2018-2019学年高一数学上册同步测控试题11
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课后导练基础达标1.63a a -∙等于( )A.a --B.a -C.a -D.a 解析:63a a -∙=a 31(-a)61=-(-a)31·(-a)61 =-(-a)21=a --. 答案:A2.2)12(+-k -2)12(+-k +2-2k 等于( )A.2-2kB.-2)12(+-kC.2)12(+-kD.2 解析:原式=2-2k-1-2-2k+1+2-2k =21·2-2k -2·2-2k +2-2k =21-·2-2k =-2-2k-1. 答案:B3.62562-5++等于( )A.23B.32C.33D.22 解析:原式=2641026410++- =2)26(2)26(22+- =226226++-=23.答案:A4.(833-) 32-+(0.002)21--10(5-2)-1+(2-3)0等于( ) A.8131 B.9167- C.41 D.32解析:原式=(827-)32-+500212510--+1=94+105-10(5+2)+1=9167-.答案:B 5.已知x 21+x21-=5,则xx 12+的值为( )A.5B.23C.25D.27 解析:由x 21+x 21-=5,平方得x+x -1=23,即xx 12+=23.答案:B 6.313373329a a a a∙÷--等于( )A.aB.a 2C.1D.21- 解析:原式=3a 3133732329aaa a ∙÷∙--=233a a ÷=a ÷a=1.答案:C7.已知3a +3-a =3,则27a +27-a =________. 解析:由3a +3-a =3平方得32a +3-2a=7,27a +27-a =(3a )3+(3-a )3=(3a +3-a )×(32a -1+3-2a)=3×6=18. 答案:188.(22n+1)2·2-2n-1÷4n =________.解析:原式=24n+2×2-2n-1÷4n =22n+1÷22n =2. 答案:29.若3x-2y=2,则x y3525=_______.解析:x y3525=52y-3x =5-2=251.答案:251 10.化简6394369)(a a ∙)4=_________.解析:原式=(369a )4·(669a )4 =(a 21)4∙(a 21-)4=a 2∙a 2=a 4. 答案:a 4 综合运11.已知a 2x=2+1,则x x xx aa a a --++33=________.解析:未知代数式中分子为立方和可分解,然后约分即可化简式子.xx x x aa a a --++33=x x x x x x a a a a a a ---++-+))(1(22 =a 2x +a -2x-1 =(2+1)+121+-1=2+1+2-1-1 =22-1. 答案:22-112.化简(41)21-·2133231)()1.0()4(---b a ab =_________. 解析:原式=2×232323231008--∙ba ba =10016=254. 答案:254 13.(1+2321-)(1+2161-)(1+281-)(1+241-)×(1+221-)等于( )A.(1-2321-)-1B.(1-2321-)-1C.1-2321- D.21(1-2321-)解析:原式=32121418116132132121)21)(21)(21)(21)(21)(21(--------+++++-=32112121----=21(1-2321-)-1. 答案:A 14.已知x=21(b aa b +)(a>b>0),求122---x x ab 的值. 解析:∵x=21(a b +ba), ∴x 2-1=41(abb a -)2. ∵a>b>0, ∴ab ba >∴b a >ab . ∴1-x 2=21(baa b -). ∴x-1-x 2=ab . ∴原式=ab ab 2=2a.15.已知a>0,a 2x=3,求x x xx aa a a --++33的值.解析:∵a>0,a 2x =3,∴a x =3. ∴a -x =31,a 3x =33.,a -3x =331.∴x x x x aa a a --++33=31333133++=37. 拓展探究16.已知a 32+b 32=4,x=a+3a 31b 32,y=b+3a 32b 31,求(x+y)32+(x-y)32的值.解析:令a 31=A,b 31=B,∴a=A 3,b=B 3. ∴x=A 3+3AB 2,y=B 3+3A 2B. x+y=(A+B)3,x-y=(A-B)3.∴(x+y)32+(x-y)32=(A+B)2+(A-B)2=2(A 2+B 2)=2(a 32+b 32)=8.。
绝密 ★ 启用并使用完毕前2018—2019学年度第一学期部分学校高一教学质量检测试题数学 2019.01 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共4页.满分150分.考试用时120分钟.答题前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号和区县填写在试卷和答题卡规定的位置.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷(共60分)注意事项:1.第I 卷共12题.2.每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.不涂在答题卡上,只答在试卷上不得分.一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合题意)1.已知全集{}1,2,3,4,5,6U =,集合{}1,3,4,6A =,则集合U A =A .{}3B .{}2,5C .{}1,4,6D .{}2,3,52.函数()ln 1y x =−的定义域为A .(],3−∞B .(]1,3C .()1,+∞D .()[),13,−∞⋃+∞3.幂函数222()(1)m m f x m m x +=−−是奇函数,则实数m 的值为A .0或2−B .2或1−C .2D .1−4.函数2()log (1)f x ax =−在[2,)+∞上是增函数,则实数a 的取值范围是A .12a < B .102a << C .12a > D .12a ≥ 5.已知集合1{210}x A x −=−>,{}B x x m =≥,若B A ⊆,则实数m 的取值集合为A .(0,1]B .(,1]−∞C .[1,)+∞D .(1,)+∞6.已知球心为O 的球面上两点,A B 满足=90AOB ∠︒,点C 为该球面上的动点.若三棱锥O ABC −体积的最大值为36,则球O 的表面积等于A .36πB .64πC .144πD .256π7.已知k 为自然数,方程50x e x +−=的根在区间(,1)k k +内,则k =A .0B . 1C .2D .38.已知两点(,2)A m ,3(,21)2B m m −,若直线AB 与直线50x y +−=垂直,则m = A .2 B .1 C .34 D .129.若,m n 是两条不同的直线,,,αβγ是三个不同的平面,则下列说法中正确的是A .若αβ⊥,m β⊂,则m α⊥B .若//m α,m β⊥,则αβ⊥C .若αβ⊥,αγ⊥,则βγ⊥D .若m αγ=,n βγ=,//m n ,则//αβ 10.已知两条直线1:20(0)l x y m m −+=>,2:260l x ny +−=.若12//l l ,且它们之间的距离是5,则m n +=A .2−B .1−C .0D .111.如图所示,点P 是正方形ABCD 所在平面外一点,且PA ⊥平面ABCD ,PA AB =,则直线PB 与AC 所成的角等于A .90︒B .60︒C .45︒D .30︒12.设平行于y 轴的直线分别与函数2()log f x x =及2()log 2g x x =+的图象交于,B C 两点,点(,)A m n 在函数()g x 的图象上.若ABC ∆为正三角形,则2n m ⋅=A .15B .83C .12D .123第II 卷(共90分)注意事项:1.第II 卷共10题.2. 第II 卷所有题目的答案,考生须用0.5毫米黑色签字笔答在答题卡规定的区域内,在试卷上答题不得分.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.14log 8= . 14.直线310x y ++=的倾斜角等于 .15.若圆锥侧面展开图扇形的圆心角等于120︒,则该圆锥的高与底面圆半径的比值等于 .16.《九章算术》卷五中“商功:今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高一丈,问积几何?”.意思是:“今有底面为矩形的屋脊状的楔体(如图),下底面宽3AD =丈,长4AB =丈,上棱长2EF =丈,//EF 平面ABCD ,且EF 到平面ABCD 的距离(高)为1丈.”它的体积等于 立方丈.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本题满分10分)已知集合{}{}220,04A x x x m B x x =−+==<<.(Ⅰ)若{}4,4a A =−,求实数a 的值;(Ⅱ)若A B ∅≠,求实数m 的取值范围.18.(本题满分12分) 已知函数1()3x f x b a=++是奇函数,且定义域为R . (Ⅰ)求实数,a b 的值,并求()1f 的值; (Ⅱ)若对任意[]2,8t ∈,()1log 24t f m ≥−恒成立,求实数m 的最大值. 19.(本题满分12分)已知ABC ∆边AB 所在的直线方程为3100x y −−=,边AC 所在的直线方程为250x y −−=,点(5,0)P 在边BC 上.(Ⅰ)判断点P 是否在A ∠的平分线上?(Ⅱ)当点P 为边BC 的中点时,求边BC 所在的直线方程.20.(本题满分12分)已知四棱锥P ABCD −中,底面ABCD 为等腰梯形,//AB CD ,1AB AD BC ===,2CD =,侧面PAD 为正三角形.(Ⅰ)若点M 在棱PD 上,满足2DM MP =,证明://PB 平面MAC ;(Ⅱ)若PD AC ⊥,证明:平面PAD ⊥平面ABCD .21.(本题满分12分)实验研究表明,在一定范围内喷洒空气净化剂可以有效改善空气质量,设喷洒1个单位的净化剂后x 小时,释放在空气中的净化剂浓度为()f x (单位:3mg /m ).研究结果显示: ①202, 0610()16, 6122x x f x x x ⎧−≤≤⎪⎪−=⎨⎪−<≤⎪⎩;②若多次喷洒,则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在此时刻所释放的浓度之和;③当空气中的净化剂浓度不低于43mg /m 时,空气才能得以有效..净化...(即才能起到净化空气使空气指标符合要求的作用)(Ⅰ)若第一次喷洒2个单位的净化剂,多少小时后空气才能得以有效净化?有效净化时间可持续几个小时?(Ⅱ)第一次喷洒4个单位的净化剂后(),612m m m ∈<<*N 小时,再喷洒2个单位的净化剂,试确定m 的值,使在接下来的12m −个小时内空气持续得以有效净化.22.(本题满分12分) 已知函数()x a f x x−= (0)a >. (Ⅰ)判断函数()f x 在()0,+∞上的单调性,并用定义证明;(Ⅱ)若存在实数m ,使得关于x 的方程()22220x a x x a mx −−−+=恰有4个不同的正根,求实数m 的取值范围.。
2018-2019学年高中名校高一第一学期期末调研数学试卷(十一)数学全卷满分150分,考试时间120分钟。
★祝考试顺利★注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题作答用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
答在试卷和草稿纸上无效。
3.非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试卷和草稿纸上无效。
考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后,只需上交答题卡。
第I 卷(选择题 60分)一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确答案的序号填在答题纸上.)1.已知集合{}|11P x x =-<<,{}|02Q x x =<<,那么PQ =( ) A .(1,2)- B .(0,1) C .(1,0)- D .(1,2)2.将一个直角三角形绕其一直角边所在直线旋转一周,所得的几何体为( )A .一个圆台B .两个圆锥C .一个圆柱D .一个圆锥3.直线0x a +=(a 为实常数)的倾斜角的大小是( )A .30︒B .60︒C .120︒D .150︒4.函数y = ) A .(1,2]-B .[]1,2-C .(1,2)-D .[1,2)- 5.下列函数中,在其定义域内既是增函数又是奇函数的是( )A .1y x =B .2log y x =-C .3x y =D .3y x x =+ 6.圆221x y +=与圆22(1)(4)16x y +++=的位置关系是( )A .外切B .内切C .相交D .外离7.已知函数2log ,1,()1(),1,2x x x f x x >⎧⎪=⎨≤⎪⎩则((2))f f -=( ) A .2 B .2- C .12 D .12- 8.已知函数(1)32f x x +=+,则()f x 的解析式是( )A .()31f x x =-B .()31f x x =+C .()32f x x =+D .()34f x x =+9.已知一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图为半圆画,则该几何体的体积为( )A .4πB .2πC .πD .3π 10.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且在(,0)-∞上是减函数,若2(log 5)a f =,2(log 4.1)b f =,0.8(2)c f =,则a ,b ,c 的大小关系为( )A .a b c <<B .c b a <<C .b a c <<D .c a b <<11.已知a R ∈且0a >,1a ≠,则函数x y a -=与log a y x =在同一直角坐标系中的图象是( )12.已知α,β为不同的平面,a ,b ,c 为不同的直线,则下列命题中正确的是( )A .若a α⊂,//b a ,则//b αB .若αβ⊥,c αβ=,b c ⊥,则b β⊥C .若a b ⊥,b c ⊥,则//a cD .若a b A =,a α⊂,b α⊂,//a β,//b β,则//αβ第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.已知集合{}|3M x N x =∈<,{}0,2,4N =,则集合M N 中元素的个数为 .14.若直线1l :210mx y ++=与直线2l :20x y +-=互相垂直,则实数m 的值为 .15.一个底面积为1的正四棱柱的八个顶点都在同一球面上,若这个正四棱柱的高为则该球的表面积为 .16.已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数,如[]1.11=,[]1.12-=-,[]()g x x =为取整函数,0x 是函数2()ln f x x x=-的零点,则0()g x = . 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.已知两点(2,1)A -,(4,3)B ,两直线1l :2310x y --=,2l :10x y --=. 求:(1)过点A 且与直线1l 平行的直线方程;(2)过线段AB 的中点以及直线1l 与2l 的交点的直线方程.18.已知函数21()log 1ax f x x +=-(a 为常数)是奇函数. (1)求a 的值;(2)判断函数()f x 在(1,3)上的单调性,并予以证明. 19.如图,已知四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为平行四边形,点M ,N ,Q 分别是PA ,BD ,PD 的中点.(1)求证://MN 平面PCD ;(2)求证:平面//MNQ 平面PBC .20.已知函数2()22f x x x =-+在闭区间[],1t t +(t R ∈)上的最小值为()g t .