广东省广州市2013届高三毕业班综合测试数学理试题(一)2013广州一模 Word版含答案

广东省11大市2013届高三数学（理）一模试题分类汇编立体几何一、填空、选择题1、（广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一））某空间几何体的三视图及尺寸如图1，则该几何体的体积是A ．2B ．C. 23D. 13答案： A 2、（江门市2013届高三2月高考模拟）右图是某个四面体的三视图，该四面体的体积为 A ．72 B ．36 C ．24 D ．12 答案：D3、（揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟）一简单组合体的三视图及尺寸如图(1)示（单位: cm ） 则该组合体的体积为．A. 720003cmB. 640003cmC. 560003cmD. 440003cm答案：由三视图知，该组合体由两个直棱柱组合而成，故其体积360401020405064000()V cm =⨯⨯+⨯⨯=，故选B. 4、（梅州市2013届高三3月总复习质检）如图是一个几何体的三视图，若它的体积是33，则a ＝A 、2B 、22C 、3D 、32答案：C图1俯视图正视图221125、（汕头市2013届高三3月教学质量测评）设O是空间一点，a,b,c是空间三条直线，,αβ是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是（）A. 当a∩b＝O且a⊂α，b⊂α时，若c⊥a，c⊥b，则c⊥αB. 当a∩b＝O且a⊂α，b⊂α时，若a∥β，b∥β，则α∥βC. 当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥βD. 当b⊂α时，且cα⊄时，若c∥α，则b∥c答案：C6、（韶关市2013届高三调研考试）某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的数据，可得这个几何体的表面积为（）A、4＋43B、4＋45C、83D、12答案：B7、（深圳市2013届高三2月第一次调研考试）图1 是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积、体积分别是A．12832,3ππ B．3216,3ππ C．1612,3ππ D．168,3ππ学科网答案：C【解析】该几何体为平放的半球，所以223 42216=+2=12=2=.233 S Vπππππ⨯⨯⨯⨯表球，8、（肇庆市2013届高三3月第一次模拟考试）已知三棱锥的底面是边长为的正三角形，其正视图与俯视图如图2所示，则其侧视图的面积为A．64B．62C．22D．2答案：A9、（佛山市2013届高三教学质量检测（一））一个直棱柱被一个平面截 去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ．9B ．10C ．11D ．232答案：C 10、（茂名市2013届高三第一次高考模拟考试）若某一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方 形，且其体积为12，则该几何体的俯视图可以是( )答案：C11、（湛江市2013届高三高考测试（一））某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积为3，则正视图中的x ＝＿＿＿＿ 答案：3二、解答题1、（广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一））如图4，在三棱柱111ABC A B C -中，△ABC 是边长为2的等边三角形，1AA ⊥平面ABC ，D ，E 分别是1CC ，AB 的中点.（1）求证：CE ∥平面1A BD ；（2）若H 为1A B 上的动点，当CH 与平面1A AB 所成最大角的正切值为152时，求平面1A BD 与平面ABC 所成二面角（锐角）的余弦值.解法一：2 21 31 正视图侧视图俯视图第4题图图4ABC A 1C 1B 1D E（1）证明：延长1A D 交AC 的延长线于点F ，连接BF .∵CD ∥1AA ，且CD 12=1AA ，∴C 为AF 的中点. ……………2分 ∵E 为AB 的中点，∴CE ∥BF . ……………3分∵BF ⊂平面1A BD ，CE ⊄平面1A BD ，∴CE ∥平面1A BD . ……………4分 （2）解：∵1AA ⊥平面ABC ，CE ⊂平面ABC ，∴1AA ⊥CE . ……………5分 ∵△ABC 是边长为2的等边三角形，E 是AB 的中点， ∴CE AB ⊥，CE AB == ∵AB ⊂平面1A AB ，1AA ⊂平面1A AB ，1ABAA A =，∴CE ⊥平面1A AB . ……………6分 ∴EHC ∠为CH 与平面1A AB 所成的角. ……………7分∵CE =，在Rt △CEH 中，tan CE EHC EH ∠==， ∴当EH 最短时，tan EHC ∠的值最大，则EHC ∠最大.……………8分 ∴当1EH A B ⊥时，EHC ∠最大. 此时，tan CE EHC EH ∠===.∴EH =. ……………9分 ∵CE ∥BF ，CE ⊥平面1A AB ，∴BF ⊥平面1A AB . ……………10分 ∵AB ⊂平面1A AB ，1A B ⊂平面1A AB ，H FABCA 1C 1B 1DE∴BF ⊥AB ，BF ⊥1A B . ……………11分 ∴1ABA ∠为平面1A BD 与平面ABC 所成二面角（锐角）. …………12分在Rt △EHB中，BH ==，cos 1ABA∠BH EB ==…13分∴平面1A BD 与平面ABC…………14分 解法二：（1）证明：取1A B 的中点F ，连接DF 、EF .∵E 为AB 的中点，∴EF ∥1AA ，且112EF AA =. ……………1分 ∵CD ∥1AA ，且CD 12=1AA ， ∴EF ∥CD ，EF =CD . ……………2分 ∴四边形EFDC 是平行四边形.∴CE ∥DF . ……………3分 ∵DF ⊂平面1A BD ，CE ⊄平面1A BD ， ∴CE ∥平面1A BD . ……………4分 （2）解：∵1AA ⊥平面ABC ，CE ⊂平面ABC ，∴1AA ⊥CE . ……………5分 ∵△ABC 是边长为2的等边三角形，E 是AB 的中点， ∴CE AB ⊥，CE AB == ∵AB ⊂平面1A AB ，1AA ⊂平面1A AB ，1ABAA A =，∴CE ⊥平面1A AB . ……………6分 ∴EHC ∠为CH 与平面1A AB 所成的角. ……………7分∵CE =，z y xH ABCA 1C 1B 1DE F在Rt △CEH 中，tan CE EHC EH ∠==， ∴当EH 最短时，tan EHC ∠的值最大，则EHC ∠最大. ……………8分 ∴当1EH A B ⊥时，EHC ∠最大. 此时，tan CE EHC EH ∠===.∴EH =. ……………9分 在Rt △EHB中，BH ==∵Rt △EHB ～Rt △1A AB ，∴1EH BHAA AB ==. ∴14AA =. ……………10分以A 为原点，与AC 垂直的直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴，1AA 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -.则000A ，1A 004，B 10，D 022. ∴1AA =004，1A B=14，1A D =022.设平面A BD 1的法向量为n ()x y z ,,，由n 10A B ，n 10A D，得340220x y z yz.令1y ，则13zx .∴平面A BD 1的一个法向量为n 11. …………12分∵1AA ⊥平面ABC ， ∴1AA 004是平面ABC 的一个法向量.DABC E F G••∴cos 111,⋅==n AA n AA n AA . ……………13分 ∴平面1A BD 与平面ABC …………14分 2、（江门市2013届高三2月高考模拟）如图，直角梯形ABCD 中，CD AB //，BC AB ⊥，1=AB ，2=BC ，21+=CD ，过A 作CD AE ⊥，垂足为E 。

