1.3.2正切函数的图像与性质

研一研·问题探究、课堂更高效
π 求函数y＝tan2x－3 的单调区间．
π π x在x∈－2＋kπ，2＋kπ
1.3.2（二）
跟踪训练2
解 ∵y＝tan
本 课 时 栏 目 开 关
(k∈Z)上是增函数，
π π π ∴－ ＋kπ<2x－ < ＋kπ，k∈Z. 2 3 2 π kπ 5π kπ 即－ ＋ <x< ＋ ，k∈Z. 12 2 12 2
本 课 时 栏 目 开 关
1.3.2（二）
1＋tan x≠0， 只需 π x≠2＋kπ
(k∈Z)．
∴函数的定义域为 π π x|x∈R，x≠kπ＋ 且x≠kπ－ ，k∈Z. 2 4 (2)由 3－tan x>0，得tan x< 3. π π 根据正切函数图象，得－ ＋kπ<x< ＋kπ (k∈Z)， 2 3 π π x|－ ＋kπ<x< ＋kπ，k∈Z. ∴函数的定义域是 2 3
研一研·问题探究、课堂更高效
跟踪训练3 比较下列两组函数值的大小． (1)tan(－1 280° )与tan 1 680° ； (2)tan 1，tan 2，tan 3.
本 课 时 栏 目 开 关1. Nhomakorabea.2（二）
解 (1)∵tan(－1 280° )＝tan(－4×360° ＋160° ) ＝tan(180° －20° )＝tan(－20° )， tan 1 680° ＝tan(4×360° ＋240° ) ＝tan(180° ＋60° )＝tan 60° ，
研一研·问题探究、课堂更高效
1.3.2（二）
(3)正切函数的奇偶性： 从正切函数的图象来看， 正切曲线关于 原点 对称； 从诱导公式

k
2
(k
Z
)
例题分析
例３ 求函数 y tan 3x 的周期.
解： 因为tan(3x ) tan 3x,
即tan3(x+ )=tan3x,
3
这说明自变量 x ,至少要增加 才能重复取得，所以函数 y
3
tan
，函数的值 3x 的周期
是
3
反馈练习：求下列函数的周期：
(1) y 5 tan x 2
⑵ 值域： R
2
⑶ 周期性：
⑷ 奇偶性： 奇函数，图象关于原点对称。
⑸ 单调性： 在每一个开区间
( k , k )
2
2
，k Z 内都是增函数。
(6)渐近线方程：x
k
2
,
kZ
(7)对称中心 (kπ,0) 2
问题讨论
问题：
(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？ (2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？
(1)tan167o 与tan173o
（2）tan(-
11π) 与
4
tan(- 13π) 5
解:(1) 900 1670 1730 1800
y
tan
x在
2
，
上是增函数，
tan1670 tan1730
说明：比较两个正切值大小，关键是把相 应的角 化到y=tanx的同一单调区间内，再 利用y=tanx的单调递增性解决。
3、正切函数 y tan x 是否具有奇偶性？
思考
由诱导公式知
f x tan x tan x f x, x R, x k , k Z
2
正切函数是奇函数.
思考
4、能否由正切线的变化规律及正切函数周期性来讨论它的单调性?

π π y = 3tan u在u ?（kπ ，kπ + ），k Z 上单调递增. 2 2 1 π π 1 π π \ y = 3tan( x + )在kπ - 〈 x + 〈kπ + 2 4 2 2 4 2
即x ?（2kπ
3 π π，kπ + ）上单调递增. 2 2 2
课堂小结
π π 1、y = tanx的作图是平移在（ - ， ）上的图象得到的. 2 2
π y 例4:求下列函数的周期， = 3tan(2 x + ). 4
分析：利用周期函数定义及正切函数最小正周 期为π.
