值域(最值)问题常见类型及解法.

重难2-1 函数值域的求法8大题型函数的值域是函数概念中三要素之一，是高考中的必考内容，具有较强的综合性，贯穿整个高中数学的始终。

在高考试卷中的形式千变万化，但万变不离其宗，真正实现了常考常新的考试要求，考生在复习过程中首先要掌握一些简单函数的值域求解的基本方法，其次要多看多练在其他板块中涉及值域类型的内容。

一、求函数值域的常见方法1、直接法：对于简单函数的值域问题，可通过基本初等函数的图象、性质直接求解；2、逐层法：求12(())n f f f x 型复合函数的值域，利用一些基本初等函数的值域，从内向外逐层求函数的值域；3、配方法：配方法是二次型函数值域的基本方法，即形如“(0)x y ax bx c a =++≠”或“2[()]()(0)y a f x bf x c a =++≠”的函数均可用配方法求值域；4、换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有 （1）y cx d=+或cx d y ax b +=+的结构，可用cx d t +=”换元；（2）y ax b cx d =+±+,,,a b c d 均为常数，0,0a c ≠≠），可用“cx d t +=”换元；（3）22y bx a x =-型的函数，可用“cos ([0,])x a θθπ=∈”或“sin ([,])22x a ππθθ=∈-”换元；5、分离常数法：形如(0)ax by ac cx d+=≠+的函数，应用分离常数法求值域，即2()ax b a bc ady d cx d c c x c+-==+++，然后求值域；6、基本不等式法：形如(0)by ax ab x =+>的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用a b +≥求函数的值域（或最值）时，应满足三个条件：①0,0a b >>；②a b+（或ab ）为定值；③取等号的条件为a b =，三个条件缺一不可；7、函数单调性法：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域（或最值）（1）形如0)y ax b ac =+<的函数可用函数单调性求值域；（2）形如by ax x=+的函数，当0ab >时，若利用基本不等式等号不能成立时，可考虑利用对勾函数求解； 当0ab <时，by ax x=+在(,0)-∞和(0,)+∞上为单调函数，可直接利用单调性求解。

12一．观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。

解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。

∴函数的知域为.点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。

（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。

点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。

这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。

（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。

点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。

此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。

配方法是数学的一种重要的思想方法。

练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})四．判别式法若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。

高一数学求函数的定义域与值域的常用方法一. 求函数的定义域与值域的常用方法求函数的解析式，求函数的定义域，求函数的值域，求函数的最值二. 求函数的解析式3、求函数解析式的一般方法有：（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y 。

（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值； （3）换元法：若给出了复合函数f ［g （x ）］的表达式，求f （x ）的表达式时可以令t ＝g （x ），以换元法解之； （4）构造方程组法：若给出f （x ）和f （－x ），或f （x ）和f （1/x ）的一个方程，则可以x 代换－x （或1/x ），构造出另一个方程，解此方程组，消去f （－x ）（或f （1/x ））即可求出f （x ）的表达式；（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y 的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。

（二）求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；4、对复合函数y ＝f ［g （x ）］的定义域的求解，应先由y ＝f （u ）求出u 的范围，即g （x ）的范围，再从中解出x 的范围I 1；再由g （x ）求出y ＝g （x ）的定义域I 2，I 1和I 2的交集即为复合函数的定义域；5、分段函数的定义域是各个区间的并集；6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；一：求函数解析式1、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。

函数专题之值域与最值问题一．观察法（根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数） 【例1】求函数y=3+√(2－3x) 的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。

解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0， 故3+√(2－3x)≥3。

∴函数的知域为 .点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

【练习1-1】：1、求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。

（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）2、求下列函数值域：（1）32y x =-+ [1,2]x ∈- （2）21y x =- {2,1,0,1,2x ∈-- （3）31y x =+ （4）1,00,01,0x y x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩（答案一[4,5]-）， （答案二{3,0,1}-）， （答案三(,1)(1,)-∞+∞ ）， （答案四{1,0,1}-） 二、配方法(当所给函数是二次函数y=ax ²+bx+c 或可化为二次函数的复合函数y=a[f(x)]²+b f(x)+c 时，可利用配方法求值域。

)【例2-1】已知函数223y x x =+-，分别求它在下列区间上的值域。

（1）x R ∈； （2）[0,)x ∈+∞； （3）[2,2]x ∈-； （4）[1,2]x ∈． 解：（1）∵2(1)4y x =+-∴min 4y =- ∴值域为[4,)-+∞．（2）∵223y x x =+-的图象如图， 当0x =时，min 3y =-，∴当[0,)x ∈+∞时，值域为[3,)-+∞．（3）根据图象可得： 当1x =-时，min 4y =-，当2x =时，max 5y =，∴当[2,2]x ∈-时，值域为[4,5]-． （4）根据图象可得：当1x =时，min 0y =，当2x =时，max 5y =，∴当[1,2]x ∈时，值域为[0,5]． 说明：（1）函数的定义域不同，值域也不同； （2）二次函数的区间值域的求法：①配方；②作图；③求值域。

