上海高二数学矩阵及其运算(有详细问题详解)精品

上海版高二上数学矩阵及其运算一．初识矩阵 （一）引入：引例1：已知向量()1,3OP =，如果把OP 的坐标排成一列，可简记为13⎛⎫ ⎪⎝⎭； 引例2：2008我们可将上表奖牌数简记为：512128363836232128⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭；引例3：将方程组231324244x y mz x y z x y nz ++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩中未知数z y x ,,的系数按原来的次序排列，可简记为2332441m n ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭；若将常数项增加进去，则可简记为：2313242414m n ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭。

（二）矩阵的概念1、上述形如13⎛⎫ ⎪⎝⎭、512128363836232128⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭、2332441m n ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭、2313242414m n ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭这样的矩形数表叫做矩阵。

2、在矩阵中，水平方向排列的数组成的向量()12,,n a a a ⋅⋅⋅称为行向量；垂直方向排列的数组成的向量12n b b b ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭称为列向量；由m 个行向量与n 个列向量组成的矩阵称为m n ⨯阶矩阵，m n ⨯阶矩阵可记做m n A ⨯，如矩阵13⎛⎫ ⎪⎝⎭为21⨯阶矩阵，可记做21A ⨯；矩阵512128363836232128⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭为33⨯阶矩阵，可记做33A ⨯。

有时矩阵也可用A 、B 等字母表示。

3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素，在一个m n ⨯阶矩阵m n A ⨯中的第i （i m ≤）行第j （j n ≤）列数可用字母ij a 表示，如矩阵512128363836232128⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭第3行第2个数为3221a =。

4、当一个矩阵中所有元素均为0时，我们称这个矩阵为零矩阵。

如000000⎛⎫⎪⎝⎭为一个23⨯阶零矩阵。

5、当一个矩阵的行数与列数相等时，这个矩阵称为方矩阵，简称方阵，一个方阵有n 行（列），可称此方阵为n阶方阵，如矩阵512128363836232128⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭、2332441m n ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭均为三阶方阵。

在一个n 阶方阵中，从左上角到右下角所有元素组成对角线，如果其对角线的元素均为1，其余元素均为零的方阵，叫做单位矩阵。

如矩阵1001⎛⎫⎪⎝⎭为2阶单位矩阵，矩阵100010001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭为3阶单位矩阵。

6、如果矩阵A 与矩阵B 的行数和列数分别相等，那么A 与B 叫做同阶矩阵；如果矩阵A 与矩阵B 是同阶矩阵，当且仅当它们对应位置的元素都相等时，那么矩阵A 与矩阵B 叫做相等的矩阵，记为A B =。

7、对于方程组231324244x y mz x y z x y nz ++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩中未知数z y x ,,的系数按原来的次序排列所得的矩阵2332441m n ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭，我们叫做方程组的系数矩阵；而矩阵2313242414m n ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭叫做方程组的增广矩阵。

（三）、应用举例：例1（1）将两人的成绩各阶段成绩用矩阵表示； （2）写出行向量、列向量，并指出其实际意义。

例2、已知矩阵222,22x x y b a A B x a b y x y ---⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭且A B =，求a 、b 的值及矩阵A 。

例3、写出下列线性方程组的增广矩阵：（1）23146x y x y +=⎧⎨-=⎩； （2）23203250230x y z x y z x y z +-+=⎧⎪-++-=⎨⎪-++=⎩例4、已知线性方程组的增广矩阵，写出其对应的方程组：（1）235124-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ （2）210203213023-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭例5、已知矩阵sin cos 0sin cos 1ααββ+⎛⎫⎪+⎝⎭为单位矩阵，且,,2παβπ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，求()sin αβ-的值。

（四）、课堂练习：1、请根据游戏“剪刀、石头、布”的游戏规则，作出一个3阶方阵（胜用1表示，输用1- 表示，相同则为0）。

2、奥运会足球比赛中国队所在C组小组赛单循环比赛结果如下：中国平新西兰1∶1 巴西胜比利时1∶0 中国负比利时0∶2巴西胜新西兰5∶0 中国负巴西0∶3 比利时胜新西兰0∶1（1）试用一个4阶方阵表示这4个队之间的净胜球数；（以中国、巴西、比利时、新西兰为顺序排列）（2）若胜一场可得3分，平一场得1分，负一场得0分，试写出一个4阶方阵表示各队的得分情况；（排列顺序与（1）相同）（3）若最后的名次的排定按如下规则：先看积分，同积分看净胜球，试根据（1）、（2）两个矩阵确定各队名次。

二、矩阵的三种基本变换（一）、复习引入：引例、根据下列增广矩阵，写出其对应的线性方程组，并分析这些增广矩阵所对应线性方程组解的关系，从中你能得到哪些启发？（1）213322-⎛⎫⎪-⎝⎭（2）322213-⎛⎫⎪-⎝⎭（3）1312222133⎛⎫-⎪⎪⎪- ⎪⎝⎭（4）1312211366⎛⎫-⎪⎪⎪⎪⎝⎭（5）10811366⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭（6）1080113⎛⎫⎪⎝⎭（二）、矩阵的三种基本变换新课讲解：通过上面练习，我们可以发现以下三个有关线性方程组的增广矩阵的基本变换：（1）互换矩阵的两行；（2）把某一行同乘（除）以一个非零的数；（3）某一行乘以一个数加到另一行。

