2016年新人教版九年级数学下册四清导航同步习题精讲课件27.2.3由两角判定三角形相似

检测内容：第二十三章
1．下列电视台的台标，是中心对称图形的是( D )
2 ．如图， 已知△OAB 是正三角形 ，OC⊥OB ，OC＝OB ，将△OAB 绕点 O 按逆时针方向旋转 ， 使得 OA 与 OC 重合 ， 得到△ OCD ， 则旋转的角度 是( A )
3．点(2，3)关于原点对称的点的坐标是( A )
第20题图
20．(10分)如图，把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方
形A′B′CD′(此时，点B′ 落在对角线AC上，点A′ 落在CD的延长线上)，A′B′ 交AD于点E，连接AA′，CE.求证：
(1)△ADA′≌△CDE；
(2)直线CE是线段AA′的垂直平分线．
证明： (1) 由正方形的性质及旋转得 AD ＝ DC ， ∠ ADC ＝ 90° ， AC ＝ A′C，∠DA′E＝45°，∠ADA′＝∠CDE＝90°，∴∠DEA′＝∠DA′E＝ 45°，∴DA′＝DE，∴△ADA′≌△CDE (2)由正方形的性质及旋转得CD＝CB′，∠CB′E＝∠CDE＝90°，又CE ＝CE，∴Rt△CEB′≌Rt△CED，∴∠B′CE＝∠DCE， ∵AC＝A′C，∴直线CE是AA′的垂直平分线
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝α，将△ABC绕点C按顺
时针方向旋转后得到△ EDC ， 此时点 D 在 AB 边上 ， 则旋转角的大小为
2α _________ ．
则a－b的值为_______ ． 1 16．如图，用等腰直角三角板画∠AOB＝45°，并将三角板沿OB方向平 移到如图所示的虚线处后绕点 M 逆时针方向旋转 22° ， 则三角板的斜边 22° ． 与射线OA的夹角α为_________
A．(－1，－ 3)

检测内容：第二十七章得分________ 卷后分________ 评价________一、选择题(每小题3分，共30分)1．下面不是相似图形的是( A )2．(2015·荆州)如图，点P 在△ABC 的边AC 上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是( D )A ．∠ABP ＝∠CB ．∠APB ＝∠ABC C.AP AB ＝AB AC D.AB BP ＝AC CB3．如图，身高为1.6米的某学生想测量学校旗杆的高度，当她在C 处时，她头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC ＝2米，BC ＝8米，则旗杆的高度是( C )A ．6.4米B ．7米C ．8米D ．9米,第2题图) ,第3题图) ,第4题图) ,第5题图)4．如图，E (－4，2)，F (－1，－1)，以O 为位似中心，按比例尺1∶2，把△EFO 缩小，则点E 的对应点E ′的坐标为( A )A ．(2，－1)或(－2，1)B ．(8，－4)或(－8，4)C ．(2，－1)D ．(8，－4)5．如图，E 是平行四边形ABCD 的边BC 的延长线上的一点，连接AE 交CD 于点F ，则图中共有相似三角形( C )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对6．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD AB ＝35，则S △ADE S 梯形DBCE的值是( B ) A.35 B.916 C.53 D.16257．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝6，以斜边AB 上的一点O 为圆心所作的半圆分别与AC ，BC 相切于点D ，E ，则AD 为( B )A ．2.5B ．1.6C ．1.5D ．1点拨：连接OD ，OE ，易知四边形CDOE 为正方形，设OD ＝OE ＝r ，则BE ＝6－r.∵OE∥AC ，∴OE AC ＝EB BC ，即r 4＝6－r 6，解得r ＝2.4，∴AD ＝1.6. 8．