新课标高考数学题型全归纳等差数列的前n项和背景知识

二、等差数列1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母d 表示．递推式表示为1n n a a d +-=或1(2)n n a a d n --=≥．例如：数列{}n a 满足12n n a a +=+，则数列{}n a 是公差为2的等差数列． 注：0d >时，为递增数列；0d <时，为递减数列；0d =时，为常数列． 2．等差中项若三个数a ，A ，b 成等差数列，则A 叫作a 与b 的等差中项． 此时2a b A +=3．等差数列的通项公式等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则1(1)n a a n d =+-．4．等差数列的性质（1）等差数列{}n a 的第m 项为m a ，则()n m a a n m d =+-．★ 例如：8123107652a a d a d a d a d =+=+=+=-=L ．（2）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+，若2m n p +=，则2m n p a a a +=．★ 例如：1928374652a a a a a a a a a +=+=+=+=，12132n n n a a a a a a --+=+=+=L ． （3）下标成等差数列且公差为m 的项k a ,k m a +,2k m a +,L 组成公差为md 的等差数列． 例如：135721,,,,,,n a a a a a -L L 组成公差为2d 的等差数列；51015205,,,,,,n a a a a a L L 组成公差为5d 的等差数列．（4）{}n a 是公差为d 的等差数列，则{}n ka b +也是等差数列，公差为kd ． （5）{}n a ,{}n b 都是等差数列，则{}n n a b ±,{}n n pa qb ±也是等差数列．5．判断一个数列是等差数列的方法 （1）定义法：1n n a a d +-=（常数）．（2）等差中项法：122++=+n n n a a a 或112-+=+n n n a a a ．★ （3）通项公式法：=n a kn b +（公差为k ）．（4）前n 项和公式法：2n S An Bn =+（不含常数项的二次函数）．★三、等差数列的前n 项和1．等差数列前n 项和公式n a 通项公式得到）★ 21()22n d dS n a n =+-（以n 为变量，体现二次函数） 2n S An Bn =+（简化写法，不含常数项的二次函数）2．和的有关性质等差数列{}n a ，公差为d ，前n 项和为n S ，那么： （1）{}n S n也成等差数列，其首项与{}n a 首项相同，公差是{}n a 公差的12．（2）等差数列{}n b ，前n 项和为n T （21(21)n n S n a -=-）．★ （3）数列232,,,k k k k k S S S S S --L 是等差数列，公差为2k d ．★ （4）S 奇表示奇数项的和，S 偶表示偶数项的和，则有：①当项数为偶数2n 时，S S nd -=偶奇，1nn S a S a +=奇偶； ②当项数为奇数21n -时，n S S a -=奇偶，1S nS n =-奇偶．3．和与函数的关系及和的最值 21()22n d dS n a n =+-简写为2()n S An Bn n =+∈*N ，可以把(,)n n S 看作是二次函数图像上孤立的点，因此可以用二次函数的性质来研究和的性质，比如对称和求最值．例15等差数列{}na中，120S=，且1015S S=，求当n取何值时，nS有最大值，并求出这个最大值．解析：由二次函数对称性，及1015S S=，可知对称轴为101512.52+=距离12.5最近的整数为12和13，即当12n=或13时，nS有最大值即1213S S=，所以13a=，1131313()1302a aS+==．答案：1213130S S==例16等差数列{}na中，17a=，公差为d，前n项和为nS，当且仅当8n=时，nS取得最大值，则d的取值范围为______．解析：由题意可知89770780a da d=+>⎧⎨=+<⎩，解得718d-<<-．答案：7(1,)8--数学浪子整理制作，侵权必究。

