函数值域和最值

函数最值、值域、恒成立问题一、函数最值定义1.（1）一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①x I ∀∈，都有()f x M ≤；②0x I ∃∈，使得()0f x M =。

就称M 是函数()y f x =的最大值。

（2）一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①x I ∀∈，都有()f x M ≥；②0x I ∃∈，使得()0f x M =。

就称M 是函数()y f x =的最小值。

2.【注】（1）函数的最值指的是函数值（y 值）的最大值和最小值。

求函数的最值，既要求函数的最大值也要求函数的最小值。

【注】（2）从函数图象上看，函数的最大值对应函数图象最高点的纵坐标；函数的最小值对应函数图象最低点的纵坐标。

二、单调函数的最值1.单调函数的最值在闭区间的端点处取得。

（1）单调递增函数在闭区间的左端点取得最小值，在右端点取得最大值。

（2）单调递减函数在闭区间的左端点取得最大值，在右端点取得最小值。

【注】单调函数在开区间上无最值，即既无最大值，也无最小值。

2.函数值域闭区间的左端点是函数值的最小值，右端点是函数值的最大值。

求函数的值域，往往要求函数的最大值和最小值。

三、分段函数的最值1.分段函数的最大值，是各段函数值最大值中的最大值；2.分段函数的最小值，是各段函数值最小值中的最小值。

四、函数最值的求解方法函数求最值的方法一般有：配方法、换元法、数形结合法（图象法）、结合函数的单调性法等。

五、函数的值域问题函数值域中的最小值往往是函数值的最小值，函数值域中的最大值往往是函数值中的最大值，所以求函数的值域往往需要先求出函数的最大值和最小值。

六、恒成立问题假设()g x 为已知函数，求()f a 的取值范围，则有以下两种情况：（1）()()f a g x ≤恒成立()()min f a g x ⇔≤；（2）()()f a g x ≥恒成立()()max f a g x ⇔≥。

高考热点二：函数值域、最值及极值基础回顾1、 函数的值域是指：几种常见的基本初等函数的值域：（1） 一次函数)0()(≠+=a b ax x f 的值域为：（2） 反比例函数)0()(≠=k xk x f 的定义域、值域分别为： （3） 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为：当0>a 时，值域为： 当0<a 时，值域为：（4） 指数函数)10()(≠>=a a a x f x 且的定义域、值域分别为：（5） 对数函数)10(log )(≠>=a a x x f a 且的定义域、值域分别为：（6） 幂函数)3,2,1,21,1()(-==ααx x f 的定义域、值域分别为： （7） 函数)0)(sin()(≠+=A x A x f ϕω的值域为：2、 函数的最大值、最小值是指：3、 函数的极大值、极小值是指：极大值、极小值统称为极值.4、 求函数)(x f 的极值的方法步骤：（1） （2） (3)5、 利用导数求函数)(x f 的最值的方法步骤：（1） （2）6、 求函数值域与最值的常用方法：（1）直接法 （2）配方法 （3）分离常数法（4）换元法（5）三角有界法 （6）基本不等式法 （7）单调函数法 （8）数形结合法 （9）逆求法（10）判别式法 （11）构造法 （12）导数法达标训练一、选择题1、已知函数)(x f y =的定义域为R ，值域为]1,3[-，则)2(+=x f y 的值域为（ ）A 、]1,3[-B 、]3,1[-C 、),3(+∞D 、),(+∞-∞2、函数)1)(111(log 21>+-+=x x x y 的最大值是（ ） A 、2- B 、2 C 、3- D 、33、函数)1(log ++=x a y a x 在]1,0[上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为（ ）A 、41B 、21 C 、2 D 、4 4、已知函数313)(23-++=ax ax x x f 的定义域是R ，则实数a 的取值范围是（ ） A 、31>a B 、012≤<-a C 、012<<-a D 、31≤a 。

函数的值域与最值知识点归纳函数是数学中的重要概念，是描述两个集合之间元素的对应关系。

在函数的研究中，值域和最大最小值是两个重要的知识点。

本文将对函数的值域与最值进行归纳与总结，以帮助读者更加深入地理解和掌握这些知识点。

一、函数的值域值域是函数在定义域内所有可能的输出值的集合。

即对于函数f(x)，其值域为所有符合f(x) = y的y的取值。

确定函数的值域可以采用以下方法：1. 列表法：将定义域内所有可能的输入值代入函数，得到对应的输出值，将这些输出值按照从小到大的顺序排列，即可得到函数的值域。

2. 图像法：通过绘制函数的图像，观察图像在纵坐标上的取值范围，即可得到函数的值域。

需要注意的是，对于不连续的函数，应该观察每个分段函数的值域。

3. 函数表达式法：通过分析函数的解析表达式，确定函数的值域。

例如，对于一次函数f(x) = ax + b，由于a为常数，那么当x趋向于正无穷或负无穷时，f(x)也趋向于正无穷或负无穷，因此可以确定该一次函数的值域为整个实数集。