(1)求()g t 的函数表达式;(2)画出()g t 的简图,并写出()g t 的最小值.21.如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,90ACB ∠=︒,1122AC BC AA ===,点D 是棱1AA 的中点.(1)求证:1DC ⊥平面BDC ;(2)求三棱锥1C BDC -的体积.22.已知以点(1,2)A -为圆心的圆与直线m :270x y ++=相切,过点(2,0)B -的动直线l 与圆A 相交于M 、N 两点.(1)求圆A 的方程;(2)当||MN =时,求直线l 的方程.期末教学质量检测高一数学试题答案一、选择题1-5:ADDAD 6-10:CAACB 11、12:CD二、填空题13.2 14.2- 15.20π 16.2三、解答题17.解:(1)设与1l :2310x y --=平行的直线方程为:230x y c -+=,将(2,1)A -代入,得430c --+=,解得7c =,故所求直线方程是:2370x y -+=.(2)∵(2,1)A -,(4,3)B ,∴线段AB 的中点是(1,2)M ,设两直线的交点为N ,联立2310,10,x y x y --=⎧⎨--=⎩解得交点(2,1)N , 则21112MN k -==--,故所求直线的方程为:2(1)y x -=--,即30x y +-=.18.解:(1)∵21()log 1ax f x x +=-是奇函数,∴()()f x f x -=-, 即2211log log 11ax ax x x -+=----,即2211log log 11ax x x ax --=++,解得1a =或1a =-(舍去), 故a 的值为1.(2)函数()f x 在(1,3)上是减函数.证明:由(1)知21()log 1x f x x +=-,设1()1x g x x +=-, 任取1213x x <<<,∴1221121212112()()()11(1)(1)x x x x g x g x x x x x ++--=-=----, ∵210x x ->,110x ->,210x ->,∴12()()0g x g x ->,∴()g x 在(1,3)上为减函数,又∵函数2log y x =在(1,)+∞上为增函数,∴函数()f x 在(1,3)上为减函数.19.证明:(1)由题意:四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为平行四边形,点M ,N ,Q 分别是PA ,BD ,PD 的中点,∴N 是AC 的中点,∴//MN PC ,又∵PC ⊂平面PCD ,MN ⊄平面PCD ,∴//MN 平面PCD .(2)由(1),知//MN PC ,∵M ,Q 分别是PA ,PD 的中点,∴////MQ AD BC ,又∵BC ⊂平面PBC ,PC ⊂平面PBC ,BCPC C =,MQ ⊂平面MNQ ,MN ⊂平面MNQ ,MQ MN M =,∴平面//MNQ 平面PBC .20.解:(1)依题意知,函数()f x 是开口向上的抛物线,∴函数()f x 有最小值,且当2122b x a -=-=-=时,min ()1f x =. 下面分情况讨论函数()f x 在闭区间[],1t t +(t R ∈)上的取值情况:①当闭区间[],1t t +(,1)⊂-∞,即0t <时,()f x 在1x t =+处取到最小值, 此时22()(1)2(1)21g t t t t =+-++=+;②当[]1,1t t ∈+,即01t ≤≤时,()f x 在1x =处取到最小值,此时()1g t =; ③当闭区间[],1(1,)t t +⊂+∞,即1t >时,()f x 在x t =处取到最小值, 此时2()22g t t t =-+.综上,()g t 的函数表达式为221,0,()1,01,22, 1.t t g t t t t t ⎧+<⎪=≤≤⎨⎪-+>⎩(2)由(1)可知,()g t 为分段函数,作出其图象如图:由图像可知min ()1g t =.21.证明:(1)由题意知1BC CC ⊥,∵90ACB ∠=︒,即BC AC ⊥,又1AC CC C =,∴BC ⊥平面11ACC A ,∵1DC ⊂平面11ACC A ,∴1BC DC ⊥,∵D 是1AA 的中点,112AC BC AA ==, ∴111AC AD A D AC ===,∴1145ADC A DC ∠=∠=︒,∴190CDC ∠=︒,即1DC DC ⊥,∵DC BC C =,∴1DC ⊥平面BDC .解:(2)由1122AC BC AA ===,得14AA =,∴12AD A D ==,∴1DC DC ===由(1)知,BC ⊥平面11ACC A ,∴BC ⊥平面1CDC ,故BC 是三棱锥1B CDC -的高,∴111111823323C BDC B CDC CDC V B S BC --∆==⋅⋅=⨯⨯=. 22.解:(1)依题意知,(1,2)A -到直线m 的距离为圆A 的半径r ,∴r ==, ∴圆A 的方程为22(1)(2)20x y ++-=.(2)设线段MN 的中点为Q ,由垂径定理,知90MQA ∠=︒,且MQ =在Rt AMQ ∆中,由勾股定理,得1AQ ==, 设动直线l 的方程为(2)y k x =+或2x =-,显然2x =-符合题意;由1AQ =1=,解得34k =, ∴直线l 的方程为3(2)4y x =+,即3460x y -+=. 综上,直线l 的方程为2x =-或3460x y -+=.。
模块综合检测时间:120分钟 分值:150分一、选择题:本大题共 12题,每题5分,共60分.在下列各题的四个选项中,只有 题目要求的.1.已知集合 A= {x|0<log 4X<1} , B = {x|xW2},则 An B 等于() A. (0,1) B. (0,2]C. (1,2)D. (1,2]答案:D解析:A= {x|0<log4x<1} ={ x|1<x<4} , B = {x|x< 2}所以 AA B = {x|1<x<2}2 .如果哥函数f(x)=x'的图象经过点(3,坐),则f(8)的值等于() 答案:B3 .函数 y =ig £±l_扁定义域是( )x — 1A . (- 1 ,)B. [-1, +8 )C. (-1,1)U (1 ,+8 )D. [-1,1)U(1,+8 )答案:Cx+ 1>0解析:要使函数有意义,需1 解得x> — 1且x W 1.l x - 1 w 1,,函数定义域为(―1,1)U(1, +8).2e x 1, xv 2,f(x)=l og3(x 2-1 -2, )则伏2)]的值为(A. 0B. 1C. 2D. 3答案:C解析:f[f(2)] =f(1) = 2,故选 C.5,函数y=x 2+x(-1<x<3)的值域是( ) 解析:a= — 1,故 f(8)= 8 2 =乎.个选项是符合 A.22 B.42c.43 D.234.设1A. [0,12]B. [-4, 12] 1 3C. [ —2p 12]D. [4, 12]答案:B解析:画出函数y=x2+x(—1WxW3)的图象,由图象得值域是[―J 12],故选B.X2 + 2x—3, x<0,6.函数f(x)=< 的所有零点之和为( )lgx — 1 , x> 0A. 7B. 5C. 4D. 3答案:A解析:当x< 0时,令x2+2x-3=0,解得x= —3;当x>0时,令lgx—1 = 0解得x=10,所以已知函数所有零点之和为—3+10=7.7.三个数2°.3,0.32, 10g0.32的大小顺序是( )A. 1og0.32<20.3<0.32B . 20.3< 0.32V 10g0.32C.10g0.32 >2°.3>0.32D.20.3>0.32>log0.32答案:D解析:.••20.3>20=1,0v0.32v1, log0.32vlog0.32vlog0.31 = 0, •. 2°.3>0.32>log0.32.28.函数f(x)=lg(1 ~ + a)是前函数,则头数 a等于( )A . — 3 B. - 1C. 1D. — 1 或 1答案:B2 .2 2.•.f(-x) + f(x) = 0,即 lg[(氐 + a)(:+ a)] = 0,•• a = 1 1.(法二)由 f(0) = 0 得 a=- 1.9.某种生物的繁殖数量y(只)与时间x(年)之间的关系式为y= alog2(x+1),设这种生物第一年有100只, 则第7年它们发展到( )A. 300 只B. 400 只C. 500 只D. 600 只答案:A解析:由题意得 100=alog2(1 + 1),,a= 100,,第 7 年时,y= 10010g2(7+ 1) = 300.解析:(法一)f(—x)= lg(年x +a) = —f(x),10.函数f(x)= x(x2—1)的大致图象是( )答案:A解析:• 1 f(-x)=(-x)[(-x)2- 1] = — x(x2— 1)=— f(x)・•.y=x(x2—1)为奇函数,排除 C、D.又0<x<1时,y<0.故选A.11.已知f(x)是R上的偶函数,且满足 f(x + 4) = f(x),当xC(0,2)时,f(x)=x+1,则f(3)等于( )A. 2B. — 2C. 1D. - 1答案:A解析:由条件知 f(3) = f(-1+4) = f(-1).又因为 f(-1)=f(1),当 xC(0,2)时,f(x) = x+1,所以 f(1)=2.所以 f(3) = f(—1)=f(1)=2.a x112.函数f(x)= " 满足对任意x产x2,都有^一匚‘一)v 0成立,则a的取值范围是(a-3 x+4a (x> 1) x1 一x2( )A. (0, 4)B. (0, 3]C. (0,1)D. [3, i )答案:B3 3解析:由题息知f(x)在R上是减函数,,0vav1,又a —3+ 4a< a,4a< 3, a< 4,,0vaw-.二、填空题:本大题共 4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上.13.已知函数 f(x)对任意 x, yCR,都有 f(x+y) = f(x)+f(y),且 f(2) = 4,则 f(—1)等于.答案:—2解析:由题意得f(0)=f(0)+f(0).•.f(0)=0.又 f(x-x) = f(x)+f(-x)=0・•.f(x)为奇函数.f(2) = f(1)+f(1) = 4.•.f(1)=2,则 f(-1) = - 2.14.若函数f(x) = loga(x+ 1)(a>0,且aw 1)的定义域和值域都是[0,1],则a的值是答案:2解析:0< x< 1, K x+ 1W2,又函数 f(x)值域[0,1],,a>1 ,,f(1)= log a (1 + 1)= 1,a= 2.a, a< b .设函数 f(x)= —x+3, g(x)=log 2x,则函数 h(x) b, a>b =min{ f(x), g(x)}的最大值是答案:116 .已知 y = f(x) + x 是偶函数,且 f(2) = lg32 + log 416+6lg1+lg1,若 g(x)=f(x)+1,贝U g(-2) = 2 5答案:6因为 y= f(x) + x 是偶函数,所以 f( -x) - x= f(x)+x,所以 f(-x) = f(x)+ 2x,所以 g( —2)=f(—2)+1=f(2)+2X2+1 = 6.三、解答题:本大题共 6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 . (10分)求下列各式的值:⑴1.5 葭[-6,+ 80.25X 42+ (32X #)6-\(-亍);32 2log 5 3(2)2log 32-log 3 丁+ 10g 38 —59. AWB, B = { —2}.,方程 x 2+bx+c= 0 的判别式 A= b 2—4c=0,2b-c= 4, ① b 2-4c=0, ②由①得c= 2b —4,代入②整理得:(b —4)2=0, b= 4, c= 4.19. (12分)函数y=lg(3 —4x+x 2)的定义域为 M, xC M 时,求f(x) = 2*2—3X 4x 的最大值. 解:要使函数y=lg(3-4x+x 2)有意义,需3-4x+ x2>0,解得x< 1或x> 3设t = 2x,则0vtv2或t >8, f(x) = g(t)=4t —3t 2(0vt<2 或 t>8).而 g ⑴= 4t —3t2=— 3(t —刍2+A ,所以当 0V t<2, t=2时,g ⑴取 3 3 3 最大值2当t>8时,g(t)是减函数,所以g(t) v g(8) = — 160.总之,t=4时,g(t)最大为即f(x) = 2"2—3X 4x 3 3 3 的最大值为4.320. (12分)某商店将进货价每个10元的商品按每个18元售出时,每天可卖出 60个.商店经理到市场 上做了一番调查后发现, 若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每提高1元,则日销售量就减少5个;若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每降低1元,则日销售就增加10个.为了每日获得最大利润, 此商品的售价应定为每个多少元?解:设此商品每个售价为 x 元时,每日利润为y 元.当 18Wx<30 时,有 y = [60 - 5(x-18)]( x- 10) = - 5(x- 20)2+500.15.对于任意实数 a 、b,定义 min{ a, b}=解析:依题意,h(x) = iog 2x(0vxw 2)—x+ 3(x>2 j ,结合图象,易知h(x)的最大值为1. 解析: f(2)= lg32 + log 416 + 6lg ;+ lg5T= 5lg2 +2 — 6lg2 -lg5=2-(lg2 + lg5) = 2-1 = 1 解: ⑴原式=即在商品提价时,当x= 20时,每日利润y最大,最大利润是 500元.当 10Vx<18 时,有 y=[60 + 10(18—x)](x— 10) = — 10(x- 17)2+490,即在商品降价时,当x= 17时,每日利润y最大,最大利润是 490元.因为500>490,所以此商品的售价应定为每个20元.21.(12 分)已知函数 f(x)= alog2x- blog1x,其中常数 a, b 满足 abw0. 3(1)若a>0, b>0,证明函数f(x)在定义域内为增函数;(2)若 a=ln(m2+2m+ 3), b= ln10,解不等式 f(3x— 1)<f(x+3).1斛:f(x)= alog2x— blog3x= alog2x+ blog3x,其TE义域为(0, +°° ).(1)任取x1, x2 € (0, +8), x1vx2,则f(x1)一 f(&)= alog2x〔 + blogM — (alog 2x2+ blog a x2)= a(log 2x1 — log2x2)+ b(log3x1 一 log3x2). •-1 0v x〔 vx2且 y= log2x 和 y= log3x在(0, +°° )上为增函数,1 lOg2x1< lOg2K2, lOg3x1< lOg3K2,当 a >0, b>0 时,a (log2x1_log2x2)< 0, b(log3x1 — log3x2)v 0,•• f(x〔)—f(x2)V 0,即 f(x1)Vf(x2),函数 f(x)在(0, )上为增函数.(2)「a=ln(m2+2m+3)=ln[(m+1)2+2]Rln2>ln1 =0, b=ln10>ln1 =0,,由(1)可知函数f(x)在(0, +8 )上为增函数,,3x- 1 >0,•.f(3x—1)wf(x+3)? ^x+3>0, ..Lxw 2,,“二3i3x— 1 w x+ 3,••・原不等式的解集为{xljv x< 2}. 322.(12分)已知定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足以下三个条件:①对任意的xC [0,1],总有f(x)>0;② f(1) = 1;③当 x1, x2C[0,1],且 x[+x2C [0,1]时,f(x〔 +*2)>%)+ 可刈成立.称这样的函数为“友谊函数”.请解答下列各题:(1)已知f(x)为“友谊函数”,求 f(0)的值;(2)函数g(x) = 2x—1在区间[0,1]上是否为“友谊函数”?请给出理由;(3)已知 f(x)为“友谊函数”,假定存在x oC [0,1],使得 f(x0)C [0,1],且 f[f(x0)] = x0,求证:f(x0)=x0. 解:(1)令 x1=1, x2= 0,则 x1 + x2= 1 e [0,1].由③,得 f(1)>f(0)+f(1),即 f(0)< 0.又由①,得f(0)>0,所以f(0) = 0.(2)g(x)=2x—1是友谊函数.任取 x1, x2c [0,1], x1 + x2c [0,1],有 2x1>1,2x2>1.则(2x1—1)(2x2—1)>0.即 g(x[ + x2)>g(x1)+g(x2).又 g(1)=1,故g(x)在[0,1]上为友谊函数.⑶证明:取 0Wx1<x2W1,则 0<x2-x1<1.因此,f(x2)>f(x1)+ f(x2 —x1) > f(x1).假设 f(x0)Wx0,若 f(x0)>x0,则 f[f(x0)] >f(x0)>x0.若 f(x0)<x0,则 f[f(x0)]Wf(x0)<x0.都与题设矛盾,因此f(x0) = x0.1 + (23) 4 X2 4+ (2 3)6X (3 1 2)6- [(| )3] 23?■,= [|j3+(23X 2) 4+ 22X 33- ?= 2 + 4X 27= 110.(2)原式=21og32-(1og325-1og332)+ 1og323- 51og 59=210g32 — 510g32 + 210g33 + 310g 32 — 9=2 — 9= - 7.18. (12 分)已知集合 A={x|x2+ax-6=0}, B= {x|x2+bx+c= 0},且 AwB, AUB={-2,3}, AAB = {— 2},求a, b, c的值.解:.An B={ -2} , 2C A 且一2C B,将一2代入方程:x2+ax—6=0中,得a=- 1,从而 A={—2,3}.将一2 代入方程 x2 + bx+c=0,得 2b—c=4.•. AU B = {-2,3}, AU B = A, • . B? A.。
