人教A版高二数学选修21第二章第二节椭圆经典例题汇总

椭圆及其标准方程
．平面内与两个定点，的距离的和
等于常数(大于)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
．焦点在轴上的椭圆标准方程为＋＝(>>)；
焦点在轴上的椭圆标准方程为＋＝(>>)；
其，，的关系为＝＋.
．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
()两个焦点的坐标分别是(－)，()，椭圆上一点与两焦点的距离的和等于，方程为；
()两个焦点的坐标分别为(，－)，()，并且椭圆经过点(，－)，方程为．
[答案]()＋＝()＋＝
[解析]()椭圆的焦点在轴上，设它的标准方程为＋＝(>>)．
由已知，得＝，得＝.
又因为＝，所以＝－＝－＝.
因此，所求椭圆的标准方程为＋＝.
()椭圆的焦点在轴上，设它的标准方程为＋＝(>>)．
由已知，得＝.
因为＝－，所以＝＋.①
因为点(，－)在椭圆上，
所以＋＝，即＋＝.
将①式代入②，得＋＝，
解得＝(＝－舍去)．
由①得＝＋＝.
因此，所求椭圆的标准方程为＋＝.
椭圆的简单几何性质
1．观察椭圆的图形可以发现，椭圆是中心对称图形，也是轴对称图形．事实上，在椭圆方程＋＝中以、分别代替、，方程不变，∴椭圆＋＝(>>)既关于轴对称，又关于对称，从而关于轴对称，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。

．如图，椭圆＋
＝(>>)与它的对称轴共有四个交点，即、和、，这四个点叫做椭圆的顶点，线段叫做椭圆的长轴，它的长等于；线段叫做椭圆的
短轴，它的长等于 .显然，椭圆的两个焦点在它的长轴上．．椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率．
．依据椭圆的几何性质填充下表。

高二数学 第二章 第2节 椭圆（理）知识精讲 人教新课标A 版选修21一、学习目标：1、知识目标：掌握椭圆的定义、标准方程和几何性质。

2、能力目标：培养学生的解析几何观念；培养学生的观察、概括能力，以及类比的学习方法；培养学生分析问题、解决问题的能力。

二、重点、难点：重点：掌握椭圆的定义、标准方程和几何性质，并会利用椭圆的几何性质解决一些问题。

难点：对椭圆的定义和几何性质的灵活应用，会处理有关椭圆焦点三角形的问题，并能与正余弦定理相结合。

能用坐标法解决简单的直线与椭圆的位置关系等问题。

三、考点分析：本节课我们主要学习熟练掌握椭圆的定义及其两种标准方程，会用待定系数法确定椭圆的方程，以及对椭圆的简单几何性质的运用。

初步掌握用相关点法和直接法求轨迹方程的一般方法，同时掌握一些直线与椭圆的位置关系的运用。

1、对椭圆第一定义的理解在椭圆的第一定义中，平面内动点与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数，当这个常数大于|F 1F 2|时，动点的轨迹是椭圆；当这个常数等于|F 1F 2|时，动点的轨迹是线段F 1F 2；当这个常数小于|F 1F 2|时，动点不存在。

2、椭圆的第二定义：点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个小于1的正常数e ，这个点的轨迹是椭圆。

定点是椭圆的焦点，定直线叫椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率。

注意：（1）定点必须在直线外。

（2）比值必须小于1。

（3）符合椭圆第二定义的动点轨迹肯定是椭圆，但它不一定具有标准方程的形式。

（4）椭圆离心率的两种表示方法：c P F e a P F ==椭圆上任意一点到焦点的距离点到与对应的准线的距离准线方程为：椭圆焦点在x 轴 2a x c =±椭圆焦点在y 轴 ca y 2±=3、椭圆的标准方程椭圆方程图形特征几何性质范围顶点焦点准线对称性长短轴离心率焦半径4、常用的公式及结论：（1）对于给定的椭圆的标准方程，要判断焦点在哪个轴上，只需比较其与2x、2y项分母的大小即可。

