第3章 2.1 一元二次不等式的解法

一元二次不等式的解法(1)一元二次不等式经过变形，可以化成如下标准形式： ①ax 2+bx+c ＞0(a ＞0);②ax 2+bx+c ＜0(a ＞0).2.一元二次函数的图像、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集对比表二次函数△情况 一元二次方程一元二次不等式y=ax 2+bx+c(a ＞0) △= b 2-4acax 2+bx+c=0(a ＞0) ax 2+bx+c ＞0(a ＞0) ax 2+bx+c ＜0(a ＞0)图 像 与 解△＞0x 1=x 2=不等式解集为｛x ｜x ＜x 1或x ＞x 2不等式解集为｛x ｜x 1＜x ＜x 2△=0x 1=x 2=x 0=不等式解集｛x ｜x≠x 0,x∈R｝解集为△＜0 方程无解不等式解集为R(一切实数)解集为总结： 1.解一元二次不等式一般步骤是：①化为标准形式；②确定判别式△=b 2-4ac 的符号；③若△≥0，则求出该不等式对应的二次方程的根；若△＜0，则对应二次方程无根；④联系二次函数的图像得出不等式的解集. 2.六条抛物线满足的条件：例题：(1)2x+3-x 2＞0; (2)x(x+2)-1≥x(3-x); (3)x 2-2x+3＞0; (4)x 2+6(x+3)＞3;例2.1. 已知不等式ax 2+bx+2＞0的解为-＜x ＜ ，求a ，b 值.2.不等式ax 2+bx+2＞0的解集是｛x ｜- ＜x ＜ ,则a+b= .例3已知f(x)=x 2+2(a-2)x+4.(1)如果对一切x∈R，f(x)＞0恒成立，求实数a 的取值范围.(2)如果对x∈〔-3，1〕，f(x)＞0成立，求实数a 的取值范围.例4.解含参不等式的：0)1(2≥++-a x a x挑战难题：例五：解含参不等式的01)1(2≥++-x a ax同步练习：1、不等式2654x x +<的解集为（ ） A ．41,,32⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 0 B ．41,32⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．14,,23⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 0 D ．14,23⎛⎫- ⎪⎝⎭2、设集合{}12x x A =≤≤，{}0x x a B =-<，若A B ≠∅，那么实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．[)2,+∞C ．(],2-∞D ．[)1,+∞3、若不等式210x mx ++>的解集为R ，则m 的取值范围是（ ） A ．R B ．()2,2- C ．()(),22,-∞-+∞D ．[]2,2-4、设一元二次不等式210ax bx ++>的解集为113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则ab 的值是（ ）A ．6-B ．5-C ．6D ．55、不等式()221200x ax a a --<<的解集是（ ）A ．()3,4a a -B ．()4,3a a -C ．()3,4-D ．()2,6a a6、不等式220ax bx ++>的解集是1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a b -=（ ） A ．14- B ．14 C ．10- D ．108、不等式()()120x x --≥的解集是（ ）A ．{}12x x ≤≤B ．{}12x x x ≥≤或C ．{}12x x <<D ．{}12x x x ><或9、不等式()20ax bx c a ++<≠的解集为∅，那么（ ） A ．0a <，0∆> B ．0a <，0∆≤C ．0a >，0∆≤D ．0a >，0∆≥10、设()21f x x bx =++，且()()13f f -=，则()0f x >的解集是（ ）A ．()(),13,-∞-+∞B ．RC ．{}1x x ≠D ．{}1x x =11、若01a <<，则不等式()10a x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭的解是（ ） A ．1a x a <<B ．1x a a<<C ．x a <或1x a >D ．1x a <或x a >12、不等式()130x x ->的解集是（ ）A ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．()1,00,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭14、若0a b >>，则()()0a bx ax b --≤的解集是_____________________________．15、不等式20ax bx c ++>的解集为{}23x x <<，则不等式20ax bx c -+>的解集是________________________．16、不等式2230x x -->的解集是___________________________．17、不等式2560x x -++≥的解集是______________________________．18、()21680k x x --+<的解集是425x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或，则k =_________．19、已知不等式20x px q ++<的解集是{}32x x -<<，则p q +=________．20、不等式30x x +≥的解集为____________________．21、求下列不等式的解集：⑴ ()()410x x +--<； ⑵ 232x x -+>； ⑶ 24410x x -+>．。

