当前位置：文档之家 › 相平面

相平面

  • 格式：ppt
  • 大小：1.63 MB
  • 文档页数：40

下载文档原格式

  / 40

合集下载

微分方程中的相平面分析

微分方程中的相平面分析

微分方程是数学中的重要概念，它描述了变化率与状态之间的关系。

在解微分方程时，相平面分析是一种常用的方法。

相平面分析通过将微分方程转化为相平面上的轨迹，来揭示方程的性质与解的行为。

相平面是指由自变量和因变量组成的平面。

在微分方程中，自变量通常表示时间，因变量表示系统的状态。

将微分方程转化为相平面上的轨迹，实际上是将微分方程转化为一条或多条曲线，这些曲线反映了系统状态随时间变化的规律。

相平面分析的一般步骤如下：首先，将微分方程化为一阶形式。

多数微分方程可以化为 dx/dt = f(x, t) 的形式，其中 x 表示系统的状态，t 表示时间。

然后，找到微分方程的关键点。

关键点是使得 dx/dt = 0 的点，也即是在相平面上函数曲线的极值点或交点。

接下来，画出函数曲线的大致形状。

可以通过选取几个具体的 x 值，代入微分方程中计算对应的 dx/dt 值，从而得到曲线在相平面上的走向。

在画曲线时，需要特别关注关键点的性质。

分析关键点的稳定性是相平面分析的核心。

对于关键点，可以计算 dx/dt 的导数在该点处的值，从而得到关键点的稳定性。

当 dx/dt 导数为正时，关键点是不稳定的，曲线从该点离开；当 dx/dt 导数为负时，关键点是稳定的，曲线会向该点聚拢；当 dx/dt 导数为零时，需要进一步进行分析。

通过分析关键点的稳定性，可以得到微分方程在相平面上的稳定区域和不稳定区域。

在稳定区域内，系统的状态会从任意初始条件下趋向于关键点，而在不稳定区域内，系统的状态则会趋向于无穷远。

相平面分析不仅可以揭示微分方程的稳定性，还可以帮助我们理解方程的解的行为。

通过观察曲线在相平面上的轨迹，我们可以得到方程解的大致形态和变化规律。

例如，考虑一个简单的线性微分方程 dx/dt = -kx，其中 k 是常数。

这个方程描述了一个稳定的减衰过程。

通过相平面分析，我们可以得到关键点 x = 0，该点稳定且吸引系统状态趋于零。

曲线在相平面上的轨迹是一组从正数推向零的曲线。

相平面分析实验报告(3篇)

相平面分析实验报告(3篇)

第1篇一、实验目的1. 理解相平面的概念及其在控制系统中的应用；2. 掌握相平面分析方法，通过分析相轨迹图，了解系统的动态特性；3. 分析饱和非线性环节对控制系统性能的影响。

