矩阵及其运算课件
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矩阵的运算优秀课件
(A
E )n
An
Cn1 An1
C
2 n
An2
Cnn1 A
E
3. 求矩阵A的n次幂的方法. 措施一 数学归纳法
先计算A2, A3等, 发现Ak的规律,再用数学归纳法证明之.
例1
设
A
1 0
11 , 求 An
解
A2
1 0
12 1
10
11 10
11
1 0
2 1
同理,
A3
A2
A
1 0
13
猜测
An
,
求An
1
1
n
1
n n
n
解
将A分解成A
E
1 n
B,
其中B
111
1
1
1
111,容易得出B2 nB
于是 A2
(E
1 n
B)2
E2
2 n
EB
1 n2
B2
E
2 n
B
1 n2
nB
E 1 B A(幂等矩阵),故An A.
n
措施三 利用乘法结合律 若A T , 其中 , 都是n 1矩阵(列矩阵).利用乘法结合律,
三、矩阵旳幂乘
1、定义 设A是一种n阶矩阵，对于正整数k, Ak AA A
k个
称为A旳k次幂。 2、幂乘旳运算规律：任意正整数 k , l ,有
Ak Al Akl , Ak l Akl
但一般来说 ( AB)k Ak Bk ,
例题 设A, B为n阶方阵, E为n阶单位矩阵,以下式子哪些成立 ?
由矩阵相等旳定义,得
x1 x3
x2 x4
得
矩阵的运算优秀课件
且A2X=B，求X。
解：
X
=
1 2
(B
A)
=
1 2
2 0 0
2 1 5
5 1 2
2
4
5
1 1 = 0 1/ 2
5/2 1/ 2
1 2
。
0 5 / 2 1 5 / 2
练习
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铃
三、矩阵的乘法
定义2.5 设A是一个ms矩阵，B是一个sn矩阵：
a11 a12 a1s
0 3 6 9 0 12 8 16
92 156 214 60 7 9 17 6
= 64 02 1210 914 = 2 2 2 5 。
00 312 68 916 0 9 2 7
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铃
3572
1320
例4．已知 A= 2 0 4 3 ， B = 2 1 5 7 ，
0 1 23
0 6 48
列式称为矩阵A的行列式，记为|A|，即
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2. 数乘矩阵满足的运算律
设 A, B 为同型矩阵, λ , μ为常数，则
(1) (λμ) A=λ (μ A); (2) (λ + μ)A = λ A + μ A. (3) λ(A + B) = λ A + λ B.
结合律 分配律 分配律
矩阵加法与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。
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四、方阵的幂
(１) 定义
如果 A 是 n 阶矩阵, 那么AA 有意义, 也有意义, 因此有下述定义:
《矩阵及其运算 》课件
幂法
通过迭代计算矩阵A的幂 ，最终得到特征值和特征 向量。
反迭代法
利用已知的特征向量x， 通过反迭代计算得到对应 的特征值λ。
06
应用实例
在物理中的应用
线性变换
矩阵可以表示线性变换，如平移、旋转、缩放等，在物理中广泛应 用于描述物体运动和力的作用。
振动分析
矩阵可以用于分析多自由度系统的振动，通过矩阵表示系统的运动 方程，简化计算过程。
详细描述
矩阵乘法要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，并 且结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个 矩阵的列数。在计算过程中，对应元素相乘并求和，得到新 矩阵的一个元素。
矩阵的转置
总结词
矩阵的转置是将原矩阵的行变为列，列变为行的一种运算。
详细描述
矩阵的转置可以通过交换原矩阵的行和列得到，也可以通过计算元素的代数余 子式得到。转置后的矩阵与原矩阵的行列式值相等，但元素的位置发生了变化 。
《矩阵及其运算》PPT课件
目 录
• 矩阵的定义与性质 • 矩阵的运算 • 矩阵的逆与行列式 • 矩阵的秩与线性方程组 • 特征值与特征向量 • 应用实例
01
矩阵的定义与性质
矩阵的基本概念
矩阵的定义
矩阵是一个由数字组成的矩 形阵列，通常表示为二维数 组。
矩阵的元素
矩阵中的每个元素都有行标 和列标，表示其在矩阵中的 位置。
回带法
在消元过程中，每一步都需要回带， 以确保解的正确性。
解的判定
当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩时 ，线性方程组有唯一解；否则，无解 或有无数多解。
线性方程组的解的结构
解的表示
线性方程组的解可以表示为一个向量与自由变量 的线性组合。
线性代数矩阵及其运算 ppt课件
1 2 2 .5 8 3 1 3 0 .5 89
1 2 4 .5 9 3 6 3 .5
83
22
三、 矩阵的乘法
定义1.5 (P5)
设矩阵A=(aij)ml的列数与矩阵B=(bij)ln的行数相等, 则由元素
C
2
8
4
