辽宁省凌源市2018届高三上学期期末考试数学(理)试卷

辽宁省凌源市2018届高三上学期期末考试数学（文）试卷 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合(){},1A x y y x ==-，(){},31B x y y x ==+，则 A B ⋂=（ ）A ．(){}1,0B ．(){}2,1 C. (){}1,2-- D ．(){}2,3-- 2.已知实数,m n 满足()()4235m ni i i +-=+，则m n +=（ ）A ．95B ．115 C. 94 D ．1143.下列函数中，既是奇函数，又在()0,+∞上是增函数的是（ ） A.1y x x=+ B.cos y x x =- C.sin y x x =-D.1y x x=- 4.“直线230ax y --=的倾斜角大于4π”是“2a >”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C 充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.将函数cos 2y x =的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的12，得到函数()g x 的图象，再将函数()g x 的图象向右平移8π个单位，得到函数()f x 的图象，则()f x =（ ） A ．cos 8x π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．sin 8x π⎛⎫- ⎪⎝⎭C.sin 2x D ．sin 4x6.长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3,2,x ，其顶点都在表面积为18π的球的球面上，则x =（ ）A7.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且ABC ∆的面积S C =，且1,25a b ==则c =（ ）A8.已知实数,x y 满足733131y x x y x y ≥-⎧⎪+≤⎨⎪≤+⎩，则23412x y z -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的最小值为（ ）A ．128 B ．132 C.148 D ．1649.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 到准线l 的距离为2，过点F 且倾斜角为60︒的直线与拋物线C 交于,M N 两点，若,MM l NN l ''⊥⊥，垂足分别为,M N ''，则M N F ''∆的面积为（ ） A10.记[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]33,4.64==.执行如图所示的程序框图，输出i 的值是（ ）A ．4B ．5 C.6 D ．711.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，图中画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A．()882π+ B．()964π+C. ()884π+ D．()884π+12.若存在2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦使得不等式1ln 4x ax x ≤+成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．211,22e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ B ．211,24e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C. 211+,22e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．211+,24e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 现在有2名喜爱综艺类节目的男生和3名不喜爱综艺类节目的男生，在5人中随机抽取2人进行深入调研，则这2人中恰有1人喜爱综艺类节目的概率为 ．14若())cos ,sin ,1a x x b ==- ，且a b ⊥，则tan 2x = ．15.如图所示为计算机科学中的蛇形模型，则第20行从左到右第4个数字为 ．16. 已知直线:10l x y +-=截圆()222:0x y r r Ω+=>,M N 在圆Ω上，且直线()():12130l m x m y m '++--=过定点P ，若PM PN ⊥，则MN 的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知首项为1的正项数列{}n a ，()()22*111+20,n n n n n n a a a a a a n N ++++-=∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记1n n n b a a +=，求数列{}2n b 的前n 项和n S .18.随着科技的发展，手机成为人们日常生活中必不可少的通信工具，现在的中学生几乎都拥有了属于自己的手机.为了调查某地区高中生一周内使用手机的频率，某机构随机抽查了该地区100名高中生某一周内使用手机的时间（单位：小时），所取样本数据分组区间为[)[)[)[)[)[)[]0,2,2,4,4,6,6,8,8,10,10,12,12,14，由此得到如图所示的频率分布直方图.（1）求a 的值并估计该地区高中生一周使用手机时间的平均值；（2）从使用手机时间在[)[)[)[]6,8,8,10,10,12,12,14的四组学生中，用分层抽样方法抽取13人，则每组各应抽取多少人？19.已知正四棱锥S ABCD -的各条棱长都相等，且点,E F 分别是,SB SD 的中点.（1）求证:AC SB ⊥；（2）在SC 上是否存在点M ，使平面//MBD 平面AEF ，若存在，求出SMMC的值；若不存在，说明理由.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，且过点⎛- ⎝⎭.过椭圆C 右焦点且不与x 轴重合的直线l 与椭圆C 交于()()1122,,,P x y Q x y 两点，且120y y +≠. （1）求椭圆C 的方程；（2）若点1Q 与点Q 关于x 轴对称，且直线1Q P 与x 轴交于点R ，求RPQ ∆面积的最大值. 21.已知函数()2x f x xe mx nx =+-.（1）当1,22m n =-=时，求函数()()x g x f x e =+的单调区间；（2）若函数()f x 的导函数为()f x '，且()()2x f x x e '≤+在R 上恒成立，求证：22n e m -≤. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 4p θθ+=，现以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线2C 的参数方程为2cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）.（1）求曲线1C 的直角坐标方程和曲线2C 的普通方程；（2）若曲线1C 与曲线2C 交于A B 、两点，P 为曲线2C 上的动点，求PAB ∆面积的最大值. 23.选修4-5:不等式选讲 已知()13f x x x =-++.（1）求不等式()4f x ≤的解集M ；（2）若,a b M ∈，证明：()()2223230a a b b +-+-≥.试卷答案一、选择题1-5: CACBD 6-10: BBDDC 11、12：AB 二、填空题13.3514.三、解答题17. 解：（1 )∵()()22111+20n n n n n n a a a a a a ++++-=,即()()112212n n n n n n a a a a a a ++++-=，即2212212n n n n a a a a ++-=，所以221112n n a a +-=，所以数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为以1为首项，2为公差的等差数列，所以()2111221nn n a =+-⨯=-，所以n a =. （2）因为n a =，所以1n n n b a a +==，()()21111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪+--+⎝⎭，所以11111111112335212122121n nS n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭ . 18.解：由于小矩形的面积之和为1，则()0.07540.1550.050.02521a a a ++++++⨯=，由此可得0.02a =.该地区高中生一周内使用手机时间的平均值()10.0230.07550.0870.1590.1110.05130.252 6.94=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.（2）使用手机时间在[)6,8的学生有0.15210030⨯⨯=人， 使用手机时间在[)8,10的学生有0.025210020⨯⨯⨯=人， 使用手机时间在[)10,12的学生有0.05210010⨯⨯=人， 使用手机时间在[]12,14的学生有0.02521005⨯⨯=人.故用分层抽样法从使用手机时间在[)[)[)[]6,8,8,10,10,12,12,14的四组学生中抽样，抽取人数分别为301363020105⨯=+++人，201343020105⨯=+++人，101323020105⨯=+++人，51313020105⨯=+++人.19.解：（1）设AC BD O ⋂=,则O 为底面正方形ABCD 中心，连接SO , 因为S ABCD -为正四梭锥.所以SO ⊥平面ABCD ,所以SO AC ⊥. 又BD AC ⊥,且SO BD O ⋂=,所以AC ⊥平面SBD ； 因为SB ⊂平面SBD ,故AC SB ⊥.（2）存在点M ，设SO EF G ⋂=,连,AG CG . 取CG 中点H ，连OH 并延长交SC 于点M ， ∵O 是AC 中点，∴//OH AG ,即//OM AG ，又//EF BD ，,OM BD ⊄平面AEF ，,AG EF ⊂平面AEF ， ∴//OM 平面AEF ,//BD 平面AEF ， 又OM BD O ⋂=，,OM BD ⊂平面MBD ， ∴平面//MBD 平面AEF ，在SOC ∆中，作//GN HM 交SC 于N ，则N 是SM 中点，M 是CN 中点， ∴2SMMC=.20.解：（I )依题意，22222931,4,c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎪⎩解得3a b c ==，故椭圆C 的方程为221123x y +=；（2）依题意，直线():30l x my m =+≠，且注意到()3,0为椭圆C 的右焦点； 直线l 与椭圆C 方程联立223,1,123x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩化简并整理得224)630(m y my ++-=，∴12122263,44m y y y y m m +=-=-++， 由题设知直线1Q P 的方程为()121112y y y y x x x x +-=--，令0y =得()()()11212211221112121233y x x my y my y x y x y x x y y y y y y -++++=-==+++2643464mm m m -+=+=-+，∴点()4,0R ；故1211122RPQ S RF y y ∆=⋅-=⨯===1= (当且仅当22911m m +=+即m =) ∴RPQ ∆的面积存在最大值，最大值为1.21.解：（1）依题意x R ∈，当1,22m n =-=时，()()21122x g x x e x x =+--，()()()21x g x x e '=+-.令()0g x '>,解得0x >或2x <-,故函数()g x 的单调增区间为(),2-∞-和()0,+∞，单调递减区间为()2,0-；（2）∵()()()122x x f x x e mx n x e '=++-≤+，∴2x e mx n ≥-，记()2x h x e mx n =-+，()2x h x e m '=-，当0m ≤时，()0h x '>恒成立，则()h x 在R 上递增，没有最小值，故不成立；当0m >时，令()0h x '=，解得ln 2x m =，当(),l n 2x m ∈-∞时，()0h x '<；当()l n 2,x m ∈+∞时，()0h x '>，当ln 2x m =时，函数()h x 取得最小值()ln 2ln 22ln 20m h m e m m n =-+≥，即22l n 2m mm n -≥-，则2ln 22n m m m m -≥-，令2m t =，()ln 2t F t t t =-，则()()1111ln 1ln 222F t t t '=--=-，∴0t e <<，()0F t '>，t e >时，()0F t '<， ∴()F t 在(]0,e 上是增函数，在[),e +∞上是减函数， ∴()()max 22e e F t F e e ==-=，∴22n e m -≤. 22.解：（1）曲线1C 的直角坐标方程为4x y +=，曲线2C 的普通方程为()()22219x y -+-=. （2）联立圆1C 与直线2C 的方程，⎝⎭⎝⎭AB又()23cos ,13sin P θθ++到1C 的距离d=， 当sin 14πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，maxd =，PAB ∆面积最大值为12. 23.解：（1）()22,1,4,31,22,3,x x f x x x x +≥⎧⎪=-<<⎨⎪--≤-⎩由()4f x ≤得31x -≤≤，∴{}31M x x =-≤≤.（2）∵,a b M ∈，∴31a -≤≤，31b -≤≤， ∴212,212a b -≤+≤-≤+≤，∴()()2214,14a b +≤+≤，∴()2223140a a a +-=+-≤，()2223140b b b +-=+-≤， ∴()()2223230a a b b +-+-≥.。