如图，AB ＝4，射线BM 和AB 互相垂直，点D 是AB 上的一个动点，点E 在射线BM 上，BE＝12DB ，作EF ⊥DE 并截取EF ＝DE ，连接AF 并延长交射线BM 于点C .设BE ＝x ，BC ＝y ，则y 关于x 的函数解析式为( A )A ．－12x x －4B ．－2x x －1C ．－3x x －1D ．－8x x －4点拨：过F 点作FH⊥BC 于H ，易证△DBE≌△EHF ，则BE ＝FH ＝x ，EH ＝2x ，又∵FH∥AD ，∴FH AB ＝CH BC ，即x 4＝y －3x y ，∴y ＝－12x x －4,第6题图) ,第7题图) ,第8题图) ,第9题图)9．如图，在已建立直角坐标系的4×4的正方形方格中，△ABC 是格点三角形(三角形的三个顶点是小正方形的顶点)，若以格点P ，A ，B 为顶点的三角形与△ABC 相似(全等除外)，则格点P 的坐标是( D )A ．(1，4)B ．(3，4)C ．(3，1)D ．(1，4)或(3，4)10．如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且CF ＝14CD ，下列结论：①∠BAE ＝30°；②△ABE ∽△AEF ；③AE ⊥EF ；④△ADF ∽△ECF ，其中正确的个数为( B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个点拨：设CF ＝a ，则DF ＝3a ，BE ＝EC ＝2a ，AB ＝AD ＝DC ＝4a ，∴AB BE ＝FC BC ＝12，∴△ABE ∽△ECF ，易知∠AEF ＝90°，勾股定理知AE ＝25a ，EF ＝5a ，∴AB BE ＝AE EF ＝12，∴△ABE ∽△AEF ，而AD DF ≠EC FC，∴△AD F∽△ECF 不成立，AE ≠2BE ，∴∠BAE ≠30° 二、填空题(每小题3分，共24分)11．如果x 2＝y 3＝z 4≠0，那么x ＋2y ＋3z 3x ＋2y －2z的值是__5__． 12．在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，在△DEF 中，DE ＝4，DF ＝3，要使△ABC 与△DEF 相似，则需要添加一个条件是__∠A ＝∠D (或BC∶EF ＝2∶1)__．(写出一种情况即可)13．如图，AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点O ，OA ＝4，OD ＝6，则△AOB 与△DOC 的周长比是__2∶3__.,第10题图),第13题图),第14题图),第15题图)14．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE ＝40 cm ，EF ＝20 cm ，测得边DF 离地面的高度AC ＝1.5 m ，CD ＝8 m ，则树高AB ＝__5.5__m.15．如图，点D ，E 分别在△ABC 的边AB ，AC 上，且∠AED ＝∠ABC ，若DE ＝3，BC ＝6，AB ＝8，则AE 的长为__4__．16．如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，AC 分别交BE ，DF 于点M ，N ，给出下列结论：①△ABM ≌△CDN ；②AM ＝13AC ；③DN ＝2NF ；④S △AMB ＝12S △ABC .其中正确的结论是__①②③__．(填序号) ,第16题图),第17题图),第18题图)17．如图，点M 是Rt △ABC 的斜边BC 上异于B ，C 的一点，过M 点作直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，这样的直线共有__3__条．18．如图，矩形AOCB 的两边OC ，OA 分别位于x 轴、y 轴上，点B 的坐标为B (－203，5)，D 是AB 边上的一点，将△ADO 沿直线OD 翻折，使A 点恰好落在对角线OB 上的点E 处，若点E在一反比例函数的图象上，那么该函数的解析式是y ＝－12x____． 