自动控制原理第5章(4)

系统开环幅频特性为 开环相频特性为
A(ω ) =
K 1 + (Tω ) 2
ϕ(ω)=-(180°- arctanωT)= -180°+arctanωT
据此可以判断开环奈氏曲线起点为(-K, j0)点,随ω的增加, A(ω)逐渐减小 至0,而ϕ(ω)逐渐增加至-90°,绘制出系统开环频率特性G(jω)的轨迹， 并作出镜像曲线连接成封闭曲线。
一、奈氏图与波德图的对应关系 1.开环系统幅相频率特性与对数频率特性之间 存在如下对应关系 在G(jω)平面上, |G(jω)|=1的单位圆, 对应于对数幅频特性的0分贝线; 单位圆外部 如 (-∞,-1)区段，对应L（ω）>0dB，单位 圆内部对应L（ω）<0dB。 2.从对数相频特性来看, G(jω)平面上的负实 轴,对应于对数相频特性上的ϕ(ω)=-180°。 3. (-1,j0)点的向量表达式为1∠-180°， 对应于波德图上穿过0分贝线，并同时穿过 ϕ(ω)=-180°的点。
jω
Байду номын сангаас
Γs
r 0
如 果 GH 在 原 点 有 开 环 极点（型别v≥1系统）， 通常用半径为无穷小的 小半圆弧，让 Γ S 避开该点。 则映射曲线 ΓGH 需要在开 环幅相曲线上逆时针补充 半径∞，角度为 v × 90o 的圆弧。
型别v≥1系统开环频率特性G(jω)曲线的处理 方法： 在ω=0附近,幅相特性以∞为半径,逆时针补 画θ= v·90°的圆弧，并用虚线表示，v代表积 分环节的个数，添加圆弧后相当于得到新的开 环频率特性G(jω)曲线。 此圆弧与实轴或虚轴的交点相当于新的起 点，对应ω=0，原有曲线的起点对应于ω=0+ 。 注意所指曲线仍为ω由0变到+∞时的开环幅相 频率特性G(jω)。 即：有一个积分环节，补90度，有几个积分 环节补几个90度。 当系统的开环奈氏曲线作如上处理后，代入 简化奈氏稳定判据即可。
对于本例所示的非最小相位系统而言,开环传递系数K大,系统 稳定,而K过小,闭环系统反而不稳定,与最小相位系统有很大的 区别.
5.4.2简化奈奎斯特稳定判据
若开环系统闭合曲线 ΓGH 比较复杂，则对(-1,j0)点 的包围次数也比较难以直观判断。为方便稳定性的判 别，可如下将奈奎斯特稳定判据的应用方法简化，而 判别结果完全相同。
F (s) = k ∏ ( s + si )
n i =1 M
∏ (s + s
k =1
=0
k
)
B ( s) A( s) + B ( s) 或：F ( s ) = 1 + G ( s ) H ( s ) = 1 + = =0 A( s) A( s)
F 系统稳定的充要条件是， (s) 的所有零点都处 在S左半平面。
w →∞
w=0
(3). P开=0,逆穿越次数N+=2,顺穿越次数 N-=2，则Z=0-2(2-2)=0，所以系统稳定。
w=0
w →∞
(4).若曲线起于射线或终于射线,均看作1/2穿越, 则逆穿数N+=1/2，顺穿数N-=0 则Z=P-2(1/2 -0)=1-2 × 1/2=0,所以系统稳定。
4.型别v≥1系统开环频率特性G(jω)曲线的处理
5.4奈奎斯特稳定判据
控制系统的闭环稳定性，是系统分析和设计需要解 决的首要问题。系统稳定的充分必要条件是系统闭环 特征根都具有负实部，即位于s左半平面。 在时域分析中判断系统的特征方程根是否都具有负 实部，一种方法是求出特征方程的全部根，另一种方 法就是使用劳思-赫尔维茨稳定判据（代数判据）。 与此类似，奈奎斯特（Nyquist）稳定性判据是常用 的频域稳定性判据。
Z=P-R
若Z为0，闭环系统稳定；若Z不为0， 闭环系统不稳定，并有Z个正实部的特征根。
Nyquist稳定性判据可以表示为： （1）若开环传递函数在S右半平面没有极点， G ( s ) H ( s )平面上的映射像围线 ΓGH 不包围 ( −1, j 0) ， 则系统稳定；(如：最小相位系统） （2）若开环传递函数在S右半平面有P个极 ΓGH G ( s) H ( s) 点， (−1, j 0) 平面上的映射像围线 按逆时针包围 P周，则系统稳定。 若Z=0，且 Γ GH 曲线通过(-1，j0)点时，表明在s
ΓF围线与ΓGH围线之间的关系
F ( s) = 1+ G ( s) H ( s)
ΓGH
ΓF
1 在复平面上，ΓF的原点（0，0） 相当于ΓGH的（-1，0）点
奈奎斯特稳定性判据： 若开环传递函数在右半s平面的极点数为 P，闭合曲线 ΓGH 包围临界点(-1,j0)的圈 数为R(逆时针包围取正，顺时针包围取为 负)，则系统闭环特征方程正实部根的个数 为
Nyquist稳定判据是奈奎斯特于1932 年提出的，它是频率法的重要内容，简 称奈氏判据。 频域稳定判据的特点是，根据“开环 系统”频率特性曲线，判定“闭环系统” 的稳定性。 这种策略在系统稳态误差分析，根 轨迹法中已经用到，要给予重视，并避 免混淆。
Nyquist稳定性判据建立在复变函数理论的基 础之上。首先需要了解复平面上的幅角原理。
jω
j
Γs
1
-1
0 -j
σ
N=P-Z=1-1=0
R=P-Z
为了运用幅角定理，在频域内验证系统是否 稳定， 需要考虑2个问题： 1、围线 Γ s 如何取？ 2、围线映射 F(s) 如何取？ 思路：1、右半平面取为内部； 2、围线映射取为某个特征函数。
5.4.1、奈奎斯特稳定判据
判定控制系统稳定性的出发点是系统的特征方 程 F(s) = 0 ，即:
可以看出,当 ω 由-∞变 到 +∞ 时 , G(jω)矢 量 逆 时 针围绕(-1,j0)点转一圈,即 R=1 。 由 于 Z = P-R = 0，,故由奈氏稳定判据知闭 环系统是稳定的。 另外，可知K＜1时 R=0，Z = P-R = 1，闭 环 系 统 不 稳 定 ；K=1时， G(jω)轨迹过(-1,j0)点， 为临界稳定。奈氏判据与代 数判据结论相同.
