含有绝对值符号的一元一次方程

含有绝对值符号的一元一次方程

一元一次方程是数学中最简单的一类方程，它只有一个未知数。而含有绝对值符号的一元一次方程则是一种更加复杂的方程，其中包含绝对值符号。

绝对值符号可以表示一个数的绝对值，即不考虑其正负号，只考虑它的绝对数值大小。比如，|x-2|=3，表示x-2的绝对值等于3，不管x是正数还是负数，只要x-2的绝对值等于3，就可以满足这个等式。

含有绝对值符号的一元一次方程可以描述一种特殊的关系，比如|x+2|=3，表示x+2的绝对值等于3，即x=-1或x=5。

解决含有绝对值符号的一元一次方程时，我们需要将等式两边分别拆分成两个部分，比如|x+2|=3，就可以拆分为x+2=3或x+2=-3，然后分别求解，得到x=-1或x=5。

含有绝对值符号的一元一次方程是一种比普通的一元一次方程更加复杂的方程，解决它的关键在于将等式两边拆分成两个部分，然后分别求解。

1 含绝对值的一次方程的解法

例1. 解方程：

（1）xx213

（2）2121xxx

分析：（1）分x12与x12讨论；

（2）分xxxx11121222，，，讨论。

解：（1）当210x，即x12时，原式化为

xxxx2131313

x2，或x4（与x12相悖，舍去）

当210x，即x12时

xxxx213313313

x43，或x23（与x12相悖，舍去）

综上所述，x2，或x43

（2）当x1时，1221xxx

x2（舍去）

当112x时，1221xxx

x12

当122x时，2121xxx

122x

当x2时，2121xxx

x2（舍去）

综上所述，122x

说明：含有多个绝对值符号的处理方法是“找零点，划区间”，有时也可以利用绝对值的几何意义。

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例2. 求a的取值范围，使

（1）方程xa21恰有三个整数解；

（2）方程xax1有一个负根，而且没有正根。

分析：去绝对值符号，求出x值再讨论。

解：（1）当a0时，xxx2102121，，

x3或1

当a0时，xaxa2121，

由xa21，得xa3或xa1

由xa21，根据题意，必有a1，这时x2

故a1时，方程恰有三个整数解x024，，

（2）当x0时，xaxax111，()

精品 Word 可修改 欢迎下载 思维特训(十一) 含有绝对值的一元一次方程的解法

方法点津 ·

定义：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做含有绝对值的方程．

解含有绝对值的方程的基本思路：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程．

一般有以下两种解法：

1．几何解法：在数轴上到一个点的距离等于一个常数的点有两个，分别在这个点的左右两侧，可利用数轴直接观察得到方程的解．

2．代数解法：利用绝对值的性质去掉绝对值符号，把含有绝对值的一元一次方程转化成两个不含有绝对值的一元一次方程求解．

||a＝a（a>0），0（a＝0），－a（a<0）.

典题精练 ·

类型一 几何解法

1．阅读材料：我们知道|x|的几何意义表示在数轴上的数x对应的点与原点的距离，即|x|＝|x－0|，也就是说|x|表示在数轴上数x与数0对应的点之间的距离．这个结论可以推广为|x1－x2|表示在数轴上

精品 Word 可修改 欢迎下载 数x1与数x2对应的点之间的距离．

例1：已知|x|＝2，求x的值．

解：在数轴上与原点的距离为2的点对应的数为－2或2，即x＝－2或x＝2.

例2：已知|x－1|＝2，求x的值．

解：在数轴上与数1对应的点之间的距离为2的点对应的数为3和－1，即x＝3或x＝－1.

例3：解方程|x－1|＋|x＋2|＝5.

图11－S－1

解：由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与数1和数－2对应的点之间的距离之和为5的点对应的数，即为x的值．在数轴上，数1和－2对应的点的距离为3，满足方程的x在数轴上的对应点在1的右边或－2的左边．若x对应的点在1的右边，如图11－S－1，可以看出x＝2；同理，若x对应的点在－2的左边，可得x＝－3.故原方程的解是x＝2或x＝－3.

仿照阅读材料的解法，求下列各式中x的值：

(1)|x－3|＝3；

精品 Word 可修改 欢迎下载 (2)|4x＋2|＝8；

七年级数学竞赛题：含绝对值符号的一次方程

绝对值符号中含有未知数的一次方程叫含绝对值符号的一次方程，简称绝对值方程．解这类方程的基本思路是：脱去绝对值符号，将原方程转化为一元一次方程求解，其基本类型与解法是：

1．形如∣ax＋b∣＝c(c≥0)的最简绝对值方程

这类绝对值方程可转化为两个普通一元一次方程：ax＋b＝c或ax＋b＝一C

2．含多重或多个绝对值符号的复杂绝对值方程

这类绝对值方程可通过分类讨论转化为最简绝对值方程求解．

解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义、去绝对值符号法则、常用的绝对值基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法．

例1 方程∣x一5∣＋2x＝一5的解是_______．

(四川省竞赛题)

解题思路 设法脱去绝对值符号，将原方程转化为一般的一元一次方程求解．

例2 适当∣2a＋7∣＋∣2a－1∣＝８的整数a的值的个数有( )．

(A)5 (B)4 (C)3 (D)2

解题思路 发现常数的内在联系，从绝对值的几何意义入手，本例能获得简解．

例3 已知关于x的方程|ｘ|＝ａｘ＋１同时有一个正根和一个负根，求整数a的值．

(第12届“希望杯”邀请赛试题)

解题思路 去掉绝对值的符号，把x用a的代数式表示，首先确定a的取值范围．

例4解下列方程： ．

(1)|x－|3x＋1∣∣＝4；

(天津市竞赛题)

(2)|x＋3|－|x－1|＝x＋1

(北京市“迎春杯”竞赛题)

(3|x－1|＋|x－5|＝4

(“祖冲之杯”邀请赛试题)

解题思路 多重绝对值解法的基本方法是，根据绝对值定义，从内向外化简原方程；零点分段讨论法是解多个绝对值方程的有效手段．

例5讨论关于x的方程|x－2|＋|x－5|＝a的解的情况．