由（1）知sin 2sin c C a A ==，结合题意由余弦定理可解得1a = ，sin B =，从而计算出面积． 【详解】（1）由正弦定理得2sin ,2sin ,2sin a R A b R b c R C ===， 所以cos cos 22sin sin cos sin A C c a C AB b B---==即sin cos 2sin cos 2sin cos sin cos B A B C C B A B -=- 即有()()sin 2sin A B B C +=+，即sin 2sin C A = 所以sin 2sin CA= （2）由（1）知sin 2sin c C a A==，即2c a =， 又因为2b = ，所以由余弦定理得：2222cos b c a ac B =+-，即222124224a a a a =+-⨯⨯，解得1a =,所以2c =，又因为1cos 4B =，所以sin B =，故ABC ∆的面积为11sin 1222ac B =⨯⨯⨯4=4. 【点睛】正弦定理与余弦定理是高考的重要考点，本题主要考查由正余弦定理解三角形，属于一般题． 18．（1）见解析；（2）37.（2）质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了17.6. 【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图，一、二等品所占比例的估计值为0.2000.3000.2600.0900.0250.8750.92++++=<，可做出判断.（2）由频率分布直方图的频率分布可知8件产品中，一等品3件，二等品4件，三等品1件，分类讨论各种情况可得P .（3）算出“质量提升月”活动前，后产品质量指标值为200.4218和，可得质量指标值的均值比活动前大约提升了17.6试题解析：（1）根据抽样调查数据，一、二等品所占比例的估计值为0.2000.3000.2600.0900.0250.875++++=，由于该估计值小于0.92，故不能认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的规定.（2）由频率分布直方图知，一、二、三等品的频率分别为0.375、0.5、0.125，故在样本中用分层抽样方法抽取的8件产品中，一等品3件，二等品4件，三等品1件，再从这8件产品中随机抽取4件，一、二、三等品都有的情况有2种：①一等品2件，二等品1件，三等品1件；②一等品1件，二等品2件，三等品1件，故所求的概率2111213413414837C C C C C C P C +==.（3）“质量提升月”活动前，该企业这种产品的质量指标值的均值约为1700.0251800.11900.22000.32100.262200.092300.025⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 200.4=“质量提升月”活动后，产品质量指标值X 近似满足()~218,140X N ，则()218E X =. 所以，“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了17.6 19．(1)见解析;(2)13【分析】（1）先证EO ⊥面ABCD ，进而可得BC ⊥面EOF ，从而可证OF ⊥BC ；（2）由（1）可得EO ⊥平面ABCD ，得到OE 、OA 、OM 两两垂直，可建立空间直角坐标系O xyz -，由条件得到OF BF ⊥，转化为向量0OF BF ⋅=，从而()220t t s -+=，转化为关于t 的方程有唯一实数解，得到1s =，1t =，又判断∠BFC 为二面角B ﹣OF ﹣C 的平面角，利用向量夹角公式可求二面角B ﹣OF ﹣C 的余弦值． 【详解】（1）因为EA ED =，O 是AD 中点，故EO DA ⊥， 又因为平面EAD ⊥平面ABCD ，平面EAD 平面ABCD AD =，故EO ⊥平面ABCD ，所以EO BC ⊥； 因为//EF AB ，BC AB ⊥，所以EF BC ⊥， 故BC ⊥平面EOF ， 所以BC OF ⊥.（2）设BC 的中点为M ，则有OM DA ⊥，由（1），EO ⊥平面ABCD ， 所以OE 、OA 、OM 两两垂直.可如图建立空间直角坐标系O xyz -.依题意设点E 的坐标为()0,0,s ，点F 的坐标为()()0,,0,t s s t R >∈，又()1,2,0B ，()1,2,0C -，所以()0,,OF t s =，()1,2,BF t s =--，由（1）知OF BC ⊥，故OF 与平面BCF 垂直，等价于OF BF ⊥， 故0OF BF ⋅=，从而()220t t s -+=，即2220t t s -+=，直线l 上存在唯一一点F 使得直线OF 与平面BCF 垂直，即关于t 的方程有唯一实数解. 所以2440s ∆=-=，解得1s =，此时1t =. 故点E 的坐标为()0,0,1，点F 的坐标为()0,1,1. 因为OF ⊥平面FBC ，所以OF BF ⊥且OF CF ⊥， 所以BFC ∠即二面角B OF C --的平面角. 因为()1,1,1FB =-，()1,1,1FC =--， 所以1cos 3FB FCBFC FB FC ⋅∠==⋅，即若直线l 上存在唯一一点F 使得直线OF 与平面BCF 垂直时， 所以二面角B OF C --的余弦值为13.【点睛】本题考查线面垂直，考查面面角的向量求解方法，解题的关键是将直线l 上存在唯一一点F 使得直线OF 与平面BCF 垂直转化为关于t 的方程有唯一实数解，将空间几何问题转化为代数问题，凸显空间坐标系的优点，属于中档题. 20．（1）x 2=4y （2）当t=﹣时，|MN|的最小值是【解析】（I ）由题意可设抛物线C 的方程为x 2=2py （p ＞0）则=1，解得p=2，故抛物线C 的方程为x 2=4y（II ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线AB 的方程为y=kx+1 由消去y ，整理得x 2﹣4kx ﹣4=0所以x 1+x 2=4k ，x 1x 2=﹣4，从而有|x 1﹣x 2|==4由解得点M 的横坐标为x M ===，同理可得点N 的横坐标为x N =所以|MN|=|x M ﹣x N |=|﹣|=8||=令4k ﹣3=t ，t 不为0，则k=当t ＞0时，|MN|=2＞2当t ＜0时，|MN|=2=2≥综上所述，当t=﹣时，|MN|的最小值是21．（1）减区间是⎛ ⎝，增区间是⎫+∞⎪⎭；（2）详见解析；（3）详见解析. 【解析】试题分析：（1）先确定函数()f x 的定义域，然后利用导数求出函数()f x 的单调区间；（2）构造函数()h x =()f x t -，利用函数()h x 的单调性与零点存在定理来证明题中结论；（3）根据（2）中的结论得到()ln ln g t t()()2ln ln ln ln 2ln ln ln ln ln s s s f s s s s s ==+，利用换元法令ln u s =得到()ln ln 2ln g t u t u u=+，于是将问题转化为ln 0u >且2ln 0u u -<，构造新函数()2ln F u u u =-，利用导数来证明()0F u >在区间()1,+∞上恒成立即可. 试题解析：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()2ln 2ln 1f x x x x x x =+=+'，令()0f x '=，得x =， 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以函数()f x 的单调递减区间是⎛ ⎝，单调递增区间是⎫+∞⎪⎭；（2）当01x <≤时，()0f x ≤.设0t >，令()()h x f x t =-，[)1,x ∈+∞， 由（1）知()h x 在区间()1,+∞内单调递增，()1h t t =-<，()()22ln 10t t t t h e e e t t e =-=->，故存在唯一的[)1,s ∈+∞，使得()t f s =成立； （3）()s g t =，由（2）知，()t f s =，且1s >，()()()2ln ln ln ln ln ln 2ln ln ln 2ln ln ln g t s s s utf s s s u us s ∴====++，其中，ln u s =，要使()ln 215ln 2g t t <<成立，只需ln 0u >且2ln 0u u -<， 当2t e >时，若()s g t e =≤，则由()f s 的单调性，有()()2t f s f e e =≤=，矛盾，所以s e >，即1u >，从而ln 0u >成立.又设()2ln F u u u =-，则()21F u u '=-， 所以()2ln F u u u =-在1,2内是增函数，在()2,+∞内为减函数，()2ln F u u u =-在()1,+∞上的最大值为()22ln 220F =-<2ln 0u u ∴-<成立，∴当2t e >时，()ln 215ln 2g t t <<成立. 考点：1.函数的单调性与导数；2.零点存在定理；3.利用导数证明函数不等式22．(1) 2219x y +=.4π. (2) ||||5PA PB +=. 【分析】（1）直接利用参数方程和极坐标方程公式得到普通方程，再计算倾斜角.（2）判断点(0,2)P 在直线l 上，建立直线参数方程，代入椭圆方程，利用韦达定理得到答案.【详解】（1）3cos ,sin ,x y αα=⎧⎨=⎩消去参数α得2219x y +=， 即C 的普通方程为2219x y +=.由sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得sin cos 2ρθρθ-=，（*） 将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，代入（*），化简得+2y x =， 所以直线l 的倾斜角为4π.（2）由（1），知点(0,2)P 在直线l 上，可设直线l 的参数方程为cos 42sin 4x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），即222x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）， 代入2219x y +=并化简，得25270t ++=，245271080∆=-⨯⨯=>，设A ，B 两点对应的参数分别为1t ，2t ，则1205t t +=-<，122705t t =>， 所以10t <，20t <，所以()1212||||5PA PB t t t t +=+=-+=. 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，倾斜角，利用直线的参数方程可以简化运算. 23．（1）[]1,5；（2）证明见解析.【分析】(1) ()1f x x ≤+，即131x x x -+-≤+.利用零点分域法，分别讨论当1x <、13x ≤≤、3x >时取绝对值，解不等式即可；(2)先利用绝对值三角不等式求出2c =，可得2a b +=，令1,1a m b n +=+=，则4m n +=，()()22221111m n a ba b m n --+=+++，展开后利用基本不等式即可证明.【详解】 (1)()1f x x ≤+，即131x x x -+-≤+.当1x <时，不等式可化为421x x -≤+，解得：1≥x又∵1x <，∴x ∈∅；当13x ≤≤时，不等式可化为21x ≤+，解得：1≥x又∵13x ≤≤，∴13x ≤≤.当3x >时，不等式可化为241x x -≤+，解得：5x ≤又∵3x >，∴35x <≤.综上所得，13x ≤≤或35x <≤，即15x ≤≤.∴原不等式的解集为[]1,5.(2)由绝对值不等式性质得，()()13132x x x x -+-≥---=，∴2c =，即2a b +=.令1,1a m b n +=+=，则1,1m n >>，114a m b n m n =-=-+=,,，()()2222211114441112m n a b m n a b m n m n mn m n --+=+=+++-=≥=+++⎛⎫ ⎪⎝⎭， 等且仅当2m n ==即1a b ==时等号成立.原不等式得证.【点睛】 关键点点睛：证明22111a b a b +≥++成立的关键点是()()13132x x x x -+-≥---=， 令1,1a m b n +=+=，则()()22221111411m n a b m n a b m n m n --+=+=+++-++，再利用基本不等式即可得证.。