2018-2019标准试卷(含答案)高一(上)期末数学试卷 (11)一、选择题:本大题共12小题,每题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的.1. 设全集,,,则A. B. C. D.2. 下列函数中哪个与函数相等()A. B. C.且D.3. 函数的定义域是()A. B. C. D.4. 设是定义在上的奇函数,当时,,则A. B. C. D.5. 如果角的终边经过点,那么A. B. C. D.6. 已知,,,则,,的大小关系为()A. B. C. D.7. 设,,向量,,且,,则A. B. C. D.8. 函数的零点所在的区间是()A. B. C. D.9. 已知向量、满足,,,则一定共线的三点是()A.、、B.、、C.、、D.、、10. 将函数的图象上各点横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变),再向左平移个单位,所得函数图象的一条对称轴是()A. B. C. D.11. 若实数,满足,则关于的函数图象的大致形状是()A. B. C. D.12. 定义域为的偶函数满足对,有,且当时,,若函数在上恰有六个零点,则的取值范围是()A. B. C. D.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案直接填在题中横线上.1. 若,则________.2. 若幂函数在区间上是增函数,则实数的值为________.3. 已知向量满足,与的夹角为,则在方向上的投影是________.4. 对于函数,给出下列四个命题:①该函数是以为最小正周期的周期函数;②当且仅当时,该函数取得最小值;③该函数的图象关于对称;④当且仅当时,.其中正确命题的序号是________.(请将所有正确命题的序号都填上)三、解答题:本大题共6个小题,共70分.解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤.1. (1)计算1.(2)已知,求的值.2. 设集合,,(1)求;(2)若集合,求的子集个数并写出集合的所有子集;(3)若,求的取值范围.3. 已知定义域为的函数是奇函数.(1)求的值;(2)证明在上为减函数;4. 函数的最大值为,其图象相邻两条对称轴之间的距离为.(1)求函数的解析式;(2)求函数的单调增区间;(3)设,则,求的值.5. 某超市经营一批产品,在市场销售中发现此产品在天内的日销售量(件)与日期)之间满足,已知第日的销售量为件,第日的销售量为件.(1)求第日的销售量;(2)若销售单价(元/件)与的关系式为,求日销售额的最大值.6. 设,,为实数,且.求方程的解;若,满足,求证:①;②.在的条件下,求证:由关系式所得到的关于的方程,存在,使.参考答案与试题解析2016-2017学年四川省资阳市简阳市高一(上)期末数学试卷一、选择题:本大题共12小题,每题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的.1.【答案】D【考点】交、并、补集的混合运算【解析】根据交集与补集的定义,进行计算即可.2.【答案】C【考点】判断两个函数是否为同一函数【解析】根据两个函数的定义域相同、对应关系也相同,即可判断它们是相等函数.3.【答案】B【考点】函数的定义域及其求法【解析】由根式内部的代数式大于等于,分式的分母不为联立不等式组求解.4.【答案】C【考点】求函数的值【解析】由奇函数性质得当时,,由此能求出.5.【答案】B【考点】运用诱导公式化简求值任意角的三角函数【解析】由条件利用任意角的三角函数的定义求出和的值,再利用诱导公式求出所给式子的值.6.【答案】A 【考点】对数值大小的比较【解析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出.7.【答案】B【考点】平面向量数量积的性质及其运算律【解析】由两个向量垂直的性质可得,由两个向量共线的性质可得,由此求出,,以及的坐标,从而求得的值.8.【答案】B【考点】函数零点的判定定理【解析】令函数得到,转化为两个简单函数,,最后在同一坐标系中画出,的图象,进而可得答案.9.【答案】A【考点】平面向量的基本定理及其意义【解析】证明三点共线,借助向量共线证明即可,故解题目标是验证由三点组成的两个向量共线即可得到共线的三点10.【答案】D【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换【解析】由函数图象变换的知识可得函数解析式,由余弦函数的对称性结合选项可得.11.【答案】B【考点】函数的图象与图象变化【解析】先化简函数的解析式,函数中含有绝对值,故可先去绝对值讨论,结合指数函数的单调性及定义域、对称性,即可选出答案.12.【答案】C【考点】函数奇偶性的性质抽象函数及其应用【解析】根据定义域为的偶函数满足对,有,可以令,求出,再求出函数的周期为,当时,,画出图形,根据函数在上恰有六个零点,利用数形结合的方法进行求解;二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案直接填在题中横线上.1.【答案】【考点】同角三角函数基本关系的运用【解析】由已知利用同角三角函数基本关系式即可计算得解.2.【答案】【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】利用幂函数的定义、单调性即可得出.3.【答案】【考点】平面向量数量积的运算【解析】根据向量在方向上投影的定义写出运算结果即可.4.【答案】③④【考点】三角函数的最值三角函数的周期性及其求法余弦函数的单调性【解析】由题意作出此分段函数的图象,由图象研究该函数的性质,依据这些性质判断四个命题的真假,此函数取自变量相同时函数值小的那一个,由此可顺利作出函数图象.三、解答题:本大题共6个小题,共70分.解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤.1.【答案】解:.(2)∵,∴,∴.【考点】同角三角函数基本关系的运用对数的运算性质【解析】(1)利用分数指数幂的运算法则,求得所给式子的值.(2)利用同角三角的基本关系,求得要求式子的值.2.【答案】解:(1)∵,,∴(2)集合的子集有个,子集有:,,,,,,(3)要使得,则【考点】交集及其运算【解析】(1)由已知条件利用交集定义能求出.(2)由此能写出集合的所有子集.(3)根据,即可求出的范围.3.【答案】(1)解:∵为上的奇函数,∴,得,当时,,满足,为奇函数,∴;(2)证明:任取,,且,则.∵,∴,又∵,∴,故为上的减函数;(3)解:∵对于任意,不等式恒成立,∴,∵为上的奇函数,∴,又为上的减函数,∴时,恒成立,设,∴的最小值为,∴,解得.【考点】函数恒成立问题函数单调性的判断与证明函数奇偶性的性质【解析】(1)由已知可得,求出值,验证函数为奇函数即可;(2)直接利用函数单调性的定义证明在上为减函数;(3)由函数的奇偶性与单调性化不等式为,求出的最小值可得的取值范围.4.【答案】解:(1)∵函数的最大值为,∴,即.…∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为,∴最小正周期,∴.…故函数的解析式为;…(2)由,…得,∴.…∴函数的单调增区间:;…(3)∵,即,…∵,∴,…∴,故.…【考点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式正弦函数的图象【解析】(1)通过函数的最大值求出,通过对称轴求出周期,求出,得到函数的解析式;(2)令,,求得的范围,可得函数的单调增区间;(3)通过,求出,通过的范围,求出的值.5.【答案】第日的销售量为件,(2),,当时,即时,取得最大值,当时,即时,取得最大值,综上,当时,日销售额的最大值为元答:日销售额的最大值为元.【考点】分段函数的应用【解析】(1)根据条件得到关于,的方程组解的求出,的值,得到函数,代值计算即可,(2)由条件得到日销售额的函数关系式,分段,根据二次函数的性质即可求出.6.【答案】解:由,得,所以或.证明:①因为,且,可判断,,所以,即,即,则..②由①得,令,(),任取,,且,因为,又,∴,,,∴,∴在上为增函数,∴,∴.证明:∵,,∴,∴,得.又,∴.令,因为,,根据函数零点的判断条件可知,函数在内一定存在零点,即存在,使.【考点】函数零点的判定定理对数函数图象与性质的综合应用【解析】由,得,即可求方程的解;①证明即可;②令,(),证明在上为增函数,即可证明结论;令,因为,,即可得出结论.。
2018年新人教A版高中数学选修1-1全册同步检测目录第1章1.1-1.1.1命题第1章1.1-1.1.3四种命题间的相互关系第1章1.2充分条件与必要条件第1章1.3简单的逻辑联结词第1章1.4全称量词与存在量词第1章章末复习课第1章章末评估验收(一)第2章2.1-2.1.1椭圆及其标准方程第2章2.1-2.1.2第1课时椭圆的简单几何性质第2章2.1-2.1.2第2课时直线与椭圆的位置关系第2章2.2-2.2.1双曲线及其标准方程第2章2.2-2.2.2双曲线的简单几何性质第2章2.3-2.3.1抛物线及其标准方程第2章2.3-2.3.2抛物线的简单几何性质第2章章末复习课第2章章末评估验收(二)第3章3.1-3.1.2导数的概念第3章3.1-3.1.3导数的几何意义第3章3.2导数的计算第3章3.3-3.3.1函数的单调性与导数第3章3.3-3.3.2函数的极值与导数第3章3.3-3.3.3函数的最大(小)值与导数第3章3.4生活中的优化问题举例第3章章末复习课章末评估验收(三)模块综合评价(一)模块综合评价(二)第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.1.1 命题A级基础巩固一、选择题1.“红豆生南国,春来发几枝?愿君多采撷,此物最相思.”这是唐代诗人王维的《相思》,在这4句诗中,可作为命题的是()A.红豆生南国B.春来发几枝C.愿君多采撷D.此物最相思解析:“红豆生南国”是陈述句,意思是“红豆生长在南方”,故本句是命题;“春来发几枝”是疑问句,“愿君多采撷”是祈使句,“此物最相思”是感叹句,都不是命题.答案:A2.下列命题为真命题的是()A.若1x=1y,则x=yB.若x2=1,则x=1C.若x=y,则x=yD.若x<y,则x2<y2解析:很明显A正确;B中,由x2=1,得x=±1,所以B是假命题;C中,当x=y<0时,结论不成立,所以C是假命题;D中,当x=-1,y=1时,结论不成立,所以D是假命题.答案:A3.给出下列命题:①若直线l⊥平面α,直线m⊥平面α,则l⊥m;②若a、b都是正实数,则a+b≥2ab;③若x2>x,则x>1;④函数y=x3是指数函数.其中假命题为()A.①③B.①②③C.①③④D.①④解析:①显然错误,所以①是假命题;由基本不等式,知②是真命题;③中,由x2>x,得x<0或x>1,所以③是假命题;④中函数y=x3是幂函数,不是指数函数,④是假命题.答案:C4.命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是()A.两个平面B.一条直线C.垂直D.两个平面垂直于同一条直线解析:把命题改为“若p则q”的形式为若两个平面垂直于同一条直线,则这两个平面平行,则条件为“两个平面垂直于同一条直线”.答案:D5.下列语句中命题的个数为()①若a,G,b成等比数列,则G2=ab.②4-x2≥0.③梯形是中心对称图形.④π>2吗?⑤2016年是我人生中最难忘的一年!A.2B.3C.4D.5解析:依据命题的概念知④和⑤不是陈述句,故④⑤不是命题;再从“能否判断真假”的角度分析:②不是命题.只有①③为命题,故选A.答案:A二、填空题6.下列语句:①2是无限循环小数;②x 2-3x +2=0;③当x =4时,2x >0;④把门关上!其中不是命题的是________.解析:①是命题;②不是命题,因为语句中含有变量x ,在没给变量x 赋值的情况下,无法判断语句的真假;③是命题;④是祈使句,不是命题.答案:②④7.已知命题“f (x )=cos 2ωx -sin 2ωx 的最小正周期是π”是真命题,则实数ω的值为________.解析:f (x )=cos 2ωx -sin 2ωx =cos 2ωx ,所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪2π2ω=π,解得ω=±1.答案:±1 8.下列命题:①若xy =1,则x ,y 互为倒数; ②二次函数的图象与x 轴有公共点; ③平行四边形是梯形; ④若ac 2>bc 2,则a >b .其中真命题是________(写出所有真命题的编号).解析:对于②,二次函数图象与x 轴不一定有公共点;对于③,平行四边形不是梯形.答案:①④ 三、解答题9.把下列命题改写成“若p ,则q ”的形式,并判断其真假. (1)末位数字是0的整数能被5整除; (2)偶函数的图象关于y 轴对称; (3)菱形的对角线互相垂直.解:(1)若一个整数的末位数字是0,则这个整数能被5整除,为真命题.(2)若一个函数是偶函数,则这个函数的图象关于y轴对称,为真命题.(3)若一个四边形是菱形,则它的对角线互相垂直,为真命题.10.已知:A:5x-1>a,B:x>1,请选择适当的实数a,使得利用A、B构造的命题“若p,则q”为真命题.解:若视A为p,则命题“若p,则q”为“若x>1+a5,则x>1”.由命题为真命题可知1+a5≥1,解得a≥4;若视B为p,则命题“若p,则q”为“若x>1,则x>1+a5”.由命题为真命题可知1+a5≤1,解得a≤4.故a取任一实数均可利用A,B构造出一个真命题,比如这里取a=1,则有真命题“若x>1,则x>25”.B级能力提升1.给出命题“方程x2+ax+1=0没有实数根”,则使该命题为真命题的a的一个值可以是()A.4B.2C.1D.-3解析:C中,当a=1时,Δ=12-4×1×1=-3<0,方程无实根,其余3项中,a 的值使方程均有实根.答案:C2.①若a·b=a·c,则b=c;②若a=(1,k),b=(-2,6),a//b,则k=-3;③非零向量a和b满足|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为60°.其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号).解析:取a=0,满足a·b=a·c,但不一定有b=c,故①不正确;当a=(1,k),b=(-2,6),a//b时,6+2k=0,所以k=-3,则②正确;非零向量a和b满足|a|=|b|=|a-b|时,|a|,|b|,|a-b|构成等边三角形,所以a与a +b的夹角为30°,因此③错误.答案:②3.把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断真假.(1)乘积为1的两个实数互为倒数;(2)奇函数的图象关于原点对称;(3)与同一直线平行的两个平面平行.解:(1)“若两个实数乘积为1,则这两个实数互为倒数”,它是真命题.(2)“若一个函数为奇函数,则它的图象关于原点对称”.它是真命题.(3)“若两个平面与同一条直线平行,则这两个平面平行”.它是假命题,这两个平面也可能相交.