点拨：过点E 作EF⊥CO 于点F ，由折叠知EO ＝AO ＝5，BC ＝5，CO ＝203，由勾股定理知BO ＝253，∵EF ∥BC ，∴EF 5＝5253＝FO 203，解得EF ＝3，FO ＝4，∴E (－4，3)，∴反比例函数解析式为y ＝－12x三、解答题(共66分)19．(8分)如图所示，已知AB ∥CD ，AD ，BC 相交于点E ，F 为BC 上一点，且∠EAF ＝∠C .求证：(1)∠EAF ＝∠B ；(2)AF 2＝FE ·FB .解：(1)∵AB∥CD ，∴∠B ＝∠C ，又∠C ＝∠EAF ，∴∠EAF ＝∠B (2)∵∠EAF ＝∠B ，∠AFE＝∠BFA ，∴△AFE ∽△BFA ，则AF BF ＝FE FA，∴AF 2＝FE ·FB 20．(8分)如图所示，已知正方形ABCD 中，BE 平分∠DBC 且交CD 边于点E ，将△BCE 绕点C 顺时针旋转到△DCF 的位置，并延长BE 交DF 于点G .(1)求证：△BDG ∽△DEG ；(2)若EG ·BG ＝4，求BE 的长．解：(1)证明：∵BE 平分∠DBC ，∴∠CBE ＝∠DBG ，∵∠CBE ＝∠CDF ，∴∠DBG ＝∠CDF ，∵∠BGD ＝∠DGE ，∴△BDG ∽△DEG. (2)∵△BDG∽△DEG ，DG BG ＝EG DG，∴DG 2＝BG·EG ＝4，∴DG ＝2，∵∠EBC ＋∠BEC ＝90°，∠BEC ＝∠DEG ，∠EBC ＝∠EDG ，∴∠BGD ＝90°，∵∠DBG ＝∠FBG ，BG ＝BG ，∴△BDG ≌△BFG ，∴FG ＝DG ＝2，∴DF ＝4，∵BE ＝DF ，∴BE ＝DF ＝4.21．(8分)如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC 与△A ′B ′C ′是关于点O 为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．(1)画出位似中心点O ；(2)求出△ABC 与△A ′B ′C ′的位似比；(3)以点O 为位似中心，再画一个△A 1B 1C 1，使它与△ABC 的位似比等于1.5.解：(1)连接A′A ，C ′C ，并分别延长相交于点O ，即为位似中心 (2)相似比为1∶2 (3)略22．(10分)王亮同学利用课余时间对学校旗杆的高度进行测量，他是这样测量的：把长为3 m 的标杆垂直放置于旗杆一侧的地面上，测得标杆底端距旗杆底端的距离为15 m ，然后往后退，直到视线通过标杆顶端正好看不到旗杆顶端时为止，测得此时人与标杆的水平距离为2 m ，已知王亮的身高为1.6 m ，请帮他计算旗杆的高度(王亮眼睛距地面的高度视为他的身高)．解：根据题意知，AB ⊥BF ，CD ⊥BF ，EF ⊥BF ，EF ＝1.6 m ，CD ＝3 m ，FD ＝2 m ，BD ＝15 m ，过E 点作EH⊥AB ，交AB 于点H ，交CD 于点G ，则EG⊥CD ，EH ∥FB ，EF ＝DG ＝BH ，EG ＝FD ，CG ＝CD －EF.因为△ECG∽△EAH ，所以EG EH ＝CG AH ，即22＋15＝3－1.6AH，所以AH ＝11.9(m )，所以AB ＝AH ＋HB ＝AH ＋EF ＝11.9＋1.6＝13.5(m )，即旗杆的高度为13.5 m23．(10分)如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE ＝∠B .(1)求证：∠DFA ＝∠ECD ；(2)△ADF 与△DEC 相似吗？为什么？(3)若AB ＝4，AD ＝33，AE ＝3，求AF 的长．解：(1)证明：∵∠AFE ＝∠DAF ＋∠FDA ，又∵四边形ABCD 为平行四边形，∴∠B ＝∠ADC ＝∠ADF ＋∠CDE ，又∵∠B ＝∠AFE ，∴∠DAF ＝∠CDE (2)证明：△ADF∽△DEC ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴∠ADF ＝∠CED ，∠B ＋∠C ＝180°，∵∠AFE ＋∠AFD ＝180°，∠AFE ＝∠B ，∴∠AFD ＝∠C ，∴△ADF ∽△DEC (3)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，CD ＝AB ＝4，又∵AE⊥BC ，∴AE⊥AD ，在Rt △ADE 中，DE ＝AD 2＋AE 2＝（33）2＋32＝6，∵△ADF ∽△DEC ，∴AD DE ＝AF CD ，∴336＝AF 4，AF ＝23 24．