小升初讲义： 工程问题

第31讲工程问题（提高版）1、工程问题。

探讨工作总量、工作效率、工作时间三个数量之间相互关系的一种应用题．2、解题关键。

把工作总量看做单位“1”，工作效率就是工作时间的倒数，然后，依据题目的具体状况，机敏运用公式．3、数量关系式。

工作总量=工作效率×工作时间工作效率=工作总量÷工作时间工作时间=工作总量÷工作效率合作时间=工作总量÷工作效率和一．选择题（共8小题）1．每年3月12日是植树节，今年甲乙两队方案种100棵树，甲队独种需要2天，乙队独种需要5天，两队合种共要几天？列式错误的是()A．11100()25÷+B．100(10021005)÷÷+÷C．111()25÷+D．11100[100()]25÷⨯+2．做一批零件，甲需3小时完成。

乙需4小时完成，甲乙合作每小时完成这批零件的()A．17B．7 C．712D．5173．修一段大路，5天修了全长的14。

照这样计算，修完剩下的路还要()天。

A．20 B．15 C．10 D．54．若4台同样的抽水机同时抽水，需12小时抽干一池水，那么6台这样的抽水机同时抽水，抽干这一池水需要()小时。

A．3 B．8 C．245．甲1天做的工作等于乙2天做的工作，等于丙3天做的工作。

现有一工程，甲2天可完成。

问乙与丙合作要多少天完成？()A．12天B．5天C．2.4天D．10天6．生产一批口罩，甲车间单独做需要12天，乙车向单独做需要15天。

甲、乙两个车间工作效率的最简整数比为()A．4:5B．11:1215C．5:47．小明看一本300页的书，前3天看完了这本书的25，照这样的速度，他看完这本书共需多少天？下面所列式子中不正确的是()A．235÷B．2300(3003)5÷⨯÷C．23(1)5⨯÷D．2300(3)5÷÷8．一项工程，假如先由甲工程队单独干20天，剩下的由乙工程队单独干，那么15天可以完成任务。

工程问题讲义（一）教学目的：1、 掌握工程问题中工作总量、工作时间、工作效率的基本关系式。

2、 掌握复杂工程问题“分段”、“分对象”的解题思路、方法。

3、 掌握循环周期类工程问题的解题思路，注意最后不满一个周期部分的工作量要做单独分析。

教学重难点：1、分段2、分对象3、循环周期1、了解工程问题中：工作总量、工作时间、工作效率的概念，能熟练的进行三者之间的换算。

理解合作的含义，会进行总效率与个人效率之间的换算，能解决有合作的简单工程问题。

工程问题：完成一项总量固定的任务（三只小猪盖房子、唐僧师徒吃西瓜、老师批改作业）。

与行程问题的“路程”相比，工作总量大多是①未知，②不可求出 ，故一般先设工作总量为单位“1”。

2、在掌握简单工程问题的基础上，对于工作过程的变化（例如总效率）有明显界限的复杂工程问题，能够进行合理的分段与组合，从而转化成简单的工程问题进行求解。

生活中实际工作比较复杂，有人会中途过来帮忙，有人会中途开溜跑掉，所以把工程按时间分段，每段都是简单的工程问题。

分段要分在效率有变化的地方，简单说就是：“效率变化，就分段！”3、在掌握简单工程问题的基础上，对于工作过程的变化没明显界限的复杂工程问题，能够分别对各工作对象进行计算，从而转化成简单工程问题进行求解。

