圆锥曲线与方程--椭圆
知识点
一•椭圆及其标准方程
1椭圆的定义：平面内与两定点Fι, F2距离的和等于常数2a ■ F1F21J的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P∣∣PF ι∣+∣PF 2∣=2a，2a>∣F1F2∣=2c};
这里两个定点F i, F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。
(2a = F1F2时为线段F i F2, 2a C RF?无轨迹)。
2 2 2
2•标准方程：c= a- b
2 2
χ+y _ 1
①焦点在X轴上：盲TT = 1( a> b> 0);焦点F(± C, 0)
a b
2 2
y X
②焦点在y轴上：—2 = 1(a>b>0)；焦点F (0, ±C)
a b
注意：①在两种标准方程中，总有a> b> 0,并且椭圆的焦点总在长轴上；
2 2
②两种标准方程可用一般形式表示：X y =1或者mχ2+ny2=1
m n
二•椭圆的简单几何性质：
1. 范围
2 2
(1)椭圆X- y- =1 (a> b> 0)横坐标-a ≤x≤a ,纵坐标-b ≤X≤b
a2b2
2 2
(2)椭圆-y2x2 =1 (a>b>0) 横坐标-b ≤X≤b,纵坐标-a ≤x≤a
a2b2
2. 对称性
椭圆关于X轴y轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称
中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心
3. 顶点
(1)椭圆的顶点：A (-a , 0), A (a, 0), B (0, -b), B- (0, b)
(2)线段AA, BB分别叫做椭圆的长轴长等于2a,短轴长等于2b, a和b分别叫做椭
圆的长半轴长和短半轴长。 4 .离心率
(1) 我们把椭圆的焦距与长轴长的比 2c ,即E 称为椭圆的离心率,
2a a
e = O 是圆；
e 越接近于O (e 越小)，椭圆就越接近于圆 e 越接近于1
( e 越大)，椭圆越扁；
注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关 小结一：基本元素 (1) 基本量：a 、b 、c 、e 、(共四个量)， 特征三角形 (2) 基本点：顶点、焦点、中心(共七个点) (3) 基本线：对称轴(共两条线) 5 •椭圆的的内外部
2 2 x 2 y 2 亠
—x o + y
o W 1 (1) 点 P(X O , Y O )在椭圆-2 -每=1(a b - 0)的内部 J 2 U2
1
a b
a b
2 2 x 2 y 2
亠
X
O
* y O 彳
(2)
点 P(x 0, y 0)在椭圆-2 =1(a b 0)的外部 2 TT 1.
a b
a b
6. 几何性质
(1) 点P 在椭圆上， 最大角∙ F 1
PF 2
max =∕
F 1
B 2F 2,
(2) 最大距离，最小距离 7. 直线与椭圆的位置关系
(1) 位置关系的判定：联立方程组求根的判别式； (2) 弦长公式： ________________________ (3) 中点弦问题：韦达定理法、点差法
记作 e ( 0 < e < 1),
例题讲解: 一.椭圆定义：
1 •方程-
2 2 y^ . X 2 2 y 2 =10化简的结果是 __________________________
2•若. ABC 的两个顶点A -4,0 ,B 4,0 , ABC 的周长为18 ,则顶点C 的轨迹方程是 ____________
2
—=1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为
9
二•利用标准方程确定参数
2 2
1. 若方程 厶 +丄=1 (1)表示圆，则实数k 的取值是
5 _k k _3
(2) _____________________________________________________ 表示焦点在X 轴上的椭
圆，则实数 k 的取值范围是 ______________________________________ . ________ (3) _____________________________________________________ 表示焦点在y 型上的椭圆，则实数k 的取值范围是 _______________________________________ . ________ (4) _______________________________________ 表示椭圆，则实数k 的取值范围是 . 2. 椭圆4X 2 25y 2 =100的长轴长等于 _______________ ，短轴长等于 _____________ ,顶点坐标 是 _______________ , ____________ 焦点的坐标是 __________ , ________ 焦距是 _________ ，离
心率等于—, ____
2 2
3•椭圆 — -
1的焦距为 2 ,贝U m= ______________ 。
4 m
4. _____________________________________________ 椭圆5X 2 ky 2 =5的一个焦点是(0,2),那么k = ______________________________________________ 。 三•待定系数法求椭圆标准方程
1. _____________________________________________________ 若椭圆经过点(-4,0) , (0,-3),则该椭圆的标准方程为 _____________________________________ 。
2. 焦点在坐标轴上，且a 2 =13 , c 2 =12的椭圆的标准方程为 _____________
3. 焦点在X 轴上，a:b=2:1 , c =∙∕6椭圆的标准方程为 ________________
4. 已知三点P (5, 2)、F 1 ( — 6, 0)、F 2 (6, 0),求以F 1、F 2为焦点且过点P 的椭圆
的标
x 2
3.已知椭圆一4 16
3,则P 到另一焦点距离为 _______
