2013高三数学总复习同步练习：6-2等差数列

6-3等比数列 基础巩固强化1.(文)(2011·北京朝阳一模)已知{a n }是由正数组成的等比数列，S n表示{a n }的前n 项的和，若a 1＝3，a 2a 4＝144，则S 5的值是( )A.692 B ．69 C ．93 D ．189 [答案] C[解析] 由a 2a 4＝a 23＝144得a 3＝12(a 3＝－12舍去)， 又a 1＝3，各项均为正数，则q ＝2. 所以S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝3×(1－32)1－2＝93.(理)(2012·哈尔滨质检)已知等比数列{a n }中，a 5、a 95为方程x 2＋10x ＋16＝0的两根，则a 20·a 50·a 80的值为( )A ．256B ．±256C ．64D ．±64 [答案] D[解析] 由韦达定理可得a 5a 95＝16，由等比中项可得a 5a 95＝(a 50)2＝16，故a 50＝±4，则a 20a 50a 80＝(a 50)3＝(±4)3＝±64.2．(2012·沈阳质检)已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1、a ＋1、a ＋4，则该数列的通项a n ＝( )A ．4×(23)n －1B ．4×(23)nC ．4×(32)nD ．4×(32)n －1[答案] D[解析] 据前三项可得(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)，解得a ＝5，故等比数列的首项为4，q ＝a 2a 1＝32，故a n ＝4×(32)n －1.3．(2012·北京文，6)已知数列{a n }为等比数列，下面结论中正确的是( )A ．a 1＋a 3≥2a 2B ．a 21＋a 23≥2a 22C ．若a 1＝a 3，则a 1＝a 2D ．若a 3＞a 1，则a 4＞a 2[答案] B[解析] 本题考查了等比数列、均值不等式等知识，可用排除法求解．当a 1<0，q <0时，a 1<0，a 2>0，a 3<0，所以A 错误；而当q ＝－1时，C 错误；当q <0时，由a 3>a 1得a 3q <a 1q ，即a 4<a 2，与D 项矛盾，所以B 项正确．[点评] B 选项可证明如下：设{a n }的公差为q ，则a 21＋a 23＝a 21(1＋q 4)≥a 21·2q 2＝2a 22.4．(2011·四川文，9)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝( )A ．3×44B ．3×44＋1C ．45D ．44＋1[答案] A[解析] ∵a n ＋1＝3S n ，① ∴a n ＝3S n －1(n ≥2)，②①－②得a n ＋1－a n ＝3S n －3S n －1＝3a n ， 即a n ＋1＝4a n ， ∴a n ＋1a n＝4(n ≥2)． 当n ＝2时，a 2＝3a 1＝3，∴a 2a 1＝3≠4， ∴a n 为从第2项起的等比数列，且公比q ＝4， ∴a 6＝a 2·q 4＝3·44.5．(文)已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( )A ．35B ．33C ．31D ．29[答案] C[解析] 运用等比数列的性质 a 1a 4＝a 2a 3＝2a 1⇒a 4＝2，① a 4＋2a 7＝2×54，②由①②得⎩⎨⎧a 1＝16，q ＝12∴S 5＝16[1－(12)5]1－12＝31.(理)已知数列{a n }的前n 项的和S n 满足S n ＝2n －1(n ∈N *)，则数列{a 2n }的前n 项的和为( )A ．4n－1 B.13(4n－1) C.43(4n－1) D ．(2n －1)2[答案] B[解析] n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n －1)－(2n －1－1)＝2n －1，又a 1＝S 1＝21－1＝1也满足，∴a n ＝2n －1(n ∈N *)．设b n ＝a 2n ，则b n＝(2n －1)2＝4n －1， ∴数列{b n }是首项b 1＝1，公比为4的等比数列，故{b n }的前n 项和T n ＝1×(4n －1)4－1＝13(4n－1)．6．(2012·深圳二调)已知等比数列{a n }满足a n >0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2[答案] C[解析] 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，∵a 5·a 2n －5＝a 1q 4·a 1q 2n －6＝22n ，即a 21·q 2n －2＝22n ⇒(a 1·q n －1)2＝22n ⇒a 2n ＝(2n )2，∵a n >0，∴a n ＝2n ，∴a 2n －1＝22n －1，∴log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝log 22＋log 223＋…＋log 222n －1＝1＋3＋…＋(2n －1)＝1＋(2n －1)2·n ＝n 2，故选C.7．(文)(2012·泉州五中模拟)在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比q ＝2.若a n ＝64，则n 的值为________．[答案] 7[解析] a n ＝a 1q n －1＝2n －1＝64，∴n ＝7.(理)等比数列{a n }的公比q >0.已知a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，则{a n }的前4项和S 4＝______.[答案] 152[解析] ∵a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，∴a 3＋a 2＝6a 1.∵a 2＝1，a 2·q ＋a 2＝6a 2q ，∴q ＋1＝6q，∴q 2＋q －6＝0，∵q >0，∴q ＝2，∴a 1＝12a 3＝2，a 4＝4，∴S 4＝12＋1＋2＋4＝152.8．在公差不为零的等差数列{a n }中，a 1、a 3、a 7依次成等比数列，前7项和为35，则数列{a n }的通项a n ＝________.[答案] n ＋1[解析] 设等差数列首项a 1，公差d ，则 ∵a 1、a 3、a 7成等比，∴a 23＝a 1a 7， ∴(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，∴a 1＝2d ， 又S 7＝7a 1＋7×62d ＝35d ＝35，∴d ＝1，∴a 1＝2，∴a n ＝n ＋1.9．(2012·江苏，6)现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．[答案] 35[解析] 本题考查等比数列及古典概型的知识．等比数列的通项公式为a n ＝(－3)n －1.所以此数列中偶数项都为负值，奇数项全为正值．若a n ≥8，则n 为奇数且(－3)n －1＝3n －1≥8，则n －1≥2，∴n ≥3，∴n ＝3,5,7,9，共四项满足要求．∴p ＝1－410＝35.[点评] 直接考虑情况较多时，可以从其对立面来考虑问题． 10．(2012·河南豫北六校精英联考)已知等比数列{a n }是递增数列，a 2a 5＝32，a 3＋a 4＝12.数列{b n }满足b n ＝1a n.(1)求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{nb n }的前n 项和S n .[解析] (1)因为数列{a n }为等比数列且a 2a 5＝32，所以a 3a 4＝32，又a 3＋a 4＝12，解得：⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝4，a 4＝8，或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝8，a 4＝4.(由{a n }是递增数列知不合题意，舍去)所以q ＝2，a 1＝1，所以a n ＝2n －1，即b n ＝12n －1.(2)由(1)知，∴nb n ＝n 2n －1.设S n ＝1＋22＋322＋…＋n2n －1，①则12S n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ，② 由①－②得，12S n ＝1＋12＋122＋123＋…＋12n －1－n 2n＝1－(12)n1－12－n 2n 2－22n －n2n ＝2－n ＋22n ，所以，S n ＝4－n ＋22n －1.能力拓展提升11.(文)(2011·山东济南模拟)已知各项不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8等于( )A ．2B ．4C ．8D ．16[答案] D[解析] 由题意可知，a 27＝2(a 3＋a 11)＝4a 7.∵a 7≠0，∴a 7＝4，∴b 6b 8＝b 27＝a 27＝16.(理)(2011·辽宁六校模拟)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若8a 2＋a 5＝0，则下列式子中数值不能确定的是( )A.a 5a 3B.S 5S 3 C.a n ＋1a n D.S n ＋1S n[答案] D[解析] 数列{a n }为等比数列，由8a 2＋a 5＝0，知8a 2＋a 2q 3＝0，因为a 2≠0，所以q ＝－2，a 5a 3＝q 2＝4；S 5S 3＝1－q 51－q 3＝113；a n ＋1a n＝q ＝－2；S n ＋1S n ＝1－q n ＋11－q ，其值与n 有关，故选D. 12．(文)已知等比数列{a n }的公比q >0，其前n 项的和为S n ，则S 4a 5与S 5a 4的大小关系是( )A ．S 4a 5<S 5a 4B ．S 4a 5>S 5a 4C ．S 4a 5＝S 5a 4D ．不确定[答案] A[解析] (1)当q ＝1时，S 4a 5－S 5a 4＝4a 21－5a 21＝－a 21<0.(2)当q ≠1且q >0时，S 4a 5－S 5a 4＝a 211－q (q 4－q 8－q 3＋q 8)＝a 21q31－q(q －1)＝－a 21q 3<0.[点评] 作差，依据前n 项和与通项公式化简后判断符号是解决这类问题的基本方法，应注意对公比分类讨论，请再做下题：已知等比数列{a n }中，a 1>0，q >0，前n 项和为S n ，试比较S 3a 3与S 5a 5的大小．[解析] 当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3<S 5a 5；当q >0且q ≠1时，S 3a 3－S 5a 5＝a 1(1－q 3)a 1q 2(1－q )－a 1(1－q 5)a 1q 4(1－q )＝q 2(1－q 3)－(1－q 5)q 4(1－q )＝－q －1q 4<0， 所以有S 3a 3<S 5a 5.综上可知有S 3a 3<S 5a 5.(理)(2012·云南省二检)已知等比数列{a n }的公比q ＝2，它的前9项的平均值等于5113，若从中去掉一项a m ，剩下的8项的平均值等于14378，则m 等于( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8[答案] B[解析] 数列{a n }前9项的和为S 9＝5113×9＝1533，即a 1(1－29)1－2＝1533，解得a 1＝3.又知a m ＝S 9－14378×8＝96，而a m ＝3·2m －1，即3·2m－1＝96，解得m ＝6.13．已知a 、b 、c 成等比数列，如果a 、x 、b 和b 、y 、c 都成等差数列，则a x ＋cy＝________.[答案] 2[解析] 由条件知x ＝a ＋b 2，y ＝b ＋c 2，c ＝bq ，a ＝bq ，∴a x ＋c y ＝2a a ＋b ＋2c b ＋c ＝2bq b q ＋b ＋2bq b ＋bq＝21＋q ＋2q 1＋q＝2. 14．(2012·北京东城练习)已知等差数列{a n }首项为a ，公差为b ，等比数列{b n }首项为b ，公比为a ，其中a 、b 都是大于1的正整数，且a 1<b 1，b 2<a 3，那么a ＝________；若对于任意的n ∈N *，总存在m ∈N *，使得b n ＝a m ＋3成立，则a n ＝________.[答案] 2 5n －3[解析] 由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ a <b ，ab <a ＋2b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a <b ，(a －2)b <a ，若a ＝2，显然符合条件；若a >2，则a <b <aa －2，解得a <3，即2<a <3，即不存在a 满足条件，由此可得a ＝2.当a ＝2时，a n ＝2＋(n －1)b ，b n ＝b ×2n －1，若存在m ∈N *，使得b n ＝a m ＋3成立，则b ×2n －1＝2＋(m －1)b ＋3，即得b ×2n －1＝bm ＋5－b ，当b ＝5时，方程2n －1＝m 总有解，此时a n ＝5n －3.15．(2012·北京东城练习)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n＝4a n －3(n ∈N *)．(1)证明：数列{a n }是等比数列；(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，且b 1＝2，求数列{b n }的通项公式．[解析] (1)证明：因为S n ＝4a n －3，所以n ＝1时，a 1＝4a 1－3，解得a 1＝1.因为S n ＝4a n －3，则S n －1＝4a n －1－3(n ≥2)， 所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4a n －4a n －1， 整理得a n ＝43a n －1.又a 1＝1≠0，所以{a n }是首项为1，公比为43(2)因为a n ＝(43)n －1，b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，所以b n ＋1－b n ＝(43)n －1.可得b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1) ＝2＋1－(43)n －11－43＝3·(43)n －1－1(n ≥2)，当n ＝1时也符合上式，∴b n ＝3·(43)n －1－1.16．(文)(2012·吉林省实验中学模拟)在等差数列{a n }中，a 1＝3，其前n 项和为S n ，等比数列{b n }的各项均为正数，b 1＝1，公比为q ，且b 2＋S 2＝12，q ＝S 2b 2.