第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系A级基础巩固一、选择题1.命题“对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形的对角线相等”的()A.逆命题B.否命题C.逆否命题D.无关命题解析:将命题“对角线相等的四边形是矩形”写成“若p,则q”的形式为:“若一个四边形的对角线相等,则这个四边形是矩形”.而将命题“矩形的对角线相等”写成“若p,则q”的形式为:“若一个四边形是矩形,则四边形的对角线相等”.则前一个命题为后一个命题的逆命题.答案:A2.已知a,b,c∈R,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2≥3”的否命题是() A.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<3B.若a+b+c=3,则a2+b2+c2<3C.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2≥3D.若a+b+c≥3,则a2+b2+c2=3解析:否定条件,得a+b+c≠3,否定结论,得a2+b2+c2<3.所以否命题是“若a +b+c≠3,则a2+b2+c2<3”.答案:A3.与命题“能被6整除的整数,一定能被3整除”等价的命题是()A.能被3整除的整数,一定能被6整除B.不能被3整除的整数,一定不能被6整除C.不能被6整除的整数,一定不能被3整除D.不能被6整除的整数,不一定能被3整除解析:原命题与它的逆否命题是等价命题,原命题的逆否命题是:不能被3整除的整数,一定不能被6整除.答案:B4.下列说法:①原命题为真,它的否命题为假;②原命题为真,它的逆命题不一定为真;③一个命题的逆命题为真,它的否命题一定为真;④一个命题的逆否命题为真,它的否命题一定为真.其中正确的是()A.①②B.②③C.③④D.②③④解析:互为逆否命题的两个命题同真假,互为否命题和逆命题的两个命题,它们的真假性没有关系.答案:B5.有下列四种命题:①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的否命题;②“若x>y,则x2>y2”的逆否命题;③“若x≤3,则x2-x-6>0”的否命题;④“对顶角相等”的逆命题.其中真命题的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3解析:(1)原命题的否命题与其逆命题有相同的真假性,其逆命题为“若x,y互为相反数,则x +y =0”,为真命题;(2)原命题与其逆否命题具有相同的真假性.而原命题为假命题(如x =0,y =-1),故其逆否命题为假命题;(3)该命题的否命题为“若x >3,则x 2-x -6≤0”,很明显为假命题;(4)该命题的逆命题是“相等的角是对顶角”,显然是假命题.答案:B 二、填空题6.命题“若x 2<4,则-2<x <2”的逆否命题为_______________,是______________(填“真”或“假”)命题.解析:命题“若x 2<4,则-2<x <2”的逆否命题为“若x ≥2或x ≤-2,则x 2≥4”,因为原命题是真命题,所以其逆否命题也是真命题.答案:若x ≥2或x ≤-2,则x 2≥4 真7.命题“当AB =AC 时,△ABC 是等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题有________个.解析:原命题“当AB =AC 时,△ABC 是等腰三角形”是真命题,且互为逆否命题等价,故其逆否命题为真命题.其逆命题“若△ABC 是等腰三角形,则AB =AC ”是假命题,则否命题是假命题.则4个命题中有2个是真命题.答案:28.设有两个命题:①不等式mx 2+1>0的解集是R ;②函数f (x )=log m x 是减函数.如果这两个命题中有且只有一个是真命题,则实数m 的取值范围是________.解析:①当m =0时,mx 2+1=1>0恒成立,解集为R.当m ≠0时,若mx 2+1>0的解集为R ,必有m >0. 综上知,不等式mx 2+1>0的解集为R ,必有m ≥0.②当0<m <1时,f (x )=log m x 是减函数,当两个命题中有且只有一个真命题时⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0,m ≤0或m ≥1或⎩⎪⎨⎪⎧m <0,0<m <1,所以 m =0或m ≥1. 答案:m =0或m ≥1三、解答题9.写出命题“在△ABC 中,若a >b ,则A >B ”的逆命题、否命题和逆否命题,并判断它们的真假.解:(1)逆命题:在△ABC 中,若A >B ,则a >b 为真命题.否命题:在△ABC 中,若a ≤b ,则A ≤B 为真命题.逆否命题:在△ABC 中,若A ≤B ,则a ≤b 为真命题.10.判断命题“已知a ,x 为实数,若关于x 的不等式x 2+(2a +1)x +a 2+2>0的解集是R ,则a <74”的逆否命题的真假.解:先判断原命题的真假如下:因为a ,x 为实数,关于x 的不等式x 2+(2a +1)x +a 2+2>0的解集为R ,且抛物线y =x 2+(2a +1)x +a 2+2的开口向上,所以Δ=(2a +1)2-4(a 2+2)=4a -7<0.所以a <74.所以原命题是真命题.因为互为逆否命题的两个命题同真同假,所以原命题的逆否命题为真命题.B 级 能力提升1.若命题p 的逆命题是q ,命题q 的否命题是m ,则m 是p 的( ) A .原命题 B .逆命题 C .否命题D .逆否命题解析:设命题p 为“若k ,则l ”,则命题q 为“若l ,则k ”,从而命题m 为“若非l ,则非k ”,即命题m 是命题p 的逆否命题.答案:D2.给出命题:若函数y =f (x )是幂函数,则函数y =f (x )的图象不过第四象限,在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,为真命题的是________.解析:由于原命题为真命题,则其逆否命题也为真命题.其否命题:若函数y =f (x )不是幂函数,则y =f (x )的图象过第四象限,为假命题,从而原命题的逆命题也是假命题.答案:逆否命题3.已知p :x 2+mx +1=0有两个不等的负根,q :4x 2+4(m -2)x +1=0无实数根.若p ,q 一真一假,求m 的取值范围.解:当p 为真时,即方程x 2+mx +1=0有两个不等的负根,设两个负根为x 1,x 2,则有⎩⎪⎨⎪⎧m 2-4>0,x 1+x 2=-m <0,解得m >2.当q 为真时,即方程4x 2+4(m -2)x +1=0无实数根,则有16(m -2)2-4×4×1<0,解得1<m <3.若p 真,q 假,则⎩⎪⎨⎪⎧m >2,m ≤1或m ≥3,得m ∈[3,+∞);若p 假,q 真,则⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2,1<m <3,得m ∈(1,2].综上所述,m 的取值范围是(1,2]∪[3,+∞).第一章 常用逻辑用语 1.2 充分条件与必要条件A 级 基础巩固一、选择题1.“α=π6”是“cos 2α=12”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:由cos 2α=12,可得α=k π±π6(k ∈Z),故选A.答案:A2.(2016·天津卷)设x >0,y ∈R ,则“x >y ”是“x >|y |”的( ) A .充要条件 B .充分而不必要条件 C .必要而不充分条件 D .既不充分也不必要条件解析:当x =1,y =-2时,x >y ,但x >|y |不成立; 若x >|y |,因为|y |≥y ,所以x >y . 所以x >y 是x >|y |的必要而不充分条件. 答案:C3.x 2<4的必要不充分条件是( ) A .0<x ≤2 B .-2<x <0 C .-2≤x ≤2D .1<x <3解析:x2<4即-2<x<2,因为-2<x<2能推出-2≤x≤2,而-2≤x≤2不能推出-2<x<2,所以x2<4的必要不充分条件是-2≤x≤2.答案:C4.(2016·山东卷)已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:由题意知a⊂α,b⊂β,若a,b相交,则a,b有公共点,从而α,β有公共点,可得出α,β相交;反之,若α,β相交,则a,b的位置关系可能为平行、相交或异面.因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件.故选A.答案:A5.函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是()A.m=2 B.m=-2C.m=-1 D.m=1解析:当m=-2时,f(x)=x2-2x+1,其图象关于直线x=1对称,反之也成立,所以函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是m=-2.答案:B二、填空题6.设a,b是实数,则“a+b>0”是“ab>0”的_____________条件.解析:若a+b>0,取a=3,b=-2,则ab>0不成立;反之,若a=-2,b=-3,则a+b>0也不成立,因此“a+b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要条件.答案:既不充分也不必要条件7.关于x 的不等式|2x -3|>a 的解集为R 的充要条件是________. 解析:由题意知|2x -3|>a 恒成立. 因为|2x -3|≥0,所以 a <0. 答案:a <08.对任意实数a ,b ,c ,给出下列命题: ①“a =b ”是“ac =bc ”的充要条件;②“b -2是无理数”是“b 是无理数”的充要条件; ③“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件; ④“a <5”是“a <3”的必要条件. 其中真命题的序号是________. 解析:①中由“a =b ”可得ac =bc ,但由“ac =bc ”得不到“a =b ”,所以不是充要条件; ②是真命题;③中a >b 时,a 2>b 2不一定成立,所以③是假命题; ④中由“a <5”得不到“a <3”, 但由“a <3”可以得出“a <5”,所以“a <5”是“a <3”的必要条件,是真命题. 答案:②④ 三、解答题9.已知p :-4<x -a <4,q :(x -2)(x -3)<0,且q 是p 的充分而不必要条件,试求a 的取值范围.解:设q ,p 表示的范围为集合A ,B ,则A =(2,3),B =(a -4,a +4).由于q 是p 的充分而不必要要件,则有AB ,即⎩⎪⎨⎪⎧a -4≤2,a +4>3或⎩⎪⎨⎪⎧a -4<2,a +4≥3,解得-1≤a ≤6.10.求证:关于x 的方程ax 2+bx +c =0有一个根为1的充要条件是a +b +c =0.证明:必要性:因为方程ax 2+bx +c =0有一个根为1, 所以x =1满足方程ax 2+bx +c =0,即a +b +c =0. 充分性:因为a +b +c =0,所以c =-a -b , 代入方程ax 2+bx +c =0中可得ax 2+bx -a -b =0, 即(x -1)(ax +a +b )=0.故方程ax 2+bx +c =0有一个根为1.所以关于x 的方程ax 2+bx +c =0有一个根为1的充要条件是a +b +c =0.B 级 能力提升1.m =12是直线(m +2)x +3my +1=0与直线(m -2)x +(m +2)y -3=0相互垂直的( )A .充要条件B .充分不必要条件C .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件解析:当m =12时,两直线为52x +32y +1=0和-32x +52y -3=0,两直线斜率之积为-1,两直线垂直;而当两直线垂直时,(m +2)(m -2)+3m (m +2)=0,即2(m +2)(2m -1)=0,所以 m =-2或m = 12.所以 为充分不必要条件.答案:B2.已知p :不等式x 2+2x +m >0的解集为R ;q :指数函数f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫m +14x为增函数,则p 是q 成立的________条件.解析:p :不等式x 2+2x +m >0的解集为R ,即Δ=4-4m <0,m >1;q :指数函数f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫m +14x 为增函数,即m +14>1,m >34,则p 是q 成立的充分不必要条件.答案:充分不必要3.已知p :-2≤x ≤10,q :x 2-2x +1-m 2≤0(m >0),若綈p 是綈q 的充分不必要条件.求实数m 的取值范围.解:p :-2≤x ≤10.q :x 2-2x +1-m 2≤0(m >0)⇔[x -(1-m )][x -(1+m )]≤0(m >0)⇔1-m ≤x ≤1+m (m >0).因为綈p 是綈q 的充分不必要条件,所以q 是p 的充分不必要条件,即{}x |1-m ≤x ≤1+m {}x |-2≤x ≤10,故有⎩⎪⎨⎪⎧1-m ≥-2,1+m <-10或⎩⎪⎨⎪⎧1-m >-2,1+m ≤10,解得m ≤3.又m >0,所以实数m 的取值范围为{}m |0<m ≤3. 本题还可用以下方法求解.因为p :-2≤x ≤10,所以綈p :x <-2或x >10.q :x 2-2x +1-m 2≤0(m >0)⇔[x -(1-m )][x -(1+m )]≤0(m >0)⇔1-m ≤x ≤1+m (m >0),綈q :x <1-m 或x >1+m (m >0).因为綈p 是綈q 的充分不必要条件,所以{}x |x <-2或x >10{}x |x <1-m 或x >1+m ,故有⎩⎪⎨⎪⎧1-m ≥-2,1+m <10或⎩⎪⎨⎪⎧1-m >-2,1+m ≤10,解得m ≤3.又m >0,所以实数m 的取值范围为{}m |0<m ≤3.第一章常用逻辑用语1.3 简单的逻辑联结词A级基础巩固一、选择题1.命题“2是3的约数或2是4的约数”中,使用的逻辑联结词的情况是() A.没有使用逻辑联结词B.使用了逻辑联结词“且”C.使用了逻辑联结词“或”D.使用了逻辑联结词“非”答案:C2.若命题“p且q”为假,且綈p为假,则()A.p或q为假B.q假C.q真D.p假解析:綈p为假,则p为真,而p∧q为假,得q为假.答案:B3.下列命题中,既是“p或q”形式的命题,又是真命题的是()A.方程x2-x+2=0的两根是-2,1B.方程x2+x+1=0没有实根C.2n-1(n∈Z)是奇数D.a2+b2≥0(a,b∈R)解析:选项A中,-2,1都不是方程的根;选项B不是“p或q”的形式;选项C 也不是“p或q”的形式;选项D中,a2+b2≥0⇔a2+b2>0或a2+b2=0,且是真命题,故选D.答案:D4.已知p:x∈A∩B,则綈p是()A.x∈A且x∉B B.x∉A或x∉BC.x∉A且x∉B D.x∈A∪B解析:p:x∈A∩B,即x∈A且x∈B,故綈p是x∉A或x∉B.答案:B5.给出命题p:函数y=x2-x-1有两个不同的零点;q:若1x<1,则x>1.那么在下列四个命题中,真命题是()A.(綈p)∨q B.p∧qC.(綈p)∧(綈q) D.(綈p)∨(綈q)解析:对于p,函数对应的方程x2-x-1=0的判别式Δ=(-1)2-4×(-1)=5>0,所以函数有两个不同的零点,故p为真.对于q,当x<0时,不等式1x<1恒成立;当x>0时,不等式的解集为{x|x>1}.故不等式1x<1的解集为{x|x<0或x>1}.故q为假.结合各选项知,只有(綈p)∨(綈q)为真.故选D.答案:D二、填空题6.命题“若a<b,则2a<2b”的否命题是________________,命题的否定是______________.解析:命题“若p,则q”的否命题是“若綈p,则綈q”,命题的否定是“若p,则綈q”.答案:若a≥b,则2a≥2b若a<b,则2a≥2b7.已知命题p :对任意x ∈R ,总有|x |≥0.q :x =1是方程x +2=0的根,则p ∧(綈q )为________命题(填“真”或“假”).解析:命题p 为真命题,命题q 为假命题,所以命题綈q 为真命题,所以p ∧綈q 为真命题.答案:真8.已知p :x 2-x ≥6,q :x ∈Z.若“p ∧q ”“綈q ”都是假命题,则x 的值组成的集合为________.解析:因为“p ∧q ”为假,“綈q ”为假,所以q 为真,p 为假.