二、函数的最大最小值最大最小值是函数在定义域内取得的最大和最小的输出值。

确定函数的最大最小值可以采用以下方法：1. 导数法：对函数进行求导，找到导数为零的点和导数不存在的点，然后将这些点代入原函数，得到对应的函数值，即为函数的最大最小值。

需要注意的是，在求导的过程中，要注意判断定义域的边界情况。

2. 极值点法：对于闭区间上的函数，可以通过求解函数的极值点来确定函数的最大最小值。

首先求解函数的驻点，即导数为零或不存在的点，然后将这些驻点以及端点的函数值进行比较，得到函数的最大最小值。

3. 函数图像法：通过绘制函数的图像，观察图像在纵坐标上的取值范围，即可得到函数的最大最小值。

需要注意的是，对于不连续的函数，应该观察每个分段函数的最大最小值，并对比得到整个函数的最大最小值。

综上所述，函数的值域与最值是函数研究中的重要内容。

确定函数的值域可以通过列表法、图像法和函数表达式法等方法进行，确定函数的最大最小值可以通过导数法、极值点法和函数图像法等方法进行。

函数值域与最值1、求函数值域（1）函数值域的定义：函数y = f(x), x ∈A 表示f ：A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数， 其中集合A 叫做函数的定义域，函数值的集合{f(x)|x ∈A}叫做函数的值域, 于是C ⊆B 。

函数值域由函数的定义域和对应法则而确定。

（2）确定函数值域的原则①当函数y=f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合；②当函数y=f(x)用图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合； ③当函数y=f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定的集合(){}|f x x A ∈；④当函数y=f(x)由实际问题给出时，函数的值域还得由问题的实际意义确定。

（3）熟练掌握常见函数的值域常见函数有一次、二次函数，反比例函数，指数、对数函数，幂函数、正、余弦函数以及特殊的函数，如函数y=,(0)ax a x+>等，掌握它们的值域，有利于应用解题。

（4）求函数值域的常用方法；一般地，求函数值域的常用方法有配方法、图象法、判别式法、换元法、单调法、基本不等式法、反解法、导数法、利用已知函数的值域等方法。

2、求函数最值 （1）最值定义：函数y=f (y )，定义域为A ，若存在y 0∈A ，使得对任意的x ∈A ，恒有)()(0x f x f ≥))()((0x f x f ≤成立，则称)(0x f 为函数的最小（大）值。