广东省11大市2013年高三数学（理）一模试题分类汇编 复数 1、（广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一））已知，其中是实数，i是虚数单位，则i A．i B．i C．i D．i 答案：B 2、（江门市2013届高三2月高考模拟）在复平面内，是原点，向量对应的复数是（其中，是虚数单位），如果点关于实轴的对称点为点，则向量对应的复数是 A．B．C．D． 在复平面内对应的点分别为，则 A．．．．对应的点在A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限 答案：A 5、（汕头市2013届高三3月教学质量测评）设x，yR，则“x＝0”是“复数x+yi为纯虚数”的（　） A充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：B 6、（韶关市2013届高三调研考试）已知i为虚数单位，则＝（ ）A、－iB、－1C、iD、1 答案：C 7、（深圳市2013届高三2月第一次调研考试）已知是虚数单位，则复数 A． B． C． D． 答案：C 8、（佛山市2013届高三教学质量检测（一））设为虚数单位，则复数等于 A． B． C． D． 答案：A 9、（茂名市2013届高三第一次高考模拟考试）计算：( ) A．-2 B．2 C．2i D．-2i 答案：A 10、（湛江市2013届高三高考测试（一））复数z满足z＋1＝2＋i（i为虚数单位），则z（1－i）＝A、2B、0C、1＋iD、i 答案：A 11、（肇庆市2013届高三3月第一次模拟考试）设（是虚数单位），则A． B． C． D．。

试卷类型：A 2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科综合2013. 3 本试卷共12页，36小题，满分300分。

考试用时150分钟。

注意事项：1. 答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号。

用黑色字迹的钢笔或签.字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型（A)填涂在答题卡相应位置上。

2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4. 考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

5. 本卷所用相对原子质量：H-1、C-12、0-16、S-32、Cu-64一、单项选择题：本题包括16小题，每小题4分，共64分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，选对的得4分，选错或不答的得0分。

1.下列关于生物膜系统的叙述，正确的是A. 原核细胞无核膜及细胞器膜因而不具生物膜B. 细胞膜功能的复杂程度取决于憐脂的种类和数量C. 内质网膜为多种酶提供了大量的附着位点D. 有丝分裂过程中核膜随着丝点的分裂而消失2-眼虫属于原生动物（其眼点能感光），如右图所示。

对其分析恰当的是A. 眼虫的细胞质中不含RNAB. 眼虫具有趋光性，因其眼点能感受化学信息C. 眼虫鞭毛摆动所需的ATP来自叶绿体D. 眼虫的伸缩泡有助于提高物质运输的效率3.人食用被诺如病毒（NV)污染的食物会导致呕吐与腹泻，而NV极易变异，下列推断不合理的是A. 酸能杀死部分NV属于特异性免疫B. NV极易变异，人类很难研究相应的疫苗C. 人体有多种抗NV的抗体，可能是因为NV表面存在多种抗原蛋白D. 特异性的效应T细胞能促使被NV入侵的靶细胞裂解4. 有关育种的说法，正确的是A. 多倍体育种过程都要使用秋水仙素B. 利用基因工程技术可定向培育优良品种C. 用于大田生产的优良品种都是纯合子D 杂交育种与单倍体育种的原理都是基因重组5 下列对实验的分析，正确的是A-用洋葱鳞片叶内表皮细胞能观察到质壁分离现象B. 斐林试剂能与蔗糖反应产生砖红色沉淀C. 加人无水乙醇越多，叶绿体色素提取液的绿色越深D. 观察洋葱根尖分生区细胞有丝分裂可用健那绿染色6. 下列关于“转化”的说法不正确的是A. ATP水解释放的能量可转化成光能、电能等B. 细胞内多个基因发生突变，细胞就转化成癌细胞C. 在含适量DNA酶和S型菌DNA的培养基中，R型菌不能转化为S型菌D. 目的基因导入受体细胞，并在细胞内维持稳定和表达的过程称为转化7. 在水溶液中能大量共存的一组离子是A. Al3+、Na+、HCO3－、SO42－B. H+、Fe2+、ClO-、Cl－C. Mg2+、K+、SO42-、NO3-D. NH4+ Ag+、OH-、Br-8. 下列说法正确的是A. 食盐、醋酸和蔗糖都是电解质B. 纤维素、淀粉和蛋白质都是高分子化合物C. 甲烷和乙烯均可使酸性KMnO4溶液褪色D. 乙酸乙酯和植物油均可水解生成乙醇9. 下列实验不能达到目的的是A. 用AlCl3溶液和过量氨水制备Al(OH)3B. 用NH4Cl和Ca( 0H) 2固体混合加热制备NH3C. 用NaOH溶液除去苯中的溴D. 用足量铜粉除去FeCl2溶液中的FeCl3杂质10. 设n A为阿伏加德罗常数的数值，下列说法正确的是A. 16g CH4含有10n A个电子B. 常温常压下，22. 4L Cl2含有2n A个Cl原子C. 1 mol Cu与足量稀HNO3反应，转移3n A个电子D. 1L O.1 mol.L-1 Na2SO3溶液中含有 O. 1n A个S032_11. 下列陈述I、II正确并且有因果关系的是选陈述I陈述IIA浓H2SO4有吸水性浓H2SO4可用于干燥氨气B SO2有氧化性SO2尾气可用NaOH溶液吸收C Mg有还原性电解MgCl2饱和溶液可制备Mg D锌金属活动性比铁强海轮外壳上装锌块可减缓腐蚀12. 对于常温下pH= 3的乙酸溶液，下列说法正确的是A. C(H+)= c(CH3COO-) + c(OH-)B.加水稀释到原体积的10倍后溶液pH变为4C. 加入少量乙酸钠固体，溶液pH降低D. 与等体积pH= 11的NaOH溶液混合后所得溶液中：c(Na+) =c(CH3COO- )13. 水压机是利用液体来传递压强的。

试卷类型：A2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）2013.3本试卷共4页，21小题， 满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：如果事件A B ,相互独立,那么()()()P A BP A P B ⋅=⋅.线性回归方程y bx a =+中系数计算公式121ni i i ni i x x y y b a y bx x x ()(),()==--∑==--∑，其中y x ,表示样本均值.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集{}123456U ,,,,,=，集合{}135A ,,=，{}24B ,=，则A ．U AB = B ．U =()U A ðBC ．U A =()U B ðD ．U=()U A ð()UB ð【答案】D【解析】由{}2,4,6U C A =，{}1,3,5U C B =，则()()U U U C A C B =。

