山西师范大学群论研究

2
结果及证明
命题 1 H1 ， H2 ， H3 ≤ G． 若 H1 ， H2 ， H3 之间存在包含关系， 设 G 是群， 则 H1 ∪ H2 ∪ H3 ≤ G i ∈ ｛ 1 ，
2， 3 ｝ 使 H1 ， H2 ， H3 ≤ H i ． 证明 （ ） 显然 （ ） 由于 H1 ， H2 ， H3 之间存在包含关系， 不妨设 H1 ≤ H2 ， 此问题的条件便转化为 H2 ∪ H3 ≤ G． 由引 H2 ≤ H3 或 H1 ， H3 ≤ H2 ． 即 i 使 H1 ， H2 ， H3 ≤ H i ． 理 1 知 H2 ≤ H3 或 H3 ≤ H2 ． 于是有 H1 ， H1 ， H2 ， H3 ≤ G ， H1 ∪ H2 ∪ H3 ≤ G ， H1 ∩ H2 ∩ H3 = 1 ． 若不存在 i， j ∈ ｛ 1， 2， 3｝ ， 命题 2 设 G 是群， i ≠ j， 2， 3｝ ， 使 Hi Hj ， 则 k ∈ ｛ 1 ， 有 H k ≌ Z 2 且 H1 ∪ H2 ∪ H3 ≌ Z 2 × Z 2 ． H2 \ （ H1 ∪ H3 ） ≠ ， H3 \ （ H2 ∪ H1 ） ≠ ． 证明 （ i） H1 \ （ H2 ∪ H3 ） ≠ ， H2 ≤ H3 或 由对称性， 只需证 H1 \ （ H2 ∪ H3 ） ≠ ． 若否， 则 H2 ∪ H3 = H1 ∪ H2 ∪ H3 ≤ G． 由引理 1 ， H3 ≤ H2 ． 与题设矛盾． （ ii） i， j ∈ ｛ 1， 2， 3｝ ， i ≠ j， Hi ∩ Hj = 1 ． ab 若否， 不妨设 H2 ∩ H3 ≠ 1 ． 取 a ∈ H2 ∩ H3 且 a ≠ 1 ． 由（ i） ， 可取 b ∈ H1 \ （ H2 ∪ H3 ） ． 则 ab H2 ， ab ∈ H1 ． 从而 a ∈ H1 ． 进而 a ∈ H1 ∩ H2 ∩ H3 ． 与 a 的取法矛盾． H3 ． 由 H1 ∪ H2 ∪ H3 ≤ G ， （ iii） | H1 | = | H2 | = | H3 | = 2 ： h 2 ∈ H2 \ （ H1 ∪ H3 ） ， h 3 ∈ H3 \ （ H1 ∪ H2 ） ． 由 h 1 ∈ 由（ ii） 可知 H1 ∩ H3 = 1 ． h1 ∈ H1 \ （ H2 ∪ H3 ） ， H1 \ H2 ， h 2 ∈ H2 \ H1 ． 有 h 1 h 2 H1 ， h 1 h 2 H2 ． 由 H1 ∪ H2 ∪ H3 ≤ G ， h1 h2 ∈ H3 ． 进而 h1 h2 h3 ∈ H3 ． 同理 h2 h3 ∈ H1 ． 进而 h1 h2 h3 ∈ H1 ． 于是 h1 h2 h3 ∈ H1 ∩ H3 = 1 ． 进而 （ H1 \ （ H2 ∪ H3 ） ） （ H2 \ （ H1 ∪ H3 ） ） （ H3 \ （ H1 ∪ H2 ） ） = 1 故有 | H1 \ （ H2 ∪ H3 ） | = | H2 \ （ H1 ∪ H3 ） | = | H3 \ （ H1 ∪ H2 ） | = 1 ． 于是 H1 = （ H1 ∩ （ H2 ∪ H3 ） ） ∪ （ H1 ∩ （ H2 ∪ H3 ） ） = （ H1 \ （ H2 ∪ H3 ） ） ∪ （ H1 ∩ H2 ） ∪ （ H1 ∩ H3 ） = ｛ 1 ， h1 ｝ ． h2 ｝ ， H3 = ｛ 1 ， h3 ｝ ． 同理 H2 = ｛ 1 ， 综上可知 | H1 ∪ H2 ∪ H3 | = 4 且 H1 ∪ H2 ∪ H3 含有三个 2 阶子群可知 H1 ∪ H2 ∪ H3 ≌ Z2 × Z2 ． H1 ， H2 ， H3 ≤ G ， H1 ∪ H2 ∪ H3 ≤ G ， H = H1 ∩ H2 ∩ H3 ． 若不存在 i， j ∈ ｛ 1， 2， 3｝ ， 命题 3 设 G 是群， i ≠ j， 使 Hi Hj ， 则 H － H1 ∪ H2 ∪ H3 且 H1 ∪ H2 ∪ H3 / H ≌ Z 2 × Z 2 ． （ i ） H1 \ （ H2 ∪ H3 ） ≠ ， H2 \ （ H1 ∪ H3 ） ≠ ， H3 \ （ H2 ∪ H1 ） ≠ ． 证明同命题 2 证明过程中的（ i） ． 证明 （ ii） i， j ∈ ｛ 1， 2， 3｝ ， i ≠ j， H i ∩ H j = H： ab 若否， 不妨设 H2 ∩ H3 ≠ H． 取 a ∈ H2 ∩ H3 且 a H． 由（ i） ， 可取 b ∈ H1 \ （ H2 ∪ H3 ） ． 则 ab H2 ， ab ∈ H1 ． 从而 a ∈ H1 ． 进而 a ∈ H1 ∩ H2 ∩ H3 = H． 与 a 的取法矛盾． H3 ． 由 H1 ∪ H2 ∪ H3 ≤ G ， （ iii） HH1 ∪ H2 ∪ H3 且 H1 ∪ H2 ∪ H3 / H ≌ Z2 × Z2 ． － （ iii1 ） N1 ， N2 ， N3 ， H 之间不存在包含关系． N2 = H2 \ H ， N3 = H3 \ H ， N2 ， 设 N1 = H1 \ H ， 则 N1 ∪ N2 ∪ N3 ∪ H = H1 ∪ H2 ∪ H3 ≤ G． 由（ i） 知 N1 ， N3 非空． 又由（ ii） N1 ， N2 ， N3 ， H 中任意两个的交都为空集． 即证．

＝
Ｍ
：…
．
（ （ Ｇ ） ， ｌ ， ２ ， Ｘ ， ３ …， Ｘ ｎ － Ｉ ） ， （ ｐ 个） ． 设 Ｇ是亚交换群， ０ ， ｂ∈Ｇ ． 对于任意的正整数 √ ， 设
［ ， ｊ ｂ ］＝ ［ 口 ， ｂ ， 口， …ａ ， ｂ ， …， ｂ ］
—
文 献标 识 码 ： Ａ
关键词 ： 群； 半二 面体群 ； 极 大子群
中 圈分 类 号 ： Ｏ １ ５ ２
在有 限 Ｐ群 中 ， 我 们 观察 到一 个有趣 的现 象 ： 半－ － Ｎ体 群 ｓ ｜ Ｄ 的三个 极 大子群 分别 同构 于 Ｃ ： ， Ｄ ： 一 和Ｑ ＿ ｌ ’ 这 三 者互不 同构． 对 偶地 ， Ｐ 阶群 Ｇ的极 大商 群 Ｇ ／ Ⅳ是指 满足 条件 ｌ Ｇ ／ Ｎ Ｉ ＝Ｐ 。 的商群． 而亚 循
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ２ － ０ ９ － ２ ４ 作者简介 ：王亮亮 （ １ ９ ８ ０ 一） ， 男， 山西柳林人 ， 吕梁学院数学系讲师 ， 硕士 ， 主要从事有限群论方面的研究．
第 １ 期
王亮亮 ： 关 于半二面体群 的极大 子群的一个注记
・ ２ ５・
２ 主 要 结 果
环 的内交换Ｐ 群 （ ２ ， ２ ） 的三个极大商群分别同构于 Ｃ ： Ｘ Ｃ ， Ｄ 。 和Ｑ ， 这三者也互不同构． 由于半二面体 群在有限ｐ群中占有十分重要的地位 ， 由此启发我们提出下列两个问题 ： 极大子群互不同构的有限 ｐ 群还 有哪些？ 极大商群互不同构的有限 ｐ 群还有哪些？ 本文给出了满足这些条件的群的例子．
ａ ， Ｖ ・ ａ ＝
从而 （ Ｇ ）＝ ａ ， ｃ ） ， 由引理 ｌ 得， Ｇ的三个极大子群分别为 ： Ｍ ＝＜ ｂ ， （ Ｇ ） ）＝（ ｂ ， ａ ， ｃ ） Ｍ２： （ 口 ， （ Ｇ ） ＞＝＜ ａ ， ａ ， ｃ ）＝ （ 口 ， ｃ Ｉ 口 ＝ｌ ， ｃ ＝ａ ２ 。 ， ［ 口 ， ｃ ］：１ ＞ Ｍ３： （ ａ ｂ ， ａ ， ｃ ）