辽宁省凌源市2018届高三数学三校联考试题 理第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2540M x xx =-+≤，{}24xN x =>，则( )A ．M N =RB ．{}24M N x x =<<C ．{}2M N x x =>D ．{}24M N x x =<≤2．记复数z 的虚部为()I mz ,已知复数5i2i 2i 1z =--（为虚数单位），则()I m z 为（ ）A ．3-B ．2C ．3i -D ．3 3．已知曲线()323f x x =在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为α,则222s i n c o s 2s i n c o s c o s -=+ααααα( ）A ．B ．C ．2D ．38-4．2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年,中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币。

如图所示是一枚8克圆形金质纪念币,直径22m m ，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是( ）A ．2363m m 10πB ．2363m m 5πC ．2726m m 5πD ．2363m m 20π5．已知圆()()22:341E x y m -++-=(m ∈R)，当m 变化时，圆E 上的点与原点O 的最短距离是双曲线2222:1x y C a b -=（00a b >>，）的离心率，则双曲线C 的渐近线为（ ）A ．2y x =±B ．12y x =±C ．3y x =±D ．33y x=±6．已知数列{}n a 为等比数列，且2234764a a a a =-=-，则46tan 3a a ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭π（ ）A ．3B ．3-C ．33-D ．3±7．执行如图的程序框图,若输出的S 的值为10-，则①中应填( ）A ．18?n ≥B ．19?n ≥C ．20?n ≥D ．19?n <8．已知函数()f x 为R 内的奇函数，且当0x ≥时，()e 1c o s xfx m x =-++，记()22a f =--，()1b f =--，()33c f =，则,,a b c 间的大小关系是（ ）A ．b a c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<9．已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆,则该几何体的体积为（ ）A ．23+π B ．12+πC ．26+π D ．23+π10．已知函数()()2s i n f x x =+ωϕ（0,,2⎡⎤>∈⎢⎥⎣⎦πωϕπ）的部分图象如图所示，其中52MN =.即命题()5:2s i n 36p f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ππ,命题q:将()f x 的图象向右平移个单位，得到函数22sin 33y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ππ的图象。