2. 已知11abi i=+-，其中a b ,是实数，i 是虚数单位，则a b +i =图1俯视图侧视图正视图A ．12+iB ．2+iC ．2-iD ．12-i 【答案】B 【解析】由11a bi i =+-，即122a ai bi +=+，得2a =，1b =。

广东省10大市2013届高三数学（文）一模试题分类汇编推理与证明、定义新概念型1、（广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一））已知经过同一点的n n (∈N 3n *,)≥个平面，任意三个平面不经过同一条直线.若这n 个平面将空间分成()fn 个部分，则()3f= ，()fn = .答案：8，22n n -+2、（江门市2013届高三2月高考模拟）观察下列各式：24152=-，48172=-，1201112=-，1681132=-……，所得结果都是24的倍数。

依此类推：*∈∀N n ，是24的倍数．（本题填写一个适当的关于n 的代数式即可） 答案：1)16(2--n 、1)16(2-+n 或其他等价代数式3、（揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟）给出下列等式：22cos4π=，222cos8π+=，2222cos16π++=，……请从中归纳出第n 个等式：22...22=n +++14444444244444443个 ．答案：12cos2n π+4、（佛山市2013届高三教学质量检测（一））．观察下列不等式：①112<；②11226+<；③11132612++<；… 则第5个不等式为 ． 答案：11111526122030++++<5、（广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一）） 设函数()fx 的定义域为D ，如果x D y D ,∀∈∃∈，使()()2fx fy C C (+=为常数成立，则称函数()fx 在D 上的均值为C . 给出下列四个函数：①3yx =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③y x ln =；④21y x sin =+, 则满足在其定义域上均值为的函数的个数是A ．B ．2C ．3D ．4 答案：C6、梅州市2013届高三3月总复习质检）设f （x ）与g （x ）是定义在同一区间［a ，b ］上的两个函数，若函数y ＝f （x ）－g （x ）在x ∈［a ，b ］上有两个不同的零点，则称f （x ）和g （x ）在［a ，b ］上是“关联函数”，区间［a ，b ］称为“关联区间”，若f （x ）＝x 2－3x ＋4与g （x ）＝2x ＋m 在［0,3］上是产“关联函数”，则m 的取值范围为A 、(,2)-∞-B 、［－1,0］C 、9(,2]4-- D 、9(,)4-+∞答案：C7、（肇庆市2013届高三3月第一次模拟）设集合{}012345,,,,,M A A A A A A =，在M 上定义运算“⊗”为：i j k A A A ⊗=，其中k 为i j +被4除的余数，,0,1,2,3,4,5i j =．则满足关系式20()a a A A ⊗⊗=的()a a M ∈的个数为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案：B。

