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[教学目标]1、理解矩阵乘法的定义；2、掌握矩阵乘法的运算性质；3、掌握线性方程组的矩阵表示方法。
[教学重点]1、矩阵乘法的运算性质；2、矩阵乘法满足的条件及矩阵乘法不满足的运算律。
[教学难点]矩阵乘法概念的理解。
[教学过程]一、情境设置、复习引入：引例140%，决赛占60%，那么甲、乙的最后成绩可用如下矩阵运算形式表示：对于矩阵80908688A ⎛⎫=⎪⎝⎭可设其两个列向量为128090,8688A A ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则最终成绩可用矩阵128090800.4900.6860.40.60.40.68688860.4880.687.2C A A ⨯+⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=⨯+⨯== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯+⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭这里，矩阵80908688A ⎛⎫=⎪⎝⎭通过向量0.40.6⎛⎫ ⎪⎝⎭进行线性运算变换得到矩阵：800.4900.686860.4880.687.2C ⨯+⨯⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⨯+⨯⎝⎭⎝⎭这个矩阵反映了两位选手的最终成绩。
引例2、下表是2008年奥运会奖牌榜前三位的国家的得奖情况：为了反映一个国家的整体实力，这里有两种不同的加权计算方式：（1）金牌乘以0.5，银牌乘以0.3，铜牌乘以0.2；（2）金牌乘以0.4，银牌乘以0.3，铜牌乘以0.3。
那么这两种计算方式所得最终成绩可通过如下矩阵运算表示：对于矩阵512128363836232128A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，可设其三个列向量为：12351212836,38,36232128A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则第一种计算方式可得矩阵：11235121280.50.30.20.5360.3380.236232128C A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=++=⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭510.5210.3280.237.4360.5380.3360.236.6230.5210.3280.223.4⨯+⨯+⨯⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=⨯+⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯+⨯+⨯⎝⎭⎝⎭由第二种计算方式可得矩阵：21235121280.40.30.30.4360.3380.336232128C A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=++=⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭510.4210.3280.335.1360.4380.3360.336.6230.4210.3280.323.9⨯+⨯+⨯⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=⨯+⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯+⨯+⨯⎝⎭⎝⎭1C 、2C 即为矩阵37.435.136.636.623.423.9C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的两个列向量，而矩阵C 即表示了两种计算方法所得的成绩。
课 题：§9.2矩阵的运算授课教师：师大附中 苏燕教学目标：知识目标：（1）使学生理解和掌握矩阵的运算及其运算律；（2）使学生提高分析矩阵的实际问题和解决矩阵的实际问题的能力。
能力目标：（1）重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；（2）启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；（3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。
德育目标：（1）激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操；（2）培养学生坚韧不拔的意志，以及实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。
教学重点：提高矩阵的运算能力。
教学难点：矩阵乘法。
教学方法和手段：结合多媒体教学手段进行启发式教学。
教学过程：一、情景引入：1、观察：2、思考（1）：如何用矩阵表示他们的答对题数？他们期中、期末的成绩？思考（2）：如果期中占40%，期末占60%，求两同学的总评成绩；3、讨论：今天如何通过矩阵运算来研究上述问题？二、学习新课：1、矩阵的加法：（1）引入：记期中成绩答题数为A ，期末答题数为B ，则： ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3592310A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=337448B 确定两次考试的小王，小李的各题型答题总数的矩阵C⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=68166718B A C （2）矩阵的和（差）：当两个矩阵A B 、的维数相同时，将它们各位置上的元素加（减）所得到的矩阵称为矩阵A B 、的和（差）,记作：()A B A B +-。