求AB、BA和BC
解 AB 816 1362
BA
0 0
0 0
BC
0 0
0 0
AB≠BA , BA=BC
(1) AB与BA都有意义，且同型，但AB与BA不相等 (2) 两个非零矩阵相乘可能是零矩阵 (3) BA=BC,但A≠C,可见，矩阵乘法不满足消去率
那么就称矩阵A与矩阵B相等，记作A=B
16
判断下列各组矩阵是否相等
(1)
8
(3)2
5 2 0
s9in61
2 2 2.5 0.5
9 0 8
(2)
0 0
0 0
0 0
00
0 0
1 0 0
(3)
0
0
1 0
0 1
(1 )
am1x1am2x 2 amn xn bm
m个方程 ，
n个未知数
a11 a12
a
21
a 22
a m 1 a m 2
a1n
a2n
a m n
a11 a12
a21
a22
线性代数第二章矩阵及其运算2-3PPT课件
例如，设实数k=2，矩阵A=[1 2; 3 4]，则kA=[2 4; 6 8]。
CHAPTER 02
矩阵的乘法
矩阵乘法的定义
01
矩阵乘法是将两个矩阵对应位置的元素相乘，得到一个新的矩 阵。
02
矩阵乘法的结果是一个矩阵，其行数等于左矩阵的行数，列数
等于右矩阵的列数。
矩阵乘法的操作顺序是先进行行操作，再进行列操作。
CHAPTER 05
矩阵的秩
秩的定义
秩的定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
秩的Байду номын сангаас质
矩阵的秩是唯一的，且其值满足 特定的性质，如对于任何矩阵A， r(A)≤min(m,n)，其中m和n分别 为矩阵A的行数和列数。
秩的计算方法
可以通过多种方法计算矩阵的秩， 如高斯消元法、行变换法、初等 行变换法等。
线性代数第二章矩阵及 其运算2-3ppt课件
CONTENTS 目录
• 矩阵的加法与数乘 • 矩阵的乘法 • 逆矩阵与伴随矩阵 • 矩阵的行列式 • 矩阵的秩 • 矩阵的应用
CHAPTER 01
矩阵的加法与数乘
矩阵的加法
矩阵加法定义
两个矩阵A和B的和记作A+B，定义 为满足以下条件的矩阵C，即C的元 素Cij=Aij+Bij（i，j=1，2，…，n）。
03
矩阵乘法的性质
1 2
结合律
$(AB)C=A(BC)$，即矩阵乘法满足结合律。
分配律
$A(B+C)=AB+AC$，即矩阵乘法满足分配律。
3
单位元
存在一个单位矩阵，使得任意矩阵与单位矩阵相 乘都等于原矩阵。
CHAPTER 02
矩阵的乘法
矩阵乘法的定义
01
矩阵乘法是将两个矩阵对应位置的元素相乘，得到一个新的矩 阵。
02
矩阵乘法的结果是一个矩阵，其行数等于左矩阵的行数，列数
等于右矩阵的列数。
矩阵乘法的操作顺序是先进行行操作，再进行列操作。
CHAPTER 05
矩阵的秩
秩的定义
秩的定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
秩的Байду номын сангаас质
矩阵的秩是唯一的，且其值满足 特定的性质，如对于任何矩阵A， r(A)≤min(m,n)，其中m和n分别 为矩阵A的行数和列数。
秩的计算方法
可以通过多种方法计算矩阵的秩， 如高斯消元法、行变换法、初等 行变换法等。
线性代数第二章矩阵及 其运算2-3ppt课件
CONTENTS 目录
• 矩阵的加法与数乘 • 矩阵的乘法 • 逆矩阵与伴随矩阵 • 矩阵的行列式 • 矩阵的秩 • 矩阵的应用
CHAPTER 01
矩阵的加法与数乘
矩阵的加法
矩阵加法定义
两个矩阵A和B的和记作A+B，定义 为满足以下条件的矩阵C，即C的元 素Cij=Aij+Bij（i，j=1，2，…，n）。
03
矩阵乘法的性质
1 2
结合律
$(AB)C=A(BC)$，即矩阵乘法满足结合律。
分配律
$A(B+C)=AB+AC$，即矩阵乘法满足分配律。
3
单位元
存在一个单位矩阵，使得任意矩阵与单位矩阵相 乘都等于原矩阵。
《线性代数》课件-第二章 矩阵及其运算
a11
A
A
a21
am1
a12 a22
am1
a1n
a2n
amn
数乘矩阵的运算规律
a, b, c R 结 合 (ab)c a(bc) 律 分 (a b) c ac bc 配 律 c (a b) ca cb
设 A、B是同型矩阵， , m 是数 (m)A (m A)
a11
a12
a13
a14
4
c11 a1kbk1
b11
b21
b31
b41
k 1
4
c12 a11b12 a12b22 a13b32 a14b42 a1k bk 2 k 1
一般地，
4
cij ai1b1 j ai 2b2 j ai 3b3 j ai4b4 j aikbkj k 1
行列式
矩阵
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n
an1 an2
ann
(1) a a t( p1 p2 pn ) 1 p1 2 p2
p1 p2 pn
行数等于列数
共有n2个元素
a11 a12
a21
a22
am1 am1
anpn
a1n
a2n
amn
行数不等于列数 共有m×n个元素 本质上就是一个数表
第二章 矩阵及其运算
§1 矩阵
一、矩阵概念的引入 二、矩阵的定义 三、特殊的矩阵 四、矩阵与线性变换
B
一、矩阵概念的引入
例 某航空公司在 A、B、C、D 四座 A
城市之间开辟了若干航线，四座城市 之间的航班图如图所示，箭头从始发 地指向目的地.
