第6讲 紧性与连续映射教学目的：掌握紧集的概念与基本属性。
授课要点：1、 紧集、相对紧集和完全有界集的定义与序列式刻划。
2、 紧集在连续映射下的特性。
3、 某些空间中紧子集的特征。
我们称集族{覆盖};Λλλ∈B A ，若.A B ⊃∈λΛλ∪定义1 设是度量空间，X X A ⊂．（1）称A 是紧的，若X 中的任一开集族覆盖A 时，其中存在有限个开集仍覆盖A ． （2）A 称为是相对紧的，若A 紧．（3）称是X E ⊂A 的ε网，若 ．A x O Ex ⊃∈),(ε∪（4）称A 是完全有界的，若 0>∀ε，中存在由有限个元素构成的X A 的ε网．注意，在定义1（3）中，作为A 的ε网的集合，并没有要求． 对于一个集合来说，是否要求并不改变其完全有界性．E X E ⊂X E ⊂首先让我们来看一个例子．对于，若 ，则．令，则2 =X ),0,1,0,,0(nn e =1||||2=n e }1;{≥=n e A n A 不是紧集．实际上，∀，n m ≠2||=−n e ||m e ．若取21,n e O =n B ，则{是}1,≥n B n A 的开覆盖．但由于每个只包含一个，故其中不包含任何有限子族覆盖n B n e A ．注意A 是 中的有界集，由于2A 中不存在Cauchy 序列，所以它还是闭集．此例告诉我们在无穷维空间情况，有界闭集并不一定是紧集，其中每个无穷序列也不必有收敛的子序列．换句话说在无穷维空间，Bolzano-Weierstrass 定理并不成立．思考题（1） 证明定义1（4）下面“注意”中所说的事实。
（2） 证明完全有界集一定是有界集．定理1 设是度量空间，X X A ⊂，则下面两条件等价： （1）A 是紧集．（2）A 中任一无穷序列{包含有子序列{，并且}n x }kn x x x kn →A x ∈．证明 先设A 紧， 是}{n x A 中的无穷序列．若{无子序列收敛于}n x A 中的元，则，∃和自然数，使得．注意到，由A x ∈∀0>x r x n ∅=}≥;{),(x n x n n x r x O ∩A x O Ax ⊃∈(∪r x ),A的紧性，存在，使得．但当时，，从而k x ′x ′,,1∅=}A r x O jx j kj ⊃′′=),(1∪},max{kx x n n ′,1′ m ≥≥m ′′,(r x O x j j;{n x n ∩)∅=≥′⊂≥′=};{),(};{1m n x r x O m n x n x j kj n j∩∪，矛盾．反之，为证A 紧，设{是};Λλλ∈B A 的一族开覆盖．x A ∀∈，B λ∃，．是开集，故存在，O ．记，显然．我们证明（称r 是λB x ∈0>λB 0>r 0λB r ⊂),x (},Λλλ∈B ),(;sup{⊂r x O r r =x x r 0inf 0>=∈x Ax r r A 的Lebesque 数）．由下确界定义， n x A ∃∈0k ，r ． 根据定理中条件，存在子序列，x ．不妨设，于是存在，当时，0r nx →0k k ≥nn x A x nn ∈→000λB x ∈∈2,00xn r x O x n，此时 (),2,0λB r x O r x O x x n n⊂⊂． 于是)(200k k r xx kn ≥>r ，02lim 00>≥=∞→xx k r r r kn ．（这说明紧集的Lebesque 数大于0．）现在任取，若并且，则覆盖A x ∈1A r x O ⊃),(011),(01λB r x O ⊂1λB A ．否则存在．若并且，则，)i =21∪,(\012r x O A x ∈A r ⊃),0x O i (2)0λB r ⊂,(2x O 1λB 2B λ覆盖A ．否则又存在，…．如果这一过程可以无限进行，由此得到序列{，显然．无收敛子序列，与（2）矛盾．于是对于某个有)0r )n ≠,(\213x O A x i i =∈∪(),(0m r x x d n m ≥}n x }{n x 0n001(,)n i i O x r A =⊃∪．设O ，则iB r x i λ⊂),(0()00011,i n n i i i B O x r A λ==⊃⊃∪∪，A 被有限覆盖．{是任意的，由定义};Λλλ∈B A 是紧集．A }n x x x n →x A A X ⊂A x n ⊂}x kn→′E E X A A A }n x A A A x n ⊂⊂}}kn x X A ⊂}n x A A n y 1,,(,n n n A A A x A d x x n ′′∈∈若取X y y kn ∈→)′<.n y A y n ⊂} =y ∈1)(,)(k k n n kd y y d y n ≤+≤+(,d x ,)k n y y x kn →A A A A }2i x 推论1 每个紧集是有界闭集．紧集的每个闭子集是紧的．这是因为对于紧集中的每个序列{，若，必有子列．故A x kn ∈→闭．