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线与面的相对位置位置

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工程制图 2.5 直线与平面、平面与平面的相对位置

工程制图 2.5 直线与平面、平面与平面的相对位置
●
通过重影点判别可见性。
●
例：求直线MN与平面ABC的交点K，并判别可见性。
b B K A m m a
2 ●
●
n
a
1(2)
●
k ●
c c
●
N
C
M 2
m
c
1 a
n H
k 1 b
b k
n
2、直线为特殊位置
m b k a n b k● 2 m(n)
● ●
c
●
1(2)
●
c
●
kHale Waihona Puke 1(2) A N Cb
k m (n) c H
●
c
a
a
1
3、一般位置直线与一般位置平面相交
一般位置直线与一般位置平面相交
辅助平面法：过直线作一特殊位置的平面， 先求两平面的交线， 再求交线与已知直线的交点， 此交点即为直线与平面的交点。
PV a’ d’ m’ k’ c’ n’ e’ d n c
1、平面为特殊位置 例：求直线MN与平面ABC的交点K，并判别可见性。 空间及投影分析 b n 平面ABC是一铅垂面， 其水平投影积聚成一条直 k 1(2) 线，该直线与mn的交点即 a ● 为K点的水平投影。 c m 作 图 ① 求交点 m ●2 c ② 判别可见性 ● 由水平投影可知，KN b k 1 a n 段在平面前，故正面投 影上kn为可见。
有无数解
b
n a
●
mc
例2：过M点作一正平线MN平行于平面 ABC。
b cm
●
n
a
a b
c
唯一解
●
m
n
例 3
不平行

机械制图(工程图学)第三章 直线与平面、平面与平面

机械制图(工程图学)第三章 直线与平面、平面与平面
b' e' d' a' a' c' f' X e b c 2 1 a d a d a d 1 X e b c 2 f' X e b c c' f' a' c' e' 2' 1' d' 1' d' b' e' 2' b'
f
f
f
(a)
(b) (c) 图3-12铅垂面与一般位置平面相交 铅垂面与一般位置平面相交
南京师范大学xws 17
3.3垂直问题 垂直问题
3.3.1直线与平面垂直 直线与平面垂直
垂直于平面的直线被称为该平面的垂线或法线，解题时的关键是在投影图 中如何定出法线的方向。 直线与平面垂直，则直线垂直平面上的任意直线（过垂足或不过垂足）。 反之，如直线垂直于平面上的任意两条相交直线，则直线垂直于该平面。
b' b' b' 1' 1' c' e(f) a' a' a' k' e'(f') c' k' 1' e'(f') 2' c'
X f b
X X f g c k a h e (a) e a b 1 c k h 1(2) c f g b 1
a
e (b) 图3-11铅垂线与一般位置平面相交 铅垂线与一般位置平面相交
f' d' n' m' c' a' k' e' X e k n a m b d 图3-5两平面平ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的投影图 两平面平行的投影图 f c

机械制图_5_直线、平面间的相对位置

机械制图_5_直线、平面间的相对位置
12/45
Liu Wei, Beijing Jiaotong University
两平面相交其交线为直线；交 几何特性是： 线是两平面的共有线；交线上 的点都是两平面的共有点。 推断 两平面相交的问题
2. 两平面相交
两组直线与平面相交的问题
需要解决：
三面共点的思想可有效 地用于求两平面的交线。
交线的求解方法： ⑴ 确定两平面的两个共有点； ⑵ 确定一个共有点及交线的方向。 判别可见性，即平面间的遮挡关系，交线是可见性的分界线
b' f'
空间分析：
a'
e' x a e
k’
l’
d'
c' c o
A E K B F L D C
k
f
l
界
d
前，可见
b V 面投影
a b
c
k l
投射方向
作图步骤 1) 用面上取线的方法求交线 2) 可见性：根据空间位置关系判别。其余部分可由推理得出可见性。
Chapter 5 Positions between Lines and Planes
B K A
(D )
a' E C d' x d b
e'
c' o
怎么求？ 辅助平面法
就是用辅助平面将一般位置直线与平面的求交问题，转 变为在同一平面内求两直线交点的问题，从而使原问题得到求解的方法。 下面通过例子说明如何使用辅助平面法
Chapter 5 Positions between Lines and Planes
c e m
9/45
h
求解步骤 作辅助线EK//AC 结论
a

