含绝对值的多元一次方程组解法

思维特训(十一) 含有绝对值的一元一次方程的解法

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第 4 页 a＝a（a>0），0（a＝0），－a（a<0）.

典题精练 ·

类型一 几何解法

1．阅读材料：我们知道|x|的几何意义表示在数轴上的数x对应的点与原点的距离，即|x|＝|x－0|，也就是说|x|表示在数轴上数x与数0对应的点之间的距离．这个结论可以推广为|x1－x2|表示在数轴上数x1与数x2对应的点之间的距离．

例1：已知|x|＝2，求x的值．

解：在数轴上与原点的距离为2的点对应的数为－2或2，即x＝－2或x＝2.

例2：已知|x－1|＝2，求x的值．

解：在数轴上与数1对应的点之间的距离为2的点对应的数为3和－1，即x＝3或x＝－1.

例3：解方程|x－1|＋|x＋2|＝5.

图11－S－1

第 5 页 解：由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与数1和数－2对应的点之间的距离之和为5的点对应的数，即为x的值．在数轴上，数1和－2对应的点的距离为3，满足方程的x在数轴上的对应点在1的右边或－2的左边．若x对应的点在1的右边，如图11－S－1，可以看出x＝2；同理，若x对应的点在－2的左边，可得x＝－3.故原方程的解是x＝2或x＝－3.

仿照阅读材料的解法，求下列各式中x的值：

(1)|x－3|＝3；

(2)|4x＋2|＝8；

(3)|x－3|＋|x＋4|＝9.

类型二 代数解法

2．有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值符号，转化成一元一次方程求解．

例1：解方程|2x－1|＝3.

我们只要把2x－1看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题．

第 6 页 解：根据绝对值的意义，得2x－1＝3或2x－1＝－3.解这两个一元一次方程，得x＝2或x＝－1.

检验：(1)当x＝2时，原方程的左边＝|2x－1|＝|2×2－1|＝3，原方程的右边＝3.

因为左边＝右边，所以x＝2是原方程的解．

1 含绝对值的一次方程的解法

例1. 解方程：

（1）xx213

（2）2121xxx

分析：（1）分x12与x12讨论；

（2）分xxxx11121222，，，讨论。

解：（1）当210x，即x12时，原式化为

xxxx2131313

x2，或x4（与x12相悖，舍去）

当210x，即x12时

xxxx213313313

x43，或x23（与x12相悖，舍去）

综上所述，x2，或x43

（2）当x1时，1221xxx

x2（舍去）

当112x时，1221xxx

x12

当122x时，2121xxx

122x

当x2时，2121xxx

x2（舍去）

综上所述，122x

说明：含有多个绝对值符号的处理方法是“找零点，划区间”，有时也可以利用绝对值的几何意义。

2

例2. 求a的取值范围，使

（1）方程xa21恰有三个整数解；

（2）方程xax1有一个负根，而且没有正根。

分析：去绝对值符号，求出x值再讨论。

解：（1）当a0时，xxx2102121，，

x3或1

当a0时，xaxa2121，

由xa21，得xa3或xa1

由xa21，根据题意，必有a1，这时x2

故a1时，方程恰有三个整数解x024，，

（2）当x0时，xaxax111，()

含绝对值的⼀元⼀次⽅程的解法技巧

2019-08-28

解绝对值⽅程的关键是去掉绝对值符号，要去掉绝对值符号，⾸先要确定⽅程中所有绝对值式⼦的零点，然后运⽤零点分段法加以解决

例1 解⽅程|x+1|=3x-2|x-1|

⽅程中有两个含有未知数的绝对值式⼦：|x+1|和|x-1|，为了去掉绝对值符号，先要根据两个绝对值式⼦的零值点划分区间

分别令|x+1|=0和|x-1|=0得两个零点-1和1，这两个零点将全体有理数分为三个区间 x＜-1，-1≤x≤1，x＞1，在这三个区间内，分别将原⽅程转化为不含绝对值的⽅程，再去解

解：由|x+1|=0和|x-1|=0得两个零点-1和1，

原⽅程可在 x＜-1，-1≤x≤1，x＞1三个区间内分别求解

（1）当 x＜-1时，原⽅程化为-（x+1）=3x-2［-（x-1）］，

解得 x=16

因为16不在 x＜-1这个区间内，所以16不是原⽅程的解

（2）当-1≤x≤1时，原⽅程化为x+1=3x-2［-（x-1）］，

解得 x=34

（3）当 x＞1时，原⽅程化为x+1=3x-2（x-1），

即 x+1=x+2，1=2，这是⼀个不成⽴的等式，故原⽅程在 x≥1时没有解

综上可知，原⽅程的解为 x=34

例2 解⽅程|2x-1|+|x-2|=|x+1|

解：令|2x-1|=0，|x-2|=0，|x+1|=0，得三个零点-1，12，2

原⽅程可在 x＜-1，-1≤x≤12，12＜x≤2，x＞2时四个区间内分别求解

当 x＜-1时，原⽅程化为-（2x-1）-（x-2）=-（x+1），

所以 x=2（舍去）

当-1＜x≤12时，原⽅程为-（2x-1）-（x-2）=x+1，

所以 x=12

当12＜x≤2时，原⽅程为2x-1-（x-2）=x+1，此时是恒等式

当 x＞2时，原⽅程为2x-1+x-2=x+1，

所以 x=2（舍去）综上所述，原⽅程的解为12≤x≤2

点评：含有多个绝对值符号的处理⽅法是“找零点，划区间”，有时也可以利⽤绝对值的⼏何意义

稍复杂的方程(教案)

第一章：方程的概念回顾

1.1 复习方程的定义：方程是一个含有未知数的等式。

1.2 复习方程的组成：方程由数字、字母和运算符号组成。

1.3 复习解方程的方法：解方程的方法有代入法、消元法、换元法等。

第二章：一元二次方程

2.1 定义一元二次方程：一元二次方程是形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c是常数，x是未知数。

2.2 掌握一元二次方程的解法：一元二次方程的解法有配方法、公式法、因式分解法等。

2.3 练习解一元二次方程：给学生提供一些一元二次方程的例子，让学生练习解方程。

第三章：含有绝对值的方程

3.1 定义含有绝对值的方程：含有绝对值的方程是形如|ax+b|=c的方程，其中a、b、c是常数，x是未知数。

3.2 掌握含有绝对值的方程的解法：含有绝对值的方程的解法有分段讨论法、图像法等。

3.3 练习解含有绝对值的方程：给学生提供一些含有绝对值的方程的例子，让学生练习解方程。

第四章：含有不等式的方程

4.1 定义含有不等式的方程：含有不等式的方程是形如ax+b≥c或ax+b≤c的方程，其中a、b、c是常数，x是未知数。 4.2 掌握含有不等式的方程的解法：含有不等式的方程的解法有图像法、数轴法等。

4.3 练习解含有不等式的方程：给学生提供一些含有不等式的方程的例子，让学生练习解方程。

第五章：方程的实际应用

5.1 理解实际应用中的方程：实际应用中的方程是将实际问题转化为数学表达式，通过解方程来求解问题的过程。

5.2 掌握实际应用中方程的解法：实际应用中方程的解法需要根据具体问题进行分析，常用的方法有代入法、消元法等。

5.3 练习解决实际应用中的方程：给学生提供一些实际应用中的方程的例子，让学生练习解方程并解决实际问题。

第六章：方程组的解法

6.1 定义方程组：方程组是由两个或多个方程组成的，这些方程之间用等号连接。

6.2 掌握方程组的解法：方程组的解法有代入法、消元法、矩阵法等。