凌源市教育局高三“抽考”数学试卷（理科） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21012A =--，，，，，()(){}130B x x x =-+<，则A B =I （ ） A ．{}21,0--， B ．{}0,1 C ．{}1,01-， D ．{}0,1,2 2.已知复数21iz i=+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为（ ） A ．1i -+ B ．1i -- C ．1i + D ．1i - 3.下列说法正确的是（ ）A ．若命题0:p x R ∃∈，20010x x -+<，则:p x R ⌝∀∉，210x x -+≥B ．已知相关变量(),x y 满足回归方程$24y x =-，若变量x 增加一个单位，则y 平均增加4个单位C ．命题“若圆()()22:11C x m y m -++-=与两坐标轴都有公共点，则实数[]0,1m ∈”为真命题D ．已知随机变量()22X N σ:，，若()0.32P X a <=，则()40.68P X a >-=4.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M 是AB 的中点，过C ，M ，D 三点的抛物线与CD 围成阴影部分，则向正方形内撒一粒黄豆落在阴影部分的概率是（ ）A ．16 B ．13 C.12 D ．235.已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．33cm B ．35cm C. 34cm D ．36cm6.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若48102a a a =，则3S 的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C.4 D.67.20世纪70年代，流行一种游戏——角谷猜想，规则如下：任意写出一个自然数n ，按照以下的规律进行变换：如果n 是个奇数，则下一步变成31n +；如果n 是个偶数，则下一步变成2n，这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字，最后必然会落在谷底，更准确地说是落入底部的4-2-1循环，而永远也跳不出这个圈子，下列程序框图就是根据这个游戏而设计的，如果输出的i 值为6，则输入的n 值为（ ）A ．5B ．16 C.5或32 D ．4或5或32 8.在)12nx x -的二项展开式中，若第四项的系数为7-，则n =（ ）A ．9B ．8 C.7 D ．69.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且8430S S =-≠，则412S S 的值为（ ） A ．13- B ．112-C.112 D ．1310.将函数()223cos 2sin cos 3f x x x x =-的图象向左平移()0t t >个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则t 的最小值为（ ） A ．23π B ．3π C. 2π D ．6π11.如图，过抛物线()220y px p =>焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，交其准线l 于点C ，若2BC BF =，且3AF =，则此抛物线方程为（ ）A ．29y x = B ．26y x = C.23y x = D ．23y x =12.已知函数()()23x f x x e =-，设关于x 的方程()()()22120f x mf x m R e--=∈有n 个不同的实数解，则n 的所有可能的值为（ ）A ．3B ．1或3 C.4或6 D ．3或4或6第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量()1,1a =-r ，(),1b t =r，若()()//a b a b +-r r r r ，则实数t = ．14.设实数x ，y 满足不等式组70,310,350,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≥⎩则2z x y =-的最大值为 ．15.已知双曲线经过点(1,22，其一条渐近线方程为2y x =，则该双曲线的标准方程为 ． 16.已知等腰直角ABC △的斜边2BC =，沿斜边的高线AD 将ADC △折起，使二面角B AD C --的大小为3π，则四面体ABCD 的外接球的表面积为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且有cos cos 2cos 0a B b A c C +-=. （1）求角C 的大小；（2）当2c =时，求ABC S △的最大值.18. 某调查机构随机调查了20岁到70岁之间的600位网上购物者的年龄分布情况，并将所得数据按照[)20,30，[)30,40，[)40,50，[)50,60，[]60,70分成5组，绘制成频率分布直方图（如图）.（1）求频率分布直方图中实数m 的值及这600位网上购物者中年龄在[)40,60内的人数；（2）现采用分层抽样的方法从参与调查的600位网上购物者中随机抽取10人，再从这10人中任选2人，设这2人中年龄在[)30,40内的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.19. 如图，菱形ABCD 与四边形BDEF 相交于BD ，120ABC ∠=o ，BF ⊥平面ABCD ，//DE BF ，2BF DE =，AF FC ⊥，M 为CF 的中点，AC BD G =I .（1）求证：//GM 平面CDE ；（2）求直线AM 与平面ACE 成角的正弦值.20. 已知椭圆E 的两个焦点为()110F -，，()210F ，，离心率2e =. （1）求椭圆E 的方程；（2）设直线():0l y x m m =+≠与椭圆E 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点T ，当m 变化时，求TAB △面积的最大值. 21. 已知函数()21axf x x e-=-（a 是常数）.（1）求函数()y f x =的单调区间；（2）当()0,16x ∈时，函数()f x 有零点，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为,sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）.在极坐标系（与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，直线l 的方程为sin 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.（1）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；（2）设P 是曲线C 上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()21f x x =-.（1）求不等式()1f x ≤的解集A ；（2）当,m n A ∈时，证明：1m n mn +≤+.试卷答案一、选择题1-5:ADCDB 6-10:DCBBD 11、12：CA 二、填空题13.1- 14.8 15.2214y x -= 16.73π三、解答题17.解：（1）因为cos cos cos 0a B b A C +=，由正弦定理，得sin cos sin cos cos 0A B B A C C +=，即()sin cos 0A B C C +=，即sin cos 0C C C =. 因为在ABC △中，0C π<<，所以sin 0C ≠，所以cos 2C =，解得4C π=.（2）由余弦定理，得222222cos c a b ab C a b =+-=+，即(224=2a b ab +≥-，故(22ab ≤=，当且仅当a b ==时，取等号.所以(11sin 221222ABC S ab C =≤⨯+⨯=+△ 即ABC S △的最大值为1+18.解：（1）由频率分布直方图，可得()0.0300.0260.0140.012101m ++++⨯=，得0.018m =. 则这600位网上购物者中年龄在[)40,60内的频率为()0.0180.01410=0.32+⨯， 故这600位网上购物者中年龄在[)40,60内的人数为6000.32=192⨯.（2）由频率分布直方图可知，年龄在[)30,40内的人数与其他年龄段的总人数比为0.03010310.030107⨯=-⨯，由分层抽样的知识知，抽出的10人中年龄在[)30,40内的人数为3，其他年龄段的总人数为7. 所以X 的可能取值为0，1，2.()023********C C P X C ===，()11372107115C C P X C ===，()20372101215C C P X C ===所以X 的分布列为故X 的数学期望()0121515155E X =⨯+⨯+⨯=. 19.（1）证明：取BC 的中点N ，连接GN ，MN . 因为G 为菱形对角线的交点，所以G 为AC 中点.又N 为BC 中点，所以//GN CD ，又GN ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，所以//GN 平面CDE . 又因为M ，N 分别为FC ，BC 的中点.所以//MN FB ，又因为//DE BF ，所以//DE MN ，MN ⊄平面CDE ，DE ⊂平面CDE ，所以//MN 平面CDE ，又MN ，GN ⊂平面MNG ，MN GN N =I ，所以平面//GMN 平面CDE . 又GM ⊂平面GMN ，所以//GM平面CDE . （2）解：连接GF .设菱形的边长2AB =，则由120ABC ∠=o，得1GB GD ==，GA GC ==又因为AF FC ⊥，所以FG GA ==则在直角GBF △中，BF =2DE =.由BF ⊥平面ABCD ，//DE BF ，得DE ⊥平面ABCD .以G 为坐标原点，分别以GA ，GD 所在直线为x 轴，y 轴，过点G 与平面ABCD 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系G xyz -，则()0,0,0G，)0A，，012E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，，(0F -，，1,222M ⎛-- ⎝⎭，则)0GA =u u u r ，，01GE ⎛= ⎝⎭u u u r . 设(),,m x y z =u r为平面ACE 的一个法向量，则0,0,m GA m GE ⎧=⎪⎨=⎪⎩u r u u u r g u r u u u r g即00y z =⎨+=⎪⎩.令z =1y =-，所以(0,m =-u r.又1,,222AM ⎛=-- ⎝⎭u u u u r ，所以11cos ,10AM mAM m AM m+===u u u u r u r u u u u r g u u u u r u r . 设直线AM 与平面ACE 所成角为θ，则sin θ=. 所以直线AM 与平面ACE. 20.解：（1）由离心率2e =，半焦距1c =，解得a =所以1b ==.所以椭圆E 的方程是2212x y +=. （2）解：设()11,A x y ，()22,B x y ，据221,2x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得2234220x mx m ++-= ∵直线l 与椭圆E 有两个不同的交点，∴()()22412220m m ∆=-->，又0m ≠，所以m <<且0m ≠.由根与系数的关系得1243mx x -+=，212223m x x -=设线段AB 中点为C ，点C 横坐标12223C x x m x +==-，3C C m y x m =+=，∴2,33m m C ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴线段AB 垂直平分线方程为233m m y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，∴点T 坐标为,03m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点T 到直线AB的距离d =，又AB ==，所以123TABS =△=232m =时，三角形TAB 面积最大，且()max 3TAB S =△. 21.解：（1）当0a =时，()21f x x =-，函数在()0+∞，上单调递增，在()0-∞，上单调递减.当0a ≠时，()()()'2222ax ax ax f x xe x a e e ax x ---=+-=-+，因为0ax e ->， 令()220g x ax x =-+=，解得0x =或2x a=. ①当0a >时，函数()22g x ax x =-+在20,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有()0g x ≥，即()'0fx ≥，函数()y f x =单调递增；函数()22g x ax x =-+在(),0-∞，2,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上有()0g x <，即()'0f x <，函数()y f x =单调递减； ②当0a <时，函数()22g x ax x =-+在2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，，()0,+∞上有()0g x >，即()'0f x >，函数()y f x =单调递增；函数()22g x ax x =-+在2,0a⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有()0g x ≤，即()'0f x ≤，函数()y f x =单调递减.综上所述，当0a =时，函数()y f x =的单调递增区间为()0,+∞，递减区间为(),0-∞； 当0a >时，函数()y f x =的单调递增区间为20,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，递减区间为(),0-∞，2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；当0a <时，函数()y f x =的单调递增区间为2,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，()0,+∞，递减区间为2,0a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）①当0a =时，由()210f x x =-=，可得1x =±，()10,16∈，故0a =满足题意.②当0a >时，函数()y f x =在20,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，（i ）若()20,16a ∈，解得18a >. 可知20,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 是增函数，2,16x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 是减函数，由()010f =-<，∴在()0,16上()2max 22410f x f e a a-⎛⎫==-≥ ⎪⎝⎭， 解得22a e e -≤≤，所以128a e<≤； （ii ）若[)216,a ∈+∞，解得108a <≤. 函数()y f x =在()0,16上递增， 由()010f =-<，则()161625610af e-=->，解得1ln 22a <.由11ln 228>，所以10,8a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. ③当0a <时，函数()y f x =在()0,16上递增，()01f =-，()161625610af e -=->，解得1ln 22a <，∴0a <，综上所述，实数a 的取值范围是2,e⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.22.解：（1）因为2222cos sin 1y θθ+=+=， 所以曲线C 的普通方程为2213x y +=.sin 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，展开得sin cos 3ρθρθ-=，即3y x -=， 因此直线l 的直角坐标方程为30x y -+=. （2）设),sin Pθθ，则点P 到直线l的距离为2d ==≤，等号成立当且仅当sin 13πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即()1126k k Z πθπ=+∈时等号成立，即31,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 因此点P 到直线l. 23.（1）解：由211x -≤，得1211x -≤-≤，即1x ≤，解得11x -≤≤，所以[]11A =-，.（2）证明：（证法一）()()()222222221111m n mn m n m n m n +-+=+--=--- 因为,m n A ∈，所以11m -≤≤，11n -≤≤，210m -≤，210n -≤，所以()()22110m n ---≤，()221m n mn +≤+，又10mn +≥，故1m n mn +≤+.（证法二）因为,m n A ∈，故11m -≤≤，11n -≤≤，而()()()1110m n mn m n +-+=--≤()()()1110m n mn m n +--+=++≥⎡⎤⎣⎦，即()11mn m n mn -+≤+≤+，故1m n mn +≤+.。