工程制图课程案例-第5章-直线与平面及两平面相对位置

工程制图课程案例-第5章-直线与平面及两平面相对位置

➢5. 1 平行问题
• 直线与平面平行 • 两平面平行
⒈ 直线与平面平行
A
B 若：AB∥CD
C
则：AB∥P
D
几何条件：
P
若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行， 则该直线与该平面平行。这是解决直线与平面平行作 图问题的依据。 有关线、面平行的作图问题有：
判别已知线面是否平行； 作直线与已知平面平行； 包含已知直线作平面与另一已知直线平行。
[例1] 试判断直线AB是否平行于定平面
g f
f g
结论：直线AB不平行于定平面
[例2] 过M点作直线MN平行于平面ABC。
b
d
n
c m
a
●
X
b
d
n
a
●
m
c
有无数解
[例3] 过M点作直线MN平行于V面和 平面 ABC。
b
正平线
d
c m
n
a
●
X
c
a
d
m●
n
b
唯一解
[例4] 试过点K作水平线AB平行于ΔCDE平面
的一切直线。
n
V C
A
k a
e
c b
d
E
X
O
B
D
a
kd
ec
b
H
n
定理1：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属
于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直
于属于该平面的正平线的正面投影。
n
V
f
A
C
E
D
a
B Xd
a d H
c b
f c b

《机械制图》教案——第二章-3 直线、平面的相对位置关系

《机械制图》教案——第二章-3 直线、平面的相对位置关系

直线、平面的相对位置关系教学目的要求：研究直线与平面以及平面与平面的相对位置关系在投影图中的投影特性和基本作图方法。

包括：平行、相交和垂直。

教学重点难点：相交关系的作图方法与步骤，及可见性的判断，线、面相对位置综合作图。

学时：3§ 1平行关系1．1直线与平面平行几何条件：如果平面外的一直线和这个平面上的一直线平行，则此直线平行于该平面，反之亦然。

投影：如果直线的投影与平面内任意一直线的同面投影平行，在空间则直线与平面平行。

根据此定理，我们可以在投影图上判断直线与平面是否平行，并解决直线与平面平行的作图问题。

作图：如图5-1所示，已知b’d’∥e’f’,bd∥ef,且BD是ABC平面上的一直线，因此，直线BD∥ΔABC。

图5-1例1：过点K作一水平线，使之平行于ΔABC（图5-2）解：①在ΔABC上作一水平线AD。

（先作正面投影 aˊdˊ∥X）②过K点作直线KL∥AD。

（kl∥ad，kˊlˊ∥aˊdˊ）直线KL即为所求。

图5-2例2：过点K作一铅垂面（用迹线表示），使之平行于直线AB解：由于铅垂面的H投影为一直线，所以作铅垂面平行于直线AB，则P H必平行于ab。

1）过k作P H∥ab,与X轴交于P X点。

2）过P X点作P V⊥X轴，则P平面即为所求。

图5-31.2平面与平面平行几何条件：如果一平面上的两条相交直线分别平行于另一平面上的两条相交直线，则此两平面平行。

投影：一个平面内任意两条直线的投影分别与另一个平面内两条相交直线的同面投影对应平行，则这两个平面平行。

作图：由于AB∥A1B1,BC∥B1C1,所以平面ABC∥平面A1B1C1，如图5-4所示图5-4两平行平面的同面迹线一定平行，反之，如果两平面的两对同面迹线分别相互平行，则不能确定两平面是相互平行的。

