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点线面的位置关系在几何学中，点、线和面是最基本的几何概念。
它们之间存在着一种特殊的位置关系，即点线面的位置关系。
本文将从不同角度来探讨这种位置关系，以加深我们对几何学的理解。
1. 点与线的位置关系在几何学中，点是最基本的元素。
它没有长度、宽度或高度，仅有一个位置。
而线则是由一系列相邻点组成，具有长度但没有宽度。
点与线之间的位置关系主要有以下几种情况：- 点在线上：当一个点的位置恰好与一条线上的点重合时，我们说这个点在这条线上。
- 点在线的延长线上：当一个点的位置在一条线的延长线上时，我们说这个点在这条线的延长线上。
延长线是指无限延伸的线段，即线上的点外面的点。
- 点在线的两侧：当一个点的位置不在一条线上，但在这条线的两侧时，我们说这个点在这条线的两侧。
2. 点与面的位置关系与点与线的位置关系类似，点与面的位置关系也有多种情况：- 点在面上：当一个点的位置恰好与一个面上的点重合时，我们说这个点在这个面上。
- 点在面的内部：当一个点的位置在一个面的内部时，我们说这个点在这个面的内部。
面的内部是指位于面的边界所围成的区域内的点。
- 点在面的外部：当一个点的位置不在一个面上，且在这个面的外部时，我们说这个点在这个面的外部。
即位于面的边界以外的点。
3. 线与线的位置关系线与线之间的位置关系可以分为以下几种情况：- 相交：当两条线交于一点时，我们说这两条线相交。
- 平行：当两条线的方向相同且不相交时，我们说这两条线平行。
平行线永远不会相交。
- 重合：当两条线的位置相同且方向相同时，我们说这两条线重合。
重合的线是完全重合，始终重合。
4. 线与面的位置关系线与面之间的位置关系也有多种情况：- 相交：当一条线与一个面相交于一点时，我们说这条线与这个面相交。
- 平行：当一条线与一个面平行时，我们说这条线与这个面平行。
平行线永远不会与相同平面内的面相交。
- 垂直：当一条线与一个面垂直相交时，我们说这条线与这个面垂直。
点线面之间的位置关系(一)平面：1、平面的两个特征：①无限延展 ②平的（没有厚度）2、平面的画法：通常画平行四边形来表示平面3、平面的表示：（1）用一个小写的希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β； （2）用表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面AC考点一、点线面的位置关系表示点A 在直线a 上（或直线a 经过点A ） A ∈a 元素与集合间的关系点A 在直线a 外（或直线a 不经过点A ）A ∉a 点A 在平面α内（或平面α经过点A ）A ∈α点A 在平面α外（或平面α不经过点A ）A ∉α例1 如图10，用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.变式训练1.画图表示下列由集合符号给出的关系： (1)A ∈α,B ∉α,A ∈l,B ∈l;(2)a ⊂α,b ⊂β,a ∥c,b∩c=P,α∩β=c.例6．A 、B 、C 表示不同的点，a 、l 表示不同的直线，α、β表示不同的平面，下列推理不正确的是 （ ） ()A ααα⊂⇒∈∈∈∈l B l B A l A ,,,()B βα∈∈A A ,，AB B B =⇒∈∈βαβα ,直线 ()C αα∉⇒∈⊄A l A l ,()D α∈C B A ,,，β∈C B A ,,且C B A ,,不共线α⇒与β重合考点2.直线与直线的位置关系1.空间两条直线的位置关系：（1）相交直线——有且仅有一个公共点；（2）平行直线——在同一平面内，没有公共点；（3）异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点。
相交直线和平行直线也称为共面直线．异面直线的画法常用的有下列三种：2. 平行直线：在平面几何中，平行于同一条直线的两条直线互相平行，这个结论在空间也是成立的。
即公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
3.等角定理等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等．a b a b ab βααα推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等．4．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线推理模式：,,,A B a B a ααα∉∈⊂∉⇒AB 与a 是异面直线例1.若直线a 与b 是异面直线，直线b 与c 是异面直线，则直线a 与c 的位置关系是 .例2.已知a ，b 是异面直线，直线c ∥直线a,则c 与b 的位置关系 . ①一定是异面直线 ②一定是相交直线 ③不可能是平行直线 ④不可能是相交直线例3.