2017-2018学年度上学期高三学年12月验收考试数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，所以，故选B。

2. 已知为虚数单位，若复数，则（）A. B. C. D. 或【答案】C【解析】，所以，故选C。

3. 已知，均为正实数，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】，得，，得，所以“”是“”的充要条件，故选C。

4. 等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，故选C。

5. 已知实数，满足不等式组则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，表示原点到阴影区域的距离的平方，所以是原点到的距离的平方，则，是原点到点的距离的平方，则，所以的取值范围是，故选D。

6. 将函数（）的图象向左平移个单位长度后得到函数图象的解析式为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，故选A。

7. 执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为0，那么输入的值为（）A. B. 或 C. D.【答案】C【解析】当时，，则；当时，，无解，所以，故选C。

8. 已知双曲线：（，）的顶点到渐近线的距离为，则双曲线的离心率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，所以，即，故选A。

9. 我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱，其中，若，当“阳马”即四棱锥体积最大时，“堑堵”即三棱柱外接球的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设，则，，所以当最大时，体积最大，，当且仅当时，取到最大值，所以，，外接球的直径，所以，，故选B。

2017—2018学年度第一学期期末联考试题高三数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分全卷满分150分，考试时间120分钟．注意：1. 考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效．3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效．1．设集合{123}A =，，，{45}B =，，{|}M x x a b a A b B ==+∈∈，，，则M 中的元素个数为A ．3B ．4C ．5D ．62．在北京召开的第24届国际数学家大会的会议，会议是根据中国古代数学家赵爽的弦图（如图）设计的，其由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，若直角三角形的直角边的边长分别是3和4，在绘图内随机取一点，则此点取自直角三角形部分的概率为 A ．125B ．925C ．1625D ．24253．设i 为虚数单位，则下列命题成立的是A ．a ∀∈R ，复数3i a --是纯虚数B ．在复平面内i(2i)-对应的点位于第三限象C ．若复数12i z =--，则存在复数1z ，使得1z z ∈RD ．x ∈R ，方程2i 0x x +=无解4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3215109S a a a =+=，，则1a =A ．19B ．19-C ．13D ．13-5．已知曲线421y x ax =++在点(1(1))f --，处切线的斜率为8，则(1)f -=试卷类型：A天门 仙桃 潜江A ．7B ．－4C ．－7D ．4 6．84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是A ．56B ．84C ．112D ．1687．已知一个空间几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 A ．4cm 3B ．5 cm 3C ．6 cm 3D ．7 cm 38．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图像如图所示，则(1)(2)(3)(18)f f f f ++++的值等于ABC 2D ．19．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1，2，3…，24 这24个整数中等可能随机产生。