(1)求a n 与b n ；(2)设数列{c n }满足c n ＝1S n ，求{c n }的前n 项和T n .[解析] (1)设数列{a n }的公差为d ，∵⎩⎨⎧b 2＋S 2＝12，q ＝S 2b 2.∴b 2＋b 2q ＝12，∴b 1q ＋b 1q 2＝12，∵b 1＝1，∴q ＋q 2＝12，∵b n >0，∴q >0，∴q ＝3，∴b 2＝3，S 2＝9， 又a 1＝3，∴a 2＝6，公差d ＝3， ∴a n ＝3n ，b n ＝3n －1. (2)S n ＝n (3＋3n )2＝3n (n ＋1)2，∴C n ＝1S n ＝23n (n ＋1)＝23(1n －1n ＋1)，∴T n ＝C 1＋C 2＋…＋C n ＝23[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝23(1－1n ＋1)＝2n3(n ＋1).(理)(2012·浙江绍兴质量调研)已知数列{a n }中，a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，且对任意n ∈N *，有a n ＋1＝kS n ＋1(k 为常数)．(1)当k ＝2时，求a 2、a 3的值；(2)试判断数列{a n }是否为等比数列？请说明理由． [解析] (1)当k ＝2时，a n ＋1＝2S n ＋1，令n ＝1得a 2＝2S 1＋1，又a 1＝S 1＝1，得a 2＝3； 令n ＝2得a 3＝2S 2＋1＝2(a 1＋a 2)＋1＝9，∴a 3＝9. ∴a 2＝3，a 3＝9.(2)由a n ＋1＝kS n ＋1，得a n ＝kS n －1＋1， 两式相减，得a n ＋1－a n ＝ka n (n ≥2)，即a n ＋1＝(k ＋1)a n (n ≥2)，且a 2a 1＝k ＋11＝k ＋1，故a n ＋1＝(k ＋1)a n . 故当k ＝－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，(n ＝1)，0.(n ≥2).此时，{a n }不是等比数列；当k ≠－1时，a n ＋1a n＝k ＋1≠0，此时，{a n }是首项为1，公比为k＋1的等比数列．综上，当k ＝－1时，{a n }不是等比数列； 当k ≠－1时，{a n }是等比数列．1．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，令T n ＝a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1，则T n 等于( )A ．16(1－4－n )B ．16(1－2－n ) C.323(1－4－n ) D.323(1－2－n ) [答案] C [解析]a n a n ＋1a n －1a n＝q 2，即数列{a n a n ＋1}是以q 2为公比的等比数列．由a 2＝2，a 5＝14得q ＝12，∴a 1＝4，a 1a 2＝8，所以T n ＝8[1－(14)n]1－14＝323[1－(14)n ]．2．两个正数a 、b 的等差中项是52，一个等比中项是6，且a >b ，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率e 等于( )A.32B.152 C.13 D.133[答案] D[解析] ∵a ＋b ＝5，a ·b ＝6，a >b >0， ∴a ＝3，b ＝2.∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝133.3．已知公差不为0的等差数列{a n }满足a 1、a 3、a 4成等比数列，S n 为{a n }的前n 项和，则S 3－S 2S 5－S 3的值为( )A ．2B ．3 C.15 D ．不存在[答案] A[解析] 由条件a 23＝a 1a 4，∴(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋3d )，∴a 1d ＋4d2＝0，∵d ≠0，∴a 1＝－4d ，∴S 3－S 2S 5－S 3＝a 3a 4＋a 5＝－2d －d＝2.4．已知等比数列{a n }的各项均为正数，公比q ≠1，设P ＝12(log 0.5a 5＋log 0.5a 7)，Q ＝log 0.5a 3＋a 92，P 与Q 的大小关系是( )A ．P ≥QB ．P <QC ．P ≤QD ．P >Q[答案] D[解析] P ＝log 0.5a 5a 7＝log 0.5a 3a 9，Q ＝log 0.5a 3＋a 92，∵q ≠1，∴a 3≠a 9，∴a 3＋a 92>a 3a 9，又∵y ＝log 0.5x 在(0，＋∞)上递减， ∴log 0.5a 3＋a 92<log 0.5a 3a 9，即Q <P .故选D.5．已知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，把数列{a n }的各项排列成如下的三角形状：a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 ……………………记A (m ，n )表示第m 行的第n 个数，则A (11,12)＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1367B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1368C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13111 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13112 [答案] D[解析] 由图形知，各行数字的个数构成首项为1，公差为2的等差数列，∴前10行数字个数的和为10×1＋10×92×2＝100，故A (11,12)为{a n }的第112项，∴A (11,12)＝a 112＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13112.6．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是( )A．4 B．5C．6 D．7[答案] D[解析]由程序框图可知，S＝1＋2＋22＋…＋2k＝2k＋1－1，由S<100得，2k＋1<101，∵26＝64,27＝128，∴k＋1＝7，∴k＝6，结合语句k＝k＋1在S ＝S＋2k后面知，当k＝6时，S＝127，k的值再增加1后输出k值为7.[点评]这是最容易出错的地方，解这类题时，既要考虑等比数列求和，在k取何值时，恰满足S≥100，又要顾及S与k的赋值语句的先后顺序．7．(2011·山东临沂一模)已知{a n}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝2(1a1＋1a2)，a3＋a4＝32(1a3＋1a4)．(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n＝a2n＋log2a n，求数列{b n}的前n项和T n.[解析](1)设等比数列{a n}的公比为q，则a n＝a1q n－1，由已知得a1＋a1q＝2(1a1＋1a1q)，a 1q 2＋a 1q 3＝32(1a 1q 2＋1a 1q3)．化简得⎩⎪⎨⎪⎧a 21q (q ＋1)＝2(q ＋1)，a 21q 5(q ＋1)＝32(q ＋1)，即⎩⎪⎨⎪⎧a 21q ＝2，a 21q 5＝32.又∵a 1>0，q >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2.∴a n ＝2n －1.(2)由(1)知b n ＝a 2n ＋log 2a n＝4n －1＋(n －1)， ∴T n ＝(1＋4＋42＋…＋4n －1)＋(1＋2＋3＋…＋n －1) ＝4n －14－1＋n (n －1)2＝4n －13＋n (n －1)2.8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(a n ＋2，S n ＋1)在直线y ＝4x －5上，其中n ∈N *.令b n ＝a n ＋1－2a n ，且a 1＝1. (1)求数列{b n }的通项公式；(2)若f (x )＝b 1x ＋b 2x 2＋b 3x 3＋…＋b n x n ，求f ′(1)的表达式． [解析] (1)∵S n ＋1＝4(a n ＋2)－5，∴S n ＋1＝4a n ＋3. ∴S n ＝4a n －1＋3(n ≥2)，∴a n ＋1＝4a n －4a n －1(n ≥2) ∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)(n ≥2)． ∴b n b n －1＝a n ＋1－2a na n －2a n －1＝2(n ≥2)． ∴数列{b n }为等比数列，其公比为q ＝2，首项b 1＝a 2－2a 1， 而a 1＋a 2＝4a 1＋3，且a 1＝1，∴a 2＝6. ∴b 1＝6－2＝4，∴b n ＝4×2n －1＝2n ＋1. (2)∵f (x )＝b 1x ＋b 2x 2＋b 3x 3＋…＋b n x n ， ∴f ′(1)＝b 1＋2b 2＋3b 3＋…＋nb n . ∴f ′(1)＝22＋2·23＋3·24＋…＋n ·2n ＋1① ∴2f ′(1)＝23＋2·24＋3·25＋…＋n ·2n ＋2②①－②得－f ′(1)＝22＋23＋24＋…＋2n ＋1－n ·2n ＋2 ＝4(1－2n )1－2－n ·2n ＋2＝－4(1－2n )－n ·2n ＋2，∴f ′(1)＝4＋(n －1)·2n ＋2.9．已知{a n }是首项为a 1、公比q (q ≠1)为正数的等比数列，其前n 项和为S n ，且有5S 2＝4S 4，设b n ＝q ＋S n .(1)求q 的值；(2)数列{b n }能否是等比数列？若是，求出a 1的值；若不是，请说明理由．[解析] (1)由题意知5S 2＝4S 4， S 2＝a 1(1－q 2)1－q ，S 4＝a 1(1－q 4)1－q ，∴5(1－q 2)＝4(1－q 4)，又q >0，∴q ＝12.(2)∵S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2a 1－a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，于是b n ＝q ＋S n ＝12＋2a 1－a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，若{b n }是等比数列，则12＋2a 1＝0，∴a 1＝－14.此时，b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1.∵b n ＋1b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝12，∴数列{b n }是等比数列． 所以存在实数a 1＝－14，使数列{b n }为等比数列．。

【2019最新】精选高考数学一轮复习第六章数列6-2等差数列及其前n项和学案理考纲展示►1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.考点1 等差数列的基本运算1.等差数列的有关概念(1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第________项起，每一项与它的前一项的差等于________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母________表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n∈N*，n≥2)或an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)．(2)等差中项若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A＝.答案：(1)2 同一个常数d2．等差数列的有关公式(1)等差数列的通项公式如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是________．(2)等差数列的前n项和公式设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝na1＋d或Sn＝.答案：(1)an＝a1＋(n－1)d(1)[教材习题改编]已知等差数列－5，－2,1，…，则该数列的第20项为________．答案：52(2)[教材习题改编]在100以内的正整数中有________个能被6整除的数．答案：16知三求二．等差数列中，有五个基本量，a1，d ，n，an，Sn，这五个基本量通过________，____________联系起来，如果已知其中三个量，利用这些公式，便可以求出其余两个的值，这其间主要是通过方程思想，列方程组求解．答案：通项公式前n项和公式[典题1] (1)设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝( )A．－6B．－4D．2C．－2[答案] A [解析] 解法一(常规解法)：设公差为d，则8a1＋28d＝4a1＋8d，即a1＝－5d，a7＝a1＋6d＝－5d＋6d＝d＝－2，所以a9＝a7＋2d＝－6.解法二(结合性质求解)：根据等差数列的定义和性质，可得S8＝4(a3＋a6)，又S8＝4a3，所以a6＝0，又a7＝－2，所以a8＝－4，a9＝－6. (2)[2017·河北武邑中学高三期中]等差数列{an}中，Sn是其前n项和，a1＝－9，－＝2，则S10＝( )B．－9A．0D．－10C．10[答案] A [解析] 因为是等差数列，且公差为d＝1，故＝＋1×(10－1)＝－9＋9＝0，故选A.(3)[2017·河北唐山模拟]设等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝6，S4＝12，则S6＝________.[答案] 30 [解析] 解法一：设数列{an}的首项为a1，公差为d，由S3＝6，S4＝12，可得解得则S6＝6a1＋15d＝30.解法二：∵等差数列{an}，故可设Sn＝An2＋Bn，由S3＝6，S4＝12，可得解得即Sn＝n2－n，则S6＝36－6＝30.[点石成金] 等差数列运算的解题思路及答题步骤(1)解题思路由等差数列的前n项和公式及通项公式可知，若已知a1，d，n，an，Sn中的三个便可求出其余两个，即“知三求二”，“知三求二”的实质是方程思想，即建立方程组求解．(2)答题步骤步骤一：结合所求结论，寻找已知与未知的关系；步骤二：根据已知条件列方程求出未知量；步骤三：利用前n项和公式求得结果．考点2 等差数列的判断与证明等差数列的概念的两个易误点：同一个常数；常数. (1)在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝an＋2，则该数列的通项公式为an＝__________.