专题五高考常考的求函数值域（最值）的题型总结求函数的值域（最值）一直是高考常考的重要题型. 不论是高考的小题，还是高考的大题，都曾考过求函数的值域（最值），而且是以各种难度、各种形式的题来考查的. 所以我们要对这种题型高度重视、加强训练，从而达到熟练掌握求值域（最值）的方法、技巧和规律. 高考常考的求值域（最值）的题型主要有四种：用一元二次函数的方法求值域（最值）、用三角函数的方法求值域（最值）、用均值不等式的方法求值域（最值）、用导数的方法求值域（最值）.当然，如果容易画出对应函数的图像，还可以根据函数图像求值域（最值）；如果容易知道对应函数的单调性，还可以根据函数的单调性求值域（最值）.根据所给题目的具体条件，我们可以灵活选用某一种或几种方法来求值域（最值）.学习本专题必备知识点总结：1. 关于一元二次函数的一些知识点总结：（1）解析式.① 一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 为常数，且；② 顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 为常数，且；③ 两根式：),0)()((2121为对应方程的两根的常数，为不等于x x a x x x x a y --=.（2）其他知识点：① 顶点坐标：）或（）（ab ac a b k h 44,2,,2--； ② 对称轴方程：;2a b x -= ③ .,0,0开口向下开口向上；开口方向：<>a a2. 关于三角函数的一些知识点总结：（1）二倍角公式：① αααcos sin 22sin =； ② ααα2tan 1tan 22tan -=； ③ 22cos 1cos 22cos 1sin sin 211cos 2sin cos 2cos 222222ααααααααα+=⇒-=⇒-=-=-= (2) 辅助角公式：为非零常数）、或b a x b a x b a x b x a ()cos()sin(cos sin 2222ϕϕ±+=±+=+ （3）熟记各种三角函数的图像，并利用图像记住性质.（4）牢记基本三角函数在自变量不限制范围和限制范围时，求值域（最值）的基本方法.3. 关于均值不等式的一些知识点总结：（1）重要不等式：R b a ab b a ∈≥+、其中(222，当且仅当a =b 时，取“=”号）（2）均值不等式：2)2(22b a ab ab b a ab b a +≤⇔≥+⇔≥+. （的几何平均数，叫的算术平均数，叫b a ab b a b a ,,2+且a ,b>0，仅当a =b 时，取“=”号） 注意：在应用均值不等式求值域（最值）时，要注意“一正，二定，三相等”.(3) 均值不等式的推广公式：33)3(3c b a abc abc c b a ++≤⇔≥++(其中a ,b,c>0，当且仅当a =b=c 时，取“=”号)(4) 均值不等式的文字表述：n 个正数的算术平均数不小于这n 个正数的几何平均数.4. 关于导数的一些知识点总结：（1）一些求导公式：① 1)(-='n n nx x ；当2211)1(1xx x x n -=-='='-=--）时，（； 当；即常数的导数为时，0,0)(00='=x n 当x x x x n 2121)(212121=='='=-）时，（. ② ;)(,log ln )(;sin )(cos ;cos )(sin x x a xx x e e e a e a a a a x x x x ='==='-='='时，当 xx e a x e a x x a a 1)(ln ,log ln 1)(log ='==='时，当. (理科生必记！) （2）一些导数的运算性质：① )()(])()([x g x f x g x f '±'='±；)()(])([为常数其中c x f c x cf '='⇒；② )()()()(])()([x g x f x g x f x g x f '+'='⋅； ③ )()()()()()()(2x g x f x g x g x f x g x f '-'='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛. (其中运算性质②③理科生必记！)（3）利用导数求函数在闭区间上值域（最值）的方法、步骤：① 令导函数的函数值为0，求出导函数对应方程的根，再把根和导数不存在但有定义的自变量值代入原函数得函数值；② 把闭区间的端点值代入原函数得函数值；③ 把前两步得到的所有函数值进行比较，它们中最大的为最大值，最小的为最小值. 明确导数求值域（最值）的步骤后，就可以利用这种方法解决有关函数最值的实际问题.一、利用一元二次函数求值域（最值）利用一元二次函数来求函数的值域（最值）是高考常考的重要基本知识点之一. 有些是直接考查一元二次函数求值域（最值）；有些是与其他的函数结合在一起，通过换元变成一元二次函数的形式来考查；还有些是在综合题中通过对含有参数的一元二次函数求值域（最值）来考查. 这三种形式的求一元二次函数值域（最值）的题型都是我们学习的重点.例1.求下列一元二次函数的值域：;32)1(2R x x x y ∈+-= ;)3,2[32)2(2-∈+-=x x x y ;,32)4();0,1(32)3(242R x x x y x x x y ∈+-=-∈+-=.4sin 2cos )6(];2,1[,324)5(21+--=∈+-=+x x y x y x x 解析：例1中的各题都是一元二次函数求值域或与其有关的题型. 其中题（1）（2）（3）是直接为一元二次函数的形式，但自变量的取值范围不同；（4）（5）（6）题是通过转化、换元后可以变成一元二次函数求值域的题型.;...2.2.22)1(32)1(22略后面各题的这种做法省，但做题速度较慢的一元二次函数求值域方法三适用于各种类型图像知值域画出该函数的图像，由方法三：因此，，且顶点纵坐标为因为抛物线开口向上，方法二：又方法一：≥∈≥∴∈+-=+-=y R x y R x x x x y }{}{;112|,)2()1(|32),3,2[1)2(≤≤-≤≤∴--∈=y y f y f y x 即为为：该一元二次函数的值域离对称轴远，比端点点且抛物线开口向上，端对称轴方程{}}{}{；此时函数值域为且对称轴方程或者用即为为：该一元二次函数的值域内函数单调递减，知在区间且抛物线开口向上，易对称轴方程63|,3)0(,6)1(),0,1(1.63|,)1()0(|)0,1(),0,1(1)3(<<∴==--∉=<<-<<∴-∈-∉=y y f f x y y f y y y x x }{;2|.2),,0[1)0(,32.0,,)4(22≥≥∴+∞∈=≥+-=⇔∴≥∴∈=y y y t t t t y t R x x t 即原函数的值域为：对称轴方程又原函数令}{;113|],4,2[13].4,2[,32].4,2[],2,1[,2)5(2≤≤∴∉=∈+-=⇔∴∈∴∈=y y t t t t y t x t x 该函数值域为：对称轴）同理，与题（原函数令 }{.62|],1,1[12].1,1[,32],1,1[sin .3sin 2sin 4sin 2)sin 1()6(222≤≤∴-∈=-∈+-=⇔∴-∈=+-=+---=y y t t t t y x t x x x x y 该函数值域为：对称轴）类似，与题（原函数令原函数变形为总结：在求一元二次函数的值域（最值）时，（1）当自变量属于一切实数时，只需要考虑抛物线的开口方向和顶点纵坐标. 