第二章 被控对象的数学模型

或表示为 式中
Ty' (t ) y(t ) Kx(t ) a1 1 T K a0 a0
第二节
对象数学模型的建立
一、建模目的 1 控制系统的方案设计
2
3 4
控制系统的调试和控制器参数的确定
制定工业过程操作优化方案 新型控制方案及控制算法的确定
5
6
建立计算机仿真与过程培训系统
设计工业过程的故障检测与诊断系统
在允许的范围内，多数化工对象可忽略输入项的导数 项，因此可表示为：
an y ( n) (t ) an1 y ( n1) (t ) a1 y' (t ) a0 y(t ) x(t )
一个对象如果可以用一个一阶微分方程式描述其特 性（通常称一阶对象）则可表示为：
a1 y' (t ) a0 y(t ) x(t )
在出水阀开度不变的情况下，随着ｈ的变化，Ｑ２也会变 化。ｈ越大，静压力越大，Ｑ２也会越大
如果Ｑ２变化量很微小，可近似认为Ｑ２与h成正比，与出水阀的阻 力系数RS成反比, 用式子表示为
h Q2 RS
将（2）式代入（1） 式，得
整理后得 令
( 2) (3) ( 4) (5) ( 6) (7 )
h (Q1 )dt Adh RS dh ARS h RS Q1 dt 时间常数 T ARS K RS
L 0 v
从测量方面看，由于测量点选择不当、测量元件安装不合适等 原因也会造成传递滞后。下图为一个蒸汽直接加热器。输入量 蒸汽量；输出量 出口管道的溶液温度，测温点离槽的距离为 Ｌ
例子
相对于蒸汽流量变化的时刻，实际测得的溶液温度Ｔ要经过 时间τｏ后才开始变化
下图为有、无纯滞后的一阶阶跃响应曲线。X为输入量，y(t) 为无纯滞后时的输出量， yτ (t)为有纯滞后时的输出量
图为串联水槽对象，假定对象 的输入量是Q1，输出量是h2， 研究当输入量Q1变化时第二只 水槽的液位h2的变化情况。同 样假定输入、输出量变化很小 的情况下，储槽液位与输出流 量具有线性关系。
d h2 dh2 T1T2 2 T1 T2 h2 KQ1 dt dt T1 AR1 第一只储槽的时间常数 T2 AR2 K R2
为研究问题方便，在实际工作中常用三个物理量 来进一步表示对象特性，称为对象的特性参数。
本节所研究的问题是：当对象的输入量变化后， 输出量如何跟着变化，显然这种变化与输入量的 形式有关，假定输入量是具有一定幅值的阶跃函 数。
一、放大系数K
静态特性参数
对一阶水槽对象，当流入 量Ｑ１有一定的阶跃变化后， 液位h也会随之而变化，但最 后会稳定在某一数值上。Ｑ１ 的变化是对象的输入，液位h 的变化是对象的输出，在稳 定状态时，对象一定的输入 就对应着一定的输出这种特 性称为对象的静态特性。
令Ｋ等于△h 与△Q1之比， 则：
h k Q1
或
h kQ1
结论
1、Ｋ在数值上等于对象重新稳定后的输出变化量与输入 变化量之比。
2、Ｋ与液位变化过程无关，只与过程的起点和终点有关， 代表对象的静态特性，称为静态放大系数。 3、对象的放大系数越大，当输入量有一定变化时，对输 出量的影响越大。
非参量模型 数学模型采用曲线或数据表格描述。 特点是直观、清晰，容易看出其定性的特征。但 是由于缺乏数学方程的解析性质，要利用它们进 行系统的分析和设计则比较困难。 参量模型 数学模型采用数学方程式描述
非参量模型可用对象在一定形式的输入作用下的输 出曲线或数据来表示。根据输入形式的不同分为 阶跃反应 矩形脉冲反应 矩形脉冲波反应曲线等。 参量模型可用描述对象输入、输出关系的微分方程 式、偏微分方程式等形式表示。对一般的线性集中 参数对象，可用常系数线性微分方程式描述。
干扰通道
对象
控制通道
对象的输入量：控制作用、干扰作用 对象的输出量：被控变量
通 道： 输入量至输出量的信号联系
控制通道—— 控制作用至被控变量的通道 干扰通道—— 干扰作用至被控变量的通道
对象的数学模型 即用数学的方法描述出对象 的输入量与输出量之间的函数关系。
数学模型分为二种类型 静态数学模型 对象在静态时的输入量与输出 量之间的关系。
容量滞后一般是由于物料或能 量传递需要通过一定的阻力而 引起的，如两个水槽串联的二 阶对象。 通过反应曲线的拐点0作一切 线，与时间轴相交，交点与被 控变量开始变化的起点之间的 时间间隔τ h为容量滞后时间。 由切线与时间轴的交点到切线 与稳定值ＫＡ线的交点之间的 时间间隔为Ｔ。这样，二阶对 象就被近似为有滞后时间τ ＝ τ h，时间常数为Ｔ的一阶对 象了
时间常数的求法
三、滞后时间τ
有的对象在受到输入作用后，被控变量不能立即随之变化， 这种现象称为滞后现象。根据滞后性质的不同，可分为传 递滞后和容量滞后。 １、传递滞后（纯滞后）τ τ
