2024届上海市松江区高三一模数学试题及答案

上海市松江区2024届高三一模数学试卷第1页（共5页）上海市松江区2024届高三一模数学试卷

（满分150分，时间120分钟）2023.12.5

一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）

1.已知全集为R，集合1Pxx，则集合P．

2.双曲线2

213x

y的右焦点坐标是．

3.已知复数2zi（其中i是虚数单位），则z．

4.已知向量1,2a

，4,3b

，则2aab．

5.已知3

sin5，0,

2



，则tan

4



的值为．

6.已知lglg1ab，则2ab的最小值为．

7.在二项式3nx的展开式中，2x项的系数是常数项的5倍，则n．

8.有5名同学报名参加暑期区科技馆志愿者活动，共服务两天，每天需要两人参加活动，则恰有1人连续参

加两天志愿者活动的概率为．

9.在ABC中，设角A、B及C所对边的边长分别为a、b及c，若3a，5c，2BA，则边长b

．

10.已知函数26fxxxm，2sin2

3gxx

．对任意00,

4x，存在

12,1,3xx，使

得

102 fxgxfx，则实数m的取值范围是．

11.若函数yfx是定义在R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有22xfxxfx

2，则2023f．

12.已知正四面体ABCD的棱长为22，空间内任意点P满足2PBPC

，则APAD

的取值范围是

．

上海市松江区2024届高三一模数学试卷第2页（共5

页）第14题图

第15题图

第17题图二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）

13.英国数学家哈利奥特最先使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展

影响深远.对于任意实数a、b、c、d，下列命题是真命题的是（）

.A若22ab，则ab；.B若ab，则acbc；

.C若ab，cd，则acbd；.D若ab，cd，则acbd．

14.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两支篮球队各6名队员某场比赛的得分数据

（单位：分）．则下列说法正确的是（）

.A甲队数据的中位数大于乙队数据的中位数；

.B甲队数据的平均值小于乙队数据的平均值；

.C甲数据的标准差大于乙队数据的标准差；

.D乙队数据的第75百分位数为27．

15.函数yfx的图像如图所示，'yfx为函数yfx的

导函数，则不等式'()

0fx

x的解集为（）

.A3,1；.B0,1；

.C3,10,1；.D,31,．

16.关于曲线11

22:1Mxy，有下述两个结论：①曲线M上的点到坐标原点的距离最小值是2

2；②曲线M

与坐标轴围成的图形的面积不大于1

2，则下列说法正确的是（）

.A①、②都正确；.B①正确、②错误；.C①错误、②正确；.D①、②都错误．

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须写出必要的步骤】

17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，点E在线段AD上，且//CEAB.

（1）求证：CE平面PAD；

（2）若四棱锥PABCD的体积为5

6，1AB，3AD，

2CD，45CDA，求二面角PCEA的大小．

上海市松江区2024届高三一模数学试卷第3页（共5

页）18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

已知数列

na为等差数列，

nb是公比为2的等比数列，且223344ababba．

（1）证明：11ab；

（2）若集合

1,150

kmMkbaam，求集合M中的元素个数．

19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

为了鼓励居民节约用气，某市对燃气收费实行阶梯计价，普通居民燃气收费标准如下：

第一档：年用气量在0310（含）立方米，价格为a元/立方米；

第二档：年用气量在310520（含）立方米，价格为b元/立方米；

第三档：年用气量在520立方米以上，价格为c元/立方米．

（1）请写出普通居民的年度燃气费用（单位：元）关于年度的燃气用量（单位：立方米）的函数解析式

（用含a、b、c的式子表示）；

（2）已知某户居民2023年部分月份用气量与缴费情况如下表，求a、b、c的值．

上海市松江区2024届高三一模数学试卷第4页（共5页）20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知椭圆22

22:1yx

ab（0ab）的离心率为2

2，其上焦点F与抛物线2:4Kxy的焦点重合．

（1）求椭圆的方程；

（2）若过点F的直线交椭圆F于点A、B，同时交抛物线K于点C、D（如图1所示，点C在椭圆与

抛物线第一象限交点上方），试比较线段AC与BD长度的大小，并说明理由；

（3）若过点F的直线交椭圆于点A、B，过点F与直线AB垂直的直线EG交抛物线K于点E、G

（如图2所示），试求四边形AEBG面积的最小值．

第20题图1第20题图2

上海市松江区2024届高三一模数学试卷第5页（共5页）21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