在图5-5中两平面平行，在图5-6中两平面不平行。

图5-5图5-6§2相交关系求直线与平面的交点和两平面的交线是解决相交问题的基础。

第五章 直线、平面的相对位置

第五章 直线、平面的相对位置

本章讨论直线与平面、平面与平面的相对位置关系及其投影，包括以下内容：1)平行关系：直线与平面平行，两平面平行；2)相交关系：直线与平面相交，两平面相交；3)垂直关系：直线与平面垂直，两一般位置直线垂直和两平面垂直。

§1 平行关系1.1 直线与平面平行直线与平面平行的几何条件是：如果平面外的一直线和这个平面上的一直线平行，则此直线平行于该平面。

由于EF∥BD，且BD 是ABC 平面上的一直线，所以，直线EF平行于ABC 平面。

［例1］试过K点作一水平线，使之平行于△ABC。

先在△ABC上作一水平线AD；再过点K，作kl∥ad，k′l′∥a′d′，则直线KL为所求。

［例2］试过K 点作一正平线，使之平行于P 平面。

因P V 是P 平面上特殊的正平线，所以过点K 作KL ∥P V ，即作k ′l ′∥PV ，kl ∥X 轴，则直线KL 为所求。

［例3］试过K 点作一铅垂面P (用迹线表示)，使之平行于AB 直线。

由于铅垂面的H 投影为一直线，故若作铅垂面平行于AB 直线，则P H必平行于ab 。

因此，过k 作P H ∥ab ；过P X 作P V ⊥X 轴，则P 平面为所求。

1.2 平面与平面平行两平面相平行的条件是：如果一平面上的两条相交直线分别平行于另一平面上的两条相交直线，则此两平面平行。

两平行平面和第三个平面相交，其交线一定互相平行。

因此，两平行平面的同面迹线一定平行。

如果两平面的两对同面迹线分别互相平行，则不能肯定两平面是互相平行的。

如果平面的两条迹线是平行直线时，则一般要看第三个投影才能确定。

P 平面平行于Q 平面P 平面不平行于Q 平面［例1］过点K 作一平面，使之与AB、CD两平行直线表示的平面平行1：在AB、CD 平面上，作一条和AB、CD 不平行的辅助线，如AC ；2：过K 作KL∥AB ；3：过K 作KM∥AC ,则平面LKM即为所求。

［例2］过K 点作Q 平面(用迹线表示)，使之平行于P 平面。

7第二章 投影法基础(5)直线、平面相对位置

四. 直线与平面的相对位置两平面的相对位置(一). 直线与平面平行• 两平面平行(二). 直线与平面的交点• 两平面的交线(三). 两直线垂直• 直线与平面垂直• 两平面垂直基本要求基本要求（一）平行问题1．熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件；2．熟练掌握线、面平行，面、面平行的投影特性及作图方法。

（二）相交问题1．熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面的投影具有积聚性）交点的求法和作两个面的交线（其中一平面的投影具有积聚性）。

2．掌握利用重影点判别投影可见性的方法。

（三）垂直问题掌握线面垂直、面面垂直的投影特性及作图方法。

（四）点、线、面综合题1．熟练掌握点、线、面的基本作图方法；2．能对一般画法几何综合题进行空间分析，了解综合题的一般解题步骤和方法。

(一). 直线与平面平行• 两平面平行1、直线与平面平行几何条件若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行。

这是解决直线与平面平行作图问题的依据。

例题1例题22、平面与平面平行几何条件若一个平面内的相交二直线与另一个平面内的相交二直线对应平行，则此两平面平行。

这是两平面平行的作图依据。

例题3例题4例题51、直线与平面平行若一直线平行于属于定平面的一直线，则该直线与平面平行本课程只介绍特殊位置平面与直线平行问题特殊位置平面与直线平行投影特性当直线与垂直于投影面的平面平行时，则它们在这个投影面上的投影也平行。