开口向上时，函数值大于或等于顶点纵坐标（如例1（1）），开口向下时，函数值小于或等于顶点纵坐标；（2）当自变量限制在某个区间内时，就要考虑开口方向、对称轴方程、区间端点离对称轴的距离等. 如果对称轴方程对应的自变量值属于给定的区间，则开口向上时，顶点纵坐标为最小值，最大值为离对称轴较远的端点对应的函数值（如例1（2）（4）（6）），开口向下时，顶点纵坐标为最大值，最小值为离对称轴较远的端点对应的函数值；如果对称轴方程对应的自变量的值不属于给定的范围，则可以把区间端点对应的函数值直接求出，最大的为最大值，最小的为最小值（如例1（3）（5））.练习1. 求下列函数的值域：.3log )(log )5(;2)4(;12)3();4,2[],3,0[,542)2(;,94)1(232322--=-+-=--=∈∈-+-=∈-+-=x x y x x y x x y x x x x y R x x x y 或参考答案：}{]5,21()4,2[];3,11[]3,0[)2(;5|)1(--∈∈--∈∈-≤y x y x y y 时，当时，当;；得用一元二次函数求值域则原式变为令),871[.0,22,01)3(2+∞∈≥+-=≥-=y t t t y x t }{}{).,4[.,32,log 52|3;2|)4(23+∞-∈⇒∈--=⇔∈=≤-≥y R t t t y R x t x x y y 则原式令）（的减函数；质判别该题是定义域为）的方法或用增减的性提示：用题（ 例2. 求下列函数的最值：].2,[,32)2(]3,1[,32)1(22+∈--=∈--=a a x x x y x ax x y ；解析：例2是含有参数的一元二次函数求最值的题型.题（1）代表的是对称轴变化，所给范围固定的题型；题（2）代表的是对称轴固定，而所给范围变化的题型.这两种形式是含有参数的一元二次函数求最值（值域）中最常考的，并且对多数学生来说有一定的难度,因此我们要重点训练这种题型.因为对称轴与所给范围的关系不知道，而且当对称轴在所给范围内时，我们还要确定所给范围的端点哪一个离对称轴的距离远，这些是问题的关键..66)3(,22)1(]3,1[3.3)(,22)1(32.3)(,66)3(21.22)1(,66)3(]3,1[1.,]3,1[,32)1(min max 2min max 2min max min max 2a f y a f y a a a f y a f y a a a f y a f y a a f y a f y a a x x ax x y -==--==∴≥--==--==<≤--==-==<≤--==-==∴<∴=∈--=上为减函数，时，函数在区间当时，此时，当时，此时，当上为增函数，时，函数在区间当开口向上的对称轴为函数.32)2(,32)(,.]2,[1,21.4)1(,32)(01,211.4)1(,32)2(10,11.32)(,32)2(.]2,[1,1.,1]2,[,32)2(2min 2max min 2max min 2max 2min 2max 2-+=+=--==+-<+>-==--==<≤-+≤<+-==-+=+=<≤+≤<--==-+=+=∴+≥≤∴=+∈--=a a a f y a a a f y a a a a f y a a a f y a a a f y a a a f y a a a a a a f y a a a f y a a a a x a a x x x y 此时上为减函数时，函数在区间即当时，即当时，即当此时，上为增函数时，函数在区间即当且抛物线开口向上的对称轴方程为函数总结：因为这种题型的对称轴与所给范围的关系不知道，而且当对称轴在所给范围内时，我们还要确定所给范围的端点哪一个离对称轴的距离远，所以我们分类讨论的关键是搞清 这些问题. 因此，要分四种情况讨论：（1）对称轴在所给范围的左边；（2）对称轴位于所给范围区间的左端点和区间中点之间；（3）对称轴位于区间中点和区间右端点之间；（4）对称轴位于所给范围的右边.练习2. 求函数]1,1[,542+-∈-+-=a a x x x y 的最值.参考答案：.106)1(,22)1(32max 2min -+-=-=-+-=+=≥a a a f y a a a f y a 时，当 .22)1(,106)1(1.1)2(,106)1(21.1)2(,22)1(322max 2min max 2min max 2min -+-=+=-+-=-=<-==-+-=-=<≤-==-+-=+=<≤a a a f y a a a f y a f y a a a f y a f y a a a f y a 时，当时，当时，当二、利用三角函数的方法求值域（最值）利用三角函数求值域（最值）也是高考常考的一种题型. 这种题型可以是直接求一个基本的三角函数在自变量取一切实数或限制在某一个范围内的值域（最值），也可以是经过一系列三角公式的化简，得出一个基本的三角函数后再求值域（最值），当然也可以是利用圆、椭圆等的参数方程后，得出一个关于三角函数的式子，再求值域（最值）.例3. 求下列三角函数的值域：.2,4)1()1()5()2,0(,sin 22sin )4()3,0(,2cos 32sin )3(]2,0[,1)32cos(2)2(;,5)42sin(3)1(222的取值范围求已知圆的标准方程为：；；；y x y x x x x y x x x y x x y R x x y +=++-∈-=∈+=∈--=∈+-=πππππ解析：例3中的题目都是关于利用三角函数求值域的题目. (1)(2)都是直接给出基本的三角函数式，只不过（1）中自变量取一切实数，（2）中自变量限制了范围.(3)(4)都是需要利用三角函数的一些公式，经过一系列变换最后可以化成题（2）的形式来做.（5）是需要利用圆的参数方程把所求式子化成基本三角函数式来求的题型.];1,13[]1,23[)32sin(]32,3[32]2,0[)2(];8,2[],1,1[)42sin(,42,)1(--∈∴-∈-∴-∈-∴∈∈∴-∈-∴∈-∴∈y x x x y x R x R x πππππππ];2,3(.2).3,0(),32sin(2)3(-=∴∈+=y x x y ）做法类似以下与（得原函数利用辅助角公式ππ ];12,2(.2).2,0(,1)42sin(212cos 2sin )2cos 1(2sin 4--∈∴∈-+=-+=--=y x x x x x x y ）类似以下做法与题（式得原函数等价于利用三角函数的降次公）（ππ ].152,152[2).2tan (1)sin(521sin 2cos 42).