一、S平面上的幅角原理
当复自变量s沿S平面上的闭合曲线或闭合 轨迹运动时，函数F(s)会将它映射为像平面上 的闭合曲线。 我们关心这种对应的闭合曲线之间的关系。
s
F (s)
jω
Γs s平面 ΓF
X (s )
σ
F(s)平面
R( s )
幅角定理： 如果闭合曲线Γs以顺时针方向为正方向，设在s平 面上包围了F(s)的Z个零点和P个极点，但不经过任何 一个零点和极点，则闭合曲线Γs以顺时针方向运动一 周时，对应的映射曲线ΓF在F(s)平面上包围原点的圈 数为
平面虚轴上有闭环极点,系统处于临界稳定状态，属 于不稳定。
例 一个闭环系统如图所示。 其开环传递函数为 G(s)=K/(Ts-1),K＞1 这是一个不稳定的惯性环 节,开环特征方程式在右半s平 面有一个根,P=1。闭环传递 函数为 Φ(s)=K/(Ts+K-1) 由于K＞1,闭环特征方程式的 根在左半s平面,所以利用代数 方法可以判断闭环是稳定的。
w
正、负穿越的定义和前面的定义实际上是一致的。
三、对数频率稳定判据 若开环传递函数在右半s平面的极点数为 P，开环对数幅频特性为正值的所有频率范围 内，对数相频曲线与-180°线的正负穿越次 数之差为N=N+-N-，则闭环系统特征方程式 正实部根的个数 Z=P-2N 若Z为0，闭环系统稳定；若Z不为0，则闭 环系统不稳定，有Z个正实部的特征根。 注意：
例 判断图示Ⅱ型系统的闭环稳定性。
Z = P- 2N= P- 2（ N+–N-） 由以上分析可知，开环系统型别过高会影响稳定 性，而串联比例微分调节器可以改善系统的稳定性， 起到校正的作用，但要选择合适的参数。
例 判断图示系统的闭环稳定性
5.4.3 奈奎斯特稳定判据在波德图上的应用 使用伯德图来进行系统稳定性判别实 际上是Nyquist判据在波德图上的应用。 该判据不但可以回答系统稳定与否的 问题，还可以研究系统的稳定裕量（相 对稳定性），以及研究系统结构和参数 对系统稳定性的影响。
1.只绘制 ω 由0变到+∞ 时的开环幅相频率特性 G(jω) 因为（0，+∞）与（-∞，0）的曲线完全 关于实轴对称，因此，简化奈奎斯特稳定判据 可改为 Z = P-2N N为半闭合曲线ΓGH 包围临界点(-1,j0)的圈 数。
2.采用穿越的概念简化复杂曲线包围次数的计算 点的一次包围，势必穿越(-1,j0)点左侧负实轴区间一次。 开环频率特性曲线逆时针穿越(-1,j0)点左侧负实轴 区间时，随ω增加，频率特性的相角值增大，称为一次正 穿越N+。（从上向下穿越） 反之，开环频率特性曲线顺时针穿越(-1,j0)点左侧负 实轴区间时，随ω增加，频率特性的相角值减小，则称为 一次负穿越N-。 （从下向上穿越） 频率特性曲线包围(-1,j0) 点的情况，就可以利用频 率特性曲线在(-1,j0)点左 侧负实轴区间的正、负穿 越来表达。
ω由0变到+∞ 时开环频率特性曲线要形成对(-1,j0)
ω由0变到+∞ 时的开环幅相 频率特性G(jω)对(-1,j0)点 的总包围次数为 N = （ N+ - N-） 利用正、负穿越情况的奈 奎斯特稳定判据叙述为： Z = P-2 ( N+ - N-) 3.半次穿越 奈氏曲线起始于或终止于(-1,j0)点左侧负实 轴区间，称为一个半次穿越。（取N+ 或N-=1/2）
二、穿越在波德图上的含义 1.穿越： 在L(ω)>0dB的频率范 (dB)(度)p开=0 围内，相频特性曲线穿过 - 180 °线。 wc 0 2.正穿越N+： -90 产生正的相位移，这 时 ， 相 频 特 性 应 由下部向 -180 (-)A (+) C B 反穿 上穿越-180°线。 正穿 3.负穿越N-： 产生负的相位移,这时,相 频特性应由上部向下穿越 -180°线 。