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矩阵理论课件 (5)

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矩阵PPT课件

矩阵PPT课件
3 6 8 3 2 1 12 1 3 8 5 9 13 11 4 1 6 9 5 0 4 7 4 4. 3 3 6 2 8 1 6 8 9
第19页/共179页
2、 矩阵加法的运算规律
1 A B B A;
2 A B C A B C .
3 A O O A A.
a11 b11
A
B
a21 b21
am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am 2 bm 2
a1n b1n a2n b2n
amn bmn
第18页/共179页
说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算.
12 3 5 1 8 9 例如 1 9 0 6 5 4
1 2 3
0 1 2
A
4
5
6
，B
3
4
5 ，
7 8 9
6 7 8
求 2。A 3B
1 2 3 0 1 2
解：
2A 3B 2 4 5 6 3 3 4 5
7 8 9 6 7 8
2 4 6 0 3 6 2 1 0 8 10 12 9 12 15 1 2 3
14 16 18 18 21 24 4 5 6
第23页/共179页
例2 已知
A
2 7
0 9
，B
2 9
74，且A 2X B， 求 。X
解：
X
1（B 2
A）
1 2
4 2
42
2 1
21
第24页/共179页
三、矩阵与矩阵相乘
１、定义
设 A 是aij 一 个 矩m阵 s， 是B一 个bij
s 矩n 阵，那么规定矩阵 与A矩阵 的B乘积

矩阵理论矩阵的标准型(ppt)

矩阵理论矩阵的标准型(ppt)

定义 3.1 设有 n 阶 –矩阵 A( ) 、 B( ) ，若可使 A( )B( ) B( )A( ) En
成立，则称 A( ) 为可逆的， B( ) 称为 A( ) 的逆矩 阵，记为 A1( ) ． 满秩的 –矩阵不一定可逆．
定理 3.1 n 阶 –矩阵 A( ) 可逆的充要条件是 A( ) 的行列式是一个非零常数．
–矩阵也有初等变换和初等矩阵．
–矩阵的初等行（列）变换，是指以下三种变换： 1．交换 A( ) 的第 i 行（列）与第 j 行（列）； 2．用非零的数 k 乘以 A( ) 的第 i 行（列）； 3．将 A( ) 的第 j 行（列）乘以一个多项式 ( ) 后，
加到第 i 行（列）上．
–矩阵的初等矩阵是指由一个单位矩阵经过一次 –矩阵的初等行（列）变换后所得的方阵．
还可注意到,如果两个 –矩阵等价,则其秩相等;反之则不然. 这也是 –矩阵与数字矩阵的不同之处.例如:
A(
)
0
1 1
,
B(
)
1 0
1
的秩相等,但不等价.
定理 3.3 若 rank(A()) r ，则
d1()
d2()
A()
D()Biblioteka dr ()00
其中 di ( ) | di1( ) ， i 1, 2, , r 1 (依次相除性)， di ( ) 为首 1 多项式， i 1, 2, , r . D( )为 A( ) 的等价标准形，称为 Smith 标准形.
定理 3.4 等价的 n 阶 -矩阵有相同的各阶行列式因子及 不变因子. 两个 n 阶 -矩阵等价当且仅当它们有相同的行列式因子 或相同的不变因子.
由此可知 n 阶 -矩阵的 Smith 标准形唯一.

(精品课件)研究生教材《矩阵理论》PPT演示文档

(精品课件)研究生教材《矩阵理论》PPT演示文档

列和第
行， x ( x1 , x2 ,, xn ) ,则有
( 2) ( n)
Ax x1 A x2 A xn A
这就是说，矩阵乘一个列向量，其结果是将该矩 阵的列向量进行线性组合，组合系数即是该列向量 的对应系数。 若令 y ( y1 , y2 ,, ym ), 则有：
yA y1 A(1) x2 A( 2) xm A( m)
其余元素均为0的矩阵。借助这些矩阵，任意 矩阵 A aij , 均能唯一地表示成： A
m n
n ij ij

a E .
i 1 j 1
m
对矩阵乘法的表达，可以利用下述性质：
Eij Ekl jk Eil ,1 i, j, k , l n,
其中 jk 是Kronecker符号，即当
.函数与极限
5
【定义1.1.4 】 一个 一个
m p
pn
p
矩阵 B bij
m n
矩阵 C cij , 其中