2013年普通高等学校招生全国统一考试【广东卷】数学【理科】逐题详解参考公式:台体的体积公式()1213V S S h =+,其中12,S S 分别是台体的上、下底面积,h 表示台体的高.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1、设集合{}2|20,M x x x x =+=∈R ,{}2|20,N x x x x =-=∈R ,则M N = ( )A . {}0B 、{}0,2C 、{}2,0-D 、{}2,0,2-2、定义域为R 的四个函数3y x =,2x y =,21y x =+,2sin y x =中,奇函数的个数是( )A . 4B 、3C 、2D 、13、若复数z 满足24iz i =+,则在复平面内,z 对应的点的坐标是( )A . ()2,4B 、()2,4-C 、()4,2-D 、()4,24、已知离散型随机变量X 的分布列为X 12 3 P35310 110则X 的数学期望EX = ( )A .32 B 、2 C 、52D 、3 5、某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ( )A . 4B 、143C 、163D 、66、设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )A . 若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥B 、若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m nC 、若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥D 、若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥7、已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是 A .2214x = B 、22145x y -= C 、22125x y -= D、2212x = 8、设整数4n ≥,集合{}1,2,3,,X n = .令集合(){},,|,,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中,则下列选项正确的是( )A . (),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉B 、(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈俯视侧视第5题图.AED CBO第15题图1 7 92 0 1 53 0第17题图C 、(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈D 、(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30(一)必做题(9～13题)9、不等式220x x +-<的解集为___________、10、若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴,则k =______. 11、执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为4,则输出s 的值为______. 12. 在等差数列{}n a 中,已知3810a a +=,则573a a +=_____.13. 给定区域D :4440x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,令点集()()000000{,|,,,T x y D x y Z x y =∈∈是z x y =+在D 上取得最大值或最小值的点},则T 中的点共确定______ 条不同的直线.【二】选做题【14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分】14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线C 的参数方程为x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),C在点()1,1处的切线为l ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l 的极坐标方程为_____________.15. (几何证明选讲选做题)如图,AB 是圆O的直径,点C 在圆O 上, 延长BC 到D 使BC CD =,过C 作圆O 的切线交AD 于E .若6AB =,2ED =,则BC =_________.三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 16、【本小题满分12分】已知函数()12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x ∈R .(Ⅰ) 求6f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值； (Ⅱ) 若3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭、17、【本小题满分12分】某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.(Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值；(Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人；(Ⅲ) 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀 工人的概率.18、【本小题满分14分】如图1,在等腰直角三角形ABC 中,90A ∠=︒,6BC =,,D E 分别是,AC AB 上的点,CD BE =O 为BC 的中点.将ADE ∆沿DE 折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-,其中A O '=(Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ；(Ⅱ) 求二面角A CD B '--的平面角的余弦值.19、【本小题满分14分】设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N . (Ⅰ) 求2a 的值；(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式； (Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有1211174n a a a +++< . 20、【本小题满分14分】已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=的距离为2.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点. (Ⅰ) 求抛物线C 的方程；(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程； (Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值. .CO BD EA CDOB'A图1图221、【本小题满分14分】设函数()()21xf x x e kx =--(其中k ∈R ).(Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ) 当1,12k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M .CD OBE'AH2013年普通高等学校招生全国统一考试【广东卷】数学【理科】参考答案一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.DC CA B D BB二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分9. ()2,1- 10. 1k =- 11. 7 12.20 13. 614.sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 15. 三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16、【本小题满分12分】【解析】(Ⅰ)1661244f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；(Ⅱ) 222cos 2sin 233124f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以4sin 5θ=-, 所以24sin 22sin cos 25θθθ==-,227cos 2cos sin 25θθθ=-=-所以23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos 2sin 2θθ=-72417252525⎛⎫=---= ⎪⎝⎭. 17、【本小题满分12分】【解析】(Ⅰ) 样本均值为1719202125301322266+++++==；(Ⅱ) 由(Ⅰ)知样本中优秀工人占的比例为2163=,故推断该车间12名工人中有11243⨯=名优秀工人.(Ⅲ) 设事件A :从该车间12名工人中,任取2人,恰有1名优秀工人,则()P A =1148212C C C 1633=.18、【本小题满分14分】【解析】(Ⅰ) 在图1中,易得3,OC AC AD ===连结,OD OE ,在OCD ∆中,由余弦定理可得OD 由翻折不变性可知A D '=,所以222A O OD A D ''+=,所以A O OD '⊥,理可证A O OE '⊥, 又OD OE O = ,所以A O '⊥平面BCDE . (Ⅱ) 传统法:过O 作OH CD ⊥交CD 的延长线于H ,连结A H ', 因为A O '⊥平面BCDE ,所以A H CD '⊥, 所以A HO '∠为二面角A CD B '--的平面角. 结合图1可知,H 为AC 中点,故2OH =,从而2A H '==所以cos OH A HO A H '∠==',所以二面角A CD B '--向量法:以O 点为原点,建立空间直角坐标系O xyz -则(A ',()0,3,0C -,()1,2,0D -所以(CA '= ,(1,DA '=-设(),,n x y z = 为平面A CD '的法向量,则 00n CA n DA ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩,即3020y x y ⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩,解得y xz =-⎧⎪⎨=⎪⎩,令1x =,得(1,n =- 由(Ⅰ) 知,(OA '=为平面CDB 的一个法向量,所以cos ,n OA n OA n OA '⋅'='即二面角A CD B '--19、【本小题满分14分】【解析】(Ⅰ) 依题意,12122133S a =---,又111S a ==,所以24a =； (Ⅱ) 当2n ≥时,32112233n n S na n n n +=---,()()()()321122111133n n S n a n n n -=-------两式相减得()()()2112213312133n n n a na n a n n n +=----+---整理得()()111n n n a na n n ++=-+,即111n n a a n n +-=+,又21121a a-=故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =,公差为1的等差数列,所以()111na n n n=+-⨯=,所以2n a n =.(Ⅲ) 当1n =时,11714a =<；当2n =时,12111571444a a +=+=<； 当3n ≥时,()21111111n a n n n n n=<=---,此时 222121111111111111111434423341n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭11171714244n n =++-=-< 综上,对一切正整数n ,有1211174n a a a +++< . 20、【本小题满分14分】【解析】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为24x cy =,2=结合0c >, 解得1c =. 所以抛物线C 的方程为24x y =.(Ⅱ) 抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,求导得12y x '= 设()11,A x y ,()22,B x y (其中221212,44x x y y ==),则切线,P A P B 的斜率分别为112x ,212x , 所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-,即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --= 同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ,所以1001220x x y y --=,2002220x x y y --= 所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解. 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=.(Ⅲ) 由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+, 所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立方程0022204x x y y x y--=⎧⎨=⎩,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2120y y y =所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+又点()00,P x y 在直线l 上,所以002x y =+,所以22220000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭所以当012y =-时, AF BF ⋅取得最小值,且最小值为92. 21、【本小题满分14分】【解析】(Ⅰ) 当1k =时,()()21x f x x e x =--,()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=-令()0f x '=,得10x =,2ln 2x = 当x 变化时,()(),f x f x '的变化如下表:右表可知,函数f x 的递减区间为0,ln 2,递增区间为,0-∞,ln 2,+∞.(Ⅱ)()()()1222x x x xf x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-,令()0f x '=,得10x =,()2ln 2x k =,令()()ln 2g k k k =-,则()1110k g k k k -'=-=>,所以()g k 在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上递增,所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<,从而()ln 2k k <,所以()[]ln 20,k k ∈ 所以当()()0,ln 2x k ∈时,()0f x '<；当()()ln 2,x k ∈+∞时,()0f x '>；所以()(){}(){}3max 0,max 1,1k M f f k k e k ==---令()()311k h k k e k =--+,则()()3kh k k ek '=-,令()3kk e k ϕ=-,则()330kk e e ϕ'=-<-<所以()k ϕ在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减,而()()1313022e ϕϕ⎛⎫⎫⋅=-< ⎪⎪⎝⎭⎭ 所以存在01,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦使得()00x ϕ=,且当01,2k x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0k ϕ>,当()0,1k x ∈时,()0k ϕ<, 所以()k ϕ在01,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在()0,1x 上单调递减. 因为17028h ⎛⎫=> ⎪⎝⎭,()10h =, 所以()0h k ≥在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上恒成立,当且仅当1k =时取得“=”.综上,函数()f x 在[]0,k 上的最大值()31kM k e k =--.。

广东省11大市2013届高三数学（理）一模试题分类汇编统计 一、填空、选择题1、（广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一））．某工厂的某种型号的机器的使用年限x 和所支出的维修费用y (万元)有下表的统计资料：根据上表可得回归方程ˆˆ1.23yx a =+，据此模型估计，该型号机器使用年限为10年时维修费用约 万元（结果保留两位小数）．答案：12.382、（江门市2013届高三2月高考模拟）采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，1000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8．抽到的50人中，编号落入区间[1，400]的人做问卷A ，编号落入区间[401，750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C ．则抽到的人中，做问卷C 的人数为 A ．12 B ．13 C ．14 D ．15答案：A3、（揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟）一般来说，一个人脚掌越长，他的身高就越高，现对10名成年人的脚掌长x 与身高y 进行测量，得到数据（单位均为cm ）如上表，作出散点图后，发现散点在一条直线附近，经计算得到一些数据：101()()577.5iii x x y y =--=∑，1021()82.5ii x x =-=∑；某刑侦人员在某案发现场发现一对裸脚印，量得每个脚印长为26.5cm ，则估计案发嫌疑人的身高为 cm ．答案：回归方程的斜率1011021()()577.5782.5()iii ii x x y y b x x ==--===-∑∑，24.5x =，171.5y =，截距0a y bx =-=，即回归方程为7y x ∧=，当26.5x =，185.5y ∧=，4、（梅州市2013届高三3月总复习质检）在2012年8月15日那天，某物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量价格进行调查，5家商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：由散点图可知，销售量y 与价格x 之间有较强的线性相关关系，其线性回归直线方程是：3.240y x =-+，且m ＋n ＝20，则其中的n ＝＿＿＿＿答案：105、（汕头市2013届高三3月教学质量测评）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查为此将他们随机编号为1，2 ...960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入 区间[1,450]的人做问卷A ，编号落人区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C.则 抽到的人中，做问卷C 的人数为（ ）A. 15B. 10C. 9D. 7 答案：D6、（深圳市2013届高三2月第一次调研考试）容量为60的样本的频率分布直方图共有()1n n >个小矩形，若其中一个小矩形的面积等于其余1n -个小矩形面积和的15，则这个小矩形对应的频数是 ______。