第1讲 等差数列及其前n 项和[考情分析] 等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.知 识 梳 理1.等差数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列. 数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数).(2)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b2.2.等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）d 2＝n （a 1＋a n ）2. 3.等差数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *).(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列. (4)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列.(5)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列.[微点提醒]1.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列，且公差为p .2.在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值.3.等差数列{a n }的单调性：当d ＞0时，{a n }是递增数列；当d ＜0时，{a n }是递减数列；当d ＝0时，{a n }是常数列.4.数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数).考点一 等差数列的性质及应用 多维探究角度1 等差数列项的性质【例1】在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则a 2＋a 14的值为( ) A.6B.12C.24D.48解析 ∵在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，由等差数列的性质，a 1＋3a 8＋a 15＝5a 8＝120， ∴a 8＝24，∴a 2＋a 14＝2a 8＝48.【变式1】设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝( )． A ．－6 B ．－4 C ．－2 D ．2解析 (1)S 8＝4a 3⇒8(a 1＋a 8)2＝4a 3⇒a 3＋a 6＝a 3，∴a 6＝0，∴d ＝－2，∴a 9＝a 7＋2d ＝－2－4＝－6.【变式2】已知数列{}{},n n a b 为等差数列，若11337,21a b a b +=+=，则55a b +=_______思路：条件与所求都是“n n a b +”的形式，由{}{},n n a b 为等差数列可得{}n n a b +也为等差数列，所以()33a b +为()()1155,a b a b ++的等差中项，从而可求出55a b +的值解：{}{},n n a b 为等差数列{}n n a b ∴+也为等差数列 ()()()3311552a b a b a b ∴+=+++()()553311235a b a b a b ∴+=+-+= 答案：35【变式3】等差数列log 3(2x )，log 3(3x )，log 3(4x ＋2)，…的第四项等于( )A.3B.4C.log 318D.log 324∵log 3(2x )，log 3(3x )，log 3(4x ＋2)成等差数列，∵log 3(2x )＋log 3(4x ＋2)＝2log 3(3x )， ∵log 3[2x (4x ＋2)]＝log 3(3x )2，则2x (4x ＋2)＝9x 2，解之得x ＝4，x ＝0(舍去). ∵等差数列的前三项为log 38，log 312，log 318，∵公差d ＝log 312－log 38＝log 332，∵数列的第四项为log 318＋log 332＝log 327＝3.【例2】 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.63B.45C.36D.27解析 由{a n }是等差数列，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)， 得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45，所以a 7＋a 8＋a 9＝45.【变式1】在等差数列{a n }中．若共有n 项，且前四项之和为21，后四项之和为67，前n 项和S n ＝286，则n ＝________.解析 (1)依题意知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝21，a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝67.由等差数列的性质知a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝a 4＋a n －3，∴4(a 1＋a n )＝88，∴a 1＋a n ＝22. 又S n ＝n (a 1＋a n )2，即286＝n ×222，∴n ＝26.【变式2】在等差数列{a n }中，前m 项的和为30，前2m 项的和为100，则前3m 项的和为________． 记数列{a n }的前n 项和为S n ，由等差数列前n 项和的性质知S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列，则2(S 2m －S m )＝S m ＋(S 3m －S 2m )，又S m ＝30，S 2m ＝100，S 2m －S m ＝100－30＝70，所以S 3m －S 2m ＝2(S 2m －S m )－S m ＝110，所以S 3m ＝110＋100＝210.【例3】 已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 015，S 2 0152 015－S 2 0092 009＝6，则S 2 019＝________.解 由等差数列的性质可得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列.设其公差为d ，则S 2 0152 015－S 2 0092 009＝6d ＝6，∴d ＝1.故S 2 0192 019＝S 11＋2 018d ＝－2 015＋2 018＝3，∴S 2 019＝3×2 019＝6 057. 【变式1】在等差数列{}n a 中，12008a =-，其前n 项和为n S ，若121021210S S -=，则2008S 的值等于（ ） A. 2007- B. 2008- C. 2007 D. 2008 思路：由121021210S S -=观察到n S n 的特点，所以考虑数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的性质，由等差数列前n 项和特征2n S An Bn =+可得nS An B n=+，从而可判定n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，且可得公差1d =，所以()1120091n S S n d n n =+-=-，所以()2009n S n n =-，即20082008S =-，答案：B【变式2】设S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，若a 5＝2b 5，则S 9T 9＝( )A ．2B ．3C ．4D ．6解 由a 5＝2b 5，得a 5b 5＝2，所以S 9T 9＝9a 1＋a 929b 1＋b 92＝a 5b 5＝2，故选A.【变式3】等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7等于( )A.3727B.1914C.3929D.43解 a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝a 1＋a 132×13b 1＋b 132×13＝S 13T 13＝3×13－22×13＋1＝3727.考点二 等差数列的判定与证明典例迁移【例1】 (经典母题)若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式.(1)证明 当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0，得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列. (2)解 由(1)可得1S n ＝2n ，∴S n ＝12n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12（n －1）＝n －1－n 2n （n －1）＝－12n （n －1）. 当n ＝1时，a 1＝12不适合上式.故a n＝⎩⎨⎧12，n ＝1，－12n （n －1），n ≥2.【迁移探究1】 本例条件不变，判断数列{a n }是否为等差数列，并说明理由. 解 因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，a n ＋2S n S n －1＝0，所以S n －S n －1＋2S n S n －1＝0(n ≥2). 所以1S n －1S n －1＝2(n ≥2).又1S 1＝1a 1＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为首项，2为公差的等差数列.所以1S n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，故S n ＝12n . 所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12（n －1）＝－12n （n －1）， 所以a n ＋1＝－12n （n ＋1），又a n ＋1－a n ＝－12n （n ＋1）－－12n （n －1）＝－12n ⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n －1＝1n （n －1）（n ＋1）. 所以当n ≥2时，a n ＋1－a n 的值不是一个与n 无关的常数，故数列{a n }不是一个等差数列.【迁移探究2】 本例中，若将条件变为a 1＝35，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，试求数列{a n }的通项公式.解 由已知可得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，又a 1＝35，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝35为首项，1为公差的等差数列，∴a n n ＝35＋(n －1)·1＝n －25，∴a n ＝n 2－25n . 规律方法 1.证明数列是等差数列的主要方法：(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数. (2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)都成立. 2.判定一个数列是等差数列还常用到结论：(1)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列.(2)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列.问题的最终判定还是利用定义. 【变式1】 (2017·全国Ⅰ卷)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.已知S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列.解 (1)设{a n }的公比为q ，由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1＋q ）＝2，a 1（1＋q ＋q 2）＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝－2，a 1＝－2.故a n ＝(－2)n .(2)由(1)可得S n ＝a 1（1－q n ）1－q＝－23＋(－1)n2n ＋13.由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n 2n ＋3－2n ＋23＝2⎣⎡⎦⎤－23＋（－1）n·2n ＋13＝2S n ，故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列.【变式2】 已知数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋3n ＋1－2n .设b n ＝a n －2n3n .证明：数列{b n }为等差数列，并求{a n }的通项公式．证明 ∵b n ＋1－b n ＝a n ＋1－2n ＋13n ＋1－a n －2n 3n ＝3a n ＋3n ＋1－2n －2n ＋13n ＋1－3a n －3·2n3n ＋1＝1， ∴{b n }为等差数列，又b 1＝a 1－23＝0.∴b n ＝n －1，∴a n ＝(n －1)·3n ＋2n . 考点三 等差数列的前n 项和及其最值【例4】 在等差数列{a n }中，a 1＝29，S 10＝S 20，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为( ) A ．S 15 B ．S 16 C ．S 15或S 16D ．S 17解∵a 1＝29，S 10＝S 20，∵10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×192d ，解得d ＝－2，∵S n ＝29n ＋nn －12×(－2)＝－n 2＋30n ＝－(n －15)2＋225.∵当n ＝15时，S n 取得最大值． 规律方法 求等差数列前n 项和S n 的最值的常用方法：(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn (a ≠0)，通过配方或借助图象求二次函数的最值.(2)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，进而求S n 的最值.①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m (当a m ＋1＝0时，S m ＋1也为最大值)；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m (当a m ＋1＝0时，S m ＋1也为最小值).【变式1】 等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 3，a 5，a 15成等比数列，若a 5＝5，S n 为数列{a n }的前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和取最小值时的n 为( )A.3B.3或4C.4或5D.5【变式2】已知等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，则前n 项和S n 的最大值为________.解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧（a 1＋2d ）（a 1＋14d ）＝25，a 1＋4d ＝5，由d ≠0，解得a 1＝－3，d ＝2，∴S nn ＝na 1＋n （n －1）2dn＝－3＋n －1＝n －4，则n －4≥0，得n ≥4，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和取最小值时的n 为3或4.(2)因为等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝20n －n （n －1）2×2＝－n 2＋21n ＝－⎝⎛⎭⎫n －2122＋⎝⎛⎭⎫2122，又因为n ∈N *，所以n ＝10或n ＝11时，S n 取得最大值，最大值为110.【变式3】在等差数列{}n a 中，10a >，若其前n 项和为n S ，且148S S =，那么当n S 取最大值时，n 的值为（ ）A. 8B. 9C. 10D. 11【变式4】在等差数列{}n a 中，10a >，054>+a a ，054<a a ，使前n 项和0n >S 成立的最大正整数n 的值为________3、从n S 的图像出发，由148S S =可得n S 图像中11n =是对称轴，再由10a >与148S S =可判断数列{}n a 的公差0d <，所以n S 为开口向下的抛物线，所以在11n =处n S 取得最大值，答案：D4、思路：0n >S 成立的最大正整数n ，即001<>+n n s s 且此时成立。

等差数列前n项和知识点归纳总结等差数列是数学中常见的数列形式，由一系列等差数构成。

其中，等差数是按照一定的公差递增或递减的数，如1、3、5、7、9就是一个公差为2的等差数列。

在求等差数列前n项和时，我们需要掌握一些重要的知识点。

本文将对等差数列前n项和的计算方法进行归纳总结。

一、等差数列的概念与通项公式：等差数列是指一个数列中相邻两项之间的差值是一个常数。

通常用字母a，d表示等差数列的首项和公差，其通项公式的一般形式为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1为首项，d为公差。

二、求等差数列前n项和的方法：1. 公式法：根据等差数列通项公式，我们可以得到第n项的具体表达式，然后将每一项累加起来即可得到前n项和。

这种方法适用于数列项数较多的情况。

2. 列表法：列举等差数列的前n项，然后将各项相加求和，即可得到等差数列前n项和。

这种方法适用于数列项数较少的情况。

三、等差数列前n项和的公式推导：要推导等差数列前n项和的公式，我们可以利用等差数列的通项公式和数列项数的特点进行推导。

考虑一个等差数列的前n项和Sn，其首项为a1，末项为an，公差为d。

根据等差数列的通项公式，我们可以列出如下两个等式：a1 = a1an = a1 + (n-1)d将这两个等式相加得：a1 + an = 2a1 + (n-1)d根据等差数列的性质，可以知道数列中的任意两项和都等于首项和末项的和，且这个和一共出现n次。

因此，将上述等式乘以n/2，得到：n(a1 + an) = n(2a1 + (n-1)d)化简后：2a1n + (n-1)dn = n(a1 + an)移项得：2a1n + dn^2 - dn - an = 0根据求根公式，可以求解出an的表达式为：an = a1 + (n-1)d将其代入上述等式，可以得到等差数列前n项和公式：Sn = n(a1 + an) / 2= n(a1 + a1 + (n-1)d) / 2= n(2a1 + (n-1)d) / 2= n(a1 + a1 + (n-1)d) / 2= n(a1 + a1 + (n-1)d) / 2四、等差数列前n项和的应用：等差数列前n项和的计算公式在数学和物理等领域有广泛的应用。

等差数列的前n项和的数学知识点
等差数列的前n项和的数学知识点
等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列，常用A、P表示。

这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。

以下是店铺为大家收集的'等差数列的前n项和的数学知识点，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。