山西师范大学学报（自然科学版）2011年总目录佚名【期刊名称】《山西师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(025)004【总页数】4页(P129-132)【正文语种】中文【中图分类】N所有极大子群皆交换或正规的有限群…………………………………………… 雒晓良秦鑫(1．1)群G的子群关于G的正规子群的商群…………………………………………… 张隆辉石化国(1．4)关于Plackett-Burman饱和设计数值分析方法的比较研究………………………………………………………………………………… 孟涛张应山(1．7) 奇异非线性sturm-liouvile问题非平凡解的存在性………………………………………… 张文丽(1．14)基于遗传算法的矩形件排样问题研究……………………………………………………… 李妮(1．19)关于Diophantine方程x3±8=3Dy2 ……………………………………………… 梁勇韩云娜(1．23)非负矩阵Perron根的上下界……………………………………………………… 胡刚高金燕(1．26)一类不育控制和捕获控制下的单种群模型……………………………………… 王文娟李秋英(1．29)基于Mallat算法的抽样值和直接算法…………………………………………… 冯成祥邸继征(1．34)基于Copula的中国股市与基金回报的尾部相关性分析…… 王敏周石鹏陈瑞浦梅志伟(1．38)基于模糊模拟的软件项目风险评估……………………………………………… 庞丽娟贾郭军(1．45)λ6最优图的充分条件……………………………………………………………… 张淑蓉王世英(2．1)Kn－M图中的路因子……………………………………………………………… 阮妮李建湘(2．5)m重有限非齐次马氏链熵率的收敛速度…………………………………………………… 鄢丽(2．9)双曲度量下导数的Schwarz-Pick不等式……………………………… 苑文法张敏段晓婧(2．14)一阶脉冲微分方程组的初值问题………………………………………………… 张杰明周碧波(2．17)可转换债券最优转换策略及其定价研究…………………………………………………… 朱艳芳(2．20)开放式基金的一种优化投资组合………………………………………………… 韩建新李齐(2．27)关于固定电话过渡至移动电话能源消耗的数学模型(英文) ………… 孟隆崔晓虹王暾(2．30)RCP(n)网络的并行路由算法………………………………………… 刘宏英高太平卢永红(2．38)基于遗传算法的图像分类…………………………………………………………………… 彭炜(2．41)基于粗糙k-均值的web事务的聚类……………………………………………… 曹棣孔晓斌(2．45)校园网序列比对蜜罐系统设计与应用……………………………………………………… 钟佳(2．50)关于被积函数f(x)≡0的一个充分条件的进一步结果……………… 陶有德任鹏路振国(3．1)半线性椭圆方程解的存在定理……………………………………………………………… 张辉(3．4)总人口变化的SIR型传染病模型的持续性…………………………… 刘艳闫萍白江红(3．6)推广的Jacobi椭圆函数法求解Jaulent-Miodek方程组…………………………… 于虹展红霞(3．11)具分布时滞的连续中立型变时滞系统的动态输出反馈H∞控制……………… 刘晓影包俊东(3．17)多个逆高斯总体尺度参数相等性检验…………………………………………… 杨静史建红(3．26)逼近优化问题中η-的鞍点最优性条件……………………………………………………… 叶提芳(3．30)一种求解一元代数方程的实用逼近算法………………………………………… 张泽华王川龙(3．35)Frobenius不等式的等式条件与可对角化矩阵的秩等式…… 林丽美周书明杨忠鹏陈梅香(3．39)迹非零的对称本原矩阵的scrambling指数……………………………………… 张月梅陈佘喜(3．43)一类多元整函数空间上再生核函数的存在性……………………………………………… 王春(3．47)有交易成本和红利的标的资产服从混合过程的期权定价…………… 乔克林蒋登智任芳玲(3．49)基于Copula-EVT模型的沪深股市尾部相关性分析……………………………… 余平史建红(3．54)基于辫群的门限代理盲多重签名方案…………………………………………… 任燕常敏慧(3．59)生产管理系统中审批逻辑的分析与设计…………………………………………………… 古玲聪(3．63)半素环上的左Jordan导子………………………………………………………… 刘珍魏妙(4．1)一类平面上的自仿射tiles ………………………………………………………… 王飞杨冰涛(4．4)具有年龄结构的MSEIS流行病模型稳定性分析……………………… 陈冬梅白江红闫萍(4．7)用改进的试探函数法求解非线性发展方程…………………………… 冯庆江崔娜韩亮(4．14)小波分析在函数优化中的应用……………………………………………………………… 王航(4．19)股票投资的风险价值VaR分析…………………………………………………… 张江红唐泉(4．25)敏捷制造中伙伴选择问题的多子差异演化算法……………………… 李瑞华李霞刘坤起(4．28)非下采样Contourlet变换在人脸识别中的应用…………………………………………… 王彩霞(4．33)硼/磷掺杂单壁碳纳米管电子结构的第一性原理计算………………… 张娟陈阿青邵庆益(1．50)D维量子阱中激子的声学极化子效应…………………………………………… 段晓峰侯俊华(1．56)基于ANSYS的塔式起重机四杆式附着结构强度分析………………… 朱冰谷立臣许睿(1．60)高能重离子碰撞中产生的强子和反强子的横质量分布…………………………………… 谢文杰(2．54)加偏压双光子光伏光折变晶体中Manakov孤子………………………………… 杨联弟苏艳丽(2．59)驻波声场声压幅度的实验测量…………………………………………………… 梁婷苏婕(2．64)第一性原理研究90 GPa下不同氧空位浓度对MgO电导率的影响…………… 张慧玲房勇(3．66)分数傅里叶变换的瑞利定理…………………………………………… 郑伟李勇杨虎(3．69)事件空间中变质量非完整系统的Lie对称性与守恒量…… 乔磊贾石海雷惠方梁景辉(3．73)语音信号的加窗傅里叶变换研究……………………………………… 徐坤玉张彩珍药雪崧(3．79)多室多温数控恒温水浴锅的研制与开发………………………………………… 徐文祥秦凯胜(3．83)L 10-FePt/FePt-C/Fe交换耦合梯度薄膜的制备与研究………………………… 王芳张静(4．37)高能重离子碰撞中的参与者数研究……………………………………………… 付美荣何春乐(4．41)海水表面张力的研究………………………………………………………………………… 张鹏(4．44)自由电子气体的费米量计算规律的探讨……………………………… 邱敏牟艳男张秀平(4．46)基于MATLAB的均匀N元直线阵性能仿真分析…………… 张清泉吉安平行小帅李莎莎(4．50)某钢厂步进式加热炉温度控制系统的设计……………………………………… 纪亚芳张志刚(4．54)用干涉法测量两简谐波的相位差…………………………………………………………… 张俊玲(4．58)［(BCO)5］2M(M=Fe，Co，Ni)金属夹心化合物的结构……………………… 郝爱琴贾建峰(1．65)三(2，4，6-三叔丁基芳氧基)钕催化ε-己内酯开环聚合特征的研究……………………………………………………………………… 张彩霞王艳张丽芳(1．72) 金属离子对邻氯酚红与牛血清白蛋白相互作用的影响…………………………………… 刘毓芳(1．77)废水中己内酰胺测定的两种方法比较…………………………………………… 杨晓婧白建华(1．80)过渡金属及其合金团簇的磁性检测实验研究进展……………………………… 吕瑾武海顺(2．67)吲哚与硝基烯烃的不对称Friedel-Crafts烷基化研究……………………………………… 贾雪锋(2．76)氰根桥连配合物［Ni2(μ2-L)(μ2-CN)2(CN)2］·H2O的合成、结构和性质研究………………………………………………………………………………… 张瑞凤赵彩娟(2．80) 基于小波变换的光谱分析法预测土壤总氮含量………………………………… 杨苗杨萍果(2．85)哈尔滨地区戊型肝炎的流行病学调查…………………………………………… 毕霖于源华(2．90)正交试验法纯化桑叶中黄酮类化合物研究……………………………………… 薛淑萍张立伟(2．93)基于共振瑞利散射光谱法对氧化苦参碱的测定研究……… 杨金香贺艳斌李俊波白熙(3．86)碳掺杂TiO2的制备表征及制备过程中影响因素的研究…………………………………… 田大惠(3．89)硝酸钬丙氨酸配合物及其配离子的标准生成焓研究………………… 郑平陈文生马晓玲(4．60)山西大同煤矸石山自然定居植物群落数量分类与排序分析…………………… 刘汪洋李素清(1．84)戈壁硕螽和大棘螽雄性鸣声结构的比较研究…………………………………… 赵敏芦荣胜(1．91)虚拟植物中环境因素影响及模拟的实现…………………………………………………… 张洁(1．95)山西翅果油树群落特征及多样性研究………………………………… 徐燕卢鹏毕润成(2．95)滩涂土地整理项目的生态影响评价——以古县白素村为例………………………………… 董丽丽薛龙义于亚军毕润成(2．100)中国金柄藻科(Stylococcaceae)植物研究………………………………………… 冯佳谢树莲(3．94)山西不同区域翅果油树群落特征的研究………………………………………… 毛婷婷毕润成(3．98)不同干扰程度对翅果油树种群结构与动态的影响…………………… 卢鹏徐燕毕润成(3．103)ASI法在山西褐土速效磷测定中的应用研究………………………… 王永刚王莉赵洁(3．109)山西吉县退耕地土壤种子库特征研究…………… 杨世栋卢鹏徐燕贾娟毕润成(3．115)大孔树脂纯化沙棘色素静态吸附曲线的研究……………………………………………… 朱志敏(4．65)反枝苋群落的物种多样性研究………………………………………… 王慧敏庞春花赵彩莉(4．69)Na2 SO3和NaHSO3对小鼠胃壁形态结构影响的研究……………………………………… 周艳华(4．74)褐土剖面磁化率与重金属元素变化特征及相关性研究………………………… 王艳红郑国璋(1．98)晋西北丘陵风沙区人工植被数量分类与排序研究……………………………… 赵德怀李素清(1．103)临汾市尧都区生态经济区划研究…………………………… 刘雪婷张爱国于亚军薛龙义(1．110)基于网络GIS的福建矿业权图形辅助审查系统设计与建设………… 刘金星李新通李名勇(1．116)基于生产力可持续指数的浙江省耕地利用动态分析…………………………… 李宇芳郑国璋(1．121)浮山县寨圪塔乡农用地利用动态变化分析…………………………… 安丽娟张爱国薛龙义(1．125)临汾市生态环境现状评估报告……………………………………………………………… 张爱国(2．106)大珠江三角洲港口群结构优化研究…………………………………… 郑芝杨肖玲林志海(2．110)晋城市生态城市水平建设研究…………………………………………………… 孙成慧薛龙义(2．117)太行山大峡谷旅游可持续发展模式与对策……………………………………… 陆霞张永清(2．121)临汾市48年日照时数变化趋势及影响因子分析………………………………………………… 贾海燕高明王惠荣狄晓英孙悦(2．124) 中国成年女性心输出量参考值与地理环境的关系研究……………………………………… 向思亭葛淼井静王欣张亚平闫燕春(3．120)基于NDVI的临汾市植被覆盖动态变化遥感监测研究……………… 尹超王艳芳张爱国(3．125)基于生态足迹的延庆县可持续发展水平测度研究……………………………… 武于非张贵祥(4．77)临汾凹陷“火炉”气候的成因探析………………………………………………… 段若笋薛红平(4．83)临汾凹陷地层的划分探索……………………………………………… 刘佩张杏梅马志正(4．88)唐北都中城地理环境略考…………………………………………………………………… 樊晓剑(4．91)基于物元分析的皖北城市土地集约利用评价…… 苏海民何爱霞袁新田方刚董传斌(4．96)大同市入境旅游客源市场特征的动态分析………………… 牛翠珍王国梁贾文毓孙玉梅(4．101)海峡西岸旅游区城市旅游经济联系研究………………………………………… 刘丽华林明水(4．108)体验经济时代城市边缘型湿地生态旅游开发模式……………………………… 赵瑞张碧星(4．114)资源型城市经济转型绩效与人力资源支撑研究——以山西省为例…………………………………………………………… 赵淑渊牛冲槐(4．119)运用层次分析法对武广高铁客运进行定量评估…………… 曹伟卢应发吴娟娟张姗姗(4．124)我校化学学科成为一级博士学位授权学科…………………………………………………………(1．22)武海顺教授捐出十万元设立山西师范大学博士研究生创新基金…………………………………(1．25)北京大学张继平教授应数计学院邀请来我校进行学术交流………………………………………(1．83)国家自然基金委常务副主任王杰应邀来我校作报告………………………………………………(1．109)中北大学靳祯教授应山西师范大学数学与计算机科学学院邀请来我校进行学术交流…………(2．26)英国谢菲尔德大学物理系Gillian Anne Gehring教授莅临我校作学术报告………………………(2．44)美国西密西根大学化学系莫亦荣教授莅临我校作学术报告………………………………………(2．89)中国科学技术大学郭文彬教授、上海大学郭秀云教授应山西师范大学数学与计算机科学学院邀请来我校进行学术交流…………………………………………………(2．105) 日本大阪大学Yoshihisa Inoue教授莅临我校作学术报告…………………………………………(3．38)《山西师大体育学院学报》更名为《体育研究与教育》………………………………………………(3．53)山西省科技厅组织专家组对我校省基础研究计划项目进行结题验收……………………………(3．82)2011年全国计算群论讲习班在我校举行……………………………………………………………(3．93)2011年度我校10个项目获得国家自然科学基金资助……………………………………………(3．97)美国德州农工大学化学系李建荣博士来我校作学术报告…………………………………………(4．32)山西省“百人计划”入选专家、澳大利亚墨尔本大学王耀麟教授来我校讲学……………………(4．57)山西师范大学化学与材料科学学院举办第六届博士论坛…………………………………………(4．73)复旦大学物理系金晓峰教授来我校作学术报告……………………………………………………(4．82)山西师范大学生命科学学院举办第四届博士论坛…………………………………………………(4．107)。