4、在掌握简单工程问题的基础上，对于工作过程为周期性的复杂工程问题，理解完整周期的意义，能够对完成情况进行讨论和判断，从而转化成简单工程问题进行求解。

先算出完整周期，再计算完整周期后剩下的工作需要多少时间（千万注意表示周期数量的带分数，只有整数部分是有用的）如果工作对象交换工作顺序，完整周期部分不受影响，余下的部分需重新计算一、简单工程问题例题1汤姆和杰瑞打扫房间，汤姆单独打扫要6小时，杰瑞单独打扫要12小时，那么他们一起打扫要多少小时？ 汤姆效率 1/6 杰瑞效率 1/12 合作的工作效率 1/6+1/12=1/4工作时间 1÷1/4=4（小时）训练1功夫熊猫7小时完成1项任务，他的工作效率是多少？灰太狼1天可以盖1座城堡的8分之1，他需要多少天完成？加菲猫1分钟可以吃1块蛋糕的7分之1，3分钟可以吃多少蛋糕？二、分段工程问题例题2灰太狼盖城堡单独需30天，红太狼单独盖需20天，“一个好汉三个帮”，灰太狼单独盖10天后，红太狼过来帮忙，他们还要一起盖多久才能完成？灰太狼效率 1/30 红太狼效率 1/20 灰太狼盖10天 1/30×10 = 1/3剩余工程 1 – 1/3= 2/3 合作效率 1/30+1/20=1/12 还要一起盖 2/3÷1/12=8（天）训练2一块蛋糕喜羊羊单独吃要40分钟，懒羊羊单独吃要20分钟，一起吃10分钟后，懒羊羊开始偷懒了，效率变的和喜羊羊一样了，还要多久才能吃完？例题3一项工程，甲单干则工作30天完成，乙单干则工作45天完成，丙单干则工作20天完成。

18.工程问题知识要点梳理一、根本概念1．工程问题：做某件事，制造某种产品，完成某项任务或工程等，都叫做工程问题。

2．工程问题的三个根本量是工作效率、工作时间和工作总量。

〔1〕工作效率：单位时间内完成的工作量，它是衡量一个人工作快慢的量。

〔2〕工作时间：完成工作总量所需的时间。

〔3〕工作总量：完成一项工作的总量。

一般都是把工作总量看做单位“1〞。

二、根本数量关系1．一般公式：工作总量＝工作效率×工作时间工作效率＝工作总量÷工作时间工作时间＝工作总量÷工作效率甲工效＋乙工效＝甲乙合作工效之和特别注意：工作量和工作效率都可以直接相加求和，但工作时间不能。

2．巧解工程问题：一般不知道工作总量的时候，我们常常用假设法求解。

我们把工作总量假设为单位“1〞，这个巧解方法的公式有：〔1〕一般给出工作时间，工作效率＝1工作时间。

〔2〕一般给出工作效率1a，就可以知道工作时间为a。

三、根本方法算术方法、比例方法、方程方法。

考点精讲分析典例精讲考点1 简单的工程问题【例1】 一件工作，甲单独10天完成，乙单独15天完成，甲乙合做〔 〕天完成。

【精析】 根据题意，把这件工作总量看作单位“1〞，甲的工作效率是110，乙的工作效率是115，甲、乙的工作效率和是110+115，再用工作总量除以工作效率和就等于合作的工作时间。

【答案】 把这件工作总量看作单位“1〞， 1÷(110+115)=1÷3+230=1÷16=6〔天〕 【归纳总结】 此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，要求甲乙合做需要多少天可以完成，应求出甲乙工作效率和。

考点2 合作工程问题【例2】 一件工作，甲、乙合作需4小时完成，甲、丙合作需5小时完成，乙、丙合作需6小时完成，乙单独做这件工作需多少个小时完成？【精析】 首先把这件工作看作单位“1〞，根据工作效率＝工作量÷工作时间，分别求出甲乙、甲丙、乙丙的工作效率，再把它们求和，即可求出三人的工作效率之和的2倍，进而求出三人的工作效率之和是多少；然后用三人的工作效率之和减去甲丙的工作效率，求出乙的工作效率；最后根据工作时间＝工作量÷工作效率，用1除以乙的工作效率，求出乙单独做这件工作需多少个小时完成即可。

小升初应用专题之工程问题教学目标1. 掌握工程类问题的相关概念以及之间的联系2.掌握工程实际问题的相关解法 教学重难点 找出对应的工作总量、工作效率进行解题教学内容【知识点总结】一、利润、利润率（1）相关概念:工作效率、工作时间和工作总量（2）基本数量关系:工作总量= 工作效率×工作时间工作效率=工作总量÷工作时间工作时间=工作总量÷工作效率甲工效＋乙工效＝甲乙合作工效之和二、解题思路题目中没有具体的工作总量和工作效率时,通常将工作总量看作“1”,工作效率用单位时间内完成工作总量的几分之一或几分之几来表示．【典例精讲】【例1】一件工件,由甲单独做 10天完成,乙单独做 12 天完成,丙单独做 15 天完成,如果三人合做,多少天可完成？【解析】 4)151121101(1=++÷ （天） 【总结】工作总量视为“1”,总工作效率=甲工作效率+乙工作效率+丙工作效率,根据“工作时间=工作总量÷工作效率”求出对应的工作时间比乙多做 20 个零件．这批零件共有多少个？【解析】 甲:95)45(5=+÷ 乙:94951=- 这批零件共有个数:180)9495(20=-÷（个）【变式训练4-1】甲、乙两人同时加工一批零件,完成任务时,甲做了全部零件的加工这批零件要 12 小时,这批零件有多少个？【解析】甲乙效率之比:5:3甲每小时个数:205312=⨯÷（个）共有个数: 2401220=⨯（个）【变式4-2】甲、乙两工程队修一条路．如果让甲队单独修,需要 8 天完成；如果让乙队单独修,需要 6 天完成．现 在两队合修,修完后,甲队比乙队少修了 50 米．这条路有多长？【解析】1200816150=⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷（米）自主 【巩固练习】。