（1），（2），（3），（4）
当d≠0时，Sn是关于n的二次函数且常数项为0，｛an｝为等差数列，反之不能。

等差数列的前n项和的有关性质：
（1），…成等差数列；
（2）｛an｝有2k项时，＝kd；
（3）｛an｝有2k+1项时，S奇=（k+1）ak+1=（k+1）a平，S偶=kak+1=ka平，S奇：S偶=（k+1）：k，S奇－S偶＝ak+1=a 平；
解决等差数列问题常用技巧：
1、等差数列中，已知5个元素：a1，an，n，d，S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

为减少运算量，要注意设元的技巧,时间管理，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…
2、等差数列｛an｝中，（1）若ap=q，aq=p，则列方程组可得：d=-1，a1=p+q-1，ap+q=0，S=-（p+q）；
(2)当Sp＝Sq时（p≠q），数形结合分析可得Sn中最大，Sp+q ＝0，此时公差d＜0。

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展19等差数列中Sn 的最值问题（精讲+精练）一、等差数列的通项公式和前n 项和公式1.等差数列的通项公式如果等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，那么它的通项公式是1(1)=+-n a a n d ．2.等差数列的前n 项和公式设等差数列{}n a 的公差为d ，其前n 项和11()(1)22+-=+=n n n a a n n S na d ．注：数列{}n a 是等差数列⇔2=+n S An Bn （、A B 为常数）．二、等差数列的前n 项和的最值1.公差0{}>⇔n d a 为递增等差数列，n S 有最小值；公差0{}<⇔n d a 为递减等差数列，n S 有最大值；公差0{}=⇔n d a 为常数列．2.在等差数列{}n a 中（1）若100，><a d ，则满足1+≥0⎧⎨≤0⎩m m a a 的项数m 使得n S 取得最大值m S ；（2）若100，<>a d ，则满足1+≤0⎧⎨≥0⎩m m a a 的项数m 使得n S 取得最小值m S ．即若100>⎧⎨<⎩a d ，则n S 有最大值（所有正项或非负项之和）；若100<⎧⎨>⎩a d ，则n S 有最小值（所有负项或非正项之和）．【典例1】（2022·全国·统考高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知221nn S n a n+=+．二、题型精讲精练一、知识点梳理又4a ，7a ，9a 成等比数列，所以2749a a a =⋅，即()()()2111638a a a +=+⋅+，解得112a =-，所以13n a n =-，即有1123210,0a a a a <<<<= .则当12n =或13n =时，()min 78n S =-．【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出n S 的最小值，适用于可以求出n S 的表达式；法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．【题型训练-刷模拟】一、单选题若5，故②正确；当8n =或9n =时，n S 取得最大值，所以211k a b +-=或12，故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查的是等差数列的前n 项和最大值问题，思路是不难，大，即确定数列是递减数列，判断前多少项为非负项即可，但关键点在于如何求得正负项分界的项，即求得90a =，100a <，所以这里的关键是利用()217e 1ln 21a bS a b --≤≤-+，构造函数()e 1x f x x =--，利用导数判断函数单调性，结合最值解决这一问题.二、多选题三、填空题1四、解答题32．（2023·全国·高三专题练习）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1121526,a S S =-=.(1)求{}n a 的通项公式；(2)求n S ，并求n S 的最小值.【答案】(1)228n a n =-；(2)227n S n n =-，最小值为182-．【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据等差数列前n 项和公式由1215S S =列出方程即可解出d ，从而可得数列{}n a 的通项公式；（2）根据二次函数的性质或者邻项变号法即可判断何时n S 取最小值，并根据等差数列前n 项和公式求出nS。

等差数列及其前 n 项和【考纲说明】1、理解等差数列的概念，学习等差数列的基本性质.2、探索并掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式.3、体会等差数列与一次函数的关系.4、本部分在高考中占 5-10 分左右.【知识梳理】一、等差数列的相关概念 1、等差数列的概念如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．通常用字母 d 表示。

2、等差中项如果 a ， A ， b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与b 的等差中项．即： A = a + b或22 A = a + b推广： 2a n = a n -1 + a n +1(n ≥ 2) ⇔ 2a n +1 = a n + a n +23、等差数列通项公式若等差数列{a n } 的首项是a 1 ，公差是d ，则a n = a 1 + (n -1)d ． 推广： a n = a m+ (n - m )d ，从而d = a n - a m。

n - m4、等差数列的前n 项和公式等差数列的前n 项和的公式：① S n = n (a 1 + a n ) ；② S 2 n= na 1+ n (n -1) d ．25、等差数列的通项公式与前 n 项的和的关系a = ⎧s 1, n = 1 {a } s = a + a +L + a n ⎨s - s , n ≥ 2 ( 数列 n 的前 n 项的和为 n 1 2 n ).⎩ nn -1二、等差数列的性质1、等差数列与函数的关系当公差d ≠ 0 时，(1) 等差数列的通项公式a n = a 1 + (n -1)d = dn + a 1 - d 是关于n 的一次函数,斜率为d ；(2) 前 n 和 S = na + n (n -1) d = d n 2 + (a - d)n 是关于 n 的二次函数且常数项n 1 2 2 12n m m +k m +2k m +3k a a ≤ ⎨ 为 0。