(10分)如图，已知在⊙O 中，直径AB ＝4，点E 是OA 上任意一点，过E 作弦CD ⊥AB ，点F 是BC ︵上一点，连接AF 交CE 于点H ，连接AC ，CF ，BD ，OD .(1)求证：△ACH ∽△AFC ；(2)猜想：AH ·AF 与AE ·AB 的数量关系，并证明你的猜想；(3)探究：当点E 位于何处时，S △AEC ∶S △BOD ＝1∶4？并加以说明．解：(1)证明：∵直径AB⊥CD ，∴AC ︵＝AD ︵，∴∠F ＝∠ACH ，又∵∠CAF ＝∠HAC ，∴△ACH ∽△AFC (2)AH·AF ＝AE·AB ，连接FB ，∵AB 是直径，∴∠AFB ＝∠AEH ＝90°，又∠EAH ＝∠FAB ，∴Rt △AEH ∽Rt △AFB ，∴AE AF ＝AH AB ，∴AH ·AF ＝AE·AB (3)当OE ＝32(或AE ＝12)时，S △AEC ∶S △BOD ＝1∶4，∵直线AB⊥CD ，∴CE ＝ED ，又∵S △AEC ＝12AE·CE ，S △BOD ＝12OB·ED ，∴S △AEC S △BOD＝AE OB ＝14，∵⊙O 的半径为2，∴2－OE 2＝14，∴OE ＝3225．(12分)如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠DAB ＝90°，AD ＝2DC ＝4，AB ＝6.动点M 以每秒1个单位长的速度，从点A 沿线段AB 向点B 运动；同时点P 以相同的速度，从点C 沿折线C —D —A 向点A 运动．当点M 到达点B 时，两点同时停止运动．过点M 作直线l ∥AD ，与线段CD 的交点为E ，与折线A —C —B 的交点为Q .点M 运动的时间为t (秒)．(1)当t ＝0.5时，求线段QM 的长；(2)当0＜t ＜2时，如果以C ，P ，Q 为顶点的三角形为直角三角形，求t 的值；(3)当t ＞2时，连接PQ 交线段AC 于点R .请探究CQ RQ是否为定值，若是，试求出这个定值；若不是，请说明理由．解：(1)如图(1)，过点C 作CF⊥AB 于F ，则四边形AFCD 为矩形，∴CF ＝4，AF ＝2，此时，Rt△AQM ∽Rt △ACF ，∴QM AM ＝CF AF ，即QM 0.5＝42，∴QM ＝1 (2)∵∠DCA 为锐角，故有两种情况：①当∠CPQ ＝90°时，点P 与点E 重合，此时DE ＋CP ＝CD ，即t ＋t ＝2，∴t ＝1. ②当∠PQC＝90°时，如图(2)，此时Rt △PE Q∽Rt △QMA ，∴EQ PE ＝MA QM，由题知，EQ ＝EM －QM ＝4－2t ，而PE ＝PC －CE ＝PC －(DC －DE )＝t －(2－t )＝2t －2.∴4－2t 2t －2＝12，∴t ＝53，综上所述，t ＝1或53(3)CQ RQ为定值，当t ＞2时，如图(3)，过C 作CF⊥AB 于F ，PA ＝DA －DP ＝4－(t －2)＝6－t ，由题得BF ＝AB －AF ＝4，∴CF ＝BF ，∴∠CBF ＝45°，∴QM ＝MB ＝6－t ，∴QM ＝PA ，∴四边CQ RQ ＝BCAB＝CF2＋BF2AB＝426＝223形AMQP为矩形，∴PQ∥AB，∴△CRQ∽△CAB，∴。

7．(4 分)如图，△ABC 的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则 tanA 的值是( A ) 5 B. 6 2 10 C. 3 3 10 D. 10
11 8．(4 分)已知等腰三角形的腰长为 6cm，底边长为 10cm，则底角的正切值为_ 5 _．
3 9．(4 分)(2014· 黔西南州)如图， AB 是⊙O 的直径， AB＝15， AC＝9，则 tan∠ADC＝ 4 _．
4 则 cosC 的值为_ 5
︵ 14．如图，在半径为 5 的⊙O 中，弦 AB＝6，点 C 是优弧AB上一点(不与 A，B 重合)， _.
