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第2章控制系统的数学模型§1 系统数学模型的基本概念一. 系统模型系统的模型包括实物模型、物理模型、和数学模型等等。
物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分析研究(信息方法)。
从动态性能看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似。
相似系统是控制理论中进行实验模拟的基础。
二. 系统数学模型1. 系统数学模型系统的数学模型是系统动态特性的数学描述。
数学模型是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。
2. 系统数学模型的分类数学模型又包括静态模型和动态模型。
(1) 静态数学模型静态条件(变量各阶导数为零)下描述变量之间关系的代数方程。
反映系统处于稳态时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型。
(2) 动态数学模型描述变量各阶导数之间关系的微分方程。
描述动态系统瞬态与过渡态特性的模型。
也可定义为描述实际系统各物理量随时间演化的数学表达式。
动态系统的输出信号不仅取决于同时刻的激励信号，而且与它过去的工作状态有关。
微分方程或差分方程常用作动态数学模型。
动态模型在一定的条件下可以转换成静态模型。
在控制理论或控制工程中，一般关心的是系统的动态特性，因此，往往需要采用动态数学模型。
即，一般所指的系统的数学模型是描述系统动态特性的数学表达式。
三. 系统数学模型的形式对于给定的同一动态系统，数学模型的表达不唯一。
如微分方程、传递函数、状态方程、单位脉冲响应函数及频率特性等等。
对于线性系统，它们之间是等价的。
但系统是否线性这一特性，不会随模型形式的不同而改变。
线性与非线性是系统的固有特性，完全由系统的结构与参数确定。
经典控制理论采用的数学模型主要以传递函数为基础。
而现代控制理论采用的数学模型主要以状态空间方程状态空间方程为基础。
而以物理定律及实验规律为依据的微分方程微分方程又是最基本的数学模型，是列写传递函数和状态空间方程的基础。
第2章连续控制系统的数学模型2.1 控制系统数学模型的概念控制理论分析、设计控制系统的第一步是建立实际系统的数学模型。
所谓数学模型就是根据系统运动过程的物理、化学等规律，所写出的描述系统运动规律、特性、输出与输入关系的数学表达式。
建立描述控制系统的数学模型，是控制理论分析与设计的基础。
一个系统，无论它是机械的、电气的、热力的、液压的、还是化工的，都可以用微分方程加以描述。
对这些微分方程求解，就可以获得系统在输入作用下的响应（即系统的输出）。
对数学模型的要求是，既要能准确地反映系统的动态本质，又便于系统的分析和计算工作。
2.1.1 数学模型的类型数学模型是对系统运动规律的定量描述，表现为各种形式的数学表达式，从而具有不同的类型。
下面介绍几种主要类型。
1. 静态模型与动态模型根据数学模型的功能不同，数学模型具有不同的类型。
描述系统静态（工作状态不变或慢变过程）特性的模型，称为静态数学模型。
静态数学模型一般是以代数方程表示的，数学表达式中的变量不依赖于时间，是输入输出之间的稳态关系。
描述系统动态或瞬态特性的模型，称为动态数学模型。
动态数学模型中的变量依赖于时间，一般是微分方程等形式。
静态数学模型可以看成是动态数学模型的特殊情况。
2. 输入输出描述模型与内部描述模型描述系统输出与输入之间关系的数学模型称为输入输出描述模型，如微分方程、传递函数、频率特性等数学模型。
而状态空间模型描述了系统内部状态和系统输入、输出之间的关系，所以称为内部描述模型。
内部描述模型不仅描述了系统输入输出之间的关系，而且描述了系统内部信息传递关系，所以比输入输出模型更深入地揭示了系统的动态特性。
3. 连续时间模型与离散时间模型根据数学模型所描述的系统中的信号是否存在离散信号，数学模型分为连续时间模型和离散时间模型，简称连续模型和离散模型。
连续数学模型有微分方程、传递函数、状态空间表达式等。
离散数学模型有差分方程、Z传递函数、离散状态空间表达式等。