城市间的航班图情况常用表格来表示:
2024全新矩阵及其运算ppt课件
06
矩阵在实际问题中应 用举例
图像处理中矩阵运算应用
图像表示
将图像转换为矩阵形式，每个像 素点对应矩阵中的一个元素，方
便进行数学处理。
图像变换
通过矩阵运算实现图像的旋转、缩 放、平移等变换，满足图像处理的 各种需求。
图像压缩
利用矩阵分解等技术，对图像数据 进行压缩，减少存储空间和提高传 输效率。
一个矩阵可以与一个数相 乘，相乘的结果是一个维 度相同的矩阵，其元素为 原矩阵对应位置的元素与 数的乘积。
两个矩阵可以相乘当且仅 当第一个矩阵的列数等于 第二个矩阵的行数。相乘 的结果是一个维度为 $(m,p)$的矩阵，其中$m$ 为第一个矩阵的行数，$p$ 为第二个矩阵的列数。新 矩阵的元素由第一个矩阵 的一行与第二个矩阵的一 列对应元素相乘后求和得 到。
矩阵定义及表示方法
end{pmatrix}$
这$m times n$个数称为矩阵A的元素，简称为元，数$a_{ij}$位于矩阵A的第$i$行第$j$列 ，称为矩阵A的$(i,j)$元，以数$a_{ij}$为$(i,j)$元的矩阵可记为$(a_{ij})$或$(a_{ij})_{m times n}$，$m times n$矩阵A也记作$A_{mn}$。
单元刚度矩阵
根据单元的物理特性和形状函数，构造单元刚度矩阵，反映单元 的力学特性。
整体刚度矩阵
将所有单元的刚度矩阵按照一定规则组装成整体刚度矩阵，用于 求解整个系统的力学响应。
THANK YOU
配方法
通过配方将二次型化为标 准型。
合同变换法
利用合同变换将二次型化 为标准型。
正交变换法
利用正交变换将二次型化 为标准型。
正交变换在二次型化简中应用
《矩阵运算基础》课件
矩阵加法和减法的运算规则是线性代数的基础，是解决线性方程组、矩阵分解、矩阵 求逆等问题的重要工具。
矩阵的数乘
数乘的定义与性质
定义：矩阵的数乘是指将矩阵的每 个元素乘以一个常数，得到一个新 的矩阵
性质2：矩阵的数乘满足交换律
添加标题
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添加标题
添加标题
性质1：矩阵的数乘满足结合律和 分配律
性质3：矩阵的数乘满足可逆性， 即如果矩阵A的数乘为k，那么矩阵 A的逆矩阵的数乘也为k
感谢您的观看
汇报人：
加法运算： 矩阵加法的 运算规则是 行与行、列 与列对应元 素相加
加法结果：矩 阵加法的结果 是一个新的矩 阵，其元素是 原矩阵对应元 素的和
应用：矩阵加 法在求解线性 方程组、矩阵 分解、矩阵变 换等领域有广 泛应用
矩阵减法的定义与性质
性质：矩阵减法满足交换律、 结合律和分配律
定义：矩阵减法是将两个矩阵 对应元素相减，得到一个新的 矩阵
伴随矩阵的定义与性质
定义：伴随矩阵是矩阵A的转置乘以A的行列 式
性质：伴随矩阵的行列式等于A的行列式的绝 对值
性质：伴随矩阵的秩等于A的秩
性质：伴随矩阵的迹等于A的迹的相反数
性质：伴随矩阵的逆矩阵等于A的行列式分之 一乘以A的转置
性质：伴随矩阵的伴随矩阵等于A
逆矩阵与伴随矩阵的运算规则
逆矩阵：对于n 阶方阵A，如果 存在n阶方阵B， 使得AB=BA=I， 则称B为A的逆矩 阵，记为A^(-1)
矩阵的转置
矩阵转置的定义与性质
矩阵转置的定 义：将矩阵的 行和列互换， 得到新的矩阵
性质1：转置 矩阵的行列式 等于原矩阵的
行列式
性质2：转置 矩阵的秩等于
原矩阵的秩
矩阵的数乘
数乘的定义与性质
定义：矩阵的数乘是指将矩阵的每 个元素乘以一个常数，得到一个新 的矩阵
性质2：矩阵的数乘满足交换律
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性质1：矩阵的数乘满足结合律和 分配律
性质3：矩阵的数乘满足可逆性， 即如果矩阵A的数乘为k，那么矩阵 A的逆矩阵的数乘也为k
感谢您的观看
汇报人：
加法运算： 矩阵加法的 运算规则是 行与行、列 与列对应元 素相加
加法结果：矩 阵加法的结果 是一个新的矩 阵，其元素是 原矩阵对应元 素的和
应用：矩阵加 法在求解线性 方程组、矩阵 分解、矩阵变 换等领域有广 泛应用
矩阵减法的定义与性质
性质：矩阵减法满足交换律、 结合律和分配律
定义：矩阵减法是将两个矩阵 对应元素相减，得到一个新的 矩阵
伴随矩阵的定义与性质
定义：伴随矩阵是矩阵A的转置乘以A的行列 式
性质：伴随矩阵的行列式等于A的行列式的绝 对值
性质：伴随矩阵的秩等于A的秩
性质：伴随矩阵的迹等于A的迹的相反数
性质：伴随矩阵的逆矩阵等于A的行列式分之 一乘以A的转置
性质：伴随矩阵的伴随矩阵等于A
逆矩阵与伴随矩阵的运算规则
逆矩阵：对于n 阶方阵A，如果 存在n阶方阵B， 使得AB=BA=I， 则称B为A的逆矩 阵，记为A^(-1)
矩阵的转置
矩阵转置的定义与性质
矩阵转置的定 义：将矩阵的 行和列互换， 得到新的矩阵
性质1：转置 矩阵的行列式 等于原矩阵的
行列式
性质2：转置 矩阵的秩等于
原矩阵的秩
高教社2024高等数学第五版教学课件-9.3 矩阵的定义与运算
2108 422 22 38
例2 含有个未知量个方程的线性方程组
11 1 + 12 2 + ⋯ + 1 = 1
21 1 + 22 2 + ⋯ + 2 = 2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
1 1 + 2 2 + ⋯ + =
把它的系数 ( = 1,2, ⋯ , ; = 1,2, ⋯ , )与常数项 ( = 1,2, ⋯ , )按照
⋮
2
⋯
⋯
⋱⋯Leabharlann 12⋮
称为行列矩阵，简称 × 矩阵．矩阵通常用大写字母, , , ⋯，表示．例
如，上述矩阵可以记为或× ，也可记为 = [ ]．
特别地，
当 = 1时，矩阵只有一行，即 = (11
12
⋯ 1 )，称为行矩阵；