答案：2n－1解析：由an＋1＝an＋2，知{an}为等差数列，其公差为2，故an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.(2)若数列{an}满足a1＝1，an＋1－an＝n，则数列{an}的通项公式为an＝__________.答案：1＋－2解析：由an＋1－an＝n，得a2－a1＝1，a3－a2＝2，…，an－an－1＝n－1，各式相加，得an－a1＝1＋2＋…＋n－1＝＝，故an＝1＋. [典题2] 若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝.(1)求证：是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．(1)[证明] 当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0，得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以－＝2.又＝＝2，故是首项为2，公差为2的等差数列．(2)[解] 由(1)，可得＝2n，∴Sn＝.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n－1－n－＝－.当n＝1时，a1＝不适合上式．故an＝[题点发散1] 若将母题条件变为：数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，2Sn－nan＝n.求证：{an}为等差数列．证明：∵2Sn－nan＝n，①∴当n≥2时，2Sn－1－(n－1)an－1＝n－1，②①－②，得(2－n)an＋(n－1)an－1＝1，则(1－n)an＋1＋nan＝1，∴2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，∴数列{an}为等差数列．[题点发散2] 若母题变为：已知数列{an}中，a1＝2，an＝2－(n≥2，n∈N*)，设bn＝(n∈N*)．求证：数列{bn}是等差数列．证明：∵an＝2－，∴an＋1＝2－.∴bn＋1－bn＝－1an－1＝－＝＝1，∴{bn}是首项为b1＝＝1，公差为1的等差数列．[点石成金] 等差数列的判定与证明方法且满足a3·a4＝117，a2＋a5＝22.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＝，是否存在非零实数c使得{bn}为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，且d＞0，由等差数列的性质，得a2＋a5＝a3＋a4＝22，所以a3，a4是关于x 的方程x2－22x＋117＝0的解，所以a3＝9，a4＝13，易知a1＝1，d＝4，故通项为an＝1＋(n－1)×4＝4n－3.(2)由(1)知，Sn＝＝2n2－n，所以bn＝＝.解法一：所以b1＝，b2＝，b3＝(c≠0)．由2b2＝b1＋b3，解得c＝－.当c＝－时，bn＝＝2n，当n≥2时，bn－bn－1＝2.故当c＝－时，数列{bn}为等差数列．解法二：由bn＝＝＋4n－2n＋c＝，∵c≠0，∴可令c＝－，得到bn＝2n.∵bn＋1－bn＝2(n＋1)－2n＝2(n∈N*)，∴数列{bn}是公差为2的等差数列．即存在一个非零常数c＝－，使数列{bn}为等差数列．考点3 等差数列的性质及应用等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋________(n，m∈N*)．(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则____________．(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为________．(4)若{an}，{bn}是等差数列，公差为d，则{pan＋qbn}也是等差数列．(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为________的等差数列．(6)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．(7)S2n－1＝(2n－1)an.(8)若n为偶数，则S偶－S奇＝；若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．答案：(1)(n－m)d (2)ak＋al＝am＋an (3)2d(5)md等差数列的基本公式：通项公式；前n项和公式．(1)等差数列{an}中，a2＋a3＝1，a5－2a1＝27，则a5＝________.答案：13解析：设等差数列的公差为d，则有2a1＋3d＝1,4d－a1＝27，解得d＝5，a1＝－7，所以a5＝a1＋4d＝13.(2)等差数列{an}的首项为1，公差为4，前n项和为120，则n＝________.答案：8解析：an＝1＋(n－1)×4＝4n－3，所以Sn＝＝120，解得n＝8或n＝－(舍去).等差数列运算的两个方法：应用性质；巧妙设元．(1)在等差数列{an}中，已知a4＋a10＝12，则该数列前13项和S13＝__________.答案：78解析：由等差数列的性质与前n项和公式，得S13＝＝＝78. (2)已知等差数列{an}前三项的和为－3，前三项的积为8，则{an}的通项公式是__________．答案：an＝－3n＋5或an＝3n－7解析：设等差数列{an}的前三项为a2－d，a2，a2＋d，由题意得解得或所以an＝2－3(n－1)＝－3n＋5或an＝－4＋3(n－1)＝3n－7.故an＝－3n＋5或an＝3n－7.[典题3] [2017·河南洛阳统考]设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝( )B．45A．63D．27C．36[答案] B[解析] 由{an}是等差数列，得S3，S6－S3，S9－S6为等差数列，即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，得到S9－S6＝2S6－3S3＝45，故选B. [点石成金] 在等差数列{an}中，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列．等差数列的性质是解题的重要工具.1.[2017·宁夏银川模拟]已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32.若am＝8，则m＝( )B．12A．8D．4C．6答案：A解析：由a3＋a6＋a10＋a13＝32，得(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝32，即4a8＝32，∴a8＝8，∴m＝8.故选A. 2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S20＝30，则S30＝________.答案：60解析：∵S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，∴2(S20－S10)＝S10＋S30－S20，∴40＝10＋S30－30，∴S30＝60.考点4 等差数列前n项和的最值问题[典题4] 在等差数列{an}中，a1＝29，S10＝S20，则数列{an}的前n项和Sn的最大值为( )A ．S15B ．S16C ．S15或S16D ．S17[答案] A[解析] ∵a1＝29，S10＝S20，∴10a1＋d ＝20a1＋d ，解得d ＝－2，∴Sn ＝29n ＋×(－2)＝－n2＋30n＝－(n －15)2＋225.∴当n ＝15时，Sn 取得最大值．[题点发散1] 若将条件“a1＝29，S10＝S20”改为“a1>0，S5＝S12”，如何求解？解：解法一：设等差数列{an}的公差为d ， 由S5＝S12，得5a1＋10d ＝12a1＋66d ，解得d ＝－a1<0. 所以Sn ＝na1＋d＝na1＋·＝－a1(n2－17n)＝－a12＋a1. 因为a1>0，n∈N*，所以当n ＝8或n ＝9时，Sn 有最大值． 解法二：设等差数列{an}的公差为d ，同解法一得d ＝－a1<0. 设此数列的前n 项和最大，则⎩⎪⎨⎪⎧an≥0，an ＋1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧an ＝a1＋－⎝ ⎛⎭⎪⎫－18a1≥0，an ＋1＝a1＋n·⎝ ⎛⎭⎪⎫－18a1≤0，解得即8≤n≤9，又n∈N*，所以当n ＝8或n ＝9时，Sn 有最大值．解法三：设等差数列{an}的公差为d ，同解法一得d ＝－a1<0. 由于Sn ＝na1＋d ＝n2＋n ，设f(x)＝x2＋x ，则函数y ＝f(x)的图象为开口向下的抛物线，由S5＝S12知，抛物线的对称轴为x ＝(如图所示)，由图可知，当1≤n≤8时，Sn 单调递增；当n≥9时，Sn 单调递减．又n∈N*，所以当n ＝8或n ＝9时，Sn 最大．[题点发散2] 若将条件“a1＝29，S10＝S20”改为“a3＝12，S12>0，S13<0”，如何求解？解：因为a3＝a1＋2d ＝12，所以a1＝12－2d ， 所以即⎩⎪⎨⎪⎧144＋42d>0，156＋52d<0，解得－<d<－3.故公差d 的取值范围为.解法一：由d<0可知，{an}为递减数列，因此，在1≤n≤12中，必存在一个自然数n ，使得an≥0，an ＋1<0，此时对应的Sn 就是S1，S2，…，S12中的最大值．由于于是a7<0，从而a6>0，因此S6最大．解法二：由d<0可知{an}是递减数列，令可得⎩⎪⎨⎪⎧n≤3－12d，n>2－12d.由－<d<－3，可得⎩⎨⎧n≤3－12d <3＋123＝7，n>2－12d >2＋12247＝5.5， 所以5.5<n<7，故n ＝6，即S6最大． [题点发散3] 若将“a1＝29，S10＝S20”改为“a5>0，a4＋a7<0”，如何求解？ 解：∵∴⎩⎪⎨⎪⎧a5>0，a6<0， ∴Sn 的最大值为S5.[点石成金] 求等差数列前n 项和的最值的方法(1)运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的单调性以及数形结合的思想，从而使问题得解．(2)通项公式法：求使an≥0(an≤0)成立时最大的n 的值即可．一般地，等差数列{an}中，若a1>0，且Sp ＝Sq(p≠q)，则①若p ＋q 为偶数，则当n ＝时，Sn 最大；②若p ＋q 为奇数，则当n ＝或n ＝时，Sn 最大.1.等差数列{an}的前n 项和为Sn ，已知a5＋a7＝4，a6＋a8＝－2，则当Sn 取最大值时，n ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8 答案：B解析：依题意，得2a6＝4,2a7＝－2，a6＝2＞0，a7＝－1＜0.又数列{an}是等差数列，因此在该数列中，前6项均为正数，自第7项起以后各项均为负数，于是当Sn 取最大值时，n ＝6，故选B.2．[2017·安徽望江中学模拟]设数列{an}是公差d ＜0的等差数列，Sn 为前n项和，若S6＝5a1＋10d ，则Sn 取最大值时，n ＝( )B．6A．5D．11C．5或6答案：C解析：由题意，得S6＝6a1＋15d＝5a1＋10d，所以a6＝0，故当n＝5或6时，Sn最大，故选C. [方法技巧] 1.在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为：(1)a，a＋d，a＋2d；(2)a－d，a，a＋d；(3)a－d，a＋d，a＋3d等，可视具体情况而定．2．数列{an}为等差数列．(1)若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；＝.(2)若项数为奇数2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an；S奇－S偶＝an；＝.3．若数列{an}与{bn}均为等差数列，且前n项和分别是Sn和Tn，则＝.4．若am＝n，an＝m(m≠0)，则am＋n＝0. [易错防范] 1.公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n项和公式是常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列．2．求等差数列的前n项和Sn的最值时，需要注意“自变量n为正整数”这一隐含条件．若对称轴取不到，需考虑最接近对称轴的自变量n(n为正整数)；若对称轴对应在两个正整数的中间，此时应有两个符合题意的n值．真题演练集训1．[2016·新课标全国卷Ⅰ]已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝( )B．99A．100D．97C．98答案：C解析：由等差数列性质知，S9＝＝＝9a5＝27，解得a5＝3，而a10＝8，因此公差d ＝＝1，∴a100＝a10＋90d ＝98，故选C.2．[2015·北京卷]设{an}是等差数列，下列结论中正确的是( )A ．若a1＋a2＞0，则a2＋a3＞0B ．若a1＋a3＜0，则a1＋a2＜0C ．若0＜a1＜a2，则a2＞a1a3D ．若a1＜0，则(a2－a1)(a2－a3)＞0答案：C解析：A ，B 选项易举反例．C 中若0＜a1＜a2，∴a3＞a2＞a1＞0，∵a1＋a3>2，又2a2＝a1＋a3，∴2a2>2，即a2>成立．D 中，若a1<0，则(a2－a1)(a2－a3)＝d·(－d)＝－d2≤0，故D 选项错误．故选C.3．[2016·江苏卷]已知{an}是等差数列，Sn 是其前n 项和．若a1＋a ＝－3，S5＝10，则a9的值是________．答案：20解析：设等差数列{an}公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a1＋＋＝－3，5a1＋5×42d ＝10， 解得则a9＝a1＋8d ＝－4＋8×3＝20.4．[2016·新课标全国卷Ⅱ]Sn 为等差数列{an}的前n 项和，且a1＝1，S7＝28.记bn ＝[lg an]，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.(1)求b1，b11，b101；(2)求数列{bn}的前1 000项和．解：(1)设{an}的公差为d，据已知有7＋21d＝28，解得d＝1.所以{an}的通项公式为an＝n.b1＝[lg 1]＝0，b11＝[lg 11]＝1，b101＝[lg 101]＝2.(2)因为bn＝所以数列{bn}的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893.课外拓展阅读巧用三点共线解等差数列问题1．等差数列的求解由等差数列与一次函数的关系可知：对于公差为d(d≠0)的等差数列{an}，其通项公式为an＝dn＋(a1－d)，则点(n，an)(n∈N*)共线，又d＝(n≠m)，所以d为过(m，am)，(n，an)两点的直线的斜率．由此可用三点共线解决等差数列问题．[典例1] 若数列{an}为等差数列，ap＝q，aq＝p(p≠q)，则ap＋q＝________.[思路分析] [解析] 解法一：设数列{an}的公差为d，因为ap＝aq＋(p－q)d，所以q＝p＋(p－q)d，即q－p＝(p－q)d.因为p≠q，所以d＝－1.所以ap＋q＝ap＋(p＋q－p)d＝q＋q(－1)＝0.解法二：因为数列{an}为等差数列，所以点(n，an)(n∈N*)在一条直线上．不妨设p<q，记点A(p，q)，B(q，p)，则直线AB的斜率k＝＝－1，如图所示，由图知OC＝p＋q，即点C的坐标为(p＋q,0)，故ap＋q＝0.[答案] 0 [典例2] 已知{an}为等差数列，且a100＝304，a300＝904，求a1 000.[思路分析] [解] 因为{an}为等差数列，则(100,304)，(300,904)，(1 000，a1 000)三点共线，所以＝，解得a1 000＝3 004.2．等差数列前n项和的求解在等差数列前n项和公式的变形Sn＝n2＋n中，两边同除以n得＝n＋.该式说明对任意n∈N*，所有的点都在同一条直线上，从而对m，n∈N*(m≠n)有＝(常数)，即数列是一个等差数列．[典例3] 已知在等差数列{an}中，Sn＝33，S2n＝44，求这个数列的前3n项的和S3n.[解] 由题意知，，，三点在同一条直线上，从而有＝，解得S3n＝33.所以该数列的前3n项的和为33.。