若P 是两条异面直线l 、m 外的任意一点，则说法错误的有 （填序号）. ①过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都平行 ②过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都垂直 ③过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都相交 ④过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都异面例4. 如图6，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.图6求证：四边形EFGH是平行四边形.例5.如图6，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点且AC=BD. 求证：四边形EFGH是菱形.例4 如图7，已知正方体ABCD—A′B′C′D′.图7(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？(2)直线BA′和CC′的夹角是多少？(3)哪些棱所在直线与直线AA′垂直？例5.如图8，已知正方体ABCD —A′B′C′D′.图8（1）求异面直线BC ′与A′B′所成的角的度数； (2)求异面直线CD′和BC′所成的角的度数.例6．在正三棱柱111C B A ABC -中，若12BB AB =，则1AB 与B C 1所成的角的大小 ．变式训练1．下列四个命题：（1）分别在两个平面内的两条直线是异面直线 （2）和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条 （3）和两条异面直线都相交的两条直线必异面（4）若a 与b 是异面直线，b 与c 是异面直线，则a 与c 也异面 其中真命题个数为 （ ）()A 3 ()B 2 ()C 1 ()D 02．在正方体-ABCD ''''D C B A 中，M 、N 分别是棱'AA 和AB 的中点，P 为上底面ABCD 的中心，则直线PB 与MN 所成的角为（ ） ()A 300 ()B 450 ()C 600 ()D3．已知直线a ，如果直线b 同时满足条件：①a 、b 异面②a 、b 所成的角为定值③a 、b 间的距离为定值，则这样的直线b 有（ ）()A 1条 ()B 2条 ()C 4条 ()D 无数条4.正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为 .考点三.直线与平面的位置关系(二)三公理三推论:公理1：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平面内.A l ∈,B l ∈,A α∈,B α∈⇒α⊂l公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。
空间几何与向量运算点线面的位置关系与运算空间几何与向量运算是数学中的重要分支，研究点、线、面在空间中的位置关系以及进行相应的运算操作。
在实际应用中，空间几何与向量运算广泛应用于物理学、工程学等领域。
本文将详细讨论点、线、面在空间中的位置关系和对应的运算方式。
一、点在空间中的位置关系在空间几何中，点是空间的最基本元素，它没有长度、宽度和高度。
点与点之间的位置关系可以通过坐标系来描述。
常用的坐标系有直角坐标系、柱坐标系和球坐标系。
1. 直角坐标系直角坐标系是最常用的坐标系，用三个坐标轴x、y、z相互垂直组成，固定在空间中的三个直线上。
点在直角坐标系中的位置可以用三个坐标(x, y, z)来表示，其中x表示点在x轴上的投影位置，y表示点在y轴上的投影位置，z表示点在z轴上的投影位置。
2. 柱坐标系和球坐标系柱坐标系和球坐标系是常用的极坐标系。
在柱坐标系中，点的位置由径向距离、极角和高度来确定，记作(r, θ, z)，其中r表示点到极坐标原点的距离，θ表示点到正极轴的角度，z表示点在z轴上的投影位置。
在球坐标系中，点的位置由球半径、极角和方位角来确定，记作(r, θ, φ)，其中r表示点到球心的距离，θ表示点到正半轴的角度，φ表示点到正极面的角度。
二、线在空间中的位置关系与运算线是由无数个点连接而成的集合，线在空间中的位置关系有直线、平行线、相交线等。
对于线的运算操作，主要包括长度、夹角、平移、旋转等。
1. 长度线的长度是线段两个端点之间的距离，可以通过计算两个点的坐标来求得。
对于直线则无法直接求得长度。
2. 夹角两条线之间的夹角是指这两条线在空间中交汇处的夹角。
可以通过计算两条线的方向向量来求得夹角。
3. 平移平移是指将一条线段按照指定的平移向量进行移动，其位置和形状保持不变。
平移操作可以通过向直线的每个点添加平移向量得到。
4. 旋转旋转是指将一条线段按照指定的旋转角度和旋转轴进行旋转，其位置和形状保持不变。
空间几何中的点直线平面的位置关系在我们的日常生活中，空间几何的概念无处不在。
从我们居住的房屋结构，到道路的布局，再到各种建筑的设计，都离不开空间几何的知识。
而在空间几何中，点、直线和平面是最基本的元素，它们之间的位置关系也是我们理解和解决空间几何问题的关键。
首先，让我们来认识一下点。
点，是空间中最基本的单位，它没有大小，只有位置。
可以把点想象成是宇宙中的一颗星星，在浩瀚的空间中有着自己独特的坐标。