小升初——工程问题工程问题是小学的重点题型，也是初中数学的常见问题。

掌握工作时间、工作总量、工作效率之间的关系，并熟练转化工作方式，利用适合的解题方法如假设法、比例关系等解决工程问题是重点！一、组合工程问题在解答工程问题时，如果对题目提供的条件孤立、分散、静止地看，则难以找到明确的解题途径，若用“组合法”把具有相依关系的数学信息进行恰当组合，使之成为一个新的基本单位，便会使隐蔽的数量关系立刻明朗化，从而顺利找到解题途径。

1.一件工作，甲独做要20天完成，乙独做要12天完成。

这件工作先由甲做了若干天，然后由乙继续做完，从开始到完工共用了14天。

这件工作由甲先做了几天？2.甲、乙两人合作加工一批零件，8天可以完成。

中途甲因事停工3天，因此，两人共用了10天才完成。

如果由甲单独加工这批零件，需要多少天才能完成？3.一项工程，甲先单独做2天，然后与乙合作7天，这样才完成全工程的一半，已知甲、乙工作效率的比是3：2，如果这件工作由乙单独做，需要多少天才能完成？4.甲、乙、丙三人承包一项工程，发给他们工资共1800元，三人完成这项工程的具，因为甲有事，由乙、丙合作2天体情况是：甲、乙两人合作6天完成了工程的13，以后三人合作5天完成了这项工程，按完成量的多少来付劳动完成余下工程的14报酬，甲、乙、丙各得多少元？5.有12头羊14天可以吃完12亩草，13头羊44天可以吃完22亩草，问多少头羊60天可以吃完50亩草?6.原计划18个人植树，按计划工作了2小时后，有3个人被抽走了，于是剩下的人每小时比原计划多种1棵树，还是按期完成了任务.原计划每人每小时植______棵树.7.一项工程，甲做10天乙做20天完成，甲做15天乙做12也能完成。

现乙先做4天，问甲还要多少天完成？8.一部书稿，甲单独打字要14小时完成，乙单独打字要20小时完成。

如果先由甲打1小时，然后由乙接替甲打1小时，再由甲接替乙打1小时，……两人如此交替工作。

小学六年级数学工程问题（小升初）; 第4讲工程问题一、基础篇工程风险问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。

这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出'一项工程“、'一块土地“、'一条水渠“、'一件工作“等，在解题时，常常用单位'1“表示工作总量。

解答工程问题的关键是把工作总量看作'1“，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的间关系列出算式。

; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;工作量＝工作效率×工作时间 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;工作时间＝工作量÷工作效率 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 工作时间＝总工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）变通后可以利用前述上述数量关系的公式。

例1、一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成，在两队合作，需要几天完成？例2、一批零件，甲独做6小时完成，乙独做8小时完成。

现在两人合做，完成任务时甲比乙多做24个，求这批零件共多少个？例3、某项工程，可由若干台机器在规定的时间内完成，如果增加2台机器，则只需用规定时间的就可做完；如果减少2台机器，那么就要推迟小时做完，现问：由一台机器去完成这项工程需要有多少时间？例4、一个水池，顶部装有一个水管常开的排水管，上部装有若干个同样粗细的进水管。

当打开4个进水管时，需要5小时才能灌入水池；当打开2个进水管时，需要15小时才能灌入水池；现在要用2小时将水池注满，至少要打开多少个进水管？随堂练习 1、一件工作，甲干6天，乙接着干5天可以完成；或者甲干2天，乙接着干7天也可以完成，甲乙合作多少天可以已经完成？ 2、加工同种零件，甲干6小时，乙干9小时可以成功进行任务，如果甲干2小时，乙干6小时父女俩只能完成任务的一半，如果甲乙单独完成任务各需多少小时？ 3、一步书稿，甲先打10天后，由乙接着打10天可以完成，如果甲先打4天后余下的乙接着打25天可以完成，这边书稿，如果由甲单独打要多少天？ 4、一项工程，甲独做24小时完成，乙独做36小时完成，现要求20小时完成，并且要求两人合作的时间尽可能的少，那么甲乙开展合作多少小时？ 5、有甲乙两项工作，张单独完成家工作要10天，单独完成乙其他工作要15天，李单独完成甲工作要8天，单独完成乙其他工作要20天，如果；两项共组都可以由两人合作，那么两项工作都完成最...。