ＩＩｌｌＩＦＩｌＩｒｌｌｆｌＩＴＩｆｌＹ２３０７３４８论文题目：关于基本Ｐ群的性质与分类问题专业：基础数学硕士生：王飞签名：盈坠指导教师：曲海鹏副教授签名：奠扯逢雌摘要设Ｇ是有限非交换Ｐ群，日是Ｇ的子群．如果Ｈ＜Ｇ就有日７＜Ｇ７，则称Ｇ是基本Ｐ群．本文给出了基本Ｐ群的一些性质，特别是，得到了一个有限Ｐ群是基本ｐ群的充要条件．进一步地，运用循环扩张理论分类了ｅ（０７）Ｇ３＝ｌ且非交换子群均为基本Ｐ群的有限Ｐ群．最后对一般的小阶基本Ｐ群做了初步的探索．【关键词】基本Ｐ群内交换Ｐ群４２群循环扩张【论文类型】基础数学本文得到国家自然科学基金（批准号：１１０７１１５０），山西省自然科学基金（批准号：２０１２０１１００１．３），和山西省留学回国人员资助项目（批准号：晋留管办发［２０ｎ］ｓ－５９）．ａｂｏｕｔｂａｓｉｃｐ－Ｔｉｔｌｅ：ＳｏｍｅｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓａｎｄｃｌａｓｓｉｆｉｃａｔｉｏｎｐｒｏｂｌｅｍｇｒｏｕｐｓＭａｊｏｒ：ＰｕｒｅｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓＮａｍｅ：ＦｅｉＷａｎｇ及儿ＰｒｏｆｅｓｓｏｒＨａｉｐｅｎｇＱｕＳｕｐｅｒｖｉｓｏｒ：ＡｓｓｏｃｉａｔｅＡｂｓｔｒａｃｔＨ’＜Ｇ’ＡｓｓｕｍｅＧｉｓａ丘ｎｉｔｅｐ－ｇｒｏｕｐａｎｄＨｉｓａｓｕｂｇｒｏｕｐｏｆＧ．Ｉｆｗｈｅｎｅｖｅｒ日＜Ｇ，ｔｈｅｎＧｉｓｃａｌｌｅｄａｂａｓｉｃｐ－ｇｒｏｕｐ·Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｓｏｍｅｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｉｎｐａｒｔｉｃｕｌａｒ，Ａｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓａｂｏｕｔｂａｓｉｃｐ－ｇｒｏｕｐｓａｒｅｂｅａｂａｓｉｃｐ－ｇｒｏｕＰａｒｅ９１Ｖｅｎ·ａｎｄｎｅｃｅｓｓａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｆｏｒａｆｉｎｉｔｅｐ－ｇｒｏｕｐｔｏＭｏｒｅｏｖｅｒ，Ｆｉｎｉｔｅｐ－ｇｒｏｕｐｓｓａｔｉｓｆｙｉｎｇ西（Ｇ７）Ｇ３２１ａｎｄａｌｌｏｆｎｏｎ－ａｂｅｌｌａｎｕｓｉｎｇＭａｇｍａＳＯｒｅｅ１ｍｏｒ、ｍａ－ｓｕｂｇｒｏｕｐｓａｒｅｂａｓｉｃａｒｅｃｌａｓｓｉｆｉｅｄ．Ｆｉｎａｌｌｙ，Ｂｙａｌｓｏｇｉｖｅｎ．ｔｊｏｎａｂｏｕｔｂａｓｉｃｐ－ｇｒｏｕｐｓｏｆｓｍａｌｌｏｒｄｅｒａｘｅ【ＫｅｙＷｏｒｄｓ】ｂａｓｉｃＰｇｒｏｕｐ，ｍｉｎｉｍａｌｎｏｎ—ａｂｅｌｉａｎｉｍｓｕｂｇｒｏｕｐ，Ａ２一ｇｒｏｕｐ，ｃｙｃｌｉｃｅｘｔｅｎｓｉｏｎ【ＴｙｐｅｏｆＴｈｅｓｉｓ１ＰｕｒｅｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓＰｒｏｖｉｎｃｅ（ｎｏ·２０１２叭００ｌ删Ｔｈｉｓｗ。