故⎩⎪⎨⎪⎧x 2-x <6,x ∈Z ,即⎩⎪⎨⎪⎧-2<x <3,x ∈Z.因此,x 的值可以是-1,0,1,2. 答案:{-1,0,1,2} 三、解答题9.写出下列命题的p ∨q ,p ∧q ,綈p 的形式,并判断其真假: (1)p :2是有理数;q :2是实数.(2)p :5不是15的约数;q :5是15的倍数.(3)p :空集是任何集合的子集;q :空集是任何集合的真子集. 解:(1)p ∨q :2是有理数或2是实数,真命题;p ∧q :2是有理数且2是实数,假命题;綈p :2不是有理数,真命题. (2)p ∨q :5不是15的约数或5是15的倍数,假命题; p ∧q :5不是15的约数且5是15的倍数,假命题; 綈p :5是15的约数,真命题.(3)p ∨q :空集是任何集合的子集或空集是任何集合的真子集,真命题; p ∧q :空集是任何集合的子集且空集是任何集合的真子集,假命题;綈p :空集不是任何集合的子集,假命题.10.已知命题p :方程x 2+2x +a =0有实数根;命题q :函数f (x )=(a 2-a )x 在R 上是增函数.若p ∧q 为真命题,求实数a 的取值范围.解:当p 是真命题时,Δ=4-4a ≥0,解得a ≤1.当q 是真命题时,a 2-a >0,解得a <0或a >1.由题意,得p ,q 都是真命题,所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1,a <0或a >1,解得a <0,所以实数a 的取值范围是(-∞,0).B 级 能力提升1.给定命题p :若x 2≥0,则x ≥0;命题q :已知非零向量a ,b ,则“a ⊥b ”是“| a -b |=| a +b |”的充要条件,则下列各命题中,假命题是( )A .p ∨qB .(綈p )∨qC .(綈p )∧qD .(綈p )∧(綈q )解析:命题p 为假命题,命题q 为真命题,所以綈p 是真命题,綈q 为假命题,所以(綈p )∧(綈q )为假命题.答案:D2.给出下列结论:(1)当p 是真命题时,“p 且q ”一定是真命题; (2)当p 是假命题时,“p 且q ”一定是假命题; (3)当“p 且q ”是假命题时,p 一定是假命题; (4)当“p 且q ”是真命题时,p 一定是真命题. 其中正确结论的序号是________.解析:(1)错误,当q 是假命题时,“p 且q ”是假命题,当q 也是真命题时,“p 且q ”是真命题;(2)正确;(3)错误,p 也可能是真命题;(4)正确.答案:(2)(4)3.已知a >0,设p :函数y =a x 在R 上单调递减;q :不等式x +|x -2a |>1的解集为R ,如果“p ∨q ”为真,“p ∧q ”为假,求实数a 的取值范围.解:对于命题p :函数y =a x 在R 上单调递减,即0<a <1.对于命题q :不等式x +|x -2a |>1的解集为R ,即函数y =x +|x -2a |在R 上恒大于1,又y =⎩⎪⎨⎪⎧2x -2a ,x ≥2a ,2a ,x <2a ,所以 y min =2a >1,即a >12.由p ∨q 为真,p ∧q 为假,根据复合命题真值表知p 、q 一真一假.如果p 真q 假,则0<a ≤12;如果p 假q 真,则a ≥1.综上所述,a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0,12∪[1,+∞).第一章 常用逻辑用语 1.4 全称量词与存在量词A 级 基础巩固一、选择题1.以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( ) A .锐角三角形的内角是锐角或钝角 B .至少有一个实数x ,使x 2≤0 C .两个无理数的和必是无理数 D .存在一个负数x ,使1x>2解析:A 中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题;B 中x =0时,x 2=0,所以B 既是特称命题又是真命题;C 中因为3+(-3)=0,所以C 是假命题;D 中对于任一个负数x ,都有1x<0,所以D 是假命题.答案:B2.命题“∀x ∈R ,x 2≠x ”的否定是( ) A .∀x ∉R ,x 2≠x B .∀x ∈R ,x 2=x C .∃x ∉R ,x 2≠xD .∃x ∈R ,x 2=x解析:全称命题的否定是特称命题,所以命题“∀x ∈R ,x 2≠x ”的否定是“∃x ∈R ,x 2=x ”.答案:D3.下列特称命题中假命题的个数是( ) ①有一条直线与两个平行平面垂直; ②有一条直线与两个相交平面平行; ③存在两条相交直线与同一个平面垂直.A .0B .1C .2D .3 解析:①②都是真命题,③是假命题. 答案:B4.设函数f (x )=x 2+mx (m ∈R),则下列命题中的真命题是( ) A .任意m ∈R ,使y =f (x )都是奇函数 B .存在m ∈R ,使y =f (x )是奇函数 C .任意m ∈R ,使x =f (x )都是偶函数 D .存在m ∈R ,使y =f (x )是偶函数解析:当m =0时,f (x )=x 2为偶函数,故选D. 答案:D5.若⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2-2ax <33x +a 2恒成立,则实数a 的取值范围是( )A .0<a <1B .a >34C .0<a <34D .a <34解析:由题意,得-x 2+2ax <3x +a 2,即x 2+(3-2a )x +a 2>0恒成立,所以Δ=(3-2a )2-4a 2<0,解得a >34.答案:B 二、填空题6.命题“∃x 0,y 0∈Z ,3x 0-2y 0=10”的否定是______________. 解析:特称命题的否定是全称命题,则否定为∀x ,y ∈Z ,3x -2y ≠10. 答案:∀x ,y ∈Z ,3x -2y ≠107.下列命题中,是全称命题的是________;是特称命题的是________. ①正方形的四条边相等;②有两个角相等的三角形是等腰三角形;③正数的平方根不等于0;④至少有一个正整数是偶数.解析:①可表述为“每一个正方形的四条边相等”,是全称命题;②是全称命题,即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”;③可表述为“所有正数的平方根不等于0”是全称命题;④是特称命题.答案:①②③④8.下面四个命题:①∀x∈R,x2-3x+2>0恒成立;②∃x0∈Q,x20=2;③∃x0∈R,x20+1=0;④∀x∈R,4x2>2x-1+3x2.其中真命题的个数为________.解析:x2-3x+2>0,Δ=(-3)2-4×2>0,所以当x>2或x<1时,x2-3x+2>0才成立,所以①为假命题.当且仅当x=±2时,x2=2,所以不存在x∈Q,使得x2=2,所以②为假命题.对∀x∈R,x2+1≠0,所以③为假命题.4x2-(2x-1+3x2)=x2-2x+1=(x-1)2≥0,即当x=1时,4x2=2x-1+3x2成立,所以④为假命题.所以①②③④均为假命题.答案:0三、解答题9.判断下列各命题的真假,并写出命题的否定.(1)有一个实数a,使不等式x2-(a+1)x+a>0恒成立;(2)对任意实数x,不等式|x+2|≤0恒成立;(3)在实数范围内,有些一元二次方程无解.解:(1)方程x2-(a+1)x+a=0的判别式Δ=(a+1)2-4a=(a-1)2≥0,则不存在实数a,使不等式x2-(a+1)x+a>0恒成立,所以原命题为假命题.它的否定:对任意实数a,不等式x2-(a+1)x+a>0不恒成立.(2)当x=1时,|x+2|>0,所以原命题是假命题.它的否定:存在实数x,使不等式|x+2|>0成立.(3)由一元二次方程解的情况,知该命题为真命题. 它的否定:在实数范围内,所有的一元二次方程都有解.10.对于任意实数x ,不等式sin x +cos x >m 恒成立,求实数m 的取值范围. 解:令y =sin x +cos x ,则y =sin x +cos x =2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin x +22cos x =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π4.因为-1≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x +π4≤1,所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π4≥- 2. 因为∀x ∈R ,sin x +cos x >m 恒成立, 所以只要m <-2即可.故实数m 的取值范围是(-∞,-2).B 级 能力提升1.若命题p :∀x ∈R ,log 2x >0,命题q :∃x 0∈R ,2x 0<0,则下列命题为真命题的是( )A .p ∨qB .p ∧qC .(綈p )∧qD .p ∨(綈q )解析:命题p :∀x ∈R ,log 2x >0为假命题,命题q :∃x 0∈R ,2x 0<0为假命题,所以p ∨(綈q )为真命题,故选D.答案:D2.已知命题“∃x 0∈R ,2x 20+(a -1)x 0+12≤0”是假命题,则实数a 的取值范围是________.解析:由题意可得“对∀x ∈R ,2x 2+(a -1)x +12>0恒成立”是真命题,令Δ=(a-1)2-4<0,得-1<a <3.答案:(-1,3)3.已知命题p :“∀x ∈[1,2],x 2-a ≥0”,命题q :“∃x 0∈R ,x 20+2ax 0+a +2=0”,若命题“p或q”是真命题,求实数a的取值范围.解:p⇔a≤(x2)min=1.q⇔Δ=4a2-4(a+2)≥0⇔a≤-1或a≥2.因为“p或q”为真命题,所以p、q中至少有一个真命题.所以a≤1或a≤-1或a≥2,所以a≤1或a≥2.所以“p或q”是真命题时,实数a的取值范围是(-∞,1]∪[2,+∞).章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1.命题及其关系的关注点(1)命题的四种形式的转换方法是首先确定原命题的条件和结论,然后对条件与结论进行交换、否定,就可以得到各种形式的命题.(2)命题真假的判断,可根据真(假)命题的定义直接推理判断,还可以根据互为逆否命题具有相同的真假性来判断.2.充分条件与必要条件的注意点(1)在判定充分条件、必要条件时,要注意既要看由p能否推出q,又要看由q能否推出p,不能顾此失彼.(2)证明充要条件要分两个方面,防止将充分条件和必要条件的证明弄混.3.简单的逻辑联结词的两个关注点(1)正确理解“或”的意义,日常用语中的“或”有两类用法:其一是“不可兼”的“或”;其二是“可兼”的“或”,我们这里仅研究“可兼”的“或”.(2)有的命题中省略了“且”“或”,要正确区分.4.否命题与命题的否定的注意点否命题与命题的否定的区别.对于命题“若p,则q”,其否命题形式为“若綈p,则綈q”,其否定为“若p,则綈q”,即否命题是将条件、结论同时否定,而命题的否定是只否定结论.有时一个命题的叙述方式是简略式,此时应先分清条件p,结论q,改写成“若p,则q”的形式再判断.专题1命题及其关系对于命题正误的判断是高考的热点之一,应重点关注,命题正误的判断涉及各章节的内容,覆盖面宽,也是高考的易失分点.命题正误的判断方法是:真命题要有依据或者给以论证;假命题只需举出一个反例即可.[例1](1)(2015·广东卷)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l 是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是()A.l与l1,l2都不相交B.l与l1,l2都相交C.l至多与l1,l2中的一条相交D.l至少与l1,l2中的一条相交(2)已知原命题“菱形的对角线互相垂直”,则对它的逆命题、否命题、逆否命题的真假判断正确的是()A .逆命题、否命题、逆否命题都为真B .逆命题为真,否命题、逆否命题为假C .逆命题为假,否命题、逆否命题为真D .逆命题、否命题为假,逆否命题为真解析:(1)法一:如图1,l 1和l 2是异面直线,l 1与l 平行,l 2与l 相交,故A ,B 不正确;如图2,l 1与l 2是异面直线,l 1,l 2都与l 相交,故C 不正确,选D.图1 图2法二:因为l 分别与l 1,l 2共面,故l 与l 1,l 2要么都不相交,要么至少与l 1,l 2中的一条相交.若l 与l 1,l 2都不相交,则l ∥l 1,l ∥l 2,从而l 1∥l 2,与l 1,l 2是异面直线矛盾,故l 至少与l 1,l 2中的一条相交,选D.(2)因为原命题“菱形的对角线互相垂直”是真命题,所以它的逆否命题为真;其逆命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”显然是假命题,所以原命题的否命题也是假命题.答案:(1)D (2)D 归纳升华1.判断一个命题是真命题还是假命题,关键是看能否由命题的条件推出命题的结论,若能推出,则是真命题,否则为假命题.2.还可根据命题的四种形式之间的真假关系进行判断,即当一个命题的真假不易判断时,可以先把它转换成与它等价的命题(逆否命题),再进行判断.[变式训练] 给出下面三个命题:①函数y =tan x 在第一象限内是增函数;②奇函数的图象一定过原点;③命题“若0<log a b <1,则a >b >1”的逆命题.其中是真命题的是________(填序号).解析:①是假命题,反例:x =2π+π6和π4,tan ⎝⎛⎭⎪⎫2π+π6=33,tan π4=1,2π+π6>π4,但tan ⎝⎛⎭⎪⎫2π+π6<tan π4;②是假命题,反例:y =1x 是奇函数,但它的图象不过原点;③是“若a >b >1,则0<log a b <1”,由对数函数的图象及其单调性可知是真命题.答案:③专题2 充分条件与必要条件的判定充分条件与必要条件的判定是高考考查的热点内容,在高考试题中主要以选择题的形式出现.解决此类问题的关键是充分利用充分条件、必要条件与充要条件的定义,同时,丰富的数学基础知识是做好此类题目的前提.[例2] (1)若向量a =(x ,3)(x ∈R),则“|a|=5”是“x =4”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件(2)已知条件p :x +y ≠-2,条件q :x ≠-1或y ≠-1,则p 是q 的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:(1)|a|=x 2+32=5得x =4或x =-4.反之当x =4时,|a|=42+32=5,故“|a|=5”是“x =4”的必要不充分条件.(2)由逆否命题:若綈q ,则綈p ,则x =-1=y ⇒x +y =-2正确,但x +y =-2 x =y =-1,即綈q 是綈p 的充分不必要条件.答案:(1)B (2)A 归纳升华判断充分条件和必要条件的方法1.定义法:根据充分条件和必要条件的定义直接判断.如本例中(1).2.集合法:运用集合思想判断充分条件和必要条件也是一种很有效的方法,主要是。