显然，通过以上三个基本变换，可将线性方程组的系数矩阵变成单位矩阵，这时增广矩阵的最后一个列向量给出了方程组的解。

（三）、应用举例：例1、已知每公斤五角硬币价值132元，每公斤一元硬币价值165元，现有总重量为两公斤的硬币，总数共计462个，问其中一元与五角的硬币分别有多少个？（来自网上“新鸡兔同笼问题”）例2、用矩阵变换的方法解三元一次方程组4357245238x y zx y zx y z+-=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩的解。

例3、运用矩阵变换方法解方程组：322ax yx y b+=⎧⎨-=⎩（a、b为常数）说明：（1）符合情况ⅰ）时，方程组有唯一解，此时两个线性方程所表示的直线相交；（2）符合情况ⅱ）时，两个线性方程所表示的直线平行，此时方程组无解；（3）符合情况ⅲ）时，两个线性方程所表示的直线重合，此时方程组有无穷多解。

（四）、课堂练习：用矩阵变换方法解下列问题： （1）若方程组2(1)(1)4x y k x k y +=⎧⎨-++=⎩的解x 与y 相等，求k 的值。

（2）有黑白两种小球各若干个，且同色小球质量均相等，在如下图所示的两次称量的天平恰好平衡，如果每只砝码质量均为5克，每只黑球和白球的质量各是多少克？（3）解方程组：320255781x y z x y z x y z -+=⎧⎪++=⎨⎪-+=-⎩三、矩阵运算（对从实际问题中抽象出来的矩阵，我们经常将几个矩阵联系起来，讨论它们是否相等，它们在什么条件下可以进行何种运算，这些运算具有什么性质等问题，这是下面所要讨论的主要内容.） 1．相等定义 如果两个矩阵[]nm ija A ⨯=，[]ps ijb B ⨯=满足：(1) 行、列数相同，即 p n s m ==,；(2) 对应元素相等，即a ij = b ij (= 1, 2, …, m ；j = 1, 2, …, n )， 则称矩阵A 与矩阵B 相等，记作 A = B（由矩阵相等定义可知，用等式表示两个m n 矩阵相等，等价于元素之间的mn 个等式.）例如，矩阵A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡232221131211a a a a a a ， B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--412503第一次称量 第二次称量那么A = B ，当且仅当a 11 = 3，a 12 = 0，a 13 = -5，a 21 = -2，a 22 = 1，a 23 = 4而C = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡22211211c c c c 因为B , C 这两个矩阵的列数不同，所以无论矩阵C 中的元素c 11, c 12, c 21, c 22取什么数都不会与矩阵B 相等.2．加法定义2.3 设[]nm ij a A ⨯=，[]ps ijb B ⨯=是两个m n 矩阵，则称矩阵C =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++mn mn m m m m n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a221122222221211112121111为A 与B 的和，记作C = A + B = []ij ij b a +（由定义2.3可知，只有行数、列数分别相同的两个矩阵，才能作加法运算.） 同样，我们可以定义矩阵的减法：D = A - B = A + (-B ) =[]ij ij b a - 称D 为A 与B 的差. 例1 设矩阵A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡---152403， B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--130432，求A + B ，A - B .例2、矩阵cos cos 0tan 1A αβα⎛⎫=⎪⎝⎭，00tan tan tan B βαβ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，01017C ⎛⎫- ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，若A B C +=，(0,)2πα∈，(,)2πβπ∈，求sin 2αβ+的值。

矩阵加法满足的运算规则是什么？设A , B , C , O 都是m n 矩阵，不难验证矩阵的加法满足以下运算规则 1. 加法交换律： A + B = B + A ；2. 加法结合律： (A + B ) + C = A + (B + C ) ；3. 零矩阵满足： A + O = A ；4. 存在矩阵-A ，满足：A -A = A + (-A ) = O .3．数乘定义 2.4 设矩阵[]nm ija A ⨯=，λ为任意实数，则称矩阵[]nm ijc C ⨯=为数λ与矩阵A 的数乘，其中),2,1;,,2,1(n j m i a c ij ij ===λ，记为C =λA（由定义2.4可知，数λ乘一个矩阵A ，需要用数λ去乘矩阵A 的每一个元素.特别地，当λ = -1时，λA = -A ，得到A 的负矩阵.）例3 设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--062504713，用2去乘矩阵A ，求2A.数乘矩阵满足的运算规则是什么？ 对数k , l 和矩阵A = []nm ija ⨯，B =[]nm ijb ⨯满足以下运算规则：1. 数对矩阵的分配律：k (A + B ) = kA + kB ；2. 矩阵对数的分配律：( k + l ) A = kA + lA ；3. 数与矩阵的结合律：( k l ) A = k (lA ) = l (kA ) ；4. 数1与矩阵满足： 1A = A .例4 设矩阵 A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-610523，B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--712834，求3A - 2B .例5．给出二元一次方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩存在唯一解的条件。