2.2.1椭圆及其标准方程一、选择题1．【题文】已知椭圆221102x y m m +=--，焦点在y 轴上，若焦距为4，则m 等于（ ） A ．4 B ．5 C ．7 D ．82．【题文】已知椭圆221416x y +=上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为 （ ）A ．2B ．3C ．5D ．73．【题文】设()14,0F -，()24,0F 为定点，动点M 满足128MF MF +=，则动点M 的轨迹是 （ ）A ．椭圆B ．直线C ．圆D ．线段4．【题文】已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长l 是 （ ）A ．．6 C ．．125．【题文】如果椭圆2218125x y +=上一点M 到此椭圆一个焦点1F 的距离为2，N 是1MF 的中点，O 是坐标原点，则ON 的长为 ( )A ．2B ．4C ．8D ．326．【题文】已知椭圆()22:1,2,04x C y A +=，点P 在椭圆C 上，且OP PA ⊥，其中O 为坐标原点，则点P 的坐标为（ ）A ．2,33⎛⎫±⎪ ⎪⎝⎭ B ．2,33⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭C ．2,33⎛-± ⎝⎭D ．233⎛⎫-± ⎪ ⎪⎝⎭7．【题文】若△ABC 顶点B ，C 的坐标分别为()4,0-，()4,0，AC ，AB 边上的中线长之和为30，则△ABC 的重心G 的轨迹方程为 ( )A.()221010036x y y +=≠ B.()221010084x y y +=≠ C.()221010036x y x +=≠ D.()221010084x y x +=≠8．【题文】已知12,F F 为椭圆22:14x C y +=的左，右焦点，点P 在C 上，123PF PF =，则12cos F PF ∠等于 （ ） A ．34 B ．13- C ．35- D ．45二、填空题9．【题文】椭圆221167x y +=上横坐标为2的点到右焦点的距离为 .10．【题文】已知方程2213+2x y k k+=-表示椭圆，则k 的取值范围为 .11．【题文】椭圆221259x y +=的左焦点为1F ，P 为椭圆上的动点，M 是圆 (221x y +-=上的动点，则1PM PF +的最大值是 .三、解答题12．【题文】已知椭圆的中心在原点，两焦点1F ，2F 在x 轴上，且过点()4,3A -．若12F A F A ⊥，求椭圆的标准方程．13．【题文】求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在x 轴上，且经过点()2,0和点()0,1；(2)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为()0,10P -，P 到距它较近的一个焦点的距 离等于2.14．【题文】已知定点1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，B 是圆C ：22142x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭上的一个动点，线段AB 的垂直平分线交BC 于M 点，求动点M 的轨迹方程．2.2.1椭圆及其标准方程 参考答案及解析1. 【答案】D【解析】因为焦点在y 轴上，所以2100m m ->->，即610m <<，又 ()()22102m m ---=，所以8m =，故选D. 考点：椭圆的标准方程． 【题型】选择题 【难度】一般 2. 【答案】B【解析】设所求距离为d ，由题意得4a =．根据椭圆的定义得25253a d d a =+⇒=-=，故选B ．考点：椭圆的定义． 【题型】选择题 【难度】较易 3. 【答案】D【解析】动点M 满足128MF MF +=，128F F =，故动点M 的轨迹是线段12F F .考点：椭圆的定义. 【题型】选择题 【难度】一般 4. 【答案】C【解析】如图，设椭圆的另外一个焦点为F ，由椭圆的方程知a =ABC 的周长()()4l AB AC BC AB BF AC CF a =++=+++==．考点：椭圆的定义及其应用． 【题型】选择题 【难度】一般 5. 【答案】C【解析】∵椭圆方程为2218125x y +=，∴9a =，根据椭圆的定义得2=18216MF -=， 而ON 是△12MF F 的中位线，∴216822MF ON ===，故选C ． 考点：椭圆的定义． 【题型】选择题 【难度】一般 6. 【答案】A【解析】设(),P x y ，由OP PA ⊥，得OP PA ⊥，所以()()()2,2,20OP PA x y x y x x y ⋅=⋅--=--=，与椭圆方程2214x y +=联立，解得23x =（2x =舍去），此时3y =±，即点P 的坐标为2,33⎛± ⎝⎭，故选A.考点：椭圆上点的坐标. 【题型】选择题 【难度】一般 7. 【答案】B【解析】设AC 、AB 边上的中线分别为BD 、CE ，∵23BG BD =，23CG CE =， ∴()22302033BG CG BD CE +=+=⨯=（定值）. 因此，重心G 的轨迹为以B 、C 为焦点的椭圆，220a =，4c =，∴10a =，b =，可得椭圆的方程为22110084x y +=.∵当G 点在x 轴上时，A 、B 、C 三点共线，不能构成△ABC ，∴G 的纵坐标不能是0，可得△ABC 的重心G 的轨迹方程为()221010084x y y +=≠，故选B. 考点：椭圆的定义及标准方程. 【题型】选择题 【难度】较难 8. 【答案】B【解析】由题意可知，12F F ==12222344PF PF PF PF PF +=+==，211,3PF PF ∴==，(22222212121212311cos 22313PF PF F F F PF PF PF +-+-∴∠===-⋅⨯⨯，故选B ．考点：椭圆的定义，余弦定理． 【题型】选择题 【难度】较难 9. 【答案】2.5【解析】由椭圆方程可知22216,7,9,3a b c c ==∴=∴=，右焦点为()3,0，将2x =代入椭圆方程得2214y =，所以两点间距离为2.5d ==. 考点：椭圆的定义.【题型】填空题 【难度】一般10. 【答案】132,2k k k ⎧⎫-<<≠-⎨⎬⎩⎭且【解析】由椭圆的定义知30,20,32,k k k k +>⎧⎪->⎨⎪+≠-⎩解得132,2k k k ⎧⎫-<<≠-⎨⎬⎩⎭且. 考点：椭圆的定义. 【题型】填空题 【难度】一般 11. 【答案】17【解析】圆(221x y +-=的圆心为(0,C ，半径为1.由椭圆方程221259x y +=可知2225,9a b ==，所以5a =，左焦点为()14,0F -，右焦点为()24,0F .122221010PC PF PC a PF PC PF CF +=+-=+-≤+=，()()11maxmax 117PM PF PC PF +=++=.考点：椭圆的定义. 【题型】填空题 【难度】较难12. 【答案】2214015x y += 【解析】设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，焦点()1,0F c -，()2,0F c ．∵12F A F A ⊥，∴120F A F A ⋅=，而()14,3FA c =-+， ()24,3F A c =--， ∴()()24430c c -+--+=，∴225c =，即5c =.∴()15,0F -，()25,0F ．∵122a AF AF =+==∴a=，∴(22222515b a c =-=-=.∴所求椭圆的标准方程为2214015x y +=.考点：椭圆的标准方程. 【题型】解答题 【难度】一般13. 【答案】(1)2214x y +=(2)22110036y x += 【解析】(1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以可设它的标准方程为()222210x y a b a b+=>>. ∵椭圆经过点()2,0和()0,1，∴224,1a b ==，故所求椭圆的标准方程为2214x y +=. (2)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为()222210y x a b a b+=>>，∵()0,10P -在椭圆上，∴10a =.又∵P 到距它较近的一个焦点的距离等于2， ∴()102c ---=，故8c =，∴22236b a c =-=.∴所求椭圆的标准方程是22110036y x +=. 考点：椭圆的定义，椭圆的标准方程. 【题型】解答题 【难度】一般14. 【答案】22413y x += 【解析】∵线段AB 的垂直平分线交BC 于M 点，∴MB MA =，又∵2MB MC +=， ∴2MA MC AC +=>，点M 的轨迹是以A 、C 为焦点的椭圆， 此时122,2a c ==，∴1,a =234b =, ∴所求的点M 的轨迹方程是22413y x +=. 考点：椭圆的定义及动点的轨迹方程. 【题型】解答题 【难度】一般。