二、实验原理相平面分析是一种研究非线性系统动态特性的方法。

它通过将系统的状态变量绘制在二维平面上，形成相轨迹图，从而直观地观察系统的运动规律。

在相平面上，系统的状态变量可以是系统的位置和速度，也可以是系统的其他两个相互独立的变量。

本实验主要研究带有饱和非线性环节的控制系统。

饱和非线性环节具有上限和下限，当输入信号超出这个范围时，系统的输出将不再改变。

在相平面上，饱和非线性环节表现为相轨迹的折线。

三、实验设备1. PC机一台；2. MATLAB软件；3. Simulink模块库。

四、实验步骤1. 建立控制系统模型根据实验要求，建立带有饱和非线性环节的控制系统模型。

首先，建立系统的传递函数，然后添加饱和非线性环节模块。

2. 设置仿真参数设置仿真参数，包括仿真时间、采样时间等。

3. 运行仿真运行仿真，观察系统输入饱和非线性环节前后的相轨迹图。

4. 分析相轨迹图对比有无非线性环节的相轨迹图，分析饱和非线性环节对系统性能的影响。

5. 求解超调量在输入单位阶跃信号的情况下，计算系统的超调量。

五、实验结果与分析1. 相轨迹图分析在饱和非线性环节的影响下，系统的相轨迹图发生了明显的变化。

当输入信号超出饱和非线性环节的上下限时，相轨迹图出现折线。

这表明饱和非线性环节限制了系统的运动范围，影响了系统的动态性能。

2. 系统性能分析通过对比有无非线性环节的相轨迹图，可以发现饱和非线性环节对系统的超调量和上升时间有一定影响。

当饱和非线性环节存在时，系统的超调量增大，上升时间变长。

这是因为饱和非线性环节限制了系统的运动范围，导致系统在达到稳定状态之前需要更多的能量。

3. 超调量计算在输入单位阶跃信号的情况下，系统的超调量为：超调量 = (终值 - 原始值) / 原始值其中，终值为系统稳定后的输出值，原始值为输入信号的幅值。

相平面法

相平面法
x2
0
x2
0
x1
x1
(a)稳定焦点
(b)不稳定焦点
17
图8-31 共轭复根对应的相轨迹
1, 2
a d (a d )2 4(ad bc ) 2
5）纯虚根
(a d ) 0, ad bc 0
奇点称为中心点。
x2
0
x1
图8-32
纯虚根对应的相轨迹
18
2、极限环
相平面图上的一根孤立的封闭相轨迹称为极限环。它对应系 统的自激振荡状态。极限环把相平面划分为内部平面和外部 平面两部分，相轨迹不能从环内穿越环进入环外，反之也不 能。
将（4）式代入（2）式整理得
( 4)
1
23
r r (1 r 2 ) 1
有r 0和1 r 2 0两种情况
(1) r 0
x1 0, x2 0 系统的平衡点（奇点）
b P ( x1 , x 2 ) 1 x 2 ( 0,0 )
为一常数。
根据上式可在相平面上绘制一条线，相轨迹通 过这条线上的各点时，其切线的斜率都相同， 称之为等倾线。如果取不同的值 1 , 2 ,则可 在相平面上绘制一系列的等倾线。
8
x2
1
( x10 , x20 )
2
x1
3
4
图8-27 用等倾线法绘制相轨迹
相平面中所有等倾线上的短线，组成了相轨迹的切线场。
P ( x1 , x2 ) P ( x1 , x2 ) P ( x1 , x2 ) x1 x2 x1 x 2 ( 0,0 ) ( 0,0 )
Q( x1 , x2 ) Q( x1 , x2 ) Q( x1 , x2 ) x1 x2 x1 x 2 ( 0,0 ) ( 0,0 )

大学物理相平面 相空间

大学物理相平面 相空间

y
按C值的不同，可得到一族大小不
同的椭圆。 从相轨迹中，可以看出 简谐振子的所有相轨迹都是闭合曲线。相点沿闭合曲线运行 了一周，又回到原先的运动状态． 因此可以断定，所有的椭圆相轨迹都对应着一个周期运动， 其周期是一个有限值。 在相平面上的O点处，物体运动的速度和加速度均为零， 相平面上这样的点对应着一个平衡状态。若没有任何扰动 使系统偏离O点，它将一直停留在该点。
相平面: 当然如果力学系统只有两个变量，相空间就简化为 相平面。 相平面、相空间中的“相”是指物体的运动状态。相空间的 每一点称为相点，对应力学系统的一个状态；状态空间的每 一曲线称为相轨迹或相图，对应力学系统一种可能的状态变 化过程。 以位置和速度作为坐标参量构建的平面或新的空间，是最简 单的相平面或相空间。 如某质点作直线运动，其坐标为x、速度
§8.2 相平面 相空间
一、广义坐标 广义速度
在经典力学中，一个自由质点的运动状态可以用6个变量（x， y，z，vx ，vy ，vz）描述， 一般来讲，一个力学系统的运动状态，可以用n个广义坐标
qi 和n个相应的广义速度pi 共2n 个变量描述。
二、相平面 相空间
相空间: 以(qi，pi)为坐标，可以构建一个2n（n 为力学系统 的独立变量的数目）维的状态空间。这个状态空间 称为相空间.
y v
以（x，y ）
为坐标,建立一个平面坐标系Oxy,就是最简单的相平面
相平面中的一个点M（x,y ），对应 一个运动状态，M 称为相点。
y