广东省11大市2013年高三数学（理）一模试题分类汇编 立体几何 一、填空、选择题 1、（广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一））某空间几何体的三视图及尺寸如图1，则该几何体的体积是 A． B． C. D. 答案：A 2、（江门市2013届高三2月高考模拟）右图是某个四面体的三视图，该四面体的体积为 A．B．C．D．3、（揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟）一简单组合体的三视图及尺寸如图(1)示（单位: ） 则该组合体的体积为．A. 72000B. 64000C. 56000D. 44000 答案：由三视图知，该组合体由两个直棱柱组合而成，故其体积，故选B. 4、（梅州市2013届高三3月总复习质检）如图是一个几何体的三视图，若它的体积是3，则a＝ A、 B、 C、 D、 答案：C 5、（汕头市2013届高三3月教学质量测评）设O是空间一点，a,b,c是空间三条直线，是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是（　） A. 当a∩b＝O且a，b时，若c⊥a，c⊥b，则c⊥ B. 当a∩b＝O且a，b时，若a∥，b∥，则∥ C. 当b时，若b⊥，则⊥ D. 当b时，且c时，若c∥，则b∥c 答案：C 6、（韶关市2013届高三调研考试）某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的数据，可得这个几何体的表面积为（ ）A、4＋4B、4＋4C、D、12 答案：B 7、（深圳市2013届高三2月第一次调研考试）图1 是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积、体积分别是 A． B． C． D． 答案：C 【解析】该几何体为平放的半球， 所以 8、（肇庆市2013届高三3月第一次模拟考试）已知三棱锥的底面是边长为的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为 A． B．C． D． 答案：C 10、（茂名市2013届高三第一次高考模拟考试）若某一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方 形，且其体积为，则该几何体的俯视图可以是( ) 答案：C 11、（湛江市2013届高三高考测试（一））某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积为3，则正视图中的x＝＿＿＿＿ 答案：3 二、解答题 1、（广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一））如图4，在三棱柱中，△是边长为的等边三角形， 平面，，分别是，的中点. （1）求证：∥平面； （2）若为上的动点，当与平面所成最大角的正切值为时， 求平面 与平面所成二面角（锐角）的余弦值. 解法一： （1）证明：延长交的延长线于点，连接. ∵∥，且， ∴为的中点. ……………2分 ∵为的中点， ∴∥. ……………3分 ∵平面，平面， ∴∥平面. ……………4分 （2）解：∵平面，平面， ∴. ……………5分 ∵△是边长为的等边三角形，是的中点， ∴，. ∵平面，平面，， ∴平面. ……………6分 ∴为与平面所成的角. ……………7分 ∵， 在Rt△中，， ∴当最短时，的值最大，则最大.……………8分 ∴当时，最大. 此时，. ∴. ……………9分 ∵∥，平面， ∴平面. ……………10分 ∵平面，平面， ∴，. ……………11分 ∴为平面 与平面所成二面角（锐角）. …………12分 在Rt△中，，.…13分 ∴平面 与平面所成二面角（锐角）的余弦值为.…………14分 解法二： （1）证明：取的中点，连接、. ∵为的中点， ∴∥，且. ……………1分 ∵∥，且， ∴∥，. ……………2分 ∴四边形是平行四边形. ∴∥. ……………3分 ∵平面，平面， ∴∥平面. ……………4分 （2）解：∵平面，平面， ∴. ……………5分 ∵△是边长为的等边三角形，是的中点， ∴，. ∵平面，平面，， ∴平面. ……………6分 ∴为与平面所成的角. ……………7分 ∵， 在Rt△中，， ∴当最短时，的值最大，则最大. ……………8分 ∴当时，最大. 此时，. ∴. ……………9分 在Rt△中，. ∵Rt△～Rt△， ∴，即. ∴. ……………10分 以为原点，与垂直的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系. 则，，，. ∴，，. 设平面的法向量为， 由，， 得 令，则. ∴平面的一个法向量为. …………12分 ∵平面， ∴是平面的一个法向量. ∴. ……………13分 ∴平面 与平面所成二面角（锐角）的余弦值为. …………14分 2、（江门市2013届高三2月高考模拟）如图，直角梯形中，，，，，，过作，垂足为。