情形 ２ Ｃ （ Ｇ）＝３ ．
＝
［ ｒ 上 ， ６ ］＝ ｎ
＞， ｍ ＞ ｎ≥ ３ ．

（ Ｉ Ｉ Ｉ ）＜０ ， ６ Ｉ Ⅱ ：６ ＝１ ， ［ ｎ ， ｂ ］ ＝ｎ ＞；
（ Ｉ Ｖ） ＜ｎ ， ６ ｌ Ⅱ ＝６ ” ＝１ ， ［ （ ｚ ， ６ ］ ＝ｆ 』 ＞； （ Ｖ） ＜ ｒ 上 ， ｂ Ｉ ＝ｂ ＝１ ， ［ ｒ 上 ， ６ ］ ＝ ｎ ＞， Ｐ≥ ３ ， ， ｎ≥ ２ ； （ Ｖ Ｉ ） ＜０ ， ６ ｌ ｎ ＝ １ ， ６ ＝ｎ ， ［ ０ ， ６ ］ ＝ ａ ＞； （ Ｖ Ｉ Ｉ ） ＜ｎ ， ｂ Ｉ ｒ 上 『 一＝ １ ， 厶 ｍ： ， ［ ０ ， ６ ］＝ｎ ＞， Ｐ≥ ３ ， ｍ ≥３ ．
６ （ Ｇ ）为群 Ｇ的 Ｐ导 群 ， 则有 Ｉ Ｇ ： ６ （ Ｇ ）ｌ ≥Ｐ ．本 文 给 出 了 Ｉ Ｇ ： ６ （ Ｇ ）Ｉ ＝Ｐ的 极 小 非 ｐ 交 换 Ｐ群 的分 类 ． 关键词 ： Ｐ交 换 Ｐ群 ； Ｐ导 群 ； 亚 循 环 Ｐ群 中图分类号 ： Ｏ１ ５ ２ ． １ 文 献 标 识 码 ：Ａ
・
ｌ ６・
ｉ Ｉ Ｊ 帅 池大 学学 报 （ｆ ｛ 然科学版 ）
２ Ｏ １ ５年
（ Ｉ ） ＜ｎ ， ｂ Ｉ ｎ ＝６ ＝１ ， ［ ｒ 上 ， ６ ］ ＝ Ｈ 。＞， ｎ ≥３ ， ｍ ≥２ ；
（ Ｉ Ｉ ）＜ ， ６ Ｉ（ ／ Ｐ “ ＝１ ，
１ ＝１ ≤ ｍ
…
， ｍ 、／ ｎ 、
引理 ２
＝
设 Ｇ为有 限群 ， 则 Ｇ为极 ／ Ｊ ， ｔ ￣ ｐ 交 换Ｐ群 当且 仅 当下列 条件 成立 ：（ １ ） ｄ （ Ｇ ）＝２ ； （ ２ ） （ Ｇ ）

，
促 进 了 我 所 与 国 外 的 学术 交 流
2003
年 北 京 大 学著 名 学者 徐
明 曜被 我校 聘 为 特 聘教 授
，
长期
在我 所 工 作
，
他 的 到 来拓 宽 了 我
’
所 的 学术 研 究 领 域
，
吸 引了
一
些
优 秀人 才 来 我 所 开 展
学术 交 流 和
长期工 作
，
特 别是 他 对提 升群 论
．
，
获 得 了 较 系统 的 研 究 成 果
。
在肯定
“
方 向上 首 次 部 分 回 答 了 由著名 群论 学家 B
H
u
ppe
=
等人 于
1967
年 在 他 的 有 限 群 专 著 中提 出 的
”
非可
也完
解群
G
中反
正 规
子 群 H 是 否 等 价 于 G 中 包含 H 的 子 群 都 是 自正 规 化 的
． ．
这样
一
个公 开 问 题
；
全 回 答 了 上 个世 纪 9 0 年 代 群 论 学 家 v S
M
”
o n a
kh
一
o v
提 出的
“
是 否 存 在 有 限 多个 非 交 换 单 群 G ( 除 交 代
数 美 国 《 学评 勘
陕 西 师 范 大 学兼职
，
博士 生 导师
数 《 学研 究》 编 委
、
数 》 《 学教 育 学{艮 编 委
、
评论 员
曾 荣 获 山 西 省 优 秀共 产 党 员
。
优 秀留 学回 国人 员