(,sin 21cos 21)5(++-∈+=Φ+Φ+=++=+⎩⎨⎧+-=+=y x y x y x 所以其中所以为参数其中参数方程：由圆的标准方程得它的θθθθθθ总结：这种题型的基本解法是：先把所给的关于三角函数的式子化成基本的三角函数式,如：的形式为常数，且其中或)0,,,,()cos(,)sin(≠++=++=ωϕωϕωϕωA m A m x A y m x A y .然后再由所限制的自变量的范围求出括号内式子的范围，从而根据基本的三角函数的图像得函数值的范围.如果没有限制自变量的范围，则易得.].1,1[)cos()sin(的范围从而得或y x x -∈++ϕωϕω 练习3. 求下列三角函数的最值：（1）函数)(cos 21sin R x x x y ∈-=的最大值为 ； （2）函数x x y cos 3sin +=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最小值为 ；（3） 求函数y ＝2)4cos()4cos(ππ-+x x ＋x 2sin 3的最值． （4）已知向量(sin ,1),(1,cos ),.22a b ππθθθ==-<< （I ）若,a b ⊥ 求;θ （II ）求a b + 的最大值.参考答案：（1）25； （2） 1； （3）;2,2min max -==y y （4）14π-. 三、利用均值不等式求值域（最值）高考常利用求值域（最值）和证明不等式这两种形式来考察均值不等式的应用，有的是在小题中直接考察均值不等式求值域（最值），有的是需要先通过公式变形化成能用均值不等式的形式，然后再用均值不等式求值域（最值），当然还有的是在综合的大题（如高考常考的三角函数、解析几何、导数大题）中求值域（最值）. 用均值不等式求式子值域（最值）和证明不等式有类似之处：在记住公式的基础上，都要注意“一正，二定，三相等”的原则.若是求最值的题型，尤其要注意等号成立的条件，如果不能取得等号，则对应的最值就不存在.关于利用均值不等式求值域（最值）的方法、技巧可参考专题二中的有关知识.四、利用导数求值域（最值）导数的大题、小题基本上是每年高考必考的题目，利用导数求值域（最值）更是在高考题中多次出现.因此，我们要熟练掌握用导数求值域（最值）的步骤、方法、技巧.设函数)(x f 在[a ,b]上连续，在(a ,b)内可导，求函数)(x f 在[a ,b]上最大值与最小值的步骤如下：（1）求)(x f 在(a ,b)内的极值；（2）将)(x f 的各极值与它的端点值)(),(b f a f 相比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.注意：因为导数不存在的点也有可能取得极值(如函数却是函数的极小值点处导数不存在，但此点在0||==x x y )，因此在求函数)(x f 的极值时，不能仅看)(x f 的导数为0的点.当然，导数为0的点也不一定为极值点. 如函数.003点，只能称为驻点，但显然此点不是极值处导数为在==x x y .解决有关函数最值的实际问题时，就是要根据实际问题给出的条件，建立相应的关于某个自变量的函数关系式，并由实际情况写出自变量的取值范围，然后再利用导数求最值的步骤来解题就可以了.当然，所求出的结果要符合实际意义.例4. 求下列函数的最值：（1）已知函数f (x )=－x 3＋3x 2＋9x ＋a , 且f (x )在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.（2）求函数241)1ln()(x x x f -+=在[0，2]上的最大值和最小值. 解析：题(1)(2)是求函数最值的典型题，难度不算大，要注意导数公式、运算性质以及利用导数求最值的步骤、方法的正确应用. 只不过，（1）偏重文科考的题型，（2）偏重于理科考的形式.(1) 对原函数求导得：)(x f '＝－3x 2＋6x ＋9．令)(x f '=0，解得x =－1，或x =3（舍）， 因为f (－1)=－5+ a ，f (－2)＝8＋12－18＋a =2＋a ， f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a ， 所以f (2)>f (－2)> f (－1)．因此f (2)和f (－1)分别是f (x )在区间[－2，2]上的最大值和最小值，于是有 22＋a ＝20，解得 a ＝－2．故f (－1)=－5+ a ＝－7，即函数f (x )在区间[－2，2]上的最小值为－7．(2) 对原函数求导得：,2111)(x x x f -+=' 令 ,02111=-+x x 化简为,022=-+x x 解得.1),(221=-=x x 舍 又因为412ln )1(-=f ，),2()1(,013ln )2(,0)0(f f f f >>-== 所以0)0(=f 为函数)(x f 在[0，2]上的最小值，412ln )1(-=f 为函数)(x f 在[0，2]上的最大值. 总结：由上面两题的解析我们知道解决这类题的关键是：严格按照利用导数求最值的步骤、方法、技巧来做，这种方法不仅易掌握，而且运算速度较快，不容易出错.因为如果只需要求函数的最值，那么我们就不需要求函数的单调区间，判断函数的单调性和极大（小）值了，而只需要求出函数极值、闭区间的端点函数值，再比较大小就可以了.练习4. 求函数]1,0[,274)(2∈--=x xx x f 的值域.参考答案：对原函数)(x f 求导，得222)2()72)(12()2(7164)(x x x x x x x f ----=--+-='令0)(='x f 解得 21=x ，或27=x （舍） 又因为.3)1(,4)21(,27)0(-=-=-=f f f所以当]1,0[∈x 时，)(x f 的值域为[3,4--].五、根据函数单调性、图像或实际情况求值域（最值）高考中还有些求值域（最值）的题目不属于上述四种求值域的类型，这些题目总结一下可以归纳为根据函数单调性、图像或实际情况求值域（最值）的类型. 例如：若我们已经知道所给函数的单调性，则可以利用该函数的单调性来求值域（最值）；若我们容易画出所给函数的图像，则可以由函数的图像求得值域（最值）；当然还可以根据题目实际情况和我们已有的知识点来求值域（最值）.例5. 求下列各题的最值：(1) ;],0[|sin |的最值，求函数π∈=x x y的最值求函数1,l o g 42)2(3≥+=x x y x ;(3) 过点(1的直线l 将圆22(2)4x y -+=分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k = .