ABC DPba′b′aba2、两平面平行若属于一平面的相交两直线对应平行于属于另一平面的相交两直线，则此两平面平行E F D AC B本课程只介绍特殊位置两平面平行问题特殊位置两平面平行投影特性当两个互相平行的平面垂直于同一投影面时，则它们在这个投影面上的投影也一定平行。

[例题1] 试判断两平面是否平行。

(二). 直线与平面的交点、两平面的交线1、直线与平面相交只有一个交点2、两平面的交线是直线3、特殊位置线面相交4、一般位置平面与特殊位置平面相交1、直线与平面相交AKB直线与平面相交只有一个交点，它是直线与平面的共有点。

相对位置

f
O
c
①所做的辅助面为垂直面 ②辅助面所包含的直线是任选的 ③交线在两平面图形的公有区内 ④若所做的辅助面与交线平行， 交点在无穷远处，应重选辅助面
QHቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
要点： •利用辅助面法求交线 •利用重影点判断可见 性
18
《机械制图》 第3讲 几何元素间的相对位置
求△ABC 与DE∥FG的 交线。
4'
e' 1' 5' f' 2'
d’ a’
p’
c’
m’
n’
b
a m c f’ e’ a f e a’ g’
p
n b’ c’
d
b
g
c
7
《机械制图》 第3讲 几何元素间的相对位置
例: 判断平面(KE ╳ KF) 与(AB ╳ CD)是否平行？
c' 1' a'
b' d'
e'
k'
f'
∵KE∥BA O KF∥IB ∴(KE ╳ KF) ∥(AB ╳ CD)
《机械制图》 第3讲 几何元素间的相对位置
29
3
3.1 几何元素间的平行问题
直线与直线平行
直线与平面平行 平面与平面平行
3.1.1 直线与平面平行
定理（一般情况）： 若一直线平行于平面上的某一条直线，则该直线 与平面平行。
《机械制图》 第3讲 几何元素间的相对位置
4
典型问题：过平面外一点作一直线与该平面平行。 例： ①过点K作一直线平行于面（AB
《机械制图》 第3讲 几何元素间的相对位置
13
3.2.2 直线与平面相交
如何求交点？ 直线为特殊位置时的情况，利用直线的积聚性。 平面为特殊位置时的情况，利用平面的积聚性。 平面和直线都处于一般位置时的情况，利用辅助 平面法。

工程制图-第三章-直线、平面的相对位置

直线、平面的相对位置本章讨论直线与平面、平面与平面的相对位置关系及其投影，包括以下内容：1)平行关系：直线与平面平行，两平面平行。

2)相交关系：直线与平面相交，两平面相交。

§1 平行关系1.1 直线与平面平行定理:若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必相互平行。

以，直线EF平行于ABC平面。

[例1]过已知点k ，作一条水平线平行于△ABC 平面。

步骤：1）在ABC 平面内作一水平线AD ； 2）过点K 作 KL ∥AD ； 3）直线KL即为所求。

d′d l′lk′k a′a b′e′bc X[例2]试判断:已知直线AB是否平行于四棱锥的侧表面SCF。

作图步骤：1）作c'm'∥a'b'；2）根据CM在平面SCF内，作出cm；3）由于cm不平行于ab，即在该平面内作不出与AB平行的直线，所以，直线AB不平行于四棱锥侧表面SCF。

1.2 平面与平面平行两平面相平行的条件是：如果一平面上的两条相交直线分别平行于另一平面上的两条相交直线，则此两平面平行。

所以：平面ABC 和平面DEF 相平行。

［例3］过点K作一平面，是其与平面ABC平行。

解：只要过K点作两条相交直线分别平行于△ABC的两条边，则这两条相交直线所确定的平面就是所求平面。

作图步骤：2）作KD∥AC(k'd'∥a'c',kd∥ac);a'cac'bb'k'kl'ld'dX1）作KL∥BC(k'l'∥b'c', kl∥bc); 3）平面KDL即为所求。