（2）常规方法：求函数最值的常用方法有配方法，二次方程Δ法，图象法，单调法，换元法，基本不等式法，导数法等。

3、值域与最值的关系函数一定有值域，但不一定有极值或最值，函数值域在一定条件下可以存在最值；函数有最值，其最值一定是函数值域区间的端点值。

（1）如果函数值域是连续（即不间断）的闭区间，那么闭区间端点的值就是函数最大值与最小值。

（2）如果函数值域是连续（即不间断）的半闭半开区间，那么半闭区间端点的值就是函数最大值或最小值。

函数的值域与最值1. 值域的概念和常见函数的值域函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域. 常见函数的值域：一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R.二次函数()20y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，当0a <时的值域为24,4ac b a ⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦.，反比例函数()0k y kx=≠的值域为{}0y R y ∈≠.指数函数()01xy aa a =>≠且的值域为{}0yy >.对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R.正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R.2. 函数的最值对于函数()f x ，假定其定义域为A ，则2.1若存在0x A ∈，使得对于任意x A ∈，恒有()()0f x f x ≥成立，则称()0f x 是函数()f x 的最小值；2.2若存在0x A ∈，使得对于任意的x A ∈，恒有()()0f x f x ≤成立，则称()0f x 是函数()f x 的最大值.对于函数的最值应抓住如下两点：①是“任意的”，即对于定义域内的任意的x ，相应的不等式都成立；②是“存在性”，即在定义域中存在0x 似的等式成立.3.求函数值域（最值）的常用方法 3.1.基本函数法对于基本函数的值域可通过它的图像性质直接求解. 3.2配方法对于形如()20y ax bx c a =++≠或()()()()20F x a f x bf x c a =++≠⎡⎤⎣⎦类的函数的值域问题，均可用配方法求解.例：求函数的值域：y =解：设()2650x x μμ=---≥，则原函数可化为：y =.又因为()2265344x x x μ=---=-++≤，所以04μ≤≤，[]0,2，所以，y =的值域为[]0,2. 3.3换元法利用代数或三角换元，将所给函数转换成易求值域的函数，形如()1y fx =的函数，令()f x t =；形如,,,,0)y ax b a b c d ac =+±≠均为常数的函数，t =的结构的函数，可利用三角代换，令[]cos ,0,x a θθπ=∈，或令sin ,,22x a ππθθ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦.例：求函数的值域：y x =+解：设0,t =≥则21x t =-.所以原函数可化为()()2214250y t t t t =-+=--+≥，所以5y ≤.所以原函数的值域为(],5-∞.3.4不等式法利用基本不等式a b +≥，用此法求函数值域时，要注意条件“一正，二定，三相等”.如利用a b +≥0,0a b >>;②()a b ab +或为定值；③取等号成立的条件a b =.三个条件缺一不可. 例：求函数的值域：2211212x x y x x -+⎛⎫=>⎪-⎝⎭. 解：()212112111121212121222x x x x y x x x x x x -+-+===+=-++----11,022x x >∴->112122x x ∴-+≥=-当且仅当112122xx-=-时，即12x+=时等号成立，12y∴≥，所以元函数的值域为12⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭.3.5函数的单调性法确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性求出函数的值域，例如，()()0,0bf x ax a bx=+>>.当利用不等式法等号不能成立时，可考虑利用函数的单调性解题. 3.6数形结合法如果所给函数有较明显的几何意义，可借助几何法求函数的值域，如由1221y yx x--可联想到两点()11,x y与()22,x y连线的斜率.例：求函数的值域：14y x x=-++解：()()()23414541231x xy x x xx x--≤-⎧⎪=-++=-<<⎨⎪+≥⎩5y∴≥∴函数的值域为：[)5,+∞.3.7函数的有界性法形如sin1sinxyx=+，可用y表示出sin x，再根据1sin1x-<≤，解关于y的不等式，可求y的取值范围.3.8导数法设()y f x=的导数为()f x'，由()0f x'=可求得极值点坐标，若函数定义域为[],a b，则最值必定为极值点或区间端点中函数值的最大值和最小值.3.9判别式法例：求函数的值域22221x xyx x-+=++解：210x x++>恒成立，∴函数的定义域为R.由22221x xyx x-+=++得()()22120y x y x y-+++-=。

函数的最值和值域函数最值的定义：一般地，设函数()y f x =的定义域为A ．若存在定植0x A ∈，使得对于任意x A ∈，有0()()f x f x ≤恒成立，则称0()f x 为()y f x =的最大值，记为max 0()y f x =；若存在定植0x A ∈，使得对于任意x A ∈，有0()()f x f x ≥恒成立，则称0()f x 为()y f x =的最小值，记为min 0()y f x =；问题1：设函数()y f x =的定义域为[],a b ，若()y f x =是增函数，则max y = ，min y = ； 若()y f x =是减函数，则max y = ，min y = ．问题2：判断下列说法是否正确：（1）单调函数一定有最大值和最小值；（2）在定义域内不具有单调性的函数一定没有最大值和最小值．例1．如图为函数()y f x =，[]4,7x ∈-的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间．说明：求函数的单调区间时，如果函数既有单调增区间，又有单调减区间，必须分别写出． 例2．求下列函数的最小值：（1）22y x x =-； （2）1()f x x=，[]1,3x ∈．变题1：将例2 的要求改为“求下列函数的值域”；变题2：求下列函数的值域：22y x x =-，[]0,4x ∈；变题3：求2()2f x x ax =-，[0,4)x ∈的最小值．例题解析例1.已知函数32)(2--=x x x f ，（1）若]0,2[-∈x ，求函数)(x f 的最值； （2）若]4,2[∈x ，求函数)(x f 的最值；（3）若]25,21[∈x ，求函数)(x f 的最值； （4）若]23,21[-∈x ，求函数)(x f 的最值；（5）若]2,[+∈t t x 时，求函数)(x f 的最值；注：例1是“轴定区间变”的问题，可视为动区间沿x 轴移动的过程中，函数最值的变化，即动区间在定轴的左右两侧及包含定轴的变化。