矩阵及其运算
矩阵的概念
1、形如13⎛⎫ ⎪⎝⎭、512128363836232128⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭、2332441m n ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭、2313242414m n ⎛⎫ ⎪
- ⎪ ⎪-⎝⎭
这样的矩形数表叫做矩阵。 2、在矩阵中，水平方向排列的数组成的向量()12,,n a a a ⋅⋅⋅称为行向量；垂直方向排列
的数组成的向量12n b b b ⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭
称为列向量；由m 个行向量与n 个列向量组成的矩阵称为m n ⨯阶矩阵，m n ⨯阶矩阵可记做m n A ⨯，如矩阵13
⎛⎫
⎪⎝⎭
为21⨯阶矩阵，可记做21A ⨯；矩阵
512128363836232128⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
为33⨯阶矩阵，可记做33A ⨯。有时矩阵也可用A 、B 等字母表示。 3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素，在一个m n ⨯阶矩阵m n A ⨯中的第i （i m ≤）行第
j （j n ≤）列数可用字母ij a 表示，如矩阵512128363836232128⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
第3行第2个数为3221a =。 4、当一个矩阵中所有元素均为0时，我们称这个矩阵为零矩阵。如000000⎛⎫
⎪⎝⎭
为一个
23⨯阶零矩阵。
5、当一个矩阵的行数与列数相等时，这个矩阵称为方矩阵，简称方阵，一个方阵有
n 行（列），可称此方阵为n 阶方阵，如矩阵512128363836232128⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭、2332441m n ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭
均为三阶方阵。在一个n 阶方阵中，从左上角到右下角所有元素组成对角线，如果其对角线
的元素均为1，其余元素均为零的方阵，叫做单位矩阵。如矩阵1001⎛⎫
⎪⎝⎭
为2阶单位矩阵，矩阵100010001⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
为3阶单位矩阵。 6、如果矩阵A 与矩阵B 的行数和列数分别相等，那么A 与B 叫做同阶矩阵；如果矩阵A 与矩阵B 是同阶矩阵，当且仅当它们对应位置的元素都相等时，那么矩阵A 与矩阵B 叫做相等的矩阵，记为A B =。
7、对于方程组231
324244x y mz x y z x y nz ++=⎧⎪
-+=⎨⎪+-=⎩
中未知数z y x ,,的系数按原来的次序排列所得的矩阵
2332441m n ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭，我们叫做方程组的系数矩阵；而矩阵2313242414m n ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭
叫做方程组的增广矩阵。 应用举例： 例1、已知矩阵222,22x x y b a A B x a b y
x y ---⎛⎫⎛⎫
==
⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭且A B =，求a 、b 的值及矩阵A 。 例2、写出下列线性方程组的增广矩阵：
（1）23146x y x y +=⎧⎨-=⎩；（2）2320
3250230
x y z x y z x y z +-+=⎧⎪
-++-=⎨⎪-++=⎩
例3、已知线性方程组的增广矩阵，写出其对应的方程组：
（1）235124-⎛⎫ ⎪-⎝⎭（2）210203213023-⎛⎫
⎪
- ⎪
⎪
-⎝⎭
例4、已知矩阵sin cos 0sin cos 1αα
ββ+⎛⎫
⎪+⎝⎭为单位矩阵，且,,2παβπ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
，求()sin αβ-的值。 矩阵的基本变换：
（1）互换矩阵的两行或两列；
（2）把某一行同乘（除）以一个非零的数； （3）某一行乘以一个数加到另一行。
显然，通过以上三个基本变换，可将线性方程组的系数矩阵变成单位矩阵，这时增广矩阵的最后一个列向量给出了方程组的解。 应用举例：
例1、用矩阵变换的方法解三元一次方程组4357245238x y z x y z x y z +-=⎧⎪
++=⎨⎪--=⎩
的解。
例2、运用矩阵变换方法解方程组：32
2ax y x y b
+=⎧⎨-=⎩（a 、b 为常数）
课堂练习：
用矩阵变换方法解下列问题： （1）若方程组2
(1)(1)4
x y k x k y +=⎧⎨
-++=⎩的解x 与y 相等，求k 的值。
（3）解方程组：320255781x y z x y z x y z -+=⎧⎪
++=⎨⎪-+=-⎩
矩阵运算
（对从实际问题中抽象出来的矩阵，我们经常将几个矩阵联系起来，讨论它们是否相等，它们在什么条件下可以进行何种运算，这些运算具有什么性质等问题，这是下面所要讨论的主要内容.） 1．相等
定义如果两个矩阵[]n m ij a A ⨯=，[]p s ij b B ⨯=满足： (1)行、列数相同，即p n s m ==,；
(2)对应元素相等，即a ij =b ij (i =1,2,…,m ；j =1,2,…,n )，
则称矩阵A 与矩阵B 相等，记作A =B
（由矩阵相等定义可知，用等式表示两个m ⨯n 矩阵相等，等价于元素之间的m ⨯n 个等式.）例如，矩阵
A =⎥⎦⎤⎢
⎣⎡232221131211a a a a a a ，B =⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--412503 那么A =B ，当且仅当
a 11=3，a 12=0，a 13=-5，a 21=-2，a 22=1，a 23=4
而
C =⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2221
1211
c c c c 因为B ,C 这两个矩阵的列数不同，所以无论矩阵C 中的元素c 11,c 12,c 21,c 22取什么数都不会与矩阵B 相等.
2．加法
定义设[]n m ij a A ⨯=，[]p s ij b B ⨯=是两个m ⨯n 矩阵，则称矩阵
C =
⎥
⎥
⎥⎥
⎦
⎤⎢
⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++mn mn m m m m n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a
2
21122222221211112
121111
为A 与B 的和，记作
C =A +B =[]ij ij b a +
（由定义可知，只有行数、列数分别相同的两个矩阵，才能作加法运算.） 同样，我们可以定义矩阵的减法：D =A -B =A +(-B )=[]ij ij b a - 称D 为A 与B 的差.
例1设矩阵A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡---152403，B =⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--130432，求A +B ，A -B .