矩阵 A aij
与
的乘积是一个
cij aik bkj ,1 i m,1 j n.
j 1
★矩阵的乘法有下述性质： （M1)结合律：( AB)C A( BC);
并将其分块成
P Q1P2 ,
P 11 P P 21
.函数与极限
P 12 P22
26
其中
P 11 , P 12 , P 21 , P 22
分别为
r1 r2 ,
r1 ( p r2 ), ( p r1 ) r2 , ( p r1 ) ( p r2 )
A( E pq Eqp ) (aii Eii E pq aii Eii Eqp ) a pp E pq aqq Eqp ;

《矩阵论》课件 共39页PPT资料

《矩阵论》课件 共39页PPT资料

n
x 1
xi ;
i1
1
x
2


n i1
xi
2 2
;
x


max
1 i n
xi
;
1
x
n p i 1
xi
p p ,
p1
x , x , x , x ( p 1)都是 C n上的向量范数。
1
2

p
引6理 .1.1 如 果p实 1,q数 1且111,则 对 pq
向 量 范,数1,,n为V的 一 组,V基中 任 一 向量
n
可唯一地表示为xii, x(x1,, xn)T Pn. i1
则 是x1,, xn的连续函. 数
定义6.1.2 设 , 是n维线性V空 上间 定义的 ab
种 向 量,范 如数 果 存 在 两 无个关与的 正 常
其中p 实 1,q 数 1且 111. pq
定理6.1.2（Minkowski不等式）
设 x ( x 1 , ,x n ) T ,y ( y 1 , ,y n ) T C n ,则
1
1
1
i n1xiyi p p i n1xi p p i n1yi p p
定理6.1.5 设V是 数 域 P上 的n维 线 性 空,间 1,,n 为V的 一 组,基 则V中 任 一 向可 量唯 一 地 表 示
n
xii , x (x1,, xn)T Pn.又 设 是Pn上 的
i1
向 量 范,数 令 v
x,
则 是V上的向量范. 数 v
定理6.1.6 设 是数域 P上n维线性空V上 间的任一

矩阵理论复习总结 PPT课件

矩阵理论复习总结 PPT课件

1.几种常用的矩阵范数
A (aij ) Cnn ,
n
A
1

max
1 jn
i1
|
aij
|;
nn
1
n
A


max
1in
| aij
j 1
|;
1
A ( F
| aij2 |)2 (tr( AH A))2 .
i1 j1
UA A AU .
F
F
F
三、向量与矩阵的极限
2.线性空间v中有限个向量的线性相关性.
3.线性空间的基与维数.
dim(V ) n.
4. 基变换公式.
(1,2, ,n ) (1,2, ,n )P.
X PY.
5.子空间:对加法封闭，对数乘封闭.
L(1,2, ,s ) span1,2, ,s;
A (aij ) Rmn,
1,2, ,n ,
(1)
A Pdiag(1,2 , ,n )P1
(1,2 ,
,n )diag(1,2,
,n )



1T

T 2





T n


111T

2
2

T 2

n
n

T n
1G 12G 2 nGn
k
(2) A i Ai i 1
3.正交补空间
V1 V2 , V1 V2 V
4.内积空间的同构.
(x y) (x) ( y); (x) (x); ( (x), ( y)) (x, y).

【矩阵理论课件】课件5

【矩阵理论课件】课件5

J
k
P
1
ak
k0
J1kPP 1Fra bibliotekakJ
k s
k0
f (J1)
P
P
1
f
(
J
s
)
f (Ji )
ak
J
k i
k 0
ik
ak
k0
C1 k1 ki
L
ik
O
mi 1 k (mi 1)
C k i
M
C1 k1 ki ik
ak ik
k0
akCk1
k 1 i
二、矩阵函数值的计算
1、利用相似对角化:
设P1AP diag(1, 2, , n ) D
f ( A)
ck
Ak
ck
( PDP 1 )k
P
ck
Dk
P
1
k0
k0
k0
ck
k0
1k
P
P 1
ck
k0
nk
f (1)
P
P
1
f
(n
)
同理
f ( At) Pdiag( f (1t), f (2t), , f (nt)).
0.1 0.7 k
r( A)
A
0.9
1
k 0
0.3
0.6
1
0.1 0.7 0.9
0.7 1
E
0.3
0.6
0.3
0.4
1
1 10
9 3
7
4
1 0.15
0.4
0.3
0.7
0.9
例：A 1,求 kAk-1