2．1一元二次不等式的解法明目标、知重点 1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.2.把握图像法解一元二次不等式的方法.3.培育应用数形结合、分类争辩思想方法的力气．1．一元二次不等式的有关概念(1)一元二次不等式：形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫作一元二次不等式．(2)一元二次不等式的解：一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫作这个一元二次不等式的解．(3)一元二次不等式的解集：一元二次不等式的全部解组成的集合，叫做一元二次不等式的解集．2．一元二次不等式的解集设方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不等的实数根x1、x2，且x1<x2，则ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集为{x|x<x1或x>x2}；ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集为{x|x1<x<x2}．3．不等式的恒成立问题(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集是R的等价条件是a>0且Δ<0；(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集是R的等价条件是a<0且Δ<0.(3)分别参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：k≥f(x)恒成立k≥f(x)max；k≤f(x)恒成立k≤f(x)min.[情境导学]对于一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若令y＝0，就得到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，若令y>0或y<0，就得到不等式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0.如何解不等式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0？这就是本节所要学习的主要内容．探究点一一元二次不等式的概念问题1甲、乙两辆汽车相向而行，在一个弯道上相遇，弯道限制车速在40 km/h以内，由于突发状况，两车相撞了，交警在现场测得甲车的刹车距离接近但未超过12 m，乙车的刹车距离刚刚超过10 m，又知这两辆汽车的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有以下函数关系：s甲＝0.01x2＋0.1x；s乙＝0.005x2＋0.05x，谁的车速超过了40 km/h，谁就违章了．试问：哪一辆车违章行驶了？思考1你能想出一种方法找出哪一辆车违章行驶吗？答只需分别解出不等式0.01x2＋0.1x≤12和不等式0.005x2＋0.05x>10，确认甲、乙两车的行驶速度，就可以推断哪一辆车违章超速行驶．思考2在思考1中得到的不等式有什么特点？答(1)含有一个未知数x；(2)未知数的最高次数为2.小结形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．探究点二一元二次不等式的解法问题2如何解一元二次不等式x2－2x－3<0?思考1一元二次方程x2－2x－3＝0的根与一元二次函数y＝x2－2x－3的零点有怎样的关系？答二次方程有两个实数根x1＝－1，x2＝3，二次函数有两个零点：x1＝－1，x2＝3.于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点．思考2画出二次函数y＝x2－2x－3的图像，你能通过观看图像，确定满足不等式x2－2x－3<0的x的取值范围吗？答画出二次函数y＝x2－2x－3的图像，如图，观看函数图像可知：当－1<x<3时，函数图像位于x轴下方，此时，y<0，即x2－2x－3<0，所以满足不等式x2－2x－3<0的x的取值范围是－1<x<3.思考3依据思考2确定满足不等式x2－2x－3<0的x的取值范围的思路，怎样确定满足一元二次不等式ax2＋bx＋c>0与ax2＋bx＋c<0(a>0)的x的取值范围？答先求出一元二次方程的根，再依据函数图像与x轴的相关位置，确定满足一元二次不等式的x的取值范围．小结(1)一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫这个一元二次不等式的解．(2)一元二次不等式的全部解组成的集合，叫做一元二次不等式的解集．思考4设相应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1、x2且x1≤x2，Δ＝b2－4ac，依据以上争辩，请将下表填充完整.Δ＝b 2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图像ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)的根 有两相异实根 x 1，x 2(x 1<x 2) 有两相等实根 x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集 {x |x <x 1或 x >x 2} ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－b 2aRax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集{x |x 1<x <x 2}∅∅小结 (1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0与ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集的记忆口诀：大于取两边，小于取中间． (2)当一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0与ax 2＋bx ＋c <0的二次项系数a <0时，可以转化为a >0. 思考5 一元二次方程、二次函数、一元二次不等式三者之间存在怎样的联系？答 二次函数的图像与x 轴交点的横坐标为相应一元二次方程的根，也就是一元二次方程的根为相应二次函数的零点；二次函数的图像在x 轴上方或下方的部分所对应x 的范围是不等式ax 2＋bx ＋c >0与ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集． 例1解不等式：3x 2＋5x －2>0.解 方程3x 2＋5x －2＝0的两解是x 1＝－2，x 2＝13.函数y ＝3x 2＋5x －2的图像是开口向上的抛物线，与x 轴有两个交点(－2,0)和⎝⎛⎭⎫13，0(如图所示)．观看图像可得，不等式的解集为{x |x <－2或x >13}．思考6 依据不等式3x 2＋5x －2>0的解集，你能得出不等式3x 2＋5x －2≤0的解集吗？答 集合{x |x <－2或x >13}在实数集中的补集{x |－2≤x ≤13}，即为不等式3x 2＋5x －2≤0的解集．反思与感悟 在具体求解一元二次不等式的过程中，要亲热结合一元二次方程的根的状况以及二次函数的图像来确定不等式的解集．跟踪训练1 解不等式9x 2－6x ＋1>0.解 方程9x 2－6x ＋1＝0有两个相同实数解：x 1＝x 2＝13.函数y ＝9x 2－6x ＋1的图像是开囗向上的抛物线，与x轴仅有一个交点(13，0)．所以不等式的解集是{x |x ≠13}．例2 解不等式：－2x 2＋x ＋1<0.解 方法一 方程－2x 2＋x ＋1＝0的解为x 1＝－12，x 2＝1.函数y ＝－2x 2＋x ＋1的图像是开口向下的抛物线，与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫－12，0和(1,0)，如图所示．观看图像可得，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－12或x >1.方法二 在不等式两边同乘－1，可得2x 2－x －1>0. 方程2x 2－x －1＝0的解为x 1＝－12，x 2＝1.画出函数y ＝2x 2－x －1的图像简图(如图所示)．观看图像，可得原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－12或x >1.