第2课时　等差数列前n 项和的性质及应用学习目标　1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式，了解等差数列前n 项和的一些性质.2.掌握等差数列前n 项和的最值问题．知识点一　等差数列前n 项和的性质1．若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列{S n n }也是等差数列，且公差为d2.2．设等差数列{a n }的公差为d ，S n 为其前n 项和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍构成等差数列，且公差为m 2d .3．若等差数列{a n }的项数为2n ，则S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)，S 偶－S 奇＝nd ，S 偶S 奇＝a n ＋1a n.4．若等差数列{a n }的项数为2n ＋1，则S 2n ＋1＝(2n ＋1)·a n ＋1，S 偶－S 奇＝－a n ＋1，S 偶S 奇＝n n ＋1.思考　在性质3中，a n 和a n ＋1分别是哪两项？在性质4中，a n ＋1是哪一项？答案　中间两项，中间项．知识点二　等差数列{a n }的前n 项和公式的函数特征1．公式S n ＝na 1＋n (n －1)d2可化成关于n 的表达式：S n ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n .当d ≠0时，S n 关于n的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点(n ，S n )在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n 项和公式是关于n 的二次函数，它的图象是抛物线y ＝d 2x 2＋(a 1－d 2)x 上横坐标为正整数的一系列孤立的点．2．等差数列前n 项和的最值(1)在等差数列{a n }中，当a 1>0，d <0时，S n 有最大值，使S n 取得最值的n 可由不等式组Error!确定；当a 1<0，d >0时，S n 有最小值，使S n 取到最值的n 可由不等式组Error!确定．(2)S n ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n ，若d ≠0，则从二次函数的角度看：当d >0时，S n 有最小值；当d <0时，S n 有最大值．当n 取最接近对称轴的正整数时，S n 取到最值．1．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＝2，a 3＋a 4＝4，则a 7＋a 8等于( )A ．7 B ．8 C ．9 D ．10答案　B解析　∵a 1＋a 2＝2，a 3＋a 4＝4，由等差数列的性质得a 5＋a 6＝6，a 7＋a 8＝8.2．已知数列{a n }为等差数列，a 2＝0，a 4＝－2，则其前n 项和S n 的最大值为( )A.98 B.94C ．1 D ．0答案　C解析　由a 4＝a 2＋(4－2)d ，得－2＝0＋2d ，故d ＝－1，a 1＝1，故S n ＝n ＋n (n －1)2·(－1)＝－n 22＋3n2＝－12(n －32)2＋98.所以当n ＝1或2时，S n 的最大值为1.3．(多选)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －48，则S n 取得最小值时，n 为( )A ．22 B ．23 C ．24 D ．25答案　BC解析　由a n ≤0即2n －48≤0得n ≤24.∴所有负项的和最小，即n ＝23或24.4．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 018，S 2 0192 019－S 2 0132 013＝6，则S 2 020＝________.答案　2 020解析　由等差数列的性质可得{S n n}也为等差数列，设其公差为d ，则S 2 0192 019－S 2 0132 013＝6d ＝6，∴d ＝1，∴S nn ＝S 11＋(n －1)d ＝n －2 019.故S 2 0202 020＝2 020－2 019＝1，∴S 2 020＝2 020.一、等差数列前n 项和的性质例1　(1)在等差数列{a n }中，S 10＝120，且在这10项中，S 奇S 偶＝1113，则公差d ＝________.答案　2解析　由Error!得Error!所以S 偶－S 奇＝5d ＝10，所以d ＝2.(2)等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，求数列{a n }的前3m 项的和S 3m .解　方法一　在等差数列中，∵S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列，∴30,70，S 3m －100成等差数列．∴2×70＝30＋(S 3m －100)，∴S 3m ＝210.方法二　在等差数列中，S m m ，S 2m 2m ，S 3m3m 成等差数列，∴2S 2m2m ＝S mm ＋S 3m3m.即S 3m ＝3(S 2m －S m )＝3×(100－30)＝210.反思感悟　利用等差数列前n 项和的性质简化计算(1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a 1，d ，再求所求，是基本解法，有时运算量大些；(2) 等差数列前n 项和S n 的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．(3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法．跟踪训练1　(1)已知数列{a n }是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是50，偶数项的和为34，若它的末项比首项小28，则该数列的公差是________．答案　－4解析　设等差数列{a n }的项数为2m ，∵末项与首项的差为－28，∴a 2m －a 1＝(2m －1)d ＝－28，①∵S 奇＝50，S 偶＝34，∴S 偶－S 奇＝34－50＝－16＝md ，②由①②得d ＝－4.(2)已知一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求前110项之和．解　S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100成等差数列．设其公差为d ，前10项和为10S 10＋10×92d ＝S 100＝10，解得d ＝－22，∴S 110－S 100＝S 10＋(11－1)d ＝100＋10×(－22)＝－120，∴S 110＝－120＋S 100＝－110.二、等差数列前n 项和的最值问题例2　在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 8＝S 18，求前n 项和S n 的最大值．解　方法一　因为S 8＝S 18，a 1＝25，所以8×25＋8×(8－1)2d ＝18×25＋18×(18－1)2d ，解得d ＝－2.所以S n ＝25n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋26n ＝－(n －13)2＋169.所以当n ＝13时，S n 有最大值为169.方法二　同方法一，求出公差d ＝－2.所以a n ＝25＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋27.因为a 1＝25>0，由Error!得Error!又因为n ∈N *，所以当n ＝13时，S n 有最大值为169.方法三　因为S 8＝S 18，所以a 9＋a 10＋…＋a 18＝0.由等差数列的性质得a 13＋a 14＝0.因为a 1>0，所以d <0.所以a 13>0，a 14<0.所以当n ＝13时，S n 有最大值．由a 13＋a 14＝0，得a 1＋12d ＋a 1＋13d ＝0，解得d ＝－2，所以S 13＝13×25＋13×122×(－2)＝169，所以S n 的最大值为169.方法四　设S n ＝An 2＋Bn .因为S 8＝S 18，a 1＝25，所以二次函数图象的对称轴为x ＝8＋182＝13，且开口方向向下，所以当n＝13时，S n取得最大值．由题意得Error!解得Error!所以S n＝－n2＋26n，所以S13＝169，即S n的最大值为169.反思感悟　(1)等差数列前n项和S n最大(小)值的情形①若a1>0，d<0，则S n存在最大值，即所有非负项之和．②若a1<0，d>0，则S n存在最小值，即所有非正项之和．(2)求等差数列前n项和S n最值的方法①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用Error!或Error!来寻找．②运用二次函数求最值．跟踪训练2　在等差数列{a n}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{a n}的前n项和的最小值，并指出何时取最小值．解　(1)设等差数列的公差为d，因为在等差数列{a n}中，a10＝18，S5＝－15，所以Error!解得a1＝－9，d＝3，所以a n＝3n－12，n∈N*.(2)因为a1＝－9，d＝3，a n＝3n－12，所以S n＝n(a1＋a n)2＝12(3n2－21n)＝32(n－7 2)2－1478，所以当n＝3或4时，前n项的和S n取得最小值S3＝S4＝－18.三、求数列{|a n|}的前n项和例3　数列{a n}的前n项和S n＝100n－n2(n∈N*)．(1)判断{a n}是不是等差数列，若是，求其首项、公差；(2)设b n＝|a n|，求数列{b n}的前n项和．解　(1)当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(100n－n2)－[100(n－1)－(n－1)2]＝101－2n.∵a1＝S1＝100×1－12＝99，适合上式，∴a n ＝101－2n (n ∈N *)．又a n ＋1－a n ＝－2为常数，∴数列{a n }是首项为99，公差为－2的等差数列．(2)令a n ＝101－2n ≥0，得n ≤50.5，∵n ∈N *，∴n ≤50(n ∈N *)．①当1≤n ≤50时，a n >0，此时b n ＝|a n |＝a n ，∴数列{b n }的前n 项和S n ′＝100n －n 2.②当n ≥51时，a n <0，此时b n ＝|a n |＝－a n ，由b 51＋b 52＋…＋b n ＝－(a 51＋a 52＋…＋a n )＝－(S n －S 50)＝S 50－S n ，得数列{b n }的前n 项和S n ′＝S 50＋(S 50－S n )＝2S 50－S n ＝2×2 500－(100n －n 2)＝5 000－100n ＋n 2.由①②得数列{b n }的前n 项和为S n ′＝Error!n ∈N *.反思感悟　已知等差数列{a n }，求绝对值数列{|a n |}的有关问题是一种常见的题型，解决此类问题的核心便是去掉绝对值，此时应从其通项公式入手，分析哪些项是正的，哪些项是负的，即找出正、负项的“分界点”．跟踪训练3　在等差数列{a n }中，a 10＝23，a 25＝－22.(1)数列{a n }前多少项和最大？(2)求{|a n |}的前n 项和S n .解　(1)由Error!得Error!∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3n ＋53.令a n >0，得n <533，∴当n ≤17，n ∈N *时，a n >0；当n ≥18，n ∈N *时，a n <0，∴数列{a n }的前17项和最大．(2)当n ≤17，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－32n 2＋1032n .当n ≥18，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 17－a 18－a 19－…－a n ＝2(a 1＋a 2＋…＋a 17)－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝2(－32×172＋1032×17)－(－32n 2＋1032n)＝32n 2－1032n ＋884.∴S n ＝Error!等差数列前n 项和公式的实际应用典例　某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1 150万元，购买当天先付150万元，按约定以后每月的这一天都交付50万元，并加付所有欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部付清后，买这40套住房实际花了多少钱？解　因购房时付150万元，则欠款1 000万元，依题意分20次付款，则每次付款的数额依次构成数列{a n }，则a 1＝50＋1 000×1%＝60，a 2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5，a 3＝50＋(1 000－50×2)×1%＝59，a 4＝50＋(1 000－50×3)×1%＝58.5，所以a n ＝50＋[1 000－50(n －1)]×1%＝60－12(n －1)(1≤n ≤20，n ∈N *)．