M
相相
图，一般是一条光滑的曲线。
o
x
以简谐振子为例，来分析讨论相图的实际应用。 简谐振子的位移、速度和加速度分别为
x A cos(t )

相平面法ppt课件

相平面法ppt课件

有可能出现在x轴上。
11
忽略高阶无穷小， 一般情况下令 x10 x20 0
则有
P( x1,
x2 )
P( x1, x1
x2 )
(0,0)
x1
P( x1, x2
x2 )
(0,0)
x2
Q( x1,
x2 )
Q( x1, x1
x2 )
(0,0)
x1
Q( x1, x2
x2 )
(0,0)
x2
令 a P( x1, x2 )
平面上绘制一系列的等倾线。
8
x2
1
( x10 , x20 )
2
3 x1
4
图8-27 用等倾线法绘制相轨迹
1,2 ,表3示,相轨迹通过这些等倾线时切线的斜率。
相平面中所有等倾线上的短线，组成了相轨迹的切线场。 从相轨迹起始点 ( x10, x20 ) 出发，平滑的将相邻等倾线上 的短线连起来，即得系统相轨迹。
§8.4 相平面法
相平面法是Poincare在1885年首先提出来的， 它是一种求解一、二阶常微分方程的图解 法。这种方法的实质是将系统的运动过程 形象地转化为相平面上一个点的移动，通 过研究这个点移动的轨迹，就能获得系统 运动规律的全部信息。由于它能比较直观、 准确、全面地表征系统的运动状态，因而 获得广泛应用。
1,2
2
5）纯虚根
(a d ) 0, ad bc 0
奇点称为中心点。 x2
0
x1
图8-32 纯虚根对应的相轨迹
18
2、极限环
相平面图上的一根孤立的封闭相轨迹称为极限环。它对应系统 的自激振荡状态。极限环把相平面划分为内部平面和外部平面 两部分，相轨迹不能从环内穿越环进入环外，反之也不能。