反思与感悟 当所给一元二次不等式为非一般形式时，应先化为一般形式，对于二次项系数a <0的一元二次不等式，一般有两种解法，通常接受方法二，即通过对不等式两边同乘－1将二次项系数变为正数再解． 跟踪训练2 解不等式－x 2＋4x －4>0.解 不等式可化为x 2－4x ＋4<0. 方程x 2－4x ＋4＝0的解为x 1＝x 2＝2.而y ＝x 2－4x ＋4的图像开口向上，函数的值域为y ≥0，所以原不等式的解集是∅. 探究点三 含参数的一元二次不等式的解法 例3 解关于x 的不等式x 2＋(1－a )x －a <0.解 方程x 2＋(1－a )x －a ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝a . 函数y ＝x 2＋(1＋a )x －a 的图像开口向上，所以 (1)当a <－1时，原不等式的解集为(a ，－1)； (2)当a ＝－1时，原不等式的解集为∅； (3)当a >－1时，原不等式的解集为(－1，a )． 反思与感悟 含参数的一元二次不等式的求解步骤：(1)争辩二次项系数的符号，即相应二次函数图像的开口方向； (2)争辩判别式的符号，即相应二次函数图像与x 轴交点的个数；(3)当Δ>0时，争辩相应一元二次方程两根的大小；(4)最终依据系数中的参数取值范围，写出一元二次不等式的解集． 跟踪训练3 设m ∈R ，解关于x 的不等式m 2x 2＋2mx －3<0. 解 (1)m ＝0时，－3<0恒成立，所以x ∈R . (2)m >0时，不等式变为(mx ＋3)(mx －1)<0， 即⎝⎛⎭⎫x ＋3m ⎝⎛⎭⎫x －1m <0，解得－3m <x <1m . (3)m <0时，原不等式变为⎝⎛⎭⎫x ＋3m ⎝⎛⎭⎫x －1m <0， 解得1m <x <－3m.综上，m ＝0时，解集为R ；m >0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －3m <x <1m； m <0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 1m<x <－3m . 探究点四 不等式的恒成立问题 例4 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围； (2)对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围． 解 (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立， 若m ＝0，明显－1<0.若m ≠0，⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇒－4<m <0.∴－4<m ≤0.(2)方法一 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立． 就要使m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立． 令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]． 当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， ∴g (x )max ＝g (3)＝7m －6<0，∴0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立； 当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数， ∴g (x )max ＝g (1)＝m －6<0，得m <6， ∴m <0. 综上所述：m <67.方法二 当x ∈[1,3]时，f (x )<－m ＋5恒成立， 即当x ∈[1,3]时，m (x 2－x ＋1)－6<0恒成立． ∵x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0， 又m (x 2－x ＋1)－6<0，∴m <6x 2－x ＋1.∵函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，∴只需m <67即可．反思与感悟 有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常处理方法有二：①考虑能否进行参变量分别，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参变量的不等式；②若参变量不能分别，则应构造关于变量的函数(如一次函数、二次函数)，并结合图像建立参变量的不等式求解．跟踪训练4 当x ∈[1,2]时，不等式x 2＋mx ＋4≤0恒成立．则m 的取值范围是________． 答案 (－∞，－5]解析 由于当x ∈[1,2]时，不等式x 2＋mx ＋4≤0恒成立．则有⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≤0f (2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＋4≤04＋2m ＋4≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－5m ≤－4⇔m ≤－ 5.1．不等式2x 2－x －1>0的解集是( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，1 B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(1，＋∞) 答案 D解析 ∵2x 2－x －1＝(2x ＋1)(x －1)， ∴由2x 2－x －1>0得(2x ＋1)(x －1)>0， 解得x >1或x <－12，∴不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(1，＋∞)． 2．不等式－6x 2－x ＋2≤0的解集是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－23≤x ≤12B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－23或x ≥12C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥12D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－32答案 B解析 ∵－6x 2－x ＋2≤0，∴6x 2＋x －2≥0， ∴(2x －1)(3x ＋2)≥0，∴x ≥12或x ≤－23.3．若不等式ax 2＋8ax ＋21<0的解集是{x |－7<x <－1}，那么a 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 由题意可知－7和－1为ax 2＋8ax ＋21＝0的两个根． ∴－7×(－1)＝21a，故a ＝3.4．不等式x 2＋x －2<0的解集为________． 答案 {x |－2<x <1}解析 由x 2＋x －2<0得－2<x <1， 故其解集为{x |－2<x <1}．5．若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0的解集为R ，求实数a 的取值范围．解 当a －2＝0，即a ＝2时，原不等式为－4<0， 所以a ＝2时解集为R .当a －2≠0时，由题意得⎩⎨⎧a －2<0，Δ<0.即⎩⎪⎨⎪⎧a <2，4(a －2)2－4(a －2)(－4)<0.解得－2<a <2.综上所述，a 的取值范围为－2<a ≤2. [呈重点、现规律]1．解一元二次不等式的常见方法(1)图像法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤： ①化不等式为标准形式：ax 2＋bx ＋c >0(a >0)，或ax 2＋bx ＋c <0(a >0)；②求方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根，并画出对应函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图像的简图；③由图像得出不等式的解集．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解． 当m <n 时，若(x －m )(x －n )>0，则可得x >n 或x <m ； 若(x －m )(x －n )<0，则可得m <x <n . 有口诀如下：大于取两边，小于取中间． 2．