相平面

微分方程是数学中的重要概念，它描述了变化率与状态之间的关系。

在解微分方程时，相平面分析是一种常用的方法。

相平面分析通过将微分方程转化为相平面上的轨迹，来揭示方程的性质与解的行为。

相平面是指由自变量和因变量组成的平面。

在微分方程中，自变量通常表示时间，因变量表示系统的状态。

将微分方程转化为相平面上的轨迹，实际上是将微分方程转化为一条或多条曲线，这些曲线反映了系统状态随时间变化的规律。

相平面分析的一般步骤如下：首先，将微分方程化为一阶形式。

多数微分方程可以化为 dx/dt = f(x, t) 的形式，其中 x 表示系统的状态，t 表示时间。

然后，找到微分方程的关键点。

关键点是使得 dx/dt = 0 的点，也即是在相平面上函数曲线的极值点或交点。

接下来，画出函数曲线的大致形状。

可以通过选取几个具体的 x 值，代入微分方程中计算对应的 dx/dt 值，从而得到曲线在相平面上的走向。

在画曲线时，需要特别关注关键点的性质。

分析关键点的稳定性是相平面分析的核心。

对于关键点，可以计算 dx/dt 的导数在该点处的值，从而得到关键点的稳定性。

当 dx/dt 导数为正时，关键点是不稳定的，曲线从该点离开；当 dx/dt 导数为负时，关键点是稳定的，曲线会向该点聚拢；当 dx/dt 导数为零时，需要进一步进行分析。

通过分析关键点的稳定性，可以得到微分方程在相平面上的稳定区域和不稳定区域。

在稳定区域内，系统的状态会从任意初始条件下趋向于关键点，而在不稳定区域内，系统的状态则会趋向于无穷远。

相平面分析不仅可以揭示微分方程的稳定性，还可以帮助我们理解方程的解的行为。

通过观察曲线在相平面上的轨迹，我们可以得到方程解的大致形态和变化规律。

例如，考虑一个简单的线性微分方程 dx/dt = -kx，其中 k 是常数。

这个方程描述了一个稳定的减衰过程。

通过相平面分析，我们可以得到关键点 x = 0，该点稳定且吸引系统状态趋于零。

曲线在相平面上的轨迹是一组从正数推向零的曲线。

第1篇一、实验目的1. 理解相平面的概念及其在控制系统中的应用；2. 掌握相平面分析方法，通过分析相轨迹图，了解系统的动态特性；3. 分析饱和非线性环节对控制系统性能的影响。