4 解：f（x） 3tan（2 x + ） = π
π = 3tan(2 x + + π) 4 轾 π π = 3tan 犏 x + ) + 2( 犏 2 4 臌
π \ 周期T = 2
π 周期T 2
π (1) y 3 tan(2 x ); 4
π f (x ) 2
1 π （2）变题y=3tan（ x + ） 2 4
1 π 解： f ( x) 3tan( x ) 2 4 1 π 3tan( x π) 2 4
1 π 3tan[ ( x 2π) ] 2 4
新课导入
提问： 1、正弦函数 性质？
y sin x, x R
都有哪些
2、正弦函数的两个代数性质：
sin( x 2 ) sin x,sin( x) sin x
反映了正弦函数图象的什么几何特征？
教学目标
知识与能力
利用正切函数已有的知识（如定义、诱 导公式、正切线等）研究性质，根据性质探 究正切函数的图象.

1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质（一）新知初探 1．余弦曲线余弦函数y ＝cos x ，x ∈R 的图象叫余弦曲线．2．余弦函数图象的画法(1)要得到y ＝cos x 的图象，只需把y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位长度便可，这是由于cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2. (2)用“五点法”：画余弦函数y ＝cos x 在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为 ，⎝⎛⎭⎫π2，0， ，⎝⎛⎭⎫3π2，0， ．3．余弦函数的性质 点睛 函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(x ∈R )(A ，ω，φ为常数，且A ≠0，ω＞0)的最小正周期为T ＝2πω.小试身手1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝cos x 的图象与y 轴只有一个交点．( ) (2)将余弦曲线向右平移π2个单位就得到正弦曲线．( )(3)函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，5π2的图象与函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象的形状完全一致．( ) (4)在区间[0,2π]上，函数y ＝cos x 仅当x ＝0时取得最大值1.( ) 2．函数y ＝－cos x ，x ∈[0,2π]的图象与y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于原点对称 C ．关于原点和x 轴对称D ．关于y 轴对称3．下列函数中，周期为π2的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝sin 2xC ．y ＝cos x2 D ．y ＝cos 4x4．函数y ＝3＋2cos x 的最大值为________． 课堂讲练题型一 函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象典例 (1)要得到函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象，可以将函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －3π4的图象沿x 轴( )A ．向左平移π2个单位B ．向左平移π个单位C ．向左平移π4个单位D ．向右平移π个单位(2)用“五点法”作函数y ＝1－cos x (0≤x ≤2π)的简图． 类题通法“五点法”画函数图象的三个步骤作形如y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b ，x ∈[0,2π]的图象时，可用“五点法”作图，其步骤是：①列表，取x ＝0，π2，π，3π2，2π；②描点；③用光滑曲线连成图．这是一种基本作图方法，应该熟练掌握． 活学活用1．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋θ)的图象如图所示，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－23， 则f ⎝⎛⎭⎫－π6＝( )A ．－23B ．－12C ．23D ．122．画出函数y ＝3－2cos x ，x ∈[0,2π]的简图．题型二 余弦函数的性质典例 (1)函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫k 4x ＋π3(k >0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是( ) A ．10 B ．11 C ．12D ．13(2)函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π4－x 的单调递增区间为________． 类题通法1．求三角函数的周期，通常有三种方法 (1)定义法．(2)公式法．对y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，且A ≠0，ω≠0)，T ＝2π|ω|.(3)观察法(图象法)． 2．有关函数奇偶性的结论(1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形； 偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形．(2)对于奇函数，当x ＝0属于定义域时必有f (0)＝0.对于偶函数，任意属于定义域的x 都有f (|x |)＝f (x )． 活学活用1．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx －π2－1，则下列命题正确的是( ) A ．f (x )是周期为1的奇函数 B ．f (x )是周期为2的偶函数 C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数 D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数 2．比较大小：cos 158π________cos 149π.题型三 正、余弦函数的最值 题点一：形如y ＝a sin x 或y ＝a cos x 型1．