含参数的一元二次型的不等式在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类争辩，为了做到分类“不重不漏”，争辩需从如下三个方面进行考虑：(1)关于不等式类型的争辩：二次项系数a >0，a <0，a ＝0.(2)关于不等式对应的方程根的争辩：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)． (3)关于不等式对应的方程根的大小的争辩：x 1>x 2，x 1＝x 2，x 1<x 2.一、基础过关1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为2，－1，则当a <0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为( ) A ．{x |x <－1或x >2} B ．{x |x ≤－1或x ≥2} C ．{x |－1<x <2} D ．{x |－1≤x ≤2}答案 D解析 由题意知，－b a ＝1，ca ＝－2，∴b ＝－a ，c ＝－2a ，又∵a <0，∴x 2－x －2≤0，∴－1≤x ≤2.2．若0<t <1，则关于x 的不等式(t －x )(x －1t)>0的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1t <x <t B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >1t 或x <tC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <1t 或x >tD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |t <x <1t答案 D解析 ∵0<t <1，∴1t >1，∴1t>t .∴(t －x )(x －1t )>0⇔(x －t )(x －1t )<0⇔t <x <1t .3．不等式x 2－2x －2x 2＋x ＋1<2的解集为( )A ．{x |x ≠－2}B ．RC ．∅D ．{x |x <－2或x >2}答案 A解析 原不等式⇔x 2－2x －2<2x 2＋2x ＋2⇔x 2＋4x ＋4>0⇔(x ＋2)2>0，∴x ≠－2. ∴不等式的解集为{x |x ≠－2}．4．已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >12，则f (10x )>0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >－lg 2}B ．{x |－1<x <－lg 2}C ．{x |x >－lg 2}D ．{x |x <－lg 2} 答案 D解析 由已知条件0<10x <12，解得x <lg 12＝－lg 2.5．不等式－1<x 2＋2x －1≤2的解集是________． 答案 {x |－3≤x <－2或0<x ≤1}解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3≤0，x 2＋2x >0，∴－3≤x <－2或0<x ≤1.6．若不等式x 2＋mx ＋1>0的解集为R ，则m 的取值范围是__________． 答案 －2<m <2解析 由题意知，不等式x 2＋mx ＋1>0对应的函数的图像在x 轴的上方， 所以Δ＝(m )2－4×1×1<0， 所以－2<m <2.7．解不等式：x 2－3|x |＋2≤0. 解 x 2－3|x |＋2≤0⇔|x |2－3|x |＋2≤0 ⇔(|x |－1)(|x |－2)≤0⇔1≤|x |≤2. 当x ≥0时，1≤x ≤2； 当x <0时，－2≤x ≤－1.∴原不等式的解集为{x |－2≤x ≤－1或1≤x ≤2}． 二、力气提升8．若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 的解集为R ，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－2,2)B ．(－2,2]C ．(－∞，－2)∪[2，＋∞)D ．(－∞，2) 答案 B解析 ∵mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x ， ∴(2－m )x 2＋(4－2m )x ＋4>0. 当m ＝2时，4>0，x ∈R ；当m <2时，Δ＝(4－2m )2－16(2－m )<0， 解得－2<m <2.此时，x ∈R . 综上所述，－2<m ≤2.9．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6， x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3) 答案 A解析 f (1)＝12－4×1＋6＝3，当x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1； 当x <0时，x ＋6>3，解得－3<x <0. 所以f (x )>f (1)的解集是(－3,1)∪(3，＋∞)．10．已知x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，则k 的取值范围是______________． 答案 k ≤2或k ≥4解析 x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，把x ＝1代入不等式得k 2－6k ＋8≥0，解得k ≥4或k ≤2. 11．若不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤2，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a <0的解集．解 由ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤2，知a <0，且关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根分别为－13，2，∴⎩⎨⎧－13＋2＝－b a－13×2＝c a，∴b ＝－53a ，c ＝－23a .所以不等式cx 2－bx ＋a <0可变形为⎝⎛⎭⎫－23a x 2－⎝⎛⎭⎫－53a x ＋a <0，即2ax 2－5ax －3a >0.又由于a <0，所以2x 2－5x －3<0，解得－12＜x ＜3，所以所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <3.12．解关于x 的不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0. 解 将不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0变形为 (x －a )(x －a 2)>0.∵a 2－a ＝a (a －1)．∴当a <0或a >1时，a <a 2，解集为{x |x <a 或x >a 2}． 当0<a <1时，a 2<a ，解集为{x |x <a 2或x >a }． 当a ＝0或1时，解集为{x |x ∈R 且x ≠a }． 综上知，当a <0或a >1时， 不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}；当0<a <1时，不等式的解集为{x |x <a 2或x >a }； 当a ＝0或1时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠a }． 三、探究与拓展13．解关于x 的不等式ax 2－2(a ＋1)x ＋4>0.解 (1)当a ＝0时，原不等式可化为－2x ＋4>0，解得x <2，所以原不等式的解集为{x |x <2}． (2)当a >0时，原不等式可化为(ax －2)(x －2)>0，对应方程的两个根为x 1＝2a ，x 2＝2.①当0<a <1时，2a>2，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2a 或x <2； ②当a ＝1时，2a ＝2，所以原不等式的解集为{x |x ≠2}；③当a >1时，2a<2，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2或x <2a .(3)当a <0时，原不等式可化为(－ax ＋2)(x －2)<0，对应方程的两个根为x 1＝2a ，x 2＝2，则2a<2，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2a <x <2.。