（3）运算律：加法运算律：A B B A +=+；加法结合律：()()A B C A B C ++=++。
2、数乘矩阵：（1）引入：计算小王、小李各题型平均答题数的矩阵： ()9 3.5318432A B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（2）矩阵与实数的积：设α为任意实数，把矩阵A 的所有元素与α相乘得到的矩阵叫做矩阵A 与实数α的乘积矩阵，记作：A α。
（3）运算律：（R γλ∈、）分配律：()B A B A γγγ+=+；A A A λγλγ+=+)(；结合律：()()()A A A γλλγγλ==。
9.2矩阵运算一、教学内容分析这一节重点介绍矩阵的三种基本运算：矩阵的加减、实数与矩阵相乘、矩阵的乘法.例2、例3是二阶矩阵的加、减法；例6是二阶矩阵与2 3阶矩阵的乘法；这三个例题是矩阵的基本运算.必须掌握好矩阵基本运算，并掌握它们的运算律.例7、例8是矩阵的实际应用题，说明矩阵可用于处理一些复杂的数据问题.二、教学目标设计1、理解和掌握矩阵的运算及其运算律;2、提高分析矩阵的实际问题和解决矩阵的实际问题的能力.三、教学重点及难点1、提高矩阵的运算能力是重点;2、矩阵乘法是教学难点.四、教学流程设计:五、教学过程设计（一）情景引入小王、小李在两次数学考试中答对题数如下表表示：填空题每题4分，选择题4分，解答题每题10分. 1、 观察：2、 思考（1）：如何用矩阵表示他们的答对题数？他们期中、期末的成绩？思考（2）：如果期中占40%，期末占60%，求两同学的总评成绩 3、 讨论：今天如何通过矩阵运算来研究上述问题？（二）学习新课 1、矩阵的加法 （1）引入记期中成绩答题数为A 期末答题数为B⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3592310A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=337448B确定两次考试的小王，小李的各题型答题总数的矩阵C⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=68166718B A C（2）矩阵的和（差）当两个矩阵A ，B 的维数相同时，将它们各位置上的元素加（减）所得到的矩阵称为矩阵A ，B 的和（差）,记作：A+B （A-B ） （3）运算律加法运算律：A+B=B+A加法结合律：（A+B ）+C=A+（B+C ） （4）举例：P80 例2，例32、数乘矩阵（1）引入：计算小王、小李各题型平均答题数的矩阵()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+34835.3921B A （2）矩阵与实数的积设α为任意实数，把矩阵A 的所有元素与α相乘得到的矩阵叫做矩阵A 与实数α的乘积矩阵.记作：αA（3）运算律：（γλ、为实数）分配律：()B A B A γγγ+=+ ；A A A λγλγ+=+)( 结合律：()()()A A A γλλγγλ== （4）举例：P81 例43、矩阵的乘积（1）引入：P83的两次线性变换 （2）矩阵的乘积：一般，设A 是k m ⨯阶矩阵，B 是n k ⨯阶矩阵，设C 为n m ⨯矩阵如果矩阵C 中第i 行第j 列元素ij C 是矩阵A 第i 个行向量与矩阵B 的第j 个列向量的数量积，那么C 矩阵叫做A 与B 的乘积.记作：C=AB （3）运算律分配律：AC AB C B A +=+)(，CA BA A C B +=+)( 结合律：()()()B A B A AB γγγ==，()()BC A C AB = 注：交换律不成立，即BA AB ≠ （4）举例例1（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛13321221 （2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-12211332（3）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011211724543 （4）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-724543011211 （5）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-122645243011211答案：1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--5718 2) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-7514 3)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--4591019617 4)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-022212 5)⎪⎪⎭⎫⎝⎛--402101212 注：（1）（2）结果不同.（3）（4）结果不同，说明矩阵乘法交换律不成立.例2：P85 例8（三）回归情景：讨论如何使用矩阵运算进一步研究小王、小李的考试成绩. （四）课堂练习：P83，P86 （五）课堂小结（六）布置作业：见练习册七：教学设计说明1、 通过情景题小王、小李的成绩情况引入矩阵运算，说明矩阵运算的重要性.2、 课堂按“加减法→数乘→乘法”展开研究，层层深入，重在掌握2阶，3阶的矩阵的基本运算.3、 对矩阵运算律只进行总结，不进行证明.旨在今后学生能灵活地使用运算律进行运算.这里特别强调乘法的交换律不成立.这是学生思维上不易接受点，在过去的学习的实数运算、集合运算、向量运算的不同之处，必须引起重视. 4、 加强了实际问题的分析，说明矩阵在实际问题中的重要运用.海量中小学教学资源持续更新中》》》》请站内搜索******************************************************************************************** **************小贴士：8种小学数学教学方法总结******************************* 良好的方法能使我们更好地发挥运用天赋的才能，而拙劣的方法则可能阻碍才能的发挥。