在数学中，我们通常用一个坐标来表示一个点的位置，比如在二维空间中，点可以用（x，y）来表示；在三维空间中，点则用（x，y，z）来表示。
接下来是直线。
直线是由无数个点组成的，它可以向两端无限延伸。
想象一下，在晴朗的夜晚，我们看到的笔直的星光，那就是一种近似于直线的存在。
直线在空间几何中有着重要的地位，它的特点是没有弯曲，没有尽头。
我们可以用一个点和直线的方向向量来确定一条直线，也可以用两个不同的点来确定一条直线。
然后是平面。
平面就像是一张无限延展的平坦的纸，它没有厚度。
比如我们脚下的大地，如果忽略其起伏和凹凸不平，就可以近似地看作一个平面。
平面可以用一个点以及平面的法向量来表示，也可以用三个不共线的点来确定一个平面。
了解了点、直线和平面的基本概念后，接下来我们看看它们之间的位置关系。
点与直线的位置关系相对简单，点要么在直线上，要么不在直线上。
如果点在直线上，那么这个点的坐标满足直线的方程；如果点不在直线上，那么它的坐标就不满足直线的方程。
点与平面的位置关系也是类似，点要么在平面内，要么在平面外。
如果点在平面内，那么这个点的坐标满足平面的方程；如果点在平面外，那么它的坐标就不满足平面的方程。
直线与直线的位置关系就稍微复杂一些。
两条直线可能平行，也就是它们的方向向量相同，但位置不同，它们永远不会相交；两条直线也可能相交，即它们在空间中有一个共同的交点；还有一种特殊情况，就是两条直线重合，此时它们的方程完全相同，所有的点都相同。
点线面的位置关系在几何学中，点、线和面是基本的几何元素。
它们之间的位置关系是我们研究几何学的基础。
本文将详细探讨点线面之间的位置关系，并从几何学的角度解释这些关系。
一、点与线的位置关系在平面几何中，点是最简单的几何元素。
它没有长度、面积和方向。
而线则是由无数个点组成的，具有长度但没有宽度。
点与线之间有以下几种位置关系：1. 点在线上：当一个点正好在一条线上时，我们说这个点在这条线上。
这意味着点与线上的所有点重合。
2. 点在线的两侧：如果一个点不在一条线上，并且离线的两侧距离都不为零，则我们说这个点在这条线的两侧。
3. 点在线的延长线上：如果一个点不在一条线上，并且它在这条线的延长线上，则我们说这个点在线的延长线上。
延长线是指将线无限延长的线段。
二、点与面的位置关系与点与线的位置关系类似，点与面之间也有几种不同的位置关系：1. 点在面上：当一个点正好在一个平面上时，我们说这个点在这个平面上。
这意味着点与面上的所有点重合。
2. 点在面的上方或下方：如果一个点不在一个平面上，并且它在这个平面的上方或下方，则我们说这个点在这个平面的上方或下方。
3. 点在面的边界上：如果一个点在一个平面的边界上，则我们说这个点在这个平面的边界上。
三、线与面的位置关系线与面之间的位置关系也是几何学中重要的内容，它们之间有以下几种位置关系：1. 线在面上：当一条线正好在一个平面上时，我们说这条线在这个平面上。
这意味着线上的所有点都在这个平面上。
2. 线与面相交：如果一条线与平面有一个或多个公共点，则我们说这条线与这个平面相交。
3. 线平行于面：如果一条线与平面上的所有点都不相交，则我们说这条线平行于这个平面。
4. 线垂直于面：如果一条线与平面的交点为一点，并且与平面上的所有其他点都垂直，则我们说这条线垂直于这个平面。
综上所述，点线面之间的位置关系是几何学的重要内容，它们的不同位置关系可以通过几何学的方法进行判断和描述。
通过研究这些位置关系，我们可以更好地理解几何学的基本概念，并应用于实际生活和工作中。
点、线、面的位置关系梳理许苏华空间中最基本的几个元素分别就是点、线（直线、平面曲线、空间曲线）、面（平面、空间曲面）.这里主要研究点、直线、平面之间的位置关系.其中点是没有大小，只有位置，不可分割的图形；直线是向两端无限延伸的，是没有宽度的；平面是向四周无限延伸的，而且是没有厚度的.一般我们不考虑点与点、直线与直线、平面与平面重合这种特殊情况，则点、直线、平面之间的所有位置关系如下表所示：此表中的直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行和垂直是我们重点要研究的特殊位置关系.根据公共点的个数，可以给这些位置关系下定义.相交直线，在同一个平面内，有且仅有一个公共点；平行直线，在同一平面内，它们没有公共点；异面直线，不同在任何一个平面内，它们也没有公共点.直线与平面相交，有且仅有一个公共点；直线与平面平行，则没有公共点；直线在平面内，有无数个公共点.两个平面平行，没有公共点；两个平面相交，有一条公共直线，即有无数个公共点.一、各种角如果两条直线平行或相交，这两条直线也叫共面直线.若两条直线平行，我们规定它们的夹角为0；若两条直线异面，平移其中一条，或两条直线都平移，使它们相交，平移后的两条直线的所成的角称之为异面直线所成的角.空间中两条直线所形成夹角的取值范围是[0,90].如果直线与平面平行，或者直线在平面内，我们规定直线与平面所成的角是0；如果直线与平面垂直（相交的一种特殊情况），则直线与平面所成的角为90；如果直线与平面相交，但是不与该平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线与平面的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，该垂线与平面的交点叫做垂足，过垂足与斜足的直线叫做斜线在平面上的射影，斜线与射影所成的角，叫做斜线与平面所成的角.