当 = 1时，矩阵只有一列，即 = ⋮ ，称为列矩阵；
12
22
⋮
2
11
⋯ 1
21
⋯ 2
， = ⋮
⋱
⋮
1
⋯
12
22
⋮
2
⋯ 1
⋯ 2
⋱
⋮
⋯
其 中 = 1 1 + 2 2 + ⋯ + = σ=1 ( = 1, 2, ⋯ , ; = 1, 2, ⋯ , ) ，
素可以是零也可以不是零．同时，上（或下）三角矩阵一定是方阵．上三角矩
阵和下三角矩阵统称为三角矩阵．
3．对角矩阵
若一个阶方阵既是上三角矩阵，又是下三角矩阵，则称其为阶对
角矩阵( = 0, ≠ , , = 1,2, ⋯ , )，记为．对角矩阵是非零元素（如
例2 含有个未知量个方程的线性方程组
11 1 + 12 2 + ⋯ + 1 = 1
21 1 + 22 2 + ⋯ + 2 = 2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
1 1 + 2 2 + ⋯ + =
把它的系数 ( = 1,2, ⋯ , ; = 1,2, ⋯ , )与常数项 ( = 1,2, ⋯ , )按照
⋮
2
⋯
⋯
⋱⋯Leabharlann 12⋮
称为行列矩阵，简称 × 矩阵．矩阵通常用大写字母, , , ⋯，表示．例
如，上述矩阵可以记为或× ，也可记为 = [ ]．
特别地，
当 = 1时，矩阵只有一行，即 = (11
12
⋯ 1 )，称为行矩阵；
当 = 1时，矩阵只有一列，即 = ⋮ ，称为列矩阵；
12
22
⋮
2
11
⋯ 1
21
⋯ 2
， = ⋮
⋱
⋮
1
⋯
12
22
⋮
2
⋯ 1
⋯ 2
⋱
⋮
⋯
其 中 = 1 1 + 2 2 + ⋯ + = σ=1 ( = 1, 2, ⋯ , ; = 1, 2, ⋯ , ) ，
素可以是零也可以不是零．同时，上（或下）三角矩阵一定是方阵．上三角矩
阵和下三角矩阵统称为三角矩阵．
3．对角矩阵
若一个阶方阵既是上三角矩阵，又是下三角矩阵，则称其为阶对
角矩阵( = 0, ≠ , , = 1,2, ⋯ , )，记为．对角矩阵是非零元素（如
矩阵及其运算PPT课件
第9页/共2题 (课后题2题)：
设
1 A 1
1 1
1 1 2 3 1, B 1 2 4
1 1 1 0 5 1
求3AB 2A及 AT B
2 13 22
0 5 8
答案：3AB 2A 2 17 20 , AT B 0 5 6.
第22页/共24页
六、方阵的行列式
2010年期末考题(I)
二、选择（每题4分，共16分）
1、设A与B均为n阶方阵，则下列结论中成立的是( B )
A. |AB|=0,则A=0或B=0; B. |AB|=0,则|A|=0或|B|=0； C. AB=0,则A=0或B=0; D. AB≠0,则|A|≠0或|B|≠0；
T ，
则An ____1___12.
1 3
23
3
n
1
2
1
2 3
矩阵拆分相乘
3
3
1
2
第13页/共24页
2012年期末考试题
二项式法
1
4、设A
0
0 0
2012年期末考试题
0
1
,
则A
n
n nn1
_0____n .
0
0
n(n 1) n2
2
nn1
n
五.(10分)(线性代数I，36学时专业学时做 )设
转置矩阵的运算性质 (1) (AT)T = A; (2) (A+B)T = AT + BT;
(3) (A)T = AT;
(4) (AB)T = BTAT;
第2页/共24页
由n 阶方阵A 的元素所构成的行列式叫做方阵A 的行列式, 记作 | A | 或 detA .
设
1 A 1
1 1
1 1 2 3 1, B 1 2 4
1 1 1 0 5 1
求3AB 2A及 AT B
2 13 22
0 5 8
答案：3AB 2A 2 17 20 , AT B 0 5 6.
第22页/共24页
六、方阵的行列式
2010年期末考题(I)
二、选择（每题4分，共16分）
1、设A与B均为n阶方阵，则下列结论中成立的是( B )
A. |AB|=0,则A=0或B=0; B. |AB|=0,则|A|=0或|B|=0； C. AB=0,则A=0或B=0; D. AB≠0,则|A|≠0或|B|≠0；
T ，
则An ____1___12.
1 3
23
3
n
1
2
1
2 3
矩阵拆分相乘
3
3
1
2
第13页/共24页
2012年期末考试题
二项式法
1
4、设A
0
0 0
2012年期末考试题
0
1
,
则A
n
n nn1
_0____n .
0
0
n(n 1) n2
2
nn1
n
五.(10分)(线性代数I，36学时专业学时做 )设
转置矩阵的运算性质 (1) (AT)T = A; (2) (A+B)T = AT + BT;
(3) (A)T = AT;
(4) (AB)T = BTAT;
第2页/共24页
由n 阶方阵A 的元素所构成的行列式叫做方阵A 的行列式, 记作 | A | 或 detA .
第二章 矩阵及其运算 《工程数学线性代数》课件PPT
0
x
§2 矩阵的运算
例 某工厂生产四种货物，它在上半年和下半年向三家商店 发送货物的数量可用数表表示：
a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34
其中aij 表示上半年工厂向第 i 家 商店发送第 j 种货物的数量．
c11 c12 c13 c14 c21 c22 c23 c24 c31 c32 c33 c34
行数不等于列数 共有m×n个元素 本质上就是一个数表
det(aij )
(aij )mn
三、特殊的矩阵
1. 行数与列数都等于 n 的矩阵，称为 n 阶方阵．可记作 An.
2. 只有一行的矩阵 A (a1, a2 ,L , an ) 称为行矩阵(或行向量) .
a1
只有一列的矩阵
B
a2
M
称为列矩阵(或列向量)
说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.
知识点比较
a11 a12 a13 a11 b12 a13 a11 a12 b12 a13 a21 a22 a23 a21 b22 a23 a21 a22 b22 a23 a31 a32 a33 a31 b32 a33 a31 a32 b32 a33
( )A A A (A B) A B
备 注
矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算.
知识点比较
a11 a12 a13 a11 a12 a13 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a21 a22 a23 a21 a22 a23
a31 a32 a33 a31 a32 a33 a31 a32 a33
a12 a22
a13 a23
a14 a24
《矩阵及其运算》PPT课件
其中e1为初始值，e2为步长，e3为终止值。 在MATLAB中，还可以用linspace函数产生行向量。其调 用格式为：
linspace(a,b,n) 其中a和b是生成向量的第一个和最后一个元素，n是元 素总数。
显然，linspace(a,b,n)与a:(b-a)/(n-1):b等价。
4．建立大矩阵 大矩阵可由方括号中的小矩阵或向量建立起来。(自学)
《矩阵及其运算》PPT课件
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第2章 MATLAB矩阵及其运算
2.1 变量和数据操作 2.2 MATLAB矩阵 2.3 MATLAB运算 2.4 矩阵分析 2.5 矩阵的超越函数 2.6 字符串 2.7 结构数据和单元数据 2.8 稀疏矩阵
前面已讲。
2.2 MATLAB矩阵
1．直接输入法
直接输入需遵循以下基本规则： •整个矩阵应以“ [ ]”为首尾，即整个输入矩阵必须包含在 方括号中； •矩 阵 中 ， 行 与 行 之 间 必 须 用 分 号 “ ； ” 或 Enter 键 ( 按 Enter键)分隔； •每行中的元素用逗号“ ，”或空格分隔； •矩阵中的元素可以是数字或表达式，但表达式中不可包含 未知的变量，MATLAB用表达式的值为该位置的矩阵元素赋 值。 •当 矩 阵 中 没 有 任 何 元 素 时 ， 该 矩 阵 被 称 作 “ 空 阵 ” （Empty Matrix）。
例：x=5*(6-1/0.5); 5*(6-1/0.5)+3;
MATLAB的基本算术运算符有：＋(加)、－(减)、*(乘)、 /(右除)、\(左除)、^(乘方)，等等。 注: 运算是在矩阵意义下进行的，单个数据的算术运算只 是一种特例。
linspace(a,b,n) 其中a和b是生成向量的第一个和最后一个元素，n是元 素总数。
显然，linspace(a,b,n)与a:(b-a)/(n-1):b等价。
4．建立大矩阵 大矩阵可由方括号中的小矩阵或向量建立起来。(自学)
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第2章 MATLAB矩阵及其运算
2.1 变量和数据操作 2.2 MATLAB矩阵 2.3 MATLAB运算 2.4 矩阵分析 2.5 矩阵的超越函数 2.6 字符串 2.7 结构数据和单元数据 2.8 稀疏矩阵
前面已讲。
2.2 MATLAB矩阵
1．直接输入法
直接输入需遵循以下基本规则： •整个矩阵应以“ [ ]”为首尾，即整个输入矩阵必须包含在 方括号中； •矩 阵 中 ， 行 与 行 之 间 必 须 用 分 号 “ ； ” 或 Enter 键 ( 按 Enter键)分隔； •每行中的元素用逗号“ ，”或空格分隔； •矩阵中的元素可以是数字或表达式，但表达式中不可包含 未知的变量，MATLAB用表达式的值为该位置的矩阵元素赋 值。 •当 矩 阵 中 没 有 任 何 元 素 时 ， 该 矩 阵 被 称 作 “ 空 阵 ” （Empty Matrix）。
例：x=5*(6-1/0.5); 5*(6-1/0.5)+3;
MATLAB的基本算术运算符有：＋(加)、－(减)、*(乘)、 /(右除)、\(左除)、^(乘方)，等等。 注: 运算是在矩阵意义下进行的，单个数据的算术运算只 是一种特例。
矩阵及其运算 ppt课件
而b1i，b2i，…，bsi 正好是 BT的第 i 行，
aj1,aj2,…,ajs 正好是 AT的第 j 列，因此 cji 是 BTAT 的第 i 行第 j 列的元素。故
( AB )T = AT BT
6.方阵的行列式 由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式(各元
素的位置不变)，称为方阵 A 的行列式，记为 | A| 或 det A。 注意：行列式与方阵是两个不同的概念，且它 们的记号也是不同的。
∴ (AＢ)－1=Ｂ－1 A－1
第三节 矩阵的分块
本节来介绍一个在处理高阶矩阵时常用的
方法，即矩阵的分块。将矩阵A用若干条横线 与若干条纵线分成许多个小矩阵，每一个小矩
阵称为矩阵A的子块。以子块为元素的形式上 的矩阵称为分块矩阵。特别在运算中，把这些
小矩阵当做一个数来处理。
a11 a12 a13 a14
A11 A21 ... An1
A*
A12 ...
A22 ...
... ...
An 2 ...
A1n A2n ... Ann
称矩阵A的伴随矩阵，记为A＊ 伴 随 矩 阵 有 如 下 重 要 性 质 ：
AA*A*A(detA)E
例 1设 A123T， B11 21 3， CAB ，
求 Cn
如果n 阶方阵如果满足主对角线上的元素全 为1，其余元素全为零，这样的 n 阶矩阵称为 n 阶单位矩阵。记作En 或 E。
如果n 阶方阵主对角线上的元素全为k，其 余元素全为零，这样的 n 阶矩阵称为 n 阶数量 矩阵。
二、矩阵的运算
1.矩阵的加法: 设有两个同型的 m×n 阶矩阵
A= (aij) 、B= (bij)，则矩阵 A 与 B 的和记为 A+B，并规定
aj1,aj2,…,ajs 正好是 AT的第 j 列，因此 cji 是 BTAT 的第 i 行第 j 列的元素。故
( AB )T = AT BT
6.方阵的行列式 由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式(各元
素的位置不变)，称为方阵 A 的行列式，记为 | A| 或 det A。 注意：行列式与方阵是两个不同的概念，且它 们的记号也是不同的。
∴ (AＢ)－1=Ｂ－1 A－1
第三节 矩阵的分块
本节来介绍一个在处理高阶矩阵时常用的
方法，即矩阵的分块。将矩阵A用若干条横线 与若干条纵线分成许多个小矩阵，每一个小矩
阵称为矩阵A的子块。以子块为元素的形式上 的矩阵称为分块矩阵。特别在运算中，把这些
小矩阵当做一个数来处理。
a11 a12 a13 a14
A11 A21 ... An1
A*
A12 ...
A22 ...
... ...
An 2 ...
A1n A2n ... Ann
称矩阵A的伴随矩阵，记为A＊ 伴 随 矩 阵 有 如 下 重 要 性 质 ：
AA*A*A(detA)E
例 1设 A123T， B11 21 3， CAB ，
求 Cn
如果n 阶方阵如果满足主对角线上的元素全 为1，其余元素全为零，这样的 n 阶矩阵称为 n 阶单位矩阵。记作En 或 E。
如果n 阶方阵主对角线上的元素全为k，其 余元素全为零，这样的 n 阶矩阵称为 n 阶数量 矩阵。
二、矩阵的运算
1.矩阵的加法: 设有两个同型的 m×n 阶矩阵
A= (aij) 、B= (bij)，则矩阵 A 与 B 的和记为 A+B，并规定
矩阵(Matrix)PPT课件
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n x1 b1
a2n
,
x
x2
,
b
b2
amn xn bn
ai1x1 ai2 x2 ain xn bi
则方程组又可表示为 Ax b.
x1ai1 x2ai2 xnain bi
a11 a21
定义成
a11 a21
x1 x1
a12 x2 a22 x2
x1
a11
a21
x2
a12
a22
x1 1 x2 2
e2
(a12 , a22 )
2
1
y ( y1, y2 )
2
A和x的乘法实质给出了 向量y在A坐标系(β1Oβ2) 下的刻划方法。
e1
(a11,1a21 )
y y1e1 y2e2
ai1b1 j ai 2b2 j a b b 1j is sj
a a a i1 i2
b2 j is
注：A的列数和B的行数相等时 b，sj AB才有意义。
• 例3 设矩阵
1 0 1
A
1
1
3
,
求乘积 AB．
解
1 0
C
AB
1
1
0 3 4 B 1 2 1
3 1 1
B
a12
a22
a1n a2n
am1
am2
y (x1, x2, , xn )
c (b1,b2, ,bm)
amn nm
则方程组又可表示为 yB c.
矩阵向量乘法意义之二：为刻划向量提供了坐标系
根据矩阵乘法定义，m n 阶矩阵A与n维列向
线性代数03矩阵及其运算PPT课件
3）
1 1
00 11
10
1 1
0 0
1 2
00 11
0 1
1 1
0 0
➢若 AB BA, 则称矩阵 A乘积、可交B换.
26
第26页/共59页
例题
例5
求矩阵
A
1 2
0 1
3 0
21 与
4
B
1 2 1
1 1 0 3
0
3
1 4
的乘积 AB.
A B 4 3 解 析： 是 矩阵， 是 矩阵， 的列数等
7
第7页/共59页
n 例4 个变量
x与1 , m 个x变2 ,量之间, 的xn关系式
y1 , y2 ,, ym
称为从变量
y1 a11 x1 a12 x2 a1n xn ,
y2 a21 x1 a22 x2 a2n xn ,
(1)
ym am1 x1 am2 x2 amn xn ,
13
第13页/共59页
❖西尔维斯特（Sylvester, 1814-1897），他是犹太 人，故他在取得剑桥大学数学荣誉会考第二名的优 异成绩时，仍被禁止在剑桥大学任教。从1841年起 他接受过一些较低的教授职位，也担任过书记官和 律师。经过一些年的努力，他终于成为霍布金斯大 学的教授，并于1884年70岁时重返英格兰成为牛津 大学的教授。他开创了美国纯数学研究，并创办了 《美国数学杂志》。在长达50多年的时间内，他是 行列式和矩阵论始终不渝的作者之一。
元(的i,矩j阵) 可简记作
或
.
(aij ) (aij )mn
m n 矩阵 A也记作
Amn .
注意
（1）矩阵的记号是在数表外加上括弧，与行列式的记号（在数表外加上双竖线） 是不同的，这是两个不同的概念，注意区别.
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☞矩阵的乘法中，必须注意矩阵相乘的顺序，
AB是A左乘B的乘积，BA是A右乘B的乘积；
☞AB与BA不一定同时会有意义；即是有意义，
也不一定相等；
☞AB = O 不一定有A= O或B= O ；
A(XY ) = O 且 A≠ O 也不可能一定有X=Y
如：A 11
11
B
1 1
11
AB O
BA
2 2
2 2
如果n 阶方阵如果满足主对角线上的元素全 为1，其余元素全为零，这样的 n 阶矩阵称为 n 阶单位矩阵。记作En 或 E。
如果n 阶方阵主对角线上的元素全为k，其 余元素全为零，这样的 n 阶矩阵称为 n 阶数量 矩阵。
二、矩阵的运算
1.矩阵的加法: 设有两个同型的 m×n 阶矩阵
A= (aij) 、B= (bij)，则矩阵 A 与 B 的和记为 A+B，并规定
A
a21
...
a22
...
... ...
a2n
...
am1 am2 ... amn
由此可见，矩阵的数乘仍然是一个与原矩阵
同型的矩阵，并且，是用数λ与矩阵的每一个 元素相乘。
矩阵数乘的运算律：
☞ (1) ()A (A)
(2) ( )A A A (3) (A B) A B
矩阵的加法与数乘合起来通称为矩阵的线性
第一节 矩阵的概念
一、概念：
1.定义 由m×n个数aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)排 成的m行n列的数表a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n ... ... ... ... am1 am2 ... amn
称m行n列矩阵，简称m×n矩阵。记作
a11 a12 ... a1n
A
a21 ...
a22 ...
... ...
a2n ...
am1 am2 ... amn
这 m×n 个数称为矩阵 A 的元素，简称为元， 数 aij 位于矩阵 A 的第 i 行第 j 列，称为矩阵 A的 ( i,j )元。以数 aij 为(i,j)元的矩阵可简记作 (aij) 或 (aij)m×n，m×n
,,mp)
k 1
就是说，矩阵C 的第 i 行第 j 列的元素等于
矩阵 A 的第 i 行的所有元素与矩阵 B 的第 j 列的
对应元素的乘积之和。
☞ ... ... ... ... b1 j ...
ai1 ...
... ...
ain ...
... ...
... bnj
如果两个同型矩阵的对应元素相等，那么就称 这两个矩阵相等。记作：A=B 4.零矩阵: 元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作 O。不同型的零矩阵是不相等的。
5. 对角矩阵、单位矩阵与数量矩阵 如果 n 阶方阵除主对角线上的元素不全为零
外，其余元素全为零，这样的 n 阶方阵称为对 角矩阵。记作 A=diag(λ1,λ2,…,λn)
运算。
3.矩阵的乘法：设矩阵 A为m×n 阶矩阵、矩阵 B为 n×p 阶矩阵，A= (aij) m×n 、B= (bij) n×p ， 则矩阵 A与 B 的乘积为一 m×p 阶矩阵
C = (cij) m×p，记 C = AB， 且
cij ai1b1 j ai2b2 j ainbnj
n
aikbkj
... ...
cij
(1)( AB)C A(BC )
(2)( AB) ( A)B A(B)
(3) A(B C) AB AC (B C ) A BA CA
☞(4) Em Amn Amn
Amn En Amn
矩阵 A 与矩阵 B 做乘法必须是左矩阵的列
数与右矩阵的行数相等；
元素是实数的矩阵，称为实矩阵；元素是复
数的矩阵称为复矩阵。
行数与列数都等于 n 的矩阵称之为 n 阶方阵， 记作 An。
2.行矩阵、列矩阵与方阵 只有一行的矩阵称行矩阵，又称行向量。 只有一列的矩阵称为列矩阵，又称为列向量。 行数与列数都等于n的矩阵叫方阵，记为An。
3.同型矩阵与矩阵相等: 如果两个矩阵的行数相 等、列数也相等，就称它们是同型矩阵。
a11b11 a12b12 ... a1nb1n
A
B
a21b21 ...
a22b22 ...
... ...
a2nb2n ...
am1bm1 am2bm2 ... amnbmn
注：矩阵的加法只能在两个 同型矩阵之间进行；
两个矩阵相加时，对应 元素进行相加。
矩阵加法的运算律：
☞(1) A+ B = B+ A
(2) ( A+B )+ C = A+ ( B+ C ) 设矩阵 A= (aij) ，记A= ( aij)，称 A为矩阵 A的负矩阵。
由矩阵加法的定义，显然有 A+ ( A) = O，
由此，矩阵的减法可定义为
Ａ B =Ａ+ ( B)
2.矩阵的数乘： 数λ与矩阵Ａ的乘积记为λA或
Aλ，并规定：
a11 a12 ... a1n
5.矩阵的转置：把矩阵 A 的行换成同序数的列 得到的一个新矩阵，叫做 A的转置矩阵，记作 AT。
如果 A是一个 m×n 阶矩阵，那么 AT 就是 一个 n×m 阶矩阵。且 A 的行一定就是 AT中同 序数的列
☞ (1) ( AT )T A
(2) ( A B)T AT BT
(3) ( A)T AT (4) ( AB)T BT AT
证明：设矩阵 A为m×s 阶矩阵，矩阵 B为s×n 阶矩阵，那么： ( AB)T与 BTAT 是同型矩阵； 又设 C = A B，因为 CT的第 i 行第 j 列的元素正 好是 C 的 cji ，即 cji=aj1b1i+aj2b2i+…+ajsbsi =b1iaj1+b2iaj2+…+bsiajs
显然有：AB 0 AB BA
总结:矩阵乘法不满足交换律与消去律.
4.矩阵的乘幂：设 A 是 n 阶方阵，定义：
An AA A (n为正数)
n
只有方阵，它的乘幂才有意义。由于矩阵的 乘法满足结合律，而不满足交换律，因而有 下面的式子：
(1) An Am = An+m (2) ( An )m= An m (3) ( AB ) k ≠ Ak Bk
第二章 矩阵及其运算
矩阵是线性代数的一个主要研究对象， 也是数学上的一个重要工具。矩阵的应用已经 渗透到了包括自然科学、人文科学、社会科学 在内的各个领域。在矩阵理论中，矩阵的运算 起着重要的作用，本章主要讨论有关矩阵运算 的一些基本规则与技巧。
§2.1 矩阵的概念及运算 §2.2 逆矩阵 §2.3 矩阵的分块
AB是A左乘B的乘积，BA是A右乘B的乘积；
☞AB与BA不一定同时会有意义；即是有意义，
也不一定相等；
☞AB = O 不一定有A= O或B= O ；
A(XY ) = O 且 A≠ O 也不可能一定有X=Y
如：A 11
11
B
1 1
11
AB O
BA
2 2
2 2
如果n 阶方阵如果满足主对角线上的元素全 为1，其余元素全为零，这样的 n 阶矩阵称为 n 阶单位矩阵。记作En 或 E。
如果n 阶方阵主对角线上的元素全为k，其 余元素全为零，这样的 n 阶矩阵称为 n 阶数量 矩阵。
二、矩阵的运算
1.矩阵的加法: 设有两个同型的 m×n 阶矩阵
A= (aij) 、B= (bij)，则矩阵 A 与 B 的和记为 A+B，并规定
A
a21
...
a22
...
... ...
a2n
...
am1 am2 ... amn
由此可见，矩阵的数乘仍然是一个与原矩阵
同型的矩阵，并且，是用数λ与矩阵的每一个 元素相乘。
矩阵数乘的运算律：
☞ (1) ()A (A)
(2) ( )A A A (3) (A B) A B
矩阵的加法与数乘合起来通称为矩阵的线性
第一节 矩阵的概念
一、概念：
1.定义 由m×n个数aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)排 成的m行n列的数表a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n ... ... ... ... am1 am2 ... amn
称m行n列矩阵，简称m×n矩阵。记作
a11 a12 ... a1n
A
a21 ...
a22 ...
... ...
a2n ...
am1 am2 ... amn
这 m×n 个数称为矩阵 A 的元素，简称为元， 数 aij 位于矩阵 A 的第 i 行第 j 列，称为矩阵 A的 ( i,j )元。以数 aij 为(i,j)元的矩阵可简记作 (aij) 或 (aij)m×n，m×n
,,mp)
k 1
就是说，矩阵C 的第 i 行第 j 列的元素等于
矩阵 A 的第 i 行的所有元素与矩阵 B 的第 j 列的
对应元素的乘积之和。
☞ ... ... ... ... b1 j ...
ai1 ...
... ...
ain ...
... ...
... bnj
如果两个同型矩阵的对应元素相等，那么就称 这两个矩阵相等。记作：A=B 4.零矩阵: 元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作 O。不同型的零矩阵是不相等的。
5. 对角矩阵、单位矩阵与数量矩阵 如果 n 阶方阵除主对角线上的元素不全为零
外，其余元素全为零，这样的 n 阶方阵称为对 角矩阵。记作 A=diag(λ1,λ2,…,λn)
运算。
3.矩阵的乘法：设矩阵 A为m×n 阶矩阵、矩阵 B为 n×p 阶矩阵，A= (aij) m×n 、B= (bij) n×p ， 则矩阵 A与 B 的乘积为一 m×p 阶矩阵
C = (cij) m×p，记 C = AB， 且
cij ai1b1 j ai2b2 j ainbnj
n
aikbkj
... ...
cij
(1)( AB)C A(BC )
(2)( AB) ( A)B A(B)
(3) A(B C) AB AC (B C ) A BA CA
☞(4) Em Amn Amn
Amn En Amn
矩阵 A 与矩阵 B 做乘法必须是左矩阵的列
数与右矩阵的行数相等；
元素是实数的矩阵，称为实矩阵；元素是复
数的矩阵称为复矩阵。
行数与列数都等于 n 的矩阵称之为 n 阶方阵， 记作 An。
2.行矩阵、列矩阵与方阵 只有一行的矩阵称行矩阵，又称行向量。 只有一列的矩阵称为列矩阵，又称为列向量。 行数与列数都等于n的矩阵叫方阵，记为An。
3.同型矩阵与矩阵相等: 如果两个矩阵的行数相 等、列数也相等，就称它们是同型矩阵。
a11b11 a12b12 ... a1nb1n
A
B
a21b21 ...
a22b22 ...
... ...
a2nb2n ...
am1bm1 am2bm2 ... amnbmn
注：矩阵的加法只能在两个 同型矩阵之间进行；
两个矩阵相加时，对应 元素进行相加。
矩阵加法的运算律：
☞(1) A+ B = B+ A
(2) ( A+B )+ C = A+ ( B+ C ) 设矩阵 A= (aij) ，记A= ( aij)，称 A为矩阵 A的负矩阵。
由矩阵加法的定义，显然有 A+ ( A) = O，
由此，矩阵的减法可定义为
Ａ B =Ａ+ ( B)
2.矩阵的数乘： 数λ与矩阵Ａ的乘积记为λA或
Aλ，并规定：
a11 a12 ... a1n
5.矩阵的转置：把矩阵 A 的行换成同序数的列 得到的一个新矩阵，叫做 A的转置矩阵，记作 AT。
如果 A是一个 m×n 阶矩阵，那么 AT 就是 一个 n×m 阶矩阵。且 A 的行一定就是 AT中同 序数的列
☞ (1) ( AT )T A
(2) ( A B)T AT BT
(3) ( A)T AT (4) ( AB)T BT AT
证明：设矩阵 A为m×s 阶矩阵，矩阵 B为s×n 阶矩阵，那么： ( AB)T与 BTAT 是同型矩阵； 又设 C = A B，因为 CT的第 i 行第 j 列的元素正 好是 C 的 cji ，即 cji=aj1b1i+aj2b2i+…+ajsbsi =b1iaj1+b2iaj2+…+bsiajs
显然有：AB 0 AB BA
总结:矩阵乘法不满足交换律与消去律.
4.矩阵的乘幂：设 A 是 n 阶方阵，定义：
An AA A (n为正数)
n
只有方阵，它的乘幂才有意义。由于矩阵的 乘法满足结合律，而不满足交换律，因而有 下面的式子：
(1) An Am = An+m (2) ( An )m= An m (3) ( AB ) k ≠ Ak Bk
第二章 矩阵及其运算
矩阵是线性代数的一个主要研究对象， 也是数学上的一个重要工具。矩阵的应用已经 渗透到了包括自然科学、人文科学、社会科学 在内的各个领域。在矩阵理论中，矩阵的运算 起着重要的作用，本章主要讨论有关矩阵运算 的一些基本规则与技巧。
§2.1 矩阵的概念及运算 §2.2 逆矩阵 §2.3 矩阵的分块