15． (2014· 常州)在平面直角坐标系 xOy 中， 已知一次函数 y＝kx＋b(k≠0)的图象过点 P(1， 1)，与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，则 tan∠ABO＝3，那么点 A 的坐标是_(－2，0) 或 _ (4，0) ．
3 DE⊥AB，AE＝6，cosA＝ . 5 求：(1)DE，CD 的长； (2)tan∠DBC 的值．
6 2 ，tanA＝ . 3 2 17． (10 分)如图， 在△ ABC 中， ∠C＝90° ， 点 D， E 分别在 AC， AB 上， BD 平分∠ABC，
AE 3 解：(1)∵∠C＝90° ，DE⊥AB，BD 平分∠ABC，∴ED＝DC，在 Rt△ADE 中， ＝cosA＝ ，∴ AD 5 AD＝10.由勾股定理可知 ED＝ 102－62＝8，∴DE＝CD＝8 AC 3 18 3 (2)由(1)知 AC＝AD＋DC＝18，cosA＝ ＝ ，∴ ＝ ，AB＝30，BE＝30－6＝24，∴BC＝BE＝ BA 5 AB 5 8 1 24，∴tan∠DBC＝ ＝ . 24 3
28．1 锐角三角函数 第2课时 锐角三角函数

≥ ，则可直接开平方求出方程的解，若p____0 ＜ ，则方 (3)若p____0 程无解．
知识点1 配方 1．(3分)用配方法解下列方程，其中应在方程左右 两边加上4的是( B ) A．x2－2x＝5 B．x2＋4x＝5 C．2x2－4x＝5 D．x2＋2x＝5
2．(3 分)下列配方有错误的是( D ) A．x2－4x－1＝0，化为(x－2)2＝5 B．x2＋6x＋8＝0，化为(x＋3)2＝1 7 2 97 C．2x －7x－6＝0，化为(x－ ) ＝ 4 16
10．一个小球以15 m/s的初速度向上竖直弹出，它在空中的 高度h(m)与时间t(s)满足关系式h＝15t－5t2，当小球的高度为10 m时，t为( C ) A．1 s B．2 s C．1 s或2 s D．不能确定
11．若 a，b，c 是△ABC 三边长，且满足 a2－6a＋ b2－8b＋ c－5＋25＝0，则此三角形是( B ) A．锐角三角形 C．钝角三角形 B．直角三角形 D．等腰三角形
5． (3 分)用配方法解一元二次方程 x2＋5＝2 5x 的两个根为( C ) A．x1＝1，x2＝5 B．x1＝1，x2＝ 5 C．x1＝x2＝ 5 D．x1＝x2＝－ 5 6．(8 分)用配方法解下列方程： (1)x2－2x＝1; (2)x2＋1＝3x.
x1＝1＋ 2，x2＝1－ 2
3＋ 5 3－ 5 x1＝ ，x2＝ 2 2
2
D．3x2－4x－2＝0，化为(3x＋2)2＝6
3．(6 分)填空： (1)x2＋(____) 10x ＋25＝(x＋5)2；
1 1 1 2 2 (2)x2－ x＋(____) ＝(x－____) ； 6 6 3 p p 2 2 (3)x ＋px＋(____) . 2 2 ＝(x＋____)