因此直线与平面所成角的范围也是[0,90]. 两个平面之间也能形成角，那怎么度量呢？这里要引入二面角的概念.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，该图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.若棱为AB ，面分别为α、β，在面α、β内分别有一点P 、Q ，此二面角记作二面角AB αβ--或二面角P AB Q --.如果棱记作l ，此二面角也可记作二面角l αβ--或二面角P l Q --.如果在二面角的棱上任取一点O ，以点O 为垂足，分别在半平面α、β内作垂直于棱l 的射线OC 、OD ，则COD ∠叫做二面角的平面角.二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度，可见二面角的取值范围是[0,180].当两个半平面重合时，对应着二面角为0；当两个半平面互相垂直，对应着二面角为90，该二面角叫做直二面角；当两个半平面拼成一个平面时，对应着二面角为180.二面角的取值范围与两个向量之间夹角范围是一样的.二、各种公理与定理（推论）数学中的公理、原理，通常是一件基本事实，是一个显而易见的简单结论，或是一个不需要证明的主观真理.而数学中定理、推论、公式，都是需要通过演绎等逻辑推理方法严格证明的.因此，在我们学习过程中，遇到公理、原理，我们要举例子、弄明白、想透彻、理解领悟即可；如果是定理、公式，那我们一定要尝试证明、或者学习别人的证明方法，最终自己要证明出来，让定理、公式真正属于你自己的定理、公式，最后你才有资格，才能心安理得、光明正大地灵活使用它们.（一）与平面有关的几个公理和推论：公理1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.公理2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.简言之，公理1就是“不共线的三点确定一个平面”.公理2用来判断直线是否在平面内.由公理1和公理2，再结合“两点确定一条直线”，可以推出下列三个常用的推论：推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.（二）与平行有关的公理与定理：1．直线与直线平行公理4 平行与同一个条直线的两条直线平行.简言之，空间中直线平行具有传递性.由平行四边形的判定定理以及全等三角形的判定定理，再由全等三角形的性质可以证明下面这个定理：定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.2. 直线与平面平行利用推论3和公理4，直线与平面平行的定义，可证明直线与平面平行的判定定理：定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.主要利用直线与平面平行的定义，即没有公共点，可以证明直线与平面平行的性质定理：定理一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.简言之，线面平行的判定定理：“若线线平行，则线面平行”；线面平行的性质定理：“若线面平行，则线线平行”.3. 平面与平面平行可由推论2，平面与平面相交的定义，以及反证法，可证明平面与平面平行的判定定理：定理如果平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.依然主要利用有无公共点，可以证明平面与平面平行的性质定理：定理两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.简言之，面面平行的判定定理：“若线面平行，则面面平行”；面面平行的性质定理：“若面面平行，则线线平行”.（三）与垂直有关的定义与定理：1．直线与直线垂直如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.除了异面垂直，当然还有初中就已经学习过的相交垂直.因此两条直线垂直，它们有可能是相交的，也可能是异面的.2. 直线与平面垂直定义如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，那么该直线与此平面互相垂直.过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.无法验证一条直线与一个平面内的所有直线都垂直，因此根据定义判断直线与平面垂直的方法行不通.利用推论2，可证明直线与平面垂直的判定定理：定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.利用反证法，以及“过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条”，可以证明直线与平面垂直的性质定理：定理垂直于同一个平面的两条直线平行.简言之，线面垂直的判定定理：“若线线垂直，则线面垂直”；线面垂直的性质定理：“若线面垂直，则线线平行”.3. 