2.3.1一元二次不等式的解法1．下列不等式中是一元二次不等式的是( )A ．a 2x 2＋2≥0B ．1x 2＋x <3C ．－x 2＋x －m ≤0D ．x 3－2x ＋1>0解析：选项A 中，a 2＝0时不符合；选项B 是分式不等式；选项D 中，最高次数为三次；只有选项C 符合．故选C ．2．不等式21x >的解集是（ ）A ．{}1x xB ．{}|1x x >±C ．{}|11x x -<<D ．{1x x 或}1x <-解析：不等式x 2>1，移项得：x 2﹣1>0，因式分解得：（x +1）（x ﹣1）>0， 则原不等式的解集为{x |x ＜-1或x>1}．故选：D ．3．不等式()()120x x -->的解集为（ ）A ．{}12x x x <>或B ．{}|12x x <<C ．{}21x x x <->-或D ．{}|21x x -<<-解析：将不等式()()120x x -->化为()()120x x --<，解得12x <<，所以解集为{}|12x x <<故选B.4．不等式6－x －2x 2<0的解集是( )解析：不等式变形为2x 2＋x －6>0，又方程2x 2＋x －6＝0的两根为x 1＝32，x 2＝－2，所以不等式的解集为故选D ．5．设关于x 的不等式(ax －1)(x ＋1)<0(a ∈R )的解集为{x |－1<x <1}，则a 的值是( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1解析：根据题意可得，－1,1是方程(ax －1)(x ＋1)＝0的两根，代入解得a ＝1.6．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足：x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为() A ．0<x <2 B ．－2<x <1C ．x <－2或x >1D ．－1<x <2解析：x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2<0⇒x 2＋x －2<0⇒－2<x <1.7．不等式x 2－|x |－2<0的解集是( )A ．{x |－2<x <2}B ．{x |x <－2或x >2}C ．{x |－1<x <1}D ．{x |x <－1或x >1}解析：令t ＝|x |，则原不等式可化为t 2－t －2<0，即(t －2)(t ＋1)<0.∵t ＝|x |≥0.∴t －2<0.∴t <2.∴|x |<2，得－2<x <2.8．若对任意(1,)x ∈+∞，不等式(1)(1)0x ax -+≤恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．11a -≤≤B ．1a ≤C ．1a ≥-D ．1a ≤-解析：对任意()1,x ∈+∞，不等式()()110x ax -+≤恒成立10x ->即10ax +≤恒成立1101ax a a x+≤⇒≤-⇒≤- 故答案为D9.“不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A ．m >14B ．0<m <1C ．m >0D ．m >1解析：若不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m <0，解得m >14，因此当不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立时，必有m >0，但当m >0时，不一定推出不等式在R 上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m >0.10. ．已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1<x <12B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >12 C ．{x |－2<x <1} D ．{x |x <－2或x >1}解析：选A.由题意知x ＝－1，x ＝2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的根，则－1＋2＝－b a ，－1×2＝2a ，解得a ＝－1，b ＝1.所以2x 2＋bx ＋a ＝2x 2＋x －1＜0，解得－1＜x ＜12.11. 若0<a <1，则关于x 的不等式(a －x )(x －1a )>0的解集是 ．解析：原不等式可化成(x －a )(x －1a )<0，因为0<a <1，所以a <1a ，故原不等式的解集为{x |a <x <1a }．12．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋x －2≥0，4x 2－15x ＋9>0的解集是 . 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x 2＋x －2≥0，4x 2－15x ＋9>0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥23或x ≤－1，x >3或x <34，即x ≤－1或23≤x <34或x >3，故不等式组的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ≤－1或23≤x <34或x >3. 13．若关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －1>a 2，x －4<2a解集不是空集，则实数a 的取值范围是 . 解析：依题意有⎩⎪⎨⎪⎧x >1＋a 2，x <4＋2a ，要使不等式组的解集不是空集，应有a 2＋1<4＋2a ，即a 2－2a －3<0，解得－1<a <3.14．已知关于x 的不等式20ax x c -+<的解集为{}|12x x -<<，则a c +等于________ 解析：由题得1-、2为方程20ax x c -+=的根，将1-代入20ax x c -+=，得10a c ++=，即1a c +=-.15．若关于x 的不等式23x ax a --≤-有解，则实数a 的取值范围为________. 解析：不等式23x ax a --≤-有解等价于()230x ax a ---≤有解，所以24120a a ∆=+-≥，故6a ≤-或2a ≥，填(6][2)-∞-⋃+∞，，. 16．若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的非空解集为{x |1<x <m }，则m ＝________． 解析：因为ax 2－6x ＋a 2<0的解集为{x |1＜x ＜m }．所以a >0，且1与m 是方程ax 2－6x ＋a 2＝0的根．则⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＝6a ，m ＝a ，即1＋m ＝6m . 所以m 2＋m －6＝0，解得m ＝－3或m ＝2，当m ＝－3时，a ＝m <0(舍去)，故m ＝2.答案：217．求下列不等式的解集．(1)－2x 2＋x ＋12<0；(2)3x 2＋5≤3x ；(3)9x 2－6x ＋1>0.解：(1)原不等式可以化为2x 2－x －12>0.∵方程2x 2－x －12＝0的解是：x 1＝1－54，x 2＝1＋54， ∴原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x <1－54或x >1＋54. (2)原不等式变形为3x 2－3x ＋5≤0.∵Δ<0，∴方程3x 2－3x ＋5＝0无解． ∴不等式3x 2－3x ＋5≤0的解集是∅.∴原不等式的解集是∅.(3)∵Δ＝0，∴方程9x 2－6x ＋1＝0有两个相等实根x 1＝x 2＝13，∴不等式9x 2－6x ＋1>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠13. 18．已知f (x )＝x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a x ＋1. (1)当a ＝12时，解不等式f (x )≤0；(2)若a >0，解关于x 的不等式f (x )≤0.解：(1)当a ＝12时，不等式为f (x )＝x 2－52x ＋1≤0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －2)≤0，∴不等式的解集为19．已知常数a ∈R ，解关于x 的不等式ax 2－2x ＋a <0.解：(1)若a ＝0，则原不等式为－2x <0， 故解集为{x |x >0}．(2)若a >0，Δ＝4－4a 2.①当Δ>0，即0<a <1时，方程ax 2－2x ＋a ＝0的两根为x 1＝1－1－a 2a ，x 2＝1＋1－a 2a， ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|1－1－a 2a <x <1＋1－a 2a . ②当Δ＝0，即a ＝1时，原不等式的解集为∅. ③当Δ<0，即a >1时，原不等式的解集为∅.(3)若a <0，Δ＝4－4a 2.①当Δ>0，即－1<a <0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <1＋1－a 2a 或x >1－1－a 2a . ②当Δ＝0，即a ＝－1时，原不等式可化为(x ＋1)2>0， ∴原不等式的解集为{x |x ≠－1}．③当Δ<0，即a <－1时，原不等式的解集为R . 综上所述，当a ≥1时，原不等式的解集为∅；当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|1－1－a 2a <x <1＋1－a 2a ； 当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x >0}；当－1<a <0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x <1＋1－a 2a 或x >1－1－a 2a ； 当a ＝－1时，原不等式的解集为{x |x ≠－1}； 当a <－1时，原不等式的解集为R .。