２ 主要 结 果
定理 １ 设 Ｇ为群 ， 对任 意 ０ｂＥ Ｇ的有 ［ ，］ ＥＧ． 则 ， Ｅ ０ ｂ 。Ｅ 证 明 设 Ｇ ＝Ｇ Ｇ ， Ｇ交换 ， 而 Ｇ是 Ｐ 交 换 的． ／ 则 从 ・ 对任 意 的 ０， ｂ∈Ｇ 有 ［ ，］ ＝１ 即得 ［ ，］ ， ０ ｂ ， ０ ｂ ∈
定 义 ６ ［
称 群列 Ｇ ：６ （ ）＞６（ ） ＞… ＞６（ 。Ｇ Ｇ Ｇ）：１ 为群 Ｇ的 Ｐ 导群列 ， 中 ６（ － 其 Ｇ）：６ Ｇ ， （ ）
对 ｉ＞ １ 有 ＋（ Ｇ）： ［ Ｇ ， Ｇ ］ Ｐ ：Ｐ Ｇ ６（ ） （ ） － （ ）被称 为群 Ｇ的 Ｐ 导群 列 的长度 ． － 定义 ７ 称 群列 Ｇ ： ７ （ １ Ｇ）＞７ （ ）＞ … ＞７ ＋（ １ Ｇ ２ １ Ｇ）： １ 为群 Ｇ的 Ｐ 下 中心群列 ， 中 叼 （ 一 其 ２Ｇ）： ６ Ｇ ， ｉ＞２有 叼 （ （ ）对 … Ｇ）： ［ Ｇ）Ｇ］． 叼（ ， 定 义 ８ 称群 列 １： （ ）＜ （ ）＜… ＜ （ ）：Ｇ为 群 Ｇ的 Ｐ上 中心 群列 ， 中 （ ）： Ｇ ， Ｇ Ｇ Ｇ － 其 Ｇ （ ）
张 勤海 （９ ５ ） 男 ， １５ 一 ， 山西翼城人 ， 山西 师范 大学 数学 与计算机 科学学 院教授 ， 博士 ， 士生导师 ， 博 主要从 事
群 论 方 面 的研 究 ．
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・
２・
山西师范大学学报 （ 自然科 学版 ）
２０ ０ ７正
中 图分 类 号 ：０ ５ ． １２ １ 文献标识码 ： Ａ
众 所 周知 ， 交换 性在 有 限群 的研究 中具 有非 常重 要 的 意义 ． 了 能在 有 限 ｐ群 中更 好 的研 究交 换 性 ， 为 －

证 明 下 面分 Ｇ幂 零 和不幂 零来 考虑 ．
若 Ｇ不幂零 ， 则必存在 ｑ∈Ｓ ｌ Ｇ 且 Ｑ不正规于 Ｇ 分以下几步来证明． ｙ（ ） 。 ，
（ ） 明 Ⅳ。 Ｑ） ＝ ｑ １证 （ ． 若 Ｎ （ ）＞ｑ， ｑ ∈Ｓｌ Ｎ （ ） ， ｑ Ｎ （ ） 所 以 ｑ ｃａ Ｎ （ ） Ｇ 即 ｑ Ｇ 矛盾 ． ＧＱ 则 ｙ （ 。 ｑ ）又 。 ｑ ， 。 ｈｒ ｃ ｑ ， ， 又 Ｉ Ｎ（ Ｇ： ｑ）ｌ＝Ｐ 所 以有 ｌ Ｑ Ｉ＝Ｐ ， Ｇ： ．
（ ） ＝２ Ｇ ＝ Ｄ ￥Ｑ ． ３Ｐ ， ８ ８
引理 ４ 若 是 Ｇ的极 小非 正规子 群 ， Ｈ 为循环 ｑ 群 （ 则 一 ｑ为任 一素数 ） ．
证 明 若 非循 环 ，设 。 ， 为 日 的两 个 极 大 子 群 ，则 由题 意 知 。 为 Ｇ 的正 规 子 群．又 ， Ｈ ：Ｍ． ， Ｈ为 Ｇ的正 规子群 ， 盾． 以 只能为循 环 ｑ 群． Ｍ：则 矛 所 一
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山西师范大学学报 （ 自然科学版 ） 第２ ２卷第 ３期
２０ ０ ８年 ９月
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＳ ａ ｘ ｒ ｌＵ ｉ ｅｓｔ ｏ ｒ ａ ｈ ｎ ｉＮｏ ｍａ ｎ ｖ ｒ ｉ ｏ ｙ
Ｎａｕ ａ ｃｅ ｅ Ｅｄ ｔ ｎ ｔｒ Ｓ ｉｎｃ ｉｉ ｌ ｏ Ｖ０ ． ２ Ｎｏ． １２ ３
摘
要： 通过研究有限群 Ｇ的 Ｓ ｌ ｙ ｗ子群 ， 出了恰有Ｐ Ｐ＞２ 个相互共轭的非 正规子群 的有限群的完 ｏ 给 （ ）
全分类 ， 以及恰有 ２个不正规子群的有限的完全分类． 关键词 ： 共轭 ； 不正规子群 ； ｙｏ Ｓｌ ｗ子群 中图分 类号 ： １２ １ ０ ５ ． 文献标识码 ： Ａ
研究 具有许 多正 规子群 的有 限群是 近年来许 多 学者 感兴 趣 的 问题 ， 一个 著名 的例 子是 Ｄ ｄｋｎ ｅｅｉｄ群 ． 其 中一些 学者关 心 的是有 “ 多 ” 较 正规 子群 的有 限群 ， 句话 说 ， 有 较少 的不 正规 子 群 ． 如 Ｐｓｍ ｎ在 换 具 例 ａｓ ａ

基于模糊软集的群决策方法研究冯琴荣;王芬芬【摘要】针对基于模糊软集的群决策问题,将模糊软集相似度度量的概念引入到专家权重未知的群决策问题中来,分析了单个专家模糊软集与标准模糊软集之间的关系及单个专家模糊软集与其他专家模糊软集之间的关系,进而提出了一种构造专家权重的方法.最后利用模糊软矩阵和专家权重设计了一个基于模糊软集的群决策算法,实例表明该算法是合理的.【期刊名称】《西北大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(046)004【总页数】6页(P475-480)【关键词】模糊软集;相似度度量;群决策【作者】冯琴荣;王芬芬【作者单位】山西师范大学数学与计算机科学学院,山西临汾041004;山西师范大学数学与计算机科学学院,山西临汾041004【正文语种】中文【中图分类】O29;N94实际应用中采集的数据大都是不确定的、不精确的和模糊的,为了能从这些数据中提取出隐含的有用信息,学者们已提出了一些数学理论和工具。

如:模糊数学[1]、区间数学[2]、概率论等,但是这些理论都有其不完善的一面。

如模糊集理论在处理不确定性问题时需要提供隶属函数;概率论在处理不确定问题时需要提供先验概率;区间数学只是为问题的精确解建立一个区间估计,在大多数情况下区间数是非常有用的,但是它不能有效地处理不确定性问题。

针对上述理论存在的不足,1999年D.Molodstov 提出了软集理论[3]。

在软集基础上,Maji[4]提出了模糊软集的概念。

目前，模糊软集已被广泛应用于各个领域,如经济学、工程学以及环境科学等。

近年来对模糊软集的研究,无论是理论方面还是应用方面都已取得了很大的进展,特别是它在决策方面的应用已被大家广泛关注。

Maji等人[5]运用传统的对象求行和的方法获得最优决策,这种方法在模糊软集下就不适用了。

因此Feng等人[6]提出了水平软集的概念,将模糊软集转化为软集从而进行决策。

Guan等人[7]研究了模糊软集的软信息序关系,并给出了基于模糊软集的决策算法。

张勤海，男, 1955年12月25日生。

山西翼城人。

1998年8月毕业于美国纽约州立大学, 获该校数学博士学位。

原山西师范大学科技处处长、现为数学与计算机科学学院院长、数学教授，基础数学、应用数学硕士点导师。

山西师范大学学术带头人。

山西师范大学留学生协会会长。

陕西师范大学兼职博士生导师。

美国《数学评论》评论员。

主要研究方向: 群论与图论。

己招收4届14名硕士生。

主要科研成果：1980年以来, 一直在群论研究方向稳定而深入地坚持研究工作。

长期致力于研究具有某种性质的子群以及具有某种形式的阶的子群对群构造的影响问题。

比较完整地、系统地研究了与正规性有关的各种子群, 如拟正规子群、次正规子群、半正规子群、反正规子群对有限群的影响。

获得了较系统的研究成果。

特别是在肯定方向上首次部分回答了由著名群论学家B. Huppert等人于上个世纪60年代提出的非可解群中一个长期以来悬而未决的公开问题以及上个世纪90年代俄罗斯群论学家V. S. Monakhov提出的有限非交换单群中的一个公开问题。