For personal use only in study and research; not for commercial use椭圆经典例题分类汇总1.椭圆第一定义的应用例1 椭圆的一个顶点为()02，A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ，椭圆的标准方程为：11422=+y x ； （2）当()02，A 为短轴端点时，2=b ，4=a ，椭圆的标准方程为：116422=+y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．例2 已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ，求k 的值． 分析：分两种情况进行讨论．解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82+=k a ，92=b ，得12-=k c ．由21=e ，得4=k ． 当椭圆的焦点在y 轴上时，92=a ，82+=k b ，得k c -=12．由21=e ，得4191=-k ，即45-=k ． ∴满足条件的4=k 或45-=k ．说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8+k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论．例3 已知方程13522-=-+-k y k x 表示椭圆，求k 的取值范围． 解：由⎪⎩⎪⎨⎧-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<<k ，且4≠k ．∴满足条件的k 的取值范围是53<<k ，且4≠k ．说明：本题易出现如下错解：由⎩⎨⎧<-<-,03,05k k 得53<<k ，故k 的取值范围是53<<k ．出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0>>b a 这个条件，当b a =时，并不表示椭圆． 例4 已知1c o s s i n 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围． 分析：依据已知条件确定α的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出α的取值范围．解：方程可化为1cos 1sin 122=+ααy x ．因为焦点在y 轴上，所以0sin 1cos 1>>-αα． 因此0sin >α且1tan -<α从而)43,2(ππα∈．说明：(1)由椭圆的标准方程知0sin 1>α，0cos 1>-α，这是容易忽视的地方． (2)由焦点在y 轴上，知αcos 12-=a ，αsin 12=b ． (3)求α的取值范围时，应注意题目中的条件πα<≤0例5 已知动圆P 过定点()03，-A ，且在定圆()64322=+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P的轨迹方程．分析：关键是根据题意，列出点P 满足的关系式．解：如图所示，设动圆P 和定圆B 内切于点M ．动点P 到两定点，即定点()03，-A 和定圆圆心()03，B 距离之和恰好等于定圆半径，即8==+=+BM PB PM PB PA ．∴点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点，半长轴为4，半短轴长为73422=-=b 的椭圆的方程：171622=+y x ． 说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．2.焦半径及焦三角的应用例1 已知椭圆13422=+y x ，1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：假设M 存在，设()11y x M ，，由已知条件得2=a ，3=b ，∴1=c ，21=e ．∵左准线l 的方程是4-=x ， ∴14x MN +=． 又由焦半径公式知：111212x ex a MF -=-=，112212x ex a MF +=+=． ∵212MF MF MN⋅=，∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+11212122124x x x ．整理得048325121=++x x ．解之得41-=x 或5121-=x ． ① 另一方面221≤≤-x ． ② 则①与②矛盾，所以满足条件的点M 不存在．例2 已知椭圆方程()012222>>=+b a by a x ，长轴端点为1A ，2A ，焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，θ=∠21PA A ，α=∠21PF F ．求：21PF F ∆的面积（用a 、b 、α表示）． 分析：求面积要结合余弦定理及定义求角α的两邻边，从而利用C ab S sin 21=∆求面积． 解：如图，设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设P 在第一象限．由余弦定理知： 221F F 2221PF PF +=12PF -·224cos c PF =α．①由椭圆定义知： a PF PF 221=+ ②，则－①②2得 αcos 12221+=⋅b PF PF． 故αsin 212121PF PF S PF F ⋅=∆ ααsin cos 12212+=b 2tan 2αb =． 3.第二定义应用例1 椭圆1121622=+y x 的右焦点为F ，过点()31，A ，点M 在椭圆上，当MF AM 2+为最小值时，求点M 的坐标．分析：本题的关键是求出离心率21=e ，把MF 2转化为M 到右准线的距离，从而得最小值．一般地，求MF eAM 1+均可用此法．解：由已知：4=a ，2=c ．所以21=e ，右准线8=x l ：．过A 作l AQ ⊥，垂足为Q ，交椭圆于M ，故MF MQ 2=．显然MF AM 2+的最小值为AQ ，即M 为所求点，因此3=M y ，且M 在椭圆上．故32=M x ．所以()332，M ．说明：本题关键在于未知式MF AM 2+中的“2”的处理．事实上，如图，21=e ，即MF 是M 到右准线的距离的一半，即图中的MQ ，问题转化为求椭圆上一点M ，使M 到A 的距离与到右准线距离之和取最小值．例2 已知椭圆142222=+by b x 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ，求P 到左准线的距离．分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解．解法一：由142222=+by b x ，得b a 2=，b c 3=，23=e ．由椭圆定义，b a PF PF 4221==+，得b b b PF b PF 34421=-=-=．由椭圆第二定义，e d PF =11，1d 为P 到左准线的距离，∴b ePF d 3211==，即P 到左准线的距离为b 32．解法二：∵e d PF =22，2d 为P 到右准线的距离，23==a c e ， ∴b ePF d 33222==．又椭圆两准线的距离为b c a 33822=⋅．∴P 到左准线的距离为b b b 32332338=-． 说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性．否则就会产生误解．椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如．一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义．例3 已知椭圆15922=+y x 内有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点．(1) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标； (2) 求223PF PA +的最小值及对应的点P 的坐标． 分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法．二是数形结合，即几何方法．本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解．解：(1)如上图，62=a ，)0,2(2F ，22=AF ，设P 是椭圆上任一点，由6221==+a PF PF ，22AF PF PA -≥，∴26222211-=-=-+≥+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA -=时成立，此时P 、A 、2F 共线．由22AF PF PA +≤，∴26222211+=+=++≤+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA +=时成立，此时P 、A 、2F 共线．建立A 、2F 的直线方程02=-+y x ，解方程组⎩⎨⎧=+=-+4595,0222y x y x 得两交点)2141575,2141579(1+-P 、)2141575,2141579(2-+P ． 综上所述，P 点与1P 重合时，1PF PA +取最小值26-，P 点与2P 重合时，2PF PA +取最大值26+．(2)如下图，设P 是椭圆上任一点，作PQ 垂直椭圆右准线，Q 为垂足，由3=a ，2=c ，∴32=e ．由椭圆第二定义知322==e PQ PF ，∴223PF PQ =，∴PQ PA PF PA +=+223，要使其和最小需有A 、P 、Q 共线，即求A 到右准线距离．右准线方程为29=x ．∴A 到右准线距离为27．此时P 点纵坐标与A 点纵坐标相同为1，代入椭圆得满足条件的点P 坐标)1,556(． 说明：求21PF ePA +的最小值，就是用第二定义转化后，过A 向相应准线作垂线段．巧用焦点半径2PF 与点准距PQ 互化是解决有关问题的重要手段．4.参数方程应用例1 求椭圆1322=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值． 分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值．解：椭圆的参数方程为⎩⎨⎧==.sin cos 3θθy x ，设椭圆上的点的坐标为()θθsin cos 3，，则点到直线的距离为263sin 226sin cos 3+⎪⎭⎫⎝⎛-=+-=θπθθd ． 当13sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-θπ时，22=最小值d ． 说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程．例2 (1)写出椭圆14922=+y x 的参数方程；(2)求椭圆内接矩形的最大面积． 分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用．为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题．解：(1) ⎩⎨⎧==θθsin 2cos 3y x )(R ∈θ．