课时作业28 等差数列一、填空题1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7＝__________. 2．(2012广东高考)已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4，则a n ＝__________. 3．(2012江西高考)设数列{a n }，{b n }都是等差数列．若a 1＋b 1＝7，a 3＋b 3＝21，则a 5＋b 5＝__________.4．在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ≠0，S n 为{a n }的前n 项和，且S 5＝S 10，则S n 取得最大值时n 的值为__________．5．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，又数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是等差数列，则a 11＝__________. 6．在等差数列{a n }中，a 1＝－2 012，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 012的值等于__________．7．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数n 的个数是________．8．设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和．若S 10＝S 11，则a 1＝__________.9．(2012苏北四市高三第一次调研考试)定义在R 上的函数f (x )，满足f (m ＋n 2)＝f (m )＋2[f (n )]2，m ，n ∈R ，且f (1)≠0，则f (2 012)的值为__________．二、解答题10．(2012江苏栟茶高级中学第一学期第二次阶段考试)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 5＋a 13＝34，S 3＝9.(1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和公式；(2)设数列{b n }的通项公式为b n ＝a na n ＋t，问：是否存在正整数t ，使得b 1，b 2，b m (m ≥3，m ∈N *)成等差数列？若存在，求出t 和m 的值；若不存在，请说明理由．11.(2012江苏苏州高三第一学期期末调研)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝a 2＝1，b n ＝nS n ＋(n ＋2)a n ，数列{b n }是公差为d 的等差数列，n ∈N *.(1)求d 的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)求证：(a 1a 2…a n )·(S 1S 2…S n )＜22n ＋1n ＋1n ＋2.12．(2012江苏南京盐城高三三模)已知数列{a n }的奇数项是公差为d 1的等差数列，偶数项是公差为d 2的等差数列，S n 是数列{a n }的前n 项和，a 1＝1，a 2＝2.(1)若S 5＝16，a 4＝a 5，求a 10；(2)已知S 15＝15a 8，且对任意n ∈N *，有a n ＜a n ＋1恒成立，求证：数列{a n }是等差数列； (3)若d 1＝3d 2(d 1≠0)，且存在正整数m ，n (m ≠n )，使得a m ＝a n .求当d 1最大时，数列{a n }的通项公式．参考答案一、填空题1．49 解析：S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7(a 2＋a 6)2＝7(3＋11)2＝49.2．2n －1 解析：设等差数列的公差为d ，由于数列是递增数列，所以d ＞0，a 3＝a 1＋2d ＝1＋2d ，a 2＝a 1＋d ＝1＋d ，代入已知条件a 3＝a 22－4，得1＋2d＝(1＋d )2－4，解得d ＝2(d ＝－2舍去)，所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.3．35 解析：方法一：设c n ＝a n ＋b n ， ∵{a n }，{b n }是等差数列，∴{c n }是等差数列，设其公差为d ，则c 1＝7，c 3＝c 1＋2d ＝21，解得d ＝7， 因此，c 5＝a 5＋b 5＝7＋(5－1)×7＝35.故填35. 方法二：设c n ＝a n ＋b n ， ∵{a n }，{b n }是等差数列， ∴{c n }是等差数列，∴2(a 3＋b 3)＝(a 1＋b 1)＋(a 5＋b 5)，即42＝7＋(a 5＋b 5)， 因此a 5＋b 5＝42－7＝35.故填35.4．7或8 解析：在等差数列{an }中，由S 5＝S 10，得a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝0，从而a 8＝0，所以a 7＞0，a 9＜0.S n 取最大值时，n ＝7或8.5.12 解析：∵1a 7＋1＝1a 3＋1＋(7－3)d ， ∴d ＝124.∴1a 11＋1＝1a 3＋1＋(11－3)d ＝23，a 11＝12. 6．－2 012 解析：设公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)d 2，S n n ＝a 1＋(n －1)d2，由S 1212－S 1010＝(12－1)d 2－(10－1)d 2＝d ， 所以d ＝2，所以S n ＝n (n －2 013)． 从而S 2 012＝2 012(2 012－2 013) ＝－2 012.7．5 解析：A 2n －1B 2n －1＝(2n －1)·(a 1＋a 2n －1)2(2n －1)·(b 1＋b 2n －1)2＝2a n 2b n ＝a nb n，∴a n b n ＝A 2n －1B 2n －1＝7(2n －1)＋452n －1＋3 ＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1. 当n ＝1,2,3,5,11时，a nb n是正整数． 8．20 解析：由S 10＝S 11得S 11－S 10＝0， 即a 11＝0，又d ＝－2，∴a 1＝a 11－10d ＝0－10×(－2)＝20.9．1 006 解析：令m ＝n ＝0得f (0＋02)＝f (0)＋2[f (0)]2，所以f (0)＝0；令m ＝0，n ＝1得f (0＋12)＝f (0)＋2[f (1)]2.由于f (1)≠0，所以f (1)＝12；令m ＝x ，n ＝1得f (x ＋12)＝f (x )＋2[f (1)]2，所以f (x ＋1)＝f (x )＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122，f (x ＋1)＝f (x )＋12，这说明数列{f (x )}(x ∈N *)是首项为12，公差为12的等差数列，所以f (2 012)＝12＋(2 012－1)×12＝1 006. 二、解答题10．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d .由已知得513234,39,a a a +=⎧⎨=⎩即11817,3,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得11,2.a d =⎧⎨=⎩故a n ＝2n －1，S n ＝n 2.(2)由(1)知b n ＝2n －12n －1＋t.要使b 1，b 2，b m 成等差数列，必须2b 2＝b 1＋b m ，即2×33＋t ＝11＋t ＋2m －12m －1＋t，整理得m ＝3＋4t －1，因为m ，t 为正整数， 所以t 只能取2,3,5.当t ＝2时，m ＝7；当t ＝3时，m ＝5；当t ＝5时，m ＝4. 故存在正整数t ，使得b 1，b 2，b m 成等差数列． 11．(1)解：∵a 1＝a 2＝1，∴b 1＝S 1＋3a 1＝4，b 2＝2S 2＋4a 2＝8， ∴d ＝b 2－b 1＝4.(2)解：∵数列{bn }是等差数列， ∴b n ＝4n ，∴nS n ＋(n ＋2)a n ＝4n ，即S n ＋n ＋2na n ＝4.①当n ≥2时，S n －1＋n ＋1n －1a n －1＝4.② ①－②，得(S n －S n －1)＋n ＋2n a n －n ＋1n －1a n －1＝0.∴a n ＋n ＋2n a n ＝n ＋1n －1a n －1，即a n a n －1＝12·n n －1， 则a 2a 1＝12·21，a 3a 2＝12·32，…，a n a n －1＝12·n n －1. 以上各式相乘，得a n a 1＝12n －1·n .∵a 1＝1，∴a n ＝n2n －1.(3)证明：∵S n ＋n ＋2na n ＝4，a n ＞0，S n ＞0， ∴Sn ·n ＋2n a n ≤Sn ＋n ＋2n a n2＝2.则0＜a n S n ≤4·nn ＋2.∴(a 1a 2…a n )·(S 1S 2…S n )≤4n ·1×2(n ＋1)(n ＋2).③∵n ＝1时，Sn ≠n ＋2nan ， ∴③式等号不成立．则(a 1a 2…an )·(S 1S 2…Sn )＜22n ＋1(n ＋1)(n ＋2).12．解：(1)由题意得，当n 为奇数时，a n ＝1＋n －12d 1，当n 为偶数时，a n ＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2－1d 2.由S 5＝16，a 4＝a 5，得3＋3d 1＋4＋d 2＝16,2＋d 2＝1＋2d 1.解得d 1＝2，d 2＝3， 所以a 10＝2＋4d 2＝14.(2)当n 为偶数时，由a n ＜a n ＋1恒成立，得2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2－1d 2＜1＋n2d 1，即n (d 2－d 1)＋2－2d 2＜0恒成立， 所以d 2－d 1≤0且d 1＞1.当n 为奇数时，由a n ＜a n ＋1恒成立，得1＋n －12d 1＜2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12－1d 2，即n (d 1－d 2)－d 1＋d 2－2＜0恒成立， 所以d 1－d 2≤0. 因此d 1＝d 2.又由S 15＝15a 8，得(a 1＋a 3＋…＋a 15)＋(a 2＋a 4＋…＋a 14)＝15(a 2＋3d 2)，即8＋8×72d 1＋14＋7×62d 2＝30＋45d 2.解得d 1＝d 2＝2.所以a n ＝n ，即数列{a n }是等差数列．(3)因为d 1≠0，d 2≠0，且存在正整数m ，n (m ≠n )，使得a m ＝a n ， 所以m ，n 中必然一个为奇数，一个为偶数． 不妨设m 为奇数，n 为偶数．由a m ＝a n ，得1＋m －12d 1＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2－1d 2. 将d 1＝3d 2代入，化简得d 1＝63m －n －1.因为m 为奇数，n 为偶数，所以3m －n －1的最小正值为2，此时d 1＝3，d 2＝1.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝31,221,.2n n n n ⎧-⎪⎪⎨⎪+⎪⎩为奇数,为偶数。