辽宁省凌源二中2018届高三数学三校联考试题理（含解析）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】求解一元二次不等式可得：，求解指数不等式可得：，据此可得：，本题选择D选项.2. 记复数的虚部为，已知复数（为虚数单位），则为（）A. B. 2 C. D. 3【答案】A【解析】由题意可得：，则.本题选择A选项.3. 已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则（）A. B. C. 2 D.【答案】B【解析】由题意可得：，则：，结合同角三角函数基本关系可得：.本题选择B选项.点睛：同角三角函数基本关系式的应用：(2)关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子．4. 2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据题意，可估计军旗的面积大约是.故选B.5. 已知圆（），当变化时，圆上的点与原点的最短距离是双曲线（）的离心率，则双曲线的渐近线为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】圆E的圆心到原点的距离，据此可得，当m=4时，圆上的点与原点的最短距离是，即双曲线的离心率为，据此可得：，双曲线（）的渐近线为.本题选择C选项.6. 已知数列为等比数列，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由等比数列的性质可得：，，结合可得：，结合等比数列的性质可得：，即：.本题选择B选项.7. 执行如图的程序框图，若输出的的值为，则①中应填（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得：，即时推出循环，则①中应填.本题选择C选项.8. 已知函数为内的奇函数，且当时，，记，，，则间的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】利用奇函数的性质可得：，即当时，函数的解析式为：，令，由函数的奇偶性的定义可得函数g(x)是定义域内的偶函数，且：，，即函数在区间上单调递减，且：，结合函数的单调性可得：.本题选择C选项.9. 已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】结合三视图可知，该几何体是一个半圆柱与一个底面是等腰直角三角形的三棱锥组成的组合体，其体积为：.本题选择D选项.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．10. 已知函数（）的部分图象如图所示，其中.即命题，命题：将的图象向右平移个单位，得到函数的图象.则以下判断正确的是（）A. 为真B. 为假C. 为真D. 为真【答案】C【解析】由可得：，解得：，结合可得：，结合可得：，函数的解析式为：，则命题p是真命题.将函数的图像上所有的点向右平移个单位，所得函数的解析式为：的图像，即命题q为假命题，则为假命题；为真命题；为真命题；为假命题.本题选择C选项.11. 抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】抛物线方程中：令可得，即，结合抛物线的光学性质，AB经过焦点F，设执行AB的方程为，与抛物线方程联立可得：，据此可得：，且：，将代入可得，故，故,故△ABM的周长为,本题选择D选项.12. 已知数列与的前项和分别为，，且，，，，若，恒成立，则的最小值是（）A. B. 49 C. D.【答案】C【解析】当时，，解得：或(舍去)，且：，两式作差可得：，整理可得：，结合数列为正项数列可得：,数列是首项为3，公比为3的等差数列，，则：，据此裂项求和有：结合恒成立的条件可得：.本题选择C选项.点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知在中，，，若边的中点的坐标为，点的坐标为，则__________.【答案】1【解析】依题意，得，故是以为底边的等腰三角形，故，所以.所以.14. 在的展开式中，含项的为，的展开式中含项的为，则的最大值为__________.【答案】【解析】展开式的通项公式为：，令可得：，则，结合排列组合的性质可知，由，当且仅当时等号成立.综上可得：的最大值为.....................................(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．15. 已知满足其中，若的最大值与最小值分别为1，，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】作出可行域如图所示（如图阴影部分所示）设，作出直线，当直线过点时，取得最小值；当直线过点时，取得最大值.即，当或时，.当时，.所以，解得.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.16. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（biē nào）.已知在鳖臑中，平面，，则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为__________.【答案】【解析】设的中点为，如图，由，且为直角三角形，得.由两两垂直，可知为和的斜边，故点到点的距离相等，故点为鳖臑的外接球的球心，设高鳖臑的外接球的半径与内切球的半径分别为,则由.得，解得.由等体积法，知.即，解得.故该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知向量，，设函数.将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象.（1）若，求函数的值域；（2）已知分别为中角的对边，且满足，，，，求的面积.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：(1)结合题意可得..结合函数的定义域和三角函数的性质可得函数的值域是；(2)由题意得到三角方程：.据此可得，然后利用余弦定理求得.最后利用面积公式可得的面积是.试题解析：（1）由题意，得.所以.因为，所以，所以，所以，所以函数的值域为.（2）因为，所以.因为，所以.所以，解得.所以.又，且，，所以.所以的面积.18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，侧面平面，且，动点在棱上，且. （1）试探究的值，使平面，并给予证明；（2）当时，求直线与平面所成的角的正弦值.【答案】(1)当时，平面.证明见解析；(2).【解析】试题分析：（1）连接交于点，连接通过证得，即可证得平面；（2）取的中点,连接，可得两两垂直，建立空间直角坐标系，设与平面所成的角为，则，为平面的一个法向量.试题解析：（1）当时，平面.证明如下：连接交于点，连接.∵，∴.∵，∴.∴.又∵平面，平面，∴平面.（2）取的中点,连接.则.∵平面平面，平面平面，且，∴平面.∵，且，∴四边形为平行四边形，∴.又∵，∴.由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，，. 当时，有，∴可得.∴，，.设平面的一个法向量为，则有即令，得，.即.设与平面所成的角为，则.∴当时，直线与平面所成的角的正弦值为.点睛：高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.19. 如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.为了解网络外卖在市的普及情况，市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析，得到下表：（单位：人）（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用网络外卖的情况与性别有关？（2）①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，再从这5人中随机选出3人赠送外卖优惠券，求选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率；②将频率视为概率，从市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为，求的数学期望和方差.参考公式：，其中.参考数据：【答案】(1)不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用网络外卖情况与性别有关.(2)①；②；.【解析】试题分析：（1）计算的值，进而可查表下结论；（2）①由分层抽样的抽样比计算即可；②由列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为，将频率视为概率，即从市市民中任意抽取1人，恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为，由题意得.试题解析：（1）由列联表可知的观测值，.所以不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用网络外卖情况与性别有关.（2）①依题意，可知所抽取的5名女网民中，经常使用网络外卖的有（人），偶尔或不用网络外卖的有（人）.则选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率为.②由列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为，将频率视为概率，即从市市民中任意抽取1人，恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为.由题意得，所以；.20. 已知椭圆（）的左、右焦点分别为点，其离心率为，短轴长为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与椭圆交于两点，过点的直线与椭圆交于两点，且，证明：四边形不可能是菱形.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）由，及，可得方程；（2）易知直线不能平行于轴，所以令直线的方程为与椭圆联立得，令直线的方程为，可得，进而由是菱形，则，即，于是有由韦达定理代入知无解.试题解析：（1）由已知，得，，又，故解得，所以椭圆的标准方程为.（2）由（1），知，如图，易知直线不能平行于轴.所以令直线的方程为，，.联立方程，得，所以，.此时，同理，令直线的方程为，，，此时，，此时.故.所以四边形是平行四边形.若是菱形，则，即，于是有.又，，所以有，整理得到，即，上述关于的方程显然没有实数解，故四边形不可能是菱形.21. 已知函数（），其中为自然对数的底数.（1）讨论函数的单调性及极值；（2）若不等式在内恒成立，求证：.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】试题分析：(1)由题意可得导函数的解析式，分类讨论可得：当时，在内单调递增，没有极值；当时，在区间内单调递减，在区间内单调递增，的极小值为，无极大值. （2）分类讨论：当时，明显成立；当时，由（1），知在内单调递增，此时利用反证法可证得结论；当时，构造新函数，结合函数的单调性即可证得题中的结论.试题解析：（1）由题意得.当，即时，，在内单调递增，没有极值.当，即时，令，得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，故当时，取得极小值，无极大值.综上所述，当时，在内单调递增，没有极值；当时，在区间内单调递减，在区间内单调递增，的极小值为，无极大值.（2）当时，成立.当时，由（1），知在内单调递增，令为和中较小的数，所以，且，则，.所以，与恒成立矛盾，应舍去.当时，，即，所以.令，则.令，得，令，得，故在区间内单调递增，在区间内单调递减.故，即当时，.所以.所以.而，所以.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（，为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）当时，求曲线上的点到直线的距离的最大值；（2）若曲线上的所有点都在直线的下方，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：(1)由题意结合点到直线距离公式可得距离的解析式为，结合三角函数的性质可得曲线上的点到直线的距离的最大值为.(2)原问题等价于对，有恒成立，结合恒成立的条件可得实数的取值范围是.试题解析：（1）直线的直角坐标方程为.曲线上的点到直线的距离，当时，，即曲线上的点到直线的距离的最大值为.（2）∵曲线上的所有点均在直线的下方，∴对，有恒成立，即（其中）恒成立，∴.又，∴解得，∴实数的取值范围为.23. 已知函数.（1）解不等式；（2）记函数的值域为，若，证明：.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】试题分析：(1)将函数的解析式写成分段函数的形式，然后分类讨论可得不等式的解集为；(2)利用绝对值不等式的性质可得，g(x)的值域为.然后结合恒成立的条件即可证得题中的不等式.试题解析：（1）依题意，得于是得或或解得.即不等式的解集为.（2）当且仅当时，取等号，∴.原不等式等价于.∵，∴，.∴.∴.点睛：绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。