湖南省湖南师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期入学考试数学试卷一、单选题1．已知全集为U ，集合M ，N 满足M N U ，则下列运算结果为U 的是（ ）． A ．M N ⋃ B ．()() U UN M ⋃痧C ．() U M N ⋃ðD ．() U N M ⋃ð2．已知α为锐角，且1cos sin 5αα-=，则下列选项正确的有（ ）A ．ππ,42α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．4tan 3α=C ．12sin225α=D ．sin co 7s 5αα+=3．下列命题正确的是（ ）A ．若直线//a b ，//a 平面α，则//b 平面αB ．若直线a 与b 异面，则过空间任意一点与a 和b 都平行的平面有且仅有一个C ．三个平面两两相交于三条直线，则它们将空间分成7个或8个区域D ．已知直线a 与b 异面，不同的两点,P a Q a ∈∈，不同的两点,M b N b ∈∈，则直线PM 与QN 可能相交4．“函数()()12log 3f x ax =-在区间[]1,2上单调递增”的充分必要条件是（ ）A ．()0,a ∈+∞B ．()0,1a ∈C ．30,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．30,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦5．2023年11月16日，据央视新闻报道，中国空间站近日完成了一项重要的科学实验——空间辐射生物学暴露实验装置的首批样品已经返回地面.这项实验旨在研究在太空中长时间存在的辐射对人体和微生物的影响.已知某项实验要在中国空间站进行，实验开始时，某物质的含量为31.2mg /cm ，每经过1小时，该物质的含量都会减少20%，若该物质的含量不超过30.1mg /cm ，则实验进入第二阶段，那么实验进入第二阶段至少需要（ ）小时？（结果取整数，参考数据：lg 20.30≈，lg30.48≈） A ．12B ．8C ．10D ．116．已知M 是ABC V 所在平面内一点，满足3145AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r ，则ABM V 与BCM V 的面积之比为（ ） A ．3B ．4C ．58D ．1257．已知495ln ,log 3log 17,72425b b c a a b -==++=，则以下关于,,a b c 的大小关系正确的是（ ） A ．b c a >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．a b c >>8．已知函数()21log 2,1,(0(1)4,1a x x f x a x a x ⎧+-≤=>⎨-+>⎩且)1a ≠在R 上为单调函数，若函数()2y f x x =--有两个不同的零点，则实数a 的取值不可能是（ ）A ．116B ．14C ．12D ．1316二、多选题9．下列命题为假命题的是（ ）A ．在复数集C 中，方程210x x ++=有两个根，分别为12-，12-B ．若三个事件,,A BC 两两独立，则()()()()P ABC P A P B P C =C ．若OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r，则1x y z ++=是,,,P A B C 四点共面的充要条件D ．复平面内满足条件i 2z +≤的复数z 所对应的点Z 的集合是以点()0,1为圆心，2为半径的圆10．已知函数()()sin f x x ωϕ=+，如图,A B 是直线12y =与曲线y =f x 的两个交点，若π6AB =，则（ ）A ．()0f =B ．函数()f x 的最小正周期为7π12C ．若1291π12x x +=，则()()12f x f x =D ．若12π24x x -=，则()()12f x f x -的最大值大于111．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11111,,,2AC BC B C BC AC B C BC CB AC ⊥⊥⊥===，下列结论中正确的有（ ）A ．平面11BCCB ⊥平面11ACC AB ．直线1AA 与1BC 所成的角的正切值是13C ．三棱锥111C A B C -的外接球的表面积是12πD ．该三棱柱各侧面的所有面对角线长的平方和等于它所有棱长的平方和的3倍三、填空题12．在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的终边与以原点为圆心的单位圆相交于点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，角β满足()cos 0αβ+=，则sin2cos21ββ+的值为.13．某高中有学生500人，其中男生300人，女生200人，现希望获得全体学生的身高信息，按照分层随机抽样的方法抽取了容量为50的样本.经计算得到男生身高样本均值为170cm ，方差为217cm ，女生身高样本均值为160cm ，方差为230cm .则每个女生被抽入到样本的概率均为，所有样本的方差为2cm .14．如图，棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱1CC 上一点，且12CP PC =u u u r u u u u r，M 为平面1BDC 内一动点，则MC +MP 的最小值为.四、解答题15．从一张半径为3的圆形铁皮中裁剪出一块扇形铁皮（如图1阴影部分），并卷成一个深度为h 米的圆锥筒（如图2）．若所裁剪的扇形铁皮的圆心角为2πrad 3．(1)求圆锥筒的容积；(2)在（1）中的圆锥内有一个底面圆半径为x 的内接圆柱（如图3），求内接圆柱侧面积的最大值以及取最大值时x 的取值．16．已为,,a b c 分别为ABC V 三内角,,A B C 的对边，且cos sin a C C b c =- (1)求A ；(2)若2c =，角B 的平分线BD =ABC V 的面积S ．17．某高校的特殊类型招生面试中有4道题目，获得面试资格的甲同学对一~四题回答正确的概率依次是34，12，23，13．规定按照题号依次作答，并且答对一，二，三，四题分别得1，2，3，6分，答错1题减2分，当累计积分小于2-分面试失败，不少于4分通过面试，假设甲同学回答正确与否相互之间没有影响． (1)求甲同学回答完前3题即通过面试的概率； (2)求甲同学最终通过面试的概率．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，DCP V 是等边三角形，π4DCB PCB ∠∠==，点M ，N 分别为DP 和AB 的中点.(1)求证：//MN 平面PBC ； (2)求证：平面PBC ⊥平面ABCD ； (3)求CM 与平面PAD 所成角的正弦值.19．已知()22,f x ax bx x =++∈R .定义点集A 与()y f x =的图象的公共点为A 在()f x 上的截点.(1)若(){}1,,3,,b L x y y x L =-==∈R ∣在()f x 上的截点个数为0.求实数a 的取值范围； (2)若()(){}1,,2,0,2,a S x y y x S ===∈∣在()21f x x +-上的截点为()1,2x 与()2,2x . （i ）求实数b 的取值范围； （ii ）证明：121124x x <+<.。