上海⾼⼆数学矩阵及其运算（有详细答案）精品上海版⾼⼆上数学矩阵及其运算⼀．初识矩阵（⼀）引⼊：引例1：已知向量()1,3OP =，如果把OP 的坐标排成⼀列，可简记为13??；引例2：2008我们可将上表奖牌数简记为：512128363836232128?? ?；引例3：将⽅程组231324244x y mz x y z x y nz ++=??-+=??+-=?中未知数z y x ,,的系数按原来的次序排列，可简记为2332441m n ??- ? ?-??；若将常数项增加进去，则可简记为：2313242414m n ??- ? ?-??。
（⼆）矩阵的概念1、上述形如13?? ???、512128363836232128?? ? ? ???、2332441m n ?? ?- ? ?-??、2313242414m n ??- ? ?-??这样的矩形数表叫做矩阵。
2、在矩阵中，⽔平⽅向排列的数组成的向量()12,,n a a a 称为⾏向量；垂直⽅向排列的数组成的向量12n b b b ??称为列向量；由m 个⾏向量与n 个列向量组成的矩阵称为m n ?阶矩阵，m n ?阶矩阵可记做m n A ?，如矩阵13?? ???为21?阶矩阵，可记做21A ?；矩阵512128363836232128?? ?为33?阶矩阵，可记做33A ?。
有时矩阵也可⽤A 、B 等字母表⽰。
3、矩阵中的每⼀个数叫做矩阵的元素，在⼀个m n ?阶矩阵m n A ?中的第i （i m ≤）⾏第j （j n ≤）列数可⽤字母ij a 表⽰，如矩阵512128363836232128?? ?第3⾏第2个数为3221a =。
4、当⼀个矩阵中所有元素均为0时，我们称这个矩阵为零矩阵。
如000000??为⼀个23?阶零矩阵。
5、当⼀个矩阵的⾏数与列数相等时，这个矩阵称为⽅矩阵，简称⽅阵，⼀个⽅阵有n ⾏（列），可称此⽅阵为n 阶⽅阵，如矩阵512128363836232128?? ? ? ???、2332441m n ??- ? ?-??均为三阶⽅阵。
课 题：§9.2矩阵的运算授课教师：师大附中 苏燕教学目标：知识目标：（1）使学生理解和掌握矩阵的运算及其运算律；（2）使学生提高分析矩阵的实际问题和解决矩阵的实际问题的能力。
能力目标：（1）重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；（2）启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；（3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。
德育目标：（1）激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操；（2）培养学生坚韧不拔的意志，以及实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。
教学重点：提高矩阵的运算能力。
教学难点：矩阵乘法。
教学方法和手段：结合多媒体教学手段进行启发式教学。
教学过程：一、情景引入：1、观察：2、思考（1）：如何用矩阵表示他们的答对题数？他们期中、期末的成绩？思考（2）：如果期中占40%，期末占60%，求两同学的总评成绩；3、讨论：今天如何通过矩阵运算来研究上述问题？二、学习新课：1、矩阵的加法：（1）引入：记期中成绩答题数为A ，期末答题数为B ，则： ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3592310A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=337448B 确定两次考试的小王，小李的各题型答题总数的矩阵C⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=68166718B A C （2）矩阵的和（差）：当两个矩阵A B 、的维数相同时，将它们各位置上的元素加（减）所得到的矩阵称为矩阵A B 、的和（差）,记作：()A B A B +-。
（3）运算律：加法运算律：A B B A +=+；加法结合律：()()A B C A B C ++=++。
2、数乘矩阵：（1）引入：计算小王、小李各题型平均答题数的矩阵： ()9 3.5318432A B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（2）矩阵与实数的积：设α为任意实数，把矩阵A 的所有元素与α相乘得到的矩阵叫做矩阵A 与实数α的乘积矩阵，记作：A α。
（3）运算律：（R γλ∈、）分配律：()B A B A γγγ+=+；A A A λγλγ+=+)(；结合律：()()()A A A γλλγγλ==。
矩阵及其运算矩阵的概念1、形如13⎛⎫ ⎪⎝⎭、512128363836232128⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭、2332441m n ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭、2313242414m n ⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪-⎝⎭这样的矩形数表叫做矩阵。
2、在矩阵中，水平方向排列的数组成的向量()12,,n a a a ⋅⋅⋅称为行向量；垂直方向排列的数组成的向量12n b b b ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭称为列向量；由m 个行向量与n 个列向量组成的矩阵称为m n ⨯阶矩阵，m n ⨯阶矩阵可记做m n A ⨯，如矩阵13⎛⎫ ⎪⎝⎭为21⨯阶矩阵，可记做21A ⨯；矩阵512128363836232128⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭为33⨯阶矩阵，可记做33A ⨯。
有时矩阵也可用A 、B 等字母表示。
3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素，在一个m n ⨯阶矩阵m n A ⨯中的第i （i m ≤）行第j （j n ≤）列数可用字母ij a 表示，如矩阵512128363836232128⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭第3行第2个数为3221a =。