解析：题（1）属于容易画出函数图像的题目，那么画出图像后由图像我们易知最值；题（2）属于函数的单调性容易判断出的题目，那么由函数在所给区间内的单调性易求最值； 题（3）属于根据实际情况并结合我们已有的知识点，容易判断出何时圆心角最小的题目.(1) ;0,1],0[|sin |min max ==∈=y y x x y 的图像，易知，由函数π；函数无最大值上为增函数，所以，易知其在由函数..2)1(1log 42)2(min 3==≥+=f y x x y x .22.,21)3(=∴k l l 满足条件时连线垂直）平分即该点与圆心的，被点（由实际情况知，当直线 总结：这些根据函数单调性、图像或实际情况求值域（最值）的题型，首先我们要判断出所给题目是属于哪一类题型，然后根据题型的各自特点针对性解决即可. 如：易画出图像的看图即知最值；易知函数单调性的利用单调性的定义即知最值；由实际情况易知何时取得最值时，根据实际情况即可求出最值.练习5. 求下列函数的最值：（1）的最值；求]1,0[,3223∈++=x x x y x（2） 设P 为圆122=+y x 上的动点，则点P 到直线01043=--y x 的距离的最小值为 .（3）已知ca bc ab a c c b b a ++=+=+=+则,2,2,1222222的最小值为（ ）A ．3－21B ．21－3C ．－21－3D ．21+3参考答案：（1）内为增函数提示：函数在所给区间;1,6min max ==y y ； （2） 1 . 提示：根据图像或实际情况我们知道圆心到直线的距离减去半径为最小值，加上半径为最大值；（3）选B. 由三个方程联立易知.,,.23,21222的值，得所求的最小值然后再由c b a c b a ===.本专题典型的求函数值域（最值）的高考真题汇总及解析较容易的基础题：1. 函数x x x f cos sin )(-=的最大值为（ ）A ．1B ． 2C ．3D ．22. 若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（ ）A ．1BCD ．23. 函数))(6cos()3sin(2R x x x y ∈+--=ππ的最小值等于（ ） A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．－54. 设1a >，函数()log a f x x =在区间[]2a a ，上的最大值与最小值之差为12， 则a =（ ）Ｂ．2 Ｃ． Ｄ．4 5. 在函数c bx ax x f ++=2)(中，若a ，b ，c 成等比数列且4)0(-=f ，则f x ()有最 值（填“大”或“小”），且该值为 .6. 函数()sin 2f x x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭的最大值是________________. 7. 函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于 . 8. 函数2()2cos sin 2f x x x =+的最小值是 .9. 已知在△ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P 是AB 上的点，则点P 到AC 、BC 的 距离乘积的最大值是 .中等难度的提高题：1. 已知函数x b x a x f cos sin )(-=（a 、b 为常数，0≠a ，R x ∈）在4π=x 处取得最 小值，则函数)43(x f y -=π是（ ） A ．偶函数且它的图像关于点)0,(π对称 B ．偶函数且它的图像关于点)0,23(π对称C ．奇函数且它的图像关于点)0,23(π对称 D ．奇函数且它的图像关于点)0,(π对称 2. 用长度分别为2、3、4、5、6(单位:cm)的细木棒围成一个三角形(允许连接,但不允许折 断),能够得到期的三角形面积的最大值为（ ）A. 58cm 2B. 106cm 2C. 553cm 2D. 20cm 23. 函数191()n f x x n ==-∑的最小值为（ ）A. 190B. 171C. 90D. 454. 设yx b a b a b a R y x y x 11,32,3,1,1,,+=+==>>∈则若的最大值为( )A. 2B.23 C. 1 D. 21 5. 当20π<<x 时，函数xxx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为（ ）A. 2B. 32C. 4D. 346. 抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是( )A ．43 B ．75 C ．85D ．3 7. 已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(1,4),A P 是双曲线右支上的动点，则PF PA + 的最小值为 .8. 已知AC BD 、为圆O :224x y +=的两条相互垂直的弦，垂足为(M ,则四边形ABCD 的面积的最大值为 .9. 若42x ππ<<，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为 .10. 某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x = 吨． 11. 设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =． （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围．12．已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．13. ∆ABC 的三个内角为A 、B 、C,求当A 为何值时,cosA+cos2CB +取得最大值,并求出这个最大值.14. 在ABC △中，已知内角A π=3，边BC =B x =，周长为y ． （Ⅰ）求函数()y f x =的解析式和定义域； （Ⅱ）求y 的最大值．15. 求函数xxx x x x f 2sin 2cos sin cos sin )(2244-++=的最大值和最小值.16. 某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x 、y (单位：m)的矩形,上部是等腰直角三角形.要求框架围成的总面积8m 2.问x 、y 分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省?17．某村计划建造一个室内面积为800m 2的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m 宽的通道，沿前侧内墙保留3m 宽的空地。