平面与平面垂直定义一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.由上述两个平面互相垂直的定义，可证明平面与平面垂直的判定定理：定理如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.主要由线面垂直的判定定理，可以证明平面与平面垂直的性质定理：定理两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.简言之，面面垂直的判定定理：“若线面垂直，则面面垂直”；面面垂直的性质定理：“若面面垂直，则线面垂直”.空间平行、垂直关系之间的转化，可用下图清晰地表示出来.掌握这些公理、推论、定理，并不容易，需要各个击破，然后归纳梳理形成系统，并“学而时习之”，才能运筹帷幄决胜千里！。
点、直线、平面之间的位置关系
（1）理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理：
①公理1：如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直
线在此平面内。
②公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
③公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且
只有一条过该点的公共直线。
④公理4：平行于同一条直线的两条直线平行。
⑤定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
n m a m 1n 1m 2n 2m 1n 1
m 2n
2
（2）以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理。
理解以下判定定理：
①平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此
平面平行。
②一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平
面平行。
③一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此
平面垂直。
④一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直。
理解以下性质定理，并能够证明：
①如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任一个平面与
此平面的交线和该直线平行。
②两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行。
③垂直于同一个平面的两条直线平行。
④两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平
面垂直。
(3)能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。
立体几何初步（空间点、线、面的位置关系）一、平面⑴ 平面的概念：（描述性）（描述性）⑵平面的表示：通常用希腊字母a 、β、g 表示，如平面a （通常写在一个锐角内）；也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面A C ⑶点与平面的关系：点A 在平面a 内，记作A a Î；点A 不在平面a 内，记作A a Ï点与直线的关系：点A 的直线l 上，记作A Îl ； 点A 不在直线l 上，记作A Ïl直线与平面的关系：直线l 在平面a 内，记作l Ìa ；直线l 不在平面a 内，记作l Ëa 。
二、几个公理公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。
（即直线在平面内，或者平面经过直线）或者平面经过直线）符号语言：,,,A l B l A B l a a a ÎÎÎÎÞÌ公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
推论：推论：⑴一条直线和直线外一点确定一平面；⑴一条直线和直线外一点确定一平面；⑵两条相交直线确定一平面；⑵两条相交直线确定一平面；⑶两条平行直线确定一平面。
⑶两条平行直线确定一平面。
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号语言：l P l B A B A P Î=ÇÞÇÎ,公理3的作用：①它是判定两个平面相交的方法。
①它是判定两个平面相交的方法。
②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。
②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。
③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。
③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。