§6.2等差数列及其前n项和考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度1.等差数列的定义及通项公式1.理解等差数列的概念2.掌握等差数列的通项公式3.了解等差数列与一次函数的关系Ⅱ2016课标全国Ⅱ,17;2016某某,8;2015,16选择题、填空题、解答题★★★2.等差数列的性质能利用等差数列的性质解决相应的问题2015某某,13; 2014某某,2; 2013某某,43.等差数列的前n项和公式掌握等差数列的前n项和公式Ⅲ2017某某,6;2015某某,13;2015课标Ⅰ,7;2014课标Ⅱ,5分析解读等差数列是高考考查的重点内容,主要考查等差数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式、等差中项等相关内容.本节内容在高考中分值为5分左右,属于中低档题.五年高考考点一等差数列的定义及通项公式1.(2016某某,8,5分)如图,点列{A n},{B n}分别在某锐角的两边上,且|A n A n+1|=|A n+1A n+2|,A n≠A n+2,n∈N*,|B n B n+1|=|B n+1B n+2|,B n≠B n+2,n∈N*.(P≠Q表示点P与Q不重合)若d n=|A n B n|,S n为△A n B n B n+1的面积,则( )A.{S n}是等差数列B.{}是等差数列C.{d n}是等差数列D.{}是等差数列答案 A2.(2014某某,9,5分)设等差数列{a n}的公差为d.若数列{}为递减数列,则( )A.d>0B.d<0C.a1d>0D.a1d<0答案 D3.(2016课标全国Ⅱ,17,12分)等差数列{a n}中,a3+a4=4,a5+a7=6.(1)求{a n}的通项公式;(2)设b n=[a n],求数列{b n}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2. 解析(1)设数列{a n}的公差为d,由题意有2a1+5d=4,a1+5d=3.解得a1=1,d=.(3分)所以{a n}的通项公式为a n=.(5分)(2)由(1)知,b n=.(6分)当n=1,2,3时,1≤<2,b n=1;当n=4,5时,2<<3,b n=2;当n=6,7,8时,3≤<4,b n=3;当n=9,10时,4<<5,b n=4.(10分)所以数列{b n}的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24.(12分)4.(2015,16,13分)已知等差数列{a n}满足a1+a2=10,a4-a3=2.(1)求{a n}的通项公式;(2)设等比数列{b n}满足b2=a3,b3=a7.问:b6与数列{a n}的第几项相等?解析(1)设等差数列{a n}的公差为d.因为a4-a3=2,所以d=2.又因为a1+a2=10,所以2a1+d=10,故a1=4.所以a n=4+2(n-1)=2n+2(n=1,2,…).(2)设等比数列{b n}的公比为q.因为b2=a3=8,b3=a7=16,所以q=2,b1=4.所以b6=4×26-1=128.由128=2n+2得n=63.所以b6与数列{a n}的第63项相等.5.(2014某某,19,14分)已知等差数列{a n}的公差d>0.设{a n}的前n项和为S n,a1=1,S2·S3=36.(1)求d及S n;(2)求m,k(m,k∈N*)的值,使得a m+a m+1+a m+2+…+a m+k=65.解析(1)由题意知(2a1+d)(3a1+3d)=36,将a1=1代入上式解得d=2或d=-5.因为d>0,所以d=2.从而a n=2n-1,S n=n2(n∈N*).(2)由(1)得a m+a m+1+a m+2+…+a m+k=(2m+k-1)(k+1),所以(2m+k-1)(k+1)=65.由m,k∈N*知2m+k-1≥k+1>1,故所以教师用书专用(6—9)6.(2013某某,7,5分)设S n为等差数列{a n}的前n项和,S8=4a3,a7=-2,则a9=()A.-6B.-4C.-2D.2答案 A7.(2014某某,14,5分)已知f(x)=,x≥0,若f1(x)=f(x),f n+1(x)=f(f n(x)),n∈N+,则f2014(x)的表达式为.答案f2014(x)=8.(2013课标全国Ⅰ,17,12分)已知等差数列{a n}的前n项和S n满足S3=0,S5=-5.(1)求{a n}的通项公式;(2)求数列的前n项和.解析(1)设{a n}的公差为d,则S n=na1+ d.由已知可得解得a1=1,d=-1.故{a n}的通项公式为a n=2-n.(2)由(1)知==,从而数列的前n项和为（-+-+…+-）=.9.(2013某某,17,12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1.(1)求证:a,b,c成等差数列;(2)若C=,求的值.考点二等差数列的性质1.(2014某某,2,5分)在等差数列{a n}中,a1=2,a3+a5=10,则a7=( )A.5B.8C.10D.14答案 B2.(2013某某,4,5分)下面是关于公差d>0的等差数列{a n}的四个命题:p1:数列{a n}是递增数列; p2:数列{na n}是递增数列;p3:数列是递增数列; p4:数列{a n+3nd}是递增数列.其中的真命题为( )A.p1,p2B.p3,p4C.p2,p3D.p1,p4答案 D3.(2015某某,13,5分)中位数为1010的一组数构成等差数列,其末项为2015,则该数列的首项为.答案 5考点三等差数列的前n项和公式1.(2017某某,6,5分)已知等差数列{a n}的公差为d,前n项和为S n,则“d>0”是“S4+S6>2S5”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 C2.(2015课标Ⅰ,7,5分)已知{a n}是公差为1的等差数列,S n为{a n}的前n项和.若S8=4S4,则a10=( )A. B. C.10 D.12答案 B3.(2014课标Ⅱ,5,5分)等差数列{a n}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{a n}的前n项和S n=( )A.n(n+1)B.n(n-1)C. D.答案 A4.(2015某某,13,5分)已知数列{a n}中,a1=1,a n=a n-1+(n≥2),则数列{a n}的前9项和等于.答案275.(2015某某,17,12分)等差数列{a n}中,a2=4,a4+a7=15.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=+n,求b1+b2+b3+…+b10的值.解析(1)设等差数列{a n}的公差为d.由已知得解得所以a n=a1+(n-1)d=n+2.(2)由(1)可得b n=2n+n.所以b1+b2+b3+…+b10=(2+1)+(22+2)+(23+3)+…+(210+10)=(2+22+23+...+210)+(1+2+3+ (10)=+=(211-2)+55=211+53=2101.教师用书专用(6—9)6.(2014某某,5,5分)设{a n}是首项为a1,公差为-1的等差数列,S n为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1=( )A.2B.-2C.D.-答案 D7.(2014某某,13,5分)在等差数列{a n}中,a1=7,公差为d,前n项和为S n,当且仅当n=8时S n取得最大值,则d 的取值X围为.答案8.(2014某某,16,13分)已知{a n}是首项为1,公差为2的等差数列,S n表示{a n}的前n项和.(1)求a n及S n;(2)设{b n}是首项为2的等比数列,公比q满足q2-(a4+1)q+S4=0.求{b n}的通项公式及其前n项和T n.解析(1)因为{a n}是首项a1=1,公差d=2的等差数列,所以a n=a1+(n-1)d=2n-1.故S n=1+3+…+(2n-1)===n2.(2)由(1)得a4=7,S4=16.因为q2-(a4+1)q+S4=0,即q2-8q+16=0,所以(q-4)2=0,从而q=4.又因为b1=2,{b n}是公比q=4的等比数列,所以b n=b1q n-1=2×4n-1=22n-1.从而{b n}的前n项和T n==(4n-1).9.(2013某某,19,14分)在公差为d的等差数列{a n}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.(1)求d,a n;(2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|.解析(1)由题意得5a3·a1=(2a2+2)2,即d2-3d-4=0.故d=-1或d=4.所以a n=-n+11,n∈N*或a n=4n+6,n∈N*.(2)设数列{a n}的前n项和为S n.因为d<0,由(1)得d=-1,a n=-n+11,所以当n≤11时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=S n=-n2+n.当n≥12时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=-S n+2S11=n2-n+110.综上所述,|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一等差数列的定义及通项公式1.(2018某某某某定位考试,5)等差数列{a n}的前n项和为S n,且a1+a5=10,S4=16,则数列{a n}的公差为( )A.1B.2C.3D.4答案 B2.(2018某某德阳模拟,4)在等差数列{a n}中,a3+a7-a10=-1,a11-a4=21,则a7=( )A.7B.10C.20D.30答案 C3.(2017某某某某二模,4)已知数列{a n}是首项为1,公差为d(d∈N*)的等差数列,若81是该数列中的一项,则公差不可能是( )A.2B.3C.4D.5答案 B4.(2017北师大附中期中,4)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第五节的容积为( )A.1升B.升C.升D.升答案 B5.(2017某某六校期中联考,18)在等差数列{a n}中,+a3=4,且a5+a6+a7=18.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若a1,a2,a4成等比数列,求数列的前n项和S n.解析(1)设等差数列{a n}的公差为d,∵+a3=4,且a5+a6+a7=18,∴+a1+2d=4,a5+a6+a7=3a6=3(a1+5d)=18,联立解得a1=d=1或a1=-,d=.∴a n=1+(n-1)=n,或a n=-+(n-1)=.(2)∵a1,a2,a4成等比数列,∴=a1·a4.∴a n=n.∴==.∴数列的前n项和S n=[++…+]==.考点二等差数列的性质6.(2018某某荆州一模,3)在等差数列{a n}中,若a3+a4+a5=3,a8=8,则a12的值是( )A.15B.30C.31D.64答案 A7.(2017某某某某一模,8)已知函数f(x)在(-1,+∞)上单调,且函数y=f(x-2)的图象关于直线x=1对称,若数列{a n}是公差不为0的等差数列,且f(a50)=f(a51),则{a n}的前100项的和为( )A.-200B.-100C.0D.-50答案 B8.(2017某某某某六校联考,14)已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别是S n和T n,且对任意正整数n都有=,则=.答案考点三等差数列的前n项和公式9.(2018某某某某一中期中,10)设等差数列{a n}满足3a8=5a15,且a1>0,S n为其前n项和,则数列{S n}的最大项为( )A.S23B.S24C.S25D.S26答案 C10.(2017某某某某长郡中学模拟,8)已知数列{a n}为等差数列,S n为前n项和,公差为d,若-=100,则d 的值为( )A. B. C.10 D.20答案 B11.(2017某某某某一模,12)若等差数列{a n}的前n项和S n有最大值,且<-1,那么使S n取最小正值的项数n=( )A.15B.17C.19D.21答案 C12.(2016某某某某质量检测,4)设等差数列{a n}的前n项和为S n,a1>0且=,则当S n取最大值时,n的值为( )A.9B.10C.11D.12答案 B13.(2018某某德阳一模,7)我国古代数学名著《X邱建算经》中有“分钱问题”:今有与人钱,初一人与三钱,次一人与四钱,次一人与五钱,以次与之,转多一钱,与讫,还敛聚与均分之,人得一百钱,问人几何?意思是:将钱分给若干人,第一人给3钱,第二人给4钱,第三人给5钱,以此类推,每人比前一人多给1钱,分完后,再把钱收回平均分给各人,结果每人分得100钱,问有多少人?则题中的人数是.答案19514.(2017某某某某五校期中,14)递增数列{a n}满足2a n=a n-1+a n+1(n∈N*,n>1),其前n项和为S n,a2+a8=6,a4a6=8,则S10=.答案3515.(2018某某某某一调,17)已知等差数列{a n}的公差不为0,前n项和为S n(n∈N*),S5=25,且S1,S2,S4成等比数列.(1)求a n与S n;(2)设b n=,求证:b1+b2+b3+…+b n<1.解析(1)设等差数列{a n}的公差为d(d≠0),则由S5=25可得a3=5,即a1+2d=5①,又S1,S2,S4成等比数列,且S1=a1,S2=2a1+d,S4=4a1+6d,所以(2a1+d)2=a1(4a1+6d),整理得2a1d=d2,因为d≠0,所以d=2a1②,联立①②,解得a1=1,d=2,所以a n=1+2(n-1)=2n-1,S n==n2.(2)证明:由(1)得b n==-,所以b1+b2+b3+…+b n=++…+=1-.又∵n∈N*,∴1-<1.B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:55分时间:45分钟)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018某某某某模拟,9)若{a n}是等差数列,公差d<0,a1>0,且a2013(a2012+a2013)<0,则使数列{a n}的前n项和S n>0成立的最大正整数n是( )A.4027B.4026C.4025D.4024答案 D2.(2018某某铁东一模,4)设{a n}是首项为a1,公差为-2的等差数列,S n为其前n项和,若S1,S2,S4成等比数列,则a1=( )A.2B.-2C.1D.-1答案 D3.(2018某某某某一中月考,3)等差数列{a n}中,a4=6,前11项和S11=110,则a8=( )A.10B.12C.14D.16答案 C4.(2017某某六校协作体期中,8)已知等差数列{a n},{b n}的前n项和分别为S n,T n,若对于任意的正整数n,都有=,则+=( )A. B. C. D.答案 A5.(2016某某某某平江一中期中,12)如果数列{a n}满足a1=2,a2=1,且=(n≥2),则这个数列的第10项等于( )A. B. C. D.答案 C二、解答题(每小题15分,共30分)6.(2017某某某某调研,18)数列{a n}和{b n}都是首项为1的等差数列,设S n是数列{a n}的前n项和,且S n=.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式;(2)求数列的前n项和A n.解析(1)设{a n}的公差为d1,{b n}的公差为d2,由题意得即解得所以a n=2n-1,b n=n.(2)因为==-,所以A n=1-+-+…+-=1-=.7.(2017某某某某一模,17)等差数列{a n}中,a3+a4=12,S7=49.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)记[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.令b n=[lga n],求数列{b n}的前2000项和.解析(1)由a3+a4=12,S7=49,得解得a1=1,d=2,所以a n=2n-1.(2)b n=[lga n]=[lg(2n-1)],当1≤n≤5时,b n=[lg(2n-1)]=0;当6≤n≤50时,b n=[lg(2n-1)]=1;当51≤n≤500时,b n=[lg(2n-1)]=2;当501≤n≤2000时,b n=[lg(2n-1)]=3.所以数列{b n}的前2000项和为0×5+1×45+2×450+3×1500=5445.