(2)设椭圆内接矩形面积为S ，由对称性知，矩形的邻边分别平行于x 轴和y 轴，设)sin 2,c o s 3(θθ为矩形在第一象限的顶点，)20(π<θ<，则122sin 12sin 2cos 34≤=⨯⨯=θθθS故椭圆内接矩形的最大面积为12．说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便．例3 椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 与x 轴正向交于点A ，若这个椭圆上总存在点P ，使AP OP ⊥(O 为坐标原点)，求其离心率e 的取值范围．分析：∵O 、A 为定点，P 为动点，可以P 点坐标作为参数，把AP OP ⊥，转化为P 点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于a 、b 、c 的一个不等式，转化为关于e 的不等式．为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程．解：设椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x )0(>>b a ，则椭圆上的点)sin ,cos (θθb a P ，)0,(a A ， ∵AP OP ⊥，∴1cos sin cos sin -=-⋅aa b a b θθθθ，即0cos cos )(22222=+--b a b a θθ，解得1cos =θ或222cos b a b -=θ，∵1cos 1<<-θ ∴1cos =θ（舍去），11222<-<-b a b ，又222c a b -= ∴2022<<c a ，∴22>e ，又10<<e ，∴122<<e ． 说明：若已知椭圆离心率范围)1,22(，求证在椭圆上总存在点P 使AP OP ⊥．如何证明？5.相交情况下--弦长公式的应用例1 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=．（1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程．解：（1）把直线方程m x y +=代入椭圆方程1422=+y x 得 ()1422=++m x x ，即012522=-++m mx x ．()()020*********≥+-=-⨯⨯-=∆m m m ，解得2525≤≤-m ． （2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ，2x ，由（1）得5221m x x -=+，51221-=m x x ．根据弦长公式得 ：51025145211222=-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+m m ．解得0=m ．方程为x y =．说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式∆；解决弦长问题，一般应用弦长公式． 用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程． 例2 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为3π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长． 分析：可以利用弦长公式]4))[(1(1212212212x x x x k x x k AB -++=-+=求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求． 解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．2121x x k AB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=．因为6=a ，3=b ，所以33=c ．因为焦点在x 轴上，所以椭圆方程为193622=+y x ，左焦点)0,33(-F ，从而直线方程为93+=x y ． 由直线方程与椭圆方程联立得：0836372132=⨯++x x ．设1x ，2x 为方程两根，所以1337221-=+x x ，1383621⨯=x x ，3=k ， 从而1348]4))[(1(1212212212=-++=-+=x x x x k x x k AB ．(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．由题意可知椭圆方程为193622=+y x ，设m AF =1，n BF =1，则m AF -=122，n BF -=122．在21F AF ∆中，3co s 22112212122πF F AF F F AF AF -+=，即21362336)12(22⋅⋅⋅-⋅+=-m m m ；所以346-=m ．同理在21F BF ∆中，用余弦定理得346+=n ，所以1348=+=n m AB ．(法3)利用焦半径求解．先根据直线与椭圆联立的方程0836372132=⨯++x x 求出方程的两根1x ，2x ，它们分别是A ，B 的横坐标．再根据焦半径11ex a AF +=，21ex a BF +=，从而求出11BF AF AB +=6.相交情况下—点差法的应用例1 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．解：由题意，设椭圆方程为1222=+y ax ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+101222y ax y x ，得()021222=-+x a x a ， ∴222112aa x x x M +=+=，2111a x y M M +=-=， 4112===a x y k M M OM ，∴42=a ， ∴1422=+y x 为所求． 说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．例2 已知椭圆1222=+y x ，求过点⎪⎭⎫⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程． 分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k ，利用条件求k ． 解法一：设所求直线的斜率为k ，则直线方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2121x k y ．代入椭圆方程，并整理得()()0232122212222=+-+--+k k x k kx k ．由韦达定理得22212122k kk x x +-=+．∵P 是弦中点，∴121=+x x ．故得21-=k ． 所以所求直线方程为0342=-+y x ．分析二：设弦两端坐标为()11y x ，、()22y x ，，列关于1x 、2x 、1y 、2y 的方程组，从而求斜率：2121x x y y --．解法二：设过⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，P 的直线与椭圆交于()11y x A ，、()22y x B ，，则由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④1.③1②12①12212122222121y y x x y x y x ，，， ①－②得0222212221=-+-y y x x ． ⑤ 将③、④代入⑤得212121-=--x x y y ，即直线的斜率为21-．所求直线方程为0342=-+y x ．说明：（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率． （3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．例3 已知椭圆1222=+y x ，（1）求过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程； （2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过()12，A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足21-=⋅OQ OP k k ， 求线段PQ 中点M 的轨迹方程．分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．解：设弦两端点分别为()11y x M ，，()22y x N ，，线段MN 的中点()y x R ，，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④，③，②，①，y y y x x x y x y x 222222212122222121①－②得()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x ．由题意知21x x ≠，则上式两端同除以21x x -，有()()0221212121=-+++x x y y y y x x ，将③④代入得022121=--+x x y y yx ．⑤（1）将21=x ，21=y 代入⑤，得212121-=--x x y y ，故所求直线方程为： 0342=-+y x ． ⑥ 将⑥代入椭圆方程2222=+y x 得041662=--y y ，0416436>⨯⨯-=∆符合题意，0342=-+y x 为所求．（2）将22121=--x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 04=+y x ．（椭圆内部分） （3）将212121--=--x y x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 022222=--+y x y x ．（椭圆内部分） （4）由①＋②得 ：()2222212221=+++y y x x ， ⑦， 将③④平方并整理得 212222124x x x x x -=+， ⑧， 212222124y y y y y -=+， ⑨将⑧⑨代入⑦得：()224424212212=-+-y y y x x x ， ⑩ 再将212121x x y y -=代入⑩式得： 221242212212=⎪⎭⎫⎝⎛--+-x x y x x x ， 即12122=+y x ．此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．例4 已知椭圆13422=+y x C ：，试确定m 的取值范围，使得对于直线m x y l +=4：，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称．分析：若设椭圆上A ，B 两点关于直线l 对称，则已知条件等价于：(1)直线l AB ⊥；(2)弦AB 的中点M 在l 上．利用上述条件建立m 的不等式即可求得m 的取值范围． 解：(法1)设椭圆上),(11y x A ，),(22y x B 两点关于直线l 对称，直线AB 与l 交于),(00y x M 点． ∵l 的斜率4=l k ，∴设直线AB 的方程为n x y +-=41．由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=,134,4122yx n x y 消去y 得 0481681322=-+-n nx x①。