小升初——工程问题工程问题是小学的重点题型，也是初中数学的常见问题。

掌握工作时间、工作总量、工作效率之间的关系，并熟练转化工作方式，利用适合的解题方法如假设法、比例关系等解决工程问题是重点！一、组合工程问题在解答工程问题时，如果对题目提供的条件孤立、分散、静止地看，则难以找到明确的解题途径，若用“组合法”把具有相依关系的数学信息进行恰当组合，使之成为一个新的基本单位，便会使隐蔽的数量关系立刻明朗化，从而顺利找到解题途径。

1.一件工作，甲独做要20天完成，乙独做要12天完成。

这件工作先由甲做了若干天，然后由乙继续做完，从开始到完工共用了14天。

这件工作由甲先做了几天？2.甲、乙两人合作加工一批零件，8天可以完成。

中途甲因事停工3天，因此，两人共用了10天才完成。

如果由甲单独加工这批零件，需要多少天才能完成？3.一项工程，甲先单独做2天，然后与乙合作7天，这样才完成全工程的一半，已知甲、乙工作效率的比是3：2，如果这件工作由乙单独做，需要多少天才能完成？4.甲、乙、丙三人承包一项工程，发给他们工资共1800元，三人完成这项工程的具，因为甲有事，由乙、丙合作2天体情况是：甲、乙两人合作6天完成了工程的13，以后三人合作5天完成了这项工程，按完成量的多少来付劳动完成余下工程的14报酬，甲、乙、丙各得多少元？5.有12头羊14天可以吃完12亩草，13头羊44天可以吃完22亩草，问多少头羊60天可以吃完50亩草?6.原计划18个人植树，按计划工作了2小时后，有3个人被抽走了，于是剩下的人每小时比原计划多种1棵树，还是按期完成了任务.原计划每人每小时植______棵树.7.一项工程，甲做10天乙做20天完成，甲做15天乙做12也能完成。

现乙先做4天，问甲还要多少天完成？8.一部书稿，甲单独打字要14小时完成，乙单独打字要20小时完成。

如果先由甲打1小时，然后由乙接替甲打1小时，再由甲接替乙打1小时，……两人如此交替工作。

第31讲工程问题（提高版）-2022-2023学年小升初数学专项复习讲义（通用版）教学目标：1.了解实际生活中简单的工程问题2.学会运用初等数学的知识和方法解决实际问题教学重点与难点：重点：学生能够掌握简单实际工程问题的解法难点：学生能够更加深入地理解实际工程问题教学准备：教师准备课件、教案、黑板、望远镜等教学用具学生需要自备笔记本和笔教学流程：一、引入1、复习一些知识点，如加减乘除、单位换算、平均数等2、提出问题：现在我们看到的建筑物和工程都是如何建造出来的呢？3、学生回答问题：通过设计图纸、测量等方法4、教师引导学生，引入今天的主题：工程问题5、出示生活中的一些实际工程问题，引起学生的兴趣和思考二、教学内容1、分组讨论：同学们分成小组，自己制定一个建筑物或画面，然后运用初中学过的数学知识如勾股定理、比例等设计出自己的建筑物或画面2、小组之间交流：小组之间进行交流，然后归纳总结出公共的方法3、引导学生思考：为什么这样设计建筑会很美观？或者这样设计建筑可以减少材料浪费，降低工程成本4、通过讨论，学生可以更加深入地理解工程问题的奥妙，也可以了解到实际生活中工程对于数学知识的重要性5、出示实际工程问题，帮助学生思考问题的解法6、讨论实际工程问题：由同学们自由讨论问题的解法和步骤。

三、板书总结方案通过教学相互讨论，用板书总结出各组的解决方案和总体解决方案。

让学生进行验证并改进建议。

四、课后作业完成一份工程设计或画面设计，写出需要的建筑材料和成本价。

教学亮点：通过实际工程问题的讨论和设计，学生对数学知识的运用、思考和实际应用进行了深入的了解，既培养了学生对数学知识的兴趣，也使学生了解到数学在实际生活中的重要性。

