椭圆标准方程典型例题
例1 已知椭圆0632
2
=-+m y mx 的一个焦点为（0，2）求m 的值．
分析：把椭圆的方程化为标准方程，由2=c ，根据关系2
2
2
c b a +=可求出m 的值．
解：方程变形为
1262
2=+m
y x ．因为焦点在y 轴上，所以62>m ，解得3>m ． 又2=c ，所以2
262=-m ，5=m 适合．故5=m ．
例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点()03，
P ，b a 3=，求椭圆的标准方程． 分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法，
求出参数a 和b （或2
a 和2
b ）的值，即可求得椭圆的标准方程．
解：当焦点在x 轴上时，设其方程为()0122
22>>=+b a b
y a x ．
由椭圆过点()03，
P ，知10922=+b a ．又b a 3=，代入得12=b ，92
=a ，故椭圆的方程为1922=+y x ． 当焦点在y 轴上时，设其方程为()0122
22>>=+b a b
x a y ．
由椭圆过点()03，P ，知10922=+b
a ．又
b a 3=，联立解得812=a ，92
=b ，故椭圆的方程为198122=+x y ．
例3 ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．
分析：（1）由已知可得20=+GB GC ，再利用椭圆定义求解．
（2）由G 的轨迹方程G 、A 坐标的关系，利用代入法求A 的轨迹方程．
解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ，
故其方程为
()0136
1002
2≠=+y y x ． （2）设()y x A ，，()y x G ''，，则
()0136
1002
2≠'='+'y y x ． ① 由题意有⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧='='33
y y x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．
例4 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和3
5
2，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程． 解：设两焦点为1F 、2F ，且3541=
PF ，3
5
22=PF ．从椭圆定义知52221=+=PF PF a ．即5=
a ． 从21PF PF >知2PF 垂直焦点所在的对称轴，所以在12F
PF Rt ∆中，2
1
sin 12
21==∠PF PF F PF ， 可求出6
21π
=
∠F PF ，3
526
cos
21=
⋅=π
PF c ，从而3102
22=-=c a b ．
∴所求椭圆方程为
1103522=+y x 或15
1032
2=+y x ． 例5 已知椭圆方程()0122
22>>=+b a b
y a x ，长轴端点为1A ，2A ，焦点为1F ，2F ，P 是
椭圆上一点，θ=∠21PA A ，α=∠21PF F ．求：21PF F ∆的面积（用a 、b 、α表示）． 分析：求面积要结合余弦定理及定义求角α的两邻边，从而利用C ab S sin 2
1
=
∆求面积．
解：如图，设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设P 在第一象限．由余弦定理知： 2
2
1F F 2
221PF PF +=12PF -·2
24cos c PF =α．①
由椭圆定义知： a PF PF 221=+ ②，则－①②2
得 α
cos 122
21+=⋅b PF PF ． 故αsin 21212
1PF PF S PF F ⋅=∆ ααsin cos 12212+=
b 2
tan 2α
b =． 例6 已知动圆P 过定点()03，-A ，且在定圆()64322
=+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．
分析：关键是根据题意，列出点P 满足的关系式．
解：如图所示，设动圆P 和定圆B 内切于点M ．动点P 到两定点，
即定点()03，
-A 和定圆圆心()03，B 距离之和恰好等于定圆半径， 即8==+=+BM PB PM PB PA ．∴点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点，
半长轴为4，半短轴长为7342
2
=-=b 的椭圆的方程：
17
162
2=+y x ． 说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．
例7 已知椭圆1222=+y x ，（1）求过点⎪⎭
⎫ ⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程； （2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；
（3）过()12，
A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程； （4）椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足2
1-
=⋅OQ OP k k ， 求线段PQ 中点M 的轨迹方程．
分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．
解：设弦两端点分别为()11y x M ，，()22y x N ，，线段MN 的中点()y x R ，，则
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=+=+=+=+④
，③，②，①，y y y x x x y x y x 2222222
1212
22
22121
①－②得
()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x ．
由题意知21
x x ≠，则上式两端同除以21x x -，有()()
022
12
12121=-+++x x y y y y x x ，
将③④代入得022
12
1=--+x x y y y
x ．⑤
（1）将21=
x ，2
1
=y 代入⑤，得212121
-=--x x y y ，故所求直线方程为： 0342=-+y x ． ⑥ 将⑥代入椭圆方程222
2
=+y x 得041662
=-
-y y ，04
1
6436>⨯⨯-=∆符合题意，0342=-+y x 为所求．
（2）将
22
12
1=--x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 04=+y x ．（椭圆内部分）
（3）将
2
12121--=--x y x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 02222
2=--+y x y x ．（椭圆内部分）
（4）由①＋②得 ：
()
22
2
2212
221=+++y y x x ， ⑦， 将③④平方并整理得 212222124x x x x x -=+， ⑧， 2122
22124y y y y y -=+， ⑨
将⑧⑨代入⑦得：
()
2244
242122
12=-+-y y y x x x ， ⑩ 再将212121x x y y -=代入⑩式得： 221242212212=⎪⎭
⎫ ⎝⎛--+-x x y x x x ， 即 12
122
=+y x ． 此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．