所以{a n }是以60为首项，－12为公差的等差数列．所以a 10＝60－9×12＝55.5，a 20＝60－19×12＝50.5.所以S 20＝12×(a 1＋a 20)×20＝10×(60＋50.5)＝1 105.所以实际共付1 105＋150＝1 255(万元)．[素养提升]　(1)本题属于与等差数列前n 项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列．(2)遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，抽象出数列的模型，并用有关知识解决相关的问题，是数学建模的核心素养的体观．1．已知数列{a n}满足a n＝26－2n，则使其前n项和S n取最大值的n的值为( ) A．11或12 B．12C．13 D．12或13答案　D解析　∵a n＝26－2n，∴a n－a n－1＝－2(n≥2，n∈N*)，∴数列{a n}为等差数列．又a1＝24，d＝－2，∴S n＝24n＋n(n－1)2×(－2)＝－n2＋25n＝－(n－252)2＋6254.∵n∈N*，∴当n＝12或13时，S n最大．2．一个等差数列共有10项，其偶数项之和是15，奇数项之和是12.5，则它的首项与公差分别是( )A．0.5,0.5 B．0.5,1C．0.5,2 D．1,0.5答案　A解析　由于项数为10，故S偶－S奇＝15－12.5＝5d，∴d＝0.5，由15＋12.5＝10a1＋10×92×0.5，得a1＝0.5.3．(多选)设{a n}是等差数列，S n为其前n项和，且S5<S6＝S7>S8，则下列结论正确的是( ) A．d<0B．a7＝0C．S9>S5D．S6与S7均为S n的最大值答案　ABD解析　∵S5<S6＝S7>S8，∴a6>0，a7＝0，a8<0.∴d<0.∴S6与S7均为S n的最大值．S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)<0.∴S9<S5，故C错．4．已知在等差数列{a n}中，|a5|＝|a9|，公差d>0，则使得其前n项和S n取得最小值的正整数n 的值是________．答案　6或7解析　∵公差d>0，|a5|＝|a9|，∴－a5＝a9，即a5＋a9＝0.由等差数列的性质，得2a7＝a5＋a9＝0，解得a7＝0.故数列的前6项均为负数，第7项为0，从第8项开始为正．∴S n 取得最小值时的n 为6或7.5．已知等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27，则公差d ＝________.答案　5解析　由题意得Error!故S 偶＝192，S 奇＝162，所以6d ＝S 偶－S 奇＝30，故d ＝5.1．知识清单：(1)等差数列前n 项和的一般性质．(2)等差数列前n 项和的函数性质．2．方法归纳：整体思想、函数思想、分类讨论思想．3．常见误区：求数列{|a n |}的前n 项和时不讨论，最后不用分段函数表示．1．在等差数列{a n }中，a 1＝1，其前n 项和为S n ，若S 88－S 66＝2，则S 10等于( )A ．10B ．100C ．110D ．120答案　B解析　∵{a n }是等差数列，a 1＝1，∴{S n n }也是等差数列且首项为S 11＝1.又S 88－S 66＝2，∴{S n n }的公差是1，∴S 1010＝1＋(10－1)×1＝10，∴S 10＝100.2．若等差数列{a n }的前m 项的和S m 为20，前3m 项的和S 3m 为90，则它的前2m 项的和S 2m 为( )A ．30B ．70C ．50D ．60答案　C解析　∵等差数列{a n }中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列，∴2(S 2m －S m )＝S m ＋S 3m －S 2m ，∴2(S 2m －20)＝20＋90－S 2m ，∴S 2m ＝50.3．已知数列{2n －19}，那么这个数列的前n 项和S n ( )A ．有最大值且是整数 B ．有最小值且是整数C ．有最大值且是分数 D ．无最大值和最小值答案　B解析　易知数列{2n －19}的通项a n ＝2n －19，∴a 1＝－17，d ＝2.∴该数列是递增等差数列．令a n ＝0，得n ＝912.∴a 1<a 2<a 3<…<a 9<0<a 10<….∴该数列前n 项和有最小值，为S 9＝9a 1＋9×82d ＝－81.4．(多选)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 6>S 7>S 5，下列判断正确的是( )A ．d <0B ．S 11>0C ．S 12<0D ．数列{S n }中的最大项为S 11答案　AB 解析　∵S 6>S 7，∴a 7<0，∵S 7>S 5，∴a 6＋a 7>0，∴a 6>0，∴d <0，A 正确；又S 11＝112(a 1＋a 11)＝11a 6>0，B 正确；S 12＝122(a 1＋a 12)＝6(a 6＋a 7)>0，C 不正确；数列{S n }中最大项为S 6，D 不正确．故正确的选项是AB.5．在等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S 2 011＝S 2 018，S k ＝S 2 009，则正整数k 为( )A ．2 017 B ．2 018 C ．2 019 D ．2 020答案　D解析　因为等差数列的前n 项和S n 是关于n 的二次函数，所以由二次函数的对称性及S2 011＝S2 018，S k＝S2 009，可得2 011＋2 0182＝2 009＋k2，解得k＝2 020.6．已知在等差数列{a n}中，公差d＝1，且前100项和为148，则前100项中的所有偶数项的和为________．答案　99解析　由题意，得S奇＋S偶＝148，S偶－S奇＝50d＝50，解得S偶＝99.7．已知在等差数列{a n}中，S n为其前n项和，已知S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，则S9－S6＝________.答案　5解析　∵S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，而S3＝9，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝7，∴S9－S6＝5.8．已知等差数列{a n}的前n项和为S n,7a5＋5a9＝0，且a9>a5，则S n取得最小值时n的值为________．答案　6解析　由7a5＋5a9＝0，得a1d＝－173.又a9>a5，所以d>0，a1<0.因为函数y＝d2x2＋(a1－d2)x的图象的对称轴为x＝12－a1d＝12＋173＝376，取最接近的整数6，故S n取得最小值时n的值为6.9．已知在等差数列{a n}中，a1＝9，a4＋a7＝0.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)当n为何值时，数列{a n}的前n项和取得最大值？解　(1)由a1＝9，a4＋a7＝0，得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，∴a n＝a1＋(n－1)·d＝11－2n.(2)方法一　a1＝9，d＝－2，S n＝9n＋n(n－1)2·(－2)＝－n2＋10n＝－(n－5)2＋25，∴当n＝5时，S n取得最大值．方法二　由(1)知a1＝9，d＝－2<0，∴{a n}是递减数列．令a n≥0，则11－2n≥0，解得n≤11 2 .∵n∈N*，∴当n≤5时，a n>0；当n≥6时，a n<0.∴当n＝5时，S n取得最大值．10．在数列{a n}中，a1＝8，a4＝2，且满足a n＋2－2a n＋1＋a n＝0(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设T n＝|a1|＋|a2|＋…＋|a n|，求T n.解　(1)∵a n＋2－2a n＋1＋a n＝0，∴a n＋2－a n＋1＝a n＋1－a n，∴{a n}是等差数列，又∵a1＝8，a4＝2，∴d＝－2，a n＝a1＋(n－1)d＝10－2n，n∈N*.(2)设数列{a n}的前n项和为S n，则S n＝8n＋n(n－1)2×(－2)＝9n－n2.∵a n＝10－2n，令a n＝0，得n＝5.当n>5时，a n<0；当n＝5时，a n＝0；当n<5时，a n>0.∴当n≤5时，T n＝|a1|＋|a2|＋…＋|a n|＝a1＋a2＋…＋a n＝9n－n2.当n>5时，T n＝|a1|＋|a2|＋…＋|a n|＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋a n)＝S5－(S n－S5)＝2S5－S n＝2×(9×5－25)－9n＋n2＝n2－9n＋40，∴T n＝Error!11．若数列{a n}的前n项和是S n＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|等于( ) A．15 B．35 C．66 D．100答案　C解析　易得a n ＝Error!|a 1|＝1，|a 2|＝1，|a 3|＝1，令a n >0，则2n －5>0，∴n ≥3.∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝1＋1＋a 3＋…＋a 10＝2＋(S 10－S 2)＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]＝66.12．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝11，S 1515－S 77＝－8，则S n 取最大值时的n 为( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案　B解析　设数列{a n }是公差为d 的等差数列，则{S n n }是公差为d2的等差数列．因为S 1515－S 77＝－8，故可得8×d2＝－8，解得d ＝－2；则a 1＝a 2－d ＝13，则S n ＝－n 2＋14n ＝－(n －7)2＋49，故当n ＝7时，S n 取得最大值．13．已知S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，且S n T n ＝2n ＋14n －2(n ∈N *)，则a 10b 3＋b 18＋a 11b 6＋b 15＝________.答案　4178解析　因为b 3＋b 18＝b 6＋b 15＝b 10＋b 11，所以a 10b 3＋b 18＋a 11b 6＋b 15＝a 10＋a 11b 10＋b 11＝10(a 10＋a 11)10(b 10＋b 11)＝S 20T 20＝2×20＋14×20－2＝4178.14．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S 8＝13，那么S 8S 16＝________.答案　310解析　设S4＝k，S8＝3k，由等差数列的性质得S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12构成等差数列．所以S8－S4＝2k，S12－S8＝3k，S16－S12＝4k.所以S12＝6k，S16＝10k.S8S16＝3 10.15．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________．答案　11　7解析　设等差数列{a n}的项数为2n＋1(n∈N*)，S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝(n＋1)(a1＋a2n＋1)2＝(n＋1)a n＋1，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝n(a2＋a2n)2＝na n＋1，所以S奇S偶＝n＋1n＝4433，解得n＝3，所以项数2n＋1＝7，S奇－S偶＝a n＋1，即a4＝44－33＝11，为所求的中间项．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，a n>0，a1<2,6S n＝(a n＋1)(a n＋2)．(1)求证：{a n}是等差数列；(2)令b n＝3a n a n＋1，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n<1.证明　(1)因为6S n＝(a n＋1)(a n＋2)，所以当n≥2时，6S n－1＝(a n－1＋1)(a n－1＋2)，两式相减，得到6a n＝(a2n＋3a n＋2)－(a2n－1＋3a n－1＋2)，整理得(a n－a n－1)(a n＋a n－1)＝3(a n＋a n－1)，又因为a n>0，所以a n－a n－1＝3，所以数列{a n}是公差为3的等差数列．(2)当n＝1时，6S1＝(a1＋1)(a1＋2)，解得a1＝1或a1＝2，因为a1<2，所以a1＝1，由(1)可知a n－a n－1＝3，即公差d＝3，所以a n＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×3＝3n－2，所以b n＝3a n a n＋1＝3(3n－2)(3n＋1)＝13n－2－13n＋1，所以T n＝1－14＋14－17＋…＋13n－2－13n＋1＝1－13n＋1<1.。