湖南师大附中2021届高三月考试卷(三)数 学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共10页．时量120分钟．满分150分．第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知R 是实数集，M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2x <1，N ＝{y |y ＝x －1}，则∁R (N ∩M )＝A ．(1，2)B ．[0，2]C ．∅D ．(－∞，2]2．如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A ，B 对应的复数分别是z 1，z 2，则|z 1－z 2|＝A. 2B ．2 2C ．2D ．83．若l ，m 为两条不同的直线，α为平面，且l ⊥α，则“m ∥α”是“m ⊥l ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．历史上，最伟大的数学家一直都热衷于寻找质数的“分布规律”，法国数学家马林·梅森就是研究质数的数学家中成就很高的一位，正因为他的卓越贡献，现在人们将形如“2p －1(p 是质数)”的质数称为梅森数，迄今为止共发现了51个梅森数，前4个梅森数分别是22－1＝3，23－1＝7，25－1＝31，27－1＝127，3，7是1位数，31是2位数，127是3位数．已知第10个梅森数为289－1，则第10个梅森数的位数为(参考数据：lg2≈0.301)A ．25B ．29C ．27D ．285．为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这三种题型进行改编，则每种题型至少指派1名教师的不同分派方法种数为A ．150B ．180C ．200D ．2806．已知定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (x ＋2)，且当x ∈[－2，0]时f (x )＝2－x －1.若在a >1时，关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0恰有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是A ．(1，2) B.⎝⎛⎭⎫223，2 C ．(－∞，223)∪(2，＋∞) D ．(2，＋∞) 7．已知O 为△ABC 的外心，OA →＋2OB →＋6OC →＝0，则∠ACB 的正弦值为A.64B.14C.12D.388．l 是经过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1()a>0，b>0焦点F 且与实轴垂直的直线，A ，B 是双曲线C 的两个顶点，若在l 上存在一点P ，使∠APB ＝45°，则双曲线离心率的最大值为A. 2B. 3 C ．2 D ．3二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．下列命题正确的是A ．若随机变量X ～B(100，p)，且E(X)＝20，则D ⎝⎛⎭⎫12X ＋1＝5B ．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A ，B ，C ，D 的概率分别为0.2，0.2，0.3，0.3，则A 与B ∪C ∪D 是互斥事件，也是对立事件C ．一只袋内装有m 个白球，n －m 个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了ξ个白球，P(ξ＝2)等于（n －m ）A 2m A 3nD ．由一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )得到回归直线方程y ＝bx ＋a ，那么直线y ＝bx ＋a 至少经过(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的一个点10．若非零实数a ，b 满足a<b ，则下列不等式不一定成立的是A.a b <1B.b a ＋a b ≥2C.1ab 2<1a 2bD ．a 2＋a<b 2＋b 11．如图，矩形ABCD 中，M 为BC 的中点，将△ABM 沿直线AM 翻折成△AB 1M ，连结B 1D ，N 为B 1D 的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是A ．存在某个位置，使得CN ⊥AB 1B ．翻折过程中，CN 的长是定值C ．若AB ＝BM ，则AM ⊥B 1DD ．若AB ＝BM ＝1，当三棱锥B 1－AMD 的体积最大时，三棱锥B 1－AMD 的外接球的表面积是4π12．已知曲线C n ：x 2－2nx ＋y 2＝0(n ＝1，2，…)．从点P(－1，0)向曲线C n 引斜率为k n (k n >0)的切线l n ，切点为P n (x n ，y n )．则下列结论正确的是A ．数列{x n }的通项为x n ＝n n ＋1B ．数列{y n }的通项为y n ＝n 2n ＋1n ＋1C ．当n>3时，x 1·x 3·x 5·…·x 2n －1>1－x n 1＋x n D.1－x n 1＋x n<2sin x n y n 第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若(2＋x)17＝a 0＋a 1(1＋x)＋a 2(1＋x)2＋…＋a 17(1＋x)17，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 16＝__．14．已知抛物线C ：y 2＝4x 与圆E ：(x －1)2＋y 2＝9相交于A ，B 两点，点M 为劣弧AB︵上不同于A ，B 的一个动点，平行于x 轴的直线MN 交抛物线于点N ，则△MNE 的周长的取值范围为___．。