最值问题的几种常见解法一、配方法例１：当01≤≤-x 时，求函数x x y 4322⋅-=+的最大值和最小值． 解析：34)322(32+--=xy ，当01≤≤-x 时，1221≤≤x ．显然由二次函数的性质可得1min =y ，34max=y ． 二、判别式法 形如22221121c x b x a c x b x a y ++++=(1a 、2a 不同时为0),将其转化为关于x 的二次函数0),(=y x F ，通过方程有实根，判别式0≥∆，从而求出函数的值域或参数的值. 例：在20π≤≤x 条件下，求2)sin 1()sin 1(sin x x x y +-=的最大值． 解析：设x t sin =，因0(∈x ，)2π，故 10≤≤t ，则2)1()1(t t t y +-= 即 0)12()1(2=+-++y t y t y因为 10≤≤t ，故01≠+y ，于是0)1(4)12(2≥+--=∆y y y 即 81≤y 将81=y 代入方程得 0[31∈=t ，]1，所以81max =y 注意：因0≥∆仅为方程0)12()1(2=+-++y t y t y 有实根0[∈t ，]1的必要条件，因此，必须将81=y 代入方程中检验，看等号是否可取． 三、换元法(一)局部换元法 例：已知20≤≤a ,求函数))(cos (sin a x a x y ++=的最值．解析：2)cos (sin cos sin a x x a x x y +++= 令t x x =+cos sin则 22≤≤-t 且21cos sin 2-=t x x ，于是]1)[(2122-++=a a t y 当2=t 时，2122max ++=a a y ；当a t -=时，)1(212min -=a y ． 注意：若函数含有x x cos sin 和x x cos sin +，可考虑用换元法解．(二)三角代换法(有时也称参数方程法)例1：已知x 、y R ∈，4122≤+≤y x ．求22y xy x u ++=的最值．解析：设θcos t x =，θsin t y =，(t 为参数)因 4122≤+≤y x ，故 412≤≤t )2sin 211()sin sin cos (cos 2222θθθθθ+=++=∴t t u 故当42=t 且12sin =θ时，6max =u ；当12=t 且12sin -=θ时，21max =u ． 例2：实数x 、y 适合：545422=+-y xy x ，设22y x S +=，则max 1S +min 1S =____ 解析：令αcos S x =，αsin S y =，则5sin cos 54=-ααS Sααα2sin 2545cos sin 545-=-=S 当12sin =α时，3102545max =-=y ；当12sin -=α时，13102545min =+=y ． 所以 58101310311min max =+=+S S ．四、三角函数有界法①对于R x ∈，总有1|sin |≤x ，1|cos |≤x②形如：a b tan ),sin(cos sin 22=++=+=ϕϕ其中kx b a kx b kx a y 例：求函数x x y 2cos 22sin -=的最值． 解析：1)42sin(212cos 2sin cos 22sin 2--=--=-=πx x x x x y 因为 1|)42sin(|≤-πx ，故 当1)42sin(=-πx 时，12max -=y ；当1)42sin(-=-πx 时，12min --=y ．五、单调性法(一)利用若干次“≥”(或“≤”)求函数的最值例：求函数xx y cos 1sin 1+=在0(，)2π内的最小值． 解析：222sin 22cos sin 2cos sin cos sin cos 1sin 1≥=≥+=+=x x x x x x x x x y 当4π=x 时，x x cos sin =，12sin =x ．上式中的两个 “≥”中的等号同时成立，所以22≥y 是 “精确的”不等式．因而 22min =y另：此题还可用换元x x t cos sin +=以及函数单调性来判断(二)形如xb a x y +=的函数的最值 (1) 0>a ，0>b 时，函数在-∞(，ab -］内递增，在ab -[，)0内递减， 在0(，ab ］内递减，在ab [，)∞+内递增．(2) 0<a ，0<b 时，函数在-∞(，ab -］内递减，在ab -[，)0内递增， 在0(，ab ］内递增，在ab [，)∞+内递减．(3) 0<a ，0>b 时，函数在-∞(，)0内递减，在0(，)∞+内递减．(4) 0>a ，0<b 时，函数在-∞(，)0内递增，在0(，)∞+内递增． 例：求函数xx x y sin 1cos sin 22+-=的最大值． 解析：y )1sin 2()1(sin 1sin 2)1(sin 1sin 1sin 2sin 22+-++=+-+=+-+=x x x x x x x 令t x =+1sin ，则20≤<t ，函数tt y 2-+=在0(，)∞+内递增．所以在0(，]2内也是递增的．当2=t ，即1sin =x 时，1max =y ．六、数形结合法有些代数和三角问题，若能借助几何背景和几何直观而求其最值，常能受到直观明快，化难为易的功效．例24：求函数6cos 31sin 4--=x x y 的最值． 解析：将函数式变形为)2(cos 3)41(sin 4--=x x y ，只需求函数2cos 41sin --=x x u 的最值．把u 看成两点2(A ，)41，x B (cos ，)sin x 连线的斜率，(B 即为单位圆上的点)， 则当直线AB 为单位圆的切线时，其斜率为最大或最小．设过A 点的单位圆的切线方程为)2(41-=-x k y ，即 0241=-+-k y kx ． 则圆心到切线的距离为11|241|2=+-k k ，解得：431=k ，1252-=k ．从而函数 最大值为14334max =⨯=y ；最小值为95)125(34min -=-⨯=y ． 七、利用二次函数的性质例25：设0>x ，0≥y 且212=+y x ，求当x 、y 为何值时，)148(log 231++=y xy u 取得最大值和最小值，并求出最大值和最小值． 解析：由212=+y x ，得y x 221-= )1412(log ]14)221(8[log 231231++-=++-=∴y y y y y u 由0>x ，0≥y 且212=+y x 可得410<≤y ，从而34141212≤++-≤y y (当0=y 时左边取“=”号，61=y 时右边取“＝”号)，由对数函数的图象及其性质，即 当61=x 、61=y 时，)34(log 31min =u ；当21=x 、0=y 时，0max =u ．。