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 等差数列的基本运算技巧1.(2018某某福安一中月考,3)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a3=7-a2,则S4的值为( )A.15B.14C.13D.12答案 B2.(2018某某某某12月模拟,7)《X丘建算经》卷上一题大意为今有女善织,日益功疾,且从第二天起,每天比前一天多织相同量的布,现在一月(按30天计)共织布390尺,最后一天织布21尺,则该女第一天共织多少布?( )A.3尺B.4尺C.5尺D.6尺答案 C3.(2017某某华师一附中12月模拟,7)设S n为等差数列{a n}的前n项和,若a1=1,公差d=2,S k+2-S k=28,则k=( )A.8B.7C.6D.5答案 C4.(2017某某某某一模,15)已知数列{a n}满足递推关系式a n+1=2a n+2n-1(n∈N*),且为等差数列,则λ的值是.答案-15.(2016某某某某一中期中,14)已知等差数列{a n}中,a3=,则cos(a1+a2+a6)=.答案-16.(2018某某某某定位考试,17)已知数列{a n}满足a1=,且a n+1=.(1)求证:数列是等差数列;(2)若b n=a n a n+1,求数列{b n}的前n项和S n.解析(1)证明:∵a n+1=,∴=,∴-=,∴数列是以2为首项,为公差的等差数列.(2)由(1)知a n=,∴b n==4,∴S n=4=4=.方法2 等差数列性质的应用策略7.(2018某某某某调研,5)等差数列{a n}中,已知S15=90,那么a8=( )A.12B.4C.3D.6答案 D8.(2017某某某某二调,7)设S n是等差数列{a n}的前n项和,若=,则=( )A.1B.-1C.2D.答案 A方法3 等差数列前n项和的最值问题的求解方法9.(2018某某某某八县联考,11)设等差数列{a n}的前n项和为S n,且满足S20>0,S21<0,则,,…,中最大的项为( )A. B. C. D.答案 A10.(2017某某部分重点中学二联,6)设S n是公差不为零的等差数列{a n}的前n项和,且a1>0,若S5=S9,则当S n最大时,n=( )A.6B.7C.10D.9答案 B11.(2016某某某某期中,16)已知数列{a n}为等差数列,若<-1,且前n项和S n有最大值,则使S n>0的n的最大值为.答案1112.(2017豫南九校2月联考,18)已知数列{a n}是等差数列,a1=1,a2+a3+…+a10=144.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=,S n是数列{b n}的前n项和,当n≥3时,S n≥m恒成立,某某数m的最大值. 解析(1)设{a n}的公差为d,∵a1=1,a2+a3+…+a10=144,∴9+45d=144,解得d=3.∴数列{a n}的通项公式为a n=3n-2(n∈N*).(2)b n===,∴S n=b1+b2+…+b n===,∵f(x)==-(x≥3)是增函数,∴S n≥,即m≤,故实数m的最大值是.。

第02节 等差数列及其前n 项和【考纲解读】【知识清单】一．等差数列的有关概念1.定义：等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示.用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥.2.等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-；说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列.3.等差中项的概念：定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项,其中2a bA +=. a ，A ，b 成等差数列⇔2a bA +=. 4.等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+. 5.要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．6.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别． 对点练习：【2017届某某省某某市二模】在等差数列中，若，则_______.【答案】二、等差数列的前n 项和等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+. 对点练习：【2018届某某省“七彩阳光”联盟高三上期初联考】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若14k S -=，9k S =，则k a =__________，1a 的最大值为__________．【答案】 54.【解析】15k k k a S S -=-=，因为()1592k k a S +==，又k 的最小值为2，可知1a 的最大值为4.三、等差数列的相关性质 1.等差数列的性质：（1）在等差数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列{}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列， 如：1a ，3a ，5a ，7a ，……；3a ，8a ，13a ，18a ，……；（3）在等差数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，n ma a d n m-=-()m n ≠；（4）在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+,特殊地，2m p q =+时，则2m p q a a a =+，m a 是p q a a 、的等差中项.（5）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即232,,n n n n n S S S S S --成等差数列. （6）两个等差数列{}n a 与{}n b 的和差的数列{}n n a b ±仍为等差数列． （7）若数列{}n a 是等差数列,则{}n ka 仍为等差数列．2．设数列{}n a 是等差数列，且公差为d ，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有2n 项，则①-S S nd =奇偶； ②1n n S a S a +=奇偶；（Ⅱ）若项数为奇数，设共有21n -项，则①S S -偶奇n a a ==中(中间项)；②1S nS n =-奇偶. 3.(),p q a q a p p q ==≠,则0p q a +=,m n m n S S S mnd +=++.4.如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数．5.若{}n a 与{}n b 为等差数列，且前n 项和分别为n S 与'n S ，则2121'm m m m a S b S --=. 6．等差数列的增减性：0d >时为递增数列，且当10a <时前n 项和n S 有最小值．0d <时为递减数列，且当10a >时前n 项和n S 有最大值． 对点练习：1.在等差数列{}n a 中，已知3810a a +=，则753a a += （ ） A ．10 B ．18 C ．20 D ．28 【答案】C2.已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，满足95S S =，且01>a ，则n S 中最大的是（ ） A ．6S B ．7S C ．8S D ．15S 【答案】B【解析】由95S S =,得()67897820a a a a a a +++=+=,由01>a 知,0,087<>a a ,所以7S 最大，故B 正确.【考点深度剖析】等差数列的性质、通项公式和前n 项和公式构成等差数列的重要内容，在历届高考中必考，既有独立考查的情况，也有与等比数列等其它知识内容综合考查的情况．选择题、填空题、解答题多种题型加以考查．【重点难点突破】考点1 等差数列的定义、通项公式、基本运算【1-1】【2017全国卷1（理）】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，68S =，则{}n a 的公 差为（ ）. A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C【1-2】【2017全国卷2（理））】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑． 【答案】21nn + 【解析】设{}n a 首项为1a ，公差为d ．则3123a a d =+=， 414610S a d =+=，求得11a =，1d =，则n a n =，()12n n n S +=，()()112222122311nk kS n n n n ==++++⨯⨯-+∑11111112122311n n n n ⎛⎫=-+-++-+-= ⎪-+⎝⎭122111n n n ⎛⎫-=⎪++⎝⎭.【1-3】【2017届某某市耀华中学二模】已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，且2142S =，若记2119132aa a nb --=，则数列{}n b （ ）A. 是等差数列但不是等比数列B. 是等比数列但不是等差数列C. 既是等差数列又是等比数列D. 既不是等差数列又不是等比数列 【答案】C【领悟技法】1．等差数列的四种判断方法(1) 定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1()n N ∈*(常数)，则数列{}n a 是等差数列； (2) 等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ()n N ∈*，则数列{}n a 是等差数列; (3)通项公式：n a pn q =+(,p q 为常数,n N ∈*)⇔{}n a 是等差数列; (4)前n 项和公式：2n S An Bn =+(,A B 为常数, n N ∈*)⇔{}n a 是等差数列; (5){}n a 是等差数列⇔n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列. 2．活用方程思想和化归思想在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为1a 和d 等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-及前n 项和公式11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+，共涉及五个量1,,,,n n a d n a S ，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量1a 、d ，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．3.特殊设法:三个数成等差数列，一般设为,,a d a a d -+；四个数成等差数列，一般设为3,,,3a d a d a d a d --++.这对已知和,求数列各项,运算很方便.4．若判断一个数列既不是等差数列又不是等比数列，只需用123,,a a a 验证即可． 5.等差数列的前n 项和公式若已知首项1a 和末项n a ，则1()2n n n a a S +=，或等差数列{a n }的首项是1a ，公差是d ，则其前n 项和公式为1(1)2n n n S na d -=+. 【触类旁通】【变式一】【2018届某某省某某市西北师X 大学附属中学高三一调】在《X 丘建算经》有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织布几何？” （ ） A.尺 B. 尺 C.尺 D.尺【答案】C【变式二】【2018届某某省某某市高三调研性检测】数列{}n a 满足1111,021n n n a a a a ++=+=-.（Ⅰ）求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（Ⅱ）若数列{}n b 满足1122,1n nn n b a b b a +==+，求{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（Ⅰ）证明见解析 （Ⅱ）()12326n n S n +=-⋅+【解析】试题分析：（1）先依据题设条件将11021n n n a a a +++=-变形为1112n na a +-=，进而借助等差数列的定义证明数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）借助（1）的结论可求得()112121n n n a =+-=-,进而依据112n n n n b a b a ++=⋅求得1222n nn n a b -=⨯= 从而求得()212n n b n =-⋅，然后与运用错位相减法求得()12326n n S n +=-⋅+：解：（Ⅰ）若10n a +=，则0n a =，这与11a =矛盾， ∴10n a +≠，由已知得1120n n n n a a a a ++-+=，∴1112n na a +-=， 故数列{}n a 是以111a =为首项，2为公差的等差数列. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，()1112121n n a =+-=-， 由112n n n n b ab a ++=⋅可知112n n n n a b a b ++=.又112a b = ∴1222n nn n a b -=⨯= ∴()212n n b n =-⋅，∴()123123252212n n S n =⋅+⋅+⋅++-⋅， 则()23412123252212n n S n +=⋅+⋅+⋅++-⋅，∴()()231122222222123226n n n n S n n ++-=+⋅+⋅++⋅--⋅=-⋅-，∴()12326n n S n +=-⋅+考点2 等差数列的性质【2-1】【某某省武邑中学2018届高三上学期第二次调研数学（理）】数列{}n a 满足112n n n a a a -+=+()2n ≥，且1359a a a ++=， 24612a a a ++=，则345a a a ++=（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】D【2-2】【某某省某某一中2018届高三第二次月考】在数列{}n a 中， 28a =， 52a =，且122n n n a a a ++-=（*n N ∈），则1210a a a +++的值是（ ）A. -10B. 10C. 50D. 70【答案】C【解析】由122n n n a a a ++-=得122n n n a a a ++=+，即数列{}n a 是等差数列，由2582a a ==，，可得1102a d ==-，，，所以212n a n =-+，，当1n 6≤≤时， 0n a ≥，当7n ≥时， 0n a <，所以1210610250a a a S S +++=-=，选C ．