含绝对值的一元一次方程解法

思维特训(十一) 含有绝对值的一元一次方程的解法

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第 4 页 a＝a（a>0），0（a＝0），－a（a<0）.

典题精练 ·

类型一 几何解法

1．阅读材料：我们知道|x|的几何意义表示在数轴上的数x对应的点与原点的距离，即|x|＝|x－0|，也就是说|x|表示在数轴上数x与数0对应的点之间的距离．这个结论可以推广为|x1－x2|表示在数轴上数x1与数x2对应的点之间的距离．

例1：已知|x|＝2，求x的值．

解：在数轴上与原点的距离为2的点对应的数为－2或2，即x＝－2或x＝2.

例2：已知|x－1|＝2，求x的值．

解：在数轴上与数1对应的点之间的距离为2的点对应的数为3和－1，即x＝3或x＝－1.

例3：解方程|x－1|＋|x＋2|＝5.

图11－S－1

第 5 页 解：由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与数1和数－2对应的点之间的距离之和为5的点对应的数，即为x的值．在数轴上，数1和－2对应的点的距离为3，满足方程的x在数轴上的对应点在1的右边或－2的左边．若x对应的点在1的右边，如图11－S－1，可以看出x＝2；同理，若x对应的点在－2的左边，可得x＝－3.故原方程的解是x＝2或x＝－3.

仿照阅读材料的解法，求下列各式中x的值：

(1)|x－3|＝3；

(2)|4x＋2|＝8；

(3)|x－3|＋|x＋4|＝9.

类型二 代数解法

2．有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值符号，转化成一元一次方程求解．

例1：解方程|2x－1|＝3.

我们只要把2x－1看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题．

第 6 页 解：根据绝对值的意义，得2x－1＝3或2x－1＝－3.解这两个一元一次方程，得x＝2或x＝－1.

检验：(1)当x＝2时，原方程的左边＝|2x－1|＝|2×2－1|＝3，原方程的右边＝3.

因为左边＝右边，所以x＝2是原方程的解．

含绝对值的一元一次方程的解法

1．含绝对值的一次方程的解法

（1）形如(0)axbca型的绝对值方程的解法：

①当0c时，根据绝对值的非负性，可知此时方程无解；

②当0c时，原方程变为0axb，即0axb，解得bxa；

③当0c时，原方程变为axbc或axbc，解得cbxa或cbxa．

解方程：⑴235x ⑵21302x ⑶200520052006xx ⑷1121123xx

（2）形如(0)axbcxdac型的绝对值方程的解法：

①根据绝对值的非负性可知0cxd，求出x的取值范围；

②根据绝对值的定义将原方程化为两个方程axbcxd和()axbcxd；

③分别解方程axbcxd和()axbcxd；

④将求得的解代入0cxd检验，舍去不合条件的解．

解方程⑴4329xx ⑵525xx

（3）形如(0)axbcxdac型的绝对值方程的解法：

①根据绝对值的定义将原方程化为两个方程axbcxd或()axbcxd；

②分别解方程axbcxd和()axbcxd．

解方程⑴23aa

⑵2131xx

（4）形如()xaxbcab型的绝对值方程的解法：

①根据绝对值的几何意义可知xaxbab；

②当cab时，此时方程无解；

当cab时，此时方程的解为axb；

当cab时，分两种情况：

①当xa时，原方程的解为2abcx；

②当xb时，原方程的解为2abcx．

解方程⑴134xx ⑵154xx ⑶216xx

（5）形如(0)axbcxdexfac型的绝对值方程的解法：

1 含绝对值的一次方程的解法

例1. 解方程：

（1）xx213

（2）2121xxx

分析：（1）分x12与x12讨论；

（2）分xxxx11121222，，，讨论。

解：（1）当210x，即x12时，原式化为

xxxx2131313

x2，或x4（与x12相悖，舍去）

当210x，即x12时

xxxx213313313

x43，或x23（与x12相悖，舍去）

综上所述，x2，或x43

（2）当x1时，1221xxx

x2（舍去）

当112x时，1221xxx

x12

当122x时，2121xxx

122x

当x2时，2121xxx

x2（舍去）

综上所述，122x

说明：含有多个绝对值符号的处理方法是“找零点，划区间”，有时也可以利用绝对值的几何意义。

2

例2. 求a的取值范围，使

（1）方程xa21恰有三个整数解；

（2）方程xax1有一个负根，而且没有正根。

分析：去绝对值符号，求出x值再讨论。

解：（1）当a0时，xxx2102121，，

x3或1

当a0时，xaxa2121，

由xa21，得xa3或xa1

由xa21，根据题意，必有a1，这时x2

故a1时，方程恰有三个整数解x024，，

（2）当x0时，xaxax111，()

一元一次方程解法 第 1 页 共 5 页 一元一次方程的解法

一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数的系数化为1。但针对具体的问题，应该采取灵活的解题方法。

方程 解法 步骤 备注

712x 移项，合并同类项，

系数化为1. 解： 2x=7﹣1

2x=6

x=3

xx20314

25x 去括号，移项，合并

同类项，系数化为1. 解：4x﹣4﹣60+3x=5x﹣10

4x+3x﹣5x=4﹣10+60

2x=54

x=27

1215xx

113xx 再移项，合并同类项，

去括号，系数化为1.

解：1121315xxxx

21x＝31x

2x-2=3x+3

x =-5 先将1x

和1x分

别看成整

体。

1211213113xxxx 解：1311212113xxxx

137127xx

1213xx

2233xx

5x 先将1x

和1x分

别看成整

体。

123221211227xxx 解：0123212211227＝xxx

先将12x

看成整体。

请练习：

答案：

21x

0217888264633278xxx 解：

073888234633278••xxx

0378882463278x

03x

3x 变形后将

（x-3）看

成整体。

x2131 去分母，去括号，移

项，系数化为1. 解：﹣7（1﹣2x）=6（3x+1）

﹣7+14x=18x+6 一元一次方程解法 第 2 页 共 5 页 1372x 4x=-13

x=413

759272911xx 先移项，合并同类项，