０ ０的产生是由于介质的输送需要一段时间而引起的。
纯滞后时间τ 0与皮带输送机的传送速度ｖ和传送距离Ｌ有如下关系
第二只储槽的时间常数 整个对象的放大系数
2
三、实验建模
应用数学描述方法求取对象特性，此法虽然具有较大的 普遍性，但在实际生产中，许多对象特性很复杂，很难 通过内在机理分析，直接得到数学方程式，且这些方程 式也较难求解。
实验建模就是在所要研究的对象上，加上一个人为的输 入作用（输入量），然后用仪表测取并记录对象的输出 量随时间变化的规律，得到一系列实验数据（或曲线）。 这些数据或曲线可用来表示对象的特性。
下图中，四条曲线分别表示对象的时间常数为T1 、T2 、 T3、T4时，在相同的阶跃输入作用下被控变量的反应曲线。
小结
希望To适中 希望Tf大
（1）控制通道时间常数To对控制系统的影响 在相同的控制作用下，对象的时间常数To越大，被控变量 的变化越缓慢。 To越小，被控变量的变化越快,控制作用 及时。但To过小，响应过快，易引起震荡，使系统稳定性 下降。 （2）扰动通道时间常数Tf对控制系统的影响 对象的时间常数Tf 越大，被控变量对干扰的响应越迟缓， 越容易克服干扰而获得较高的控制质量。
特点：简单易行、精度较 高、对生产影响小。是测 取对象动态特性的常用方 法之一。
３、周期扰动法
有矩形脉冲波和正弦信号等方法。
特点：由于扰动围绕在设定值上下波动，对生产影响小， 测试精度较高、可直接得到过程的频率特性，数据简单、 直观，但是此法需复杂的正弦波信号发生器，测试工作量 较大。
第三节
描述对象特性的参数
放大系数
dh T h KQ1 dt
此式为一阶常系数微分方程式
2、积分对象
对象的输出量与输入量对时间的积分成比例关系。
储槽中的液体由正位移泵抽出，因此流出 液体流量Q2是常数。液位的变化就只与流 入量的变化有关
h
A
1 dh Q1dt A 1 h Q1dt A
3、二阶对象
当对象的动态特性可以用二阶微分方程式来描述时，称为 二阶对象。
被控变量：液位h
A
输入量：Ｑ１、Ｑ２ 输出量：h
假定阀门2开度不变，将阀门1的变化看成是引起液位变化的 干扰因素，则这一对象特性指当阀1的开度变化时，液位h是 如何变化的。 设：水槽截面积为A
当Q1 Q 2时，h不变 如果在很短的时间 内Q1 Q 2 , dt 将引起液位变化量 dh (Q1 Q 2 )dt Adh (1)
二、机理建模
根据对象或生产过程的内部机理，列写出各种有关的平衡 方程式，如物料平衡、能量平衡、动量平衡方程等，从而 得到对象的数学模型，这类模型通常称为机理模型。
1、一阶对象
其特性可用一阶微分方程式表示。
例 子
水经过阀门１不断流入水槽，水 槽内的水又通过阀门２不断流出。 工艺要求水槽内的液位保持恒定。 被控对象：水槽
例子
图示为合成氨厂的变换炉，反映一氧化碳变化过程。作用是将一氧化碳和水 蒸气在触媒存在的条件下发生作用，生成氢气和二氧化碳，同时放出热量。
半水煤气 （一氧化碳）
T
( 变换炉一段反应温度 )
Kf Ko
控制通道放大系数用K0表示，干扰通道放大系数用Kf表示。
K0 越大 控制作用对被控变量的影响越大 控制能力强 Kf 越大 干扰作用对被控变量的影响越大。
第二章 过程特性及其数学模型
本章的主要内容： １.化工过程的特点及其描述方法 ２.对象数学模型的建立 ３.描述对象特性的参数
第一节 化工过程的特性及其描述方法
对象：在化工生产中常见的有各类换热器、精馏塔、 流体输送设备和化学反应器等；辅助系统中有气源、 热源、动力设备（空压机、电动机）等。 对象特性：对象的输入量与输出量之间的关系。
式中y ( n ) (t ), y ( n－１) t） , y(t )分别表示y (t )的 n 阶， 1) 阶， ，一阶导数； （ , (n x ( m ) (t ), x ( m－１) t） , x(t )分别表示x(t )的 m 阶，m 1) 阶， ，一阶导数； （ , ( an , an 1,, a1, a0 及bm , bm 1,,b1,b0分别为方程中的各项系 数
对象特性的实验测取方法有多种，主要以所加输入形式 的不同来区分。
１、阶跃反应曲线法
用实验的方法测取对象在阶跃输入作用下，输出量 y 随时间的变化规律。
特点：简单易行， 但精度较低。一 般所加输入作用 的大小取额定值 的 （5％ — 10％）
２、矩形脉冲法
当对象处于稳定工况下，在时间 t０突然加入一个阶跃干 扰，幅值为A，到 t1时即除去扰动，这时测得的输出量随 时间变化的曲线。
比较两条曲线，除了在时间轴 上相差一个τ的时间外，其形 状完全相同，数学关系式为
y(t )

y (t ) y (t ) 0
t0 t 0