二、实验原理相平面分析是一种研究非线性系统动态特性的方法。

它通过将系统的状态变量绘制在二维平面上，形成相轨迹图，从而直观地观察系统的运动规律。

在相平面上，系统的状态变量可以是系统的位置和速度，也可以是系统的其他两个相互独立的变量。

本实验主要研究带有饱和非线性环节的控制系统。

饱和非线性环节具有上限和下限，当输入信号超出这个范围时，系统的输出将不再改变。

在相平面上，饱和非线性环节表现为相轨迹的折线。

三、实验设备1. PC机一台；2. MATLAB软件；3. Simulink模块库。

四、实验步骤1. 建立控制系统模型根据实验要求，建立带有饱和非线性环节的控制系统模型。

首先，建立系统的传递函数，然后添加饱和非线性环节模块。

2. 设置仿真参数设置仿真参数，包括仿真时间、采样时间等。

3. 运行仿真运行仿真，观察系统输入饱和非线性环节前后的相轨迹图。

4. 分析相轨迹图对比有无非线性环节的相轨迹图，分析饱和非线性环节对系统性能的影响。

5. 求解超调量在输入单位阶跃信号的情况下，计算系统的超调量。

五、实验结果与分析1. 相轨迹图分析在饱和非线性环节的影响下，系统的相轨迹图发生了明显的变化。

当输入信号超出饱和非线性环节的上下限时，相轨迹图出现折线。

这表明饱和非线性环节限制了系统的运动范围，影响了系统的动态性能。

2. 系统性能分析通过对比有无非线性环节的相轨迹图，可以发现饱和非线性环节对系统的超调量和上升时间有一定影响。

当饱和非线性环节存在时，系统的超调量增大，上升时间变长。

这是因为饱和非线性环节限制了系统的运动范围，导致系统在达到稳定状态之前需要更多的能量。

3. 超调量计算在输入单位阶跃信号的情况下，系统的超调量为：超调量 = (终值 - 原始值) / 原始值其中，终值为系统稳定后的输出值，原始值为输入信号的幅值。

§4-3 相平面法相平面法是一种直观的几何方法, 它适用于系统的一维运动. 以位置x 、 速度x为坐标建立坐标系, 通常也称此坐标平面为相平面 (广义相平面). 相平面中任一点代表该时刻系统的运动状态, 称为相点. 相点连续变化形成的轨道则描述了系统的运动过程, 称为相轨道 (简称轨线), 这种图形也称相图.一、相轨道方程一维系统的运动微分方程一般可写成),(x x f x= 这时f 中不显含时间t , 这种情况的系统称为自治系统. 下面仅讨论自治系统.为了便于数值计算, 必须把1个二阶常微分方程化为2个一阶方程,==),(y x f y y x 2式相除即得相轨道方程y y x f x y ),(d d =尤其当原方程求解析解有困难时, 若能利用上述方程近似求出相轨道, 就可对系统的运动进行几何的、 定性的研究.二、轨线的作法不管系统是保守的还是耗散的, 运用计算机进行数值计算作相轨线是一种普遍使用的方法.对保守系统, 可利用势能曲线作相图. 这种情况, 相点的运动微分方程可写为−===x V y x f y y x d d ),( 其中V 为单位质量的势能, 系统能量守恒E x V y =+)(212 式中E 为单位质量的总能量, 而T V E =−为单位质量的动能. 于是))((2x V E y x−±== 下面说明如何利用势能曲线作出相轨道. 上图为势能曲线图, 下图为与之对应的相图.在势能曲线的图上作一条高度等于总能E 的水平线,此线与势能曲线的交点确定了质点的运动范围[]21,x x ,x 处的势能)(x V 可从图上求出, 进而求得)(x V E −和相应的两个y 值, 得到对x 轴对称的两个相点. 其他相点可同样得出. 连接所有相点得到与总能E 对应的轨线. 与此势能曲线对应的轨线是一条闭合曲线. 改变总能量的取值, 可得不同的轨线.例题1 求简谐振动的相图.解 这种情况, 相图可以解析地得出, 由于势能函数已知, 能量守恒方程为E kx x m =+222121 可直接得出相轨道方程1222222= + k E x m E x相轨道是闭合的椭圆, 运动是周期性的. 相应于质点在势阱中运动. 一条相轨道是一条等能线.例题2 求线性阻尼振动相图.解 相轨道方程为−−==x y ty y t x 202d d d d ωβ由于系统是耗散的, 能量随时间不断减少, 所以它的相轨道应是不断向内收缩的螺旋形状的曲线, 最后趋近于原点. 用数值计算方法求出的相图如图所示.三、轨线的普遍性质1. 对于自治系统, 轨线不随时间改变, 互不相交. 若相轨道是一条闭合曲线, 则系统做周期运动.2. 轨线的方向即相点沿轨线运动的方向, 由相点位置确定, 若相点处于相平面的上半部, 即相点的纵坐标,0>=xy 则运动方向向右; 若相点处于相平面的下半部, 则运动方向向左. 3.),(y x是相点运动速度矢量v 的两个分量.在相平面上各点作出这个速度矢量, 就构成速度场, 因此可以把相平面想像为流体力学中的流场, 故把相点的运动称为相流.对于保守系统, 由相点的运动微分方程−===x V y x f y y x d d ),( 可知这个速度场的散度为0=∂∂+∂∂=⋅∇=yy x x v v div表明在流动过程中相体积 (对于二维情况, 体积退化为面积) 守恒, 如图所示, 在相同时间内流过的面积 (如abcd 和d c b a ′′′′所围面积) 保持不变.对于耗散系统, 我们以线性阻尼振动为例说明它的相体积是不断减少的,相点运动微分方程为−−==x y ty y t x 202d d d d ωβ 速度场的散度为β2−=∂∂+∂∂=yy x x v div 这个结论是普遍正确的.四、奇点及其附近的轨线在相平面上, 满足0,0==y x的点称为奇点, 对此点有,00d d =x y 即相轨道方向是不确定的.从力学角度看, 奇点即平衡点, 表明系统处于平衡态, 故又称不动点.了解奇点的性质 (类型) 及奇点附近相轨道的情况, 就可以了解系统在平衡点受微扰后的发展情况.对于保守系统, 奇点有3种类型. 奇点的条件除要求速度为零外, 还要求加速度为零, 即要求,0d d =x V 因而奇点必与势能曲线的极大点、 极小点和拐点3种情况对应, 分别形成奇点的3种类型. 常见的是前两种, 根据势能曲线情况容易作出这两种奇点附近的轨线, 如图所示. 与势能极小值相应的奇点称为中心, 从它附近的轨线情况说明质点在平衡位置受微扰后仍在平衡位置附近围绕它做周期运动, 则此平衡为稳定的; 与势能极大值相应的奇点称为鞍点, 从它附近的轨线情况说明质点在平衡位置受微扰后最终将偏离平衡点很远, 则此平衡为不稳定的.利用相图对非线性系统行为进行研究是很重要的, 相图给出轨线形态的类型及其拓扑结构的稳定性[赵凯华. 从单摆到混沌. 现代物理知识, 1993,5(4):14].。