2018-2019标准试卷(含答案)高一(上)12月调考数学试卷一、填空题(共14小题,每小题5分,满分70分)1. 已知集合,,,则________.2. 计算________.3. 已知函数,则()________.4. 函数且的图象经过的定点坐标是________.5. 已知向量,,,与平行,则实数________.6. 幂函数的图象过点,则的解析式为________.7. 函数的定义域是________.8. 如图,中,,,设,,则________.9. 若方程的解所在的区间是,则整数________.10. 如图,过原点的直线与函数的图象交于,两点,过作轴的垂线交函数的图象于,若轴,则点的坐标为________.11. 已知函数,则如下结论:①函数的最小正周期为;②函数在上的值域为;③函数在上是减函数;④函数的图象向左平移个单位得到函数的图象,其中正确的是________(写出所有正确的序号)12. 已知奇函数的图象关于直线对称,当时,,则________.13. 如图,已知、是函数的图象与轴两相邻交点,是图象上,之间的最低点,则________.14. 关于的方程有个不相等的实根,则实数的范围为________.二、解答题(共6小题,满分80分)15. 已知集合,,,.求;;如果,求实数的范围.16. 如图,在平面直角坐标系中,以轴为始边作两锐角,,它们终边分别与单位圆交于,两点,且,横坐标分别为.求求的值.17. 已知,,.若,求;若,且,求,夹角的大小.18. 城市内环高架能改善整个城市的交通状况,在一般情况下,高架上的车流速度(单位:千米/小时)是车流密度(单位:辆/千米)的函数.当高架上的车流密度达到辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为;当车流密度不超过辆/千米时,车流速度为千米/小时.研究表明:当时,车流速度是车流密度的一次函数.当时,求车流速度关于车流密度的函数解析式;若车流速度不低于千米/小时,求车流密度为多大时,车流量(单位时间内通过高架桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时,车流量车流密度车流速度)可以达到最大,并求出最大值.19. 已知函数在区间上有最大值和最小值,设.求,的值;判断函数在上的单调性,并证明你的结论;若不等式在上有解,求实数的取值范围.20. 已知函数.若函数在上有意义,求实数的取值范围;若函数在上单调递减,求实数的取值范围;若对于区间内任意两个相异实数,,总有成立,求实数的取值范围.答案1. 【答案】{5}【解析】由题意集合U={1, 2, 3, 4, 5},A={1, 2},B={3, 4},根据并集的定义得A∪B={1, 2, 3, 4},然后由补集的定义计算∁U(A∪B).【解答】解:∵集合U={1, 2, 3, 4, 5},A={1, 2},B={3, 4},∴A∪B={1, 2, 3, 4}∴∁U(A∪B)={5},故答案为:{5}.2. 【答案】−32【解析】原式中的角度变形后,利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可.【解答】解:cos210∘=cos(180∘+30∘)=−cos30∘=−32,故答案为:−323. 【答案】12【解析】利用分段函数的性质求解.【解答】解:∵函数f(x)=3x,x≥0 x2,x<0,∴f(−2)=(−2)2=4,∴f(f(−2))=f(4)=3×4=12.故答案为:12.4. 【答案】(−2, 4)【解析】根据函数y=a x,(a>0且a≠1)的图象经过的定点坐标是(0, 1),利用平移可得答案.【解答】解:∵函数y=a x,(a>0且a≠1)的图象经过的定点坐标是(0, 1),∴函数y=a x的图象经过向左平移2个单位,向上平移3个单位,∴函数y=a x+2+3(a>0且a≠1)的图象经过(−2, 4),故答案为:(−2, 4),5. 【答案】2【解析】利用已知条件表示出2a →−b →与c →,通过两个向量的平行充要条件,列出方程求解即可.【解答】解:向量a →=( 3, 1),b →=(0, −1),c →=(k , 3), ∴2a →−b →=(2 3, 3). ∵2a →−b →与c →平行, ∴3k =2 3⋅ 3. ∴k =2.故答案为:2. 6. 【答案】y =x −3【解析】设幂函数解析式为y =x α,代入点(−2, −18)求参数α即可.【解答】解:函数f (x )为幂函数,设为y =x α,又点(−2, −18)在函数图象上,有(−2)α=−18,解得α=−3,则函数解析式为y =x −3. 故答案为:y =x −3. 7. 【答案】(32, 2]【解析】根据函数的解析式知,二次根式的被开方数大于或等于0,对数的真数大于0,列出不等式(组),求出x 的取值范围. 【解答】解:∵f (x )= log 12(2x −3),∴log 12(2x −3)≥0, ∴0<2x −3≤1; ∴3<2x ≤4, ∴32<x ≤2;∴f (x )的定义域为(32, 2]. 故答案为:(32, 2]. 8. 【答案】13a →+23b →【解析】由∵△ABC 中,AE →=2EB →,BD →=2DC →,利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则,可得DE →=DB →+BE →=23CB →+13BA →=23(AB →−AC →)−13AB →=13AB →+23AC →,进而得到答案.【解答】解:∵△ABC 中,AE →=2EB →,BD →=2DC →,AB →=a →,AC →=b →,∴DE →=DB →+BE →=23CB →+13BA →=23(AB →−AC →)−13AB →=13AB →+23AC →=13a →+23b →.故答案为:13a →+23b →9. 【答案】−2【解析】令f (x )=(12)x −2x −6在区间是(k , k +1)上有唯一零点,可得f (k )f (k +1)<0,从而求得k 的值.【解答】解:令f (x )=(12)x −2x −6,根据方程(12)x −2x =6的解所在的区间是(k , k +1),f (x )在(k , k +1)上单调第减,可得f (x )=(12)x −2x −6在区间是(k , k +1)上有唯一零点,故有f (k )f (k +1)<0. 再根据f (−2)=2>0,f (−1)=−2<0,可得k =−2,故答案为:−2. 10. 【答案】(−1, 2)【解析】先设A (n , 2−n ),B (m , 2−m ),则由过B 作y 轴的垂线交函数y =(14)x 的图象于点C 写出点C 的坐标,再依据AC 平行于y 轴得出m ,n 之间的关系:n =m2,最后根据A ,B ,O 三点共线.利用斜率相等即可求得点A 的坐标. 【解答】解:设A (n , 2−n ),B (m , 2−m ), 由4−x =2−m =2−2x ,即m =2x , 解得x =m 2,即C (m2, 2−m ). ∵AC 平行于y 轴, ∴n =m2,m =2n , ∴A (m2, 2−n ),B (m , 2−m ), 又A ,B ,O 三点共线. ∴k OA =k OB , ∴2−nm 2=2−m m,∴n =m +1. ∴m2=m +1,解得m=−2,∴n=−1,∴故点A的坐标是(−1, 2)故答案为:(−1, 2)11. 【答案】①③【解析】①根据三角函数的周期公式进行判断②根据三角函数的单调性和最值进行判断③根据函数的单调性进行判断④根据函数关系进行判断..【解答】解:①函数的周期T=2π2=π,故①正确.②当π6<x<5π12时,π6<2x−π6<2π3,则sinπ6<sin(2x−π6)≤sinπ2,即12<sin(2x−π6)≤1,故f(x)在[π6, 5π12]上的值域为(12, 1],故②错误;③当π3<x<7π12时,π2<2x−π6<π,此时函数f(x)=2sin(2x−π6)单调递减,故③正确;④y=f(x)的图象向左平移π6个单位可以得到y=2sin[2(x+π6)−π6]=2sin(2x+π6),则不能得到y=2sin2x的图象,故④错误.故正确的是①③,故答案为:①③12. 【答案】−2【解析】先由图象关于直线x=−2对称得f(−4−x)=f(x),再与奇函数条件结合起来,有f(x+8)=f(x),得f(x)是以8为周期的周期函数,从而f(−9)=−f(1),从而求出所求.【解答】解;∵图象关于直线x=−2对称∴f(−4−x)=f(x)∵f(x)是奇函数∴f(−x)=−f(x)f(4+x)=−f(x+4)=f(x)∴f(x+8)=f(x)∴f(x)是以8为周期的周期函数.f(−9)=−f(1)=−2故答案为:−213. 【答案】π28【解析】由条件求出|AB|、|AC|的值,再求出cos∠CAB=|AB|2|AC|,再根据两个向量的数量积的定义求出AB→⋅AC→=|AB|⋅|AC|⋅cos∠CAB的值.【解答】解:由题意可得|AB|=12⋅2π2=π2,点C的纵坐标为−3,故|AC|=(π4)2+(−3)2=π216+9,且cos∠CAB=|AB|2|AC|=|AB|2|AC|,∴AB→⋅AC→=|AB|⋅|AC|⋅cos∠CAB=|AB|22=π28,故答案为π28.14. 【答案】(14, +∞)【解析】由题意易知x=0是方程|x|x+4=kx2的一个根,化方程|x|x+4=kx2为k=1(x+4)|x|;作函数f(x)=1(x+4)|x|的图象,由图象可知关于x的方程|x|x+4=kx2有4个不相等的实根转化为k大于f(x)在(−4, 0)上的最小值,从而利用基本不等式求解.【解答】解:易知x=0是方程|x|x+4=kx2的一个根,当x≠0时,方程|x|x+4=kx2可化为k=1(x+4)|x|;作函数f(x)=1(x+4)|x|的图象如下,则由图象可知,关于x的方程|x|x+4=kx2有4个不相等的实根转化为k大于f(x)在(−4, 0)上的最小值;当x∈(−4, 0)时,f(x)=1(4+x)(−x),∵(4+x)(−x)≤(42)2=4;故1(4+x)(−x)≥14,(当且仅当x=−2时,等号成立)故k>14;故答案为:(14, +∞).15. 【答案】解:(1)A={x|(x+1)(x−2)≤0}={x|−1≤x≤2},B={x|1<(12)x< 16}={x|−4<x<0},则A∩B={x|−1≤x<0},(∁U A)={x|x>2或x<−1},(∁U A)∪B={x|x>2或x< 0}.; (2)C={x|x2+(2a−5)x+a(a−5)≤0}={x|−a≤x≤5−a},若A∩C=A,则A⊆C,则−a≤−15−a≥2,解得1≤a≤3.【解析】(1)根据集合的基本运算即可求A∩B,(∁U A)∪B;; (2)根据集合关系即可得到结论.【解答】解:(1)A={x|(x+1)(x−2)≤0}={x|−1≤x≤2},B={x|1<(12)x< 16}={x|−4<x<0},则A∩B={x|−1≤x<0},(∁U A)={x|x>2或x<−1},(∁U A)∪B={x|x>2或x< 0}.; (2)C={x|x2+(2a−5)x+a(a−5)≤0}={x|−a≤x≤5−a},若A∩C=A,则A⊆C,则−a≤−15−a≥2,解得1≤a≤3.16. 【答案】解:(1)∵单位圆上的点A,B横坐标分别为7210,31010,∴A,B纵坐标分别为210,1010,即A(7210, 210),B(31010, 1010),∴tanα=17,tanβ=13,∴tan∠AOB=tan(β−α)=tanβ−tanα1+tanαtanβ=13−171+1×1=211;; (2)由A与B的坐标,得到sinα=210,cosα=7210,sinβ=1010,cosβ=31010,∴sin2β=2sinβcosβ=35,cos2β=cos2β−sin2β=910−110=45,∴cos(α+2β)=cosαcos2β−sinαsin2β=7210×45−210×35=22,∵tanα=17<1,tan2β=2tanβ1−tan2β=34<1,∴0<α<π4,0<2β<π4,即0<α+2β<π2, 则α+2β=π4.【解析】(1)由单位圆上点A 与B 的横坐标,求出各自的纵坐标,确定出A 与B 坐标,进而求出tan α与tan β的值,所求式子中的角度变形为β−α,利用两角和与差的正切函数公式化简后,将各自的值代入计算即可求出值;; (2)根据A 与B 的坐标,求出sin α,cos α,sin β,cos β的值,确定出cos2β与sin2β的值,利用两角和与差的余弦函数公式化简cos(α+2β),将各自值代入求出cos(α+2β)的值,利用特殊角的三角函数值即可求出α+2β的度数. 【解答】解:(1)∵单位圆上的点A ,B 横坐标分别为7 210,3 1010,∴A ,B 纵坐标分别为 210, 1010,即A (7 210, 210),B (3 1010, 1010), ∴tan α=17,tan β=13,∴tan ∠AOB =tan(β−α)=tan β−tan α1+tan αtan β=13−171+13×17=211;; (2)由A 与B 的坐标,得到sin α= 210,cos α=7 210,sin β= 1010,cos β=3 1010,∴sin2β=2sin βcos β=35,cos2β=cos 2β−sin 2β=910−110=45, ∴cos(α+2β)=cos αcos2β−sin αsin2β=7 210×45− 210×35=22, ∵tan α=17<1,tan2β=2tan β1−tan 2β=34<1, ∴0<α<π4,0<2β<π4,即0<α+2β<π2, 则α+2β=π4.17. 【答案】解:(1)∵(2OA →−OB →)⊥OC →,∴(2OA →−OB →)⋅OC →=0,∴2OA →⋅OC →=OB →⋅OC →, ∴6cos α=3sin α,∴tan α=2, cos2α=cos 2α−sin 2α=1−tan 2α1+tan α=−35.(2)∵|OA →+OC →|= 13,∴(OA →+OC →)2=10+6cos α=13, ∴cos α=12,又α∈(0,π),∴α=π3.OB →⋅OC →=3sin α=32 3,|OB →|=3,|OC →|=1. ∴cos α= 32,α∈[0, π],∴α=π6.;【解析】(1)利用向量垂直与数量积的关系可得2OA →⋅OC →=OB →⋅OC →,再利用向量的坐标运算、三角函数基本关系式、倍角公式即可得出;; (2)利用向量模的计算公式、向量夹角公式即可得出.【解答】解:(1)∵(2OA →−OB →)⊥OC →,∴(2OA →−OB →)⋅OC →=0,∴2OA →⋅OC →=OB →⋅OC →, ∴6cos α=3sin α,∴tan α=2,cos2α=cos 2α−sin 2α=1−tan 2α1+tan α=−35.(2)∵|OA →+OC →|= 13,∴(OA →+OC →)2=10+6cos α=13, ∴cos α=12,又α∈(0,π),∴α=π3.OB →⋅OC →=3sin α=32 3,|OB →|=3,|OC →|=1.∴cos α= 32,α∈[0, π],∴α=π6.;18. 【答案】当x =88时,车流量f (x )可以达到最大,最大值为4400辆.;【解析】(1)当0≤x ≤28时,v =80;当28≤x ≤188时,车流速度v 是车流密度x 的一次函数,利用待定系数法,即可求得函数表达式.; (2)由(1)得:f (x )=v (x )⋅x = 80x ,0≤x ≤28−12x 2+94x ,28≤x ≤188,结合一次函数和二次函数的单调性,求出f (x )的最大值,可得答案.【解答】解:(1)由题意:当0≤x ≤28时,车流速度为80千米/小时,所以v (x )=80; 当28≤x ≤188时,车流速度v 是车流密度x 的一次函数,设v (x )=ax +b . ∵当桥上的车流密度达到188辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0; 当车流密度不超过28辆/千米时,车流速度为80千米/小时, ∴ 188k +b =028k +b =80, ∴a =−12,b =94,故函数v (x )的表达式为v (x )= 80,0≤x ≤28−12x +94,28≤x ≤188;; (2)由(1)得:f (x )=v (x )⋅x = 80x ,0≤x ≤28−12x 2+94x ,28≤x ≤188,当0≤x ≤28时,f (x )为增函数,此时当x =28时,f (x )取最大值2240;当28≤x ≤188时,f (x )的图象为开口朝下,且以直线x =94为对称轴的抛物线, 由−12x +94≥50,故x ≤88,则由28≤x ≤88时,函数为增函数,此时当x =88时,f (x )取最大值4400; 故当x =88时,f (x )取最大值4400;答:当x =88时,车流量f (x )可以达到最大,最大值为4400辆. 19. 【答案】解:(1)g (x )=ax 2−4ax +b (a >0)的图象是开口朝上,且以直线x =2为对称轴的抛物线,故函数g (x )=ax 2−4ax +b (a >0)在区间[0, 1]上为减函数,∵函数g (x )=ax 2−4ax +b (a >0)在区间[0, 1]上有最大值1和最小值−2,∴ g (0)=1g (1)=−2解得a =1,b =1;; (2)由(1)得:g (x )=x 2−4x +1,f (x )=g (x )x=x +1x −4,∴f′(x )=1−1x 2, ∵x ∈(1, +∞), ∴f′(x )>0,∴f (x )在区间(1, +∞)上的单调递增.; (3)不等式f (2x )−k ⋅2x ≥0可化为:2x +12−4−k ⋅2x ≥0,即k ≤1+(12x )2−4⋅(12x ), 令t =12, ∵x ∈[−2, 2], ∴t ∈[14, 4],令 (t )=t 2−4t +1,t ∈[14, 4],∴ (t )∈[−3, 1], ∴k ≤1.故所以k 的取值范围是k ≤1【解析】(1)根据函数g (x )=ax 2−4ax +b (a >0)在区间[0, 1]上为减函数,且有最大值1和最小值−2,故可建立方程组,从而可求a 、b 的值;; (2)利用导数判断并证明f (x )在区间(1, +∞)上的单调递增.; (3)不等式f (2x )−k ⋅2x ≥0可化为:2x +12−4−k ⋅2x ≥0,即k ≤1+(12)2−4⋅(12),利用换元法,结合二次函数的图象和性质,求出1+(12)2−4⋅(12x )的最小值,可得答案.