高考数学等差数列必考知识点高考数学等差数列必考知识点高考数学等差数列是高考数学的必考知识点，你对等差数列了解多少，下面由店铺为大家介绍一下高考数学等差数列知识点，感兴趣的朋友们来看一下吧!高考数学等差数列知识点高中数学知识点一：等差数列公式等差数列公式an=a1+(n-1)da1为首项，an为第n项的通项公式，d为公差前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2Sn=(a1+an)n/2若m+n=p+q则：存在am+an=ap+aq若m+n=2p则：am+an=2ap以上n.m.p.q均为正整数解析：第n项的值an=首项+(项数-1)×公差前n项的和Sn=首项×n+项数(项数-1)公差/2公差d=(an-a1)÷(n-1)项数=(末项-首项)÷公差+1数列为奇数项时，前n项的和=中间项×项数数列为偶数项，求首尾项相加，用它的和除以2等差中项公式2an+1=an+an+2其中{an}是等差数列通项公式：公差×项数+首项-公差高中数学知识点二：等差数列求和公式若一个等差数列的首项为a1，末项为an那么该等差数列和表达式为：S=(a1+an)n÷2即(首项+末项)×项数÷2前n项和公式注意：n是正整数(相当于n个等差中项之和)等差数列前N项求和，实际就是梯形公式的妙用：上底为：a1首项，下底为a1+(n-1)d，高为n。