相平面的概念
嘿，咱今天来说说相平面这个概念哈。

就说有一次我去游乐场玩那个碰碰车，那场面可热闹啦！我坐在碰碰车里，就跟开着个小赛车似的。

我一开始瞎转悠，也不知道咋玩，就到处撞来撞去。

后来我发现，每次我转动方向盘，车的走向就会变化，而且跟其他车碰撞后的反应也不一样。

这就好像相平面里的那些线条和轨迹一样。

在相平面里啊，各种状态和变化都能表现出来。

就跟我在碰碰车场里，车的位置、速度啥的，都能通过我的操作和碰撞直观地感受到。

我一会儿加速冲过去，一会儿又急刹车避免碰撞，这就像相平面里的点在不断变化位置呢。

哎呀，想想还挺有意思的，玩个碰碰车都能让我联想到相平面这么个有点深奥的概念。

原来生活中的一些小事，也能和这些知识联系起来呀！所以说呀，相平面可真是个神奇的东西呢，就像我在碰碰车场里的那些体验一样丰富多彩！
咋样，我这么说是不是让相平面这个概念好理解多啦？哈哈！。

常微分方程的相与相平面相与相平面是研究常微分方程的重要工具之一。

它通过可视化的方式，使我们能够更好地理解和分析微分方程的解的行为和性质。

本文将介绍相与相平面的基本概念、构造方法以及在解析解和稳定性分析中的应用。

1. 相与相平面的基本概念相与相平面（Phase Plane）是指以自变量 t 作为横坐标，因变量 y 及其导数 y' 作为纵坐标的平面。

在相与相平面上，我们可以用轨线表示微分方程的解的变化情况。

轨线上的每一个点代表解在某一时刻的取值。

通过观察轨线的形状和演化趋势，我们可以得到关于微分方程的重要信息。

2. 相与相平面的构造方法构造相与相平面的方法有很多种，下面将介绍两种常见的方法。

（1）零等值线法零等值线法是最常见的构造相与相平面的方法之一。

它通过在相平面上画出方程 y' = 0 的零等值线，即表示导数为零的点，来确定轨线的方向。

简单来说，零等值线是指在平面上使得 y' = 0 的曲线。

轨线上的点的导数与零等值线的斜率有关。

在零等值线的两侧，轨线向上或向下的趋势也是不同的，从而可以通过观察零等值线和轨线的交叉情况来判断解的行为。

（2）向量场法向量场法是另一种常见的构造相与相平面的方法。

它通过在相平面上画出方程 y' 的向量场，即在不同点上的导数值对应的向量，来表示解在不同点上的趋势。

向量场法允许我们更直观地理解解的变化规律。

在相平面上，向量场的方向和长度都与导数的值有关。

根据向量的方向和长度，我们可以判断解的趋势和稳定性。

3. 相与相平面的应用相与相平面的优点在于能够提供对微分方程解的直观理解。

它在解析解和稳定性分析中有着广泛的应用。

（1）解析解通过相与相平面的分析，我们可以得到微分方程解的形状、周期性和稳定性等信息。

在解析解的求解过程中，相与相平面可以帮助我们更好地理解解的行为，并优化求解的方法。

（2）稳定性分析相与相平面也是稳定性分析中的重要工具。

通过观察相平面上的轨线，我们可以判断解的稳定性和收敛性。

7.2 相平面法相平面法是一种在时域中求解二阶微分方程的图解法。

它不仅能分析系统的稳定性和自振荡，而且能给出系统运动轨迹的清晰图像。

相平面法一般适用于二阶非线性系统的分析。

7.2.1 相平面的基本概念1. 相平面和相轨迹设一个二阶系统可以用下面的常微分方程),(=+xxfx（7-1）来描述。

其中),(xxf 是x和x 的线性或非线性函数。

在一组非全零初始条件下()0(x 和)0(x不全为零)，系统的运动可以用解析解)(tx和)(tx 描述。