【2-3】 【2017届某某某某市第三中学高三三模】已知函数()f x 在()1,-+∞上单调,且函数()2y f x =-的图象关于1x =对称,若数列{}n a 是公差不为0的等差数列,且()()5051f a f a =,则{}n a 的前100项的和为( )A. 200-B. 100-C. 0D. 50- 【答案】B【领悟技法】1. 等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n 项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题．2.等差数列的性质多与其下标有关，解题需多注意观察，发现其联系，加以应用, 故应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系．3.应用等差数列的性质要注意结合其通项公式、前n 项和公式．4.解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向、形成解题策略. 【触类旁通】【变式一】【2017届某某省某某市高三下第二次联考】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()355134a a -+=， ()388132a a -+=，则下列选项正确的是（ ）A. 1212S =， 58a a >B. 1224S =， 58a a >C. 1212S =， 58a a <D. 1224S =， 58a a < 【答案】A【解析】由()355134a a -+=， ()388132a a -+=可得：()()33558813(1)1,13(1)1a a a a -+-=-+-=-，构造函数3()f x x x =+，显然函数是奇函数且为增函数，所以5858(1)11(1)11f a f a a a -=>-=-⇒->-， 58a a >，又58(1)(1)0f a f a -+-=所以58(1)(1)a a -=--所以582a a +=，故112125812()6()122a a S a a +==+=【变式二】【”超级全能生”2018届高考全国卷26省9月联考乙卷】已知数列{}{},n n a b 满足1211,2,1a a b ===-，且对任意的正整数m,n,p,q ，当m n p q +=+时，都有m n p q a b a b -=-，则()2018112018i i i a b =∑-的值是__________． 【答案】2019【解析】由题意可得2112a b a b -=-， 22b =-， 3122,a b a b -=-得33a =，又11n n n n a b a b ++-=-，11110n n n n a b a b a b +++=+==+=，即,2n n n n n a b a b a =--=，原式可化为当m+n=p+q 时m n p q a a a a +=+，即{}n a 为等差列， n a n =， ()2018112018i i i a b =∑-=()20181122018i i a =∑=2019，填2019.考点3 等差数列的前n 项和公式的综合应用【3-1】【2017届某某省黄陵中学高三（重点班）模拟一】若数列{}n a 满足115a =且1332n n a a +=-，则使10k k a a +⋅<的k 的值为( )A. 21B. 22C. 23D. 24 【答案】C【3-2】【2017届某某某某市高三上基础测试】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知316a =，610a =，则公差d =；n S 为最大值时的n =．【答案】2d =-10n =或11【解析】63(63),10163,2a a d d d =+-∴=+∴=-，因为31(31)a a d =+-，1162(2)a ∴=+⨯-，120a ∴=，221n S n n ∴=-+，当212(1)n =-⨯-，由n ∈Z 得10n =或11时，n S 为最大值．【3-3】【2017届某某省池州市东至县高三12月联考】已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，给出下列五个命题：①0d <；②110S >；③120S <；④数列{}n S 中的最大项为11S ；⑤67a a >，其中正确命题的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B【领悟技法】求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：1.利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．当10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值；若已知n a ，则n S 最值时n 的值（n N +∈）则当10a >，0d <，满足100n n a a +≥⎧⎨≤⎩的项数n 使得n S 取最大值，(2)当10a <，0d >时，满足100n n a a +≤⎧⎨≥⎩的项数n 使得n S 取最小值.2.利用等差数列的前n 项和：2n S An Bn =+(,A B 为常数, n N ∈*)为二次函数，通过配方或借助图像，二次函数的性质，转化为二次函数的最值的方法求解；有时利用数列的单调性（0d >,递增；0d <，递减）；3. 利用数列中最大项和最小项的求法：求最大项的方法：设n a 为最大项，则有11n n nn a a a a -+≥⎧⎨≥⎩；求最小项的方法：设n a 为最小项，则有11n n n n a a a a -+≤⎧⎨≤⎩.只需将等差数列的前n 项和1,2,3,n =依次看成数列{}n S ，利用数列中最大项和最小项的求法即可.4.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用. 【触类旁通】【变式一】【2017某某卷6】已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【变式二】【2018届某某省某某市部分学校新高三起点调研】设等差数列{}n a 满足3736a a +=，46275a a =，且1n n a a +有最小值，则这个最小值为__________．【答案】-12【解析】因为数列{}n a 是等差数列，且3736a a +=，所以4636a a +=，4646275,,a a a a =∴是一元二次方程2362750t t -+=的二根，由2362750t t -+=得()()25110t t --=， 125t ∴=或211t =，当4625,11a a ==时， 6411257642a a d --===--， ()44753n a a n d n ∴=+-=-+，当10,0n n a a +><时， 1n n a a +取得最小值，由()7530{71530n n -+>-++<解得465377n <<， 7n ∴=时， 1n n a a +取得最小值，此时()781min 4,3,12n n a a a a +==-=-，当4611,25a a ==时， 6425117642a a d --===-， ()44717n a a n d n ∴=+-=-，当10,0n n a a +时， 1n n a a +取得最小值，由()7170{71170n n -<+->解得101777n <<， 2n ∴=时， 1n n a a +取得最小值，此时()231min 3,4,12n n a a a a +=-==-， 故答案为12-. 【易错试题常警惕】易错典例：在等差数列{}n a 中，已知a 1＝20，前n 项和为n S ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，n S 有最大值，并求出它的最大值．【错解一】 设公差为d ，∵S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142 d.得d ＝－53，a n ＝20－(n －1)·53.当a n ＞0时，20－(n －1)·53＞0，∴n＜13.∴n＝12时，S n 最大，S 12＝12×20＋12×112×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝130.当n ＝12时，S n 有最大值S 12＝130.【错解二】 由a 1＝20，S 10＝S 15，解得公差d ＝－53，令⎩⎪⎨⎪⎧20＋（n －1）⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＞0， ①20＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－53≤0， ② 由①得n ＜13，由②得n≥12，∴n＝12时，S n 有最大值S 12＝130.易错分析： 错解一中仅解不等式a n ＞0不能保证S n 最大，也可能a n ＋1＞0，应有a n ≥0且a n ＋1≤0. 错解二中仅解a n ＋1≤0也不能保证S n 最大，也可能a n ≤0，应保证a n ≥0才行． 正确解析： 解法一：∵a 1＝20，S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142 d.∴d＝－53. ∴a n ＝20＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－53n ＋653.∴a 13＝0.即当n≤12时，a n ＞0，n≥14时，a n ＜0.∴当n ＝12或13时，S n 取得最大值，且最大值为S 12＝S 13＝12×20＋12×112×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝130.解法二：同解法一，求得d ＝－53，∴S n ＝20n ＋n （n －1）2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－56n 2＋1256n＝－56⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2522＋3 12524.∵n∈N *，∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130.解法三：同解法一，求得d ＝－53，又由S 10＝S 15，得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0，∴5a 13＝0，即a 13＝0.又a 1＞0，∴a 1，a 2，…，a 12均为正数．而a 14及以后各项均为负数， ∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130.温馨提醒：1.解决等差数列前n 项和最值问题时一般利用通项不等式组法，即①当a 1＞0，d ＜0时，S n 最大⇔100n n a a +≥⎧⎨≤⎩；②当a 1＜0，d ＞0时，S n 最小⇔10n n a a +≤⎧⎨≥⎩.2.在关于正整数n 的二次函数中其取最值的点要根据正整数距离二次函数的对称轴的远近而定．3.等差数列的基本运算中，容易出现的问题主要有两个方面：一是忽视题中的条件限制，如公差与公比的符号、大小等，导致增解；二是不能灵活利用等差(比)数列的基本性质转化已知条件，导致列出的方程或方程组较为复杂，增大运算量．【学科素养提升之思想方法篇】----函数思想在数列求最值问题中的应用数列是特殊的函数关系，因此常利用函数的思想解决数列中最值问题 1．等差数列的前n 项和与函数的关系 等差数列的前n 项和公式为1(1)2n n n S na d -=+可变形为S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，令A ＝d 2，B ＝a 1－d 2，则S n ＝An 2＋Bn .当A ≠0，即d ≠0时，S n 是关于n 的二次函数，(n ，S n )在二次函数y ＝Ax 2＋Bx 的图象上，为抛物线y ＝Ax 2＋Bx 上一群孤立的点．利用此性质可解决前n 项和S n 的最值问题． 2．等差数列前n 项和的最值(1)若等差数列的首项a 1>0，公差d <0，则等差数列是递减数列，正数项有限，前n 项和有最大值，且满足⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0.(2)若等差数列的首项a 1<0，公差d >0，则等差数列是递增数列，负数项有限，前n 项和有最小值，且满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0.3．求等差数列前n 项和的最值的方法(1)二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n 项和的最值，但要注意n ∈N *. (2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n 的值，使S n 取得最值．(3)项的符号法：当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0的项数n ，使S n 取最大值；当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0的项数n ，使S n 取最小值，即正项变负项处最大，负项变正项处最小，若有零项，则使S n 取最值的n 有两个．【典例】【2018届某某省某某市五十五中开学考试】已知数列{}n a 是一个等差数列，且21a =，55a =-. （Ⅰ）求{}n a 的通项n a ；（Ⅱ）求{}n a 前n 项和n S 的最大值．【答案】（1）25n a n =-+；（2）n S 的最大值为4. 【解析】方得()224n S n =--+，根据二次函数图象及性质可知，当2n =时，前n 项和取得最大值，最大值为4.等差数列前n 项和22n S An Bn =+，因此可以看出二次函数或一次函数（0d =时）来求最值，考查数列与函数.试题解析：（1）525125252a a d ---===---， 所以()()()2212225n a a n d n n =+-=+-⨯-=-+； （2）13a =，()()213242n n n S n n n -=+⨯-=-+ 当2n =时，前n 项和取得最大值，最大值为4。