常见函数值域或最值的经典求法【考点综述】函数值域是函数概念中三要素之一,是高考中必考内容,具有较强的综合性,贯穿整个高中数学的始终.而在高考试卷中的形式可谓千变万化,但万变不离其宗,真正实现了常考常新的考试要求.所以,我们应该掌握一些简单函数的值域求解的基本方法.【解题方法思维导图预览】【解题方法】解题方法模板一：直接法使用情景：函数的不等式中含有一些特殊函数，直接观察即可确定函数的值域或最值. 解题模板：第一步 观察函数中的特殊函数；第二步 利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域. 例1 求函数2()131xf x =++的值域. 【答案】(1，3) 【解析】 解题模板选择：本题中分式的分母部分是一个指数型函数的形式，属于特殊函数，且函数的解析式整体比较简单，故选取解题方法模板一直接法进行解答. 解题模板应用：第一步 观察函数中的特殊函数； 函数31x y=+为指数型函数，易得31(1,)x +∈+∞，第二步 利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域. 由31(1,)x+∈+∞，得2()1(1,3)31x f x =+∈+，故函数2()131x f x =++的值域为(1，3). 【典型例题】1．函数y = A ．[0,)+∞ B ．[0,4] C ．[0,4) D ．(0,4)【答案】C 【解析】函数y =(]20,16,x∈所以[)1620,16x-∈.有[)0,4y =. 故选C.2．函数211y x =+的值域是（ ） A ．[1,)+∞ B ．(0,1]C ．(,1]-∞D ．(0,)+∞【答案】B 【解析】 【分析】根据倒数性质求值域. 【详解】因为211x +≥，所以21011x <≤+,选B. 【点睛】本题考查函数值域，考查基本分析求解能力，属基本题. 3．函数21()12f x x =+的值域为（ ）A ．()0,1B ．[)0,1C ．[]0,1D ．(]0,1【答案】D 【解析】 【分析】根据20x ≥，求得()f x 的值域. 【详解】由于20x ≥.所以220x ≥，2121x +≥，210112x<≤+，故()f x 的值域为(]0,1. 故选：D. 【点睛】本小题主要考查函数值域的求法，考查不等式的性质，属于基础题.4．函数y A ．[–1，+∞） B ．[0，+∞）C ．（–∞，0]D ．（–∞，–1]【答案】B 【解析】 【分析】由x +1≥0，得x ≥–1，在[–1，+∞）上函数y 0，进而得到结果. 【详解】由x +1≥0，得x ≥–1，在[–1，+∞）上函数y 0，∴函数y [0，+∞）． 故选B ． 【点睛】这个题目考查了函数的值域的求法，关于函数的值域需要注意的有：首先函数值域不能为空集，其次是指的函数值的集合.求函数的值域的问题，最终结果要写成集合或者区间的形式. 5．已知函数()212f x x =+，则f （x ）的值域是 A ．1{|}2y y ≤ B ．1{|}2y y ≥ C ．1{|0}2y y <≤D ．{|0}y y >【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质，求得函数的值域. 【详解】由于220,22x x ≥+≥，故211022x <≤+，故函数的值域为1|02y y ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭，故选C. 【点睛】本小题主要考查函数值域的求法，考查不等式的性质，属于基础题. 6．设函数()()121xf x x R =∈+,则它的值域为( ) A ．(0,1) B ．(0,2)C ．(1,+∞)D ．(2,+∞)【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数的值域结合反比例函数值域即可求解. 【详解】由题：x ∈R ，()20,x∈+∞，()211,x+∈+∞，所以()10,121x ∈+()()121xf x x R =∈+的值域为0,1. 故选：A 【点睛】此题考查求函数值域，涉及指数函数值域，反比例型函数值域. 解题方法模板二：配方法使用情景：函数表达式为二次函数或者换元之后为二次函数的类型，即可使用配方法求函数的值域或最值. 解题模板：第一步 将二次函数配方成2()y a x b c =-+；第二步 根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域. 例2 已知函数2()41,[2,5]f x x x x =-+∈-，求函数y =f (x )的值域.【答案】[－3，13] 【解析】 解题模板选择：本题中所给的函数解析式为二次函数的形式，是一个二次函数在给定区间求值域的问题，故选取解题方法模板二配方法进行解答. 解题模板应用：第一步 将二次函数配方成2()y a x b c =-+； 函数的解析式22()41(2)3f x x x x =-+=--.第二步 根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域. 由二次函数的性质可知： 当x =2时，min 3y =-；当x =－2时，max 13y =.因此函数2()41,[2,5]f x x x x =-+∈-的值域为[－3，13].【典型例题】1．函数y =的值域为（ ） A ．RB ．[0,)+∞C ．3(,]2-∞D ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得y =21924x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭的取值范围结合幂函数的单调性即可得解. 【详解】函数y ==，21990,244x ⎛⎫⎡⎤--+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴函数y =的值域为⎡⎢⎣即30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：D. 【点睛】本题考查了复合函数值域的求解，考查了二次函数与幂函数性质的应用，属于基础题. 2．函数[]22,0,3y x x x =-∈的值域为（ ）A ．[]0,3B ．[]1,3C ．[]1,0-D ．[]1,3-【答案】D 【解析】分析：利用二次函数的性质即可得出答案. 解析：()22211y x x x =-=--，∴对称轴为1x =，抛物线开口向上，03x ≤≤，∴当1x =时，min 1y =-，1-距离对称轴远，∴当3x =时，max 3y =， ∴13y -≤≤.故选：D.点睛：二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键都是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论 3．函数24y x x =-，([0,4])x ∈的值域是( ) A ．[3,0]- B ．[4,0]- C ．[0,3] D ．[4,)-+∞【答案】B 【解析】 【分析】先将函数配方224(2)4y x x x =-=--，再利用二次函数的图象和性质求解. 【详解】224(2)4y x x x =-=--又因为[0,4]x ∈ 所以[4,0]y ∈- 故选：B 【点睛】本题主要考查了二次函数求值域，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 4．函数[]()2220,3y x x x =-+∈的值域是（ ）A ．[]1,5B ．[]1,2C ．[]2,5D ．