若y ＝a cos x ＋b 的最大值为3，最小值为1，则ab ＝________.题点二：形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b 型2．求函数y ＝3－4cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π6的最大、最小值及相应的x 值．题点三：形如y ＝A sin 2x ＋B sin x ＋C 或y ＝A cos 2x ＋B cos x ＋C 型 3．求函数y ＝3－4sin x －4cos 2x 的值域． 类题通法三角函数最值问题的三种常见类型及求解方法(1)形如y ＝a sin x (或y ＝a cos x )型，可利用正弦函数，余弦函数的有界性，注意对a 正负的讨论．(2)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b )型，可先由定义域求得ωx ＋φ的范围，然后求得sin(ωx ＋φ)(或cos(ωx ＋φ))的范围，最后求得最值．(3)形如y ＝a sin2x ＋b sin x ＋c (a ≠0)型，可利用换元思想，设t ＝sin x ，转化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 求最值．t 的范围需要根据定义域来确定．参考答案新知初探2．(2)(0,1) (π，－1) (2π，1)3．[－1,1] 1 －1 偶函数 [(2k －1)π，2k π]小试身手1．【答案】(1)√ (2)√ (3)√ (4)× 2．【答案】A 3．【答案】D 4．【答案】5 课堂讲练题型一 函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象 典例 (1)【答案】C 【解析】∵y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －3π4 ＝3cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4－π4， ∴将函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －3π4图象上所有点向左平移π4个单位，便可得到函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象，故选C. (2)解：列表：活学活用 1．【答案】A【解析】由题图知，T ＝2⎝⎛⎭⎫11π12－7π12＝2π3， ∴f ⎝⎛⎭⎫－π6＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＋2π3＝f ⎝⎛⎭⎫π2＝－23. 2．解：按五个关键点列表，描点画出图象(如图).题型二 余弦函数的性质典例 【答案】 (1)D (2)⎣⎡⎦⎤－3π4＋2k π，π4＋2k π(k ∈Z ) 【解析】 (1)∵T ＝2πk 4＝8πk ≤2，∴k ≥4π，又k ∈Z ，∴正整数k 的最小值为13. (2)y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x －π4. 令－π＋2k π≤x －π4≤2k π(k ∈Z )，则－3π4＋2k π≤x ≤π4＋2k π(k ∈Z )．所以y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π4－x 的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－3π4＋2k π，π4＋2k π(k ∈Z )． 活学活用 1．【答案】B【解析】f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx －π2－1＝－cos πx －1，从而函数为偶函数，且T ＝2ππ＝2. 2．【答案】＞【解析】cos 15π8＝cos ⎝⎛⎭⎫2π－π8＝cos π8， cos 14π9＝cos ⎝⎛⎭⎫2π－4π9＝cos 4π9. ∵函数y ＝cos x 在[0，π]上单调递减， 且0<π8<4π9<π，∴cos π8>cos 4π9，∴cos 15π8>cos 14π9.题型三 正、余弦函数的最值 题点一：形如y ＝a sin x 或y ＝a cos x 型 1．【答案】±2【解析】当a >0时，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝3，－a ＋b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.当a <0时，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，－a ＋b ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.题点二：形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b 型 2．解：因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π6， 所以2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3， 从而－12≤cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1. 所以当cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝1，即2x ＋π3＝0，x ＝－π6时，y min ＝3－4＝－1. 当cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝－12，即2x ＋π3＝2π3，x ＝π6时，y max ＝3－4×⎝⎛⎭⎫－12＝5. 综上所述，当x ＝－π6时，y min ＝－1；当x ＝π6时，y max ＝5.题点三：形如y ＝A sin 2x ＋B sin x ＋C 或y ＝A cos 2x ＋B cos x ＋C 型 3．解：y ＝3－4sin x －4cos 2x ＝3－4sin x －4(1－sin 2x ) ＝4sin 2x －4sin x －1， 令t ＝sin x ，则－1≤t ≤1.∴y ＝4t 2－4t －1＝4⎝⎛⎭⎫t －122－2(－1≤t ≤1)． ∴当t ＝12时，y min ＝－2，当t ＝－1时，y max ＝7.即函数y ＝3－4sin x －4cos 2x 的值域为[－2,7]．。