五、教学注意点1. 注意促进学生的积极参与，让学生讨论解决问题的方法和步骤，增强学生的合作意识和团队合作精神。

2. 注重营造良好的工程氛围，让学生通过自己的参与和实践，更加深入地了解工程问题的实际应用。

第15讲工程问题（二）【学习目标】1、掌握周期工程问题的特征周期工程周期工程问题中，工作时工作人员（或物体）是按一定顺序轮流交替工作的。

解答时，首先要弄清一个循环周期的工作量，利用周期性规律，使复杂的问题迅速地化难为易。

其次要注意最后不满一个周期的部分所需的工作时间，这样才能正确解答。

抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案。

【温故知新】例1：一项工程，甲单独做需要12小时，乙单独做需要18小时。

若甲做1小时后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时……两人如此交替工作，问完成任务时需共用多少小时？【答案】把2小时的工作量看做一个循环，先求出循环的次数。

①需循环的次数为：1÷（112+118）=365＞7（次）②7个循环后剩下的工作量是：1-（112+118）×7=136③余下的工作两还需甲做的时间为：136÷112=13（小时）④完成任务共用的时间为：2×7+13=1413（小时）答：完成任务时需共用1413小时。

举一反三1：1、一项工程，甲单独做要6小时完成，乙单独做要10小时完成。

如果按甲、乙；甲、乙……的顺序交替工作，每次1小时，需要多少小时才能完成？2、一项工作，甲单独完成要9小时，乙单独完成要12小时。

如果按照甲、乙；甲、乙……的顺序轮流工作，每人每次工作1小时，完成这项工程的23共要多少时间？【答案】1、（1）需循环的次数1÷（16+110）＝154＞3（2）3个循环后剩下的工作量1－（16+110）×3＝15（3）最后由乙做的时间（15－16）÷110＝13小时（4）需要的总时间2×3+1+13＝713小时2、（1）需循环的次数2 3÷（19+112）＝247＞3（2）3个循环后剩下的工作量2 3－（19+112）×3＝112（3）最后由乙做的时间1 12÷19＝34小时（4）需要的总时间2×3+34＝634小时例题2:一项工程，甲、乙合作2263天完成。

工程问题小升初讲解教案教案标题：工程问题小升初讲解教案教学目标：1. 了解工程问题的基本概念和特点。

2. 掌握解决工程问题的基本方法和步骤。

3. 培养学生的观察力、分析能力和解决问题的能力。

教学重点：1. 工程问题的定义和特点。

2. 工程问题的解决方法和步骤。

教学难点：1. 培养学生的观察力和分析能力。

2. 引导学生运用所学知识解决实际工程问题。

教学准备：1. 教师准备：PPT、教学素材、模型等。

2. 学生准备：纸笔、尺子、计算器等。

教学过程：Step 1：导入（5分钟）1. 引入问题：同学们有没有见过或听说过什么工程问题？请举例说明。

2. 学生回答并教师进行引导和解释，引出工程问题的概念和特点。

Step 2：讲解工程问题（10分钟）1. 通过PPT或实物模型等形式，向学生展示几个常见的工程问题，如桥梁承重、水坝设计等。

2. 讲解工程问题的定义和特点，如复杂性、多学科性、实践性等。

Step 3：解决工程问题的方法和步骤（15分钟）1. 介绍解决工程问题的基本方法，如观察、分析、实验、计算等。

2. 分步骤讲解解决工程问题的过程，如问题定义、数据收集、分析和解释、方案设计、实施和评估等。

Step 4：案例分析（15分钟）1. 提供一个工程问题案例，如设计一个简单的桥梁，要求能够承受一定的负重。

2. 引导学生按照解决问题的方法和步骤，分析问题、收集数据、设计方案并进行实验验证。

3. 学生进行小组讨论和展示，教师进行点评和指导。

Step 5：总结和拓展（5分钟）1. 总结工程问题的基本概念、特点、解决方法和步骤。

2. 提出一些拓展问题，如如何解决更复杂的工程问题、工程问题与科学知识的关系等。

教学延伸：1. 学生可以根据自己感兴趣的工程问题进行深入研究和实践。

2. 引导学生通过阅读相关书籍或参观实际工程项目，了解更多的工程问题和解决方法。

教学评估：1. 学生课堂参与情况。

2. 学生对工程问题的理解和解决能力的展示。