所得主要结果发表在《Comm. Alg.》、《Arch. Math.》、《Algebra Colluquim》、《数学学报》等国内外知名学术刊物上。

先后发表论文38篇。

被SCI、MR收录、摘评27篇。

为美国《数学评论》撰写评论23篇。

5篇论文先后获山西省优秀学术论文一、二等奖。

先后主持承担国家级、省部级科研项目12项, 已完成9项。

主持完成的项目“子群对群构造的影响”获2001年山西省科技进步二等奖。

同年被山西省政府授予“优秀留学回国人员”荣誉称号。

被山西省委授予“优秀共产党员”荣誉称号。

2003年8月在我校组织召开了全国群论学术研讨会。

2004年被山西省总工会授予“职工职业道德先进个人”荣誉称号。

2005年被山西省科协授予“山西省优秀科技工作者”荣誉称号。

教学工作与成果：自1978年以来，先后为山西师范大学数学系本科生, 研究生开设《高等代数》、《近世代数》、《有限群论》、《置换群》、《数论》等专业必修课, 选修课十门。

山西师范大学数学与计算机科学学院群论研究方向时间:2013-03-07 11:13来源:未知作者:huawen 点击:310次（一）群论研究方向的研究内容及成果 1、群构造及群的可解性问题研究。

多年来, 我们长期致力于研究具有某种性质的子群以及具有某种形式的阶的子群对群构造的影响问题。

比较完整地、系统地研究了与正规性有关的各种子群, 如拟正规子群、次正规子群、半正（一）群论研究方向的研究内容及成果1、群构造及群的可解性问题研究。

多年来, 我们长期致力于研究具有某种性质的子群以及具有某种形式的阶的子群对群构造的影响问题。

比较完整地、系统地研究了与正规性有关的各种子群, 如拟正规子群、次正规子群、半正规子群、反正规子群、半置换子群等对有限群构造的影响。

2、群论方法对图论中问题的研究。

我们研究置换群本身的某些性质以及群在图上的作用,并应用群论方法和结果研究图论中的若干问题。

我们给出了奇素数幂阶的弧传递循环有向图、二面体上非正规1正则的4度Caley图、4p阶的弧传递的三度对称图、pn(n≤2)个点上度数不超过3的有向对称图的完全分类等结果。

3、有限p-群的正规结构问题研究。

我们在p-群研究领域解决了以色列p-群专家Y. Berkovich在他的未出版的p-群巨著《Groups of Prime Power Order 》中提出的几个公开问题，初步建立起p-群的研究队伍, 形成了自己的研究特色。