4、当一个矩阵中所有元素均为0时，我们称这个矩阵为零矩阵。
如000000⎛⎫⎪⎝⎭为一个23⨯阶零矩阵。
5、当一个矩阵的行数与列数相等时，这个矩阵称为方矩阵，简称方阵，一个方阵有n 行（列），可称此方阵为n阶方阵，如矩阵512128363836232128⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭、2332441m n ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭均为三阶方阵。
在一个n 阶方阵中，从左上角到右下角所有元素组成对角线，如果其对角线的元素均为1，其余元素均为零的方阵，叫做单位矩阵。
如矩阵1001⎛⎫⎪⎝⎭为2阶单位矩阵，矩阵100010001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭为3阶单位矩阵。
6、如果矩阵A 与矩阵B 的行数和列数分别相等，那么A 与B 叫做同阶矩阵；如果矩阵A 与矩阵B 是同阶矩阵，当且仅当它们对应位置的元素都相等时，那么矩阵A 与矩阵B 叫做相等的矩阵，记为A B =。
7、对于方程组231324244x y mz x y z x y nz ++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩中未知数z y x ,,的系数按原来的次序排列所得的矩阵2332441m n ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭，我们叫做方程组的系数矩阵；而矩阵2313242414m n ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭叫做方程组的增广矩阵。
应用举例： 例1、已知矩阵222,22x x y b a A B x a b yx y ---⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭且A B =，求a 、b 的值及矩阵A 。
例2、写出下列线性方程组的增广矩阵：（1）23146x y x y +=⎧⎨-=⎩； （2）23203250230x y z x y z x y z +-+=⎧⎪-++-=⎨⎪-++=⎩例3、已知线性方程组的增广矩阵，写出其对应的方程组：（1）235124-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ （2）210203213023-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭例4、已知矩阵sin cos 0sin cos 1ααββ+⎛⎫ ⎪+⎝⎭为单位矩阵，且,,2παβπ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，求()sin αβ-的值。
矩阵的基本变换：（1）互换矩阵的两行或两列；（2）把某一行同乘（除）以一个非零的数；（3）某一行乘以一个数加到另一行。
显然，通过以上三个基本变换，可将线性方程组的系数矩阵变成单位矩阵，这时增广矩阵的最后一个列向量给出了方程组的解。
应用举例：例1、用矩阵变换的方法解三元一次方程组4357245238x y zx y zx y z+-=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩的解。
例2、运用矩阵变换方法解方程组：322ax yx y b+=⎧⎨-=⎩（a、b为常数）课堂练习：用矩阵变换方法解下列问题：（1）若方程组2(1)(1)4x yk x k y+=⎧⎨-++=⎩的解x与y相等，求k的值。
（3）解方程组：320255781x y z x y z x y z -+=⎧⎪++=⎨⎪-+=-⎩矩阵运算（对从实际问题中抽象出来的矩阵，我们经常将几个矩阵联系起来，讨论它们是否相等，它们在什么条件下可以进行何种运算，这些运算具有什么性质等问题，这是下面所要讨论的主要内容.） 1．相等定义 如果两个矩阵[]nm ija A ⨯=，[]ps ijb B ⨯=满足：(1) 行、列数相同，即 p n s m ==,；(2) 对应元素相等，即a ij = b ij (i = 1, 2, …, m ；j = 1, 2, …, n )， 则称矩阵A 与矩阵B 相等，记作 A = B（由矩阵相等定义可知，用等式表示两个m ⨯n 矩阵相等，等价于元素之间的m ⨯n 个等式.）例如，矩阵A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡232221131211a a a a a a ， B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--412503 那么A = B ，当且仅当a 11 = 3，a 12 = 0，a 13 = -5，a 21 = -2，a 22 = 1，a 23 = 4而C = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡22211211c c c c 因为B , C 这两个矩阵的列数不同，所以无论矩阵C 中的元素c 11, c 12, c 21, c 22取什么数都不会与矩阵B 相等.2．加法定义2.3 设[]nm ij a A ⨯=，[]ps ijb B ⨯=是两个m ⨯n 矩阵，则称矩阵C =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++mn mn m m m m n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a221122222221211112121111为A 与B 的和，记作C = A + B = []ij ij b a +（由定义2.3可知，只有行数、列数分别相同的两个矩阵，才能作加法运算.） 同样，我们可以定义矩阵的减法：D = A - B = A + (-B ) =[]ij ij b a - 称D 为A 与B 的差. 例1 设矩阵A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡---152403， B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--130432，求A + B ，A - B .例2、矩阵cos cos 0tan 1A αβα⎛⎫=⎪⎝⎭，00tan tan tan B βαβ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，01017C ⎛⎫- ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，若A B C +=，(0,)2πα∈，(,)2πβπ∈，求sin2αβ+的值。