2018届高三三校联考理数第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2540M x x x =-+≤，{}24xN x =>，则（ ）A ．M N =R UB ．{}24M N x x =<<I C ．{}2M N x x =>U D ．{}24M N x x =<≤I 2．记复数z 的虚部为()Im z ，已知复数5i2i 2i 1z =--（i 为虚数单位），则()Im z 为（ ）A ．3-B ．2C ．3i -D ．33．已知曲线()323f x x =在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为α，则222sin cos 2sin cos cos -=+ααααα（ ） A ．12 B ．35 C ．2 D ．38- 4．2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22mm ，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（ ）A ．2363mm 10π B ．2363mm 5π C ．2726mm 5π D ．2363mm 20π5．已知圆()()22:341E x y m -++-=（m ∈R ），当m 变化时，圆E 上的点与原点O 的最短距离是双曲线2222:1x y C a b-=（00a b >>，）的离心率，则双曲线C 的渐近线为（ ）A ．2y x =±B ．12y x =±C ．y =D ．y x = 6．已知数列{}n a 为等比数列，且2234764a a a a =-=-，则46tan 3a a ⎛⎫⋅=⎪⎝⎭π（ ）A ．．．7．执行如图的程序框图，若输出的S 的值为10-，则①中应填（ ）A ．18?n ≥B ．19?n ≥C ．20?n ≥D ．19?n < 8．已知函数()f x 为R 内的奇函数，且当0x ≥时，()e 1cos xf x m x =-++，记()22a f =--，()1b f =--，()33c f =，则,,a b c 间的大小关系是（ ）A ．b a c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<9．已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为（ ）A ．23+πB ．12+π C ．26+π D ．23+π 10．已知函数()()2sin f x x =+ωϕ（0,,2⎡⎤>∈⎢⎥⎣⎦πωϕπ）的部分图象如图所示，其中52MN =.即命题()5:2sin 36p f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ππ，命题q ：将()f x 的图象向右平移6π个单位，得到函数22sin 33y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ππ的图象.则以下判断正确的是（ ）A ．p q ∧为真B ．p q ∨为假C ．()p q ∧⌝为真D ．()p q ⌝∨为真11．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线24y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点()3,1M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则ABM ∆的周长为（ ） A．7112+．9．8312．912．已知数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且0n a >，263n n n S a a =+，*n ∈N ，()()122121n nn a n a a b +=--，若*n ∀∈N ，n k T >恒成立，则k 的最小值是（ ） A ．17 B ．49 C ．149 D ．8441第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知在ABC ∆中，BC AB CB =-uu u r uu u r uu r ，()1,2AB =uu u r，若边AB 的中点D 的坐标为()3,1，点C 的坐标为(),2t ，则t = ．14．在812x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含2x 项的为p ，32127x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中含2x -项的为q ，则p q +的最大值为 ．15．已知,x y 满足3,,60,x y t x y +≤⎧⎪⎪≥⎨⎪≥⎪⎩π其中2t >π，若()sin x y +的最大值与最小值分别为1，12，则实数t 的取值范围为 ．16．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bi ē n ào ）.已知在鳖臑M ABC -中，MA ⊥平面ABC ，2MA AB BC ===，则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知向量()sin ,cos u x x =r ，()6sin cos ,7sin 2cos v x x x x =+-r ，设函数()f x u v =⋅r r.将函数()f x 的图象向右平移24π个单位，得到函数()g x 的图象. （1）若,122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ，求函数()g x 的值域； （2）已知,,a b c 分别为ABC ∆中角,,A B C 的对边，且满足()2g A =，0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π，a =，2b =，求ABC ∆的面积.18．如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，其中CD AB ∥，BC AB ⊥，侧面ABE ⊥平面ABCD ，且AB AE BE ===222BC CD ==，动点F 在棱AE 上，且EF FA =λ.（1）试探究λ的值，使CE ∥平面BDF ，并给予证明； （2）当1=λ时，求直线CE 与平面BDF 所成的角的正弦值.19．如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.为了解网络外卖在A 市的普及情况，A 市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析，得到下表：（单位：人）（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用网络外卖的情况与性别有关？（2）①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，再从这5人中随机选出3人赠送外卖优惠券，求选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率；②将频率视为概率，从A 市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为X ，求X 的数学期望和方差.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：20．已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为点12,F F ，其离心率为12，短轴长为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点1F 的直线1l 与椭圆C 交于,M N 两点，过点2F 的直线2l 与椭圆C 交于,P Q 两点，且12l l ∥，证明：四边形MNPQ 不可能是菱形.21．已知函数()()e 1xf x a x b =-+-（,a b ∈R ），其中e 为自然对数的底数.（1）讨论函数()f x 的单调性及极值；（2）若不等式()0f x ≥在x ∈R 内恒成立，求证：()1324b a +<. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为cos ,sin x t y =⎧⎨=⎩αα（0t >，α为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标sin 34⎛⎫+= ⎪⎝⎭πθ. （1）当1t =时，求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值； （2）若曲线C 上的所有点都在直线l 的下方，求实数t 的取值范围. 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()211f x x x =-++. （1）解不等式()3f x ≤；（2）记函数()()1g x f x x =++的值域为M ，若t M ∈，证明：2313t t t+≥+. 理数参考答案及评分细则一、选择题1-5:DABAC 6-10:BBCDC 11、12：DC 二、填空题13．1 14．-．57,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ 16．24-π 三、解答题17．解：（1）由题意，得()f x u v =⋅r r()sin 6sin cos x x x =++()cos 7sin 2cos x x x -226sin 2cos 8sin cos x x x x =-+4sin 24cos 22x x =-+224x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭π.