相平面 赵凯华

相平面 赵凯华

§4-3 相平面法相平面法是一种直观的几何方法, 它适用于系统的一维运动. 以位置x 、 速度x为坐标建立坐标系, 通常也称此坐标平面为相平面 (广义相平面). 相平面中任一点代表该时刻系统的运动状态, 称为相点. 相点连续变化形成的轨道则描述了系统的运动过程, 称为相轨道 (简称轨线), 这种图形也称相图.一、相轨道方程一维系统的运动微分方程一般可写成),(x x f x= 这时f 中不显含时间t , 这种情况的系统称为自治系统. 下面仅讨论自治系统.为了便于数值计算, 必须把1个二阶常微分方程化为2个一阶方程,==),(y x f y y x 2式相除即得相轨道方程y y x f x y ),(d d =尤其当原方程求解析解有困难时, 若能利用上述方程近似求出相轨道, 就可对系统的运动进行几何的、 定性的研究.二、轨线的作法不管系统是保守的还是耗散的, 运用计算机进行数值计算作相轨线是一种普遍使用的方法.对保守系统, 可利用势能曲线作相图. 这种情况, 相点的运动微分方程可写为−===x V y x f y y x d d ),( 其中V 为单位质量的势能, 系统能量守恒E x V y =+)(212 式中E 为单位质量的总能量, 而T V E =−为单位质量的动能. 于是))((2x V E y x−±== 下面说明如何利用势能曲线作出相轨道. 上图为势能曲线图, 下图为与之对应的相图.在势能曲线的图上作一条高度等于总能E 的水平线,此线与势能曲线的交点确定了质点的运动范围[]21,x x ,x 处的势能)(x V 可从图上求出, 进而求得)(x V E −和相应的两个y 值, 得到对x 轴对称的两个相点. 其他相点可同样得出. 连接所有相点得到与总能E 对应的轨线. 与此势能曲线对应的轨线是一条闭合曲线. 改变总能量的取值, 可得不同的轨线.例题1 求简谐振动的相图.解 这种情况, 相图可以解析地得出, 由于势能函数已知, 能量守恒方程为E kx x m =+222121 可直接得出相轨道方程1222222= + k E x m E x相轨道是闭合的椭圆, 运动是周期性的. 相应于质点在势阱中运动. 一条相轨道是一条等能线.例题2 求线性阻尼振动相图.解 相轨道方程为−−==x y ty y t x 202d d d d ωβ由于系统是耗散的, 能量随时间不断减少, 所以它的相轨道应是不断向内收缩的螺旋形状的曲线, 最后趋近于原点. 用数值计算方法求出的相图如图所示.三、轨线的普遍性质1. 对于自治系统, 轨线不随时间改变, 互不相交. 若相轨道是一条闭合曲线, 则系统做周期运动.2. 轨线的方向即相点沿轨线运动的方向, 由相点位置确定, 若相点处于相平面的上半部, 即相点的纵坐标,0>=xy 则运动方向向右; 若相点处于相平面的下半部, 则运动方向向左. 3.),(y x是相点运动速度矢量v 的两个分量.在相平面上各点作出这个速度矢量, 就构成速度场, 因此可以把相平面想像为流体力学中的流场, 故把相点的运动称为相流.对于保守系统, 由相点的运动微分方程−===x V y x f y y x d d ),( 可知这个速度场的散度为0=∂∂+∂∂=⋅∇=yy x x v v div表明在流动过程中相体积 (对于二维情况, 体积退化为面积) 守恒, 如图所示, 在相同时间内流过的面积 (如abcd 和d c b a ′′′′所围面积) 保持不变.对于耗散系统, 我们以线性阻尼振动为例说明它的相体积是不断减少的,相点运动微分方程为−−==x y ty y t x 202d d d d ωβ 速度场的散度为β2−=∂∂+∂∂=yy x x v div 这个结论是普遍正确的.四、奇点及其附近的轨线在相平面上, 满足0,0==y x的点称为奇点, 对此点有,00d d =x y 即相轨道方向是不确定的.从力学角度看, 奇点即平衡点, 表明系统处于平衡态, 故又称不动点.了解奇点的性质 (类型) 及奇点附近相轨道的情况, 就可以了解系统在平衡点受微扰后的发展情况.对于保守系统, 奇点有3种类型. 奇点的条件除要求速度为零外, 还要求加速度为零, 即要求,0d d =x V 因而奇点必与势能曲线的极大点、 极小点和拐点3种情况对应, 分别形成奇点的3种类型. 常见的是前两种, 根据势能曲线情况容易作出这两种奇点附近的轨线, 如图所示. 与势能极小值相应的奇点称为中心, 从它附近的轨线情况说明质点在平衡位置受微扰后仍在平衡位置附近围绕它做周期运动, 则此平衡为稳定的; 与势能极大值相应的奇点称为鞍点, 从它附近的轨线情况说明质点在平衡位置受微扰后最终将偏离平衡点很远, 则此平衡为不稳定的.利用相图对非线性系统行为进行研究是很重要的, 相图给出轨线形态的类型及其拓扑结构的稳定性[赵凯华. 从单摆到混沌. 现代物理知识, 1993,5(4):14].。