矩阵加法满足的运算规则是什么？设A , B , C , O 都是m ⨯n 矩阵，不难验证矩阵的加法满足以下运算规则 1. 加法交换律： A + B = B + A ； 2. 加法结合律： (A + B ) + C = A + (B + C ) ； 3. 零矩阵满足： A + O = A ； 4. 存在矩阵-A ，满足：A -A = A + (-A ) = O .3．数乘定义 2.4 设矩阵[]nm ija A ⨯=，λ为任意实数，则称矩阵[]nm ijc C ⨯=为数λ与矩阵A 的数乘，其中),2,1;,,2,1(n j m i a c ij ij ===λ，记为C =λA（由定义2.4可知，数λ乘一个矩阵A ，需要用数λ去乘矩阵A 的每一个元素.特别地，当λ = -1时，λA = -A ，得到A 的负矩阵.）例3 设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--062504713，用2去乘矩阵A ，求2A.数乘矩阵满足的运算规则是什么？ 对数k , l 和矩阵A = []nm ija ⨯，B =[]nm ijb ⨯满足以下运算规则：1. 数对矩阵的分配律：k (A + B ) = kA + kB ；2. 矩阵对数的分配律：( k + l ) A = kA + lA ；3. 数与矩阵的结合律：( k l ) A = k (lA ) = l (kA ) ；4. 数1与矩阵满足： 1A = A .例4 设矩阵 A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-610523，B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--712834，求3A - 2B .4．乘法矩阵乘积的定义 设A =[]ij a 是一个m ⨯s 矩阵，B =[]ij b 是一个s ⨯n 矩阵，则称m ⨯n 矩阵C =[]ij c 为矩阵A 与B 的乘积，记作C = AB .其中c ij = a i 1b 1 j + a i 2b 2 j + … + a i s b s j =ab ikkj k s-∑1(i = 1, 2, …, m ；j = 1, 2, …, n ).（由矩阵乘积的定义可知：）(1) 只有当左矩阵A 的列数等于右矩阵B 的行数时，A , B 才能作乘法运算AB ；(2) 两个矩阵的乘积AB 亦是矩阵，它的行数等于左矩阵A 的行数，它的列数等于右矩阵B 的列数； (3) 乘积矩阵AB 中的第i 行第j 列的元素等于A 的第i 行元素与B 的第j 列对应元素的乘积之和，故简称行乘列的法则.例6 设矩阵 A = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--530412， B = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--10789，计算AB .例7 设矩阵 A = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2142，B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1122， 求AB 和BA .由例6、例7可知，当乘积矩阵AB 有意义时，BA 不一定有意义；即使乘积矩阵AB 和BA 有意义时，AB 和BA 也不一定相等.因此，矩阵乘法不满足交换律，在以后进行矩阵乘法时，一定要注意乘法的次序，不能随意改变.在例6中矩阵A 和B 都是非零矩阵（A ≠O , B ≠O ）,但是矩阵A 和B 的乘积矩阵AB 是一个零矩阵（AB = O ），即两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵.因此，当AB = O ，不能得出A 和B 中至少有一个是零矩阵的结论.一般地，当乘积矩阵AB = AC ，且A ≠O 时，不能消去矩阵A ，而得到B = C .这说明矩阵乘法也不满足消去律.那么矩阵乘法满足哪些运算规则呢？矩阵乘法满足下列运算规则： 1. 乘法结合律：（AB ）C = A （BC ）； 2. 左乘分配律：A （B + C ） = AB + AC ； 右乘分配律：（B + C ）A = BA + CA ； 3. 数乘结合律：k （AB ）= （k A ）B = A （k B ），其中k 是一个常数. 例8：已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0110A ，矩阵12B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求AB 。
练习：计算下列矩阵的乘法（1）1212()n n b b a a a b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；（2）1212()n n a a b b b a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。
例9、已知矩阵[])(x f A =，[]x x B -=1，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=a 2x C ，若A=BC ，求函数)x (f 在[1,2] 上的最小值.例10：将下列线性方程组写成矩阵乘法的形式（1）21437x y x y -=⎧⎨+=⎩；（2）2314231241x y z x y z x y z -+=⎧⎪-+=⎨⎪-+=-⎩。