【解答】解:(1)g (x )=ax 2−4ax +b (a >0)的图象是开口朝上,且以直线x =2为对称轴的抛物线,故函数g (x )=ax 2−4ax +b (a >0)在区间[0, 1]上为减函数,∵函数g (x )=ax 2−4ax +b (a >0)在区间[0, 1]上有最大值1和最小值−2, ∴ g (0)=1g (1)=−2解得a =1,b =1;; (2)由(1)得:g (x )=x 2−4x +1,f (x )=g (x )x=x +1x−4,∴f′(x )=1−1x 2, ∵x ∈(1, +∞), ∴f′(x )>0,∴f (x )在区间(1, +∞)上的单调递增.; (3)不等式f (2x )−k ⋅2x ≥0可化为:2x +12x −4−k⋅2x≥0,即k≤1+(12x )2−4⋅(12x),令t=12,∵x∈[−2, 2],∴t∈[14, 4],令 (t)=t2−4t+1,t∈[14, 4],∴ (t)∈[−3, 1],∴k≤1.故所以k的取值范围是k≤120. 【答案】解:(1)若函数y=lg f(x)在[2, 4]上有意义,则x2−mx+m−1>0,对任意的x∈[2, 4]恒成立,即m(x−1)<x2−1对任意的x∈[2, 4]恒成立,即m<x+1对任意的x∈[2, 4]恒成立,∴m<3故实数m的取值范围(−∞, 3)…; (2)令x2−mx+m−1=0,解得x=1或x=m−1当m−1≥1,即m≥2时,函数f(x)在[−1, 0]上恒非负且减,满足条件;当m−1<1,即m<2时,若函数y=|f(x)|在[−1, 0]上单调递减,则m−1≥0或m2≤−1解得m≤−2综上所述:m≤−2或m≥1故实数m的取值范围(−∞, −2]∪[1, +∞)…; (3)若对于区间[2,52]内任意两个相异实数x1,x2,且f(x1)−f(x2)=(x1−x2)(x1+x2−m)|(x1−x2)(x1+x2−m)|≤|x1−x2|(x1≠x2)恒成立,…12分则|m−(x1+x2)|≤1对任意的x1,x2在[2,52]上恒成立.则(x1+x2)−1≤m≤(x1+x2)+1恒成立…∴4≤m≤5故实数m的取值范围为[4, 5]…【解析】(1)若函数y=lg f(x)在[2, 4]上有意义,则x2−mx+m−1>0,对任意的x∈[2, 4]恒成立,即m(x−1)<x2−1对任意的x∈[2, 4]恒成立,即m<x+1对任意的x∈[2, 4]恒成立,进而可得实数m的取值范围;; (2)结合函数y=|f(x)|的图象和性质,由[−1, 0]上单调递减,分类讨论满足条件的实数m的取值范围,最后综合讨论结果,可得答案;; (3)若对于区间[2,52]内任意两个相异实数x1,x2,且f(x1)−f(x2)=(x1−x2)(x1+x2−m)|(x1−x2)(x1+x2−m)|≤|x1−x2|(x1≠x2)恒成立,|m−(x1+x2)|≤1对任意的x1,x2在[2,52]上恒成立,则(x1+x2)−1≤m≤(x1+x2)+1恒成立,进而可得实数m的取值范围.【解答】解:(1)若函数y=lg f(x)在[2, 4]上有意义,则x2−mx+m−1>0,对任意的x∈[2, 4]恒成立,即m(x−1)<x2−1对任意的x∈[2, 4]恒成立,即m<x+1对任意的x∈[2, 4]恒成立,∴m<3故实数m的取值范围(−∞, 3)…; (2)令x2−mx+m−1=0,解得x=1或x=m−1当m−1≥1,即m≥2时,函数f(x)在[−1, 0]上恒非负且减,满足条件;当m−1<1,即m<2时,若函数y=|f(x)|在[−1, 0]上单调递减,≤−1则m−1≥0或m2解得m≤−2综上所述:m≤−2或m≥1]内任意两个相异实数x1,x2,故实数m的取值范围(−∞, −2]∪[1, +∞)…; (3)若对于区间[2,52且f(x1)−f(x2)=(x1−x2)(x1+x2−m)|(x1−x2)(x1+x2−m)|≤|x1−x2|(x1≠x2)恒成立,…12分]上恒成立.则|m−(x1+x2)|≤1对任意的x1,x2在[2,52则(x1+x2)−1≤m≤(x1+x2)+1恒成立…∴4≤m≤5故实数m的取值范围为[4, 5]…。
普通高中2018-2019学年高一数学上学期期末质量监测试题(含解析)一、选择题(共10小题,每小题4分,满分40分)1.已知全集,集合A={1,3,5},集合B={2,4,5},则集合()A. {2,4,5,6}B. {5}C. {1,3,5,6}D. {2,4}【答案】D【解析】【分析】先求出,根据交集定义即可得出结果.【详解】因为A={1,3,5},所以,所以.故选:D.【点睛】本题考查了集合的运算,属基础题.2.已知函数,则的值为()A. 6B. 5C. 1D. 0【答案】A【解析】【分析】由分段函数解析式依次代入求出函数值即可得出结果.【详解】,,,,..故选:A.【点睛】本题考查分段函数函数值的求法,考查学生的解析式的理解辨析能力,属于基础题.3.若幂函数的图象过点,则函数的在其定义域内()A. 先增后减B. 先减后增C. 单调递增D. 单调递减【答案】C【解析】【分析】将代入解析式,即可得出幂函数为,由函数图象和性质即可得出结果.【详解】因为幂函数的图象过点,所以,解得,即幂函数为,由幂函数的图象和性质可知,在定义域内单调递增.故选:C.【点睛】本题考查幂函数的图象和性质,考查学生对知识点的理解能力,属于基础题.4.下列三角函数值为正数的是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】通过诱导公式和三角函数在各象限的符号,依次判断即可得出结果.【详解】;;,2为第二象限角,所以;.故选:D.【点睛】本题考查诱导公式在求三角函数值中的应用,考查三角函数值在各象限的符号,属于基础题.5.在中,点D在BC边上,且BD=2DC,则()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由向量的加减法及平面向量的基本定理,以为基底表示即可.【详解】由向量的加减法可得:.故选:B.【点睛】本题考查平面向量的基本定理,考查向量的加减法,属于基础题.6.已知是第一象限角,那么是()A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第一或第二象限角D. 第一或第三象限角【答案】D【解析】【分析】根据象限角写出的取值范围,讨论即可知在第一或第三象限角【详解】依题意得,则,当时,是第一象限角当时,是第三象限角【点睛】本题主要考查象限角,属于基础题.7.已知,则的大小关系为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由在定义域内为增函数,比较,运用中间量0比较.【详解】在定义域内为增函数,.在定义域内为增函数,.故选:B.【点睛】本题考查指数和对数大小的比较,渗透了直观想象和数学运算素养.采取中间变量法,利用转化与化归思想解题.8.已知单位向量和单位向量夹角为60°,则的值是()A. 0B. 1C. 2D.【答案】A【解析】【分析】先利用平面向量的数量积公式求出,再利用数量积的运算化简将代入,结合单位向量的模为1,即可得结果.【详解】,.故选:A.【点睛】本题考查了定义法求平面向量数量积的运算,属于基础题.9.已知函数,若直线与的图象恰有两个交点,则实数的取值范围是()A. (-2,2)B. (-1,2)C. (1,2)D. (0,2)【答案】C【解析】【分析】化简函数解析式为,做出函数的图象,数形结合可得的取值范围.【详解】因为,所以.由,做出的图象如图所示:直线与的图象恰有两个交点,只需满足有两个解.即即可.故选:C.【点睛】本题主要考查正弦函数的最大值和单调性,函数的图象变换规律,正弦函数的图象特征,体现了转化、数形结合的数学思想,属于中档题.10.已知函数满足,且时,,则的零点个数为()A. 8B. 6C. 4D. 2【答案】B【解析】【分析】由已知可得为周期为2的函数,通过且时,,做出函数图象, 的零点个数即为与图象交点个数,通过数形结合即可得到答案.【详解】因为为周期为2的函数,通过且时,,做出函数图象如图所示:的零点个数即为与图象交点个数,由图象可知共有6个交点.故选:B.【点睛】本题考查函数的图象和性质,考查函数的零点个数问题,考查学生数形结合的能力,属于中档题.二、填空题(共5小题,每小题4分,满分20分)11.__________【答案】2【解析】【分析】根据对数的运算法则,求解即可.【详解】.故答案为:2.【点睛】本题考查对数的运算,属于较易题.12.已知,则的值为__________【答案】【解析】【分析】上下同除以即可求解.【详解】.故答案为:.【点睛】本题考查同角三角函数基本求法,属于基础题.13.已知是定义域在R上的奇函数,且当时,,则_______,_______【答案】 (1). 1 (2). -1【解析】【分析】由已知可求得,由奇函数的性质得,即可求得.【详解】时,, ;由奇函数的性质得,.故答案为:1,-1.【点睛】本题考查函数的奇函数性质,属于简单题.14.已知如下变换:①将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标保持不变;②将图象上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标保持不变;③将图像整体向右平移个单位长度;④将图像整体向右平移个单位长度;⑤将图像整体向左平移个单位长度;⑥将图像整体向左平移个单位长度;要得到函数的图象,只需将函数的图象经过变换____________(填上你认为正确的一种情况即可,注意编号顺序)【答案】②④或③②(填一种即可)【解析】分析】利用三角函数图象变换,可以“先平移,后伸缩”,也可以“先伸缩,后平移”即可得到结论.【详解】经过变换②可得到,再经过变换④可得;或者经过变换③可得到,再经过变换②可得.故答案为: ②④或③②(填一种即可).【点睛】本题考查三角函数图象变换,分辨清“先平移,后伸缩”,还是“先伸缩,后平移”是解题的关键,熟练掌握无论是哪种变换,切记每一个变换总是对x而言,属于中档题.15.已知函数,若在上恒成立,则实数的取值范围为_______【答案】【解析】【分析】转化为,借助函数和的图象研究恒成立时需满足的条件,计算即可得出结果.【详解】即.分类讨论,当时,分别作出和的图象,如图所示:由图可知,若使均满足,只需保证,解得:同理,当时,需保证,解得: .综上,的取值范围是.故答案为:【点睛】本题主要考查指数函数的图象及其应用,考查恒成立时求解参数求值范围问题,难度较难.三、解答题16.已知函数,试判断函数的单调性,并证明.【答案】函数在上单调递增,证明见解析.【解析】分析】根据单调性的定义,利用定义法证明函数的单调性.【详解】因为所以为单调递增函数.证明:设任意,且,则,且,所以函数在上单调递增.【点睛】本题考查函数的单调性的判断与证明,属于基础题,解题时要注意定义法的合理运用.17.在直角坐标系中,已知锐角和的顶点都在坐标原点始边都与x轴非负半轴重合,且终边与单位圆交于点和点,求的值.【答案】【解析】【分析】由锐角和可知均大于0, 和点在单位圆上,即可求得,根据三角函数的定义即可求出对应的三角函数值,由三角函数的和角公式即可得出结果.【详解】因为锐角和终边与单位圆交于点和点,所以.则,,,,所以.【点睛】本题考查利用三角函数的定义,求一个角的三角函数值,考查学生的三角函数定义的理解辨析能力,属于基础题.18.已知.(1)求的值;(2)求的值.【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1)由二倍角公式,已知条件代入即可得出答案;(2)利用三角函数的平方关系和商数关系求出,将展开代入即可.【详解】(1);(2) ,,【点睛】本题考查二倍角的余弦公式,考查同角三角函数的关系,考查正切的和角公式,考查三角函数值的求法,属于基础题.19.某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案:当销售利润不超过10万元时,按销售利润的15%进行奖励;当销售利润超过10万元时,前10万元按销售利润的15%进行奖励,若超出部分为t万元,则超出部分按进行奖励.记奖金为y(单位:万元),销售利润为x(单位:万元).(1)写出奖金y关于销售利润x的关系式;(2)如果业务员小王获得3.5万元的奖金,那么他的销售利润是多少万元?【答案】(1) ;(2)22万元.【解析】【分析】(1)根据奖励方案,可得分段函数;(2)确定,利用函数解析式,即可得到结论.【详解】(1)∵当销售利润不超过10万元时,按销售利润的15%进行奖励;当销售利润超过10万元时,前10万元按销售利润的15%进行奖励,若超出部分为t万元,则超出部分按进行奖励.∴时,;时,∴奖金y关于销售利润x关系式;(2)∴,解得.∴小王的销售利润是22万元.【点睛】本题以实际问题为载体,考查函数模型的构建,考查学生的计算能力,属于中档题.四、阅读与探究(共1小题,满分8分)20.在推导很多三角恒等变换公式时,我们可以利用平面向量的有关知识来研究,在一定程度上可以简化推理过程.如我们就可以利用平面向量来推导两角差的余弦公式:具体过程如下:如图,在平面直角坐标系内作单位圆O,以为始边作角.它们的终边与单位圆O的交点分别为A,B.则由向量数量积的坐标表示,有:设的夹角为θ,则另一方面,由图3.1—3(1)可知,;由图可知,.于是.所以,也有,所以,对于任意角有:()此公式给出了任意角的正弦、余弦值与其差角的余弦值之间的关系,称为差角的余弦公式,简记作.有了公式以后,我们只要知道的值,就可以求得的值了.阅读以上材料,利用下图单位圆及相关数据(图中M是AB的中点),采取类似方法(用其他方法解答正确同等给分)解决下列问题:(1)判断是否正确?(不需要证明)(2)证明:(3)利用以上结论求函数的单调区间.【答案】(1)正确;(2)见解析;(3)单调递增区间为,的单调递减区间为【解析】【分析】(1) 因为对是方向上的单位向量,又且与共线,即可判断出正确;(2)在中, ,又,表示出,的坐标,由纵坐标对应相等化简即可证得结论;即(3)由(2)结论化简可得借助正弦型函数的性质即可求得结果.【详解】(1) 因为对于非零向量是方向上的单位向量,又且与共线,所以正确;(2) 因为M为AB的中点,则,从而在中, ,又,又,,所以,即(3) 因为令,解得:所以的单调递增区间为令,解得:所以的单调递减区间为【点睛】本题考查向量在证明三角恒等式中的应用,考查类比推理,考查正弦型函数的单调性,难度较难.普通高中2018-2019学年高一数学上学期期末质量监测试题(含解析)一、选择题(共10小题,每小题4分,满分40分)1.已知全集,集合A={1,3,5},集合B={2,4,5},则集合()A. {2,4,5,6}B. {5}C. {1,3,5,6}D. {2,4}【答案】D【解析】【分析】先求出,根据交集定义即可得出结果.【详解】因为A={1,3,5},所以,所以.故选:D.【点睛】本题考查了集合的运算,属基础题.2.已知函数,则的值为()A. 6B. 5C. 1D. 0【答案】A【解析】【分析】由分段函数解析式依次代入求出函数值即可得出结果.【详解】,,,,..故选:A.【点睛】本题考查分段函数函数值的求法,考查学生的解析式的理解辨析能力,属于基础题.3.若幂函数的图象过点,则函数的在其定义域内()A. 先增后减B. 先减后增C. 单调递增D. 单调递减【答案】C【解析】【分析】将代入解析式,即可得出幂函数为,由函数图象和性质即可得出结果.【详解】因为幂函数的图象过点,所以,解得,即幂函数为,由幂函数的图象和性质可知,在定义域内单调递增.故选:C.【点睛】本题考查幂函数的图象和性质,考查学生对知识点的理解能力,属于基础题.4.下列三角函数值为正数的是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】通过诱导公式和三角函数在各象限的符号,依次判断即可得出结果.【详解】;;,2为第二象限角,所以;.故选:D.【点睛】本题考查诱导公式在求三角函数值中的应用,考查三角函数值在各象限的符号,属于基础题.5.在中,点D在BC边上,且BD=2DC,则()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由向量的加减法及平面向量的基本定理,以为基底表示即可.【详解】由向量的加减法可得:.故选:B.【点睛】本题考查平面向量的基本定理,考查向量的加减法,属于基础题.6.已知是第一象限角,那么是()A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第一或第二象限角D. 