矩阵理论精品课-全套课件


(t ) v(t ) y
y( t )
写成矩阵形式：
(t ) 0 1 y (t ) 0 y f K 1 F (t ) v v(t ) (t ) m m m
AX BU X
dM M x(n) dM 1M 1x(n) d1x(n) d0 x(n)
a0 y(n) a1 y(n 1) aN 1 y(n N 1) aN y(n N ) b0 x(n) b1x(n 1) bM 1x(n M 1) bM x(n M )
矩阵理论
目的和内容
• 矩阵理论是求解多元线性方程组的有力工具； • 现代工程中的一些问题，如果用矩阵表示，不但形式简洁， 更重要的是具有适合计算机处理的特点。由于计算机的发 展和普及，矩阵分析显得越来越重要；
– 举例
• 教学目的：
– 掌握主要的概念； – 能够看懂相关文献，尤其是各种术语和符号的含义；
Y
C
X
D
U
AX BU X
Y CX DU
R1 R2 R R i L R2 2 y (t ) 1 u (t ) R u 2 C R1 R2 R1 R2
动态系统的描述(Continue)
• 机械系统的振动
duc ic C dt
L
iC
R2 u(t)
代入(1) 代入(2)
L i
R1 R2 R1 R2 iL uC u(t ) ( R1 R2 ) L ( R1 R2 ) L ( R1 R2 ) L R1iL 1 1 C u iL uC u(t ) ( R1 R2 )C ( R1 R2 )C ( R1 R2 )C

矩阵论课件Matrix5-2


( A2 (t )) A(t ) A(t ) A(t ) A(t );
初等函数的微分性质
(e At ) Ae At e At A;
(sin At ) A cos At (cos At ) A; (cos At ) A sin At (sin At ) A;
g ( j ) (i ) f ( j ) (i ), j 0,1,2,, ri 1; i 1,2,, s
也可以用特征多项式代替最小多项式！ 例题2 （P129 eg14）用法2计算上例
例题3
（P129 eg15）计算eAt
2、 最小多项式方法
例题4 设
1 1 0 A 0 0 1 ，计算A10。 0 0 1
§ 5.6 函数矩阵的微积分
一、函数矩阵及其分析性质
函数矩阵：A(t) = [aij (t)]m×n， 分析性质： A(t) 连续、可微分、可积分 aij (t)
lim A(t ) [lim aij (t )]mn
t t0 t t0
连续 可微分
可积分
dA(t ) daij (t ) [ ]mn dt dt
e A B I (e 2 1) E11
例题1 设A为反对称矩阵，证明eA为正交矩阵。 3 2 0 2 例题2 设 3 ，讨论 lnA 是否有 A 1 0 意义 2 0 0 1
(A-I) = 5/2 > 1
二、矩阵函数的计算
2、 最小多项式方法
定理5.12 设n阶方阵A的最小多项式为
mA ( ) ( 1 ) ( 2 ) ( s ) ,
n1 n2 ns
n
i 1
Байду номын сангаас

矩阵理论及其应用(重大版第5讲课件)


定理3.3.10 两个������ × ������的多项式矩阵������(������ሻ、 ������(������ሻ等价的
充分必要条件是存在可逆������阶������(������ሻ阵和n阶Q(������ሻ阵，使得
������ ������ ������ ������ Q ������ = ������ ������ 。
定理3.3.11 设A和B是两个数字方阵，则������~������的充分必要
条件是������������ − A ≅ ������������ − ������。
CQU
9
Jordan 标准型
定理3.3.12(*) 任意一个秩为r的������ × ������ 的多项式矩阵������(������ሻ
定义3.16和定理3.3.13。
定义3.16 A(������ሻ中非零的全部k阶子式的最(大)高公因式(首
一)称为A(������ሻ的k阶行列式因子，记为������������ ������ ，且则������������ ������ =
������������ ������ ������������−1 ������
������������ 1
⋱
称为Jordan块矩阵，������1, ������2, ⋯ , ������������是
1 ������������ A的特征值，可以是多重的。
CQU
4
Jordan 标准型
说明： ������������(������������ሻ中的特征值全为������������，但是对于不同的i,j,有可能������������ =
列命题等价。
(1) A ������ ≅ ������ ������

矩阵教学课件


例如:
13 2
6 2
5 2
是一个3 阶方阵.
2 2 2
(2) 只有一行的矩阵 A a1,a2 ,,an ,称为行矩阵(或行向量).
(3) 只有一列的矩阵
a1
B
a2
,
an
称为列矩阵(或列向量).
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念
(4) 元素全为零的矩阵称为零矩阵, 记作O.
注意：不同阶数的零矩阵是不相等的.
例8: 设列矩阵X = (x1 x2 ···xn)T, 满足XTX = 1, E为n 阶单位 矩阵, H = E – 2XXT, 证明: H为对称矩阵, 且HHT = E.
证明: 自学 （见P49）
第二章 矩阵
§2 矩阵的运算
五、方阵的行列式 定义:由n阶方阵A的元素所构成的行列式(各元素的位
置不变),称为方阵A的行列式,记作|A| 或det A. 例
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念 §2 矩阵的运算 §3 逆矩阵 §4 分块矩阵 §5 矩阵的初等变换 §6 矩阵的秩
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念
一、矩阵的定义 定义: 由m×n个数aij (i = 1,2, ∙ ∙ ∙, m ; j = 1,2, ∙ ∙ ∙, n) 排
成的m行n列的数表
称为m行n列矩阵,简称m×n矩阵.
y1 a11x1 a12 x2 a1n xn ,
y2 a21x1 a22 x2 a2n xn ,
ym am1 x1 am2 x2 amn xn .
表示一个从变量x1、x2、…xn到变量y1、y2、…ym的线性变换，
其中aij为常数。
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念
,
x
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AP (1, ,r ,r1, ,n )
其中，1,2, ,r 线性无关
(r1, ,n ) (1, ,r ) C
AP (1, ,r )Er
C
U
R 0
E
r
C
U
R 0
RC 0
B R
RC
C rn r
B R RC L 0V1
A
U
R 0
RC 0
P
1
U
（L
0
0）V1 0
P1
（L U （0
0）V1 0）V1
A12
A22
A11 A12
A21
A22
L11 L21
0
L22
R%11 0
R%12 R%22
LL1211RR%%1111
L11R%12 L21R%12 L22
R%22
A11 L11R%11
K | A11 || L11 || R%11 | | L11 |
l11l22 lkk 0
An11
1
L1 R%11
0
ann
An11
R%1 0
R%1 An11
1
~
LR
唯一性：设A L1 R%1 L2 R%2
L11L2 R%1R%21
L11L2 R%1R%21 E
L1 L2, R%1 R%2
(ii) (i) A LR%且lii 0(i)
A
A11 A21
P1
U
L 0
0 0
V1
P
1
U
L 0
00V ,其中 V V1P 1.
A RT R
定理 2：设 ACnnn, 用L表示下三角复矩阵， L~是单位下三角复矩阵 , R是上三角复矩阵，
R~是单位上三角复矩阵，D表示对角矩阵，
则下列命题等价：
a11 a12 L
(i)
k
a21 L
a22 L
L L
ak1 ak2 L
a1k a2k 0, k 1,L , n L akk
~
r12 l21r12 r22 l31r12 l32r22
r13 l21r13 r23
A
l31r13 l32r23 r33
L%R
r11 l21r11
r12 l21r12 r22
r13 l21r13 r23
2 1 3
1
2
1
l31r11 l31r12 l32r22 l31r13 l32r23 r33 2 4 3
第三章
矩阵的分解
§1 矩阵的三角分解
一·三角分解的必要性及几个基本概念
1·上下三角分解的必要性
a11 x1 a12 x2 L
(1).
L
a22 x2 L LL
L
a1n xn b1 a2n xn b2
L ann xn bn
a11 x1
(2). a21Lx1
a22 x2 L
L
an1 x1 an2 x2 L
vi1l11 0 i 2, , n l11 0 v21 vn1 0
V为酉矩阵 v11 1, v12 v1n 0
1 0 L
V
0
v22
L
L L L
0
vn 2
L
0
v2n
类推
L