[课时作业] [A组基础巩固]1．椭圆x225＋y29＝1上一点M到焦点F1的距离为2，则M到另一个焦点F2的距离为()A．3 B．6C．8 D．以上都不对解析：由椭圆的定义知|MF1|＋|MF2|＝10，∴|MF2|＝10－2＝8，故选C.答案：C2．(2015·高考广东卷)已知椭圆x225＋y2m2＝1(m＞0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝()A．2 B．3C．4 D．9解析：由左焦点为F1(－4,0)知c＝4，又a＝5，∴25－m2＝16，解得m＝3或－3，又m＞0，故m＝3.答案：B3．椭圆x216＋y27＝1的左、右焦点为F1、F2，一直线过F1交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为()A．32 B．16C．8 D．4解析：∵|AF1|＋|AF2|＝8，|BF1|＋|BF2|＝8.又∵|AF1|＋|BF1|＝|AB|，∴△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝16.故选B.答案：B4．方程x2sin 2＋cos 2－y2cos 2－sin 2＝1所表示的曲线是()A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在y轴上的椭圆C ．焦点在x 轴上的双曲线D ．焦点在y 轴上的双曲线解析：∵π2<2<3π4，∴sin 2>0，cos 2<0且|sin 2|>|cos 2|，∴sin 2＋cos 2>0，cos 2－sin 2<0且sin 2－cos 2>sin 2＋cos 2，故表示焦点在y 轴上的椭圆． 答案：B5．已知椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为F 1、F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到x 轴的距离为( ) A.233 B.263 C.33 D. 3解析：由MF 1→·MF 2→＝0，得MF 1⊥MF 2，可设|MF 1→|＝m ，|MF 2→|＝n ，在△F 1MF 2中，由m 2＋n 2＝4c 2得(m ＋n )2－2mn ＝4c 2，根据椭圆的定义有m ＋n ＝2a ，所以2mn＝4a 2－4c 2，故mn ＝2b 2，即mn ＝2，∴S △F 1MF 2＝12·mn ＝1，设点M 到x 轴的距离为h ，则12×|F 1F 2|×h ＝1，又|F 1F 2|＝23，故h ＝33，故选C.答案：C 6．已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，－23)且a ＝2b ，则椭圆的标准方程为________． 解析：由c ＝23，a ＝2b ，a 2＝b 2＋c 2，∴3b 2＝12，b 2＝4，a 2＝16，∴标准方程为y 216＋x 24＝1.答案：y 216＋x 24＝17．已知椭圆的两焦点为F 1(－2,0)，F 2(2,0)，P 为椭圆上的一点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项．该椭圆的方程是________．解析：由题意知椭圆焦点在x 轴上，c ＝2，|F 1F 2|＝4，由于|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝8，∴a ＝4，b 2＝a 2－c 2＝42－22＝12，故椭圆的方程为x 216＋y 212＝1. 答案：x 216＋y 212＝1 8．若F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠F 1AF 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为________．解析：如图所示，|F 1F 2|＝22，|AF 1|＋|AF 2|＝6，由|AF 1|＋|AF 2|＝6，得|AF 1|2＋|AF 2|2＋2|AF 1||AF 2|＝36.又在△AF 1F 2中，|AF 1|2＋|AF 2|2－|F 1F 2|2＝2|AF 1||AF 2|cos 45°，∴36－2|AF 1||AF 2|－8＝2|AF 1||AF 2|，∴|AF 1||AF 2|＝282＋2＝14(2－2)． ∴S △AF 1F 2＝12|AF 1||AF 2|sin 45°＝12×14(2－2)×22＝7(2－1)．答案：7(2－1)9．已知点P (3,4)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点，F 1，F 2是椭圆左、右焦点，若PF 1⊥PF 2，试求：(1)椭圆方程；(2)△PF 1F 2的面积．解析：(1)由PF 1⊥PF 2，可得|OP |＝c ，得c ＝5.设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－25＝1，代入P (3,4)， 得9a 2＋16a 2－25＝1，解得a 2＝45. ∴椭圆方程为x 245＋y 220＝1.(2)S △PF 1F 2＝12|F 1F 2||y P |＝5×4＝20.10．已知B ，C 是两个定点，|BC |＝8，且△ABC 的周长等于18，求这个三角形的顶点A 的轨迹方程．解析：以过B ，C 两点的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy ，如图所示．由|BC |＝8，可知点B (－4,0)，C (4,0)，c ＝4.由|AB |＋|AC |＋|BC |＝18，|BC |＝8，得|AB |＋|AC |＝10.因此，点A的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a ＝10，但点A 不在x 轴上．由a ＝5，c ＝4，得b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.所以点A 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．[B 组 能力提升]1．已知方程x 2|m |－1＋y 22－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是( ) A ．m <2B ．1<m <2C ．m <－1或1<m <32D ．m <－1或1<m <2解析：由题意得⎩⎨⎧ |m |－1>0，2－m >0，|m |－1<2－m ，解得m <－1或1<m <32.故选C.答案：C 2．椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上．如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的( )A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍解析：不妨设F 1(－3,0)，F 2(3,0)，由条件知P ⎝⎛⎭⎪⎫3，±32，即|PF 2|＝32， 由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝43，则|PF 1|＝732，即|PF 1|＝7|PF 2|，故选A.答案：A3．已知曲线C ：x 2k －5＋y 23－k＝－1，则“4≤k <5”是“曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆”的________条件．解析：将曲线C 的方程化为：x 25－k ＋y 2k －3＝1，若曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆， 则k －3>5－k >0，即4<k <5，故“4≤k <5”是“曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆”的必要不充分条件．答案：必要不充分4．在平面直角坐标系中，A (4,0)，B (－4,0)，且sin A ＋sin B sin C ＝54，则△ABC 的顶点C 的轨迹方程为________．解析：在△ABC 中，由正弦定理|BC |＝2R sin A ，|AC |＝2R sin B ，|AB |＝2R sin C ，∴|BC |＋|AC ||AB |＝54，又|AB |＝8，∴|BC |＋|AC |＝10＞8，由椭圆的定义2a ＝10，a ＝5，c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝9，又C 与AB 不共线，∴顶点C 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)． 答案：x 225＋y 29＝1(y ≠0)5．△ABC 的三边a ，b ，c 成等差数列，且a >b >c ，A ，C 的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，求顶点B 的轨迹方程．解析：由已知得b ＝2，又a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b ＝4，即|AB |＋|BC |＝4，∴点B 到定点A ，C 的距离之和为定值4，由椭圆定义知B 点的轨迹为椭圆的一部分，其中a ′＝2，c ′＝1.∴b ′2＝3.又a >b >c ，∴顶点B 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(－2<x <0)． 6．动圆C 与定圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝32内切，与定圆C 2：(x －3)2＋y 2＝8外切，A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，92. (1)求动圆C 的圆心C 的轨迹方程；(2)若轨迹C 上的两点P ，Q 满足AP→＝5AQ →，求|PQ |的值． 解析：(1)如图，设动圆C 的半径为R ， 则|CC 1|＝42－R ，①|CC 2|＝22＋R ，②①＋②得，|CC 1|＋|CC 2|＝62>6＝|C 1C 2|， 由椭圆的定义知C 点的轨迹是以C 1，C 2为焦点，长轴长为62的椭圆，其轨迹方程为x 218＋y 29＝1.(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，y 1－92，AQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2－92. 由AP →＝5AQ →可得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，y 1－92＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2－92， 所以x 1＝5x 2，y 1＝5y 2－92×5＋92＝5y 2－18，③ 由P ，Q 是椭圆C 上的两点，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2218＋y 229＝1， ④25x 2218＋(5y 2－18)29＝1， ⑤由④、⑤得y 2＝3，将y 2＝3代入③，得y 1＝－3， 将y 2＝3代入④，得x 2＝0，所以x 1＝0， 所以P (0，－3)，Q (0,3)，|PQ |＝6.。

