高二数学：9.2《矩阵的运算》课件(1)(沪教版上)

燃料费 15000 14000 16000
现在规定个分厂的水费、电费和燃料费都至少要节 约20％.用矩阵表示这三家分厂各项费用的限定额
例题讲解
水费
电费
，限定额
一分厂
10000
12000
15000
二分厂
8000
11000
14000
三分厂
9000
12000
16000
解：一月份三家分厂各项费用用矩阵A表示，限定
甲
数 80 0.3 +97090.3 +70 0.4 D 语 90 0.3 +88030.3 +800.4 英 60 0.3 +87080.3 +900.4

70 80 80
B 70 80 90

80
90
80
75 85 75
aa21xx

b1 b2
y y

c1，存在唯一解
c2
的条件
巩固练习 练习9.2（1） P79
问题思考
矩阵A、B、C分别表示甲乙丙三人平时、期中及期末的的数语英 成绩，分别求三人的求总评成绩D、E、F（30%，30%，40%）
平时 期中 期末
数 80 90 70 语 A = 90 80 80 英 60 80 90
225 255 225

3
3
3

75
85
75
F

1 3
D


240 3

210 3
235 3 265 3
255 3 255 3

1 B 4
2
7 2 0
1 3 , 1
求 ABT .
解法1
AB 2 1
0 3
21
1 4 2
7 2 0
1 3 1
0 17
14 13
3, 10
0 17
ABT
14
13 .
解法2
3 10
AB T
BT AT
1 7
1
4 2 3
2 2 0 0 1 1
1 3 2
或 A
a11 a12
A
a21
a22
am1
am2
a1n
a11 a21
a2
n
AT a12
a22
, amn
a1n a2n
an1
an
2
amn
例如 A 1 2 2,
4 5 8
1 4
AT
2
5 ;
2 8
转置矩阵的运算性质
1 AT T A;
2 A BT AT BT ;
3 kAT kAT ;
是一个一阶方阵，即一个数。
C A B 2. mn
ms sn
例5 求矩阵
A
1 2
0 1
3 0
1
2
与
4 1 0
B
1
1
3 的乘积 AB
2 0 1
1
3 4
解：
4 1 0
AB 1 2
0 1
3 0
21
1 2 1
1 0 3
3 14
9 2 1 9 9 11
例6
A
3
9
Байду номын сангаас
1 3

(A
E )n
An
Cn1 An1
C
2 n
An2
Cnn1 A
E
3. 求矩阵A的n次幂的方法. 措施一 数学归纳法
先计算A2, A3等, 发现Ak的规律,再用数学归纳法证明之.
例1
设
A
1 0
11 , 求 An
解
A2
1 0
12 1
10
11 10
11
1 0
2 1
同理,
A3
A2
A
1 0
13
猜测
An
,
求An
1
1
n
1
n n
n
解
将A分解成A
E
1 n
B,
其中B
111
1
1
1
111,容易得出B2 nB
于是 A2
(E
1 n
B)2
E2
2 n
EB
1 n2
B2
E
2 n
B
1 n2
nB
E 1 B A(幂等矩阵),故An A.
n
措施三 利用乘法结合律 若A T , 其中 , 都是n 1矩阵(列矩阵).利用乘法结合律,
三、矩阵旳幂乘
1、定义 设A是一种n阶矩阵，对于正整数k, Ak AA A
k个
称为A旳k次幂。 2、幂乘旳运算规律：任意正整数 k , l ,有
Ak Al Akl , Ak l Akl
但一般来说 ( AB)k Ak Bk ,
例题 设A, B为n阶方阵, E为n阶单位矩阵,以下式子哪些成立 ?
由矩阵相等旳定义,得
x1 x3
x2 x4
得

且A2X=B，求X。
解：
X
=
1 2
(B
A)
=
1 2
2 0 0
2 1 5
5 1 2
2
4
5
1 1 = 0 1/ 2
5/2 1/ 2
1 2
。
0 5 / 2 1 5 / 2
练习
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三、矩阵的乘法
定义2.5 设A是一个ms矩阵，B是一个sn矩阵：
a11 a12 a1s
0 3 6 9 0 12 8 16
92 156 214 60 7 9 17 6
= 64 02 1210 914 = 2 2 2 5 。
00 312 68 916 0 9 2 7
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3572
1320
例4．已知 A= 2 0 4 3 ， B = 2 1 5 7 ，
0 1 23
0 6 48
列式称为矩阵A的行列式，记为|A|，即
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2. 数乘矩阵满足的运算律
设 A, B 为同型矩阵, λ , μ为常数，则
(1) (λμ) A=λ (μ A); (2) (λ + μ)A = λ A + μ A. (3) λ(A + B) = λ A + λ B.
结合律 分配律 分配律
矩阵加法与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。
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四、方阵的幂
(１) 定义
如果 A 是 n 阶矩阵, 那么AA 有意义, 也有意义, 因此有下述定义: