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x3 x4
c11 c21
c12 c22
解： AX C Vec (AX ) (E A)Vec X Vec (C)
a11 a12
x1 c11
a21
a22
a11 a21
a12 a22
x2 x3 x4
c21 c12 c22
返回
Kronecker积的应用： (1)最直接的应用：矩阵方程组的表示与求解. (2)最代表性的应用：在信号处理与系统理论中kronecker积 是多变元时间序列的高阶统计量分析的基本数学工具之一.
§4 Kronecker积
一、Kronecker积
A (aij ) P mn , B (bij ) P pq
a11
B
a12B L
1.
Kronecker积⇔A
B
a21 L
B
a22 B L
L L
am1B am2B L
a1n
B
a2n
B
P
mpnq
L
amn
B
(也称直积direct product、张量积tensor product).
(11) 当AT A, BT B时, A B也是对称矩阵;
当AH A, BH B时, A B也是Hermite矩阵; (12) 当U,V均为酉矩阵时,U V也是酉矩阵;
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(6) A Pmn , B P pq ,C Pns , D Pqh ,则 ( A B)(C D)=( AC ) (BD) Pmpsh
p
aij (ri
xr
j s
ys
)
aijri sj ( xr ys ) f (r , s ) xr ys
i, j0
i, j0
返回
补充2：Sylvester方程解的存在唯一性 (1) : Sylvester方程 AX XB D Vec( AX XB) [(E A) (BT E)]Vec( X ) Vec(D)
0
0
b21
b22
b11 0 b12 0
例3
B
E2
b11 E2
b21
E2
b12 b22
E2 E2
=
0 b21 0
b11 0 b21
0 b22 0
b12
0
b22
E2 B B E2
返回
例4 设x Rm , y Rn x y= x1 yT , L , xm yT T Rmn
例8
A
1 3
2
4
Vec(
A)
3
2
4
例9 设x Rm , y Rn
x1 y1 L
xyT
M
O
xm y1 L
x1 yn
M
Rmn
xm yn
Vec( xyT ) y x
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2.性质：(1) Vec (kA lB) kVec A lVec B
(2) A Pmn ,且A T , Vec ( T )
返回
补充1：五. Kronecker乘积的多项式的特征值问题
p
定理3 : 设f ( x, y) aij xi y j是变量x, y的复系数多项式, i, j0 对于A C mm , B C nn ,定义mn阶矩阵 : p f ( A, B) aij Ai B j i, j0 若Axr r xr (r 1,L ,m);Bys s ys(s 1,L ,n),则矩阵
返回
定理3：设 A Cmn , X Cnr , B Crs , 则
Vec ( AXB) (BT A)Vec X
证：(工具) : Vec ( T )
r
令 X ( x1, x2 ,L , xr ),且Er (e1, e2 ,L , er ),即 X xieiT
r
r
i 1
Vec ( AXB) Vec [A( xieiT )B] Vec ( AxieiT B)
(7) A P mm , B P p p , 且A, B可逆，则 ( A B)1 A1 B1
(8)A Pmm , B P p p ,则 tr( A B) trA • trB
(9) rank(A B) rankA•rankB
返回
(10)A P mm , B P p p ,则 det( A B) (det A) p g(det B)m
返回
例1
设A
1 3
2 2
3
1
与B
2 2
1 3
.
则
2 1 4 2 6 3
B
A
B
=
3B
2B 2B
3B B
2 6
3 3
4 4
6 2
6 2
9
1
6
9
4
6
2
3
A B B A.
返回
b11 b12 0 0
例2
B
E2 B
=
0
0 B
b21 0
b22 0
0 b11
0
b12
推论2 : A En Em B的特征值为mn个数r s
(r 1,L ,m;s 1,L ,n),且对应的特征向量为xr ys 证明: 取f ( x, y) x y,即f ( x, y) xy0 x0 y,应用定理3
即得结论.
返回
证：设Axr r xr , Bys s ys ,则Ai xr ri xr , B j ys sj ys ,
证：Axi i xi , By j j y j ( A B)( xi y j ) Axi By j i xi j y j i j (xi y j ) (i 1, 2,L , m; j 1, 2,L , n)
返回
定义1 m阶矩阵A与n阶矩阵B的Kronecker 和：
A k B A En Em B
1
证：A
P 1
2
O
P
P 1J1 P
0
m
返回
1
B
Q1
0
2
O
Q
Q 1 J 2Q
p
A B (P 1J1P) (Q1J2Q) (P1 Q1 )[(J1P) (J2Q)]
(P Q)1(J1 J2 )(P Q)
det( A B) det(J1 J2 )
p
p
p
m
返回
三、向量化算符
a11
a12 L
设
A
a21
a22
L
L L L
am1
am2
L
a1n
a2n
L
amn
记A的列为 Ac1, Ac2 ,K , Acn A ( Ac1, Ac2 ,K , Acn )
Ac1
1.
向量化算符:Vec
A
Ac2 M
----矩阵A的拉直.
Acn
返回
1
i 1
i 1
r
r
r
Vec( AxieiT B) Vec( Axi )(BT ei )T (BT ei Axi )
i 1
i 1
i 1
r
r
r
(BT A)(ei xi ) (BT A) (ei xi ) (BT A) Vec( xieiT )
i 1
i 1
i 1
r
(BT A)Vec( xieiT ) (BT A)Vec( X )
例5 设x Rm , y Rn x yT = x1 y, L , xm yT
x1 y1 L
M
O
xm y1 L
x1 yn
M
xyT
Hale Waihona Puke Rmnxm yn
返回
2. Kronecker积的性质： 设A Pmn , B P pq ,C Prs , D Pkh ,则
(1) Em En Emn
f ( A, B)的特征值为f (r , s ),而对应的特征向量为xr ys
(r 1,L ,m;s 1,L ,n)
返回
推论1 : A B的特征值为mn个数rs(r 1,L ,m;
s 1,L ,n),且对应的特征向量为xr ys 证明: 取f ( x, y) xy,应用定理3即得结论.
i 1 返回
四.Kronecker 乘积的应用 --------矩阵方程的求解
(1) : Sylvester方程 AX XB D
Vec( AX XB) [(E A) (BT E)]Vec( X ) Vec(D)
特别B AT，即AX XAT D -----Lyapunov方程
Ak B En A B Em
返回
返回
A k B A En Em B
定理2 : 设i为A Cmm的特征值, xi (i 1, 2,L , m)为对应 的特征向量; j为B Cnn的特征值, y j ( j 1, 2,L , n)为对 应的特征向量,则i j是Ak B的特征值, xi y j为对
应的特征向量.
证： ( Ak B)( xi y j )=(A En Em B)( xi y j ) ( A En )(xi y j ) (Em B)(xi y j )
( Axi ) y j xi (By j ) (i j )xi y j (i 1,2,L , m; j 1,2,L , n)
返回
二、Kronecker积与Kronecker和的特征值
定理1 : 设i为A Cmm的特征值, xi (i 1, 2,L , m)为对应 的特征向量; j为B Cnn的特征值, y j ( j 1, 2,L , n)为对 应的特征向量,则A B有mn个特征值为i j ,对应的特
征向量为xi y j .
(2) : AXB D Vec( AXB) (BT A)Vec( X ) Vec(D)