湖南师大附中2020-2021学年度高二第一学期第三次大练习数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数z 满足2zi z i=-，则下列结论中正确的是（） A.z 的虚部为i B.2z = C.2z 为纯虚数D.1z i =-+2.设集合{}21log 0A x x =+≤，124B xx ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则()RA B 等于（）A.1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.11,42⎛⎤⎥⎝⎦ C.10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D.11,24⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ 3.已知{}n a 为等比数列，且2312a a a ⋅=，4a 与72a 的等差中项为54，则5a =（） A.1B.2C.31D.124.将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，恰有两个空盒的放法种数有（） A.24B.84C.16D.565.已知ABC △的外接圆圆心为O ，半径为2，0OA AB AC ++=，且||||OA AB =，则CA 在CB 方向上的投影为（）A.-3B.12-C.126.()6221x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的的展开式中含2x 项的系数为（）A.-160B.-100C.20D.1007.已知函数()f x 在定义域[2,2]-上是奇函数，在区间[0,2]上是减函数，则(1)(2)f a f a -<-成立的必要条件为（） A.3,2a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭B.3,2a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭C.3,32a ⎛⎤∈⎥⎝⎦D.30,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭8.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，且125PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为（）A.5B.53C.52D.32二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分,有选错的得0分.9.抛物线的方程为22y x =，直线AB 过抛物线的焦点且与抛物线交于点()11,A x y ，()22,B x y ，则下列结论正确的是（） A.焦点到准线的距离为1 B.过焦点与对称轴垂直的弦长为2 C.以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 D.12116x x =-10.已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题正确的是（） A.若//m α，//αβ，则//m β；B.若//m n ，m α⊥，n β⊥，则//αβ；C.若m α⊥，//αβ，则m β⊥；D.若m α⊂，n β⊂，αβ⊥，则m n ⊥；11.若正实数a ，b 满足1a b +=，则下列选项正确的是（）A.ab 有最大值14C.11a b +有最小值4D.22a b +有最大值1212.已知函数()xf x e =，1()ln 22x g x =+的图像分别与直线(0)y m m =>交于A ，B 两点，则AB 的值可为（）A.212e +B.2ln 2+C.12ln 22+D.2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()y f x =图象在点(1,(1))M f 处的切线方程是25y x =-，则(1)(1)f f '+=______.14.已知3sin 65πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，02πα-<<，则cos α=______. 15.已知)2()3nf x x=展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大4032，则展开式中二项式系数最大的项为______.16.已知各棱长都相等的直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）所有顶点都在球O 的表面上.若球O 的表面积为56π，则该三棱柱的侧面积为______.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）某年级800名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：（1）求这次考试学生成绩的众数、中位数和平均数；（2）从成绩在[50,70)的学生中任选2人，求此2人的成绩都在[50,60)中的概率. 18.（本小题满分12分） 已知数列{}n a 满足：()*21212n na a a n n+++=-∈N . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设22n nn nb a -=，求数列{}n b 的前n 项和n S .19.（本小题满分12分）在ABC △中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b、c .已知a b ≠，c =，22cos cos cos cos A B A A B B -=.（1）求角C 的大小； （2）若3sin 5A =，求ABC △的面积. 20.（本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//CD AB ，90ABC ∠=︒，224AB BC CD ===，侧面PAD ⊥平面ABCD ，2A PD ==.（1）求证：BD PA ⊥；（2）已知平面PAD 与平面PBC 的交线为l ，在l 上是否存在点N ，使二面角P DC N --的余弦值为3?若存在，请确定点N 位置；若不存在，请说明理由. 21.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为2F ，且点P ⎛ ⎝⎭在椭圆E 上. （1）求椭圆E 的方程；（2）若点A 、B 分别为椭圆E 的左、右顶点，点M 是直线4x =上任意一点，MA 、MB 分别交椭圆E 于C 、D 两点，求四边形ACBD 面积的最大值. 22.已知函数2()xf x e ax ax =--（e 为自然常数）.（1）若1a =，且关于x 的不等式4()5f x m >+对于任意(0,)x ∈+∞恒成立，求整数m 的最大； （2）当0a >时，设1x ，2x 是函数()f x 两个不同的极值点，证明：12ln(2)2x x a +<.参考答案：湖南师大附中2020—2021学年度高二第一学期第三次大练习数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.C 【解析】由2zi z i=-，得22(1)11(1)(1)i z i i i i +===+--+，则z 的虚部为1，||z =，22z i =为纯虚数，1i z =-，故选C.2.C 【解析】因为{}211log 00,2A x x ⎛⎤=+≤= ⎥⎝⎦，124B x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，R 1,(2,)4B ⎛⎫=-∞+∞ ⎪⎝⎭，所以()R 10,4AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故选C.3.A 【解析】由2312a a a ⋅=得312a q =，又47522a a +=，得 116a =，12q =，4511612a ⎛⎫∴=⨯= ⎪⎝⎭.故选A.4.B 【解析】22132424342284 C C A C C A ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭.故选B. 5.D 【解析】由0OA AB AC ++=，得OB AC CA =-=，所以四边形OBAC 为平行四边形，又O 为ABC △的外接圆圆心，所以||||||OA OB OC ==，又||||OA AB =，所以△OAB △为正三角形，四边形OBAC 是边长为2的菱形，所以6ACB π∠=，所以CA 在CB 方向上的投影为||cos262CA π=⨯= D. 6.B 【解析】62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为662662(1)2rr r r r rr x x C x C --⎛⎫-=-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，所以2x 项的系数为33322266(1)2(1)2100C C -⋅⋅+-⋅⋅=-.故选B.7.A 【解析】因为函数()f x 在定义域[2,2]-上是奇函数，在区间[0,2]上是减函数，所以函数()f x 在定义域[2,2]-上是减函数，由(1)(2)f a f a -<-得2212a a -≤-<-≤，解得a 3,32a ⎛⎤∈⎥⎝⎦，故选A. 8.D 【解析】因为P 在双曲线的右支上，所以由双曲线的定义可得122PF PF a -=，又125PF PF =，所以2252PF PF a -=，所以22a PF =，根据点P 在双曲线的右支上，可得22a PF c a =≥-，所以32ac ≥，又1e >，所以312e <≤，所以此双曲线的离心率e 的最大值为为32.故故选D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.CD 【解析】抛物线的标准方程为212x y =，所以14p =，所以焦点到准线的距离为14，过焦点与对称轴垂直的弦长为12，以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切，212116x x p =-=-.故选CD.10.BC 【解析】若//m α，//αβ，则m 可能在平面β内，故A 不正确；若//m n ，m α⊥，n β⊥，则//αβ，故B 正确；若m α⊥，//αβ，则m β⊥，故C 正确；若m α⊂，n β⊂，αβ⊥，则m 与n 有可能平行，故D 不正确；故选BC.1l .AC 【解析】因为0a >，0b >，1a b +=，所以22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，所以14ab ≤，所以A 选项正确；≤=，当且仅当12a b ==，所以B 错误；因为1114a b a b ab ab ++==≥，当且仅当12a b ==时取等号，所以11a b+有最小值4，所以C 正确；因为222()122a b a b ++≥=，当且仅当12a b ==时取等号，故22a b +的最小值是12，所以D 错误.故选AC.12.AB 【解析】由题意得(ln ,)A m m ，122,m B e m -⎛⎫⎪⎝⎭，0m >，易知122ln m e m ->，所以12||2 ln m AB e m -=-，0m >.令122ln m y em -=-，0m >，则2112m y e m -'=-，令0y '=，得12m =.所以当102m <<时，0y '<；当12m >，0y '>，所以122ln m y e m -=-，0m >在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.所以||2ln 2AB ≥+，故选AB.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.-1【解析】由题意知(1)2f '=，(1)253f =-=-，所以(1)(1)231f f '+=-=-.14.310【解析】3sin 65πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，02πα-<<，366πππα∴-<+<，4cos 65πα⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，13cos cos sin 66262610ππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-=+++=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 15.7540x 【解析】由题可得424032n n -=，令2n t =，得24032(64)(63)0t t t t --=-+=，所以64t =，所以6n =.所以二项式系数最大的项为()3332763540C xx =.16.72【解析】因为三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，6个顶点都在球O 的球面上，所以三棱柱为正三棱柱，则其中心为球的球心，设为O ，再设球的半径为r ，由球O 的表面积为56π，得2456r ππ=，r ∴=a 23⨯=，且球心O 到上底面中心H 的距离2a OH =，设直三棱柱高为h ，底面周长为L，2222a r ⎫⎛⎫∴=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即2271412r a ==，a h ∴==，3L a ==所以三棱柱的侧面积为72S Lh ===.故答案为72.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.【解析】（1）根据直方图知组距为10，由(23762)101a a a a a ++++⨯=，解得0.005a =.由图可得数学成绩的众数是75分.由153550.1650.15750.35850.30950.12⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，得平均数为1532分. 设中位数为x 分，则由0.01100.015100.035(70)0.5x ⨯+⨯+⨯-=， 得505407077x =+=分. （2）成绩落在[50,60)中的学生人数为20.0051080080⨯⨯⨯=， 成绩落在[60,70)中的学生人数为30.00510800120⨯⨯⨯=， 成绩落在[50,70)中的学生人数为80120200+=.所以从成绩在[50,70)的学生中任选2人，此2人的成绩都在[50,60)中的概率28022004079158100199995C C p ⨯===⨯. 18.【解析】（1）因为21212n n a a a n +++=-，则112121(2)21n n a a a n n --+++=-≥- 两式相减，得12n na n-=，即12(2)n n a n n -=⋅≥. 由已知，1211a =-=满足上式.故数列{}n a 的通项公式是12n n a n -=⋅.（2）由题设，11(21)2122n n n n n n b n ----==⋅则21135211222n n n S --=++++，21113232122222n n nn n S ---=++++. 两式相减，得22111211212311332222222n n n n n n n nn S ----+=++++-=--=-所以12362n n n S -+=-.19.【解析】（1）由题意得，1cos 21cos 22222A B A B ++-=即112cos 22cos 22222A AB B -=-， sin 2sin 266A B ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由a b ≠得A B ≠，又(0,)A B π+∈， 得2266A B πππ-+-=，即23A B π+=所以3C π=.（2）由c =3sin 5A =，sin sin a c A C =，得65a =， 由a c <，得A C <，从而4cos 5A =，故sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+=所以ABC △的面积为116sin 225S ac B ==⨯=.20.【解析】（1）由题知BD ==，又AD =所以222BD AD AB +=，所以BD AD ⊥. 因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD平面ABCD AD =，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面PAD ，因为PA ⊂平面PAD ，所以BD PA ⊥.（2）延长AD ，BC 相交于点M ，连接PM . 因为M ∈平面PAD ，M ∈平面PBC ，所以M l ∈， 又P l ∈，所以PM 即为交线l .取AB 的中点Q ，连接DQ ，则DQ DC ⊥.过点D 在平面PAD 内作AD 的垂线DH ，则DH ⊥平面ABCD ，以DQ ，DC ，DH 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(1,P -，(0,2,0)C ，(2,2,0)M -，(0,0,0)D .所以(1,DP =-，(0,2,0)DC =，(3,3,PM =-. 设平面PDC 的法向量为(,,)m x y z =，则00m DC m DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00y x y =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取1z =，得(2,0,1)m =-.设()111,,N x y z ，PN PM λ=，则(1111,1,(3,3,x y z λ-+=-， 所以113x λ=-，113y λ=-+，1z =，(13,13)DN λλ=--+，(0,2,0)DC =，设平面NDC 的法向量为()222,,n x y z =，则00n DC n DN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222220(13)(13))0y x y z λλ=⎧⎪⎨-+-++=⎪⎩，取(2,0,31)n λ=--，所以|cos ,|3m n 〈〉==， 所以271030λλ-+=，所以37λ=或1λ=，经检验1λ=时，不合题意，舍去. 所以存在点N 符合要求，且37PNPM =.21.【解析】（1）依题意得c =226141a b+=，又222a b c =+， 所以42260b b --=，所以22b =，24a =，得椭圆方程为22142x y +=.（2）由（1）知椭圆顶点(2,0)A -，(2,0)B .设(4,)M t （不妨设0t >），点()11,C x y ，()22,D x y . 则直线MA 的方程为(2)6t y x =+，直线MB 的方程为(2)2ty x =-. 由22(2)6142t y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得()()22221844720t x t x t +++-=， 则212472218t x t --⋅=+，所以21236218t x t -=+，于是()112122618t ty x t=+=+， 再由22(2)2142t y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得()()222224480t x t x t +-+-= 则2224822t x t -⋅=+，所以222242t x t -=+，于是()2224222t ty x t -=-=+. 12 221111244222182ACB ADB ACBD tt S S S AB y AB y tt ⎛⎫∴=+=⨯+⨯=⨯⨯+ ⎪++⎝⎭四边形△△ 3422266323236203620t t ttt t t t++=⨯=⨯++++. 设6u t t =+，则)u ∈+∞，且 328ABCD S u u=+四边形令32()8g u u u =+，)u ∈+∞，则()g u在)+∞上单调递减.所以()maxABCD S g ==四边形ACBD面积的最大值为22.【解析】（1）若1a =，则2()xf x e x x =--. 令244()()(0)55x g x f x e x x x =-=--->，则()21x g x e x '=--. 令()21xh x e x =--，则()2xh x e '=-，令()0h x '=，得ln 2x = 当(0,ln 2)x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；当(ln 2,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增.又(0)0h =，(ln 2)22ln 211ln 40h =--=-<，(1)30h e =-<，323402h e ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭， 所以存在唯一0(1,2)∈，使()00h x =即()00g x '=.故当()00,x x ∈时，()()0h x g x '=<，()g x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()()0h x g x '=>，()g x 单调递增.所以()02min 0004()5x g x g x e x x ==---. 一方面()014(1)5g x g e <=-， 另一方面由()000210x g x e x '=--=得0021x ex =+，所以()200015g x x x '=-++， 由031,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得()0111205g x -<<， 从而()011140205g x e -<<-<. 又因为m 为整数，所以1m ≤-，即max 1m =-.（2）由题意得 ()2xf x e ax a '=--.因为1x ，2x 是函数 ()f x 两个不同的极值点，不妨设12x x <， 则()1 0f x '=，()20f x '=，即1120x ax e a --=，2220x ax e a --=. 两式相减得12122x x e e a x x -=-. 要证12ln(2)2x x a +<，即证明1222x x e a +<， 只需证1212212x x x x e e e x x +-<-，即12121212x x x x x e x e ---<-，亦即()121221210x x x x x x e e ----+>. 令1202x x t -=<，只需证当0t <时，不等式2210t t te e -+>恒成立， 设2()21(0)t t Q t te e t =-+<，则()2()2(1)221t t t t Q t t e e e t e '=+-=+-易证1(0)t t e t +<<，所以()0Q t '<，所以()Q t 在(,0)-∞上单调递减，()(0)0Q t Q >=，即2210t t te e -+>. 综上所述，12ln(2)2x x a +<成立.。