4、计算群论研究：计算群论是有限单群分类完成之后，越来越活跃的一个研究领域。

我们在该领域开始学习和研究，已开展初步工作。

（二）群论研究方向的发展简况我院的群论研究起步于1979年。

1979年暑假，山西大学张宝林教授邀请武汉大学张远达教授在太原举办有限群讲习班，张成业老师带他的学生张勤海前去听讲。

自此以后，有限群研究在我院开始起步。

根据学校发展的需要，1982年，在当时的院领导和数学系领导的支持下，代数教研室主任张成业老师派张勤海去武汉大学进修，系统学习代数学方面的知识。

2006年第27卷第2期中北大学学报(自然科学版)V ol.27　N o.2　2006 (总第106期)JOURNAL O F NORTH UNIVERSIT Y O F CHINA(NATURAL S CIENCE EDITION)(Sum No.106)文章编号:1673-3193(2006)02-0115-032-极大子群次正规的有限群的一个注记郭鹏飞1,2(1.山西师范大学数学与计算机科学学院,山西临汾041004;2.连云港师范高等专科学校数学系,江苏连云港222006)摘　要:　设H是有限群G的一个子群,若存在G的极大子群K,使得H是K的极大子群,则称H为G的一个2-极大子群.本文考查了群G的所有2-极大子群均在G中次正规时对有限群G结构的影响,得到内幂零群为超可解群的两个充分条件;当G的F ratt ini子群为1时,考虑F(G)的所有极小子群均在G中正规及群G阶的素因子之间的关系,得到群G幂零的一个充分条件.关键词:　次正规子群;正规子群;极小子群;内幂零群中图分类号:　O152 文献标识码:AA Note on Subnormal Finite Groups with2-Maximal SubgroupsGU O Peng-fei1,2(1.Scho ol of M athematics and Co mputer Sciences,Shanx i No rma l U niv ersity,L infen041004,China;2.D ept.of M athematics,Lianyungang T eachers′Colleg e,L iany ung ang222006,China)Abstract:A subg roup H of a finite g roup G is said to be2-m ax imal subgr oup in G if ther e is a subg roup K w hich is a max imal subgro up of G such that H is a max imal subgro up of K.A fter taking into account of the impact of all the subnorm al2-m aximal subgroups in G on the str ucture of the finite g roup G,the author has o btained tw o sufficient conditions for finite m inimal non-nilpotent g roups to be super-solv-able,and obtained a sufficient co ndition fo r finite gr oups to be nilpotent by taking into acco unt of the fact that ev er y m inimal subg roup of F(G)is no rmal in G and of the relationship o f the pr im e diviso rs of ûGûw hile (G)=1.Key words:subno rmal subg roups;nor mal subg roups;m inimal subg roups;no n-nilpotent gro ups 设G是一个群,G0,G1,…,G r是G的一些子群,满足1=G rüG r-1ü…üG1üG0=G,则称此群列为G的一个次正规群列,G i(i=0,1,…,r)称为G的次正规子群.次正规子群最早被H.Wielandt[1]研究. T.Foguel于1997年在文献[2]中引入了共轭置换子群的概念:群G的子群H称为G的共轭置换子群,若H H g=H g H,对任意g∈G都成立,记为H<c-p G.在文献[3]中,张勤海等证明了:设群G的2-极大子群均在G中共轭置换,若P(G)≠2,则G幂零;若P(G)=2,则G幂零或内幂零.由文献[2]知,共轭置换子群是次正规子群.本文在文献[3]的基础上,将条件“共轭置换”减弱为“次正规”,考虑群G的2-极大子群次正规的情况,得到内幂零群为超可解群的两个充分条件,并且对Fitting子群F(G)的每个极小子群正规于G的情况进行了研究,得到群G幂零的一个充分条件.本文考虑的群均为有限群,所用群论术语、符号可参阅文献[4],内幂零群的结构见文献[4].特别地,H sn G表示H为G的次正规子群,M<G表示M为G的真子群,P(G)表示ûGû的不同素因子的个数.X收稿日期:2005-10-29　基金项目:国家自然科学基金资助项目(10471085);山西省自然科学基金资助项目(20051007);教育部科学技术研究重点项目(10203);山西省回国留学人员基金资助项目　作者简介:郭鹏飞(1972-),男,讲师,博士生.主要从事群论的研究.116中北大学学报(自然科学版)2006年第2期1　预备知识引理1[5]　设G为有限群,ûGû=q s p r,p,q为素数,q sû(p-1),s=1,2,则G超可解.引理2[6]　设G为有限群,G=Z1Z2…Z n为两两可换的循环群Z i的乘积,则G为超可解.定义1　对于有限群G的阶之任一约数d,若存在G的d阶子群,则称群G为CLT群;群G的所有商群都是CLT群,则G叫做QCLT群.2　主要结果定理1　设群G的2-极大子群均在G中次正规,若P(G)≠2,则G幂零;若P(G)=2,则G幂零或内幂零,且当G内幂零时,不妨设G=P Q,其中PüG,QüG,P∈Syl p(G),Q∈Syl q(G);若qû(p-1),则G超可解.证明　若P(G)≠2,由于极大次正规子群是正规的,所以由假设可知,G的每一极大子群均幂零.若G非幂零,则G内幂零,从而P(G)=2,与P(G)≠2的假定矛盾,故G幂零.考虑P(G)=2.设ûGû=p a q b,G为内幂零群.若b≤2,由引理1可知,G超可解;若a=1,由引理2可知,G超可解.故可设a≥2且b≥3.由于G可解,所以P M<・G,有ûG:Mû=r i(r=p或q).下证i=1.(a)若ûG:Mû=q i(i≥2),则P≤M.由于M幂零,不妨设M=P×Q i,其中ûQ iû=q b-i,必存在Q i+1,使Q i<・Q i+1<Q g(g∈G).令T=PQ i+1,则M<・T<G,与M<・G矛盾,故ûG:Mû=q.(b)若ûG:Mû=p i(i≥2),则存在Q g∈Syl q(G)(g∈G),使Q g≤M.由于M幂零,不妨设M=P i×Q,其中ûP iû=p a-i.1)若P i=1,即M=Q.设N<・M,有ûM/Nû=q.由N=5(Q)≤Z(G)可知,NüG,从而ûG/Nû=p i q.又qû(p-1),由引理1得G/N超可解,故ûG:Mû=ûG/N:M/Nû=p.与假设矛盾,所以i=1.2)若P i>1,取P i-1<・P i<P,令R=P i-1×Q,则R<・M<・G.由题设可知,R sn G.又因为QüR,所以Q sn G.由于次正规的H all子群是正规的,所以QüG,与内幂零群的定义关系矛盾,故ûG:Mû=p.由以上讨论可知,P M<・G,均有ûG:Mû为素数,故据Huppert定理可知,G超可解.注1　定理1中假设条件“qû(p-1)”不可去.下面的例子说明存在非超可解的内交换群G,其阶为p2q且qù(p-1),但它的2-极大子群均在G中次正规.例如:设G=(〈c1〉×〈c2〉)×〈a〉≌(Z5×Z5)×Z3,其中a3=c51=c52=1,c a1=c2,c a2=c41c42.下证G中不存在15阶子群.若否,设H为G的15阶子群.因为15阶子群均为循环群,从而H= Z3×Z5,即c a1=c1或c a2=c2,与假设矛盾,所以G中必无15阶子群,从而G的极大子群的阶只能为3,5, 25.对P1<・P∈Syl5(G),由于PüG且P为初等交换群,所以G的2-极大子群均在G中次正规.但G 有一个主群列1ü〈c1〉×〈c2〉üG,其主因子〈c1〉×〈c2〉的阶不为素数,故G非超可解.定理2　设群G的2-极大子群均在G中次正规,且G是QCLT群,则G超可解.证明　设G为极小阶反例.由定理1可知,G为内超可解群.显然,群G的2-极大子群均在G中次正规是商群遗传的.由QCLT群的定义可知,定理条件商群遗传,所以G为极小非超可解群.由文献[7]知,G同构于下述群之一:(a)p n q阶内交换群,qù(p-1);(b)p n r p阶群,p n-1‖(r-1),n≥2;(c)8r2阶群,4û(r-1);(d)p n+m r p阶群,m≥2,p max(n,m)û(r-1);(e)p n+m+1r p阶群,p max(n,m)û(r-1);(f )p n qr p 阶群,p n q û(r -1),p û(q -1).由上述群(c )～(e )的定义关系可知,G 中不存在循环的Sylow 子群.群(f )中,P (G )>2,与内幂零群的定义关系矛盾.由p n q 阶内交换群的定义关系易知,G 中不存在p n -1q 阶子群,非QCLT 群,所以(a)不成立.由(b)的定义关系易知,G 中不存在p n rp -1阶子群,非QCLT 群,与假设矛盾.所以极小阶反例不存在,从而得G 超可解.注2　定理2中假设条件“群G 是QCLT 群”不可去.如A 4满足“群G 的2-极大子群均在G 中次正规”,但非超可解.定理3　设G 是有限群,5(G )=1.若F (G )的所有极小子群均在G 中正规,且P p ,q ∈P (G ),有q ù(p -1),则G 幂零.证明　对ûG û用归纳法.(a)假设ûF (G )û为素数p ,由P p ,q ∈P (G ),有q ù(p -1),可知G 为奇阶群.由Feit-Thom pson 定理知G 可解,从而C G (F (G ))≤F (G ),进而C G (F (G ))=F (G ).易知F (G )为G 的p -Sy low 子群.此时断言P (G )必为1;否则,设ûG û=p A 11p A 22…p A s s (s ≥2,p 1=p ).P Q ∈Syl q (G ),q ≠p ,令T =F (G )Q ,则Q ≌T /F (G )ïAut (F (G ))≌Z p -1,故q û(p -1),与假设矛盾,从而G 幂零.(b)假设F (G )不为G 的极小子群,取K 为F (G )的极小子群.不妨设ûK û=p .1)若C G (K )=G ,因为5(G )=1,所以存在H <・G ,使得G =K ×H 且5(H )≤5(G )=1.而F (H )≤F (G ),由归纳法可知H 幂零,从而G 幂零.2)若C G (K )<G ,由N /C -定理可知,G /C G (K )ïAut(K )≌Z p -1,故必存在某素数q ,使q û(p -1),与定理假设矛盾,所以C G (K )=G .与假设矛盾,从而G 幂零.由(a ),(b )可知,G 幂零.注3　定理3中假设条件“P p ,q ∈P (G ),有q ù(p -1)”不可去.如S 3满足其余条件,但非幂零.参考文献:[1]　W ielandt H .Eine ver allg emeinerung der invar ianten unter g ruppen [J ].M at h .Z .,1939,45:209-244.[2]　F og uel T .Conjug ate-per mutable subgr oups[J].Jo ur nel o f A lg ebr a,1997,191:235-239.[3]　张勤海,赵俊英.超可解群的若干充分条件[J].数学杂志,2005,25(4):399-404.Z hang Q H,Z ha o J Y.So me sufficient conditio ns o f finite super solvable gr oups[J].Jour nel o f M athemat ics,2005,25(4):399-404.(in Chinese )[4]　徐明曜.有限群导引.上册[M ].北京:科学出版社,1999:142.[5]　张远达.幂零与可解之间[M ].武汉:武汉大学出版社,1988:42.[6]　[德]贝.胡佩特.有限群论.第一卷[M ].福州:福建人民出版社,1992:314.[7]　陈重穆.内外2-群与极小非2群[M ].重庆:西南师大出版社,1988:49.117(总第106期)2-极大子群次正规的有限群的一个注记(郭鹏飞)。