另一方面若紧，E 是闭的，则对于{，有子列x ，E 闭，故．所以紧．x ∈定理2 设为度量空间，X ⊂，则下面两条件等价： （1）是相对紧集．（2）中任一无穷序列{包含收敛子序列（极限点不必在中）．证明 1°若紧，A {，由定理1，存在子序列{，x x kn ∈→．2°反之，设{是中的无穷序列，构造中的无穷序列{，},.,\n n nn x x x x ∈若则{．由（2），存在子列{，．显然}kn y A 并且)(,0k k n n y d x y ,→所以．由定理1知A 紧，从而A 相对紧．定理3 设是度量空间，X X A ⊂，则下面两条件等价： （1）是完全有界集．（2）中任一无穷序列{包含Cauchy 子序列． }n x 证明 1°若是完全有界的，{．取A x n ⊂}21=ε，则A 有有限21网，{是无限的，故至少有一个半径为}n x 21的球包含无穷多个，记它们为{，显然．{作为n x }1i x 1)<,(11j i x x d }1i x 的子集同样是完全有界的. 现在取221=ε, 有有限的}{1i x 221网，其中之一包含{中无穷多个元，记为{，显然}1i x 21)<j ,(22i x x d ，…．如此下去，得到可数多个序列，每个序列是前面一个的子序列．利用对角线方法选取{，它是的子序列，由我们的取法知道，是Cauchy 序列．}nn x }{n x }{nn x 0A x O ,(1,(n x d i =21∪⊃/)0εA A Y →>∃δ(T d f A )(n x T X ∈x kn →)(0x T (T k=x d (12°若A 不是完全有界的，则存在，0>ε不具有有限网．换句话说任取，，故有，又，从而有．显然，{不包含任何Cauchy 子序列，矛盾．0εA A x ∈1A 0ε⊃/)0ε)≥m x )0,(\12εx O A x ∈}n x x O i ,( ,3x )(n m ≠推论2 设是度量空间，X X A ⊂． （1）A 是紧集则A 必是相对紧的．A 是相对紧的则A 必是完全有界的．（2）若A 是闭集，则A 紧当且仅当A 相对紧． （3）若完备，则X A 相对紧当且仅当完全有界． （4）整个空间是紧的当且仅当完备并且完全有界． X X 推论3 设n A Φ⊂，则以下条件等价： （1）A 是有界集． （2）A 是完全有界集． （3）A 是相对紧集． 特别地，在有限维线性赋范空间中A 是紧集当且仅当是有界闭集．证明 （3）（2）⇒（1）是显然的．（1）⇒（3）根据Bolzano-Weierstrass 定理得到．⇒定理4 设，Y 是度量空间，其中紧，T 是连续映射，则 X X X :（1）T 是紧集．)(X （2）T 在上一致连续. 即X 0>∀ε，0，对于任何X x x ∈′,，只要δ<′),(x x d ，则ε<′))),(x (x T ．（3）若是上的实值连续函数，则在f X 上可以达到上、下确界．证明 1° 若，不妨设，，．紧，故存在{，，记．)(X T y n ∈)(00x T =n y =x n 1≥n X }kn x X x ∈0y T 连续，故．由定理1, 紧．)(X )→0y ∈=T kn x y n )(X T 2°若不然，则存在，00>εX x x nn ∈′,，nx n n ),<′，但．0))(),((ε≥′nn x T x T d A 紧，故存在{，．从而}kn x X x x k n ∈→00x x kn →′，由T 在的连续性，0x )0x )(0x ((x T kn T →))0),())(((≤′kT kn d x )(x f x T d 0))(ε≥′knx T )(x f R a →)((kn x T x (X }n x n x a =)(Ω,(d Ω)Ω)(|sup t x t Ω∈∀||x ||)(ΩK >εδ<)<−|)()21t x ∀)(ΩC (C 0ε∀>0>δδ<,(t t δn t t ,,1 Ωi ∃δ)i t |)()<−i t x })K ∈(,),((1t x t x n = {~K =n Φ)T →，T ()x kn′． 0))(),((((),0→′+kkn n n x T x T d x T T x这与d 矛盾． ),3°由1°，在中紧，故是有界集，记. 由上确界定义，存在，f ．)(sup x f a Xx ∈=X x n ∈n 紧，故 中有子列{，x ，所以，．对于下确界同样证明．{}kX x k n ∈→0)()(0x f x f kn →x f )(0 紧性在很多学科中都会用到，有时候知道某空间或其中的某个子集是紧或相对紧的是很重要的．例1 空间C 中的相对紧集．设)是紧度量空间，(ΩC 是上定义的标量值连续函数全体．定义|，||||x =)(ΩC x ∈． （1）容易验证，||有确定的意义（即有限实数），||⋅是)(ΩC 上的范数并且)(ΩC 是Banach 空间．