题组层级快练 6.2等差数列一、单项选择题1．(2021·河北辛集中学月考)已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若a 3＝6，S 3＝12，则公差d 等于()A ．1B.53C ．2D ．32．(2017·课标全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为()A ．1B ．2C ．4D ．83．(2021·南昌市一模)已知{a n }为等差数列，若a 2＝2a 3＋1，a 4＝2a 3＋7，则a 5＝()A ．1B ．2C ．3D ．64．(2020·西安四校联考)在等差数列{a n }中，a 2＝5，a 7＝3，在该数列中的任何两项之间插入一个数，使之仍为等差数列，则这个新等差数列的公差为()A ．－25B ．－45C ．－15D ．－355．(2020·安徽合肥二模)a 1＝1，a 4＝4，则a 10＝()A ．－45B ．－54C.413D.1346．(2021·合肥市一检)已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，a 5＋a 7－a 62＝0，则S 11的值为()A ．11B ．12C ．20D ．227．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12＝()A.310B.13C.18D.198．(2021·福建高三质检)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 7＋a 8＋a 13＝2π21，则tanS 14＝()A ．－33B.33C ．－3D.39．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝9，S 99－S 55＝－4，则S n 取最大值时的n 为()A ．4B ．5C ．6D ．4或510．(2021·沈阳二中模拟)《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．”这首歌诀的大意是：“一位老公公有九个儿子，九个儿子从大到小排列，相邻两人的年龄差三岁，并且儿子们的年龄之和为207岁，请问大儿子多少岁，其他几个儿子年龄如何推算．”在这个问题中，记这位公公的第n 个儿子的年龄为a n ，则a 3＝()A ．17B ．29C ．23D ．3511．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为()A ．13B ．12C ．11D ．10二、多项选择题12．已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，前n 项和为S n ，满足a 1＋5a 3＝S 8，下列选项正确的有()A ．a 10＝0B ．S 10最小C ．S 7＝S 12D ．S 20＝0三、填空题与解答题13．等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝3n －12n ＋3，则a 10b 10＝________．14．(2020·沈阳市模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 3＝a 5，a m ＝2019，则m ＝________．15．设数列{a n }的各项都为正数，其前n 项和为S n ，已知对任意n ∈N *，S n 是a n 2和a n 的等差中项．(1)证明：数列{a n }为等差数列；(2)若b n ＝－n ＋5，求{a n ·b n }的最大项的值并求出取最大值时n 的值．16．已知A n ＝{x|2n <x<2n ＋1且x ＝7m ＋1，m ，n ∈N }，则A 6中各元素的和为________．9个数构成一个首项为71，公差为7的等差数列．∴71＋78＋…＋127＝71×9＋9×82×7＝891.17．(2019·课标全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 9＝－a 5.(1)若a 3＝4，求{a n }的通项公式；(2)若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围．6.2等差数列参考答案1．答案C解析由已知得S 3＝3a 2＝12，即a 2＝4，∴d ＝a 3－a 2＝6－4＝2.2．答案C解析设等差数列{a n }的公差为d ，1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，1＋6×52d ＝48，1＝－2，＝4，故选C.3．答案B解析设数列{a n }的公差为d ，将题中两式相减可得2d ＝6，所以d ＝3，所以a 2＝2(a 2＋3)＋1，解得a 2＝－7，所以a 5＝a 2＋(5－2)d ＝－7＋9＝2.故选B.4．答案C解析∵{a n }的公差d ＝3－57－2＝－25，∴新等差数列的公差d×12＝－15.故选C.5．答案A解析由题意，得1a 1＝1，1a 4＝14，d ＝1a 4－1a 13＝－14，由此可得1a n＝1＋(n －1)＝－n 4＋54，因此1a 10＝－54，所以a 10＝－45.故选A.6．答案D解析方法一：设等差数列的公差为d(d ＞0)，则由(a 1＋4d)＋(a 1＋6d)－(a 1＋5d)2＝0，得(a 1＋5d)(a 1＋5d －2)＝0，所以a 1＋5d ＝0或a 1＋5d ＝2，又a 1＞0，所以a 1＋5d ＞0，则a 1＋5d ＝2，则S 11＝11a 1＋11×102d ＝11(a 1＋5d)＝11×2＝22.故选D.方法二：因为{a n }为正项等差数列，所以由等差数列的性质，并结合a 5＋a 7－a 62＝0，得2a 6－a 62＝0，a 6＝2，则S 11＝11（a 1＋a 11）2＝11×2a 62＝11a 6＝22.故选D.7．答案A解析令S 3＝1，则S 6＝3，∴S 9＝1＋2＋3＝6.S 12＝S 9＋4＝10，∴S 6S 12＝310.故选A.8．答案D 9．答案B解析由{a n }为等差数列，设公差为d ，有S 99－S55＝a 5－a 3＝2d ＝－4，即d ＝－2，又a 1＝9，所以a n ＝－2n＋11，由a n ＝－2n ＋11<0，得n>112，所以S n 取最大值时n 为5.故选B.10．答案B解析依题意{a n }为等差数列，且d ＝－3，S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9a 5＝207，∴a 5＝23，∴a 3＝a 5－2d ＝29.故选B.11．答案A解析因为a 1＋a 2＋a 3＝34，a n －2＋a n －1＋a n ＝146，所以a 1＋a 2＋a 3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝34＋146＝180.又因为a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2，所以3(a 1＋a n )＝180，从而a 1＋a n ＝60.所以S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n·602＝390，即n ＝13.12．答案AC解析根据题意，数列{a n }是等差数列，若a 1＋5a 3＝S 8，即a 1＋5a 1＋10d ＝8a 1＋28d ，变形可得a 1＝－9d ，又由a n ＝a 1＋(n －1)d ＝(n －10)d ，则有a 10＝0，故A 一定正确；不能确定a 1和d 的符号，不能确定S 10最小，故B 不正确；又由S n ＝na 1＋n （n －1）d 2＝－9nd ＋n （n －1）d 2＝d2×(n 2－19n)，则有S 7＝S 12，故C 一定正确；则S 20＝20a 1＋20×192d ＝－180d ＋190d ＝10d ，∵d ≠0，∴S 20≠0，则D 不正确．13．答案5641解析在等差数列中，S 19＝19a 10，T 19＝19b 10，因此a 10b 10＝S 19T 19＝3×19－12×19＋3＝5641.14．答案1010解析设公差为d ，由题知S 3＝a 5，即3a 1＋3d ＝a 1＋4d ，得d ＝2a 1，又a 1＝1，故d ＝2.于是a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，再由2m －1＝2019，得m ＝1010.15．答案(1)证明见解析(2)当n＝2或n＝3时，{a n·b n}的最大值为6解析(1)证明：由已知可得2S n＝a n2＋a n，且a n>0，当n＝1时，2a1＝a12＋a1，解得a1＝1.当n≥2时，有2S n－1＝a n－12＋a n－1，所以2a n＝2S n－2S n－1＝a n2－a n－12＋a n－a n－1，所以a n2－a n－12＝a n＋a n－1，即(a n＋a n－1)(a n－a n－1)＝a n＋a n－1，因为a n＋a n－1>0，所以a n－a n－1＝1(n≥2)．故数列{a n}是首项为1，公差为1的等差数列．(2)由(1)可知a n＝n，设c n＝a n·b n，则c n＝n(－n＋5)＝－n2＋5n＋254，因为n∈N*，所以n＝2或3，c2＝c3＝6，因此当n＝2或n＝3时，{a n·b n}取最大项，且最大项的值为6. 16．答案891解析∵A6＝{x|26<x<27且x＝7m＋1，m∈N}，∴A6的元素有9个：71，78，85，92，99，106，113，120，127，9个数构成一个首项为71，公差为7的等差数列．∴71＋78＋…＋127＝71×9＋9×82×7＝891.17．答案(1)a n＝10－2n(2){n|1≤n≤10，n∈N}解析(1)设{a n}的公差为d.由S9＝－a5得a1＋4d＝0.由a3＝4得a1＋2d＝4.于是a1＝8，d＝－2.因此{a n}的通项公式为a n＝10－2n.(2)由(1)得a1＝－4d，故a n＝(n－5)d，S n＝n（n－9）d2.由a1>0知d<0，故S n≥a n等价于n2－11n＋10≤0，解得1≤n≤10.所以n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N}．。

2017高考数学一轮复习 第六章 数列 6.2 等差数列及前n 项和课时练 理时间：60分钟基础组1.[2016·冀州中学猜题]已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，S 11＝992，则a 12的值是( )A ．15B ．30C ．31D ．64 答案 A解析 由题意可知2a 8＝a 7＋a 9＝16⇒a 8＝8，S 11＝a 1＋a 112＝11×2a 62＝11a 6＝992，a 6＝92，则d ＝a 8－a 62＝74，所以a 12＝a 8＋4d ＝15，故选A.2．[2016·武邑中学仿真]已知S n 表示数列{a n }的前n 项和，若对任意的n ∈N *满足a n ＋1＝a n ＋a 2，且a 3＝2，则S 2014＝( )A ．1006×2013 B．1006×2014 C ．1007×2013 D．1007×2014 答案 C解析 在a n ＋1＝a n ＋a 2中，令n ＝1，则a 2＝a 1＋a 2，a 1＝0，令n ＝2，则a 3＝2＝2a 2，a 2＝1，于是a n ＋1－a n ＝1，故数列{a n }是首项为0，公差为1的等差数列，S 2014＝2014×20132＝1007×2013.故选C. 3．[2016·冀州中学期末]在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，则该数列的通项为( )A ．a n ＝1nB ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝2n ＋2D ．a n ＝3n答案 A解析 由已知式2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2可得1a n ＋1－1a n ＝1a n ＋2－1a n ＋1，知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝1，公差为1a 2－1a 1＝2－1＝1的等差数列，所以1a n ＝n ，即a n ＝1n.4．[2016·衡水中学预测]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9＝( )A ．63B ．45C ．36D ．27 答案 B解析 S 3＝9，S 6－S 3＝36－9＝27，根据S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列，S 9－S 6＝45，S 9－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＝45，故选B.5．[2016·衡水二中期中]已知等差数列{a n }中，前四项和为60，最后四项和为260，且S n ＝520，则a 7＝( )A ．20B ．40C ．60D ．80 答案 B解析 前四项的和是60，后四项的和是260，若有偶数项，则中间两项的和是(60＋260)÷4＝80.S n ＝520,520÷80不能整除，说明没有偶数项，有奇数项，则中间项是(60＋260)÷8＝40.所以共有520÷40＝13项，因此a 7是中间项，所以a 7＝40.6．[2016·枣强中学模拟]已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S 2＝4，则S 6S 4＝( ) A.94 B.32 C.53 D ．4 答案 A解析 由S 4S 2＝4，可设S 2＝x ，S 4＝4x . ∵S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列， ∴2(S 4－S 2)＝S 2＋(S 6－S 4)．则S 6＝3S 4－3S 2＝12x －3x ＝9x ，因此，S 6S 4＝9x 4x ＝94. 7．[2016·衡水二中热身]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－3，a k ＋1＝32，S k ＝－12，则正整数k ＝________.答案 13解析 由S k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝－12＋32＝－212，又S k ＋1＝k ＋a 1＋a k ＋12＝k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋322＝－212，解得k ＝13.8.[2016·武邑中学期末]设正项数列{a n }的前n 项和是S n ，若{a n }和{S n }都是等差数列，且公差相等，则a 1＝________.答案 14解析 设等差数列{a n }的公差为d ， 则S n ＝d2n 2＋(a 1－d2)n ，。