12013年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）本试卷共4页，21小题， 满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：线性回归方程y bx a=+中系数计算公式121ni i i ni i x x y y b a y bx x x ()(),()==--∑==--∑，其中y x ,表示样本均值.锥体的体积公式是13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知i 是虚数单位，则复数1-2i 的虚部为A ．2B ．1C ．1-D ．2- 2．设全集{}123456U ,,,,,=，集合{}135A ,,=，{}24B ,=，则A ．U AB = B ．U =()U A BC ．U A=()U B D ．U =()U A ()U B3．直线3490x y +-=与圆()2211x y -+=的位置关系是A ．相离B ．相切C ．直线与圆相交且过圆心D ．直线与圆相交但不过圆心 4．若函数()y fx =是函数2x y=的反函数，则()2f 的值是A ．4B ．2C ．1D ．0 5．已知平面向量a ()2m =-,，b (1=，且()-⊥a b b ，则实数m 的值为2图1俯视图A．-．．．6．已知变量x y ,满足约束条件21110x y x y y ,,.⎧+≥⎪-≤⎨⎪-≤⎩则2z x y =-的最大值为A ．3-B ．0C ．1D ．3 7. 某空间几何体的三视图及尺寸如图1，则该几何体的体积是A ．2B. 1C.23D.138. 已知函数()2fx x sin =，为了得到函数()22g x x x sin cos =+的图象，只要将()y fx =的图象A ．向右平移4π个单位长度 B ．向左平移4π个单位长度 C ．向右平移8π个单位长度 D ．向左平移8π个单位长度 9．“2m <”是“一元二次不等式210x mx ++>的解集为R ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 10．设函数()fx 的定义域为D ，如果x D y D ,∀∈∃∈，使()()2f x fy C C (+= 为常数)成立，则称函数()fx 在D 上的均值为C . 给出下列四个函数：①3yx =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③y x ln =；④21y x sin =+, 则满足在其定义域上均值为1的函数的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题） 11．函数()()1f x x ln =+-的定义域是12．某工厂的某种型号的机器的使用年限x 和所支出的维修费用y (万元)有下表的统计资料：3图2C根据上表可得回归方程ˆˆ1.23yx a =+，据此模型估计，该型号机器使用年限为10年的维修费用约 万元（结果保留两位小数）．13．已知经过同一点的nn (∈N 3n *,)≥个平面，任意三个平面不经过同一条直线.若这n 个平面将空间分成()fn 个部分，则()3f = ，()f n = .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，定点32,2A π⎛⎫⎪⎝⎭，点B 在直线cos sin 0ρθθ=上运动，当线段AB 最短时，点B 的极坐标为 ．15．（几何证明选讲选做题） 如图2，AB 是O 的直径，BC 是O 的切线，AC 与O 交于点D ，若3BC =，165AD =，则AB 的长为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数()sin()4f x A x πω=+（其中x ∈R ，0A >，0ω>）的最大值为2，最小正周期为8.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()f x 图象上的两点,P Q 的横坐标依次为2,4，O 为坐标原点，求cos ∠POQ的值.17．（本小题满分12分）沙糖桔是柑桔类的名优品种，因其味甜如砂糖故名.某果农选取一片山地种植沙糖桔，收4图3a0.06b 图4MDCBAP获时，该果农随机选取果树20株作为样本测量它们每一株的果实产量（单位：kg ），获得的所有数据按照区间(4045,,⎤⎦(((455050555560,,,,,⎤⎤⎤⎦⎦⎦进行分组，得到频率分布直方图如图3.已知样本中产量在区间(4550,⎤⎦上的果树株数是产量在区间(5060,⎤⎦上的果树株数的43倍. （1）求a ,b 的值；（2）从样本中产量在区间(5060,⎤⎦上的果树随机抽取两株，求产量在区间(5560,⎤⎦上的果树至少有一株被抽中的概率.18．（本小题满分14分）如图4，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，60BCD ︒∠=，2AB AD =，PD ⊥平面ABCD ，点M 为PC 的中点.（1）求证:PA //平面BMD ； （2）求证：AD ⊥PB ；（3）若2AB PD ==，求点A 到平面BMD 的距离.19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =，28a =，()11452n n n S S S n +-+=≥，5n T 是数列{}2n a log 的前n 项和.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求n T ；（3）求满足2311110101112013n T T T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最大正整数n 的值. 20．（本小题满分14分）已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两个焦点分别为1(2,0)F -，2F ()20,，点(2,3)A 在椭圆1C 上，过点A 的直线L 与抛物线22:4C x y =交于B C ,两点，抛物线2C 在点B C ,处的切线分别为12l l ,, 且1l 与2l 交于点P . (1) 求椭圆1C 的方程；(2) 是否存在满足1212PF PF AF AF +=+的点P ? 若存在，指出这样的点P 有几个（不必求出点P 的坐标）; 若不存在，说明理由.21．（本小题满分14分）已知n ∈N *，设函数2321()1,2321n n x x x f x x x n -=-+-+-∈-R. （1）求函数y =2()f x kx k (-∈R )的单调区间；（2）是否存在整数t ，对于任意n ∈N *，关于x 的方程()0n f x =在区间1t t ,⎡⎤+⎣⎦上有唯一实数解，若存在，求t 的值；若不存在，说明理由.2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一） 数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．6 2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．11．(]1,2 12．1238. 13．8，22n n -+ 14．1116,π⎛⎫⎪⎝⎭15．4 说明：① 第13题第一个空填对给2分，第二个空填对给3分．② 第14题的正确答案可以是：11126k k,(ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ).三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力） （1）解：∵()f x 的最大值为2，且0A >，∴2A =. ……………1分 ∵()f x 的最小正周期为8， ∴28T πω==，得4πω=. ……………3分∴()2sin()44f x xππ=+. ……………4分（2）解法1：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭……………5分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭ ……………6分∴(4,P Q . ……………7分 ∴OP PQ OQ ===……………10分7∴222222cos 23OP OQ PQPOQOP OQ+-+-∠===.……12分 解法2：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭……………5分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭ ……………6分∴(4,P Q . ……………8分 ∴(2,2),(4,OP OQ ==. ……………10分 ∴cos cos ,36OP OQ POQ OP OQ OP OQ⋅∠=<>===. ……………12分 解法3: ∵(2)2sin 2cos244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭5分(4)2sin 2sin44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭6∴(4,P Q . ……………7分作1PP x ⊥轴, 1QQ x⊥轴,垂足分别为11P Q ,,∴112,OP OP PP ====114OQ QQ,== (8)分 设11POP QOQ,αβ∠=∠=, 则133sin ,cos ,sin,cos ααββ====. ……………10分 ∴cos cos POQ ∠=()cos cos sin sin αβαβαβ+=-=………12分 17．（本小题满分12分）（本小题主要考查频率分布直方图、概率等知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想）（1）解:样本中产量在区间(4550,⎤⎦上的果树有520100a a ⨯⨯=（株），…………1分 样本中产量在区间(5060,⎤⎦上的果树有()()002520100002b b ..+⨯⨯=+（株），8 ……………2分依题意，有()41001000023a b .=⨯+，即()40023a b .=+.①…………3分 根据频率分布直方图可知()00200651b a ..+++⨯=， ② …………4分 解①②得:008004a b .,.==. ……………6分 （2）解：样本中产量在区间(5055,⎤⎦上的果树有0045204.⨯⨯=株，分别记为123A A A ,,,4A ， ……………… 7分产量在区间(5560,⎤⎦上的果树有0025202.⨯⨯=株，分别记为12B B ,. … 8分 从这6株果树中随机抽取两株共有15种情况：()()1213A A A A ,,,，()14A A ,()()()()()()111223242122A B A B A A A A A B A B ,,,,,,,,,,,,()34A A ,,()31A B ,,()32A B ,，()()4142A B A B ,,,,()12B B ,. ……………10分其中产量在(5560,⎤⎦上的果树至少有一株共有9种情况：()()1112A B A B ,,,,()()()()21223132A B A B A B A B ,,,,,,,,()()4142A B A B ,,,，()12B B ,. (11)分记“从样本中产量在区间(5060,⎤⎦上的果树随机抽取两株，产量在区间(5560,⎤⎦上的果树至少有一株被抽中”为事件M ，则()93155P M ==. ……………12分 18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面位置关系、点到平面的距离等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） (1)证明:连接AC ，AC 与BD 相交于点O , 连接MO ， ∵ABCD 是平行四边形，∴O 是AC 的中点. ……………1分 ∵M 为PC 的中点，∴MO AP //. ……………2分 ∵PA ⊄平面BMD ,MO ⊂平面BMD ,9ON MDCBAP∴PA //平面BMD . ……………3分 (2)证明:∵PD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥AD . ……………4分 ∵60BAD BCD ︒∠=∠=，2AB AD =， ∴222260BDAB AD AB AD cos ︒=+-⋅⋅2222AB AD AD =+-22AB AD =-. ……………5分 ∴22ABAD =2BD +.