第二章 2.2 2.2.1请同学们认真完成练案[11]A 级 基础巩固一、选择题1．设F 1、F 2为定点，|F 1F 2|＝6，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝6，则动点M 的轨迹是( D ) A ．椭圆 B ．直线 C ．圆D ．线段[解析] ∵|MF 1|＋|MF 2|＝6，|F 1F 2|＝6， ∴|MF 1|＋|MF 2|＝|F 1F 2|， ∴点M 的轨迹是线段F 1F 2.2．过点(－3,2)且与x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆的方程是( A )A ．x 215＋y 210＝1B ．x 2225＋y 2100＝1C ．x 210＋y 215＝1D ．x 2100＋y 2225＝1[解析] 将点(－3,2)代入验证，只有A 的方程满足，故选A ．3．中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点(4,0)、(0,2)的椭圆方程为( D ) A ．x 24＋y 22＝1B ．y 24＋x 22＝1C ．y 216＋x 24＝1D ．x 216＋y 24＝1[解析] 解法一：验证排除：将点(4,0)代入验证可排除A 、B 、C ，故选D ． 解法二：设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧16m ＝14n ＝1，∴⎩⎨⎧m ＝116n ＝14，故选D ．4．已知椭圆x 225＋y 29＝1上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2，N 是MF 的中点，O为坐标原点，那么线段ON 的长是( B )A ．2B ．4C ．8D ．32[解析] 设椭圆左焦点F ，右焦点F 1，∵2a ＝10，|MF |＝2，∴|MF 1|＝8，∵N 为MF 中点，O 为FF 1中点，∴|ON |＝12|MF 1|＝4.5．(2019－2020学年房山区期末检测)“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的充要条件是( A )A ．m ＞n ＞0B ．n ＞m ＞0C ．mn ＞0D ．mn ＜0[解析] 若方程表示椭圆，则m ，n ≠0，则方程等价为x 21m ＋y 21n ＝1，若方程表示焦点在y 轴上椭圆，则等价为1n ＞1m＞0，解得：m ＞n ＞0，故选A ．6．(2019－2020学年湖南省长沙市湖南师大附中高二期中)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若△MF 1F 2为等腰三角形，则△MF 1F 2的面积为( D )A ．53B ．103C ．215D ． 415[解析] 设M (m ，n )，m ，n ＞0，则m ∈(0,6)，n ∈(0，25)， 椭圆C ：x 236＋y 220＝1的a ＝6，b ＝25，c ＝4.设F 1，F 2分别为椭圆C 的左右焦点，由于M 为C 上一点且在第一象限，可得|MF 1|＞|MF 2|，|F 1F 2|＝2c ＝8， 因为|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝12，所以|MF 1|＞6，|MF 2|＜6， △MF 1F 2为等腰三角形，只能|MF 2|＝2c ＝8，则|MF 2|＝4， 由勾股定理得|MF 2|2＝(4－m )2＋n 2＝16， 又m 236＋n 220＝1，联立并消去n 得 m 2－18m ＋45＝0，且m ∈(0,6)，解得m ＝3，则n ＝15. 则△MF 1F 2的面积为12×8×15＝415.故选D ．二、填空题7．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆与x 轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为__x 24＋y 23＝1__.[解析] 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝3a －c ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2c ＝1.故b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1. 8．(福州市2019－2020学年高二期末)若以椭圆上一点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则该椭圆长轴长的最小值为[解析] 由题意可知，因为椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的最大面积为1，即可知bc ＝1，因为a 2＝b 2＋c 2＝b 2＋1b2≥2，所以a ≥2，故长轴长的最小值为22，答案为2 2.三、解答题9．求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点M (3,2)；(2)a ：c ＝13：5，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.[解析] (1)由焦距是4可得c ＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．由椭圆的定义知，2a ＝32＋(2＋2)2＋32＋(2－2)2＝8，所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12. 又焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为y 216＋x 212＝1.(2)由题意知，2a ＝26，即a ＝13，又a c ＝135，所以c ＝5，所以b 2＝a 2－c 2＝132－52＝144， 因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为x 2169＋y 2144＝1或y 2169＋x 2144＝1.10．已知点A (－12，0)，B 是圆F ：(x －12) 2＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，求动点P 的轨迹方程．[解析] 如图所示，由题意知，|P A |＝|PB |，|PF |＋|BP |＝2， ∴|P A |＋|PF |＝2，且|P A |＋|PF |>|AF |， ∴动点P 的轨迹是以A 、F 为焦点的椭圆， ∴a ＝1，c ＝12，b 2＝34.∴动点P 的轨迹方程为x 2＋y 234＝1，即x 2＋43y 2＝1. B 级 素养提升一、选择题1．已知椭圆x 225＋y 29＝1，F 1、F 2分别在其左、右焦点，椭圆上一点M 到F 1的距离是2，N是MF 1的中点，则|ON |的长为( D )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 由椭圆定义得|MF 2|＋|MF 1|＝2a ＝10， 因为|MF 1|＝2，所以|MF 2|＝8. 因为N 是MF 1的中点，所以|ON |＝|MF 2|2＝4.故选D ． 2．若△ABC 的两个焦点坐标为A (－4,0)、B (4,0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为( D )A ．x 225＋y 29＝1B ．y 225＋x 29＝1(y ≠0)C ．x 216＋y 29＝1(y ≠0)D ．x 225＋y 29＝1(y ≠0)[解析] ∵|AB |＝8，△ABC 的周长为18，∴|AC |＋|BC |＝10>|AB |，故点C 轨迹为椭圆且两焦点为A 、B ，又因为C 点的纵坐标不能为零，所以选D ．3．(多选题)若方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围可以是( AD )A ．a >3B ．a <－2C ．－2<a <3D ．－6<a <－2[解析] 由题意得a 2>a ＋6>0， 解得a >3或－6<a <－2，故选AD ．4．(多选题)直线2x ＋by ＋3＝0过椭圆10x 2＋y 2＝10的一个焦点，则b 的值可以为( AB ) A ．－1 B ．1 C ．－12D ．12[解析] 椭圆方程化为标准形式为x 2＋y 210＝1，∴焦点坐标为(0，±3)，当直线过焦点(0,3)时，b ＝－1；当直线过焦点(0，－3)时，b ＝1.故选AB ．二、填空题5．下列命题是真命题的是__③__.①已知定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝2的点P 的轨迹为椭圆；②到定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)距离相等的点的轨迹为椭圆；③若点P 到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和等于点M (5,3)到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和，则点P 的轨迹为椭圆．[解析] ①2<2，故点P 的轨迹不存在；②到定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)距离相等的点的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线(y 轴)；③点M (5,3)到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和为410>8，故点P 的轨迹为椭圆．故填③.6．设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为__15__.[解析] 由椭圆的方程可得a ＝5，b ＝4，c ＝3. ∴F 1(－3,0)，F 2(3,0)，如图所示，由椭圆的定义可得，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，∴|PM |＋|PF 1|＝|PM |＋2a －|PF 2|＝10＋(|PM |－|PF 2|)≤10＋|MF 2|＝10＋32＋42＝15，∴|PM |＋|PF 1|的最大值为15. 三、解答题7．已知椭圆的中心在原点，且经过点P (3,0)，a ＝3b ，求椭圆的标准方程．[解析] 当焦点在x 轴上时，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由椭圆过点P (3,0)，知9a 2＋0b2＝1，又a＝3b，解得b2＝1，a2＝9，故椭圆的方程为x29＋y2＝1.当焦点在y轴上时，设其方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)．由椭圆过点P(3,0)，知0a2＋9b2＝1，又a＝3b，联立解得a2＝81，b2＝9，故椭圆的方程为y281＋x29＝1.故椭圆的标准方程为y281＋x29＝1或x29＋y2＝1.8．如图所示，在圆C：(x＋1)2＋y2＝25内有一点A(1,0)．Q为圆C上一点，AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，求点M的轨迹方程．[解析]如图所示，连接MA，由题知点M在线段CQ上，从而有|CQ|＝|MQ|＋|MC|.又点M在AQ的垂直平分线上，所以|MA|＝|MQ|，故|MA|＋|MC|＝|CQ|＝5.又A(1,0)，C(－1,0)，故点M的轨迹是以(1,0)，(－1,0)为焦点的椭圆，且2a＝5，c＝1，故a＝52，b2＝a2－c2＝254－1＝214.故点M的轨迹方程为x2254＋y2214＝1.。