已知函数yfx，记sinfxxx，xD．

（1）若0,2D，判断函数的单调性；

（2）若0,

2D，不等式fxkx对任意xD恒成立，求实数k的取值范围；

（3）若DR，则曲线yfx上是否存在三个不同的点A、B、C，使得曲线yfx在A、B、

C三点处的切线互相重合？若存在，求出所有符合要求的切线的方程；若不存在，请说明理由．松江区2023学年度第一学期期末质量监控试卷

高三数学答案

一、填空题

1、|1xx（或(),1−） 2、(2,0) 3、5 4、0 5、1

7− 6、45

7、10 8、3

5 9、26 10、7,8− 11、1− 12、422,422−+

二、选择题：DDCC 16、【解】对于①由11

221xy+=平方可得，21xyxy++=．因为2xyxy+，

所以1

2xy+．又因为2222()

24xyxy++，当且仅当1

4xy==时等号成立，

故错误；对于②，由11

221xy+=知，,0,1xy，11

221yx=−，两边平方可得

12yxx=+−．因为xx，所以121yxxx=+−−，即曲线C在直线1yx=−的

下方，因此所围图形的面积不大于1

2，故正确，故选：C．

三、解答题

17、（1）证明：因为PA⊥底面ABCD，CE平面ABCD，所以PACE⊥．………2分

因为,//,ABADCEABCEAD⊥⊥所以． ………………………2分

又,PAADA=所以CE⊥平面PAD．……………………2分

注：建立空间直角坐标系证明，相应给分．

（2）因为PA⊥底面ABCD，所以PE在平面ABCD上的投影是

AE，由（1）可知CEAE⊥，由三垂线定理可得，CEPE⊥．

所以，二面角PCEA−−的平面角为PEA．……………2分

在RtECD中，DECD=cos451,sin451,CECD===

又因为1,//ABCEABCE==，所以四边形ABCE为矩形． ………2分

所以2BCAE==，

所以1115

(23)1

3326PABCDABCDVSPAPA

−==+

=

梯形，所以1PA=………2分

在RtPAE中，1

tan

2PA

PEA

AE==，所以1

arctan

2PEA=．

即：二面角PCEA−−的大小为1

arctan

2． ………2分

18、（1）证明：设数列

na的公差为d，则1111

1111224

28(3)adbadb

adbbad+−=+−



+−=−+ ………2分

即1

112

250d=b

adb=



+− ………2分 可解得，112d

ba==，所以原命题得证． ………2分

（2）由（1）知112d

ba==，所以1

11112(1)k

kmbaaaamda−=+=+−+ ……2分

因为10a，所以221,50km−=，解得22log5027.64k+ ………4分

所以满足等式的解2,3,4,5,6,7k=．

故集合M中的元素个数为6． ………2分

19、（1）解：,0310

310(310),310520

310210(520),520axx

yabxx

abcxx

=+−

++− . ……… 6分

（2）解法一： 由一月份数据可得：168

3

56a==， . ……… 2分

通过计算前5个月用量：56+80+66+58+60=320，

前5个月燃气总费用：168+240+198+174+183=963，

由（1）中函数解析式，计算可得：9633103(320310)b=+−，

所以3.3b=． . ……… 4分

又9月份，10月份，12月份的燃气费均价分别为：3.3,3.38,4.2均不同，所以12月

份为第三档，264.6

4.2

63c==． . ……… 2分

解法二：1月份，5月份，9月份，10月份，12月份的燃气费均价分别为：

3,3.05,3.3,3.38,4.2均不同．所以1月份为第一档，5月份为第一档和第二档，10月份与

12月份不同，则12月份为第三档，10月份与9月份不同，10月份为第二档与第三档，9

月份为第二档．从而得到3=a,3.3=b,2.4=c． . ………8分

20、解：（1）由题意得(0,1)F，即：1c= ，又2

2c

a=，所以2a= . ……… 2分

由222abc−=，得21b= ，所以椭圆的方程为 2

21

2y

x+= ． . ……… 2分

（2）由题意得过点F的直线AB的斜率存在，设直线AB方程为1ykx=+，

设()

11,Axy，()

22,Bxy，()

33,Cxy，()

44,Dxy，

联立2

21

1

2ykx

xy=+





+=，消去y得：()222210kxkx++−=，

则1222

2k

xx

k+=−

+，1221

2xx

k=−

+，

所以

()(

)

2

222222211

22

14

22k

kkk

Ak

kB+=+−=

−

+−

++. . ……… 2分