湖南省湖南师范大学附属中学2020—2021学年高二数学上学期第三次大练习试题一、单项选择题：本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1。

复数z 满足2z i z i =-,则下列结论中正确的是( ) A.z 的虚部为i B.2z = C.2z 为纯虚数D.1z i =-+2。

设集合{}21log0A x x =+≤,124B x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则()RA B 等于（ ）A 。

1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.11,42⎛⎤⎥⎝⎦C.10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D.11,24⎡⎫-⎪⎢⎣⎭3.已知{}na 为等比数列,且2312a a a ⋅=，4a 与72a 的等差中项为54，则5a=（ ）A 。

1B 。

2C 。

31D 。

124.将4个不同的小球放入4个不同的盒子中,恰有两个空盒的放法种数有（ ） A.24B.84C 。

16D.565。

已知ABC △的外接圆圆心为O ，半径为2，0OA AB AC ++=，且||||OA AB =，则CA 在CB 方向上的投影为( ）A 。

—3B 。

12- C.12D6。

()6221x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的的展开式中含2x 项的系数为( ）A.-160 B 。

—100C.20D.1007。

已知函数()f x 在定义域[2,2]-上是奇函数,在区间[0,2]上是减函数，则(1)(2)f a f a -<-成立的必要条件为（ ）A 。

3,2a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭B 。

3,2a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭C 。

3,32a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦D 。

30,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭8。

已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ,点P 在双曲线的右支上,且125PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为（ ） A 。

5B 。

53C.52D.32二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分。

绝密★启用前2020-2021学年湖南师范大学附属中学高二上学期期末数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．设a 为常数命题[]:0,1p x ∃∈，20x a -≥，则p 为真命题的充要条件是（） A ．1a ≤ B ．1a ≥C ．2a ≤D ．2a ≥答案：C由命题p 为真求得a 取值范围即可.解：命题p 为真⇔当[]0,1x ∈时，20x a -≥能成立，即2x a ≤能成立，所以()max22x a ≤=，故选：C ． 【点晴】将能成立问题通过参数分离来求最值是解题的关键. 2．已知向量a 与b 的夹角是3π，且||1a =，||4=b ，若(3)a b a λ+⊥，则实数λ的值为（） A ．32B ．32-C ．23D ．23-答案：B根据(3)a b a λ+⊥，由(3)0a b a λ+⋅=求解. 解：因为向量a 与b 的夹角是3π，且||1a =，||4=b ， 所以2(3)3a b a a a b λλ+⋅=+⋅，314cos3203πλλ=+⨯⨯⨯=+=，解得32λ=-. 故选：B3．已知2nx ⎫⎪⎭的展开式中各项的二项式系数的和为512，则这个展开式中的常数项为（）A ．－34B ．－672C ．84D ．672答案：B由二项式系数公式求得9n =，再根据通项公式令x 指数为0解出参数r 然后代回公式求得常数项.解：由已知，2512n =，则9n =，所以93921992(2)rrrrr rr T C C x x --+⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭. 令930r -=，得3r =，所以常数项为()3392884672C -=-⨯=-，故选：B ． 【点晴】方法点晴：求二项式展开式的指定项问题，一般由通项公式建立方程求参数，再代回公式求解.4．围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年历史．围棋不仅能抒发意境、陶冶情操、修身养性、生慧增智，而且还与天象易理、兵法策略、治国安邦等相关联，蕴含着中华文化的丰富内涵．在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛．比赛采取五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束．假设每局比赛甲胜乙的概率都为23，且各局比赛的胜负互不影响，则在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率为（） A ．19B ．827C ．1627D ．1781答案：C先分析甲获得冠军的情况：3:0获胜，3:1获胜，然后根据n 次独立重复试验的概率计算公式求解出“3:0获胜”、“3:1获胜”的概率，再根据互斥事件的概率计算方法求解出“在不超过4局的比赛中甲获得冠军”的概率.解：甲以3:0获胜为事件A ，甲以3:1获胜为事件B ，则A ，B 互斥， 且()328327P A ⎛⎫==⎪⎝⎭，()223212833327P B C ⎛⎫=⋅⨯=⎪⎝⎭，所以()8816272727P A B +=+=，故选：C ． 点评：结论点睛：在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，每次试验中A 发生的概率为p ，则事件A 恰好发生k 次的概率为：()()1n kk k n P X k C p p -==-.5．已知α是第四象限，且()3cos 5πα-=-，则124sin 2παπα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭（） A ．25-B ．15-C ．25D ．145答案：A根据诱导公式及同角三角函数关系即可得解. 解：由已知得3cos 5α=，4sin 5α=-，则原式 21cos 2sin 22cos 2sin cos 6822cos 2sin cos cos 555ααααααααα+++===+=-=-，故选：A ．6．已知抛物线1C 的顶点在坐标原点，焦点F 在y 轴正半轴上．若点F 到双曲线222:126x y C -=的一条渐近线的距离为2，则1C 的标准方程是（）A．23y x =B．23y x =C ．28x y = D ．216x y =答案：D先根据双曲线的方程求解出双曲线的渐近线方程，再根据点到直线的距离公式求解出抛物线方程中的p ，则抛物线方程可求.解：双曲线2C 的渐近线方程是22026x y -=，即y =.因为抛物线的焦点()0,02p F p ⎛⎫> ⎪⎝⎭0y -=的距离为2，2=，即8p =，所以1C 的标准方程是216x y =，故选：D ．点评：方法点睛：求解双曲线方程的渐近线方程的技巧：已知双曲线方程22221x y a b-=或22221y x a b -=，求解其渐近线方程只需要将方程中的“1”变为“0”，由此得到的y 关于x 的一次方程即为渐近线方程.。

