椭圆经典例题分类汇总

椭圆经典例题分类汇总

1.椭圆第一定义的应用

例1椭圆的一个顶点为()02，

A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．

解：（1）当()02，

A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11

422=+y x ； （2）当()02，

A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为：

116

42

2=+y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．

例2已知椭圆

19822=++y k x 的离心率2

1

=e ，求k 的值． 分析：分两种情况进行讨论．

解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82+=k a ，92=b ，得12

-=k c ．由2

1

=e ，得4=k ． 当椭圆的焦点在y 轴上时，92

=a ，82

+=k b ，得k c -=12

．

由21=

e ，得4191=-k ，即4

5-=k ． ∴满足条件的4=k 或4

5

-=k ．

说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8+k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论．

例3 已知方程

1352

2-=-+-k

y k x 表示椭圆，求k 的取值范围． 解：由⎪⎩

⎪

⎨⎧-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<

∴满足条件的k 的取值范围是53<

⎧<-<-,

03,

05k k 得53<

出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0>>b a 这个条件，当b a =时，并不表示椭圆．

例4 已知1cos sin 2

2=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围． 分析：依据已知条件确定α的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出α的取值范围．

解：方程可化为1cos 1sin 122=+α

αy x ．因为焦点在y 轴上，所以0sin 1

cos 1>>-αα． 因此0sin >α且1tan -<α从而)4

3

,2(

ππα∈． 说明：(1)由椭圆的标准方程知0sin 1>α，0cos 1

>-α，这是容易忽视的地方．

(2)由焦点在y 轴上，知αcos 12-=a ，α

sin 12

=b ． (3)求α的取值范围时，应注意题目中的条件

πα<≤0

例5 已知动圆P 过定点()03，-A ，且在定圆()64322

=+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P

的轨迹方程．

分析：关键是根据题意，列出点P 满足的关系式．

解：如图所示，设动圆P 和定圆B 内切于点M ．动点P 到两定点，

即定点()03，

-A 和定圆圆心()03，B 距离之和恰好等于定圆半径， 即8==+=+BM PB PM PB PA ．∴点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点，

半长轴为4，半短轴长为7342

2

=-=b 的椭圆的方程：

17

162

2=+y x ． 说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．

2.焦半径及焦三角的应用

例1已知椭圆

13

42

2=+y x ，1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

解：假设M 存在，设()11y x M ，，由已知条件得

2=a ，3=b ，∴1=c ，2

1

=

e ． ∵左准线l 的方程是4-=x ， ∴14x MN +=． 又由焦半径公式知：

111212x ex a MF -=-=，1122

1

2x ex a MF +=+=．

∵212

MF MF MN ⋅=，∴()⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛

-

=+112

12122124x x x ． 整理得04832512

1=++x x ． 解之得41-=x 或5

12

1-

=x ．① 另一方面221≤≤-x ．②

则①与②矛盾，所以满足条件的点M 不存在．

例2已知椭圆方程()0122

22>>=+b a b

y a x ，长轴端点为1A ，2A ，焦点为1F ，2F ，P 是

椭圆上一点，θ=∠21PA A ，α=∠21PF F ．求：21PF F ∆的面积（用a 、b 、α表示）． 分析：求面积要结合余弦定理及定义求角α的两邻边，从而利用C ab S sin 2

1

=

∆求面积．

解：如图，设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设P 在第一象限．由余弦定理知： 2

2

1F F 2

221PF PF +=12PF -·2

24cos c PF =α．①

由椭圆定义知： a PF PF 221=+②，则－①②2

得 α

cos 122

21+=⋅b PF PF ． 故αsin 21212

1PF PF S PF F ⋅=∆ααsin cos 12212+=

b 2

tan 2α

b =． 3.第二定义应用

例1椭圆112

162

2=+y x 的右焦点为F ，过点()

31，A ，点M 在椭圆上，当MF AM 2+为最小值时，求点M 的坐标．

分析：本题的关键是求出离心率2

1

=e ，把MF 2转化为M 到右准线的距离，从而得最小值．一般地，求MF e

AM 1

+

均可用此法． 解：由已知：4=a ，2=c ．所以2

1

=

e ，右准线8=x l ：．

过A 作l AQ ⊥，垂足为Q ，交椭圆于M ，故MF MQ 2=．

显然MF AM 2+的最小值为AQ ，即M 为所