第二章控制系统的数学模型本章目录2.1 传递函数2.2 传递函数的说明2.3 非线性数学模型的线性化2.4 典型环节的传递函数数学模型2.5 用方块图表示的模型2.6 信号流程图与梅逊公式2.7* 数学模型的MATLAB描述小结本章简介系统是指相互联系又相互作用着的对象之间的有机组合。
许多控制系统，不管它们是机械的、电气的、热力的、液压的，还是经济学的、生物学的等等，都可以用微分方程加以描述。
如果对这些微分方程求解，就可以获得控制系统对输入量（或称作用函数）的响应。
系统的微分方程，可以通过支配着具体系统的物理学定律，例如机械系统中的牛顿定律，电系统中的克希霍夫定律等获得。
为了设计（或者分析）一个控制系统，首先需要建立它的数学模型，即描述这一系统运动规律的数学表达式。
有三种比较常用的描述方法：一种是把系统的输出量与输入量之间的关系用数学方式表达出来，称之为输入--输出描述，或外部描述，例如微分方程式、传递函数和差分方程。
第二种不仅可以描述系统的输入、输出间关系，而且还可以描述系统的内部特性，称之为状态变量描述，或内部描述，它特别适用于多输入、多输出系统，也适用于时变系统、非线性系统和随机控制系统。
另一种方式是用比较直观的方块图模型来进行描述。
同一控制系统的数学模型可以表示为不同的形式，需要根据不同情况对这些模型进行取舍，以利于对控制系统进行有效的分析。
本章所讨论的数学模型以传递函数和方块图为主。
2.1 传递函数在控制理论中，为了描述线性定常系统的输入-输出关系，最常用的函数是所谓的传递函数。
传递函数的概念只适用于线性定常系统，在某些特定条件下也可以扩充到一定的非线性系统中去。
线性定常系统的传递函数，定义初始条件为零时，输出量的拉普拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换之比。
设有一线性定常系统，它的微分方程是(2-1)式中y是系统的输出量，x是系统的输入量。
初始条件为零时，对方程（2-1）两端进行拉普拉斯变换，就可以得到该系统的传递函数为：(2-2)传递函数是一种以系统参数表示的线性定常系统的输入量与输出量之间的关系式，它表达了系统本身的特性，而与输入量无关。
生物数学模型转换的实践探讨东台市三仓中学王强【摘要】模型方法是人们认识自然界的一种重要方式，也是理论思维发展的重要形式。
无论在生物科学研究还是在学习科学的过程中，模型和模型方法都起着十分重要的作用。
其中构建数学模型作为发现科学事实，揭示科学规律的过程和方法，在生物教学中有着十分重要的意义。
构建数学模型有助于学生系统地、完整地学习和理解新知识，同时有助于学生运用数学工具解决一些复杂的问题，还可以习得获取知识的方法，提高解决问题的能力。
【关键词】数学模型转换构建模型是一种通过研究模型来揭示原型的形态、特征和本质的方法，是逻辑方法的一种特有形式。
其作为一种现代科学认识手段和思维方法，所提供的观念和印象，不仅是学生获取知识的条件，而且是学生认知结构的重要组成部分，在高中生物教学中有着广泛的应用价值和意义。
数学模型就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图像、框图等描述客观实物的特征及其内在联系的数学结构表达式。
数学模型是联系实际问题和数学的桥梁，具有解释、判断、预测等重要功能。
引导学生构建数学模型，有利于培养学生透过现象揭示本质的洞察力，同时通过科学与数学的整合，有利于培养学生简约、严密的思想品质。
数学模型在高考试题中层出不穷，这里就数学模型的转换谈谈自己的认识以供解题参考。
1、研究一定条件下种群数量变化规律过程中的有关数学模型的转换在新课标生物必修3的第4章《种群和群落》中的第2节《种群数量的变化》中，教材用数学模型构建了种群数量的变化。
模型假设：在食物和空间条件充裕、气候适宜、没有敌害等条件下，种群的数量每年以一定的倍数增长，第二年的数量是第一年的λ倍。
模型构建：N t＝N oλt其中N o为该种群的起始数量，t为时间，N t为t年后该种群的数量，λ为该种群每年增长倍数。
如果以种群数量为纵坐标，时间为横坐标,该模型可构建为：这样数学方程式就转换为函数曲线图。
这一转换它能更直观地反映出种群数量的增长趋势。