湖南师范大学附属中学2020-2021学年高二上学期11月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集{}16U x N x =∈≤<，{}1,2,3,4A =，{}3B x U x =∈≥，则下列结论正确的是（ ） A ．{} 4,5,6UA =B ．{}3,4,5,6B =C ．{}3,4AB =D ．A B U ⋃≠2．i 为虚数单位，计算()241i ii+=-（ ）A ．13i -+B ．12i -+C ．13i -D ．12i -3．如果向量a 和b 满足1a =，2b =，且()a ab ⊥-，那么a 和b 的夹角大小为（ ） A ．60︒B ．45︒C ．75︒D ．135︒4．若双曲线E :22122x ym m-=-(1)>m 的焦距为10，则该双曲线的离心率为( )A ．43B ．53C ．54D ．25165．若0a b >>，ln 2c =，则（ ） A ．log log a b c c <B ．log log c c a b <C ．c c a b <D ．a b c c >6．已知A 、B 是球O 的球面上两点，2AOB π∠=，C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC -体积的最大值为323，则球O 的表面积为（ ） A ．64πB ．2563πC ．256πD ．643π7．设集合{}0,2,4A =，{}1,3,6B =.现分别从A 、B 中任取2个元素组成无重复数字的四位数，其中不能被5整除的数共有（ ） A ．64个B ．96个C ．144个D ．152个8．“珠算之父”程大为是我国明代伟大数学家，他的应用数学巨著《算法统综》的问世，标志着我国的算法由筹算到珠算转变的完成，程大位在《算法统综》中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上稍四节储三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明”（（注）三升九：3.9升，次第盛；盛米容积依次相差同一数量.）用你所学的数学知识求得中间两节的容积为（ ） A ．1.9升 B ．2.1升C ．2.2升D ．2.3升二、多选题9．由我国引领的5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造出更多的经济增加值.如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G 经济产出所做的预测.结合下图，下列说法正确的是（）A ．5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加B ．设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓C ．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D ．信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势 10．如图直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，122BC CD AB ===，E 为AB中点.以DE 为折痕把ADE 折起，使点A 到达点P 的位置，且PC = ）A ．平面PED ⊥平面PCDB ．PC BD ⊥C ．二面角P DC B --的大小为4π D ．PC 与平面PED所成角的正切值为11．已知函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期是π，若其图象向右平移3π个单位后得到的函数为奇函数，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 的图象关于直线23x π=对称B ．函数()f x 的图象关于点11,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．函数()f x 在区间,212 ππ⎡--⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．函数()f x 在3,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个零点 12．已知函数y ＝f （x ）是定义在[0，2]上的增函数，且图像是连续不断的曲线，若f （0）＝M ，f （2）＝N （M ＞0，N ＞0），那么下列四个命题中是真命题的有（ ） A ．必存在x ∈[0，2]，使得f （x ）2M N+=B ．必存在x ∈[0，2]，使得f （x）= C ．必存在x ∈[0，2]，使得f （x）=D ．必存在x ∈[0，2]，使得f （x ）211M N=+三、填空题13．cos18sin132cos72sin 42︒︒-︒︒的值为______.14．在形如()011......nn n r n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++展开式中，我们把()0,1,2,...,r n C r n =叫做二项式系数，则()0123...1nn n nn n n C C C C C -+-++-的值为______.15．设抛物线C :24y x =的焦点为F ，过F 且斜率为k ()0k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，且8AB =，则直线l 的方程为___________________.16．函数()cos f x x π=与2()log 1g x x =-的图象所有交点的横坐标之和为______________.四、解答题17．设*N n ∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12n n n S S a +=++，______.请在①1a ，2a ，5a 成等比数列，②69a =，③535S =，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()11na nn n b a +=+-，求数列{}n b 的前2n 项的和2n T .18．已知a ，b ，c 分别是ABC 内角A ，B ，C 的对边，满足2sin 4sin 4A a C c+=. （1）求a 的值；（2）若ABC 的外接圆的圆心O 在ABC 的内部，OBCS=，4b c +=，求角A ，B ，C .19．《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据：（1）请利用所给数据求不“礼让斑马线”驾驶员人数y 与月份x 之间的回归直线方程ˆˆˆybx a =+，并预测该路口9月份的不“礼让斑马线”驾驶员人数；（2）若从表中1月份和4月份的不“礼让斑马线”驾驶员中，采用分层抽样方法抽取一个容量为7的样本，再从这7人中任选2人进行交规调查，求抽到的两人恰好来自同一月份的概率.参考公式：()()()1122211ˆn ni iiii i nniii i x y nx y x x y y bxnx x x ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-. 参考数据：511415i ii x y==∑.20．如图,ABCD 是边长为3的正方形,DE ⊥平面ABCD,AF ∥DE,DE=3AF,BE 与平面ABCD 所成角为60°.(1)求二面角F-BE-D 的余弦值;(2)设点M 是线段BD 上一个动点,试确定点M 的位置,使得AM ∥平面BEF,并证明你的结论.21．如图，椭圆C ：()221212x y m m m +=>+-的离心率e =C 的左、右顶点分别为A ，B ，又P ，M ，N 为椭圆C 上非顶点的三点.设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k .（1）求椭圆C 的方程，并求12k k ⋅的值；（2）若//AP ON ，//BP OM ，判断OMN 的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由. 22．设函数()()1ln 2f x a x x a R x=+-∈.（1）设()()2F x f x x =+，讨论()F x 单调性； （2）①若12x =是()f x 的极小值点，求()f x 的极大值； ②若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为21y x =-+，证明：()12xf x x e >-.参考答案1．C 【分析】 求得集合B 、 UA 、AB 、A B ，由此判断出正确选项.【详解】∵{}1,2,3,4,5U =，{}1,2,3,4A =，{}3,4,5B =， ∴{} 5UA =，{}3,4AB =，A B U ⋃=，∴ABD 选项错误，C 选项正确. 故选：C 【点睛】本小题主要考查集合交集、并集和补集的运算，属于基础题. 2．A 【分析】利用复数的除法法则可化简所求复数. 【详解】()()()()()()()2424112113111i i i i z i i i i i i +++===++=-+--+. 故选：A. 【点睛】本题考查利用复数的除法法则化简复数，考查计算能力，属于基础题. 3．A 【分析】利用向量垂直的运算求得a b ⋅，结合向量夹角公式求得a 和b 的夹角大小. 【详解】设a 和b 的夹角为θ，由()a ab ⊥-得()20a a b a a b ⋅-=-⋅=，21a b a ⋅==，所以11cos 122a b a bθ⋅===⨯⋅，由于[]0,180θ∈︒︒，所以60θ=︒.故选：A 【点睛】本小题主要考查向量垂直的表示，考查向量夹角的计算，属于基础题. 4．C 【分析】先判断出焦点在x 轴上,再根据双曲线的基本量求解即可. 【详解】因为1m ,故220,0m m ->>,故焦点在x 轴上.又焦距为10,故21022252m m ⎛⎫-+== ⎪⎝⎭, 解得9m =.故双曲线E :221169x y -=.故离心率为54. 故选：C 【点睛】本题主要考查了双曲线中的基本量计算求离心率的问题,属于基础题. 5．B 【分析】首先根据01c <<，可知log c y x =是减函数，再根据对数的单调性即可得到答案. 【详解】因为01c <<，可知log c y x =是减函数， 又0a b >>，所以log log c c a b <. 故选：B 【点睛】本题主要考查根据对数的单调性比较大小，属于简单题. 6．A 【分析】设球O 的半径为R ，分析得出当OC ⊥平面OAB 时，三棱锥O ABC -的体积最大，可计算出R 的值，进而可求得球O 的表面积. 【详解】如下图所示，当OC ⊥平面OAB 时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时23111323263O ABC C AOB V V R R R --==⋅⋅⋅==，故4R =， 则球O 的表面积为2464S R ππ==， 故选：A. 【点睛】本题考查球的表面积的计算，同时也考查了三棱锥体积最值的计算，考查计算能力，属于中等题. 7．C 【分析】对四位数是否含0进行分类讨论，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可求得结果. 