第二章 圆锥曲线与方程2.2 椭圆2.2.2 椭圆的简单几何性质 第1课时 椭圆的简单几何性质A 级 基础巩固一、选择题1．已知点(3，2)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，则( )A ．点(－3，－2)不在椭圆上B ．点(3，－2)不在椭圆上C ．点(－3，2)在椭圆上D ．无法判断点(－3，－2)，(3，－2)，(－3，2)是否在椭圆上 解析：由椭圆的对称性知(－3，2)必在椭圆上． 答案：C2．椭圆C 1：x 225＋y 29＝1和椭圆C 2：x 29－k ＋y 225－k＝1(0<k <9)有( )A ．等长的长轴B ．相等的焦距C ．相等的离心率D ．等长的短轴解析：依题意知椭圆C 2的焦点在y 轴上，对于椭圆C 1：焦距＝225－9＝8，对于椭圆C 2：焦距＝225－k －（9－k ）＝8.答案：B3．若焦点在y 轴上的椭圆x 2m ＋y 22＝1的离心率为12，则m 的值为( )A ．1 B.32 C. 3 D.83解析：由题意得a 2＝2，b 2＝m ，所以c 2＝2－m ，又c a ＝12，所以2－m2＝12，所以m ＝32. 答案：B4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF 1⊥x轴，直线AB 与y 轴交于点P ，其中AP →＝2PB →，则椭圆的离心率为( )A.32B.22C.13D.12解析：如图，△ABF 1∽△APO ，则|AP ||AB |＝|AO ||AF 1|，即23＝aa ＋c. 所以a ＝2c .，所以e ＝c a ＝12.答案：D5．椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|的值为( )A.32B. 3C.72 D ．4答案：C 二、填空题6．已知椭圆的短轴长等于2，长轴端点与短轴端点间的距离等于5，则此椭圆的标准方程是________．解析：设椭圆的长半轴长为a ，短半轴长为b ，焦距为2c ，则b ＝1，a 2＋b 2＝(5)2，即a 2＝4.所以椭圆的标准方程是x 24＋y 2＝1或y 24＋x 2＝1.答案：x 24＋y 2＝1或y 24＋x 2＝17．已知椭圆x 2k ＋8＋y 29＝1的离心率为12，则k 的值为________． 解析：当k ＋8＞9时，e 2＝c 2a 2＝k ＋8－9k ＋8＝14，k ＝4；当k ＋8＜9时，e 2＝c 2a 2＝9－k －89＝14，k ＝－54.答案：4或－548．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．解析：因为x ＝1是圆x 2＋y 2＝1的一条切线．所以椭圆的右焦点为(1，0)，即c ＝1. 设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，则kOP ＝12，因为OP ⊥AB ，所以kAB ＝－2，则直线AB 的方程为y ＝－2(x －1)，它与y 轴的交点为(0，2)．所以b ＝2，a 2＝b 2＋c 2＝5，故椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.答案：x 25＋y 24＝1 三、解答题9．分别求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)离心率是23，长轴长是6；(2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.解：(1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．由已知得2a ＝6，e ＝c a ＝23，所以a ＝3，c ＝2.所以b 2＝a 2－c 2＝9－4＝5.所以椭圆方程为x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝1.(2)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．如图所示，△A 1FA 2为一等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2上的中线(高)，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ，所以c ＝b ＝3，所以a 2＝b 2＋c 2＝18，故所求椭圆的方程为x 218＋y 29＝1.10．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 1(－c ，0)，A (－a ，0)，B (0，b )是椭圆的两个顶点．若F 1到直线AB 的距离为b7，求椭圆的离心率．解：依题意，直线AB 的方程为x －a ＋yb ＝1，即bx －ay ＋ab ＝0. 所以焦点F 1到AB 的距离d ＝|－bc ＋ab |a 2＋b 2，所以b |a －c |a 2＋b 2＝77b . 两边平方，整理得8c 2－14ac ＋5a 2＝0. 两边同除以a 2，得8e 2－14e ＋5＝0， 所以e ＝12或e ＝54(舍去)．因此离心率为12.B 级 能力提升1．已知F 1(－3，0)，F 2(3，0)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)两个焦点，点P 在椭圆上，∠F 1PF 2＝α，且当α＝2π3时，△F 1PF 2的面积最大，则椭圆的标准方程为( )A.x 212＋y 23＝1 B.x 214＋y 25＝1 C.x 215＋y 26＝1D.x 216＋y 27＝1解析：因为当点P 在短轴端点时， S △F 1PF 2最大， 所以∠PF 1F 2＝π6，所以tan π6＝b c， 因为c ＝3，所以b ＝3，所以a 2＝b 2＋c 2＝12，所以椭圆方程为x 212＋y 23＝1.答案：A2．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )A.32 B.33C. 3 D ．1 解析：记|F 1F 2|＝2c ，则由题设条件，知|PF 1|＝2c 3，|PF 2|＝4c 3，则椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝2c 2c 3＋4c 3＝33.答案：B3．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，点P (－2，1)在椭圆上，线段PF 2与y 轴的交点M 满足PM →＋F 2M →＝0.(1)求椭圆C 的方程；(2)椭圆C 上任一动点N (x 0，y 0)关于直线y ＝2x 的对称点为N 1(x 1，y 1)，求3x 1－4y 1的取值范围．解：(1)因为点P (－2，1)在椭圆上，所以2a 2＋1b2＝1.①又因为PM →＋F 2M →＝0，M 在y 轴上，所以M 为PF 2的中点，所以－2＋c ＝0，c ＝ 2. 所以a 2－b 2＝2，②联立①②，解得b 2＝2(b 2＝－1舍去)，所以a 2＝4. 故所求椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)因为点N (x 0，y 0)关于直线y ＝2x 的对称点为N 1(x 1，y 1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 0－y 1x 0－x 1×2＝1，y 0＋y 12＝2×x 0＋x 12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝4y 0－3x 05，y 1＝3y 0＋4x5.所以3x 1－4y 1＝－5x 0.因为点N (x 0，y 0)在椭圆C ：x 24＋y 22＝1上，所以－2≤x 0≤2，所以－10≤－5x 0≤10，即3x 1－4y 1的取值为[－10，10]．。