第一或第三象限角【答案】D【解析】【分析】根据象限角写出的取值范围,讨论即可知在第一或第三象限角【详解】依题意得,则,当时,是第一象限角当时,是第三象限角【点睛】本题主要考查象限角,属于基础题.7.已知,则的大小关系为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由在定义域内为增函数,比较,运用中间量0比较.【详解】在定义域内为增函数,.在定义域内为增函数,.故选:B.【点睛】本题考查指数和对数大小的比较,渗透了直观想象和数学运算素养.采取中间变量法,利用转化与化归思想解题.8.已知单位向量和单位向量夹角为60°,则的值是()A. 0B. 1C. 2D.【答案】A【解析】【分析】先利用平面向量的数量积公式求出,再利用数量积的运算化简将代入,结合单位向量的模为1,即可得结果.【详解】,.故选:A.【点睛】本题考查了定义法求平面向量数量积的运算,属于基础题.9.已知函数,若直线与的图象恰有两个交点,则实数的取值范围是()A. (-2,2)B. (-1,2)C. (1,2)D. (0,2)【答案】C【解析】【分析】化简函数解析式为,做出函数的图象,数形结合可得的取值范围.【详解】因为,所以.由,做出的图象如图所示:直线与的图象恰有两个交点,只需满足有两个解.即即可.故选:C.【点睛】本题主要考查正弦函数的最大值和单调性,函数的图象变换规律,正弦函数的图象特征,体现了转化、数形结合的数学思想,属于中档题.10.已知函数满足,且时,,则的零点个数为()A. 8B. 6C. 4D. 2【答案】B【解析】【分析】由已知可得为周期为2的函数,通过且时,,做出函数图象, 的零点个数即为与图象交点个数,通过数形结合即可得到答案.【详解】因为为周期为2的函数,通过且时,,做出函数图象如图所示:的零点个数即为与图象交点个数,由图象可知共有6个交点.故选:B.【点睛】本题考查函数的图象和性质,考查函数的零点个数问题,考查学生数形结合的能力,属于中档题.二、填空题(共5小题,每小题4分,满分20分)11.__________【答案】2【解析】【分析】根据对数的运算法则,求解即可.【详解】.故答案为:2.【点睛】本题考查对数的运算,属于较易题.12.已知,则的值为__________【答案】【解析】【分析】上下同除以即可求解.【详解】.故答案为:.【点睛】本题考查同角三角函数基本求法,属于基础题.13.已知是定义域在R上的奇函数,且当时,,则_______,_______【答案】 (1). 1 (2). -1【解析】【分析】由已知可求得,由奇函数的性质得,即可求得.【详解】时,, ;由奇函数的性质得,.故答案为:1,-1.【点睛】本题考查函数的奇函数性质,属于简单题.14.已知如下变换:①将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标保持不变;②将图象上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标保持不变;③将图像整体向右平移个单位长度;④将图像整体向右平移个单位长度;⑤将图像整体向左平移个单位长度;⑥将图像整体向左平移个单位长度;要得到函数的图象,只需将函数的图象经过变换____________(填上你认为正确的一种情况即可,注意编号顺序)【答案】②④或③②(填一种即可)【解析】分析】利用三角函数图象变换,可以“先平移,后伸缩”,也可以“先伸缩,后平移”即可得到结论.【详解】经过变换②可得到,再经过变换④可得;或者经过变换③可得到,再经过变换②可得.故答案为: ②④或③②(填一种即可).【点睛】本题考查三角函数图象变换,分辨清“先平移,后伸缩”,还是“先伸缩,后平移”是解题的关键,熟练掌握无论是哪种变换,切记每一个变换总是对x而言,属于中档题.15.已知函数,若在上恒成立,则实数的取值范围为_______【答案】【解析】【分析】转化为,借助函数和的图象研究恒成立时需满足的条件,计算即可得出结果.【详解】即.分类讨论,当时,分别作出和的图象,如图所示:由图可知,若使均满足,只需保证,解得:同理,当时,需保证,解得: .综上,的取值范围是.故答案为:【点睛】本题主要考查指数函数的图象及其应用,考查恒成立时求解参数求值范围问题,难度较难.三、解答题16.已知函数,试判断函数的单调性,并证明.【答案】函数在上单调递增,证明见解析.【解析】分析】根据单调性的定义,利用定义法证明函数的单调性.【详解】因为所以为单调递增函数.证明:设任意,且,则,且,所以函数在上单调递增.【点睛】本题考查函数的单调性的判断与证明,属于基础题,解题时要注意定义法的合理运用.17.在直角坐标系中,已知锐角和的顶点都在坐标原点始边都与x轴非负半轴重合,且终边与单位圆交于点和点,求的值.【答案】【解析】【分析】由锐角和可知均大于0, 和点在单位圆上,即可求得,根据三角函数的定义即可求出对应的三角函数值,由三角函数的和角公式即可得出结果.【详解】因为锐角和终边与单位圆交于点和点,所以.则,,,,所以.【点睛】本题考查利用三角函数的定义,求一个角的三角函数值,考查学生的三角函数定义的理解辨析能力,属于基础题.18.已知.(1)求的值;(2)求的值.【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1)由二倍角公式,已知条件代入即可得出答案;(2)利用三角函数的平方关系和商数关系求出,将展开代入即可.【详解】(1);(2) ,,【点睛】本题考查二倍角的余弦公式,考查同角三角函数的关系,考查正切的和角公式,考查三角函数值的求法,属于基础题.19.某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案:当销售利润不超过10万元时,按销售利润的15%进行奖励;当销售利润超过10万元时,前10万元按销售利润的15%进行奖励,若超出部分为t万元,则超出部分按进行奖励.记奖金为y(单位:万元),销售利润为x (单位:万元).(1)写出奖金y关于销售利润x的关系式;(2)如果业务员小王获得3.5万元的奖金,那么他的销售利润是多少万元?【答案】(1) ;(2)22万元.【解析】【分析】(1)根据奖励方案,可得分段函数;(2)确定,利用函数解析式,即可得到结论.【详解】(1)∵当销售利润不超过10万元时,按销售利润的15%进行奖励;当销售利润超过10万元时,前10万元按销售利润的15%进行奖励,若超出部分为t万元,则超出部分按进行奖励.∴时,;时,∴奖金y关于销售利润x关系式;(2)∴,解得.∴小王的销售利润是22万元.【点睛】本题以实际问题为载体,考查函数模型的构建,考查学生的计算能力,属于中档题.四、阅读与探究(共1小题,满分8分)20.在推导很多三角恒等变换公式时,我们可以利用平面向量的有关知识来研究,在一定程度上可以简化推理过程.如我们就可以利用平面向量来推导两角差的余弦公式:具体过程如下:如图,在平面直角坐标系内作单位圆O,以为始边作角.它们的终边与单位圆O 的交点分别为A,B.则由向量数量积的坐标表示,有:设的夹角为θ,则另一方面,由图3.1—3(1)可知,;由图可知,.于是.所以,也有,所以,对于任意角有:()此公式给出了任意角的正弦、余弦值与其差角的余弦值之间的关系,称为差角的余弦公式,简记作.有了公式以后,我们只要知道的值,就可以求得的值了.阅读以上材料,利用下图单位圆及相关数据(图中M是AB的中点),采取类似方法(用其他方法解答正确同等给分)解决下列问题:(1)判断是否正确?(不需要证明)(2)证明:(3)利用以上结论求函数的单调区间.【答案】(1)正确;(2)见解析;(3)单调递增区间为,的单调递减区间为【解析】【分析】(1) 因为对是方向上的单位向量,又且与共线,即可判断出正确;(2)在中, ,又,表示出,的坐标,由纵坐标对应相等化简即可证得结论;即(3)由(2)结论化简可得借助正弦型函数的性质即可求得结果.【详解】(1) 因为对于非零向量是方向上的单位向量,又且与共线,所以正确;(2) 因为M为AB的中点,则,从而在中, ,又,又,,所以,即(3) 因为令,解得:所以的单调递增区间为令,解得:所以的单调递减区间为【点睛】本题考查向量在证明三角恒等式中的应用,考查类比推理,考查正弦型函数的单调性,难度较难.。
数学人教B 必修1第三章 基本初等函数(Ⅰ)单元检测
(时间:90分钟 满分:100分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设α,β是方程2x 2
+3x +1=0的两根,则14αβ
+⎛⎫
⎪
⎝⎭
的值为( )
A .8
B .1
8
C .-8
D .1
8
-
2.函数y =(a 2-3a +3)·a x 是指数函数,则有( ) A .a =1或a =2 B .a =1
C .a =2
D .a >0且a ≠1
3.已知f (x )=|lg x |,则14f ⎛⎫ ⎪⎝⎭,13f ⎛⎫
⎪⎝⎭
,f (2)的大小关系为( )
A .f (2)>13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭>14f ⎛⎫
⎪⎝⎭
B .14f ⎛⎫ ⎪⎝⎭>13f ⎛⎫
⎪⎝⎭>f (2) C .f (2)>14f ⎛⎫ ⎪⎝⎭>13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭
D .13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭>14f ⎛⎫ ⎪⎝⎭
>f (2)
4.如图所示,曲线C 1,C 2,C 3,C 4分别是指数函数y =a x ,y =b x ,y =c x ,y =d x 的图象,则a ,b ,c ,d 与1之间的大小关系是(
)
A .a <b <1<c <d
B .a <b <1<d <c
C .b <a <1<c <d
D .b <a <1<d <c
5.如图是幂函数y =x m 与y =x n 在第一象限内的图象,则( )
A .-1<n <0<m <1
B .n <-1,0<m <1
C .-1<n <0,m >1
D .n <-1,m >1
6.已知a =log 23,那么log 38-2log 29用a 表示为( ) A .-a B .1a
-
C .34a a
- D .232a a
-
7.函数212
log (56)y x x =-+的单调增区间为( )
A .5
2
⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
, B .(3,+∞) C .52⎛⎫
-∞ ⎪⎝⎭
, D .(-∞,2) 8.若0<x <y <1,则( ) A .3y <3x
B .log 4x <log 4y
C .log x 3<log y 3
D .1144x
y
⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
9.设111
32α⎧⎫∈-⎨⎬⎩
⎭,,,,则使y =x α
的定义域为R ,且为奇函数的所有α的值为( )
A .1,3
B .-1,1
C .-1,3
D .-1,1,3
10.函数y =a x 在[0,1]上取得的最大值与最小值的和为3,则a 等于( )
A .12
B .2
C .1
4
D .4
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)
11.已知函数12
()log f x x =,则方程f -1(x )=4的解x =__________.
12.关于x 的方程29x
⎛⎫
⎪⎝⎭
=2m -3有负根,
则实数m 的取值范围是__________.
13.(1)
函数y =的定义域是__________; (2)y =log a (9-x 2)的定义域是__________.
14.方程lg x 2-lg(x +2)=0的解集是__________.
15.(2011·江西吉安高三期末)函数f (x )=3x -7+ln x 的零点位于区间(n ,n +1)(n ∈N ),则n =__________.
三、解答题(本大题共2小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(10分)如果方程lg 2x +(lg 7+lg 5)lg x +lg 7·lg 5=0的两根是α,β,求α·β的值. 17.(15分)已知函数f (x )=3x ,且f -1(18)=a +2,g (x )=3ax -4x 的定义域为[0,1].
(1)求g (x )的解析式; (2)求g (x )的值域.
参考答案
1. 答案:A 由两根之和α+β=32
-,
得332
2
114844αβ
+-
⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
.
2. 答案:C 由a 2-3a +3=1且a >0,a ≠1,得a =2.
3. 答案:B 1
1
lg 44f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭=|-lg 4|=lg 4, 同理13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭
=lg 3, ∴14f ⎛⎫ ⎪⎝⎭
>
13f ⎛⎫
⎪⎝⎭
>f (2). 4. 答案:D
5. 答案:B 此类题有一简捷解决办法,在(0,1)内取同一值x 0,作直线x =x 0,与各图象有交点,则“点低指数大”,如图,0<m <1,n <-
1.
6. 答案:C log 38-2log 29=3log 32-4log 23=23
log 3
-4log 23=
3a
-4a .
7. 答案:D ∵x 2-5x +6>0,∴x >3或x <2. ∴原函数的单调增区间为(-∞,2).故选D.
8. 答案:B 选项A ,D 可看成y =3x
与14x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
两个指数函数,
x ,y 作为两个变量,显然是错误的.选项C 可通过log a x (0<a <1)和log b x (0<b <1)且a <b 的图象比较,x 均取3,可得选项C 错误.故选B.
9. 答案:A y =x
-1
=1
x
的定义域不是R
,1
2y x ==不是R ,y =x 1与y =x 3的定义域是R 且为奇函数,故选A.
10. 答案:B y =a x 为单调函数,故a 0+a 1=1+a =3,∴a =2. 11. 答案:-2 根据互为反函数的自变量和因变量的互换关系, 得x =f (4)=12
log 4=-2,
∴方程f -1(x )=4的解为x =-2.
12. 答案:m >2 方程有负根,即当x <0时,29x
⎛⎫ ⎪⎝⎭
=2m -3有
解,
∴219x
⎛⎫> ⎪⎝⎭
. ∴2m -3>1.∴m >2.
13. 答案:(1)(lg 2,+∞) (2)(-3,3) (1)由已知,得10x -2>0,10x >2,所以x >lg 2.
故函数y =的定义域为(lg 2,+∞). (2)∵9-x 2>0,即-3<x <3,
∴函数y =log a (9-x 2)的定义域为(-3,3).
14. 答案:{-1,2} 由220202x x x x ⎧>⎪+>⎨⎪=+⎩
,,,得x =2或-1.
15. 答案:2 由题意,可知f (2)=ln 2-1<0,f (3)=2+ln 3>0,根据零点存在性定理可知,函数零点一定在区间(2,3)内,所以n =2.
此题也可通过画出y =7-3x 和y =ln x 的图象来推断. 16. 答案:解:将lg x 看作是一个整体,所以方程lg 2x +(lg 7+lg 5)lg x +lg 7·lg 5=0可以看作是lg x 的二次方程.
因为α,β是原方程的根,所以lg α,lg β可以看作是lg x 的二次方程的根,由韦达定理,得lg α+lg β=-(lg 7+lg 5)=-lg 35=1lg 35
,即lg(α·β)=1
lg
35
,
∴α·β=1
lg
35
. 17. 答案:解:(1)因为f (x )=3x ,
所以f -1(x )=log 3x ,f -1(18)=log 318=2+log 32, 所以a =log 32.
g (x )=3
log 23x -4x =2x -4x ,
所以g (x )=-4x +2x ,x ∈[0,1]. (2)令t =2x ∈[1,2],
g (x )=-t 2
+t =2
11
24
t ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭, g (x )max =g (1)=0,g (x )min =g (2)=-2, 所以g (x )的值域为[-2,0].。