3.2一元二次不等式及其解法3.2.1一元二次不等式的概念和一元二次不等式解法从容说课本节课是人民教育出版社A版必修数学5第三章不等式第二大节3.2一元二次不等式及其解法的第一节课.一元二次不等式及其解法教学分为三个学时，第一个学时先由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出一元二次不等式及其解法中的一些基本概念、求解一元二次不等式的步骤、求解一元二次不等式的程序框图.确定一元二次不等式的概念和解法，以此激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度.通过具体例题的分析和求解，在这些例题中设置思考项，让学生探究，层层铺设，以便让学生深刻理解一元二次不等式的概念，有利于一元二次不等式的解法的教学.讲述完一元二次不等式的概念后，再回归到先前的具体事例，总结一元二次不等式解法与二次函数的关系和一元二次不等式解法的步骤，由学生用表格将一元二次不等式解法与二次函数的数形关系的对应关系用图表形式表示出来；然后用一个程序框图把求解一般一元二次不等式的过程表示出来，根据这些图表，得出一元二次不等式解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系，再辅以新的例题巩固.整个教学过程，探究一元二次不等式的概念，揭示一元二次不等式解法与二次函数的关系本质，引出一元二次不等式解法的步骤和过程，并及时加以巩固，同时让学生体验数学的奥秘与数学美，激发学生的学习兴趣.教学重点1.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型.2.围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想.教学难点理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系.教具准备多媒体及课件，幻灯片三张三维目标一、知识与技能1.经历从实际情景中抽象出一元二次不等式模型的过程;2.通过函数图象了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的联系;3.会解一次二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图.二、过程与方法1.采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学;2.发挥学生的主体作用，作好探究性实验;3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.三、情感态度与价值观1.通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集，培养学生的数形结合的数学思想;2.通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系，使学生认识到事物是相互联系、相互转化的，树立辩证的世界观.教学过程导入新课师上网获取信息已经成为人们日常生活的重要组成部分，因特网服务公司（Internet Servi c e Provider）的任务就是负责将用户的计算机接入因特网，同时收取一定的费用.某同学要把自己的计算机接入因特网，现有两家ISP公司可供选择，公司A每小时收费1.5元；公司B的收费原则是在用户上网的第一小时内收费1.7元，第二小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元.（若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算）一般来说，一次上网时间不会超过17小时，所以，不妨一次上网时间总小于17小时，那么，一次上网在多长时间以内能够保证选择公司A比选择公司B所需费用少？假设一次上网x 小时，则A 公司收取的费用为1.5x ，那么B 公司收取的费用为多少？怎样得来？ 生 结果是20)35(x x -元，因为是等差数列，其首项为1.7，公差为-0.1，项数为x 的和，即.20)35()1.0(2)1(7.1x x x x x -=--+师 如果能够保证选择A 公司比选择B 公司所需费用少，则如何列式？ 生 由题设条件应列式为20)35(x x -＞1.5x(0＜x ＜17)，整理化简得不等式x 2-5x ＜0.推进新课师 因此这个问题实际就是解不等式：x 2-5x ＜0的问题.这样的不等式就叫做一元二次不等式，它的解法是我们下面要学习讨论的重点.什么叫做一元二次不等式？含有一个未知数并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是a x 2+b x+c ＞0或a x 2+b x+c ＜0（a ≠0）.例如2x 2-3x-2＞0，3x 2-6x ＜-2，-2x 2+3＜0等都是一元二次不等式. 那么如何求解呢？师 在初中，我们已经学习过一元一次方程和一元一次不等式的解法，以及一次函数的有关知识，那么一元一次方程、一元一次不等式以及一次函数三者之间有什么关系呢？ 思考：对一次函数y=2x-7，当x 为何值时，y=0？当x 为何值时，y ＜0？当x 为何值时，y ＞0？它的对应值表与图象如下：x 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 y-3-2-1123由对应值表与图象（如上图）可知： 当x=3.5时，y=0，即2x-7=0；当x ＜3.5时，y ＜0，即2x-7＜0；当x ＞3.5时，y ＞0，即2x-7＞0.师 一般地，设直线y=a x+b 与x 轴的交点是(x 0，0),则有如下结果：（1）一元一次方程a x+b =0的解是x 0；（2）①当a ＞0时，一元一次不等式a x+b ＞0的解集是{x|x ＞x 0}；一元一次不等式a x+b ＜0的解集是{x|x ＜x 0}.②当a ＜0时，一元一次不等式a x+b ＞0的解集是{x|x ＜x 0}；一元一次不等式a x+b ＜0的解集是{x|x ＞x 0}.师 在解决上述问题的基础上分析，一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系.能通过观察一次函数的图象求得一元一次不等式的解集吗？ 