【详解】若四位数字含0，则0只能放在十位或百位数上，符合条件的四位数的个数为1213232372C C C A =个；若四位数字不含0，则符合条件的四位数的个数为22423472C C A =.综上所述，符合条件的四位数的个数为7272144+=. 故选：C. 【点睛】本题考查数字的排列问题，考查分步乘法计数原理以及分类加法计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题. 8．B 【分析】设相差的同一数量为d 升，下端第一节盛米1a 升，根据题意得出关于1a 、d 的方程组，解出这两个量的值，即可计算出中间两节盛米的容积45a a +升. 【详解】要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米， 设相差的同一数量为d 升，下端第一节盛米1a 升，由题意得319511323 3.92{9854(9)(5)322S a d S S a d a d ⨯=+=⨯⨯-=+-+=，解得1 1.4,0.1a d ==-，所以，中间两节盛米的容积为45111(3)(4)27 2.80.7 2.1a a a d a d a d +=+++=+=-=（升）， 故选：B. 【点睛】本题考查等差数列的应用，解题的关键就是将问题转化为等差数列的问题，并建立首项和公差的方程组求解，考查方程思想的应用，属于中等题. 9．ABD 【分析】本题结合图形即可得出结论． 【详解】解：从图表中可以看出运营商的经济产出逐年增加，故A 正确； 设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓，故B 正确；2029年、2030年信息服务商在总经济产出中处于领先地位，故C 错误， 信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势，故D 正确； 故选：ABD 【点睛】本题主要考查数学文字及图形的阅读理解能力．属于基础题． 10．ABC 【分析】先证明PE ⊥平面DEBC ，得PE DC ⊥，再结合DC DE ⊥，即证DC ⊥平面PED ，所以平面PED ⊥平面PCD ，判断A 正确；利用投影判断PC BD ⊥，判断B 正确；先判断PDE ∠即为二面角P DC B --的平面角，再等腰直角三角形判断4PDE π∠=，即C 正确；先判断CPD ∠为PC 与平面PED 所成的角，再求正切tan CDCPD PD∠=，即知D 错误. 【详解】由题易知EC =2PE =，PC = 所以222PE EC PC +=，所以PE EC ⊥，又PE ED ⊥，ED EC E ⋂=，所以PE ⊥平面DEBC ， 所以PE DC ⊥，又DC DE ⊥，PE DE E =，所以DC ⊥平面PED ，又DC ⊂平面PCD ，所以平面PED ⊥平面PCD ，故A 正确；PC 在平面EBCD 内的射影为EC ，又EBCD 为正方形，所以BD EC ⊥，PC BD ⊥，故B 正确； 易知PDE ∠即为二面角P DC B --的平面角， 又PE ED ⊥，PE ED =，所以4PDE π∠=，故C 正确；易知CPD ∠为PC 与平面PED 所成的角，又PD =2CD =，CD PD ⊥，所以tan2CD CPD PD ∠===，故D 错误. 【点睛】求空间中直线与平面所成角的常见方法为： （1）定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角；（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线长的比值即线面成角的正弦值；（3）向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角的正弦值.本题使用了定义法. 11．CD 【分析】先根据题意求解析式，然后用整体代入的思想求出函数的所有对称轴、对称中心、单调递减区间及零点，逐一判断各选项，即可得出结论. 【详解】函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期是π. ∴2ππω=，解得2ω=.∴()sin(2)f x x ϕ=+， 若其图象向右平移3π个单位后得到的函数()g x 为奇函数， ∴2()sin 23g x x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，可得2(0)sin 03g πϕ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭， ∴23k πϕπ-+=，k Z ∈，取1k =-，可得3πϕ=-.∴()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 验证：203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，11112f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因此A ，B 不正确. 若,212x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，则42,332x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，因此函数()f x 在区间,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减.C 正确. 若3,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则82,363x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，因此函数()f x 在区间3,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上只有两个零点，D 正确. 故选：CD. 【点睛】本题解题关键是熟练掌握正弦函数sin y x =的图像性质（单调性、对称性、零点等），x ωϕ+整理代入研究()sin y A ωx φ=+的图像性质，即突破难点. 12．ABD【分析】先由题可知函数图像为[]0,2上连续的增函数，再结合每个选项和不等式性质验证合理性即可 【详解】因函数y ＝f （x ）是定义在[0，2]上的增函数，且图像是连续不断的曲线，()()0,2f M f N ==，所以()[],f x M N ∈； 对A ，若()2f x M N +=成立，则2M N M N +<<，即22222M M N N+<<，显然成立；对B ，若()f x =成立，则M N <<，<，显然成立；对C ，若()f x =则M N <<，先证M <假设成立，则22121022M M M N M N <-+⇒-<，即221181180416416N N M M ++⎛⎫⎛⎫--<⇒-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，如9,34M N ==时，不成立，则C 不成立； 对D ，若211M NM N<<+成立，则化简后为：2MNM N M N<<+，即222M MN MN MN N +<<+，左侧化简后2M MN <成立，右侧化简后2MN N <成立，故D 成立 故选ABD 【点睛】本题考查函数增减性的应用，不等式性质的应用，属于中档题 13．12【分析】利用诱导公式、两角和的余弦公式化简求得所求表达式的值. 【详解】cos18sin132cos72sin 42︒︒-︒︒()()cos18sin 9042cos 9018sin 42=︒︒+︒--︒︒cos18cos42sin18sin 42=︒︒-︒︒()1cos 1842cos602=︒+︒=︒=. 故答案为：12【点睛】本小题主要考查诱导公式、两角和的余弦公式，属于基础题. 14．0 【分析】利用赋值法求得所求表达式的值. 【详解】∵()011......nn n r n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++， 令1a =，1b =-得()0123...10nn n n n n n C C C C C -+-++-=.故答案为：0 【点睛】本小题主要考查二项式展开式的有关计算，属于基础题. 15．1y x =- 【分析】设l 的方程为(1)y k x =-(0)k >,再联立方程利用韦达定理与焦点弦公式表达8AB =进而求得k 即可. 【详解】由题意得()1,0F ,l 的方程为(1)y k x =-(0)k >.设()11,A x y ,()22,B x y ,由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩得()2222240k x k x k -++=.216160k ∆=+>,故212224k x x k++=,所以()()21224411k AB AF BF x x k+=+=+++=. 由题设知22448k k+=,解得1k =-（舍去）,或1k =.因此l 的方程为1y x =-故答案为：1y x =- 【点睛】本题主要考查了抛物线的焦点弦公式,需要设直线方程联立抛物线方程,利用韦达定理与焦点弦公式求解.属于基础题. 16．4 【分析】作出2()log 1g x x =-和()cos f x x π=的图象,再根据对称性求解即可. 【详解】作2()log 1g x x =-和()cos f x x π=的图象,共有A ,B ,C ,D 这4个交点,由中点坐标公式可得：2A D x x +=,2B C x x +=,故所有交点的横坐标之和为4故答案为：4 【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数零点和的问题,需要根据题意分析函数的对称轴与函数图象,属于中档题.17．（1）答案见解析；（2）答案见解析. 【分析】（1）首先根据12n n n S S a +=++判断出数列{}n a 是以1a 为首项，2为公差的等差数列.通过①或②或③求得数列{}n a 的首项1a ，由此求得数列{}n a 的通项公式. （2）由（1）求得{}n b 的表达式，结合分组求和法、并项求和法求得2n T . 【详解】选①，（1）由12n n n S S a +=++得：()*12N n n a a n +-=∈，∴数列{}n a 是以1a 为首项，2为公差的等差数列.由1a ，2a ，5a 成等比数列得()()211128a a a +=+，解得11a =. ∴()*21N n a n n =-∈.（2）()()()112121na nnn n n b a n +=+-=+--，()()()22122211357 (434122221)n n n T n n n +-=+-+-+---+-=-+⎡⎤⎣⎦-. 选②，（1）由12n n n S S a +=++得()*12N n n a a n +-=∈，∴数列{}n a 是以1a 为首项，2为公差的等差数列. 由69a =得1529a +⨯=，解得11a =-， ∴()*23N n a n n =-∈.（2）()()()1112123na nnn n n b a n +-=+-=+--，∴()()22211135 (454321)n n T n n -=++-+---+-⎡⎤⎣⎦- 2212412n n n n =-+=-+.