2013高二数学（选修2-1）椭圆练习(含答案人教实验A版)2.2椭圆同步练测建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、选择题（每小题5分，共20分）1.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，且长轴长为，离心率为，则椭圆的方程是（）A.B.C.D.2．如果一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍，那么这个椭圆的离心率为（）A．B.C.D.3．若AB是过椭圆(a＞b＞0)中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM，BM与坐标轴不平行，kAM，kBM分别表示直线AM，BM的斜率，则kAMkBM=（）A．B.C．D．4．“-3m5”是“方程表示椭圆的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二、填空题（每小题5分，共10分）5.如果椭圆的离心率是，那么实数k的值为.6.已知点，是圆(为圆心)上一动点，线段的垂直平分线交于，则动点的轨迹方程为．三、解答题(共70分)7.（15分）已知点A(－2,0)、B(2,0)，过点A作直线l交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点，线段MN的中点到y轴的距离为45，且直线l与圆x2＋y2＝1相切，求该椭圆的方程8.（20分）如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D 是点P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝45|PD|.(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被轨迹C所截线段的长度9.（15分）已知椭圆:的右焦点为，离心率为.(1）求椭圆的方程及左顶点的坐标；（2）设过点的直线交椭圆于两点，若△PAB的面积为，求直线的方程10.（20分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率e=，左、右焦点分别为F1、F2，点P的坐标为(2，)，点F2在线段PF1的中垂线上．（1）求椭圆C的方程（2）（2）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于M、N两点，直线F2M与F2N的倾斜角分别为，，且+=，求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标一、选择题1.D解析：由长轴长为12，离心率为，可得,所以.又焦点在轴上，所以椭圆的方程为.2.B解析：∵a=2b,故选B.3.B解析：设A（x1，y1），M（x0，y0），则B（x1，y1），则kAMkBM=.∵A，M在椭圆上，∴，两式相减，可得kAMkBM=，故选B．4.B解析：由方程表示椭圆知即-3m5且m≠1.故选B.二、填空题5.4或-解析：①当焦点在x轴上时，，，∴=k-10.∴k1且e====.解得k=4.②当焦点在y轴上时，=9，=k+80，∴=9-k-8=1-k0.∴-8k1且e====.解得k=-.6.解析：由题意可得.又，所以点的轨迹是椭圆，其中，,所以椭圆方程为.三、解答题7.解：易知直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为y＝k(x＋2)．①又设椭圆方程为(a24)．②因为直线l与圆x2＋y2＝1相切，故＝1，解得k2＝13. 将①代入②整理，得(a2k2＋a2－4)x2＋4a2k2x＋4a2k2－a4＋4a2＝0，而k2＝13，即(a2－3)x2＋a2x－34a4＋4a2＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，由题意有＝2×45(a23)，求得a2＝8.经检验，此时&#8710;0.故所求的椭圆方程为.8.解：(1)设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(xP，yP)，由已知得∵点P在圆上，∴x2＋2＝25，即轨迹C的方程为x225＋y216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y＝45(x－3)，设直线与椭圆C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝45(x－3)代入椭圆C的方程，得x225＋&#61480;x－3&#61481;225＝1，即x2－3x－8＝0.∴x1＝3－412，x2＝3＋412.∴线段AB的长度为|AB|＝&#61480;x1－x2&#61481;2＋&#61480;y1－y2&#61481;2＝1＋1625&#61480;x1－x2&#61481;2＝4125×41＝415.9.解：（1）由题意可知，，所以.所以.所以椭圆的标准方程为，左顶点的坐标是.(2）根据题意可设直线的方程为,,由可得.所以&#8710;所以△PAB的面积.因为△PAB的面积为，所以.令，则.解得（舍去），.所以.所以直线的方程为或.10.解：（1）由椭圆C的离心率e=，得，其中c=.∵椭圆C的左、右焦点分别为F1（c，0），F2（c，0），又点F2在线段PF1的中垂线上，∴|F1F2|=|PF2|，∴(2c)2=()2+(2-c)2，解得c=1，a2=2，b2=1.∴椭圆的方程为+y2=1．（2）由题意，知直线MN存在斜率，其方程为y=kx+m．由消去y，得（2k2+1）x2+4kmx+2m22=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，且，由已知α+β=π，得即化简，得∴整理得m=2k．（3）∴直线MN的方程为y=k（x2），因此直线MN过定点，该定点的坐标为（2，0）。

人教A版高中数学选修2-1 椭圆知识点+讲测练知识点一：椭圆的定义平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：若，则动点的轨迹为线段；若，则动点的轨迹无图形.知识点二：椭圆的标准方程1.当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；2.当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；注意：1.只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；2.在椭圆的两种标准方程中，都有和；3.椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，。

知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆的的简单几何性质（1）对称性：对于椭圆标准方程，把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。

（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b。

（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

②椭圆（a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），B1（0，―b），B2（0，b）。

③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。

a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

（4）离心率①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作。

②因为a＞c＞0，所以e的取值范围是0＜e＜1。

e越接近1，则c就越接近a，从而越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。

当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2。