生 函数图象与x 轴的交点横坐标为方程的根，不等式的解集为函数图象落在x 轴上方(下方)部分对应的横坐标.a ＞0 a ＜0一次函数 y=a x+b (a ≠0)的图象一元一次方程a x+b =0的解集 {x|x=a b -} {x|x=a b -} 一元一次不等式a x+b ＞0的解集 {x|x ＞a b-}{x|x ＜a b-}一元一次不等式a x+b ＜0的解集{x|x ＜ab-}{x|x ＞ab-}师 在这里我们发现一元一次方程、一元一次不等式与一次函数三者之间有着密切的联系.利用这种联系（集中反映在相应一次函数的图象上）我们可以快速准确地求出一元一次不等式的解集，类似地，我们能不能将现在要求解的一元二次不等式与二次函数联系起来讨论找到其求解方法呢？在初中学习二次函数时，我们曾解决过这样的问题：对二次函数y=x 2-5x ，当x 为何值时，y=0？当x 为何值时，y ＜0？当x 为何值时，y ＞0？当时我们又是怎样解决的呢？ 生 当时我们是通过作出函数的图象，找出图象与x 轴的交点，通过观察来解决的. 二次函数y=x 2-5x 的对应值表与图象如下： x -1 0 1 2 3 4 5 6 y6-4-6-6-46由对应值表与图象（如上图）可知： 当x=0或x=5时，y=0，即x 2-5x=0；当0＜x ＜5时，y ＜0，即x 2-5x ＜0； 当x ＜0或x ＞5时，y ＞0，即x 2-5x ＞0.这就是说，若抛物线y=x 2-5x 与x 轴的交点是(0，0)与(5，0), 则一元二次方程x 2-5x=0的解就是x 1=0，x 2=5.一元二次不等式x 2-5x ＜0的解集是{x|0＜x ＜5};一元二次不等式x 2-5x ＞0的解集是{x|x ＜0或x ＞5}.［教师精讲］由一元二次不等式的一般形式知，任何一个一元二次不等式，最后都可以化为a x 2+b x+c ＞0或a x 2+b x+c ＜0（a ＞0）的形式，而且我们已经知道，一元二次不等式的解与其相应的一元二次方程的根及二次函数图象有关，即由抛物线与x 轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集. 如何讨论一元二次不等式的解集呢？我们知道，对于一元二次方程a x 2+b x+c =0(a ＞0)，设其判别式为Δ=b 2-4ac ，它的解按照Δ＞0,Δ=0，Δ＜0分为三种情况，相应地，抛物线y=a x 2+b x+c (a ＞0)与x 轴的相关位置也分为三种情况（如下图），因此，对相应的一元二次不等式a x 2+b x+c ＞0或a x 2+b x+c ＜0（a ＞0）的解集我们也分这三种情况进行讨论.（1）若Δ＞0，此时抛物线y=a x 2+b x+c (a ＞0)与x 轴有两个交点〔图（1）〕，即方程a x 2+b x+c =0(a ＞0)有两个不相等的实根x 1，x 2（x 1＜x 2）,则不等式a x 2+b x+c ＞0（a ＞0）的解集是{x|x ＜x 1，或x ＞x 2}；不等式a x 2+b x+c ＜0（a ＞0）的解集是{x|x 1＜x ＜x 2}. （2）若Δ=0，此时抛物线y=a x 2+b x+c (a ＞0)与x 轴只有一个交点〔图（2）〕，即方程a x 2+b x+c =0(a ＞0)有两个相等的实根x 1=x 2=ab2-,则不等式a x 2+b x+c ＞0（a ＞0）的解集是{x|x≠ab2-}；不等式a x 2+b x+c ＜0（a ＞0）的解集是. (3)若Δ＜0，此时抛物线y=a x 2+b x+c (a ＞0)与x 轴没有交点〔图(3)〕，即方程a x 2+b x+c =0(a ＞0)无实根，则不等式a x 2+b x+c ＞0（a ＞0）的解集是R ；不等式a x 2+b x+c ＜0（a ＞0）的解集是.Δ=b 2-4ac Δ＞0Δ=0Δ＜0二次函数y=a x 2+b x+c (a ＞0)的图象a x 2+b x+c =0的根ab x 22.1∆≡±-=x 1=x 2=ab 2-∅a x 2+b x+c ＞0的解集 {x|x ＜x 1或x ＞x 2} {x|x≠ab 2-} Ra x 2+b x+c ＜0的解集 {x|x 1＜x ＜x 2}∅ ∅对于二次项系数是负数（即a ＜0）的不等式，可以先把二次项系数化成正数，再求解. ［知识拓展］【例1】 解不等式2x 2-5x-3＞0. 生 解：因为Δ＞0，2x 2-5x-3=0的解是x 1=-21,x 2=3.所以不等式的解集是{x|x ＜21-，或x ＞3}.【例2】 解不等式-3x 2+15x ＞12.生 解：整理化简得3x 2-15x+12＜0.因为Δ＞0，方程3x 2-15x+12=0的解是x 1=1,x 2=4，所以不等式的解集是{x|1＜x ＜4}.【例3】 解不等式4x 2+4x+1＞0.生 解：因为Δ=0，方程4x 2+4x+1=0的解是x 1=x 2=21-.所以不等式的解集是{x|x≠21-}.【例4】 解不等式-x 2+2x-3＞0.生 解：整理化简，得x 2-2x+3＜0.因为Δ＜0，方程x 2-2x+3=0无实数解，所以不等式的解集是∅.师 由上述讨论及例题，可归纳出解一元二次不等式的程序吗？ 生 归纳如下：（1）将二次项系数化为“+”：y=a x 2+b x+c ＞0(或＜0)(a ＞0). （2）计算判别式Δ，分析不等式的解的情况：①Δ＞0时，求根x 1＜x 2，⎩⎨⎧≠.,0;,02121x x x y x x x x y ＜＜则＜若＞或则＞若②Δ=0时，求根x 1=x 2=x 0，⎪⎩⎪⎨⎧==∅∈≠.,0;,0;,000x x y x y x x y 则若则＜若的一切实数则＞若③Δ＜0时，方程无解，⎩⎨⎧∅∈≤∈.,0;,0x y R x y 则若则＞若（3）写出解集.师 说的很好.下面我们用一个程序框图把求解一元二次不等式的过程表示出来，请同学们将判断框和处理框中的空格填充完整. ［学生活动过程］［方法引导］上述过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用与新课程的理念.该过程中的思考、观察、探究起到层层铺设的作用，激起学生学习的兴趣与勇于探索的精神. 课堂小结1.一元二次不等式：含有一个未知数并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是a x 2+b x+c ＞0或a x 2+b x+c ＜0（a ≠0）.2.求解一元二次不等式的步骤和解一元二次不等式的程序. 布置作业1.完成第90页的练习.2.完成第90页习题3.2第1题.板书设计一元二次不等式的概念和一元二次不等式解法多媒体演示区一元二次不等式概念一元二次不等式解题步骤例题。