如果取x和x 构成坐标平面，则系统的每一个状态均对应于该平面上的一点，这个平面称相平面。

当t变化时，这一点在x-x 平面上描绘出的轨迹，表征系统状态的演变过程，该轨迹就叫做相轨迹（如图7-8(a)所示）。

相平面和相轨迹曲线簇构成相平面图。

相平面图清楚地表示了系统在各种初始条件下的运动过程。

例如，研究以方程22=++xxxωξω（7-2）描述的二阶线性系统在一组非全零初始条件下的运动。

当0=ξ时式（7-2）变为2=+xxω（7-3）初始条件为)0(xx=，)0(xx=，方程（7-3）对应有一对虚根，即ωjp±=-2,1式（7-3）的解为图7-8 相轨迹)sin(ϕω+=tAx（7-4）式中，2220ωxxA+=，arctanxxωϕ=设x为描述二阶线性系统的一个变量，取x为描述系统的另一状态变量，即)cos(ϕωω+==tAdtdxx （7-5）从式（7-4）、式（7-5）中消去变量t，可得出系统运动过程中两个状态变量的关系为222)(Axx=+ω这是一个椭圆方程。

椭圆的参数A取决于初始条件x和x 。

选取不同的一组初始条件，可得到不同的A，对应相平面上的相轨迹是不同的椭圆，这样便得到一个相轨迹簇。

0=ξ时的相平面图如图7-9所示，表明系统的响应是等幅周期运动。

图中箭头表示时间t增大的方向。

2.相轨迹的性质相平面的上半平面中，0>x ，相迹点沿相轨迹向x轴正方向移动，所以上半部分相轨迹箭头向右；同理，下半相平面0<x ，相轨迹箭头向左。

自动控制原理相平面法知识点总结自动控制原理相平面法是控制工程中的重要方法之一，通过将系统的转移函数映射到相平面上进行分析，可以得到系统的稳定性、动态响应等性能指标。

以下是对自动控制原理相平面法的知识点总结：1. 相平面的概念及表示相平面是用来表示系统传递函数的一种图形化工具，通常由实部和虚部组成。

相平面上的点代表传递函数在不同频率下的响应，可以通过绘制相平面上的轨迹来分析系统的动态特性。

2. 极点和零点极点和零点是传递函数中的重要概念。

极点是使传递函数分母等于零的根，影响系统的稳定性和动态响应；零点是使传递函数分子等于零的根，影响传递函数在不同频率下的响应特性。

3. 映射关系和稳定性判断相平面法中的映射关系将传递函数的极点映射到相平面上，通过分析相平面上的极点位置可以判断系统的稳定性。

一般来说，当系统的所有极点位于相平面的左半平面时，系统是稳定的；当存在极点位于右半平面时，系统是不稳定的。

4. 频率响应和幅频特性频率响应是指系统在不同频率下的输出响应情况。

相平面法可以通过绘制Bode图来分析系统的频率响应及其幅频特性。

幅频特性描述了系统的增益对频率的依赖关系，可以用来评估系统的稳定性和频率衰减特性。

5. 极点分布和动态响应传递函数的极点分布可以直接反映系统的动态响应特性。

相平面法可以通过绘制极点分布图来分析系统的阻尼比、超调量等动态性能指标。

例如，共轭复根表示系统存在振荡；实部大于零的极点会导致系统的不稳定和不良的动态特性。

6. 根轨迹分析根轨迹是描述系统极点随参数变化而形成的轨迹。

根轨迹可以通过绘制相平面上函数极点的运动轨迹来分析系统的稳定性和动态响应。

根轨迹的性质包括起点、终点、对称性等，可以提供关于系统稳定性和响应特性的重要信息。

7. 闭环稳定判据通过相平面法可以得到闭环传递函数的极点位置，进而判断闭环系统的稳定性。

常用的闭环稳定判据包括Nyquist判据和Routh-Hurwitz判据。