即[a1+a1+(n-1)d]* n/2={a1n+n(n-1)d}/2。

高中数学知识点三：推理过程设首项为 , 末项为 , 项数为 , 公差为 , 前项和为 , 则有:当d≠0时，Sn是n的'二次函数，(n，Sn)是二次函数的图象上一群孤立的点。

利用其几何意义可求前n项和Sn的最值。

注意：公式一二三事实上是等价的，在公式一中不必要求公差等于一。

求和推导证明：由题意得：Sn=a1+a2+a3+。

高二数学等差数列及其前n项和知识点梳理伟大的数学家华罗庚曾经说过：“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生活之迷、日月之繁，无处不用数学。

准备了高二数学等差数列及其前n项和知识点，希望你喜欢。

一、等差数列的有关概念：1.定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.符号表示为an+1-an=d(n∈N*，d为常数).2.等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A=(a+b)/2，其中A叫做a，b的等差中项.等差数列的有关公式1.通项公式：an=a1+(n-1)d.2.前n项和公式：Sn=na1+n(n-1)/2d+d=(a1+an)n/2.等差数列的性质1.若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，{an}为等差数列，则am+an=ap+aq.2.在等差数列{an}中，ak，a2k，a3k，a4k，…仍为等差数列，公差为kd.3.若{an}为等差数列，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…仍为等差数列，公差为n2d.4.等差数列的增减性：d>0时为递增数列，且当a10时前n项和Sn 有最大值.5.等差数列{an}的首项是a1，公差为 d.若其前n项之和可以写成Sn=An2+Bn，则A=d/2，B=a1-d/2，当d≠0时它表示二次函数，数列{an}的前n项和Sn=An2+Bn是{an}成等差数列的充要条件.解题方法1.与前n项和有关的三类问题(1)知三求二：已知a1、d、n、an、Sn中的任意三个，即可求得其余两个，这体现了方程思想.(2)Sn=d/2*n2+(a1-d/2)n=An2+Bn⇒d=2A.(3)利用二次函数的图象确定Sn的最值时，最高点的纵坐标不一定是最大值，最低点的纵坐标不一定是最小值.2.设元与解题的技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元，若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…;若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元高二数学等差数列及其前n项和知识点就为大家介绍到这里，希望对你有所帮助。