∴AD BD ⊥. ……………6分∵PDBD D =，PD ⊂平面PBD ，BD ⊂平面PBD ，∴AD ⊥平面PBD . ……………7分 ∵PB ⊂平面PBD ，∴AD PB ⊥. ……………8分（3）解：取CD 的中点N ，连接MN ，则MN PD //且12MN PD =. ∵PD ⊥平面ABCD ，2PD =，∴MN ⊥平面ABCD ，1MN =. ……………9分在Rt △PCD 中，2CD AB PD ===，1122DM PC ===，∵BC AD //,AD PB ⊥, ∴BC PB ⊥.在Rt △PBC中，12BM PC ==.在△BMD 中，BM DM =，O 为BD 的中点,10 ∴MO BD ⊥.在Rt △ABD中，6022BD AB sin ︒=⋅=⨯=.在Rt △MOB中，MO ==∴132ΔABD S AD BD =⨯=，1152ΔMBD S BD MO =⨯=…………11分 设点A 到平面BMD 的距离为h ，∵M ABD A MBD V V --=， ∴13MN 13ΔABD S h =ΔMBD S . ……………12分即13⨯1⨯13h =⨯⨯， 解得h =……………13分∴点A 到平面BMD . ……………14分 19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等知识，考查分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识） （1） 解：∵当2n ≥时，1145n n n S S S +-+=，∴()114n n n n S S S S +--=-. ……………1分 ∴14n n a a +=. ……………2分 ∵12a =，28a =，∴214a a =. ……………3分∴数列{}n a 是以12a =为首项，公比为4的等比数列.∴121242n n n a --=⋅=. ……………4分（2） 解：由（1）得：2122221n n a n log log -==-， ……………5分 ∴21222n n T a a a log log log =+++()1321n =+++- ……………6分()1212n n +-=……………7分2n = . ……………8分 （3）解： 23111111n T T T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 22211111123n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⋅⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ……………9分222222222131411234n n----=⋅⋅⋅⋅ ()()2222132********n n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-+=⋅⋅⋅⋅ ……………10分12n n+=. ……………11分 令12n n +10102013>，解得：42877n <. ……………13分 故满足条件的最大正整数n 的值为287. ……………14分20．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识）(1) 解法1：设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>,依题意: 222222231,4.a ba b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩解得: 2216,12.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ……………2分∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. ……………3分 解法2：设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>，根据椭圆的定义得1228a AF AF =+=，即4a =， ……………1分∵2c =， ∴22212b a c =-=. ……………2分∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. ……………3分 (2)解法1：设点)41,(211x x B ,)41,(222x x C ，则))(41,(212212x x x x --=， )413,2(211x x --=，∵C B A ,,三点共线,∴BC BA //. ……………4分∴()()()222211211113244x x x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭,化简得：1212212x x x x ()+-=. ① ……………5分由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ……………6分∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2411121x x x x y -=-， 即211412x x x y -=. ② ……………7分同理，抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为 222412x x x y -=. ③ ……………8分设点),(y x P ，由②③得：=-211412x x x 222412x x x -， 而21x x ≠，则 )(2121x x x +=. ……………9分 代入②得 2141x x y =， ……………10分 则212x x x +=，214x x y =代入 ① 得 1244=-y x ，即点P 的轨迹方程为3-=x y . ……………11分若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，而点P 又在直线3-=x y 上，……………12分∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分 ∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分 解法2：设点),(11y x B ,),(22y x C ，),(00y x P ， 由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ……………4分∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-， 即2111212x y x x y -+=. ……………5分 ∵21141x y =， ∴112y x x y -= .∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① ……………6分同理， 20202y x x y -=. ② ……………7分综合①、②得，点),(),,(2211y x C y x B 的坐标都满足方程 y x xy -=002. ……8分 ∵经过),(),,(2211y x C y x B 两点的直线是唯一的， ∴直线L 的方程为y x xy -=002， ……………9分 ∵点)3,2(A 在直线L 上， ∴300-=x y . ……………10分∴点P 的轨迹方程为3-=x y . (11)分若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，又在直线3-=x y 上，…12分 ∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分 ∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分解法3：显然直线L 的斜率存在，设直线L 的方程为()23y k x =-+，由()2234y k x x y ,,⎧=-+⎪⎨=⎪⎩消去y ，得248120x kx k -+-=. ……………4分设()()1122B x y C x y ,,,,则12124812x x k x x k ,+==-. ……………5分 由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ……………6分∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-， 即2111212x y x x y -+=. ……………7分 ∵21141x y =， ∴211124x y x x =-.同理,得抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为222124x y x x =-. ……………8分由211222124124x y x x x y x x ,,⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得121222234x x x k x x y k ,.⎧+==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩ ∴()223P k k ,-. ……………10分 ∵1212PF PF AF AF +=+,∴点P 在椭圆22111612x y C :+=上. ……………11分 ∴()()2222311612k k -+=.化简得271230k k --=.(*) ……………12分 由()2124732280Δ=-⨯⨯-=>, ……………13分 可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P 有两个. ……………14分 21．（本小题满分14分）（本小题主要考查三次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数的零点、数列求和等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识）（1）解：∵232()1,23x x y f x kx x kx =-=-+-- ……………1分 ∴221(1)y x x k x x k '=-+--=--++. ……………2分 方程210x x k -++=的判别式()()214134Δk k =--+=--.当34k ≥-时，0Δ≤，2(1)0y x x k '=--++≤， 故函数y =2()f x kx -在R 上单调递减； ……………3分当34k <-时，方程210x x k -++=的两个实根为1x =，2x =. (4)分则()1x x ,∈-∞时，0y '<；()12x x x ,∈时，0y '>；()2x x ,∈+∞时，0y '<； 故函数y =2()f x kx -的单调递减区间为()1x ,-∞和()2x ,+∞，单调递增区间为()12x x ,. ……………5分（2）解：存在1t =，对于任意n ∈N *，关于x 的方程()0n f x =在区间1t t ,⎡⎤+⎣⎦上有唯一实数解，理由如下：当1n =时，1()1f x x =-，令1()10f x x =-=，解得1x =，∴关于x 的方程1()0f x =有唯一实数解1x =. ……………6分当2n ≥时，由2321()12321n n x x x f x x n -=-+-+--， 得22322()1n n n f x x x x x --'=-+-++-. ……………7分若1x =-，则()(1)(21)0n n f x f n ''=-=--<，若0x =，则()10n f x '=-<, ……………8分若1x ≠-且0x ≠时，则211()1n n x f x x -+'=-+, ……………9分当1x <-时，2110,10,()0n n x x f x -'+<+<<, 当1x >-时，2110,10,()0n n x x f x -'+>+><,∴()0n f x '<，故()n f x 在(,)-∞+∞上单调递减. ……………10分 ∵111111(1)(11)()()()23452221n f n n =-+-+-++---0>， ………11分23452221222222(2)(12)()()()23452221n n n f n n --=-+-+-++--- 24221212121()2()2()223452221n n n -=-+-+-++--- 2422132312222345(22)(21)n n n n --=-----⋅⋅--0<. …………12分∴方程()0n f x =在[]1,2上有唯一实数解. ……………13分 当()1x ,∈-∞时，()()10n n f xf >>；当()2x ,∈+∞时，()()20n n f x f <<. 综上所述，对于任意n ∈N *，关于x 的方程()0n f x =在区间12,⎡⎤⎣⎦上有唯一实数解.∴1t =. ……………14分。