2.1 直线与平面相交2.1.1 利用积聚性求交点当平面或直线的投影有积聚性时，交点的两个投影中有一个可直接确定，另一个投影可用在直线上或平面上取点的方法求出。

⑴平面为特殊位置[例]求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。

空间及投影分析平面ABC 是一正垂面，其V 投影积聚成一条直线，该直线与m'n'的交点即为K点的V 投影。

土木工程制图第4章直平面与平面的相对位置线与平面


4.2
【例4-9】
(1) ①过直线DE作一个辅助平面P(P面是铅垂面，也可作正垂面)， 过程如图4-13(c) ②求铅垂面P与已知平面ABC的交线MN，过程如图4-13(d)所 ③求辅助交线MN与已知直线DE的交点K，过程如图4-13(e)
4.2
【例4-9】
(2)可见性利用重影点法来判别。如图4-13(f)所示，在水平投 影上标出交错两条直线AC、DE上的重影点F和M的重合投影 f(m)，过点f和点m向上作投影联系线求出点f′和点m′。从图 中可看出F点高于M点，说明DK段高于平面ABC，水平投影 mk可见，画成粗实线，而kn不可见，画成虚线。同理通过判 别正面重影点P、Q的前后关系，可知dk段可见，ke段不可见。
4.1平行问题
图4-6 过点E作一个平面与已知平面平行
4.1平行问题
2.两个特殊位置平面平行 判定方法
若两个特殊位置平面平行，则它们的同 面积聚投影必然平行。因此，当判断两 个特殊位置平面是否平行时，只需检查 它们的同面积聚投影是否平行即可。
4.2
1
(1)相交的特殊情况，即 直线或平面的投影具有 积聚性，此时可利用投 影的积聚性直接求出交 点或交线。
4.2
图4-15 三面共点法求两平面共有点
4.2
如图4-16所示，平面UVW和一对平行线JL、MN各决
定一个平面。为求出这两个平面的交线，根据图4-15
所示的原理，取水平面P为辅助平面，利用积聚性分别
作平面P
AB(ab，a′b′)、
CD(cd，c′d′)。AB和CD的交点K1(k1、k1′)便为一
4.3
1.一般位置直线与一般位置平面垂直
结论
直线与平面垂直的投影特性是垂线的水平投影 必垂直于平面内的水平线的水平投影，垂线的 正面投影必垂直于平面内的正平线的正面投影。 反之，若直线的水平投影垂直于平面内的水平 线的水平投影，直线的正面投影垂直于平面内 的正平线的正面投影，则直线必垂直于该平面。
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C
E
ABP（DCE） CD//V CE//H
c a
b
e H
a'b' c'd' ab ce
若直线垂直于平面，则直线的水平投影 垂直于平面内水平线的水平投影；直线的 正面投影垂直于平面内正平线的正面投影
18
例 过点A作直线垂直于平面
a' b' b
a
19
两平面垂直
几何定理
若一直线垂直于某平面，则包含此直 线的一切平面均垂直于该平面。反之， 若两平面相互垂直，则由平面A内任一 点向平面B所作的垂线必在平面A内。
24
个人观点供参考，欢迎讨论
c'
k'
a'
n'
c
k
b
n
a
m
直线的水平投影应平行平面具有积聚性的投影 直线的正面投影呢？ 作平面与该平面平行呢？7
例1：过M点作直线MN平行于平面ABC。
b
n
●
c
a
● m
b
a 有多少解？
●
m c
●n
有无数解
8
例2：过M点作直线MN平行于V面和平面 ABC。
b
cm n
a
●
正平线
c a
m●
n
b 有多少解？
唯一解
9
2. 相交问题
直线与平面相交--交点为共有点 平面与平面相交--交线为共有线
求交问题的本质是求共有点
直线与平面相交， 两平面相交其交线为直线，其 其交点是直线与 交线是两平面的共有线，同时 平面的共有点。 交线上的点是两平面的共有点。