7-2相平面法

bx cx 0 x
当c > 0时，上述微分方程又可以表示为
2 2 n x n x 0 x
线性二阶系统的特征根
b b 4c s1 2
2
b b 2 4c s2 2
相轨迹方程为
dx bx cx dx x
假设由初始条件确定的点为图中的A点。则过A点作斜率为[ (1) + (1.2) ] / 2 = 1.1的直线，与a = 1.2的等倾线交于B点。再过B 点作斜率为的[ (1.2 ) + (1.4) ] / 2 = 1.3 直线，与a = 1.4的等 倾线交于C点。如此依次作出各等倾线间的相轨迹线段，最后即 得系统近似的相轨迹。
x t4
(x, x0)
t3
0 t2 0
t1
x
x
t1
t2 t3 t4
4
当t变化时，系统状态在相 平面上移动的轨迹称为相轨迹。
t
而与不同初始状态对应的一簇相轨迹所组成的图 叫做相平面图。 利用相平面图分析系统性能的方法称为相平面法。
7.3.2 相平面图的绘制
绘制相平面图可以用解析法、图解法和实验法。 1. 解析法 解析方法一般用于系统的微分方程比较简单或可 以分段线性化的方程。应用解析法求取相轨迹方程时 一般有二种方法：一种是对式（7-35）直接进行积分。 显然，这只有在上述方程可以进行积分时才能运用。 另一种方法是先求出x和对t的函数关系，然后消去t， 5 从而求得相轨迹方程。下面举例加以说明。
x
0
x
22
④ = 0。系统特征根为一对纯虚根。系统的自 由运动为等幅正弦振荡。给定初始点，系统的相平 面图为围绕坐标原点的一簇椭圆（参阅例7-1），系 统相平面图:

相平面的概念

相平面的概念
嘿，咱今天来说说相平面这个概念哈。

就说有一次我去游乐场玩那个碰碰车，那场面可热闹啦！我坐在碰碰车里，就跟开着个小赛车似的。

我一开始瞎转悠，也不知道咋玩，就到处撞来撞去。

后来我发现，每次我转动方向盘，车的走向就会变化，而且跟其他车碰撞后的反应也不一样。

这就好像相平面里的那些线条和轨迹一样。

在相平面里啊，各种状态和变化都能表现出来。

就跟我在碰碰车场里，车的位置、速度啥的，都能通过我的操作和碰撞直观地感受到。

我一会儿加速冲过去，一会儿又急刹车避免碰撞，这就像相平面里的点在不断变化位置呢。

哎呀，想想还挺有意思的，玩个碰碰车都能让我联想到相平面这么个有点深奥的概念。

原来生活中的一些小事，也能和这些知识联系起来呀！所以说呀，相平面可真是个神奇的东西呢，就像我在碰碰车场里的那些体验一样丰富多彩！
咋样，我这么说是不是让相平面这个概念好理解多啦？哈哈！。

第2章相平面分析201-资料


(x,x)
x
(x,x)
0
x
相轨迹对称于原点
f( x ,x ) f( x , x )
2.相平面上的奇点
由相轨迹的斜率方程 d xd x 可f( 知x ,,相x )平x 面上的点
只要不(同x,时x)满足
,则x 该 点0 ,相f轨(x 迹,x 的) 斜0 率是唯一确定
的。
这样的点称为普通点。通过普通点的相轨迹只有一条。
用xf来(x表)示。
x(t)
x
t
x
方程的解
1.相轨迹：如果我们取 x 和 作x为平面的直角坐标，则
系统在每一时刻的 (x,均x)相应于平面上的一点。当 t 变化时， 这一点在 平面x上将x 绘出一条相应的轨迹-----相轨迹。
它描述系统的运动过程。
2.相平面: x x平面称为相平面。对于一个系统，初始条件
f(x,x) xf(x,x)
x 给 定 一 个 α值 ,可 由 上 式 求 得 一 条 等 倾 线 ; 给 定 一 组 α值 ,则 可 求 得 一 组 等 倾 线 族 ,它 们 确 定 了 相 平 面 中 相 轨 迹 斜 率 的 分 布 .
设系统方程为: x 2x 2x 0
上式改写为:
x dx 2x 2x 0
一、相轨迹的共同特性
1.相轨迹的对称性
相轨迹的对称性可以从对称点上相轨迹的斜率来判断。 设二阶系统的方程为：
改写为：
xfx,x0
x = d x = d x d x = x d x , x d x fx ,x
d t d xd t d x d x
两边除以 dx 可x得： dt
dx f x,x----相轨迹的
dx
x 斜率方程