广东省11大市2013届高三数学（理）一模试题分类汇编导数及其应用一、选择题、填空题1、（广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一））10x cos ⎰d x = . 答案：sin12、（江门市2013届高三2月高考模拟）在平面直角坐标系Oxy 中，直线a y =（0>a ）与抛物线2x y =所围成的封闭图形的面积为328，则=a ． 答案：3 3、（汕头市2013届高三3月教学质量测评）函数y ＝lnx 在点A(1,0)处的切线方程为_______． 答案：1-=x y4、（汕头市2013届高三3月教学质量测评）若曲线y x =与直线x=a ，y=0所围成封闭图形的面积为a 2．则正实数a ＝＿＿＿＿ 答案：94=a 5、（韶关市2013届高三调研考试）设曲线axy e =有点（0,1）处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝＿＿＿ 答案：26、（茂名市2013届高三第一次高考模拟考试）计算 .答案：2e二、解答题1、（广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一））已知二次函数()21f x x ax m =+++，关于x 的不等式()()2211f x m x m <-+-的解集为()1m m ,+，其中m 为非零常数.设()()1f xg x x =-.（1）求a 的值；（2）k k (∈R 如何取值时，函数()x ϕ()g x =-()1k x ln -存在极值点，并求出极值点；（3）若1m =，且x 0>，求证：()()1122nnng x g x n (⎡⎤+-+≥-∈⎣⎦N *).答案：（1）解：∵关于x 的不等式()()2211fx m x m<-+-的解集为()1m m ,+，即不等式()22120x a m x m m ++-++<的解集为()1m m ,+， ∴()2212x a m x m m ++-++=()()1x mx m ---.∴()2212x a m x m m ++-++=()()2211x m x m m -+++. ∴()1221a m m +-=-+.∴2a =-. ……………2分(2)解法1:由(1)得()()1f x g x x =-()221111x x m mx x x -++==-+--. ∴()()xg x ϕ=-()1k x ln -()11mx x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞.∴()1x ϕ'=-()211mkx x ---()()22211x k x k m x -++-+=-. ……………3分 方程()2210x k x k m -++-+=（*）的判别式()()222414Δk k m k m =+--+=+. …………4分①当0m >时，0Δ>，方程（*）的两个实根为11x ,=<21x ,=> ……………5分则()21x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>. ∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减，在()2x +∞,学科网上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x . …………6分 ②当0m <时，由0Δ>,得k <-或k >，若k <-，则11x ,=<21x ,=<故x ∈()1,+∞时，()0x ϕ'>，∴函数()x ϕ在()1,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ没有极值点. ……………7分若k >时，11x ,=>21x ,=>则()11x x ,∈时，()0x ϕ'>；()12x x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增，在()12x x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x . ……………8分 综上所述, 当0m >时，k 取任意实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ；当0m <时，k >，函数()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x .……9分(其中1x =, 2x =解法2:由(1)得()()1f x g x x =-()221111x x m mx x x -++==-+--. ∴()()xg x ϕ=-()1k x ln -()11mx x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞.∴()1x ϕ'=-()211mkx x ---()()22211x k x k m x -++-+=-. ……………3分 若函数()()xg x ϕ=-()1k x ln -存在极值点等价于函数()x ϕ'有两个不等的零点，且至少有一个零点在()1,+∞上. ……………4分 令()x ϕ'()()22211x k x k m x -++-+=-0=,得()221x k x k m -++-+0=, (*) 则()()2224140Δk k m k m =+--+=+>,(**) ……………5分方程（*）的两个实根为1x =, 2x =设()h x=()221x k x k m -++-+,①若1211x x ,<>,则()10h m =-<,得0m >,此时,k 取任意实数, (**)成立. 则()21x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>. ∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x . ……………6分②若1211x x ,>>,则()10212h m k ,.⎧=->⎪⎨+>⎪⎩得00m k ,.⎧<⎨>⎩又由(**)解得k >或k <-故k >. ……………7分则()11x x ,∈时，()0x ϕ'>；()12x x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增，在()12x x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x . ……………8分 综上所述, 当0m >时，k 取任何实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ；当0m <时，k >，函数()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x .…9分 (其中1x =2x =(2)证法1：∵1m =， ∴()g x=()111x x -+-.∴()()1111nnnn n g x g x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤+-+=+-+ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭112212111111n n n n nn n n n nn n n x C x C x C x C x x xx x x ----⎛⎫=+⋅+⋅++⋅+-+ ⎪⎝⎭122412n n n nn n n C xC x C x ----=+++. …………10分 令T 122412n n n n n n n C xC x C x ----=+++，则T 122412n nn n n n n n C x C x C x -----=+++122412nnn n n n n C xC x C x ----=+++.∵x 0>， ∴2T ()()()122244122n n n n n n n n n n C xx C x x C x x -------=++++++ ……11分≥121n n n n C C C -⋅+⋅++⋅ …12分()1212n n n n C C C -=+++ ()012102n n nn n n n n n nC C C C C C C -=+++++-- ()222n=-. ……………13分∴22nT ≥-，即()()1122nn n g x g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦. …………14分 证法2：下面用数学归纳法证明不等式11nn n x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22n ≥-.① 当1n =时，左边110x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，右边1220=-=，不等式成立；……10分② 假设当n k =k (∈N *)时，不等式成立，即11kk k x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22k ≥-，则 11111k k k x x x x +++⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭11111111kk k k kk k x x x x x x x x x x x x ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 111kk k x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111k k x x --⎛⎫+ ⎪⎝⎭ …………11分()22k ≥⋅-+ ……………12分 122k +=-. ……………13分也就是说，当1n k =+时，不等式也成立.由①②可得，对∀*n N ∈都成立. ………14分2、（江门市2013届高三2月高考模拟）已知xa a x a x x f ln )()12(21)(22+++-=（0>x ，a 是常数），若对曲线)(x f y =上任意一点) , (00y x P 处的切线)(x g y =，)()(x g x f ≥恒成立，求a 的取值范围．解：依题意，xaa a x x f +++-=2/)12()(……1分)(00x f y =，曲线)(x f y =在点) , (00y x P 处的切线为 ))((00/0x x x f y y -=-……2分，即))((00/0x x x f y y -+=，所以))(()(00/0x x x f y x g -+=……3分直接计算得)1)(ln ()12(21)(002200-++++--=x x x a a x a x x x x g ……5分， 直接计算得)()(x g x f ≥等价于0)1)(ln ()(2100220≥+-++-x xx x a a x x ……7分 记)1)(ln ()(21)(00220+-++-=x xx x a a x x x h ，则 )1)(()11)(()()(020020/xx aa x x x x a a x x x h +--=-++-=……8分若02≤+a a ，则由0)(/=x h ，得0x x =……9分，且当00x x <<时，0)(/<x h ，当0x x >时，0)(/>x h ……10分，所以)(x h 在0x x =处取得极小值，从而也是最小值，即0)()(0=≥x h x h ，从而)()(x g x f ≥恒成立……11分。