专题7.2 等差数列及其前n 项和（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.与归纳推理相结合，考查数列的概念与通项，凸显逻辑推理的核心素养．2．与函数、不等式相结合，考查数列的概念及其性质，凸显数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养． 3．与递推公式相结合，考查对求通项公式的方法的掌握，凸显数学运算、数学建模的核心素养．【知识点展示】（一）等差数列1.定义：等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示.用递推公式表示为或.2.等差数列的通项公式：；说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列， 为递减数列.3.等差中项的概念：定义：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项,其中 . 2d 1(2)n n a a d n --=≥1(1)n n a a d n +-=≥1(1)n a a n d =+-A P d 0>0d =0d <a A b A a b 2a bA +=，，成等差数列. 4.要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列． 5.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别． （二）等差数列的前和的求和公式：. （三）等差数列的通项公式及前n 项和公式与函数的关系(1)当d ≠0时，等差数列{a n }的通项公式a n ＝dn ＋(a 1－d )是关于d 的一次函数． (2)当d ≠0时，等差数列{a n }的前n 项和S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n 是关于n 的二次函数． （四）等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值． （五）等差数列的性质：（1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列， 如：，，，，……；，，，，……；（3）在等差数列中，对任意，，，；（4）在等差数列中，若，，，且，则,特殊地，时，则，是的等差中项.（5）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即成等差数列.（6）两个等差数列{}n a 与{}n b 的和差的数列{}n n a b ±仍为等差数列． （7）若数列{}n a 是等差数列,则{}n ka 仍为等差数列．（8）设数列是等差数列，且公差为，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有项，则①-S S nd =奇偶； ②；（Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则①S S -偶奇(中间项)；②. （9）等差数列中，(),p q a q a p p q ==≠,则0p q a +=,m n m n S S S mnd +=++.a Ab ⇔2a bA +=n 11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+{}n a {}n a 1a 3a 5a 7a 3a 8a 13a 18a {}n a m n N +∈()n m a a n m d =+-n ma a d n m-=-()m n ≠{}n a m n p q N +∈m n p q +=+m n p q a a a a +=+{}n a d 2n 1n n S a S a +=奇偶21n -n a a ==中1S nS n =-奇偶（10）如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数．（11）若与{}n b 为等差数列，且前n 项和分别为n S 与'n S ，则2121'm m m m a Sb S --=. （12）等差数列的增减性：0d >时为递增数列，且当10a <时前n 项和n S 有最小值．0d <时为递减数列，且当10a >时前n 项和n S 有最大值．【常考题型剖析】题型一：等差数列基本量的运算例1.（2019·全国·高考真题（理））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则（ ） A ．25n a n =- B ．310n a n =- C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =-【答案】A 【解析】 【分析】等差数列通项公式与前n 项和公式．本题还可用排除，对B ，55a =，44(72)1002S -+==-≠，排除B ，对C ，245540,25850105S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除C ．对D ，24554150,5250522S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除D ，故选A ． 【详解】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，故选A ．例2．（2022·全国·高考真题（文））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若32236S S =+，则公差d =_______． 【答案】2 【解析】【分析】转化条件为()112+226a d a d =++，即可得解. 【详解】由32236S S =+可得()()123122+36a a a a a +=++，化简得31226a a a =++， 即()112+226a d a d =++，解得2d =. 故答案为：2.{}n a【总结提升】1.解决等差数列运算问题的思想方法(1)方程思想：等差数列的基本量为首项a 1和公差d ，通常利用已知条件及通项公式或前n 项和公式列方程(组)求解，等差数列中包含a 1，d ，n ，a n ，S n 五个量，可“知三求二”．(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a 1，d 表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解．(3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程． 2.等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量1,,,,n n a d n a S ，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题.3.特殊设法:三个数成等差数列，一般设为,,a d a a d -+；四个数成等差数列，一般设为3,,,3a d a d a d a d --++.这对已知和,求数列各项,运算很方便.题型二：等差数列的判定与证明例3. （2020·山东·高考真题）某男子擅长走路，9天共走了1260里，其中第1天、第4天、第7天所走的路程之和为390里.若从第2天起，每天比前一天多走的路程相同，问该男子第5天走多少里.这是我国古代数学专著《九章算术》中的一个问题，请尝试解决. 【答案】140里. 【解析】 【分析】由条件确定，该男子这9天中每天走的路程数构成等差数列，根据等差数列的通项公式，和前n 项和公式，列式求解.【详解】解：因为从第2天起，每天比前一天多走的路程相同， 所以该男子这9天中每天走的路程数构成等差数列， 设该数列为{}n a ，第1天走的路程数为首项1a ，公差为d ， 则91260S =，147390a a a ++=. 因为1(1)2n n n S na d -=+，1(1)n a a n d =+-， 1(1)n a a n d =+-11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+所以11119(91)91260236390a d a a d a d ⨯-⎧+=⎪⎨⎪++++=⎩，解得110010a d =⎧⎨=⎩，则514100410140a a d =+=+⨯=， 所以该男子第5天走140里.例4.（2021·全国·高考真题（文））记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知210,3n a a a >=，且数列是等差数列，证明：{}n a 是等差数列. 【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】的公差d，进一步写出的通项，从而求出{}n a 的通项公式，最终得证. 【详解】∵数列是等差数列，设公差为d(n -()n *∈N∴12n S a n =，()n *∈N∴当2n ≥时，()221111112n n n a S S a n a n a n a -=-=--=- 当1n =时，11121=a a a ⨯-，满足112n a a n a =-， ∴{}n a 的通项公式为112n a a n a =-，()n *∈N ∴()()111111221=2n n a a a n a a n a a --=----⎡⎤⎣⎦∴{}n a 是等差数列.例5．（2021·全国·高考真题（理））已知数列{}n a 的各项均为正数，记n S 为{}n a 的前n 项和，从下面①①①中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①数列{}n a是等差数列：②数列是等差数列；③213a a =． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】证明过程见解析 【解析】 【分析】选①②作条件证明③时，结合,n n a S 的关系求出n a ，利用{}n a 是等差数列可证213a a =；也可分别设出公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，进行证明.选②③作条件证明①时，an b =+，结合,n n a S 的关系求出n a ，根据213a a =可求b ，然后可证{}n a 是等差数列；也可利用前两项的差求出公差，然后求出通项公式，进而证明出结论. 【详解】选①②作条件证明③：[方法一]：待定系数法+n a 与n S 关系式(0)an b a +>，则()2n S an b =+， 当1n =时，()211a S a b ==+；当2n ≥时，()()221n n n a S S an b an a b -=-=+--+()22a an a b =-+；因为{}n a 也是等差数列，所以()()222a b a a a b +=-+，解得0b =；所以()221n a a n =-，21a a =，故22133a a a ==.[方法二] ：待定系数法设等差数列{}n a 的公差为d，等差数列的公差为1d ，1(1)n d -，将1(1)2n n n S na d -=+1(1)n d -，化简得())2222211111222d d n a n d n d n d ⎛⎫+-=+-+⎪⎝⎭对于n +∀∈N恒成立．则有21211112,240,d d a d d d ⎧=⎪⎪-=-⎨=，解得112d d a =．所以213a a =． 选①③作条件证明②：因为213a a =，{}n a 是等差数列， 所以公差2112d a a a =-=， 所以()21112n n n S na d n a -=+=，)1n =+=所以是等差数列. 选②③作条件证明①： [方法一]：定义法(0)an b a +>，则()2n S an b =+， 当1n =时，()211a S a b ==+；当2n ≥时，()()221n n n a S S an b an a b -=-=+--+()22a an a b =-+；因为213a a =，所以()()2323a a b a b +=+，解得0b =或43a b =-； 当0b =时，()221,21n a a a a n ==-，当2n ≥时，2-1-2n n a a a =满足等差数列的定义，此时{}n a 为等差数列；当43a b =-4=3an b an a +-03a=-<不合题意，舍去. 综上可知{}n a 为等差数列. [方法二]【最优解】：求解通项公式因为213a a =，因为也为等差数列，所以公差1d()11n d =-=故21n S n a =，当2n ≥时，()()221111121n n n a S S n a n a n a -=-=--=-，当1n =时，满足上式，故{}n a 的通项公式为()121n a n a =-，所以()1123n a n a -=-，112n n a a a --=，符合题意. 【整体点评】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，选①②时，法一：利用等差数列的通项公式是关于n(0)an b a =+>，平方后得到n S 的关系式，利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩得到{}n a 的通项公式，进而得到213a a =，是选择①②证明③的通式通法；法二：分别设出{}n a 与{}n S的公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系1d =12d a =，进而得到213a a =；选①③时，按照正常的思维求出公差，表示出n S进行证明；选②③时，法一：利用等差数列的通项公式是关于n 的一次函数，(0)an b a =+>，结合,n n a S 的关系求出n a ，根据213a a =可求b ，然后可证{}n a两项的差1d11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求出{}n a 的通项公式，进而证明出结论. 【总结提升】等差数列的四种判断方法(1) 定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1()n N ∈*(常数)，则数列{}n a 是等差数列； (2) 等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ()n N ∈*，则数列{}n a 是等差数列; (3)通项公式：n a pn q =+(,p q 为常数,n N ∈*)⇔是等差数列;(4)前n 项和公式：2n S An Bn =+(,A B 为常数, n N ∈*)⇔是等差数列;(5)是等差数列⇔n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列. 提醒：判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a 2－a 1＝d 这一关键条件.题型三：等差数列的前n 项和例6．【多选题】（2022·湖南永州·三模）已知等差数列{}n a 是递减数列，n S 为其前n 项和，且78S S =，则（ ）A ．0d ＞B ．80a =C ．150S >D ．7S 、8S 均为n S 的最大值【答案】BD 【解析】【分析】根据等差数列的性质以及其前n 项和的性质，逐个选项进行判断即可求解 【详解】因为等差数列{}n a 是递减数列，所以，10n n a a +-<，所以，0d <，故A 错误； 因为78S S =，所以8870a S S =-=，故B 正确； 因为()115158151502a a S a +===，故C 错误； 因为由题意得，789000a a a >⎛ = <⎝，所以，*78()n S S S n N =≥∈，故D 正确；故选：BD例7.（2020·全国·高考真题（文））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若1262,2a a a =-+=，则10S =__________． 【答案】25 【解析】 【分析】因为{}n a 是等差数列，根据已知条件262a a +=，求出公差，根据等差数列前n 项和，即可求得答案. 【详解】{}n a 是等差数列，且12a =-，262a a +=设{}n a 等差数列的公差d根据等差数列通项公式：()11n a a n d +-= 可得1152a d a d +++= 即：()2252d d -++-+= 整理可得：66d = 解得：1d =根据等差数列前n 项和公式：*1(1),2n n n S na d n N -=+∈ 可得：()1010(101)1022045252S ⨯-=-+=-+=∴1025S =. 故答案为：25.例8.（2018·全国·高考真题（文））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值．【答案】（1）n a =2n –9，（2）Sn =n 2–8n ，最小值为–16． 【解析】 【详解】分析：（1）根据等差数列前n 项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前n 项和公式得nS 的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.详解：（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得3a 1+3d =–15．由a 1=–7得d =2．所以{n a }的通项公式为n a =2n –9． （2）由（1）得Sn =n 2–8n =（n –4）2–16． 所以当n =4时，Sn 取得最小值，最小值为–16．例9.（2021·全国·高考真题）记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若35244,a S a a S ==． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）求使n n S a >成立的n 的最小值． 【答案】(1)26n a n =-；(2)7. 【解析】 【分析】(1)由题意首先求得3a 的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式； (2)首先求得前n 项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n 的最小值. 【详解】(1)由等差数列的性质可得：535S a =，则：3335,0a a a =∴=，设等差数列的公差为d ，从而有：()()22433a a a d a d d =-+=-，()()()41234333322S a a a a a d a d a a d d =+++=-+-++-=-， 从而：22d d -=-，由于公差不为零，故：2d =， 数列的通项公式为：()3326n a a n d n =+-=-.(2)由数列的通项公式可得：1264a =-=-，则：()()214252n n n S n n n -=⨯-+⨯=-，则不等式n n S a >即：2526n n n ->-，整理可得：()()160n n -->， 解得：1n <或6n >，又n 为正整数，故n 的最小值为7.例10．（2022·福建·厦门一中模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和n S ，11a =，0n a >，141n n n a a S +=-． (1)计算2a 的值，求{}n a 的通项公式；(2)设1(1)nn n n b a a +=-，求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．【答案】(1)23a =，21n a n =- (2)24(21)n T n n =+ 【解析】 【分析】（1）根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，作差得到24n n a a +-=，再根据等差数列通项公式计算可得；（2）由（1）可得(1)(21)(21)n n b n n =--+，利用并项求和法计算可得； (1)解：当1n =时，12141a a a =-，解得23a =， 由题知141n n n a a S +=-①，12141n n n a a S +++=-②，由②-①得121()4n n n n a a a a +++-=，因为0n a >，所以24n n a a +-=， 于是：数列{}n a 的奇数项是以11a =为首项，以4为公差的等差数列， 即()2114(1)432211n a n n n -=+-=-=--，偶数项是以23a =为首项，以4为公差的等差数列，即234(1)41n a n n =+-=- 所以{}n a 的通项公式21n a n =-； (2)解：由（1）可得(1)(21)(21)n n b n n =--+，212(43)(41)(41)(41)4(41)n n b b n n n n n -=---+-+=-+21234212(341)()()()4[37(41)]44(21)2n n n n n T b b b b b b n n n -+-=++++++=+++-=⨯=+. 【总结提升】1.利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．当10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值；若已知n a ，则n S 最值时n 的值（n N +∈）则当10a >，0d <，满足100n n a a +≥⎧⎨≤⎩的项数n 使得n S 取最大值，(2)当10a <，0d >时，满足10n n a a +≤⎧⎨≥⎩的项数n 使得n S 取最小值.2.利用等差数列的前n 项和：2n S An Bn =+(,A B 为常数, n N ∈*)为二次函数，通过配方或借助图像，二次函数的性质，转化为二次函数的最值的方法求解；有时利用数列的单调性（0d >,递增；0d <，递减）；3. 利用数列中最大项和最小项的求法：求最大项的方法：设为最大项，则有11n n n n a a a a -+≥⎧⎨≥⎩；求最小项的方法：设为最小项，则有11n n n n a a a a -+≤⎧⎨≤⎩.只需将等差数列的前n 项和1,2,3,n =依次看成数列{}n S ，利用数列中最大项和最小项的求法即可.4.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用. 题型四：等差数列性质及应用例11.（2020·浙江·高考真题）已知等差数列{an }的前n 项和Sn ，公差d ≠0，11a d≤．记b 1=S 2，bn+1=S2n+2–S 2n ，n *∈N ，下列等式不可能．．．成立的是（ ） A ．2a 4=a 2+a 6 B ．2b 4=b 2+b 6 C ．2428a a a = D ．2428b b b =【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得，21212222n n n n n b S a a S ++++=+=-，而1212b S a a ==+，即可表示出题中2468,,,b b b b ，再结合等差数列的性质即可判断各等式是否成立． 【详解】对于A ，因为数列{}n a 为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由4426+=+可得，4262a a a =+，A 正确；对于B ，由题意可知，21212222n n n n n b S a a S ++++=+=-，1212b S a a ==+， ∴234b a a =+，478b a a =+，61112b a a =+，81516b a a =+． ∴()47822b a a =+，26341112b b a a a a +=+++．根据等差数列的下标和性质，由31177,41288+=++=+可得()26341112784=2=2b b a a a a a a b +=++++，B 正确；对于C ，()()()()2224281111137222a a a a d a d a d d a d d d a -=+-++=-=-， 当1a d =时，2428a a a =，C 正确； 对于D ，()()22222478111213452169b a a a d a a d d =+=+=++，n a n a()()()()2228341516111125229468145b b a a a a a d a d a a d d =++=++=++，()22428112416832b b b d a d d d a -=-=-．当0d >时，1a d ≤，∴()113220d a d d a -=+->即24280b b b ->；当0d <时，1a d ≥，∴()113220d a d d a -=+-<即24280b b b ->，所以24280b b b ->，D 不正确．故选：D.例12．（2014·北京高考真题（理））若等差数列{}n a 满足7897100,0a a a a a ++>+<，则当n =__________时，{}n a 的前n 项和最大． 【答案】8 【解析】由等差数列的性质，，，又因为，所以所以，所以，，故数列的前8项最大.例13．（2016·北京·高考真题（理））已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则6=S _______. 【答案】6 【解析】 【详解】试题分析：因为{}n a 是等差数列，所以35420a a a +==，即40a =，又4136a a d -==-，所以2d =-， 所以616156615(2)6S a d =+=⨯+⨯-=．故答案为6．例14.（2021·江西新余四中高二月考（理））等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，若2132n n S n T n +=+，则2517208101214a a a ab b b b +++=+++________．【答案】4365【分析】 证明得出2121n n n n a S b T --=，结合等差中项的基本性质可求得结果. 【详解】因为等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，则()()()()()()12121121212121221212n n n n n n n nn a a n a S a n b b T n b b -----+-===-+-，所以，25172011218101214112142211434321265a a a a a Sb b b b b T +++⨯+====+++⨯+.故答案为：4365. 【温馨提醒】等差数列的性质主要涉及“项的性质”和“和的性质”，因此，要注意结合等差数列的通项公式、前n 项和公式求解．。