所以()22244g x x ⎡⎤⎛⎫=--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ππ223x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭π.因为,122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ， 所以22,363x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦πππ， 所以1sin 2,132x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π，所以()2,2g x ⎡⎤∈-⎣⎦，所以函数()g x 的值域为2,2⎡⎤-⎣⎦.（2）因为()2g A =，所以sin 23A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭π. 因为0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π， 所以22,333A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭πππ. 所以233A -=ππ，解得3A =π.所以1cos 2A =.又222cos 2b c a A bc+-=，且a =2b =，所以4c =.所以ABC ∆的面积1sin 2ABC S bc A ∆==18．解：（1）当12=λ时，CE ∥平面BDF . 证明如下：连接AC 交BD 于点G ，连接GF . ∵CD AB ∥，2AB CD =， ∴12CG CD GA AB ==.∵12EF FA =，∴12EF CG FA GA ==. ∴GF CE ∥.又∵CE ⊄平面BDF ，GF ⊂平面BDF ， ∴CE ∥平面BDF .（2）取AB 的中点O ，连接EO . 则EO AB ⊥.∵平面ABE ⊥平面ABCD ，平面ABE I 平面ABCD AB =，且EO AB ⊥， ∴EO ⊥平面ABCD .∵BO CD ∥，且1BO CD ==，∴四边形BODC 为平行四边形，∴BC DO ∥. 又∵BC AB ⊥，∴AB OD ⊥.由,,OA OD OE 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.则()0,0,0O ，()0,1,0A ，()0,1,0B -，()1,0,0D ，()1,1,0C -，(E .当1=λ时，有EF FA =uu u r uu r，∴可得10,2F ⎛ ⎝⎭.∴()1,1,0BD =uu u r，(CE =-uur，30,2BF ⎛= ⎝⎭uu u r .设平面BDF 的一个法向量为(),,n x y z =r，则有0,0,n BD n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uu u r r uu u r即0,30,22x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩令z =1y =-，1x =，即(1,n =-r.设CE 与平面BDF 所成的角为θ，则sin cos ,CE n ==θuu rr 15=.∴当1=λ时，直线CE 与平面BDF 所成的角的正弦值为15. 19．解：（1）由列联表可知2K 的观测值()()()()()22n ad bc k a b c d a c b d -=++++()220050405060 2.020 2.07211090100100⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯.所以不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用网络外卖情况与性别有关. （2）①依题意，可知所抽取的5名女网民中，经常使用网络外卖的有6053100⨯=（人）， 偶尔或不用网络外卖的有4052100⨯=（人）. 则选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率为2133233355710C C C P C C =+=. ②由22⨯列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为1101120020=， 将频率视为概率，即从A 市市民中任意抽取1人， 恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为1120. 由题意得1110,20X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:， 所以()111110202E X =⨯=； ()1199910202040D X =⨯⨯=. 20．解：（1）由已知，得12c a =，b = 又222c a b =-，故解得24a =，23b =，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=. （2）由（1），知()11,0F -，如图，易知直线MN 不能平行于x 轴， 所以令直线MN 的方程为1x my =-，()11,M x y ，()22,N x y ， 联立方程2234120,1,x y x my ⎧+-=⎨=-⎩得()2234690m y my +--=，所以122634m y y m +=+，122934y y m -=+.此时MN =同理，令直线PQ 的方程为1x my =+，()33,P x y ，()44,Q x y ，此时342634m y y m -+=+，342934y y m -=+，此时PQ =故MN PQ =.所以四边形MNPQ 是平行四边形.若MNPQ Y 是菱形，则OM ON ⊥，即0OM ON ⋅=u u u r u u u r，于是有12120x x y y +=. 又()()121211x x my my =--()212121m y y m y y =-++，所以有()()21212110m y y m y y +-++=， 整理得到22125034m m --=+， 即21250m +=，上述关于m 的方程显然没有实数解，故四边形MNPQ 不可能是菱形.21．解：（1）由题意得()()e 1xf x a '=-+. 当10a +≤，即1a ≤-时，()0f x '>，()f x 在R 内单调递增，没有极值.当10a +>，即1a >-时，令()0f x '=，得()ln 1x a =+，当()ln 1x a <+时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()ln 1x a >+时，()0f x '>，()f x 单调递增，故当()ln 1x a =+时，()f x 取得极小值()()ln 11f a a b +=+--()()1ln 1a a ++，无极大值.综上所述，当1a ≤-时，()f x 在R 内单调递增，没有极值；当1a >-时，()f x 在区间()(),ln 1a -∞+内单调递减，在区间()()ln 1,a ++∞内单调递增，()f x 的极小值为()()a 1b 1ln 1a a +--++，无极大值.（2）当1a =-时，()13024b a +=<成立. 当1a <-时，由（1），知()f x 在R 内单调递增，令c 为1-和11b a-+中较小的数， 所以1c ≤-，且11b c a-≤+， 则1e e c -≤，()()11a c b -+≤--+.所以()()1e 1e c f c a c b -=-+-≤()11e 10b b ----=-<，与()0f x ≥恒成立矛盾，应舍去.当1a >-时，()()()min ln 11f x f a a b =+=+--()()1ln 10a a ++≥，即()()11ln 1a a a b +-++≥，所以()()()()22111ln 1a b a a a +≤+-++.令()()22ln 0g x x x x x =->， 则()()12ln g x x x '=-.令()0g x '>，得0<令()0g x '<，得x >故()g x在区间(内单调递增，在区间)+∞内单调递减.故()max e e eln 2g x g ==-=，即当11a a +=时，()max e 2g x =. 所以()()211a b a +≤+-()()2e 1ln 12a a ++≤. 所以()1e 24b a +≤. 而e 3<， 所以()1324b a +<. 22．解：（1）直线l 的直角坐标方程为30x y +-=.曲线C 上的点到直线l 的距离d ==， 当sin 14⎛⎫+=- ⎪⎝⎭πα时，max 22d +==，即曲线C 上的点到直线l的距离的最大值为22+. （2）∵曲线C 上的所有点均在直线l 的下方，∴对∀∈R α，有cos sin 30t +-<αα恒成立，()3-<αϕ（其中1tan t=ϕ）恒成立，3<.又0t >，∴解得0t <<∴实数t的取值范围为(0,. 23．解：（1）依题意，得()3,1,12,1,213,,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪≥⎪⎩ 于是得()1,333,x f x x ≤-⎧≤⇔⎨-≤⎩或11,223,x x ⎧-<<⎪⎨⎪-≤⎩或1,233,x x ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩解得11x -≤≤.即不等式()3f x ≤的解集为{}11x x -≤≤.（2）()()121g x f x x x =++=-+2221223x x x +≥---= 当且仅当()()21220x x -+≤时，取等号，∴[)3,M =+∞. 原不等式等价于2331t t t-+- ()()2323133t t t t t t t-+-+-==. ∵t M ∈，∴30t -≥，210t +>.∴()()2310 t tt-+≥.∴23 13t tt+≥+.。