相平面


dx

x
横轴上的点皆为奇点。
积分法


由于相轨迹方程表示成
dx dx
f ( x, x)

x

当 f ( x, x) ( x) 即仅是x的函数


则有 x d x ( x)dx 两边分别积分，即解出该方程的相轨迹
例：

x M


x
d
x

M
可解得
dx

x
2
2
因此

T c c Kx (1)
而 e r c (或c r e)
代入（1）式，得


T (r e) (r e) Kx (2)
e 0


T e e KM T r r
e 0


T e e KM T r r
非线性控制系统的相平面分析法
描述函数对非线性环节有限定条件，并且不能 直接分析初始条件对非线性系统的影响。也就 是说，它只能用于非线性系统的稳定性分析。
相平面以运动中的两个重要的状态量（速度和 位置）作为坐标，将运动的变迁过程表现在平 面上，不仅可直观地表现线性系统运动特点， 更为非线性系统提供了一种有效的分析手段。
II区是欠阻尼运动，相应的奇点（0，0）是
稳定的焦点。轨迹越过区域边界，运动规律
随之改变。由于两个线性方程具有共同的奇
点。且在I区内，运动最终以过 阻尼形式收
敛于该奇点。
e
II
I
II
0
e
r
e GN
xK
s(Ts 1)
M -M
C
c(s) K
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