数学专业的群论研究数学专业的群论研究是现代数学中的一个重要分支，它研究的对象是群。

群论是数学的一门基础学科，与代数学、几何学和数论等其他数学分支密切相关。

本文将从群论的基本概念入手，逐步介绍群论的研究内容、应用领域以及未来的发展趋势。

一、群论的基本概念群论是研究群及其性质的数学学科。

群是一个带有封闭性、结合律、单位元和逆元的代数结构。

具体而言，群由一组元素以及定义在这组元素上的一个二元运算组成。

群的定义要求这个二元运算满足封闭性、结合律、单位元和逆元这四个性质。

二、群论的研究内容在群论的研究中，人们探索了很多有关群的性质和结构的问题。

其中，群的子群、同态、陪集和正规子群等是群论中较为基础和常见的研究内容。

1. 群的子群：给定一个群，它的子集如果满足群的定义，则称它为该群的子群。

群的子群研究了群之间的包含关系以及子群的结构与特性等问题。

2. 群的同态：如果两个群之间存在一个保持群运算的映射，使得这两个群的运算结果也满足群的定义，则称这个映射为群之间的同态。

同态的研究涉及群之间的映射关系和结构的保持性质等。

3. 群的陪集：给定一个群及其子群，对于子群中的一个元素，其在群中所有可能的运算结果组成的集合称为该子群在群中的一个陪集。

陪集的研究探索了群中的平移和对称等性质。

4. 正规子群：如果一个子群对于群的运算满足一定的保持性质，则称这个子群为该群的正规子群。

正规子群的研究以及与群的商群的关系等是群论中的重要内容。

三、群论的应用领域群论不仅在数学中有着广泛的应用，也在其他学科和实际问题中发挥着重要作用。

以下是群论在一些具体领域的应用举例。

1. 密码学与安全性：群论中的离散对数问题对于密码学的性质以及密码算法的安全性有重要影响。

群论在密码学中的应用有着广泛的研究和实际应用价值。

2. 物理学：量子力学中的对称性与群论有着密切的联系。

群论的概念和方法在物理学中的应用非常广泛，如对称性群、轨道角动量、自旋等方面的研究。

数学中的群论及其应用研究数学是科学的基石之一，而群论则是数学中的一个重要分支。

群论作为一门比较抽象的学科，其研究可以帮助我们更深入地理解各种数学对象的本质和性质。

同时，群论在神经网络、密码学等领域的应用也不断得到拓展和深化。

今天，我们就来看一下群论的一些基础概念和一些应用。

一、群论的基本概念1.1 定义群（group）是一种抽象的数学结构，它由一个集合和一个二元运算组成，且这个集合中的元素满足一些基本性质。

这个二元运算可以是加法，也可以是乘法等，但必须满足结合律、封闭律、存在单位元和每个元素都有逆元。

例如，整数集合就构成了一个群，加法运算是这个群的二元运算。

1.2 群的性质群的性质包括：（1）可逆性：群中的每个元素都有一个唯一的逆元，使得元素和它的逆元相乘等于群中的单位元。

（2）结合律：群中的二元运算是结合的，即对于任意三个群元素a、b和c，有(a*b)*c=a*(b*c)。

（3）单位元：群中存在一个元素e，称为单位元，满足对于任意元素a，有a*e=e*a=a。

（4）封闭性：群中的二元运算是封闭的，即对于任意两个群元素a和b，有a*b仍然是群中的元素。

1.3 子群对于一个群G，如果它的一个非空子集H也是一个群，那么H 就是G的子群。

例如，任意整数的偶数集合就是整数集合的一个子群，因为偶数集合满足加法封闭、加法逆元存在、加法结合律和单位元存在等性质。

1.4 群同态群同态是指保持群结构的映射。

具体而言，如果存在两个群（或称为代数系统）G和H，那么一个函数f从G到H是一个群同态，当且仅当对于G中的任意两个元素a和b，f(a*b)=f(a)*f(b)。

该同态保持了群的结构，并将不同的群映射到不同的群。

二、群论的应用2.1 基于群论的密码学密码学是信息安全领域中的一个重要问题，而早期的密码系统主要基于代换和置换。

然而，随着计算机能力的增强，这些方法已经很难满足安全性要求。

基于群论的密码学因其理论基础坚实而备受关注。

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２ ０ １ ３年 ５月 １ ５日～ ２ ８日， 两位著名群论 学者 ， 群格的问题 以及其他群论的前沿问题为数 学与计算 美国纽约州立大学宾厄姆顿分校 （ Ｓ ｔ ａ ｔ ｅ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ 机科学学院的师生做 了系列报告 ， 开阔 了数 学与计
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九组
王全虎 数学0902 杨一琦 数学0903 柴海青 数学0904 冯树超 数学0901 马俊杰 数学0901 赵 爽
十组
孙树林 数学0902 李志峰 数学0903 乔晓丽 数学0904 黄 蓉 数学0901 武少卿
十一组
杨浩菊
数学0902 白晶玉 数学0903 崔群群 数学0904 张 瑛 数学0901 冯振芳 数学0902 靳永桢
数学0903 马丽莎
二十三组 胡
刚 数学0904 安世阳 数学0901 史佳莉 数学0902 杨海霞 浅谈正定矩阵的判定 浅谈复变函数在中学数学教学中的应用 泰勒公式及其应用 等价无穷小在求函数极限中的应用及推广 导数在不等式证明中的应用 凸函数的等价命题及其应用 小概率事件原理及其应用 VaR方法在金融风险管理中的应用 概率方法在证明不等式中应用 多元函数的极值及其应用 中心极限定理及其应用 浅谈初等函数求值域的方法 积分学中四大公式的地位与应用研究 数学分析思想在中学数学解题中的应用 高中数学选修内容学习状况调查 利用积分求极限的方法探讨 关于高阶微分方程的解法研究 浅析极限的方法与技巧 积分学中对称性定理的研究与应用 隐函数存在定理的研究与应用 抽屉原理在数学竞赛中的应用 中学数学中概率统计内容的教与学研究 计算机辅助中学数学实验教学的研究 非线性方程的求解方法探讨 数学教学中使用多媒体手段的几点思考 重积分的变换方法与技巧 定积分的积分方法及应用 函数幂级数展开式的应用 曲面积分的积分方法及应用 曲线积分的积分方法及应用 函数最值问题解法的探讨 ※ 函数项级数一致收敛的判别 利用导数解题的综合分析与探讨 ※函数幂级数的展开和应用 函数项级数的收敛判别法的推广和应用 伴随矩阵的性质及其应用 正定矩阵的性质及其应用 相似矩阵的性质及其应用

数学中的群论研究进展数学是一门既古老又深奥的学科，其中一个重要的分支就是群论。

群论作为数学的基石，涉及了许多重要的概念和方法，对现代数学的发展起到了举足轻重的作用。

本文将介绍群论的研究进展并探讨其在数学领域中的应用。

一、群论的基本概念和发展历程群论是研究代数系统的一个分支，其基本概念是群。

群是一种代数结构，由一组元素和一种二元运算组成，满足封闭性、结合律、单位元和逆元等性质。

群论研究的是群的性质和结构，以及群之间的映射和变换等。

群论的发展历程可以追溯到19世纪，当时数学家们开始研究代数方程的解法。

关于群论的早期贡献主要来自高斯、阿贝尔和埃尔米特等人的研究。

20世纪初，埃米尔·阿廷提出了现代群论的基本观念，开启了群论的黄金时代。

二、群论的重要性和应用领域群论在数学领域中有着广泛的应用，尤其是在代数学、几何学和数论中。

群论的研究成果为解决许多复杂的数学问题提供了有力的工具和技巧。

在代数学中，群论是基础和框架，它研究代数结构的抽象性质和相互关系。

群论在线性代数、矩阵论和代数方程的解法中有着广泛的应用。

在几何学中，对称群、李群和拓扑群等具有重要的意义。

群论的研究可以帮助我们理解和描绘几何对象的对称性质和变换规律。

在数论中，群论被广泛应用于研究数的性质和数论问题。

例如，通过群论可以证明费马大定理、研究椭圆曲线和模形式等。

三、群论的研究进展群论的研究一直在不断发展，涌现出了许多重要的成果和进展。

以下介绍了群论在一些重要问题上的研究进展：1. 有限群的分类在有限群的研究中，群的分类一直是一个重要而困难的问题。

20世纪前期，埃米尔·阿廷证明了有限交换群的分类定理，为群的分类奠定了基础。

随后，亚当斯证明了有限简单群的分类定理，将有限群的分类归纳为了有限单群、循环群以及其他几个特殊类型。

2. 群的同调理论群的同调理论是群论中的一个重要分支，研究了群之间的关系和映射的性质。

同调理论的发展为研究群的结构和代数拓扑提供了有力的工具。