选③，（1）同理，由12n n n S S a +=++得()*12N n n a a n +-=∈，∴数列{}n a 是以1a 为首项，2为公差的等差数列， 由535S =得151035a d +=，解得13a =， ∴()*21N n a n n =+∈. （2）()()()1112121na n nn n n b a n ++=+-=+-+，∴()()()2222213579 (414121)n nTn n -=+-+-+---++⎡⎤⎣⎦- 221242442n n n n ++=-+=-+.【点睛】本小题主要考查等差数列的定义，考查分组求和法、并项求和法，考查运算求解能力，属于中档题.18．（1）2；（2）60A B C ===︒. 【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，由此求得a 的值.（2）利用3OBCS=求得BOC ∠，由此求得A ，利用余弦定理，结合4b c +=求得,b c ，从而判断出三角形ABC 是等边三角形，从而求得,,A B C 的大小. 【详解】（1）由正弦定理可知，sin 2a A R =，sin 2c C R=，（R 是三角形ABC 外接圆的半径） 则22sin 444sin 4A a a a c c ac C c c+==⇔+=， ∵0c ≠，∴()222444420a c c ac a a a +=⇔+=⇔-=，可得2a =. （2）设BC 中点为D ，设O 是三角形ABC 外接圆圆心，连接OD ，则ODBC .112223OBCSBC OD OD OD =⋅⋅=⋅⋅==，所以tan 3060OD OCD OCD COD CD ∠==⇒∠=︒⇒∠=︒， 故120BOC ∠=︒， ∴1602A BOC =∠=︒， 由余弦定理可知，2222cos a b c bc A =+-，由上可得224b c bc =+-， 又4b c +=，则2b c ==，故ABC 为等边三角形. 即60A B C ===︒.【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，属于中档题. 19．（1）8.5125.5y x =-+，49人；（2）37. 【分析】(1)先求得3x =,100y =,再代入公式计算即可. (2)利用枚举法将基本事件全部列出再求概率即可. 【详解】（1）由表中数据知,3x =,100y =,122114151500ˆ8.55545ni ii nii x y nx ybxnx ==--===---∑∑,ˆˆ125.5a y bx =-=, ∴所求回归直线方程为8.5125.5y x =-+.令9x =,则8.591ˆ25.549y=-⨯+=人. （2）由已知可得：1月份应抽取4位驾驶员,设其编号分别为1a ,2a ,3a ,4a ,4月份应抽取3位驾驶员,设其编号分别为1b ,2b ,3b ,从这7人中任选2人包含以下基本事件,()12,a a ,()13,a a ,()14,a a ,()11,a b ,()12,a b ,()13,a b ,()23,a a ,()24,a a ,()21,a b ,()22,a b ,()23,a b ,()34,a a ,()31,a b ,()32,a b ,()33,a b ,()41,a b ,()42,a b ,()43,a b ,()12,b b ,()13,b b ,()23,b b 共21个基本事件；设“抽到的两人恰好来自同一月份”为事件A ,则事件A 包含的基本事件是()12,a a ,()13,a a ,()14,a a ,()23,a a ,()24,a a ,()34,a a,()12,b b ,()13,b b ,()23,b b ,共有9个基本事件,()93217P A ==. 【点睛】本题主要考查了线性回归方程的求解与古典概型求解概率的方法.属于基础题.20．（1；（2）见解析 【分析】（1）以D 为原点建立空间直角坐标系，然后结合条件得到相关点的坐标，进而求得平面BEF的法向量(n 4,2,=和平面BDE 的法向量()m 3,3,0=-，求出两向量夹角的余弦值，再结合图形可得二面角的余弦值．（2）设点M(t,t,0)，于是得AM =(t-3,t,0)，由AM ∥平面BEF 可得()AM n 4t 32t 0=-+=，解得t 2=，故得点M 坐标为(2,2,0),BM=13BD,即为所求． 【详解】（1）因为DA,DC,DE 两两垂直,所以建立空间直角坐标系D-xyz 如图所示.因为DE⊥平面ABCD,所以BE 与平面ABCD 所成角为∠DBE，故∠DBE =60°,所以EDDB=.由AD=3可知.则),B(3,3,0),C(0,3,0),所以BF ),EF ), 设平面BEF 的法向量为()n x,y,z =,则n?BF 0,-30,n?EF 0,30,y x ⎧⎧==⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩即 令,则(n 4,2,=.同理得平面BDE 的法向量为()m 3,3,0=-,(也可证AC⊥平面BDE,得AC 即为法向量). 所以cos<m , n>=m?n |m|?|n|32==⨯. 由图形得二面角F-BE-D 为锐角, 所以二面角F-BE-D . (2)点M 是线段BD 上一个动点,设M(t,t,0). 则AM =(t-3,t,0), 因为AM∥平面BEF,所以()AM n 4t 32t 0=-+=， 解得t=2.此时,点M 坐标为(2,2,0),BM=13BD,符合题意. 所以当BM=13BD 时，满足AM ∥平面BEF ． 【点睛】向量法求二面角大小的两种方法（1）分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小．（2）分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．21．（1）椭圆C 的方程为2214x y +=，1214k k ⋅=-；（2）为定值，且定值为1. 【分析】（1）结合已知条件，利用,cc e b a===求得,,c a b 的值，由此求得椭圆C 的方程.设出P 点坐标，结合P 在椭圆上，化简求得12k k ⋅的值.（2）设直线MN 的方程为()0y kx t k =+≠，联立直线MN 的方程和椭圆方程，化简写出根与系数关系，由14AP BP k k ⋅=-求得,k t 的关系式，利用弦长公式求得MN ，求得O 到直线MN 的距离d ，由此求得OMN 的面积为定值1.【详解】（1）由题意得c ==又2c e a ==，所以2a =，1b =， 即椭圆C ：2214x y +=. 设()00,P x y ，则222200001144x x y y ==-+⇒， 又()2,0A -，()2,0B ，则()()20201220001142244x y k k x x x -⋅===--+-. （2）设直线MN 的方程为()0y kx t k =+≠，()11,M x y ，()22,N x y ，22,1,4y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222418440k x ktx t ⇒+++-=， 122841kt x x k +=-+，21224441t x x k -=+， ()()12121212121211404044AP BP y y k k y y x x kx t kx t x x x x ⋅=-⇒⋅=-⇒+=⇒+++=， ()()22121241440k x x kt x x t ++++=，()22222448414404141t kt k kt t k k -+⋅-⋅+=++ 即()()()2222224144324410k t k t t k +--++=，即2281640t k --=22241t k ⇒-= 22241t k ⇒=+，MN ==========O 到直线MN 的距离d =所以112OMN S =⋅==. ∴OMN 的面积为定值1.【点睛】本小题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中三角形的面积问题，考查运算求解能力，属于难题.22．（1）答案不唯一，详见解析；（2）①1-；②证明见解析.【分析】（1）求得()F x 的定义域和导函数，对a 分成0a ≤和0a >两种情况进行分类讨论，由此求得()F x 的单调区间.（2）①利用102f ⎛⎫= ⎪⎭'⎝求得a 的值，结合()f x 的单调区间求得()f x 的极大值. ②根据题目所给切线方程求得a ，将要证明的不等式()12x f x x e>-转化为证明ln 1x x x x e+>，利用导数证得()1ln 11g x x x e =+≥-、()11x h x e x e =<-，由此证得要证明的不等式成立.【详解】（1）∵()()()12ln 0F x f x x a x x x =+=+>， ∴()2211a ax F x x x x-'=-=， 当0a ≤时，()0F x '<，()F x 在()0,∞+上单调递减，当0a >时，由()0F x '<得10x a <<，由()0F x '>得1x a>. ∴()F x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. （2）①函数()()1ln 2f x a x x a R x=+-∈的定义域为()0,∞+， ()212a f x x x '=--，由已知12422602f a a ⎛⎫'=--=-= ⎪⎝⎭，∴3a =. 当3a =时，()13ln 2f x x x x =+-， ()()()()22222113123120x x x x f x x x x x x ---+'=--=-=->， 当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； 当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 在()1,+∞上单调递减.所以当1x =时，()f x 取得极大值()11f =-.②由已知曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为21y x =-+，而()212a f x x x '=--， ∴()132f a '=-=-，∴1a =，这时，()1ln 2f x x x x =+-，0x >，所以不等式()12x f x x e >-，0x >， 所以不等式()12x f x x e >-可变为11ln xx x e +>. 要证明上述不等式成立，即证明ln 1x x x x e+>. 设()ln 1g x x x =+，则()1ln g x x '=+，令()0g x '=，得1=x e ， 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，()0g x '<，()g x 是减函数，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()0g x '>，()g x 是增函数. 所以()111g x g e e ⎛⎫≥=-⎪⎝⎭. 令()x x h x e =（0x >），则()1xx h x e -'=， 在()0,1上，()0h x '>，()h x 是增函数；在()1,+∞上，()0h x '<，()h x 是减函数，所以()()1111h x h e e ≤=<-， 所以()()>g x h x ，即ln 1x x x x e+>，由此可知()12x f x x e >-. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间、极值，考查利用导数证明不等式，属于难题.。