vnn
V En
U1 U2 R1 R2
推论 1： 设 A Rnnn, 则A可唯一地分解为
i
ai kij j i 1, 2, , n
j 1
A (1, 2,L , n )
n
(k111, k211 k222 ,L , knj j ) j 1
k11
(1, 2,
n
)
0
0
k21 k22
0
kn1
kn2
knn
U1R
唯一性： 设A U1R1 U2R2
R1 U11U2R2
(3) A为n阶方阵
A
An1
ann
An1
ann
En1 0
An11
1
An1
0
ann
An11
A
An1
ann
0
An11
En1 0
An11
1
A
L1
R%1
ann
0
An11
En1 0
An11
1
L1 R%11
0
ann
An11
R%1
0
0 1
En1 0
A RH R
证：A是正定Hermite矩阵
A PH P (1)
P 可逆
P UR
A RHU HUR
A RH R 唯一性： A R1H R1 R2H R2
(R1H )1 R2H R1(R2 )1 En
R1 R2
推论 3：设 A是实对称正定矩阵, 则存在唯一的 正线上三角实矩阵R，使
l11 0 0
(ii) (iv) :
L
l21
l22
0
ln1
ln2
lnn
1
l21
l11
ln1
l11
0
1
ln2 l22
0 0
l11
0
1
0
0 l22 0
0
0
L%D
lnn
A LR% L%DR%
(iv) (ii) : A L%DR% L L%D A LR%
b1 b2 L ann xn bn
xn xn-1 L x1 x1 x2 L xn
(3).
Ax
b ALR
LRx
b
Rxy
Ly
b
y
Rx y x
(4). 即使A可逆,A的上下三角分解未必存在.
2·正交三角分解的必要性
(1). A可逆 A的正交三角分解(A UR)存在? (2). Ax b UHUAE,URR上三角URx b Rx U Hb
VR2
V为酉矩阵
k11 k21 kn1
l11 l21 ln1
设R1
0
k22
kn2
R2
0
l22
ln2
0
0
knn
0
0
lnn
v11 v12 L v1n
V v21 v22 L
v2
n
L L L L
vn1 vn2 L
vnn
(1) k11 v11l11 v11 0
b%UHb Rx b%
3·几个基本概念 (1)定义1 正线上三角阵
单位上三角阵
a11
R
0
L
0
a12 L a22 L LL 0L
a1n
a2n L
(aii
0)
ann
1 a12 L a1n
R
0
1L
a2n
L L L L
0
0L
1
(2)定义2 正线下三角阵
单位下三角阵
a11
L
1 0 0 2 1 3
L%
0.5
1
0
,
R
0
2.5
0.5
1 2 1 0 0 1
2 0 0
1 0.5 1.5
D
0 0
2.5 0
0 1
,
R%
D 1 R
0
0
1 0
0.2
1
三、任意矩阵的QR分解
定义 3：设A为m n复(实)矩阵，如果rankA m, 则称 A为行满秩矩阵，记为 A Cmmn(Rmmn ). 如果rankA n, 则称 A为列满秩矩阵，记为 A Cnmn(Rnmn ).
a1
M
扩充 a1, a2,L , am, am1,L , an 线性无关
A
am
am1
M
an
a1 k11
0 L 0
A am1
M an
A
M am am1 M
k21 M
km1 km1,1
M
k22 O
km2 L km1,2 L
证： A (a1, a2 , , an ) A Cnnn
a1, a2 , , an 线性无关 正交化、单位化
1
||
a1 a1
||
i 1
ai (ai , j ) j
i
|| ai
j 1 i 1
(ai ,
j ) j ||
i 2,
3,L , n
j 1
i 1
kij (ai , j ), k11 || a1 || 或 kii || ai (ai , j ) j || j 1
M
kmm km1,m
M
M M 0L km1,m1 M
M
M
0
1
2
M
n
an
kn1
kn2 L
knm
kn,m1
knn
k11
A
k21
k22
M O
0 L 0 1
M M
M M
2
M
L
0 U
km1 km2 L kmm 0 L 0 n
定理 4：(i) 设ACnmn，则A可唯一地分解为 A UR
其中,
R是n阶正线上三角矩阵,U
U
mn n
.
(ii) 设A Cmmn，则A可唯一地分解为 A LU
其中,
L是m阶正线下三角矩阵,
U
U
mn m
.
证：
A
C
mn n
对x 0, 有Ax 0
x H AH Ax ( Ax)H Ax 0