对于线性二阶系统的自由运动（无外作用） 对于线性二阶系统的自由运动（无外作用） ，奇点就是相平面的 原点。按系统极点的分布，奇点分为：稳定或不稳定的焦点、 原点。按系统极点的分布，奇点分为：稳定或不稳定的焦点、 稳 定或不稳定的节点、鞍点。注意中心点不是奇点。 定或不稳定的节点、鞍点。注意中心点不是奇点。 中心点不是奇点
•
x > 0 轨迹向右移
•
线性一阶系统的相轨迹
线性一阶系统自由运动的微分方程为
T x+ x = 0
相轨迹方程为： 相轨迹方程为： 设初始条件为： 设初始条件为：
•
1 x = − x T x (0) = c
•
1 x (0) = − c T
•
•
T <0
发散
•
x x
x
T >0
收敛
x
线性二阶系统的相轨迹
线性系统相平面的图解法
一．基本概念 相平面及相轨迹 相平面有关概念举例说明
二．线性系统的相轨迹 线性一阶系统的相轨迹 奇点与普通点 三.相轨迹的绘制 积分法 等倾线法 线性二阶系统的相轨迹
四.由相轨迹求时间解
非线性系统的相平面分析
本质非线性系统的线性化 非线性系统的极限环
用相平面表现运动
d2y dy +4 + 3y = 0 2 dt dt
相轨迹为向心螺旋线最终趋于原点 ( x = 0 x = 0) 。是一个收敛的运 动。对应的平衡点是稳定的焦点。
•
ζ =1时，线性二阶系统的相轨迹 时
k
存在两个相同的负实根 s1, 2 = −ζωn 相轨迹包含一根特殊的等倾线，斜率等于根，不同初始条件的相轨 相轨迹包含一根特殊的等倾线，斜率等于根， 稳定的节点。 迹最终将沿这条特殊的等倾线趋于原点。 迹最终将沿这条特殊的等倾线趋于原点。平衡点为稳定的节点。
非线性控制系统的相平面分析法 非线性控制系统的相平面分析法
描述函数对非线性环节有限定条件， 描述函数对非线性环节有限定条件，并且不能 直接分析初始条件对非线性系统的影响。 直接分析初始条件对非线性系统的影响。也就 是说，它只能用于非线性系统的稳定性分析。 是说，它只能用于非线性系统的稳定性分析。 相平面以运动中的两个重要的状态量（速度和 相平面以运动中的两个重要的状态量（ 位置）作为坐标， 位置）作为坐标，将运动的变迁过程表现在平 面上，不仅可直观地表现线性系统运动特点， 面上，不仅可直观地表现线性系统运动特点， 更为非线性系统提供了一种有效的分析手段。 更为非线性系统提供了一种有效的分析手段。 同时相平面的相关概念也是状态空间分析法的 基础。 基础。
•
用第一个方程除 dx • dt = x 第二个方程 则 • • d x dt = f ( x, x)
d x f ( x, x) = • dx x
相轨迹斜率方程
运动状态方程组 相轨迹方程可用于描绘运动的相轨迹，也是相平面分析的工具。 相轨迹方程可用于描绘运动的相轨迹，也是相平面分析的工具。
• •
a>0，收敛并最终停止在x轴 ，收敛并最终停止在 轴
a<0，发散至无穷。 ，发散至无穷。
奇点与普通点
• •
相轨迹上，每一点切线的斜率为： 相轨迹上，每一点切线的斜率为：
• •
d x f ( x, x) = • dx x
若在某点 f ( x , 之称为普通点。 之称为普通点。
•
x) 、 x
同时为零，该点称为相平面的奇点。 同时为零，该点称为相平面的奇点。反
原点称为 鞍点。 鞍点。
线性二阶系统的相轨迹
••
x + a x + bx = 0
•
•
当b=0时，系统的特征根为 b=0时
s1 = 0
s2 = − a
d x 相轨迹的斜率方程为 = −a dx 相轨迹是过初始条件的斜率为-a的直线 的直线。 相轨迹是过初始条件的斜率为 的直线。 用积分法求得相轨迹 x − x ( 0 ) = − ax − x ( 0 )
ζ ≤ -1时，线性二阶系统的相轨迹 时
相轨迹的形式与ζ 时相同， 运动方向相反 呈非振荡发散。 相反， 相轨迹的形式与ζ ≥ 1时相同，而运动方向相反，呈非振荡发散。 ζ< -1，存在两条等倾线， ζ = -1，两条等倾线蜕化成一条等倾线。 ，存在两条等倾线， ，两条等倾线蜕化成一条等倾线。 相平面的原点称不稳定节点 不稳定节点。 相平面的原点称不稳定节点。
弹簧弹簧-质量系统自由运动
运动微分方程式
m x = − kx
••
• dx dt = x • k d x dt = − m x
•
d x k x = − × & dx m x 相轨迹斜率方程
状态方程组
• • 1 2 2 m ∫ • xd x = m ( x − x 0 ) 2 x0 相轨迹方程两边分别积分 x 1 2 2 − k ∫ x dx = − k ( x − x 0 ) x0 2