一元二次不等式的解法一元二次不等式是指形式为ax^2 + bx + c > 0 (或ax^2 + bx + c < 0)的不等式，其中a、b、c为实数，且a ≠ 0。

要解一元二次不等式，需要通过一系列的步骤来确定其解集。

步骤一：将一元二次不等式的左边转化为一个二次函数f(x)。

根据一元二次不等式的形式，我们可以将其左边的项看作是二次函数f(x) = ax^2 + bx + c。

这个二次函数的图像可能是一个抛物线开口向上，也可能是开口向下。

步骤二：求出二次函数f(x)的零点。

为了求出二次函数f(x)的零点，我们需要将其转化为标准形式。

标准形式是指f(x) = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为抛物线的顶点坐标。

步骤三：根据二次函数f(x)的开口方向，确定一元二次不等式的解集。

如果二次函数f(x)开口向上，即a > 0，那么一元二次不等式的解集是抛物线上方的区域。

如果二次函数f(x)开口向下，即a < 0，那么一元二次不等式的解集是抛物线下方的区域。

步骤四：根据一元二次不等式的形式，找出它的解集。

通过分析图像和零点，我们可以进一步确定一元二次不等式的解集。

例如，考虑不等式x^2 - 3x + 2 > 0。

首先，我们将不等式左边的项转化为二次函数f(x) = x^2 - 3x + 2，然后求出其零点。

将f(x)转化为标准形式可以得到f(x) = (x - 1)(x - 2)，则它的零点是x = 1和x = 2。

这意味着抛物线与x轴相交于点(1, 0)和(2, 0)。

由于a = 1 > 0，我们知道抛物线开口向上。

因此，不等式的解集是抛物线上方的区域。

我们可以通过测试f(x)在零点以及零点左右的取值来进一步确定解集。

当x < 1时，抛物线在x轴上方，因此f(x) > 0；当1 < x < 2时，抛物线在x轴下方，因此f(x) < 0；当x > 2时，抛物线再次在x轴上方，因此f(x) > 0。