要讨论的问题： ● 求直线与平面的交点。求两平面的交线,即
a
c d
l
k
b
4
定理
b'
a' e'
f'
若两平面内
c'
g'
d'
有一对相交直
线对应平行，
b
e
则该两平面平
行。
g
f
a
d
c
5
例 过点K作直线平行已知平面
b'
m'
n'
c'
k'
a'
a
c
kn
m b
可作多少条直线？ 满足条件的直线的轨迹是什么？
6
若平面为特殊位置面(如铅垂面），过点作直 线与之平行将如何？
b' m'
k● c
直线MN为铅垂线，其
a
●1(2) n
水平投影积聚成一个点，
故交点K的水平投影也积聚
b
在该点上。
mk(●●n2) ●
c 作图
a
1
用面上取点法
① 求交点
② 判别可见性
点Ⅰ位于平面上，在
前；点Ⅱ位于MN上，在后。 故k 2为不可见。 12
例1 求直线与平面的交点
b' e'
判别可见性
k' a'
f' a
线与面、面与面的相对 位置关系
1
直线与平面、 两平面的相对位置
内容
1.1 直线与平面、平面与平面平行
1.2 直线与平面、平面与平面相交 1.3 直线与平面、平面与平面垂直
2
点、直线、平面之间的相对位置
从属关系
属于直线的点 属于平面的点 属于平面的直线
平行关系
直线与直线平行 直线与平面平行
平面与平面平行
⑴ 确定两平面的两个共有点。 ⑵ 确定一个共有点及交线的方向。 ● 判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见1性0 。
几何元素相对 投影面的位置
至少其一具 有积聚性投影
均不具 有积聚 性投影
特殊位置的相交问题
一般位置的相交问题
换面法 11
特殊位置的相交问题
m 直线与平面相交 直线为特殊位置
b
空间及投影分析
两平面为特 殊位置
交线为正垂线
a
d
n
m ec
判别可见性
f
b 这种相交形式 称为互交
16
3.垂直问题
直线与平面垂直
几何定理
若一直线垂直于某平直于某平面内二相交直线 则此直线必垂直于该平面。
17
直线投影方向如何确定
a'
d' V
A
D
c' b' B
c'
K
c efk
b
13
例2 求直线与平面的交点
一平面为特 殊位置
f'
k'
平面是一铅垂面，其水
平投影积聚成一条直线，
e'
该直线与ef的交点即为
K点的水平投影。
f
e
k
K
14
例3 求二平面的交线
一平面为特殊位置 b'
n'
a' m' c'
b
n a
m c
N M
15
a' m'(n')
f'
e' d'
c' b'
相交关系
直线与直线相交 直线与平面相交
平面与平面相交
垂直关系
直线与直线垂直 直线与平面垂直
平面与平面垂直
3
1. 平行问题
直线 // 平面 平面 // 平面
定理
b'
l'
若直线平行 于平面内一直 线，则该直线 平行于平面。
反之，若直 线平行于平面， 则在平面内必 可作一直线与 该直线平行。
d' a'
k' c'
22
相交问题
求交问题的本质是求共有点
垂直问题
直线平面 平面平面
直线投影方向的确定
直线的水平投影垂直于 平面内水平线的水平投 影，直线的正面投影垂 直于平面内正平线的正 面投影。
23
综合问题
此部分是点、直线、平面的投影规律和 基本作图方法的综合应用
基本作图方法
在平面内取点取线 过点作直线及平面平行已知直线或平面 求直线与平面的交点及两平面的交线 过点作直线及平面垂直已知直线或平面
20
例 过点A作平面垂直于平面
a'
c'
b'
b
c a
平面ABC为所求
分析 包含已知平面的垂线的平面已知平面
作图步骤 过点A作直线已知平面
包含该垂线作平面
21
小结
点在三投影面体系中的投影作图 是解决一切问题的基础 特别要注意H面投影与W面投影的 关系
熟练掌握各种位置直线、平面的 投影特性 特别是特殊位置直线、平面的投 影特性