dx 0 = 在奇点处， dx 0 为不定形式，奇点处切线的斜率不定，相轨 在奇点处， 为不定形式，奇点处切线的斜率不定， 迹可以任意方向趋近或离开奇点。奇点是相轨迹交点。 迹可以任意方向趋近或离开奇点。奇点是相轨迹交点。
奇点一定在相平面的横轴上（不一定在原点），在奇点处， 奇点一定在相平面的横轴上（不一定在原点），在奇点处，运动的 ），在奇点处 速度和加速度同时为零。故奇点亦称为平衡点。 速度和加速度同时为零。故奇点亦称为平衡点。
线性二阶系统的相轨迹
••
线性二阶系统的自由运动亦可写成
x + a x + bx = 0
•
b<0时 根的分布如图，两条等倾线既是相轨迹， b<0时，根的分布如图，两条等倾线既是相轨迹，又将相平面分成 四个区域。只有初始值落在负斜率的等倾线上，运动将趋于原点。 四个区域。只有初始值落在负斜率的等倾线上，运动将趋于原点。 即使这种情况，如受到微小的扰动，将偏离该轨迹，发散至无穷。 即使这种情况，如受到微小的扰动，将偏离该轨迹，发散至无穷。
运动微分方程式 对应的通解
y = C1e −3 t + C 2 e − t
C1和C2由初始位置和初始速度确定。通解虽可 由初始位置和初始速度确定。 以反映出初始条件对运动的影响， 以反映出初始条件对运动的影响，但在时域内不 便于直观表现出来。 便于直观表现出来。 由通解知
dy − 3t −t &= y = − (3C1e + C 2 e ) dt
积分法
• •
由于相轨迹方程表示成 d x = f ( x , x ) •
dx
当
f ( x , x ) = ϕ ( x ) 即仅是x的函数 即仅是x
• •
•
x
则有 x d x = ϕ ( x ) dx
••
两边分别积分， 两边分别积分，即解出该方程的相轨迹
• •
例：
• 2
x+ = −M
x
d x = −M dx
ζ =0时，线性二阶系统的相轨迹 时
此时，相轨迹围绕原点旋转，不能收敛于原点。称为中心点。 此时，相轨迹围绕原点旋转，不能收敛于原点。称为中心点。 中心点
-1< ζ< 时，线性二阶系统的相轨迹 < ζ<0时
此时两个根的分布如图示，相轨迹为离心螺旋线，最终发散至无穷。 此时两个根的分布如图示，相轨迹为离心螺旋线，最终发散至无穷。 原点称不稳定焦点 不稳定焦点。 原点称不稳定焦点。
ζ >1时，线性二阶系统的相轨迹（稳定的节点） 时 线性二阶系统的相轨迹（稳定的节点）
k2
k1
存在两个互异负实根
s1 = −ζωn + ωn ζ 2 − 1
s2 = −ζωn − ωn ζ 2 − 1
相轨迹包含两条特殊的等倾线，斜率分别等于两个根， 相轨迹包含两条特殊的等倾线，斜率分别等于两个根，初始值落在 这两条直线上，相轨迹沿直线趋于原点。除此之外沿K 趋于原点。 这两条直线上，相轨迹沿直线趋于原点。除此之外沿 1趋于原点。
切线场
在等倾线上，选定若干点，过这些点作短线段， 在等倾线上，选定若干点，过这些点作短线段，这些短线段的斜率 等于所在等倾线代表的切线斜率。如图示。 等于所在等倾线代表的切线斜率。如图示。 所有的短线段在相平面上 形成切线场
利用切线场绘出相轨迹
在等倾线和切线场的基础 可方便地勾画相轨迹。 上，可方便地勾画相轨迹。 在绘出一条相轨迹后， 在绘出一条相轨迹后，还 可利用对称原理， 可利用对称原理，绘出另 一条对称的轨迹。 一条对称的轨迹。
•
x
•
•
经整理得相平面上的相轨迹
m x + kx
2
•
2
2 轨迹是一簇椭圆，反映了初始 轨迹是一簇椭圆， = ( kx 0 + m x 0 ) 2
•
条件对运动的影响。 条件对运动的影响。
弹簧弹簧-质量系统自由运动的相平面图
上半平面 轨迹向左移。 下半平面 x < 0 轨迹向左移。 不同的初始条件， 不同的初始条件，对应不同的 椭圆。 椭圆。它示出所有可能的运动 本例系统内不存在阻尼，系统 本例系统内不存在阻尼， 的运动是不衰减的等幅振荡， 的运动是不衰减的等幅振荡， 相平面上表现成同心的椭圆， 相平面上表现成同心的椭圆， 表示在能量转换中不耗能， 表示在能量转换中不耗能，保 持初始的能量不变。 持初始的能量不变。 1象限：动能转换成势能（弹簧拉伸运动） 象限：动能转换成势能（弹簧拉伸运动） 4象限：势能转换成动能（拉伸最大后进行反向恢复运动） 象限：势能转换成动能（拉伸最大后进行反向恢复运动） 象限：动能转换成势能（反向恢复动能最大后进行压缩运动） 3象限：动能转换成势能（反向恢复动能最大后进行压缩运动） 象限：势能转换成动能（压缩势能最大后进行正向恢复运动） 2象限：势能转换成动能（压缩势能最大后进行正向恢复运动）