[)1,+∞ 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的对称轴，讨论对称轴和区间的关系，即可得到最值，进而得到值域． 【详解】解：函数()2222(1)1y f x x x x ==-+=-+，对称轴为[]10,3x =∈，()f x ∴在[]0,1上单调递减，在[]1,3上单调递增，()11f =，()02f =，()2332325f =-⨯+=()[]1,5f x ∴∈即函数的值域为[]1,5． 故选：A ．【点睛】本题考查二次函数的值域，注意讨论对称轴和区间的关系，考查运算能力，属于基础题． 5．函数23622y x x =-+-的值域为（ ） A ．[4,)+∞ B ．(,4]-∞C ．(,10]-∞-D ．[10,)-+∞【答案】B 【解析】 【分析】将二次函数配成顶点式，即可得解. 【详解】 解：()2233622422y x x x =-+-=--+，(],4y ∴∈-∞.故选：B . 【点睛】本题考查二次函数的性质，属于基础题. 解题方法模板三：判别式法使用情景：函数表达式形如22dx ex fy ax bx c++=++类型 解题模板：第一步 观察函数解析式的形式，型如22dx ex fy ax bx c++=++的函数； 第二步 将函数式化成关于x 的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数y 的取值范围，即得函数的值域.例3 求函数3274222++-+=x x x x y 的值域.【答案】9,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】 解题模板选择：本题中所给函数的解析式符合利用判别式法求值域的形式，故选取解题方法模板三判别式法进行解答.解题模板应用：第一步，将函数式化成关于x 的方程的形式：因为3274222++-+=x x x x y ，所以()()0732222=++-+-y x y x y ，第二步，根据判别式得出函数值的取值范围：2≠y 时，上式可以看成关于x 的二次方程，该方程的x 范围应该满足()0322≠++=x x x f 即R x ∈此时方程有实数根即0≥∆：=∆()[]()()07324222≥+---y y y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⇒2,29y当2=y 时，方程化为7=0，显然不能成立，所以2≠y ， 将2=y ，29-=y 分别代入检验的2=y 不符合方程，所以9,22y ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭解题方法模板四：分离常数法 使用情景：函数表达式形如()ax bf x cx d+=+类型解题模板：第一步 观察函数()f x 类型，型如()ax bf x cx d+=+；第二步 对函数()f x 变形成()a ef x c cx d=++形式； 第三步 求出函数ey cx d=+在()f x 定义域范围内的值域，进而求函数()f x 的值域. 例4 求函数1(1)1x y x x +=≠-的值域 【答案】{y |y ≠1} 【解析】 解题模板选择：本题中函数的解析式是一个分时形式()ax bf x cx d+=+，故选取解题方法模板四分离常数法进行解答.解题模板应用：第一步 观察函数()f x 类型，型如()ax bf x cx d+=+：1(1)1x y x x +=≠-，其中1,1a b c d ====-； 第二步 对函数()f x 变形成()a e f x c cx d=++形式； 11221111x x y x x x +-+===+---， 第三步 求出函数e y cx d=+在()f x 定义域范围内的值域，进而求函数()f x 的值域. 函数的定义域为{}|1x x ≠-，则201x ≠-，故2111y x =+≠-， 因此原函数的值域为{y |y ≠1}.【名师点睛】此类型的函数，分子、分母都含有自变量，而通过分离常数法，可以将此类函数的变量只含到分母上，分子化为常数，使函数值y 的范围变化容易确定，从而较为简单地求出函数的值域.【典型例题】1．函数()3452x f x x -+=-的值域是（ ） A ．B ．C ．D ．R【答案】B【解析】试题分析：()344341077252252525x x x f x x x x x -+--+==-=-=-+----()2f x ∴≠-，值域为()(),22,-∞-⋃-+∞考点：函数值域2．函数()3452x f x x -+=-的值域是（ ） A ．()(),22,-∞+∞ B ．()(),22,-∞--+∞C ．55,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ D ．R 【答案】B【解析】【分析】先分离常数，再根据反比例函数单调性求值域.【详解】()344341077252252525x x x f x x x x x -+--+==-=-=-+----，()2f x ∴≠-，值域为()(),22,-∞-⋃-+∞． 【点睛】本题考查分式函数单调性以及值域，考查基本求解能力.3．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有数学王子的美誉，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其命名的“高斯函数”为：设用[]表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如[-3.5]=-4，[2.1]=2，已知函数，则函数的值域为（ ） A ．{0,1}B ．{0}C ．{-1,0}D ．{-1,0,1}【答案】C【解析】【分析】由题意首先确定函数的值域，然后求解函数的值域即可. 【详解】函数的解析式，由于，故，结合函数的定义可得函数的值域为{-1,0}.本题选择C 选项.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 4．设函数f (x )＝－，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数y ＝[f (x )]的值域为( ) A ．{0}B ．{－1,0}C ．{－1,0,1}D ．{－2,0}【答案】B【解析】【分析】【详解】 依题意()211111122212x x x f x +-=-=-++，由于10121x <<+，所以()11,22f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.当()1,02f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()1f x ⎡⎤=-⎣⎦，当()10,2f x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0f x ⎡⎤=⎣⎦，故()f x ⎡⎤⎣⎦的值域为{}0,1.故选B.【点睛】本小题主要考查指数函数的值域，考查新定义函数的意义，考查了分类讨论的数学思想方法.属于中档题. 5．函数()1212xxf x -=+的值域为（ ） A ．()1,1-B ．(),1-∞C ．()1,+∞D ．()0,1【答案】A【解析】【分析】用分离常数法，并结合指数函数性质求解．【详解】 ()1212xx f x -=+2112x =-++， 因为20x >，所以121x +>，20212x <<+，211112x -<-+<+． ∴()f x 的值域是(1,1)-．故选：A.【点睛】本题考查求函数的值域，方法是分离常数法．对一次分式型函数可以采用分离常数法求函数值域．本题还考查了指数函数的性质．。