50 第十一章能量法
第十一章能量方法
第十一章答案
11.1 图示桁架各杆的材料相同，截面面积相等。
试求在 F 力作用下，桁架的变形能。
F
2
F F F , 3
F N 1 N 2 N
2
F
2
A
1 2
3 B
l
2
2
2
F
2 2
2
F l l
2
2
F (x) 2
N
V dx
2EA 2EA 2EA
l l
2 2
3F l
4EA
.
11.2计算图示各杆的应变能。
M e
A 2A A A EI
A A EI
A F C
A
C
B
l/3 2l/3
B
l l x1x2
(a) (b)
M e/l M e/l
(a) V
2 2
3 2
F l F l F l 2EA 4EA 4EA
.
(b)
2 2
M M
e e
x x
1 2
l l
l /3 2l /3
V dx dx
1 2
0 2EI 0 2EI
l /3 2l /3
2 2 2 2
M x x M l
e 1 2 e
2
2EIl 3 3 18EI
0 0
.
第十一章能量法51
11.3 传动轴受力情况如图所示。
轴的直径为40mm，材料为45钢，E = 210GPa，
G = 80GPa。
试计算轴的应变能。
0.36kN
(b)
1kN 0.8kN ·m
由扭转引起的应变能：
2
80
0.2
V dx 2
0 2 p
GI 0.32 200 200
由弯曲引起的应变能：
2
0.2
(531.4x)
V 2 dx 0.029
1
2EI
V V 1 V 2 0.061J.
11.4 计算图示梁的应变能，并说明是否满足
叠加原理及其原因。
Me=Fl
F
2 2 3
l (Fl Fx) F l
V dx
0 2 6
EI EI
EI
x
而
2 2 3
l (Fl ) F l
V dx
1 0
2EI 2EI
l
2 2 3
l ( Fx) F l
V dx
2 0
2EI 6EI
.
不满足叠加原理，因为应变能与内力的关系不是线性的。
52 第十一章能量法11.5 在外伸梁的自由端作用力偶矩M e，试用互等定理，并借助于附录E，求
M e
A
C
跨度中点 C 的挠度w c。
B D
l/2 l/2 a （见课本下册p40 例12-4）
11.6 图示刚架的各杆的EI 皆相等，试求截面A、B 的位移和截面 C 的转角。
q
a b
F
A x1
x3
x2 C
l/2
x
A
h
l h
(a) B (b)
(a) A 点：在A 点加一个向下的单位力。
M(x1)=0, M(x2)= F x2, M(x3)=Fb
M (x ) x , M (x2) Fx2 , M (x3) 0
1 1 h M (x )M(x ) Fabh
3 3
dx
3
EI EI
.
C 点：在C 加一个逆时针的力偶矩为１的单位力偶。
M (x2) 1, M (x3) 1
b M (x )M(x ) h M (x )M(x )
2 2
3 3
dx dx
2 3 0 0
EI EI
2
Fb Fbh 2EI EI
.
(b) A 点：在A 点加一个向下的单位力。
2
ql qx
M ( x) x ,
2 2
1
M (x) x
2
2 l
/ 2
2
1 qlx qx
x
4
2 2 2 5ql
dx
EI 384EI
.
B 点：在B 点加一个向右的单位力。
M (x) h
第十一章能量法53
l 0
2
qlx qx
h( )
3
ql h
2 2
dx
EI 12EI
.
11.7 图示桁架各杆的材料相同，截面面积相等。
试求节点 C 处的水平位移和
2F
垂直位移。
F
C
B 杆号 1 2 3 4 5
F N F -F - 2 F F 0
F 水平0 0 2 -1 0
N
l
F 垂直0 0 0 -1 0
N
A
l l l 2 l l l
D
l
水平位移：
n F F l
Ni Ni i
EA i 1
2 2Fl Fl
EA EA
(1 2 2) Fl 3.828 F l
EA EA
.
垂直位移：
Fl
EA
.
2
11.8 图中绕过无摩擦滑轮的钢索的截面面积为76.36mm ，E 索= 177GPa。
F = 20kN，(a) 假设横梁ABCD 为刚体，求 C 点的垂直位移。
(2) 若不把ABCD 假
2
设为刚体，且已知其抗弯刚度为EI = 1440kN.m ，试再求 C 点的垂直位移。
(1)
2 1 1
F
EA
3 3
0.377.89 10 4 m.
A B 60°60° D
2
Fx C
(2) 4
0.910 2
0.3
4
EI
d x F
800 400 400
4 4 4 0.3310 1.48 10 9.37 10 m.
54 第十一章能量法
11.9 等截面曲杆BC 的轴线为四分之三的圆周。
若AB 杆可视为刚性杆，试求在F 力作用下，截面 B 的水平位移及垂直位移。
C 水平位移：M( )= F Rcos , M ( ) Rsin
F
A
B
3 3 3
.R FR sin cos FR
2
d
0 EI EI
2
垂直位移：M ( ) R(1 cos )
3 3 3
FR cos (1 cos ) (4 3 )FR 2
d
0 EI EI
4
3
0.38FR
.
EI
11.10 图示圆弧形小曲率杆，平均半径为R。
力F 垂直于圆环中线所在的平面。
试求两个 F 力作用点的相对线位移。
F O
R M( )=FRsin , M ( ) Rsin
T( )=FR(1-cos ), T( ) R(1 cos )
B
A
F
3 2 3 2
FR sin FR (1 cos )
2 2
d d
0 0
EI GI
p
3 3 3
. FR FR EI GI
p
第十一章能量法55
11.11 图示圆弧形小曲率杆，平均半径为R。
在横截面 A 与B 处受一对集中力
F 作用。
力F 在圆环中线所在的平面内。
试求两个 F 力作用点的相对线位移。
M( )=FRsin , M ( ) Rsin
2 0
3 2 3
FR sin FR
d
EI EI
.
F
O
O
θ
A
B
R
F
11.12 图示轴线为水平面内四分之一圆周的曲杆，在自由端B 作用垂直荷载F，设EI 和GI P 为已知，试求在 F 力作用下端面 B 的垂直位移。
R M( )=FRsin , M ( ) Rsin
O
B T( )=FR(1-cos ), T ( ) R(1 cos )
3 2 3 2
FR sin FR (1 cos )
/ 2 / 2
d d
0 EI 0 GI
p
F
56 第十一章能量法
3 (3 8) 3
.
FR FR
4EI 4GI p。