辽宁省凌源市2018届高三上学期期末考试数学（理）试卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】,∴故选：B2. 已知实数满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵，∴，解得：，∴故选：A3. 某工厂生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，产品的数量分别为：460,350,190.现在用分层抽样的方法抽取一个容量为100的样本，下列说法正确的是（）A. 甲抽取样品数为48B. 乙抽取样品数为35C. 丙抽取样品数为21D. 三者中甲抽取的样品数最多，乙抽取的样品数最少【答案】B【解析】设甲、乙、丙抽取样品数分别为,则解得：，故选：B4. “直线的倾斜角大于”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】∵直线的倾斜角大于∴,或∴或∴“直线的倾斜角大于”是“”的必要不充分条件故选：B5. 太极图是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种互相转化，相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆(为坐标圆点）被曲线分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设大圆的半径为R，则：，则大圆面积为：，小圆面积为：，则满足题意的概率值为：.本题选择B选项.点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，据此求解几何概型即可.6. 已知正项等比数列满足，且，则数列的前9项和为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵正项等比数列满足，∴，即，，又∴，公比∴故选：C7. 记表示不超过的最大整数，如.执行如图所示的程序框图，输出的值是（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】运行程序的循环结构，依次可得接着可得：，不符合,则跳出循环结构，输出.故选:C点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.8. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过点且倾斜角为的直线与拋物线交于两点，若，垂足分别为，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图：抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F到其准线l的距离为2，可得p=2．∴y2=4x．过焦点且倾斜角为60°的直线y=x﹣与抛物线交于M，N两点，，解得M（3，2），N（，﹣）．若MM′⊥l，NN′⊥l，垂足分别为M′（﹣1，2），N′（﹣1，﹣），则△M′N′Ｆ的面积为：．故选：D．9. 如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，图中画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体为一个正方体挖去一个半圆锥得到的几何体，故所求表面积2.故选：A点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.10. 已知直线截圆所得的弦长为，点在圆上，且直线过定点，若，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】在依题意，解得,因为直线：，故；设MN的中点为，则，即,化简可得,所以点Q的轨迹是以为圆心，为半径的圆，所以的取值范围为，的取值范围为.故选：D11. 已知函数在上单调递增，且，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依题意，；,由,可得：；∵，故，故符合题意,故,故，，因为，故，故实数的取值范围为故选：C12. 已知关于的不等式的解集中只有两个整数，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意，,令,则, 令,则,则在上单调递增，又,∴存在，使得,∴，即，在单调递增，当,,即，在单调递减，∵,,且当时，，又，，，故要使不等式的解集中只有两个整数，a的取值范围应为.故选：A点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 的展开式中，含的项的系数为__________．【答案】【解析】通项为令，解得：，故含的项的系数为.故答案为：14. 已知函数，当时，函数的最小值与最大值之和为__________．【答案】【解析】依题意，，时，，sin，∴，函数的最小值与最大值之和为.故答案为：15. 已知实数满足则的最小值为__________．【答案】【解析】作出不等式组所对应的可行域，如图所示：当过点A时，有最小值为.故选：点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.16. 已知数列满足，若，则数列的首项的取值范围为__________．【答案】【解析】依题意，设∵，,故,故是以为首项，公比为3的等比数列，故，由,整理得,∵，故故.故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知中，角所对的边分别是，的面积为，且,. （1）求的值；（2）若，求的值.【答案】（I )（2）.【解析】试题分析：（1）由，可得：，再利用同角关系易得，又，故；（2）由，得，由正弦定理，得，可得,联立二者可得的值.试题解析：（1）因为，得，得，即，所以，又，所以，故，又∵，故，即，所以，故，故．（2），所以，得①，又，所以，在中，由正弦定理，得，即，得②，联立①②，解得．点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.18. 共享单车因绿色、环保、健康的出行方式，在国内得到迅速推广.最近，某机构在某地区随机采访了10名男士和10名女士，结果男士、女士中分别有7人、6人表示“经常骑共享单车出行”，其他人表示“较少或不选择骑共享单车出行”．（1）从这些男士和女士中各抽取一人，求至少有一人“经常骑共享单车出行”的概率；（2）从这些男士中抽取一人，女士中抽取两人，记这三人中“经常骑共享单车出行”的人数为，求的分布列与数学期望.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）记“从这些男士和女士中各抽取一人，至少有一人“经常骑共享单车出行”为事件，利用概率乘法公式及加法公式得到所求概率；（2）的取值为0,1,2,3,明确相应的概率值，得到分布列及相应的数学期望.试题解析：（1）记“从这些男士和女士中各抽取一人，至少有一人“经常骑共享单车出行”为事件，则 .（2）显然的取值为0,1,2,3,,,,,故随机变量的分布列为的数学期望.点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；.....................19. 已知正四棱锥的各条棱长都相等，且点分别是的中点. （1）求证:；（2）若平面，且，求的值.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：(1)由题意易证：., 所以平面，从而证得结果；(2)建立空间直角坐标系，平面的法向量为，因为平面，所以，从而得到的值.试题解析：（1）设,则为底面正方形中心，连接,因为为正四梭锥.所以平面,所以.又,且,所以平面;因为平面,故.（2）作出点如图所示，连接.因为两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系.设,其中,则,所以,设平面的法向量为，又，所以,即，所以,令,所以因为平面，所以，即.解得,所以.20. 已知椭圆的离心率为，且过点.过椭圆右焦点且不与轴重合的直线与椭圆交于两点，且.（1）求椭圆的方程；（2）若点与点关于轴对称，且直线与轴交于点，求面积的最大值.【答案】（I ) （2）最大值为 1.【解析】试题分析：（1）由题意布列关于的方程组，解之即可；（2）设直线，直线与椭圆方程联立可得：，由题设知直线的方程为，令得，即点，表示面积，利用换元法转化函数结构然后求最值即可.试题解析：（I )依题意，解得，故椭圆的方程为；（2）依题意，椭圆右焦点坐标为，设直线，直线与椭圆方程联立化简并整理得，∴，由题设知直线的方程为，令得，∴点；故(当且仅当即时等号成立)∴的面积存在最大值，最大值为 1.点睛：在圆锥曲线中研究范围，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.21. 已知函数.（1）求函数的单调增区间；（2）设，若，对任意成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）.【解析】试题分析：（1）依题意，，从而易得函数的单调增区间；（2）结合函数的性质分类讨论a≤1和a＞1两种情况即可求得实数a的取值范围．试题解析：（1）依题意，，令,解得,故函数的单调增区间为；（2）当时，对任意的都有；当时，对任意的，都有；故对成立，或对恒成立.而，设函数.则对恒成立，或对恒成立，，①当时，∵，∴，∴恒成立，所以在上递增，，故在上恒成立，符合题意.②当时，令得，令得，故在上递减，所以而，设函数，则，∵恒成立，∴在上递增，恒成立，∴在上递增，恒成立.即，而不合题意.综上①②，故实数的取值范围为.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，现以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）.（1）求曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程；（2）若曲线与曲线交于两点，为曲线上的动点，求面积的最大值.【答案】（1）,（2）.【解析】试题分析：(1) 曲线的直角坐标方程为，曲线的普通方程为;(2) 联立圆与直线的方程,得到两曲线的交点坐标，从而求得，再用点到直线距离表示，利用三角函数的有界性求最值即可.试题解析：（1）曲线的直角坐标方程为，曲线的普通方程为.（2）联立圆与直线的方程，可求两曲线交点坐标分别为则，又到的距离，当时，，面积最大值为.23. 选修4-5:不等式选讲已知.（1）求不等式的解集；（2）若，证明：.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：(1)对分类讨论，去掉绝对值转化为具体不等式，解之即可；（2）由（1）明确的范围，分别判断与的符号，问题得证. 试题解析：（1）由得，∴.（2）∵，∴，，∴，∴，∴，，∴.。

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