C 的子集称为是等度连续的函数族，若0∀，存在0)(>=εδδ使得∀，，则Ω∈21,t t ,2t (1t d ε(|t x ，K x ∈．（2）定理5（Arzela-Ascoli ） K ⊂是相对紧集当且仅当K 是)(ΩC 中范数有界的等度连续函数族．证明 充分性．由于)Ω的完备性只须证明K 完全有界．，由等度连续性，取使得当′)d 时，3|)()(|ε<′−t x t x ．Ω是紧空间，故有有限网，使得∈t ∀，，d ．此时<,t (3(|εt x ． （3）记，(:))~t x x K ~是中的点集，并且对于每个K x ~~∈，∞<≤≤∈∈≤≤=∑|)(|sup sup |)(|max |)(|112t x n t x n t x t K x i ni ni i Ω即K ~为n Φ中的有界集，从而是完全有界集（推论3）．对于ε，K ~有有限3ε网k x x ~,,~1 ，我们证明，与k x x ~,,~1 相应的函数是k x x ,,1 K 的ε网．实际上，∀，对应的，从而有使得K x ∈K t x t x x n ~))(,),((~1∈= ))(,),((~1n j j j t x t x x =3|)()(|12ε<−∑=ni i i j t x t x ， （4）此时3|)()(|ε<−i i j t x t x ， n i ≤≤1.Ω∈∀t ，取t ，使d ，则由（3），（4），i δ<),(i t t εεεε=++<−+−+−≤−333|)()(||)()(||)()(||)()(|t x t x t x t x t x t x t x t x j i j i j i i j ．所以εΩ<−=−∈|)()(|max ||||t x t x x x j t j ，即．),(εj x O x ∈K 是完全有界的．必要性．设K 是相对紧集，则K 是范数有界集． 为证明K 等度连续，∀0>ε，设为k x x ,,1 K 的3ε网，每个i x )1(k i ≤≤在Ω上连续，从而一致连续．于是存在0>δ，当δ<′),(t t d 时，3|)()(|ε<′−t x t x i i ， 1i k ≤≤．对于每个，K x ∈|)()(||)()(||)()(||)()(|t x t x t x t x t x t x t x t x i i i i ′−′+′−+−≤′−|)()(|||||2t x t x x x i i i ′−+−< εεε=+<332． 故得之．思考题1、 若函数族|在紧集|)(t f n A 上等度连续并且点点收敛，则||在)(t f n A 上一致收敛．2、 设，有界且满足],[b a C E ⊂E )10(≤<αα阶Lipschitz 条件1212|()()|||x t x t L t t α−≤−，t ，],[,21b a t ∈E x ∈∀，则是C 中的相对紧集．E ],[b a。
度量空间中的连续性与收敛性分析度量空间是数学中一个重要的概念，它是指一个集合和定义在该集合上的一个度量函数的组合。
在度量空间中，我们可以讨论元素之间的距离、连续性以及收敛性等概念。
本文将对度量空间中的连续性和收敛性进行详细分析。
一、连续性在度量空间中，连续性是一个基本的性质。
一个函数在度量空间中的连续性可以通过以下方式进行定义：定义1：设X和Y分别是两个度量空间，f：X→Y是一个函数。
若对于任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得对于任意的x1和x2∈X，只要d(x1,x2)<δ，就有d(f(x1),f(x2))<ε成立，则称函数f在点x∈X处连续。
定义2：若函数f在X的每一个点上都连续，则称函数f在X上连续。
根据上述定义，我们可以看出，一个函数在度量空间中的连续性与其在每个点的局部性质有关。
换句话说，函数f在点x处的连续性要求当x的邻域内的点趋近于x时，函数值也要趋近于f(x)。
二、收敛性在度量空间中，收敛性是另一个重要的性质。
一个数列在度量空间中的收敛性可以通过以下方式进行定义：定义3：设X是一个度量空间，{xn}是X中的一个数列。
若存在一个点x∈X，对于任意给定的ε>0，存在正整数N，使得当n>N时，有d(xn,x)<ε成立，则称数列{xn}在X中收敛于x。
定义4：若数列{xn}在X中对于任意的ε>0，都存在正整数N，使得当n>N时，有d(xn,x)<ε成立，则称数列{xn}在X中收敛。
根据上述定义，我们可以看出，数列{xn}在度量空间X中的收敛性要求当n趋近于无穷大时，数列的元素趋近于某个点x。
三、连续性与收敛性的关系在度量空间中，连续性和收敛性是密切相关的。
事实上，连续性是收敛性的一个重要推论。
具体而言，我们有以下定理：定理1：设X和Y分别是两个度量空间，f：X→Y是一个函数。
若函数f在X上连续，且数列{xn}在X中收敛于x，则函数f在点x处的函数值序列{f(xn)}收敛于f(x)。
