典型例题一
例1 椭圆的一个顶点为()02，
A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．
解：（1）当()02，
A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11
42
2=+
y x ； （2）当()02，
A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为：116
42
2=+
y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．
典型例题二
例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．
解：3
1
222⨯⨯=c a c ∴223a c =， ∴3
331-=
e ． 说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a ，求c ，再求比．二是列含a 和c 的齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可．
典型例题三
例3 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，
OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．
解：由题意，设椭圆方程为1222
=+y a
x ，
由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+1012
22y a
x y x ，得()0212
22=-+x a x a ， ∴222112a a x x x M +=+=，211
1a x y M M +=-=， 41
12===
a
x y k M M OM ，∴42=a ， ∴14
22
=+y x 为所求． 说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．
典型例题四
例4椭圆19252
2=+y x 上不同三点()11y x A ，，⎪⎭
⎫
⎝⎛594，B ，()22y x C ，与焦点()04，F 的距离成等差数列．
（1）求证821=+x x ；
（2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ． 证明：（1）由椭圆方程知5=a ，3=b ，4=c ． 由圆锥曲线的统一定义知：
a c x c
a AF =
-12
，∴115
4
5x ex a AF -=-=． 同理2545x CF -=．∵BF CF AF 2=+，且5
9
=BF ，
∴51854554521=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-x x ，即821=+x x ．
（2）因为线段AC 的中点为⎪⎭⎫
⎝⎛+2421y y ，，所以它的垂直平分线方程为
()422
12
121---=
+-
x y y x x y y y ． 又∵点T 在x 轴上，设其坐标为()00，x ，代入上式，得()
212
2
21024x x y y x --=-
又∵点()11y x A ，，()22y x B ，都在椭圆上， ∴()
21212525
9
x y -=
()
2
2
222525
9x y -=
∴()()21212
22125
9x x x x y y -+-=-．
将此式代入①，并利用821=+x x 的结论得25
36
40-
=-x ∴4
540
590=--=x k BT ．
典型例题五
例5 已知椭圆13
42
2=+y
x ，1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN
是1MF 与2MF 的等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：假设M 存在，设()11y x M ，，由已知条件得
2=a ，3=b ，∴1=c ，2
1
=
e ． ∵左准线l 的方程是4-=x ， ∴14x MN +=． 又由焦半径公式知：
111212x ex a MF -=-=，1122
1
2x ex a MF +=+=． ∵2
12MF MF MN ⋅=，∴()⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+112
12122124x x x ． 整理得048325121=++x x ． 解之得41-=x 或5
12
1-
=x ．① 另一方面221≤≤-x ．②
则①与②矛盾，所以满足条件的点M 不存在． 说明：
（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程．
（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算．进而根据推理得到的结果，再作判断．
（3）本例也可设()
θθsin 3cos 2，M 存在，推出矛盾结论（读者自己完成）．
典型例题六
例6 已知椭圆1222=+y x ，求过点⎪⎭
⎫
⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程．
分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k ，利用条件求k ． 解法一：设所求直线的斜率为k ，则直线方程为⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=-
2121x k y ．代入椭圆方程，并整理得 ()()
02
3
21222122
2
2
=+-+--+k k x k k
x k ．
由韦达定理得2
2212122k
k
k x x +-=+． ∵P 是弦中点，∴121=+x x ．故得21
-=k ．
所以所求直线方程为0342=-+y x ．
分析二：设弦两端坐标为()11y x ，、()22y x ，，列关于1x 、2x 、1y 、2y 的方程组，从而求斜率：212
1x x y y --．
解法二：设过⎪⎭
⎫
⎝⎛2121，P 的直线与椭圆交于()11y x A ，、()22y x B ，，则由题意得
⎪
⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④
1.
③1②12
①1221212
2222
121y y x x y x y x ，，， ①－②得02
2
2212
221=-+-y y x x ．⑤
